Исследование разрешимости векторных электродинамических задач на незамкнутых поверхностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ; ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.З. ЛОМОНОСОВА

-РТТ—О-Л-----------:-----'-------•-------

I 1 ИИ® вычислительной математики п кибернетики

На правах рукописи

• СМИРНОВ ЮРИЙ ГЕННАДЬЕВИЧ

УДК 517.9:519.6

__I V

ВЕКТОРНЫХ ЭЛЕЮТОДМНАММЧЕСХШЖ ЗДДАЧ НА НЕЗАМКНУТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

•со ■

днссергацпи на соискание ученой степени доктора фтгако-математкческих наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре высшей математики Пензенского государственного технического университета . j ' '

Официальные оппоненты: /:...-"' , : ,-J ..,:

доктор физико-натекатических наук,-профессор ДУВИНСКИИ iö.fl. .' ; !'•'_' ■ : доктор физико-математических наук, профессор ЗАХАРОВ Е.Б. • • доктор физико-математических наук, профессор ТРЕНОГИН В.й. /' '.•■■

I

Ведущая организация: ; , .•■

Институт ьичислительной математики РАН.

Защита диссертации состоится " Jf" , 139$ года в

15час.Зимин. на заседании Диссертационного совета Д,053.05.3? при Московском государственном университете им.И.Б.Ломоносова по адресу: 113359, Москва, Ленинские горк, факультет BUK МГУ, аудитория 605. •

С диссертацией моано ознакомиться в библиотеке факультета БМК МГУ. ■

Автореферат разослан "„¿J'

ученый секретарь Диссертационного совета профессор

((JbtCld Е.И.МОИСЕЕВ

0!Б. Щ А Я .X А Р А К Т S Р Е € Т И К А РАБОТ Ы

/ja?iya.îi.:;cz№?i таны. Настоящая работа посвящена аиздятическому исслс-довагапо Еокторннх алектродккамических задет на исзамкнушх поверхностях. Зто ~ задача днфракцжс сторокнето зкектромагшгщого поля кг идеально проводящем толком экране; задача дифракции на опгсрсппг в плоском, идсзлыю проводящем экране; задв'Ш дифргхцки ы обласик, связанных через отвергаю б зкраке (так яазьтватаале задачи «о связи сб'смоз через отверсткс»); задачи о распространении злектромапцшпгх боли в рстулкрных ваявшедущих структурах с неоднородны!! заполнением.

Интерес к перечисленным выше задачам возгопс дата» и они являются, по существу, классическими з адскгродикамккс. Исследование задач о рассеяпш атехтрсмагкшзгш; волн, издающих на экраны, представляет большой практический интерес в различных областях математической физики. Вся теории зеркальных антенн, получивших широкое распространение благодаря телевидению и спутниковой свази, основала иа изучении явлений) отраженна от зк--рака. Задачи дифракции о связи об'емов через отверстие являются базовыми прк моделировании сесдгдаений в теории волноводов. 3 последние десятилетия применение в электронике СВЧ в качестве всяноведутдих' структур волноводов сложных поперечных сечений, шкрополссковых и щелевых линий передачи погрсбозгло ¡гзучешга задач о распространении ачсктромагзппиых волн в валноЕедувди структурах с неоднородный заполнением н наличием бесконечно тонких, идеально проводящих пластин в структуре.

Традиционная (физическая) треркя дифракции создавалась на протяжении нескольких столетий. Благодаря работам А. Пузнкарз и А. Зоммсрфальда задача дифракций сталк рзссмзярккнься как краеше задает казкштажкжой фмэнхя дяя системы ураспмшй Макстеллг. Наиболее естественный подход к решению этих задач - сведение к векторным ыпегродафферезгцкпльным: уравнениям на экране (или на отвзрзтик в экране). С точки зрения современной теории зто гектерлгьге псевдоднффрргнд.тальгвйе уравнения с вырожденным ф^мавьным: глашим сшдволон на многообразии с краем. Изучешю этого класса уравнений было начато уже А. Пуанкаре и продолжалось в 1940-1990 годах в работах Х.Хеила, А.Мзуэ, К.Вестфзля, Я.Н.Фельда, А.Г.Св~штс-;сва, Е.В.Захгрозз. Ю.В.Шшенона н других авторов. С конца 60-х годов стали ак-тштко применяться численные методы (метод моментов, метод Галсрыпга) для решегия: задач дифракции та экранах различной формы, но без достаточного математического обоснозаикя, кстсро» сгсутсвует и в- настоящее время. Развивались аетмтоткчссжжз методы.

К настоящему времени з математической теории дифракции сложилась ситуация, когда для рошеикж векторных задач используется большое количество нркбжжекшгх, численных истодов, язбссткы некоторые аналитические решешет задач дефракцки ка простейших поверхностях, исследованы частные сяучзи (всзсрхносга вралтапгя), в то гретст как общей теории рззрехшшоот! rîosa es Еострагно.

Теорспиеское исследование задач о распространензпг элмстромагшгпкгх воли в регулярных шлноведущт« стругаурзх с неоднородным заполнением и сксвкной rsoMerpieiî эзфИЕнрузящнк поверхностей также зктйнио велось начиная с работ АН.Тзкснсбз., АА-Скдарского 'ксазма 40-?; годов. Л.АЕш"зп11тейном:, Г.В.&кг^-ллсо были продлссхскьг общие схсшг режензет за-

дач возбуждения полых систем, изучены некоторые сзсйспа нерлшлыгш: ваян, распрострихяющкхсм в таких структурах Б работах А-С.Илыщсхсго, Ю.В.Шсстопалова задача о нормальных волнах была сведена к исследованию спектра конечно-мероморфкой игтеграяьной оператср-функцж! специального вида, получены результаты о дискретности спектра нормаяшкх вата. С 50-х годов было предложено несколько численных методов расчета хараюеркешк основной к первых высших птоз саяк для структур различной конфигурации ;

Однако больхшшетво используемых методов не получило до сих пор строгого математического обоснования. Несмотря на большее катзгчество работ, долгое время оставались недоказанными-теоремы о существовать хеггя бы одной точки спектра и о дискретности спектра нормальных волк, необходимые для обосновашщ математической модели. Практически етсутствукя ре-:гультаты о распределении характеристических чисел задачи в комплексной плоскости. Не изучены такие свойства системы еобегоенных и присоедшкж-ных волн, как полнота и базкенолъ, кспатьзусмыс в задачах возбулсдснкя 1; при моделировании неоднородностей в лапщ передачи.

Исследование этого класса задач требует прзшлечешш новых теоретических кетодоз. Дело в том, что задача о нормальных волнах структуры так или' иначе сводится к изучению спицезлъного класса сператор-функщгй. нелинейно зависящих от спектрального параметра, что весьма затрудшпелъно тра-дтшогашасн методам! теории дифракции. В связи с этим оказывается перспективным прю.геиение тсорш! операторных пучков, с помощью которой удается достаточно полю описать оснсшше спехтрмыше свойства дашхой задачи.

