Некоторые виды устойчивости в линейных системах с неограниченными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

003466438

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

МАРГОЛИНА Наталия Львовна

НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ УСТОЙЧИВОСТИ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.2/3

по.^пр 2009

Москва 2009

003466438

Работа выполнена на кафедре математического анализа физико-математического факультета Костромского государственного университета имени Н. А. Некрасова.

Научные руководители

доктор физико-математических наук, профессор Владимир Михайлович Миллионщиков,

кандидат физико-математических наук, доцент Кирилл Евгеньевич Ширяев. Официальные оппоненты- доктор физико-математических наук,

профессор Светлана Николаевна Попова кандидат физико-математических наук, доцент Андрей Серафимович Фурсов. Ведущая организация - Институт математики HAH Беларуси.

Защита диссертации состоится "<24" ССПрелЯ*_ 2009 г.

в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Рф ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М. В. Ломоносова, механико—математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (14 этаж).

Автореферат разослан "¿3" ^Ма^та,_ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 501.001.85 при МГУ С^/

доктор физико-математических наук И. Н. Сергеев.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из основных направлений качественной

теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение

вопросов, связанных с асимптотическим поведением решений линейных

систем. Для исследования устойчивости и условной устойчивости движения

А. М. Ляпуновым1 было введено понятие показателя. Развитие теории

линейных систем привело к созданию целого ряда различных показателей.

Все они являются модификациями показателей, введенных Ляпуновым, и

поэтому, в широком смысле, могут называться ляпуновскими, однако, во

избежание путаницы для них существуют особые названия. Библиография

в обзорах Н. А. Изобова2 по теории показателей Ляпунова насчитывает

несколько сотен наименований. Один из показателей, используемый для

оценки равномерной по начальному моменту устойчивости линейной системы,

введен впервые П. Болем под названием индекса3. Позднее этот показатель

был независимо введен К. П. Персидским4 под названием особого. В

дальнейшем вопросы, связанные с показателем Боля, рассматривались

многими авторами. Так, в книге5 приведены разные формулы для вычисления

показателя Боля линейной системы с ограниченными коэффициентами,

а в книге6 доказана эквивалентность отрицательности этого показателя

1 Ляпунов А. М. Общая задача устойчивости движения. М.-Л., Гостехиздат,1966.

2Изобов Н. А. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей

Ляпунова и ее приложениям. Дифференд. уравнения, 1993, Т. 29, №12, с. 2034-2055;

Изобов Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.:

ВИНИТИ, 1974, Т. 12, с. 71-146.

3Болъ П. Избранные труды. Пер. с нем., Рига, Издательство АН ЛССР,1961.

4 Персидский К. П. Об устойчивости движения по первому приближению // Мат.сб.

1933 Т. 40, №3. С. 284-292.

5 Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей

Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.,1966

ЬДалецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость дифференциальных уравнений в

банаховом пространстве. М.,1970.

ограниченности на положительной полуоси решения линейной неоднородной системы с ограниченными коэффициентами и свободным членом (нужно заметить, что условие отрицательности верхнего генерального показателя остается достаточным и для систем с неограниченными коэффициентами, но перестает быть необходимым7).

Цель работы. Настоящая диссертация посвящена изучению видов равномерной устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами, нахождению формул для показателей, отвечающих за различные виды устойчивости, изучению свойств найденных показателей и соотношений между ними.

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты:

— введены новые виды равномерной устойчивости линейной системы с неограниченными коэффициентами: остаточная равномерная устойчивость, равномерная ограниченность по начальному отрезку совокупности решений системы; доказано существование систем, обладающих такими видами устойчивости, но не устойчивых равномерно; доказано существование систем, обладающих совокупностью решений, равномерно ограниченных по начальному отрезку, но не являющихся остаточно равномерно устойчивыми.

— среди величин, служащих формулами показателя Боля систем с ограниченными коэффициентами, найдены показатели, связанные с перечисленными видами устойчивости; в терминах показателей доказаны необходимые и достаточные условия каждого вида равномерной устойчивости линейной системы;

— найдены условия совпадения и конечности полученных показателей, исследованы отношения порядка между ними;

— для случая линейных систем с неограниченными коэффициентами рассмотрены такие свойства изучаемых показателей, как мажорирование

7там же.

старшего показателя Ляпунова (это свойство не выполняется для одной из введенных величин) и достаточность отрицательности верхнего генерального показателя для ограниченности на полуоси решения линейной неоднородной системы с ограниченным свободным членом (доказана невозможность замены верхнего генерального показателя другими).

