Исследование равномерной устойчивости по Ляпунову тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГ6 од

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЗУБОВА Ольга Владимировна ИССЛЕДОВАНИЕ РАВНОМЕРНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ

Специальности:

01.01.09 — математическая кибернетика и

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в области физико-математических наук)

Автореферат диссертации на соискание ученнтй степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете на факультете прикладной математики - процессов управления.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Алеаков Ю.З. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Камачнин A.M. кандидат физико-математических нау профессор Романов M.S. Ведущая организация : Балтийский государственный техничэск

университет имени Д.Ф Устинова

Защита состоится 199^ года в_часов на

заседании диссертационного совета K-063.57.I6 по зайдете диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матзмат чзских наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.0., д. 33, ауд. 88.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им.А.М.Горьког Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан Хи^Р

__19эЗгода.

Учений секретарь диссертационного совета K~0S3.57.16,, доктор фазико-

математических наук В.ё.Горьковой

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В работе исследуются задачи устойчивости не возмущенного движения для механических систем с К степенями свободы при неограниченном возрастании и при неограниченном

с

убывании времени. Для таких систем имеемся целый ряд результатов в теории устойчивости (Лаграня Ш.Л.,,Лурье А.И., Хохлов Р.В., Зубов В.И. и др). Актуальность задачи вызвана тем, что установившееся ;;движение исследуется как на устойчивость по отношении к координатам, так и по отношении к траектории.

Решение практических задач требует изучения разности координат возмущенного движения и невозмущенного движения при неограниченном возрастании времени и при неограниченном убывании времени, а также требуется изучение поведения расстояния от изображающей точки возмущенного движения до траектории невозмущенного движения.

Цель и задачи исследования. Цель работы состоит в представлении теоретически обоснованного применения методов линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в решении задач исследования устойчивости невозмущенного движения для механических систем с К степенями свободы при неограниченном возрастании и при неограниченном убывании времени.

Методы исследования. Метода исследования основаны на результатах качественной теории дифференциальных уравнений, второго метода Ляпунова, методов линейных и нелинейных диф-ференцальных уравнений.

Научная' нтди?на. В диссертации вперзые: I) установлена связь устойчивости движения при неограничен-

ном возрастании времени и при неограниченном убывании времени с теоремой Лаграняа-Дирихле для механических систем с К степенями свободы;

2) доказана устойчивость положения равновесия в таких системах при неограниченном возрастании и при неограниченном убывании Бремени;

3) дано распространение этого результата на возмущенные консервативные система;

4) получены результаты для решения вопроса устойчивости невозмущенного движения при неограниченном возрастании времени и при неограниченном убывании времени; рассмотрение

" устойчивости ведется не только по отношения к координатам , но и по отношению к траектории невозмущекного движения; рассматривается не только координатная устойчивость, ко и орбитальная устойчивость;

5) подучены качественные и аналитические методы построения области устойчивости в конкретных случаях;

6) построена общая теория областей переключения;

7) устанавливается орбитальная устойчивость при неограниченном возрастании времени и при неограниченном убывании времени;

8) указан новый метод построения области переключения с помощью функции Ляпунова.

Практическое и теоретическое значение. Полученные в диссертации результаты позволяют на ранней стадии проектирования различных механически:-: систем решить вопрос об устойчивости нзвозму^енного движения.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались

на семинарах кафздры теории упразленля и кафедры шспзй математики факультета Прикладной математики - процессов управления СПбГУ, на мэядуяародной конференция " ¿пЛбХУЬ-? 94 м (1994г., С.-Петербург), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (1595г..Саранск). \

Публикации. Основные результату диссертации представлены в работах Г1-57 .

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глаз,,выводов, заключения, списка литературы. Основной текст изложен на 70' страницах машинописного текста, исполь-зуемач литература содержит 2.7 наименований.

СОДЕЕХАШЕ РАБОТЫ

Во введении дана краткая справка по исследуемому вопросу и представлены основные результаты работы.

Теотзема 2.1. Консерзативная механическая система, двияу-тцаяся в потенциальном поле, имеет устойчивое положение равновесия при воздействии на нее произвольного соленоидального поля обобщенных сил, если потенциальная энергия Р имеет минимум в положении равновесия.

Рассматривается система

(± и и ) (4.5)

где заданы в области ^ т (- с-о > +- оо) и непрерывны там

Теорема 4.1. Если суцзстзув? два функции V и \[ , обладающие следущими свойствами:

1) функция V положительно-определенная на С-00,*-««);

2) функция I/-? о при ^ ^ О равномерно'по отношению к ^ ^

3) функция УУ знакопостоянно-отрицательна при ге (О^с? ) и знакопостоянно-положительна при Ь € ^ , о ^

4) существует полная производная функции V в силу системы (4.5),

то невозмущенное движение устойчиво в обе стороны. Теорема 4.2. положение равновесия = =... - = ^г " " в системе (4.1)

^ [ И \ _ 21 Л • <4.1)

Цу/ "" =

будет устойчиво в обоих направлениях, если потенциальная энергия имеет строгий минимум при ^

Теорема 4.3. Если существуют две функции ]/ и Ц, , обладающие следующими свойствами:

I) V положительно-определенная при "¿те *>>",+- ,), 2при \у\-?о равномерно по отношению к (3) VI/ определенно-отрицательная нв.&1-с>о) к определенно-положительная на ; о] ) 4) полная производная функции 1/ по 1 в силу системы (4.5)

Л/\ и/

\C4.5-)

то положение равновесия Ч=с в системе (4.5) будет равномерно асимптотически устойчивым в обе стороны. Теорема 4.4. Если существуют две функции V и 1/|/, удовлет-

6

)

ворявщиэ условия.^:

1) V полояителънсеопределенная на );

2) 1/-5- о при 0 равномерно но £ е /'-оэ ; ^ оо )

3) полная производная функции V по (: в силу системы (4.5)

/ 77 = \А/;

4) VI/ £ V' МЬ) при Ь^о > при 5> ( К? Ж 4 М = «М*. при £ >,Ьа Ь0}

о Ь

I у<Сг)с1ГЬ * - сойЛ при Ь ¿±„^0; -Ьо

то положение равновесия системы (4.5) устойчиво в обе стороны.

Тоотема 5.1. Множество всех точек фазового пространства Ьп , для которых имеет место переключение, инвариантно, связно и открыто.

Рассматривается дифференциальное уравнение

% - *(*),

-{(а-,)--С, f д.

Теорема 7,1. Если ^вс]>0 (или -$(х)<0 ) при (гСЛ) то при в1лтоянении условий теоремы о существовании и единственности решения каждое решение уравнения (7.1)

(т )} Х0 € хк ) ♦ будет обладать свойством

^ (^Хо,^)-^ при -6 -9 Г^Р, ' 7С (Ь} Т^-Ьо) при 6 -■> - »О , ,'хо1Ь0)~тх^ при £ - ьо,

При этом какдсг такое решение является устойчивым как при неограниченно« возрастании времени, так и при неограниченном убывании времени.

Рассматривается далее система

С*<> )> (7.2)

Умножим 6 -ое уравнение на 9.', и просуммируем по всем уравнениям. Тогда имеем

ах 1---1

■Р -1■

Предположим, что правая часть (7.3) представиаа в форыз

Я £ ъ Ь - 3 } (7.4)

Теорема 7.2. Предположим, что функция обращается в

НОЛЬ при Р - Рч , Р= А ■

Если функция 0) /х-^.^хь )> 5 ? с ,гдэ

Р - положительная постоянная, ffp)^o при р £ (Рь то все движения системы (7.2) при неограниченном возрастании Ь обладал? свойство«

Р^рХ при ь -9 г- ОО ^ Р при ± -> - ¿О

При этом предполагается, что правые части заданы в и удовлетворяют условиям теоремы о существовании и единственности, например, правые части непрерывны и удовлетворяют условию Липшица.

Рассматривается система

У* , .

(зл)

где , (X, ]) ~ (Х- Г,) (Гл ~ яг; • / (Г, у )

Теорема 8.1. Если в системе (8.1) УС^г О^Х^ и ! >/} ПРИ 7с е-,*-(>■>); где уЗ - некоторая положительная постоянная, то существует ревзниэ устойчивое при неограниченном возрастании времени и при неограниченном убывании времени. Это решение располагается на оси ос> неограниченно приближаясь к д^при {г-э-гсо • и неограниченно приближаясь к ^ при ■(: -оо .

Область асимптотической устойчивости этого решения совпадает с вертикальной полосой я*., це(-оо -¡-со).

Рассматривается система

Предполагается, что система (8.6) кмзет два положения равновесия

причем положение С-с асимптотически устойчиво по Ляпунову при

сИ

(8.6)

^ 1-сю , полозе асимптотически устойчиво по Ляпунову

при и - ьо .

Обозначим через ¿'область асимптотической устойчивости

положения равновесия а , через б - область асимптотической устойчивости положения равновесия iS .

Тяоо-у г 8.2. Если существует по крайней мере одно решение

^ (^J , (8.7)

системы (8.6) такое, что при ^^^ при ¡Î- о^

то решение (8.7) будет асимптотически устойчиво по Ляпунову при неограниченном возрастании и при неограниченном убывании времени. Область устойчивости С решения (8.7) будет определяться формулой

с = Я п 5

Список работ, опубликованных по теме диссертации.

1. Зубоза О .В. О существовании равномерной устойчивости по Ляпунову при убывании и возрастании времени. Деп. в ВИНИТИ от 30 июня 1939 г., Р 5658-В89.

2. Зубова О.В. Исследование равномерной устойчивости по Ляпунову .//Дифф.ур-я. 1992.т.28 U.C. 1900-1906.

3. Зубова О.В. О равномерной устойчивости по Ляпунову//Дина-мика систем и управление. Саранск. 1993.С. 133-133.

¿in CchtrO-б

■liitcmi Vnda khLVbtaihti'eir Jléihiuti 7r,é^hcftconcfC Coul^-t^Htt ои yhtùx'i\r{ anff Сомры&г,- /-¿y te?t'c.

5. Зубова О.В. Исследование равномерной устойчивости по

10