Целъ работы состоит в построении теории разярешииосш" (трехмерных) векторных атектоодзщамичеехзк задач на незамкнутых поверхностях. Под.тао-рией разрецшкосш дзш задач днфракшн донимаются результаты, аналогичные классической теорш! потенциала: теоремы о существовали» и едкнетвен-ностя решений красных задач н ураклишй на :,шогсв:ораззш с краем (в подходящих пространствах), теоремы о прсдсгагашосш решешгй краевых задач: в виде векторного потенциала, теоремы о «скачках» предельных значений, тсо-1>емы о гладносш решешп!, принцип предельного поглощения, асимптотика решешгй в окрестности края и углокнх точек поверхности, Для спектральных задач о расцростракешш волн я ваиювгдухцих структурах основными вопросами теории яшакпея; утверждение о дискретности спектра краевой-задачи, теоремы о сутцсстБовгшяг характеристических чисел, сшгечающих собственным волнам волноведугцей структуры,, результаты о распределении харахзе-рпегичееклх чисел в комплексной плоскости, угверждешег о свойствах со-бетрешщх н присоедшгешшх ваян (паднепц базисиоспь).

Общая методика. Ддя изучения задач дифраюии использованы методы: тесрш1 псевдод![фференшгалыгых операторов на млогоо6раз1Ш с краем, действующая в пространствах Соболева сечешпТ векторных расслоении. Методы модифицированы и. развиты для з.сслсдования уравкезио! с вырог-кдетшм главным символом. В спектральных задачах применен вариационный подход построения обобщенных ргшешй и методы теорш несамосопряженных операторов и операторных пучков дяк исследования спектра зада*ь

Яиучг.ая ааеюяа. На завдпу выносятся следующие основные результаты работы: /

1). построена теория разрешимости трехмерных векторных задач дафрзх-

/ * >

шп! зтгекгрсмзгшотшх ваш ка нсззмзснушх псзерхносвк: Езсдено понггпгс ккззкхлзеснческого решения н доказана* теоремы о сущсстпопаши и сдкн-сте~1шост1! кЕмшсласансского решения для рамкатр.'жззсг.'агд гсрзеиях задач;

2). исследование храеикх задач сведено зс исстгдсЕатпэ некоторого класса векторных псетцгодифференщгальких уракпегап; о гагрояяегапнм ппзеш

символом ш *зккоо5разк?1 с граем £2; введены пространства V/ п сечений векторных расслоений над 52 ~л псстроша тсорзся разретшатосга для этого класса уравнений в указанных проотрзнетвгя;

3). исследована гладкость решений пегододзгфферкпряльхшх уравнений к получена асгаштогппса решений в окрестности гладкого края многообразия и в окрестности угловых точек;

4). построст теория распрострзнапот зяектромзткгшых роли для широкого класса волноведущих структур о неоднородным запапнйтгеи и шлачкеи. незамкнутых поверхностей; ;

5). задача на собственные значения ссгдсна к задаче о слекярэ операторного пучха; доказаны теоремы о днскрешостн, сущзстЕазанйи и рзезределе-¡гши спектра пупса, о двукратной полноте по Калдшиу сисгекк соЗспзетпшз: я присоединенных гееторез пучка;

6). доказаны теоремы о полнота и мапсольксстк с1{сте.\дд яолсрских

кс?.агсненг собственных н щшсоеданетдах роли сгруктурм к уетгиогпенз екгзь с двукратной полнотой по Кадданиу системы сс5стБг1ЛЕЯ! л прнссгдн-некных сягзррсз пучка; доказано окухсгзяг в общем случае сгсйста. бозпе-

¡КМПЕ ДЛЯ СПСТеМЫ "СПСр'.Ч^ССС Г'СОГСГСЛ'СГГТ,

я ярегххе&язегя цяя&вца 3 работе предложен п-жга*

подход :•: нсст^с^яяго ггйтгорктгд аляаг-сэпкапксских ездач на. иезмешу-енх пссгерихоотж задзжг дкейргхцки сгодятся :с гзучгшео векгорккх пеегдо-урознзнкй на ннстосфжз: о крася в стгцкглыю гк-бранкшг прозтразияззгг Со-Зслега ссчешгй пгзгернкх рассяоеккй, а гадо-пг о распространении итог и гсяковедущих стр>-яурзз: - к кссягдогггакк) спегара апгрзтадеггего лучка з гтросяразвяззх Ссбогевг. Тпксй подход коявт бтъ знаменем ие тслъхо для ¡шзлзет кгс5аредпгзз.ср15с1ап1 задач, но и в других сбляс-гях (в мсканлк«, з •керш! упругости), где Еезшзсетг енгжжяниз ксгекстк-тоекке модели, пршодашр» к •грехмершя.с ?5кжернгп.£ краегзж ?ада.'гак. Кроив того, пояугсЕккг результаты шгеют гг пргпопгдяол згачяш® при поггрог-язта чисяядгаз: мггодоз ргшенкя кр>та рдд^ (асгаяхютпк

ржгягй з охргсткосгпг х^за и упхоззе; точзге яокртюстн, ктзгг-хей

Ескг спграторшф! урагагккй н ч. д.)

Афсбацяз рс£заы. Результата, нзкехстеиз з ягюсг^яадсз, дохяадаггалиеь яв Всесоюзных кокфергшегпх «Сся^ек'ягетгв гопрссн фтайш и нрнюг.ссш^ [Москва, 1984г.), «Проблемы гшхирайгнтсй гжжзреянхгг СВЧ» (Леяшщвд,. 1984г.), на Всеесаознсм силшзрв «Реигензгв н^рягнж гфгевых задач злек-фодина1дш» (Нозрроажйос, 1986г.), на Всессгоинго сшгшарах «Матскази-г-гетсды резиипке зодач йпекфодзгнжпзза»

(Апунггг, 1983, 1989ГГ.), на '.•гез:!щунзрояныг сенггнзрах «Мг&етайса! МеЙюдз гп ТЬе<яу»-

[Гурзуф/ 1990р.; Алунаа, 1991т.), «Огу о? Ш&гсйш> (Сянхл-ПетхжЗург, 1992г.), иа XX мггкдун^одкей Дзлшавоя'очкой ?квгга«гязигс!с<й шксяо-са-от-зарв (Находаса, 1592г.), г тазгхе на каучнкх ссьппгзрзг гафедрн общей ггатеиа-ф-та ЗМК МГУ под руксгодсхтом сгсяд. В.А.Ипыпга, чя. -корр. РАЛ ;\.В. Бгщадзо, проф. Е.И. Мсисгс-вз, кафедры ?теш.тнкк фвзияеехото фа- .

.г5- V • • .¡". культ эта МГУ под руководством проф, А.Г. Сшцщзосоза, проф. А.С. йлъкн-схого, кафедры матсмаишсскол фшикн ф-та ВМК МГУ лод руководством проф. А.М,Дсшкова,' кафедры дифферекцкалышх уравнений мехашп^о-штс-маипеского ф-та МГУ под руководством чя.-гхерр. РАН В.А-Садоышчего, проф. А.И. Прилспко. кафедры прикладной мажматзааг МЭИ кед руководством проф. Ю.А. Дубшгского, на научном семинаре ф-та ВМК МГУ под ржо водством проф. Б.В.Захарокз, проф. И.К. Лифановз. ,

Публикации. По теме дассертащш опублзкогано .33 работы. ' Структура и об'еы ртв;яы. Диссертация сссхсосг из хшедешш, пята глав, захгаочегаш к списка щтгруемой литературы ¿53 226 нелкгновшпш. Главы разделены на 24 параграфа. Общий сб'ек 312 страезд, включая 2 рисунка и 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введетш обсуждается актуальность текк диссертации, дается оозор результатов по рассматривав юму кругу шпросоЕ, формулируются основные за-дз'дг, даль работы, кратко излагаются содержания- я основные резу^алхт дис-сергащмяшой работы.

3 Главе 1 исследуется юе:-сгсрлзя задача дифракции стороннего ачсктро-шгшпнего пей на плоско,»! ограниченном идеально прешдящем экране < кусочно-гладкой границей.