Методы исследования. Основные результаты изложены на языке теории показателей Ляпунова обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости. При доказательствах используются методы теории линейных систем дифференциальных уравнений, математического анализа, а также разнообразные методы оценки решений линейной системы и показателей.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, занимающимся теорией показателей Ляпунова и ее приложениями к вопросам устойчивости.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно (2006-2009 гг.) докладывались в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на семинаре до качественной теории дифференциальных уравнений (руководители профессор В. А. Кондратьев, профессор В. М. Миллионщиков, профессор Н. X. Розов), на заседаниях кафедры математического анализа КГУ им. Н. А. Некрасова и спецкурсах по качественной теории дифференциальных уравнений физико-математического факультета КГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата, все 5 работ

опубликованы в издании, рекомендованном ВАК РФ для публикации диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав (разбитых на параграфы) и списка литературы. Объем работы 80 страниц, включая 1 страницу списка литературы, содержащего 17 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дан краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, сформулированы используемые определения и приведены формулировки основных результатов.

Для заданного натурального числа п рассмотрим линейную систему

x = A(t)x + f(t), (1)

где A: R+ -»• EndR", /:R+ R" непрерывны или кусочно непрерывны, х € R", и соответствующую ей однородную систему

X = A{t)x, (2)

Первая глава посвящена изучению различных видов равномерной устойчивости системы (2) с неограниченными коэффициентами. Под решением системы, нормой вектора и оператора понимается то же, что и в книге8.

Определение I9. Система (2) называется равномерно устойчивой, если

для любого ее решения ж(-) и любого е > 0 существует такое 5 > 0, что

8 Вылов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В.Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.,1966.

9Демидовы.ч Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.,1966.

4

для любого io > 0 и любого решения у(-) этой системы, удовлетворяющего

условию ||y(io) - ХЫ\\ < выполнено sup ||y(i) - a;(i)|| < е.

t>t0

Определение 2. Система (2) называется остпатпочно равномерно устойчивой при t —> +оо, если существует такое Н > О, что для любого решения х(-) этой системы и любого е > 0 существует такое S > 0, что для любого to > 0 и любого решения у(-) этой системы, удовлетворяющего условию \\y{to) ~ я(*о)|| < выполнено sup ||y(i) - x(t)|| < е.

i>io+H

Определение 3. Будем говорить, что система (2) обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно но начальному отрезку, если существуют такие Н > 0 и М > 0, что для любого решения х(-) этой системы и любого t > 0 выполняется оценка

sup \\x{t+mH)\\ < Af||®(i)||. meN

Отметим, что всякая равномерно устойчивая система является остаточно равномерно устойчивой, а всякая остаточно равномерно устойчивая система обладает совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку. Кроме того, для системы (2) с ограниченными коэффициентами определения 1-3 эквивалентны.

Следующие две теоремы показывают, что для систем с неограниченными коэффициентами введенные в диссертации (определениями 2 и 3 выше) два вида равномерной устойчивости являются на самом деле новыми, другими словами, все три вида равномерной устойчивости различны (здесь и ниже в скобках указаны номера утверждений в тексте диссертации).

Теорема I (теорема 1.2.1). Для любого п £ N существуют системы вида (2) остаточно равномерно устойчивые, асимптотически устойчивые, но не обладающие свойством равномерной устойчивости.

Теорема II (теорема 1.3.2). Для любого п е N существуют системы вида (2) не являющиеся остаточно равномерно устойчивыми,

но обладающие совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку.

Определение 410. Верхним генеральным показателем кд(А) системы (2) называется точная нижняя грань множества таких чисел р, что

Здесь и далее ■) — оператор Коши системы (2), а точная нижняя грань пустого множества полагается равной +оо.

Определение 511. Показателем Боля /3(А) системы (2) будем называть величину

Определение б12. Верхним особым показателем П°(Л) системы (2) будем называть величину

Известно 13, что для равномерной устойчивости системы (2) необходима неположительность верхнего генерального показателя кд(А) и достаточна его отрицательность.

В диссертации установлено, что показатель Боля /3 и верхний особый показатель выполняют ту же роль по отношению к остаточной равномерной устойчивости и свойству системы обладать совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку.

10Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость дифференциальных уравнений в

банаховом пространстве. М.,1970.

11 Вылов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В.Теория показателей

Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.,1966.

12 там же

13Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.,1970.