В п. Г рассматривается квазикласснческая попанокса задачи дифрахщаг Ока отличается сг общепрзшнтой тем, что чт. конкретизируется поведение ре-теша! в окристнсзти ребер угловых точек экрана, а скшнгся. общее услсЕя;

прянсдлеянсста рассеянного пата пространству (в.0) - условие конечное-

тн ангжгик в любом охранзкжгшем сб'еме.

Пусть П с К.2 = {хз = 0} с-К3 - ограниченная область о кусочло-глздко;

границей Г, «оззшщей из конечною Ч5йка проешх дуг ¡аксса С" , сходящихся под углами, охлзршыми от нулевого. Задача дифракизш стороннего мо

нохроматшсскаго глектрс-:.-:агнзт:ого иатя Е° , Н° на бесконечно таш» идеально прозодящеьг охране, расположенном в свободном пространства с ио лкобыь! числом Ь» па к £ 0 (к я 0), состоит в опргдеяешпх рассеянно?© альге троматккшого иогся . ■ . ' .

в,н6са(и3 \5)Пс{^!"\гг)Пс(а!\гг) ,

удсакетзз^якщето едке^одаым уравнениям Мсяяяяла аоШ = .?1Е5 НогЕ^йН, / (1.2)

■ красагш усдатзям для касаяешшх составляющих элеетрзиеского подя н

поверхности экрана - - — ^ _

= ' /

условиям страшненнсспг анергии в любом конечном сб'еме В-йе^Е3) / (1.4)

и усясшгам на бескагкгчнсзш /

Е,К = о(г"1), т. ~ ¡х) о, • 1т 2: >(>, (1.5)

H xbr - Б =o(r"1), Ех sr + H = о(г-1); E,H = o(r"1), r-»°o, (1,6)

rrptï lm к = 0. Здесь сг = у. / jx|, х озкачтгет пстсгсрнсз прснзвсястгс; ry=i{x: ¡x-yj<<5; уег}.

Эдехтром^пвпш^е тюля гарксиикескн ззшиап от spsMeiai (множитель г*1 ot огг/щси, »>0 ~ хрутстая .частота). Для полного ноля Iсолг = Е° + Е, Нтатз = Н° -!- H . Будем предполагать, что ees источники пада-сщего псстя нкодятся пне скрат так, что для некоторого S > О

Е°г 6!С-(о,), Q,:={r: |x-y|<J. у 6q}, (1.7)

сгсуда следует, что

Е°1 бС-(а).

•о 1 . \

Gsp&zxzxss 1.1, Ргшенке Е, H задачи (1.2) - (1.6), удоззлстзорзюхдсс уело-' seo (1.1),'Суде,г нззшетъ sœîsmuiaccïr-îccKin.t.

1.Í, Задача (1.1) - (1.6) при'Ira Ь 2: 0, s 0 имежкв более одного

ïszuemcr.

В п.2 вводятся векторные пространства расггрсдсясний VI -п V/'s в кеггергг: Зудст згзучатьея 1ШТсгродкффсрендаалънсз yp"i:ein;o зш згранс. Дсзгззжтог-яреджшешзг, опкешгнещне сскоеныз снойства зпк црсгтранстз.

Определим пиьберого пространство W = >v(q) как исполнение С^(о) ю норке

Hw = J^MW^I*'ú^fdfi (4) = (í + ef\

со екгляпнык произведет«»:

где û сбозкг.чзгг преобрззкхнкз Фурье ^определения u = (u1,u2)T .

Прсйлззсг:^ Î.2.

W = {ue Н'1/2(п): <ïïv и s H"í/3(d)}.

Определим прсетрзнста W¿ îî Ws ksk подпространства. W с y слепням; W,:= {u s W:V£, ¿ft (ç) + ftû2(£) = C},'.V2:= {u s W: V£ ^(f)- йЗД = 0}. ПргЗ&охссзхг 1.2. Прсетргжоттк» V/ рззязгзэтея s прямую cp-cry замкнутых эртогокальнызс псяярсетрззкзз и ™'2: W ~ V»i G W2. Upsùmoxcœtze 13. Иксют место нгпрзрьозхыс ежекснкя

н1/2(й)с WcH"1/2(ñ) îî сияла; корм

Кроме того,

Нг-Кю да чащ.' ' ...

' 3»3w = H/2 № U6W2- Л "

Прсйлоаса^г L4.

Vv\ с H"1/2(q)- закккугоо (по iiopiío li-i/a ) псдпрогщхшсгзо. W2 с H^ln) - замкнуто© (кэкорлг |-|/2 ) подарсстранстао.

Для цроотрглсззг \Т: = (W (Q ))" , йнгидаайстЕгнкого к W, зе,клм Цре&геяште 1.5.

W'= [f|Q:f ^L.£^.-eH'1/2(R2)|.

Следующие тожекия нецргшпзш

n$2&£ox№¡¡zs LG,' Пространство W разлагается в пряную сумму зашенушх сгтоххзгачкшх кодярсстрснстз: W = V/1 © W2, гдг

W^ífeW: ^l + ik = obv3:=ffe\V: .-£1 я ol.

В 31.3 исалгдуетсй предсхагзжш» пелен в седо векторного потенциала к вглядится осксшо» ияхсхродаффсршщшльнсс уравнение на зхрзне.

Нсибояга есгесхсгкшам и'зффжшгным способом решали задачи (1.1) -(1.6) Езлакся цредяапаенне шлей Е, Н с пштацыо Екхасрнсго шяенцнгла

Е = ü:"l(Gxad ciy^u) + k^u), ' • H = Röt(A1u),' (1.8)

bassap u= (uj,y2)t нксат екпетг елоткссш тска кг яеггртхзезг sspam

Q. • , ■■.'■' ' ' v . • ■■': ; ••'" . : . ;

Будем гредпоетгиь, то '.

ueW(o) и Vüiv-¿eC^Q)..;; ! ' • ' V ' :

Теща (1;7) ззшаванкшно • i . , '

Ebik-^GiadA^divuJ+^Ain);' K SR3\S. - (1.10)

Кешшяны EttKv нецрершзш тянуть до £2 (исиючея кулзх гршицн Г); Прн зхш' слэраций дифференцарскигая н предельного перглодв можно ссущестЁлять пед знаком гапегрола, хскурып следует: пошамать как сингулярный ПО Коли. KpOSiES TOTO,

üm Б„ = T^-cHvu, ' . lim H, = • s,-»±0 * 2k Xj-Oto r ,2

h, следогатаизю,

[Hr]Q = ux(ji c3 s v= (0,0,1), ^ . " - '

-п-

ГД5 СЗЗИС& [.]д СЗШ'12£Х рЗЛХОСЕ» ЕртДСЛЫШХ ЗППЧСНИЙ функции При

х5 -V 40 II з3 —> -0 г течка;: о .

Храсзое усясэдэ (1.3) прнвоогг к :аггс7роетф4«рснцкзльио:лу урзвкешпо для и:

А(сН-и) +-Г А!!=:£; ^ = • (1.11)

(Ы2)

Г = 4/г1Б°г| ; (1.13)

В п.4 V; •. ::г:г рассмиригг!птач лак легвдс-

пггЛфврекшпигикоз ч/ссла-шосяьэ этого -••■.-.-.¿ненгш является то, что глвшвй4 'формально) снмзоя оказпвгсл"; дарохчеипкм, к поэтому изуче-

нию уравнеяшг ет делапгслом прожБгдлкнн двух экземпляров не5:оасрого' пространство хр?/пт неудсаио. Преодолеть з»гу трудность удгегся, рассштрл-ная угеганенкв на •¿м^сгг'.чгпттх-г'сюда прост,йчкгпя V/, ссглассргинол! с юдзрп-никой форной Олргдйляетс!: сбсощгл-

>-07 реидаже г» £ ЧУ ИД урзыкгггст.