вир (1п ||Хд{Ь + - рэ) < оо.

Теорема III (теорема 2.2.1). Показатель ß(A) остаточно равномерно устойчивой системы (2) неположителен. Система (2) с отрицательным показателем ß(A) остаточно равномерно устойчива.

Теорема IV (теорема 2.2.2). Показатель £1°(А) системы (2), обладающей совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку, неположителен. Система (2) с отрицательным показателем 0°(Л) обладает совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку.

Также в первой главе установлены формулы

ß(A) = Ш llnpOUi + tf.tH,

t,H-++оо П.

П°(А)= Hm ^-lnsuv\\XA{t + H,t\\.

Н-++00 а t> о

Во второй главе исследуются отношения порядка между показателями кд(А), ß(A) и системы (2) с неограниченными коэффициентами,

условия конечности показателей и их совпадения. В ней, кроме обсуждаемых в главе 1, вводится в рассмотрение величина

d(A) = inf 1 lnsup ||ХЛ(гЯ, (г - 1)Я)||, я>о И ieN

в качестве формулы, удобной для вычисления, и решается вопрос об условиях ее использования вместо ii°(A) для систем с неограниченными коэффициентами. Известно14, что для системы (2) с ограниченными коэффициентами

-оо < d(A) = П°(Л) = ß{Ä) = кд(А) < +оо.

Основной результат этой главы может быть сформулирован так: показатели к9(Л), ß{A), П°(Л), рассматриваемые как функции на множестве систем

14Былов Б. Ф., Виноград Р. 9., Гробман Д. М., Немыцкий В. ^.Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.,1966.

7

вида (2) с неограниченными коэффициентами, попарно различны и в каждой точке А удовлетворяют соотношению

а°(А) </3(А) < кд(А),

которое содержит не более одного строгого неравенства. Этот факт вытекает из следующих теорем.

Теорема V (теорема 6.1.1). Для любого п € N существует система вида (2), для которой d(A) < П°(А) < /3(А) = кя(А) = -foo.

Теорема VI (теорема 6.1.2). Для любого п G N существует система вида (2), для которой /3(А) < кд(А) = +оо.

Теорема VII (теорема 4.2.1). Если для системы вида (2) выполнено кя{А) < +оо, то

Kg(A)=0(A) = n°{A) = d(A).

Теорема VIII (теорема 4.2.2). Если для системы вида (2) выполнено (3{А) < +оо, то

Р(А) = П°(Л) = d{A).

Кроме того, в этой главе исследуется свойство мажорирования рассматриваемыми показателями системы (2) старшего показателя Ляпунова

Хг(А)= Пй \ЩХАМ)||

с—++оо t

этой системы. Известно, что в случае системы с ограниченными коэффициентам! указанное свойство имеет место.

Теорема IX (теорема 5.1.1). Для любой системы вида (2) выполнено

Ах(Л) <П°(Л) <Р(А)<ка{А).

Теорема X (теорема 5.1.2). Для любого п £ N существуют системы вида (2) с интегрально неограниченной оператор функцией, для которых

В третьей главе результаты о равномерной устойчивости, полученные в двух первых главах для однородной системы (2), переносятся на случай линейной неоднородной системы (1).

оператор функция А(Ь) системы (1) для того, чтобы, при любой ограниченной вектор-функции /(£) решение задачи Коши

было бы ограниченным?

Авторами16 установлено, что в случае системы с ограниченными коэффициентами необходимым и достаточным условием для этого является отрицательность верхнего генерального показателя, а в случае системы с неограниченными коэффициентами указанное условие является достаточным, но не необходимым.

В диссертации доказана

Теорема XI (теорема 9.1.2). Для любого п 6 N существует такая система вида (1) и такая непрерывная ограниченная функция /(£), что

а решение задачи Коши (3) неограничено.

Эта теорема показывает, что условие отрицательности верхнего генерального

показателя кд в рассматриваемом вопросе нельзя заменить условием

15Далецгмй Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.,1970.

А1(Л) > ¿{А).

В книге15 рассматривается вопрос: какому условию должна удовлетворять

(3)

(5{А) = С1°(А) < О,

там же

отрицательности показателя Боля ¡3 (и, тем более, верхнего особого показателя П°).

В заключение автор выражает свою глубокую благодарность научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору В. М. Миллионщикову и кандидату физико-математических наук, доценту К. Е. Ширяеву за постановку задач и постоянное внимание и помощь в работе, а также сотрудникам кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ доктору физико-математических наук, профессору И. Н. Сергееву и кандидату физико-математических наук, доценту В. В. Быкову за ценные замечания.

Работы автора по теме диссертации.

[1] Марголина Н. Л. Об одном свойстве генерального показателя линейной системы с неограниченными коэффициентами. Дифференц. уравнения, 2006, Т. 42, 6, с. 852.

[2] Марголина Н. Л. Остаточная равномерная устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 2008, Т. 44, 6, с. 859.

[3] Марголина Н. Л. Периодически равномерная устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 2008, Т. 44, 6, с. 861.

[4] Марголина Н. Л. Соотношения между генеральными показателями системы с неограниченными коэффициентами. Дифференц. уравнения, 2008, Т. 44, 11, с. 1576.

[5] Марголина Н. Л. Периодически равномерная устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений (продолжение). Дифференц. уравнения, 2008, Т. 44, 11, с. 1581.

Подписано в печать И>,ОЪ. О!? Формат 60x90 1/16 Бумага офсетиая. Офсетная печать. Усл. печ. л. 0.1 Г Тнраж /6»0экз. Зак. tg

Отпечатано в полиграфическом отделении Географического факультета МГУ им. М.ВЛомопосова

119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1.

Равномерная устойчивость линейных однородных систем

§1. Виды равномерной устойчивости

§2. Показатели, связанные с устойчивостью

ГЛАВА 2.

Соотношение мевду показателями линейных однородных систем

§3. Критерии конечности

§4. Условия совпадения показателей

§5. О мажорировании старшего показателя Ляпунова

§6. Отношения порядка между изучаемыми показателями

§7. Достаточные условия конечности верхнего генерального показателя

ГЛАВА 3.

Равномерная устойчивость линейных неоднородных систем

§8. Виды равномерной устойчивости

§9. Ограниченность решения

0.1

Представленная работа относится к той области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, которая занимается вопросами, связанными с асимптотическим поведением решений линейных систем. Для исследования устойчивости и условной устойчивости движения А. М. Ляпуновым в [9] было введено понятие показателя. Показателем Ляпунова, или показателем экспоненциального роста, А/ функции /(£) действительного переменного, принимающей значения в нормированном пространстве, называется

1п0 считается равным — оо). Показатель Ляпунова конкретной функции может быть действительным числом или одним из символов —оо, +оо.

Спектром показателей Ляпунова линейной дифференциальной системы называют кортеж, составленный из показателей Ляпунова решений этой системы, образующих нормальный базис, расположенных в порядке невозрастания [9]. Отрицательность к-то показателя* Ляпунова гарантирует условную устойчивость с индексом п — к + 1 нулевого решения.

Условной устойчивостью А. М. Ляпунов назвал устойчивость по отношению к возмущению начальных значений, удовлетворяющих некоторому условию, состоящему в том, что возмущенные начальные значения должны принадлежать некоторму многообразию (проходящему через невозмущенное значение). Размерность этого многообразия называют индексом условной устойчивости. Старший показатель Ляпунова А1 осуществляет оценку верную для всех решений системы (1) и, поэтому, позволяющую судить в какой-то мере об их поведении в совокупности. Однако, здесь требуется известная осторожность, поскольку константа Ве, вообще говоря, зависит не только от е, но и от решения х(к). В работах [10], [11], [12] В. М. Миллионщиковым определены показатели Ляпунова семейсва эндоморфизмов метризованного векторного расслоения и получена формула А;-го показателя Ляпунова.

Общая теория показателей Ляпунова подробно изложена во.многих источниках, весьма полный список которых можно найти в [7][ §1, Комментарий, стр. 29]. Развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда различных показателей. Один из показателей, служащий для оценки оператора Коши системы (1) введен впервые П. Болем в 1913 г. [1] под названием индекса [3] [гл.З, §4, стр. 211]. Позднее

А /• = Иш

->+оо £ х — А(Ь)х,

1) ж(*)| <В£е(А1+£){, е > 0, этот показатель был независимо введен К. П. Персидским [16] под названием особого [7][ §3, стр. 66].

В работе [3] [гл.З, §4, стр. 171-176] индекс Боля, взятый с противоположным знаком, называется верхним генеральным показателем кд. Там же доказан критерий конечности верхнего генерального показателя и формула, по которой предлагается вычислять кд, если он конечен.

Верхним генеральным показателем кд уравнения (1) называется точная нижняя грань чисел р, для которых формула с Ыр > 0, t > т, 1,т £ [0, +оо) справедлива для всех решений уравнения (1).