й^кгз (1.у.) гмгег "■■яхъ сдксро ряаясш.

Ояр;дат.1м с~ьр.г;ор 1. *га С"(0) ; /згзем фор:-гул » ~таа А( ■-'■'■ • ■) + Ы А» ~

- (Ш)

фср\:у у!. ' ; ""л'. - .• -

торсм Ь:

Ъ (1.15)

''да?/ будт.-* г-тслдтахь реиж^ем

скэтюсх ур?гк-лгг1 ззгг-т дет ггг^-.г-: •* еС^(О) гж&шкзв уирчалЛ.'сн-

:«« ссоттошектл: (-д, V*) — (Г, у).

П.5 пзяггяя дикхрсгзапагс 2 Сдгзъ I- Здесь щхетзскятсяс /т:тагетштшос гаасцегосипе -£ЩО к: лсгсхрогдрппгтсг.:" " ?/2. Этсгг ьеттегс* гг-ллстся ето---гонкм ¡перл скагч;^ о;.гср"хсгг. Г\-оукекпе :1ДО на уУ. л

зшгешвгет, сг^к^з ло.дкего ¡хсг'-'^ ежргпт-ра .-г дс\-ззызается его фредгеяшезеетт» с- к»теаг.-м андзксол: з ~ тсстеяяетвхс ^У-^У/*. Зткгаяшс олос резуяьткгоз гзг-годй'гх далеко гд ралясз дст-згопсмес» зппле юерем о разрешимости уртаеша. Ззглзхс. стр>-;турп ПД>> 5г.^5Гй1 с-чогъ газгкнм ттрк шбере чшотавдвго аижнв* решегз'Я ЦД урагятапк. н пребнкх фузг-'д^гй г.

игтодс .Гад-гели?!?, гртх галгли?^ ^■гяввного етгеджша и т. д.

1.7, Фсг>да (1Л5) лкгжйшгй «тккгрикпшй ОНО-

рзж-рТ : -> V/ го формула 1 (п. г4 - :Гг.-.лТ7! V-,

Телссь (1.1.0 тнаа&ярж?.- ^-язя'

урдп-твзпхй с оперлтет)»!: I,:

L:

У/Л _ |V wj ' 1 w2

Li3 = f, neW, f еСв(5)с W. " . ' v ■ (1Л6)

Ялгсрггггг«;^ 1.2. Оператор T = T (k): W "W jssreaaca фргдгспшоши прик*0; indТ = О.

Утзер&й&ше 1.3. Оператор Т = Т (к): "W W непрерывно обрзиах пр-д Ъгхк 2: 0, kiiO.

Имеет место следующее угзлсоехгпж

г^а-дг^ч-в, о

операторами B^Wj W*. Тсор&'Аа 1.3. Оператор L = L (к): W-* \V* яежвзтся фргдтатьмегьгг.: при к* О н непрерывно обратимым при 1ш к й 0, к* 0, к ind L = 0. '

Сясдаявие 1.1. При Im k S: 0, k-G обобщенное решение ue\V урашенж (1.11) существует п единственно при любой правой част;: f eW (в чмяиссш,

для f с С (о)).

Еще одшш приложением результатов, получезашя в п. 5, является выяснение вопроса о гладкости сообщенных peniemdi при гладких правда чветх в ПД ураннешпг, который рассматривается в я.' б,

Утверждение 1.4, Если в e W решение уравнения (1.11) с гладкой правей

частью f е Ста(а), з® V е€м(п). .

Наиболее интересный для практических пркменекда вопроз - о порядке сккгулярносш решения ПД уравнения в окреапкееш граница и ее угдоед: точек. Основываясь на свсдглзш ебщего вехтссисго ПД ураЕскша: даун

урапясшсш гида (1-д)и,/2 и — f, и-пепаиьзуа результат о ргашжк tss»k

уравнений в вешшк классах Собазсва, усюхгглзЕгехой еашггааа acpssa гашгулярнесяк'решения в охрсстаогш гладкого крег is ухлозшк тсчезс граница в векторной задаче..

Подведем итог иоеябдокшшо разрешимости задами дафдаэдик да иш>

кои экране Q.

Геареяза 1.4. Задача <1.1)-<1.б) при имеет едккехЕ-еккое р>

шенае при любнх Е°,Н6, удезкетьорякящззе уелсвжо (1,7). -

CscSctnesa 1.2. JhoEce решение задачи (1.1)-(1.б) при 1гл k ^ 0,к 0 нред-ставико с виде векторного «хнэдгаяа. (1.8) с фугшгкей и, удендивзрязовте:"! усясеакм (1.9).

В Главу 2 исследуется векторная задача, дифрехции стороннего злисгро-шгакшог© поля на системе ограниченных ккеальао проводящих эзсрснсо Пр01ЙЕ<ЙьН0Й фор.-.CU Q. •

В ii.l определятся мнагссЗразкс с красы £2 (на кагорсм будет рассматриваться задача) как нодашогообразие М. Вводятся прсетршстЕз. W и W сечений векторных рассдовнии над Q > в которых будет изучаться шяегродаффе-ренхкадкhos уравнение кз Q . С покещъю анализа в лекгэшшя хоордшшах доказшазспся пр«ддож«нка, отмывающие оснсшн© свойства этих про-сгрзшхв. Наиболее важное свойство - разложение пространств W к W" з яря-

«уэт српу лодарострзнста Щ и \У2, и, соояжзетЕсши^ \У* л V/2. Это ргэло-хкгае необходимо дла диагонального рэсздешгсшш «шшшй части» ПДО,

гсзголгшзщсс ксетсдоззтъ кто сзсйстгз.

Пусть М - замкнутая сзязкйя срко-хгкЕОЕЗнная погсрихость в Р».3 клас-са

(ззмкнутгя псгссшгсгть - это дауг.?ернсо кочягахгаое гжетообразкз бгз ^лг). Пусгъ О с М - погтгногсоЗраззгс о крась: ?.Егогоо5ргз:ст М, не оЗлза-;злъно связнсо, с конечным »агатом хсмлонект сзззкосги,. каждая из ютерых шсет размерность два. Предпслзгасм, что'край Г;=£П - гладккя кривая без хг-гск сзмсаерсссчсшк класса С".

Определим гкльберог» прзлранета? V/ = \У (й) как пополнение С"(0) го норме

К-Щя+РН!* . '

со схалзрнкм 1грсеш5дсяхем

=(п,у).1/2 + ч)т.ф. ' .

Цре&вгггкаг 2,2. Пространство V/ разлагается в щямую сумму ззмкнусяс £ояпространста У/| и \У2: 5

Т/ - ^ ©

гдр := {и е <£г и = 0}, Щ

:= {и е Т/:го1 „ и = 0},

2.2»

^ - {и в Й-^(5):й1т и

й&аясх место квпрергак?» ягсстапщя

л сщянхи кери • ' 1

Крдагс того,

Нту" М-1Д для а 6 У/л; .

=114/2 Й ^ да пб?/2.

Ддя проетракстез ^ (О))', ¡шЕэдзойетяянего к ^У, имеем

Пре&скжетяг- 2.4.

{с 5 еН"1'2(М)|; Н1/2(о) с \У'сН'1/2(й).