Критерий конечности. Для того чтобы верхний генеральный показатель уравнения (1) был конечен: кд < +оо, необходимо и достаточно, чтобы

К = sup ||Xt(i,r)|| < +оо.

0<i-r<l

Здесь и ниже т)-оператор Коши уравнения (1).

Формула для кд. Если верхний генеральный показатель конечен, то он представим формулой ш Ы|Л0,(г + .,г)||

T,S-»+0O д

В случае интегрально ограниченной оператор функции A(t): t+i sup ¿>о t

J \\A(r)\\dr < M, где М - константа, верхний генеральный показатель уравнения (1) всегда конечен. В дальнейшем ограниченной системой будем называть систему, матричная функция А(Ь) которой ограничена интегрально.

В [2][гл.З, §7-8, стр. 103-117 ] верхний генеральный показатель уравнения (1) называется верхним особым числом и обозначается £7°. Там же приведены три способа его определения для ограниченных систем.

Способ верхних функций.

Верхним особым показателем уравнения (1) назовем точную нижнюю грань чисел р, осуществляющих оценку prA(t,r)|| < с Np,e > 0, t > г, t, г € [0, +оо) .

Учитывая утверждение [2][гл.З, §7, стр. 101 ]: Для матрицы Коши линейной системы (1) при любых фиксированных /,, г справедливо соотношение где тах берется по всем решениям х(¿) системы (1), способом верхних функций в точности определяется верхний генеральный показатель [3].

Способ стекловских усреднений. ¿>0 (i? In(st^ + я'i)l|}) =

Дискретный способ. n° = in,f„ iyy ln(suP II«'г - r>H<1') =

Я>0 \tL N У lim (1 ln(sup ||Хл(гЯ, (» - 1)Я)||)) .

Я-Н-оо ул ieN у

Авторами доказана эквивалентность этих определений в случае интегрально ограниченной оператор функции [2][гл.7, §19, стр.252 ] и возможность замены знака inf на lim.

Определения показателей.

В представленной работе рассматриваются показатели линейных систем с неограниченными коэффициентами. В этом случае равносильность приведенных определений может нарушаться (см. главу 2 диссертации). Становится необходимым закрепить за конкретными формулами обозначения, введенные упомянутыми авторами, или ввести новые.

Определение 0.1.1. [3][гл.3, §4, стр. 171] Верхним генеральным показателем кд(А) уравнения (1) назовем точную нижнюю грань чисел р, для которых формула a;(i)||<iVpe^|Hr)||, с Np > 0, t > т, t, г е [0, +оо) справедлива для всех решений уравнения (1).

Определение 0.1.2. [2][гл.З, §7-8, стр. 103-117 ] Показателем Боля ß(A) уравнения (1) назовем

A) = lim (±-ln(sup\\XA{L + H,t)\\)) .

Я—>+оо \М t>0 )

Определение 0.1.3. [2][гл.З, §7-8, стр. 103-117] Верхним особым показателем уравнения (1) назовем

П°(А) = Ы (¿1п(8ир||+ Я,*)||)) •

Разумеется, показателями Боля не исчерпываются всевозможные модификации показателей Ляпунова. Библиография в обзорах Н. А. Изобова [5], [б] по теории показателей Ляпунова насчитывает несколько сотен наименований. В качестве примера могут быть приведены вспомогательные показатели, введенные в ряде работ В. М. Миллионщикова [13], [14], [15], экспоненциальные показатели, введенные Н. А. Изобовым [8].

Для оценки оператора Коши системы х = A(t)x служит и введенный Р. Э. Виноградом центральный показатель—Q [2][гл.З, §7-8, стр. 103-117 ], который определен, как точная нижняя грань интегральных средних

R= Ш - [R(r)dr £->+оо t J> 0 ограниченных измеримых функций R(r), для которых при всех s < t справедлива оценка t f (R(r)+e)dr

XA{t,s)\\<DR^

Центральный показатель может быть также определен способом стекловских усреднений и дискретным способом.

Наряду с верхними показателями авторы работ [3], [2] вводят в рассмотрение соответствующие нижние показатели.

В случае системы с постоянными коэффициентами показатели: старший Ляпунова, верхний особый и центральный равны между собой. Для ограниченных систем справедлива цепочка

Ai < П < Q0

Однако К. Е. Ширяевым [17] построен пример неограниченной системы, центральный показатель которой, определенный дискретным способом, меньше старшего показателя Ляпунова.

Более полно о перечисленных показателях можно прочитать в [2], [3], [5].

Определения устойчивости.

Верхний генеральный показатель служит для оценки равномерной устойчивости линейных систем. Для заданного натурального числа п рассмотрим линейную систему x = A(t)x + f(t), (2) где yl:R+ —> EndR", /:R+ —» Rn непрерывны или кусочно непрерывны, х G Rn, и соответствующую ей однородную систему (1) х — A(t)x, определение 0.1.4. [4][гл.2, §1, стр.67] Система (2) (или (1)) называется равномерно устойчивой при t —> +оо, если для любого ее решения х — x(t) и любого е > 0 существует такое 5 > 0, что для любого t0 > 0 и произвольного решения у — y{t) этой системы, удовлетворяющего условию ||у(£о) — < выполнено sup||y(i) -х(£)|| < е. t>t0

Решение х — x(t) называется равномерно устойчивым при t —> +00, если для любого е > 0 существует такое <5 > 0, что для любого i0 > 0 и произвольного решения у = y{t) этой системы, удовлетворяющего условию \\y{to) — < выполнено sup \\y(t) - x{t)\\ < е. t>t0

В настоящей диссертации определяются новые понятия остаточной равномерной устойчивости и ограниченности совокупности решений равномерно по начальному отрезку.

Определение 0.1.5. Система (2) (или (1)) называется остаточно равномерно устойчивой при t —> +00, если существует такое H > 0, что для любого решения х — x(t) этой системы и любого е > 0 существует такое <5 > 0, что для любого to > 0 и произвольного решения у = y(t) этой системы, удовлетворяющего условию ¡1 у(i0) — x(io)|| < выполнено sup \\y(t) -z(i)|| <£. t>t0+H

Решение x = x(t) называется остаточно равномерно устойчивым при t —» +00, если существует такое H > 0, что для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что для любого ¿о > 0 и произвольного решения у — y{t) этой системы, удовлетворяющего условию ||y(io) — < <5, выполнено sup||y(f)-a;(t)|| < е. t>to

Определение 0.1.6. Будем говорить, что система (1) обладает совокупностью решений ограниченных равномерно но начальному отрезку, если существуют такие H > 0 и N > 0, что для любого решения х = x(t) этой системы и любого t > 0 выполняется оценка sup ||а;(* + тЯ)|| < N||a:(i)||. m6N

Так как[4][гл.2, §6, стр.80], поле интегральных кривых неоднородной системы (2) y{t) = y(t)+XA(t,0)C, где y(t) — частное решение (2), топологически эквивалентно (с сохранением близости) полю интегральных кривых x(t) = XA(t,0)C соответствующей однородной системы (разница только в том, что в первом случае "ось" у = y(t), вообще говоря, криволинейна, а во втором случае ось х = 0 прямолинейна), то изучение устойчивости линейных неоднородных систем полностью сводится к изучению тех же видов устойчивости для соответствующих однородных систем.

Отрицательность старшего показателя Ляпунова уравнения (1) является необходимым условием ограниченности на полуоси решения задачи Коши x = A(t)x + f(t), ( .

I s(0) = 0, {6) при каждой ограниченной на полуоси непрерывной вектор-функции f(t):

III/II! -sup||/(i)|| < +00, i>0

При этом каждое решение уравнения х = A(t)x + f(t) с ограниченной на полуоси непрерывной вектор-функции f(t) ограничено. [3] [гл.З, §5, стр. 183].

Однако условие Ai(A) < 0 не является достаточным. В работе [3] [гл.З, §5, стр. 186] доказывается теорема:

Для того чтобы задача Коши (3), где Л(£)-ограничена интегрально, имела ограниченное на полуоси решение при каждой ограниченной на полуоси непрерывной вектор-функции /(£):

III/III = sup ||/(i)|| < +00, t>0 необходимо и достаточно, чтобы верхний генеральный показатель уравнения (1) был отрицателен.

Важно, что условие кд(А) < 0 является достаточным и для неограниченных систем. В [3] [гл.З, §5, стр. 189] приведен пример, иллюстрирующий, что, в случае неограниченной системы, условие отрицательности верхнего генерального показателя перестает быть необходимым. Для системы, построенной в этом примере, кд(А) — +оо (значит, система неограниченна), однако решение задачи Коши (3) будет ограниченным при t € [0,+00) для любой ограниченной на полуоси непрерывной /(£).

0.2.