Ерс&шзхаахг 2.5. Пространства \У -разлагается з прямую сут.и^у гямккугях. гадпрострзнсга У/'= V/1 © \УХ, где ■ '

\У1 = {£ е\У:<!нг£ = 0}, = е\У*:пй„£ = 0}.

В п.2 ргхекгфшзгэтея пргдстЕпгееккв по-тей Е» Н в виде вгкгернего потентата и ггвхдатя сснолесз и^гегродифф^гнхсилык» уравнение на О. До-сазывэгогся утвзр::ке:ш2, являющиеся «Егжторши.и аналога» нзсестенм те-?ремзм о свойсгвхл пстандкглоз простого н двойного слоя. На основе ус-шшвпнЕастса тасрг:?2 едшгспсгкнсстн дял рсихеикй уроженка на П .

■ r.-5's - : • !

Решение Е, Н задачи (1.1) - (1.6)'.слова будем казнЕ2& К2яззихласс1г1ссх11м(1> (Li) вместо R+ и R. слсдует дсдсташт. М f и М.т сссг-бстспинно внешность и внутренность М). Ренгснзк гацем в вздз Рскмрлого потсиагиала

Е = Ifc-^Grad DiviA^J + k^n), (2J)

И = Ноф^и), (2.2)

A1-a=i-f^lin(y)ds, хеК3\а - (2.3) .

4ягЬ Iх->"!

Здесь и (у) - касательное векторксг- поде, заданное на Q; к (y)-v(y) = 0 юга всех у е Q, где »(у) - единичный гезаор нерьгали к Q в точке у. Фкккгсзагй смысл а - плотность. поверхностного тоз;а на Q.

Будем предполагать, что и удо'-тзтг-ернгг усъсшгсл

ueW(fi), , (2.4)

и, civ и е С1 (£2). , (2.5)

Если у удовдгггьаряет услоти^: (2.4), (2.5), ю (2.1) зизжеяапьк»

Е = Й;-1 (Grad Aj (civ и) + k2 Aj-u), %. e R3 \ Q. ' (2.6)

Составляющий иски Er>H,, кеврерзлгны s "Scvxtc q (иослкукя точки края Г ). Краевое усясвдв (1.3) привода х 1спс^дафьгрскц;и5льг£с^ урэгзкаггсз для г.:

smdtA(divu)-4-i2ArB = f; seQ,- ' (2.7)

Atu:=(Aa)r,. ' (2-S)

f = 4fflkE®j ; >бС"(й). (2.$)

Гкг^йид 2.1. Урагпежо (2.7) щ.хсет ка Scsii сййсел ргш&озг, ющ-ro усяоккш (2.4), (2.5).

В п.3 шгхехродзхфферешегшылос, урстамей ssaeecs х

дедаффершщш&ному уравнении па «нггосЕреааг £2. Хзвдззгксй -о-лезн^й. частью сошзеюгхзующег© оаяреща в дохзшззэс

координатах. Затек с вса&ездкэ i^Cftcypii йсхксйи» ДДО, &trsx?4ija-

щкйся от исходного оператора ш спгрггор о бгехшечна гяад&а* ядром. . ■ Изучается оператор, левей «икшо формулы (2.7):

Lxs:=gradrA(diyB)-i.kJ/i^; - / - (2.10)

(2,7) kcsho ргсаетрзйяь кат: зскторнс-е дсгг;додаафгрйНц?алы-1ое ypas-

ЦЙПВ

La = f, ueW, _f6C*(5)c\V\ ■'' (2.11)

При этой ргзекстю s (2.21) заспкмаехся з <s,tucr.& рзспрйдеясний. СвреЭеле&м 2.1. З&лемзиг u eW будем нйзшазь сЗо5щйшзшм решением

драшезшя (2.7), есшг дая якг&дх veC~{G) гшаянквзс« ^кацконное ооот-

KCÚrszsrs . ■ i ' ,

-(â(c1v h), diy v)-¡- t2(At3,y) = (î»v). (2.12)

Цсгордаьзши з Dises 2 является п.4, где нрс-гпгодагея зздвягешю глглнсй части ПДО 'A es даггсиалшов рзадспяезв» на лолпросгрансгсах W¡ н W2. Это позволяет доказать фр5Дгс.тъмс*«оть ПДО с нулевым индексом при к* 0 в ярсстрвисвах W V/'. Огмелш, что вешний симссп ПДО снова оказывается ферхсглыю аирозвдегагкм к только за cist «неснммстртясй» структуры пространства W удается доказать пепвирквяую обратимся^ главной часта ПДО при ЬО.

Запишем (2.11) з вида

Lu = Ltu+ k2L2u, (2.13)

гдг Lfü:= 5юйгЛ(сН'.' у), L2u: = Л

я рассмотрим дейсшке операторов я L2 на.яодпроетранешк и W2.

В саг/ Предложен:тй 2. i, 2.5 для оператора Lt гткеет s.íeero катрзгшее разло-

"'JSiZZS

V4

w2

Ls =

o <n fw^ o ¿J ' (v/J

где Lj : Wj —> W2 - отрапэтешшй огкрстср. Для спсрясра Lj".

7/Г 7-'2

(3.14)

-fe Ш5)

(2.15)

где Ьд: Wj .- огртЕкенкк» cnsgssepH.

Дохазагз.ется шзрчио: предсксяекг:» еже L з ища

L - L1 + I? ■■

М?

il

(15

I# ^п

U3^

(2.16)

сператсу L1 rsapsprraio с€~пям прт яргрышо císp:

L (k):W W якягася фрздгеяькопым ври

тгссштьку osipsïop®t Lp, lip кеяргрыпко cSpsasiö га. нрзпрзотраксзЕзя.

2JL Оператор L k * 0 :i ind L (k) ~ 0.

Jï»?ç»srJsbsb 2.1. Ecmi a g W санмяо jjwmststü (2.11) с гладкой правой

'тгепьа f с С°{й), то u е C*°(D),

Tifopexg 2J. При In: käO, k ¿ 0 оператор L (k): W V/' пепргрыото обратить

TtAfiOua 2.4. Задача (1.1) - (1.6) np:i bnJc г ОД * Э имеет едиякшеннос ре-

шкеге ариляэбкх В®,Н° » удсетеп^таацяя: усксзшо (1.7)

В п.5 изучается зависимость решений ЯД урззичния к исходной задачи дафракшш ст параметра i. Доказнгаека сорзЕвдаяяосЕ» щгаппшз предельною леглдац-ггнш. Устаняетигчегся дкехрязгсеть мкоггссхва частот рассеяния - задачи дкфрнхции, легшцкх з raisHsä яетуппоссссвг хомллгзсснол плоскости тшреп'гтра к.

4ТГ

Йорике 2.5. Пусш.к0 *0.iniкс ~ 0;1юк > 0. Тогда, если —}-1'(к0) лрк

к -+ к0, то к к9, где и (к) н V (к<,) решегаш уропкняй (2.И)

при к к ко, соответственно.

ъг

Гбарглм 2.5. Пусть кс # 0,1пг1:о = ОДтк > 0. Тогда, если 1(1) -*Г(к0) при к к'0, то Б(к) Е(к0), Н(к)^Н(к0) б Ь^Дк.3) при к-+к,, где Б (к),Н(к)

и Б <кс), Н (кс) рец.сшсг задачи (1.1) - (1.6) при к к кс, соответственно,

В Глеес 3 ргссьгатропгоктюя тр;-: злехтродзщакнчеекзж задачи о сгззх через оггвгрстиг О полупространства с полулрсстршспюм, слоем к палубгско-нечныг.г щ&шоугалгаым: цгглзмдрам. Во всея задачах атезггродзгаамзмеекке на-ргы-зтрн е рззныя областях могут быть реэгокнк. Задачи являются трехмерными I; вгетсрними, к, б ойщем случае, не смдгпсс к скалярным.