Первая глава посвящена изучению различных видов равномерной устойчивости линейных однородных систем (1) с неограниченными коэффициентами. х = А(£)х, где х е R" и yl(i):R+ —» EndRn непрерывно (или кусочно непрерывно). Отметим, что всякая равномерно устойчивая система является остаточно равномерно устойчивой, а всякая остаточно равномерно устойчивая система обладает совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку. Кроме того, для системы (1) с ограниченными коэффициентами определения 0.1.4, 0.1.5 и 0.1.6 эквивалентны.

В §1 содержатся теоремы показывающие, что для систем с неограниченными коэффициентами введенные в диссертации (определениями 0.1.5 и 0.1.6 выше) два вида равномерной устойчивости являются на самом деле новыми, другими словами, все три вида равномерной устойчивости различны.

Теорема 1.2.1. Для любого п 6 N существуют системы вида (1) остаточно равномерно устойчивые, асимптотически устойчивые, но не обладающие свойством равномерной устойчивости.

Теорема 1.3.2. Для любого п е N существуют системы вида (1) не являющиеся остаточно равномерно устойчивыми, но обладающие совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку.

§2 главы первой посвящен показателям, отвечающим за перечисленные виды устойчивости. Первый пункт этого параграфа содержит утверждения о совпадении некорых формул изучаемых показателей.

Утверждение 2.1.1. Для систем вида (1) всегда выполняется №= К. (1ь(ир||^(« + Я,*)||)) = Вт

Я-Н-оо у Л ¿>о ) г,Я-»+оо И

Утверждение 2.1.2. Для систем вида (1) всегда выполняется

П°(А) = щ? 1п(зир \\хА(г + Я, = 1ш 1п(8ир \\Ха(£ + я, 011)1. я>о ¿>о ) я—>+оо \п «>о )

Известно [3][гл.3, §4, стр. 178],что из равномерной устойчивости системы (1) следует неположительность ее верхнего генерального показателя, а из отрицательности кд{А)— равномерная устойчивость системы (1). Во втором пункте §2 установлено, что показатель Боля /3 и верхний особый показатель выполняют ту же роль по отношению к остаточной равномерной устойчивости и свойству системы обладать совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку.

Теорема 2.2.1. Показатель /3(А) остаточно равномерно устойчивой системы (1) неположителен. Система (1) с отрицательным показателем Р(А) остаточно равномерно устойчива.

Теорема 2.2.2. Показатель Г2°(Л) системы (1), обладающей совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку, неположителен. Система (1) с отрицательным показателем Г2°(А) обладает совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку.

Во второй главе исследуются отношения порядка между показателями кд(А), (5{А) и системы (1) с неограниченными коэффициентами, условия конечности показателей и их совпадения. В ней, кроме обсуждаемых в главе 1, вводится в рассмотрение величина л) = 1т1пзир ~1)я)|1'

0 п в качестве формулы, удобной для вычисления, и решается вопрос об условиях ее использования вместо для систем с неограниченными коэффициентами.

§3 этой главы носит уточняющий и вспомогательный характер. §4 содержит условия совпадения формул показателей и, следующие из них, условия эквивалентности понятий устойчивости.

Теорема 4.2.1. Если для оператора Коши системы (1) выполняется условие

К = sup ||Ха(£,г)|| < +оо, то есть кд(А) < +оо,

0<i—т<1 то кд(А) =P(A) = Q°(A)=d(A).

Следствие. Для системы (1) с конечным верхним генеральным показателем эквивалентны следующие понятия:

1. система равномерно устойчива,

2. система осгпаточно равномерно устойчива,

3. система обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку.

Теорема 4.2.2. Если для оператора Коши системы (1) при некотором Н' > О выполняется условие

К — sup т") || < то есть (3(A) < +оо,

H'<t-T<2H' то

3(A) = П°(А) = d(A).

Следствие. Для системы (1) с конечным показателем (3 эквивалентны следующие понятия:

1. система остаточно равномерно устойчива,

2. система обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку.

В 5 параграфе исследуется свойство мажорирования рассматриваемыми показателями системы (1) старшего показателя Ляпунова

А!(Л) = Jm^lnllXiM)!! этой системы. Известно, что в случае системы с ограниченными коэффициентами указанное свойство имеет место. Для показателей неограниченных систем верны теорема 5.1.1. Для любой системы, вида (1) всегда верно

Ах (Л) < < 0(A) < Кд(А). теорема 5.1.2. Для любого п € N существуют системы вида (1) с интегрально неограниченной оператор функцией, для которых Ах (А) > с1(А).