Б п. I Ергдспклснк фушецт: Гркна трел каношгчеекзк областей: колу-прссгрснсхпз, скея, л атуЗеело:.сг-п;ог-о прямоугольного цилшщра. Наделяете.* езобенкода. функций: Грщз, ксследуслсл 2л: закиенмость от параметра к. Следует оздепяь, та сссокшосп. ездсяястся полностью в замкнутой области (бхлхиея гранщу), п зла ссоЗмгесстъ различна для разных областей. Предлагается праггпгчесшй: елгетпгп.: ендслипж особенности длл следов фуюлей Гршс.

В е.2 изучаетсе оггеткса кпхграднффзрегщдальког уравнение ш. О , к 1кгарс:«у лрлсдатгл есо задачи дкфргирш, рассг-опргшгзмие б этой шкгз. -■ . Пусть,, - к^кг.Ах,^ ко^пглзгхнцй числа такие, чта к 0,к] & 0,1тщ £ 0»Ег^ > 0;] -1,2. Пуст Ос II2 - ойтссть к» длоксог-ъгс кусо^гэ-глзд^сй грзкздиг Г."= ¿>0 , е-остскщсл зз коясчзшгс >©\алз щ>о-сшл дуг- класса с""3 , скодещйзкя нед угсаа, ошкчньши от нулевого. Рассмотрят зшхетроздффгрсаацвдинсг урсЕНХлге кг. О :

2

= ^ х е О; (3.1)

1-1

где л = (х1,л2), и=(1:1,и2)Т е\у(5),

(3.2)

(В;и)(х):=]ъДх1у>г(у)д>-, ..(33)

о ' '

а Бгкгор-фуккцня Г и фунгедшг-ттркцы удовлетворяют условиям

ЪД:£,у) ёс°(йха), £(х)еСГ(5). (3;4)

Урашенне (3.1) екалопгшго урашешпо (1.11), подробно исследованному в п.4-б Гласи; I. Запашек уравнение (3.1) квк псевдодкфферащкальнок

M

' К) - (5)

jc(:",y)u(y)cy = î(:î), xeS3, (3.5) J«i a

îsmt 3 cmspaTojjHor.ï r

Sa — 1л + Bu = î. (3.6)

Здесь - Ъ (s, y):= b^x.yj + thfc.y). Оператор S rnnciir.Tp:azsrxn s npo-стрззилхях S: W -> W. Для а ствола, ;:?.tcc?i иредсгаллсзше:

= bnkjiO.

Для опсрзтсэт L гияучасм разложение на псщтрострзкспих

. Х^^М'1^ О

\

с компактными операторами К j ; \Vj -» WJ (j = 1,2).

Taçeao 3.3. Earn + Pj'kj - 0, juJ1 + ¡4 0, то оператор S: W W" .фёгдгслшсз и isid S = G.

j-'itsiyri&siss 3.1. Ecat u 6 V/ peine:?!» ураянснзет (3.1) с гладкой вразсн

.¡¡сС*°(п), то "etr(a).

Дохатшпется c.rsio крссгоз пргдлссхгнмг, ^каксп^гз-сз crr.rirerc.îcc-nx psins-ий урзшшии (3.1) о? каеамяргз kj.kj . Пусть - физссярокаш,

5=8(!с,Д2), I = г(Ь ,!:•»). Пусть Щ- .тзчха. на тавхсеткяшоГ! оси,

ЬаЦ = 0» Qj = - Ь|| го}- :хауеф8яюояь точи: kj 0=1. 2).

ystcqusèzaœ 3J. Евш ' {(^¿^^»{(¿¿.kg)» •' «ое^етср^дпащяя S(kj,kî):Wîïœpsptusîs.нокор.»в Qi~<b» асаярагор s(kj,k|) nsnps-

ry ,

ртгао сбрзпш, 10 при il -> -» , где c(klfi2) я

a(hj,k?)- psmema дошгвяй (ЗЛ) при , и îcf.fcj , соотвгяствито:

Irak? = 0, fo&j >0, kj sOj (j = !»2).

• В я.3 рассматривается задача дяфрззасся ез cscspsrcst Q з плоском идеально проводящем зхрдз». Решгияю щкдегзгяжгсг a езде векторного потенциала. Доказывгзогкях тгегеиы о единственности ргпгения задачи, а затем - об однозначной разрешимости юггегродггффгрешппяышго урашешот на Q и за-дечк дифракции в целом. УсинакиБгется спроЕгдливосгь щмндкпа предельного поглощения. .

В п.4 по щхалегачнол сссмс рассматривается задача дифрзкщеп на частично экранированной c;îcî. Б слос зкпользузстся уетсевкя Всснсра-СЕгылггжсва баезеокечноеш. Доказкзотся теергма о едшкяЕяшоггя решения задачи дифртзпхин. Теорем сб. однозначной разреит. ¡кости уравнения га D й задачи

• ■' - - ■

дафрахцш* с дел®*, и таксс прязщш Ергдслжого пстлоэдеавя, успкяжйж-IOTCK дг«я тех значений парамсяроз, пра которых боомохжо построение ссот-ют\ЛБуккцей фушатк Грше для слоя.

• В я.5 изучается зздз® дсфрахцж кг диафрагм» Q г saiySecxos*s«sao;?.s Ертм^тсйьгкад ватиоводе. Оснсжоо оотгше стой зздачп oí задачи, рассмотренной з к. 4, costeen к sea:, что гфзмснтотса ухх ьшркчкыо функцию Грана» е.такйЗ жзатаугсАз: друх-.- устозег кз бесконечности в валнокютсй области. В осягсдшом до.^атслъгла теорем и результата повгорлж р:-зультскн для зсда"-: кз кгспхдухцкх; параграфе::.

В Глзьг 4 pacœ isspKsswcs: (ззгагсгззая) задача о распрссарзиеетэ» эпялро-ьваяишык еж: б голз:сдздуздгг структурах s лсоднородша-- зглоянгаксн к наличием кмажккущя поверхностей (пластин) в структуре.

Б 3K.Î pacc.\nTp;sreic;i постановка задачи. Описквасгся юися ватновсду-вдзс czpyœjp г;, фзрдгр-гртясг "дс-гг о е<еойяэшх eccqek дтаг однородной сл'стсяШ уравнешй Мексбиж. Зтг задач? сводзясг г. краевой задаче re:

дсотию: ксадакгея.- агхсгрзг;_____лзшгэ нал™. в хгроэтранжяя Соболев?.. Нгсд-

нороднггг-; детххггг.г^геко-о ¡rríusarass», полотне острая «peösp» к пзосад«-SB акюрсльзюго шрамирк узастязг соярг;::-7-а£я лргсодах й та дгаь опзодзлен-та решила зздачк. Для оиредгяаюзя рвшвюи-

Ешсвгьзуегсг: Бзркацикшиг фсгх'^^рожа задсчи.