§6 посвящен отношениям порядка между изучаемыми показателями

Теорема 6.1.1. Для любого п е N существует система вида (1), для которой

1{А) < П°(А) < 0(А) = кд(А) = +оо. теорема 6.1.2. Для любого п е N существует система вида (1), для которой й(А) = П°(А) = р(А) < кд{А) = +оо.

И, наконец, в §7 второй главы получены два достаточных условия конечности верхнего генерального показателя и доказано утверждение об их необратимости. В этих утверждениях используются нижний особый, нижний генеральный и нижний показатель Боля, которые определяются, как верхние показатели сопряженной системы, взятые с противоположным знаком.

Теорема 7.2.1. Если для показателей системы (1) выполняется:

Р(А) < +оо, ш°(А) > -оо, то верхний генеральный показатель этой системы конечен и к9(А) = Р(А).

Теорема 7.2.2. Если для показателей системы (1) выполняется: f{A) < +оо, 13'(А) > -оо, то верхний генеральный показатель этой системы конечен и к9(А) = П°(А).

Утверждение 7.2.2. (необратимость условий теорем). Для любого п е N существуют системы вида (1), для которых кд(А) = Р(А) = < +оо, а

Р'{А) - оо°{А) = -оо.

§8 третьей главы посвящен понятию равномерной устойчивости для системы дифференциальных уравнений (2) x = A(t)x + f(t), где х б Rn и A(t): R+ —> EndRn, f(t): R+ —> Rn непрерывны или кусочно непрерывны. Исходя из соображений топологической эквивалентности полей интегральных кривых, па эту систему переносятся все результаты, полученные в двух первых главах для однородной системы (1): х = A(t)x.

В книге [3] рассматривается вопрос: какому условию должна удовлетворять оператор функция А системы (2) для того, чтобы, для любой ограниченной вектор-функции / решение задачи Коши (3): х = A(t)x + f(t) х(0) = О было бы ограниченным?

Авторами [3] [гл.З, §5, стр. 186] установлено, что в случае системы с ограниченными коэффициентами необходимым и достаточным условием для этого является отрицательность верхнего генерального показателя, а в случае системы с неограниченными коэффициентами указанное условие является достаточным, по не необходимым.

В §9 установлена

Теорема 9.1.2. Для любого п Е N существует такая система вида (2) и такая непрерывная ограниченная функция что

5{А) = < О, а решение задачи Коши (3) неограничено.

Эта теорема показывает, что условие отрицательности верхнего генерального показателя к9 в рассматриваемом вопросе нельзя заменить условием отрицательности показателя Боля ¡3 (и, тем более, верхнего особого показателя

Автор благодарна своим научным руководителям профессору Владимиру Михайловичу Миллиоищикову и доценту Кириллу Евгеньевичу Ширяеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Боль П. Избранные труды. Пер. с нем., Рига, Издательство АН ЛССР,1961.

2. Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.

3. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1966.

5. Изобов Н. А. ВИНИТИ, 1974, разд. Математический анализ, т. 12, сгр. 71-146.

6. Изобов Н. А. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям. Дифференц. уравнения, 1993,

7. Изобов Н. А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск, БГУ, 2006.

8. Изобов Н. А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докл. АН БССР. 1982. Т.26, №1. С. 5-8.

9. Ляпунов А. М. Общая задача устойчивости движения. М.-Л., Гостехиздат,1966.

10. Миллионщиков В. М. Показатели Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения // Математические заметки. 1985. Т.

11. Миллионщиков В. М. Нормальные базисы семейства эндоморфизмов меаризованного векторного расслоения // Математические заметки. 1985. т. 38, №5.

12. Миллиоиищков В. М. Формулы для показателей Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения. // Математические заметки. 1985. т. 39, №1.

13. Миллионщиков В. М. Дифференциальные уравнения. 1994. т. 30, №6, С. 1089.

14. Миллионщиков В. М. Дифференциальные уравнения. 1993. т. 29, №6, С. 1085.

15. Миллионщиков В. М. Дифференциальные уравнения. 1993. т. 29, №6, С.1087.

16. Персидский К. П. Об устойчивости движения по первому приближению // Мат.сб. 1933 Т. 40, т. С. 284-292.

17. Ширяев К. Е. О центральном показателе неограниченных систем, (тезисы) // Сб. тезисов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы". Москва 2004 г., изд. МГУ. С. 205.38, №1.