Пусть Q с R2 ~ {:¿s = 0} cipabFîOHHss сбтасть ив. amoss: Ох^г ® spß-гшцек ¿?Q . Пусгь I с Q- простая замкнутая lass незамкнутая гсршгя без точе?: оалйоаврсссчета; класса- С'** » рийиггющая Q яг дег ойяаета Oj к П2; Q -- Qj 5J ßi ^ • Ecjcz 1- EEsa^syras кршгг, то зредрешеш, =яо кс-яцкз^о тоакк <?î не ссзшдасе к прсздасетх âQâic âQ . Будс-к таххэ врвязс»*-стгхь, «го гргишгг сЗстсгей Q, Qi5ß2 sserœec sc.-

Ь22цушмй гусо-ао-взд:зйк ïvOESSSÎ, ссскжщзш ИЗ КО;-:СЧПОТО чяглг дрт-

класса скодяпаксй: под умгакк, овпмннмц ог нуисЕого.

Пусть Pi к I upcäÄXfflbiiK.5 2K точек (Pj ^ Pj), р-азвгшаюигж Ï ш дза

Г и Гачсс» чго Г - i\Г1, Г'~1\Т, FUT'liPj =1(Г'ПГ--0). N^Ü, ao sœars«£i Г=4г Пуаа, дьяьл Q = £í¿ U Q¿ ЦГ, re = ¡"Qllr' .

Грагллг. 3D, сЗлгсш О г; оС:-дв?.г еодорсти углоныо окулсх с хяут-

ржкзааг yisrec: 0<ай2.с. Упгету» точгу газ: чвсто «peï-

. рСй£>.

Boeîcbqi.; saicsüiJH. m'f>-'-£ с^щгрсдашглг жкяряшзшг с-

ôniœsircTKis?: дгжгиг^/^гагхй ироначас-косзка в c&seffî

Qj-sí'j Й l,ím - 0„г.',- = 1 (j = 1,2). Гс - Ееоякцш Btss^soïccre адвал^о ароа-о-дадак, бевсонсчио ховгак s::p3xcr:, Г - ззрогкцкя вовзршосгаг «жркозалл!"

язш ®î3KvKipan:c3.

Геочетрая раоськярЕзаекой ыс-дкга: охзашзия вое тайн к^аггарекзядг;;

тххтавощщвх езгрутггур, Естгшьзуетшх œ пржвзее: от кру^тых л lïps.ioyrtEiîïbTi: часпс^го ззхгалнаннет ссявожягсв до щеэавш, ншоскогш: в KCbàraaEapïiES 'лквз± церкаглз:.

Ноцглалазж каша ьошюесдуе^сй о^рут-яурьг оарсяишстся как недрхс::-еяшне решения одаюродней сшшг утазаишй Максвелла с' оэгасголсста^

е.-ф(1;к3) сп хоордзпЕЛи, глояь которой спсухзура ряуяярю; у- ксмалехсзгиЯ спехзраяьиый параметр - нормированная на гелиевое число свободного про-стрслстьа. постеган гая распространения собственной кзпш лзпнет пергд^ги :*лн голнкюда. Задача отыскания нормальных волн стругаурк прпзодкт х ксялитгасй храетгсй задаче на собственные значения дли продагаашх хс.~~о-нент зл«строматзпггного поля И и у : нлГгхи такие / с С , когорпх существуют нетрннпльные решения уравнений Гезаасгсльца

ДП + Рп = О, Х = (К!,Л2) бЦиО!, (4.1)

Дг + ^ V = о, £а = к? = ^ - ■/, ' (4.2) удсаясгаорядяцне хракга» усясззго.1 на Г0 П|=0.

ЪЧ Й1|г<5 = О,

(4.3)

(4.4)

О, у

1 ¿?П1

.к1 3*]?

I д.Л 1 ""I =0

условиям сопряжения на Г [п]г-о, Нг = о,

н усдоптпо ограниченнее®! снгрпсс э Я :

П.г/еНЧс).

Здесь п- орт глежнгй нермзлн ко., г- язеетеяыазй ерт, щянен х, хх2 = гхл ., Е&згртпнг скобки [£]Г = £2)г-^)„ еззп^ггег ркг.гость еяздез

на Г з сЗягсгяг л . Усюгав (4.4)" дсаптно ЕияаяйЖЕвя в сбгих г.таси Р.

Будем искать решения II н ^ задача (4.1) - (4.7) в врссгрзгйззная Сс5сяв-ез соответственно

(4.5)

(4.6)

(4.7)

Н10(а)={£:£сН,(а),Г|_ =о},

й^а) =

Дзд;ол другую ожпяззлетпиб вгрнацнаннугэ фррмулнрсису задачи (4.1) -(4.7) ;

Охреё&сеже 4Л. Перу. функций

п-нЦо), гейЧа)

будем называть собсгакшшг гектсрои задачи (4.1) -.(4.7), оетшзщгм

карсетгркстгсескому чагяу (ж. ч.). , если прн 7= 7о аьшавиено вгриацн-очкег ессгскохценнз

для лкйых и еН*(п),у еЙЧФ)-

В п.2 задача о нормальных волках сводится к зквигалезгшой звдгчс о спектре операторного пучка 4-го порядка. Вариационное соотношение (4.8)

определяет а пространство Н = Н* (а) хН'ф) операторной пучок

Цу) = Г4К + г*(А: - + С2)К)4 - £1 )5+ - А2):Н Н,

хзрактернсткчесхкс числз и собственные векторы которого совпадают с харгхтернстческкми числами к собственным» веггторалгн задачи (4.1) - (4.7) Все операторы пучка ограничены.

Укасрлх^х^^О^^срггсры А,,А2 патапггатыю ссзргделыгы: I й й х^Г ¿А2 ¿1,

где Сщ^ = П12х(г1,с2) , I - «дишяшй сххсрохгр в- Н. Кязгрггйакгг 4.2. Оператор 8 сажжспрязгек, &= п

2 2

Утзгрхсдеахг 4.3. Оператор К > 0 компактный. Для его собственны;; чисел верха асимптотика

■ Да(К) = о(п-1). а-»«.

В п.З исследуются свойства спектра пучка Ь (у).

Свойства спектра пучка Ь (у) опкйлаюгея слсдуюздап: теоремами.

Тсоракз СЛ. Спектр пучка. Ь (у) лезшг в полосе

Щ = {y:\Rz 1},а(Ь) с П[ для некоторого !> 0.

Тезрегаз 4.2. Спекго пучка. Ь {■/) иашетрпчен относительно дсйсгыгт ней п ггнпмой ог::

Тсзряхз 43. Пусть ¿'=}<г!_- ег\11,

В облгехк С \ спаор' Еуза слЪ) сссхохг из изсикраванното шгазгсссх: х. ч. конечной алгебракчпей грозности: Точки п - ±1/^(1= ¿>2) еивются точками Еыраждеапш пучка Ь ('/)'. йшгКег ь(^) = о .

■. На практике обычно ннтсресукягя ЕощгстЕеннымн хпк чисто кнкиымн течками спектра с(Ь), которые физически соаткгплтг>чат расдхроотргкизоира;-ся и затухающим кзяинм. Однако известно, что могут существовать, к "комплексные" водны, при г« е о(Ь), у'е ■ уа * 0 (гс = уа + 1Г„), поэтому в общем случае .в Теореме 4.1 полосу Щ польза заменить множество?,-: П0 = {у- ЕлуЫу = 0}.

иКо»шлекскыс" шлшх возникают "четверками", как следует из Теоремы ' 4.2. Прт сдаюрсщшас ззлсяноще: киаоеода. (г, = .г2) "коыплжеиые" вшша

отсутствуют. •

Из Теорема 4.3 не следует, что такл снсхтра (за исключением п = ) дейетшггелыю существуют. Доказательство существования счетного .\шсег.естга >:.<:. с точкой накопления в бесконечности для пучка L (?') опирается на технику оценки резольвенты пучхя к лриш;шх Фраглена-Лннделсфз.

Тесрема 4.4. В области С \1П спектр пучка L ( /) яредсталляет собой бесконечное (счетное) изолированное множество я. ч. конечной алгебраической кратности с тс кой накопления s бескснсшости.

В тт.4 рассмзтр;шз!спс!1 вопросы пелнеш системы собстЕешгых н присоединенных векторов пупса L (г)- Доказываются три теоремы. В первой ю них никахзк ограничений на параметры задачи не накладывается, но устанавливается двукратная полнота по Келдышу лишь с хонсаядм дефектом; ео второй и третьей - доказывается двукратная полнота собственных и присоединенных Гекторов пучка L (у) в Н х Н, но предполагается, что либо параметр <5 достаточно мал, либо выполняхггея услопия (4.10)-(4,U).

Тес-рема 4.5. Сггстегп ггбстсегапгх к присоединенных векторсп пучка L

етвечзюйре: характеристическим числам из гаюжсства ^ й О

цре^зголы-гое кегуг;;:::слте.-:-ло5 число, двукратно полня по Кслдншу с конеч-нгсг дефектом з К к Н.

Тесрсяш 4.6. Пусть фиксировано ггрсзпвслъног число i > 1 я область £2 . Тогда нгйдется пкое Л = что при лхсОнл ¿j 21, q s J, для которых

jq - < Л, огсгем! zesz ссбгнхкшп :i лртссждлскентп гектсрсз пучка

L(y), опжчгхяцях хзрюгсрижч&сгс.! «шгязм Y± * ifii > i — 1.2 дтухрявго полка з й^ H. - '

В точках j'-j = i^fii нарушается окгзегалмтгеегь перехода от систслхг уравнений Максвелла к задаче для операторного пучзса Ц >■}, поэтому зги точки исключаются га рассмотрения в теоремах 4.6, 4.7 (и иогуг быть исключены шборсм л з теореме 4.5) ■ •

____С::стс;.;а-сг-нг~.-гтусса Цу), стае?ЕККцйЖ х. ч. ./V ч

даухраета налпа в ест

(4-Ю)'

н Jffjnp +|И2)йт. si|Г]Ш|2+1!уИ2К v (n,i/)T еН. (4.11)

a ^Q^ е J

Глпва S хкхгзацека ?г//чипсо ссо&пв слстегш ccSoksiaim и присоеди-ненках г-атк ваиюпедулзгс структур, етисанлнх в Глзео 4. Зто свойства петь :zxmi, базиснссяи, а та:ссе соотношения ортогональности для снстемы ■ собственных я в?ясс?динешшх вошь Эгшет свойсгвзмн интересуются главным образом яри ■г.ешеншг задач .возбуждения вшнегедущей структуры каким-либо «сзэзшасом, пссхкшсу практически все схемы решения таких задач используют ucpc4!i<v*e5~r:.''e ессйспа.

В п. 1 „тгсгсгс определение собственных и присоединенных волн структуры с псиощыо o-.--"cnisннкк и прксогдингкных вехтороз яуоа Цу) . Показывайся, 'JTO ггкоз спределезпгс гкхашлгапко обычному определению, которое дается на егкегге решеши езгеягемы урзвггеннн Макс^еллз. Ценность нашего

- 1Й~

озрадалгжсз; закгастаетсs s тж.г, что coSctbshkeis и присоединенный Есгнп.-строзтсг только с пахощно прододы-ьк компонент n¡,,pP , что псоволлэт с К^лльнейнгем с^рзжгажж 5-зуч:гш;й.: пуще?. Ц)')-

В 3.2 дшспзыззися ожогная теорема этой гтахы о полноте сксташг еопо-

psse-шл ксг.сажяп' сс5<лесн2Шл к присоединенных волн в Lj(£î). Кшйажо uasîeai ekeïsxcs таг фаэт, чю îimshho дзукракшк полнота (но Келдышу) система* ссбспмшгж i: гплгсогдш-хсньк гектаров пучка Цу) в Н*Н слечет

пшшшу (в сбычкаи sanacac)" сксхсмы поиеречнах ксйлслялт s î4(q). Этг тссрааэ позьолгег щиспинть достаточные признаки дхг/кратной поинсзы moa с. п. б. нучха LCf)t установленные в Главе 4, для анализа вопроса о поя-ïîcts екстсьпг псЕггречнкх sccicsxrcsn; сезгзэгнньк и прксоздямеинхя: гхшн.

O3o£sr»«asî через Lj(Q) дгщгсезо пронзгедгккв четырех зкзйшпяроз

цроетрзкггж L2(Q). Пусть т^агз - коперг'жн« ксетто-

нетшг соЗспашвк х^хоздзгеккш: ваян, сшгсзсгцгг; х. «х. ;

гдй. Черзз A сЗознзчкк кксежсп» пццезееоз, кстарсо пробегает я, sie А.

Счшгед что роэзлаыз ccSczbskhko гяеторк к&яяот рззкыз юзкхск л, поэтому допускветса случай г„ = црн к * m .

. Tcqzsœ S.I. Еусхь q * ßj . Нет- сксксна. с. п. е. {рИ} (р=0,!Д,„., шв) щчха L (у), овзвдягцзз г;, «г. уа,аеА, даугЕкжо пекла в НхН, та скегж-

s А, а-0,1,...,гнй usse в Lj(ß) .

В E.S уегшггзггзазгея ссошсгниага сргагсазяшссш jz¡S ÏÎO-

Еьрг-шня хемпскетт ccScsssrass н'лрксожкнсшчкя ЕСЯК.

Пусть xe3;c3 xE(¿)T , - шигрявк» :

СО-

бстБгнксй (р^О) вш пргкогдашягаей (р i 1) боягак ir, coczssxcxssmxe, «ео-np»DîXKîïûîb еолкы, ссетЕкзедсй л. ч, уа . Сксблгьш: <.,.> обозначено cscsRsp-Hos лро:гзеодг.ш:а б Ь'^(п) .

Дсссазгпз&геа: елг&ухгцзя егкогпгзл фзтзлула

где « ОД/^ и 0 щп р < 0, q <0.

Дсксзанннс ОЕОЙста сртотонэльнсста псхпхяелох посгосзпь блоргото-

HSâlûiyiô GîerrSÂîy Б Ь^П) К СНСГЗКЗ подсргаинл зссиеоз'СЛТ гсбсГгЗЗНЗгНХ II

присоединенных волн. '

Tecfzxs Х2. Пусть ñ ^ с2 » егхтамг с. п, к. {p^j (р== 0,1,...,пг_) пула;

L(f), ссзчшжадз к. чг. , двузератко псел-п б НхН. Тогда aviviez

sfaop-^ynssjàl {v^j, и e A. p = 0,I.....rae nQ"B я мшюдтап л я

ущесетуer единственная бнортагональтя к ней система.

D п.4 ртссятривастсл вопрос о бззиснсстн ст^с^мы поперечных компонент собственных ir лриссгдшгенкых воли crpyxrypu. Следующая тг-срега по-

азывасх отеутсюте, в общем случае, гесйстгя. £?зпспосгЛ системы {v^j »'v""

сашин» круп; задач.

Zbspema .О. Пусть * , спектр пучзса Ь(?) содсргсгг бесхенечное >я:о-

scecTEo изолированных х. ч. кратности l.n. g А и <о при п га. Тогда

игсггма ¿хккгр-функцжс {vj^} > построенная по системе с. л. в.

(р—0,1,...,шо) пуоса L (/), отвечающих х. ч. ya,!ieA,Âc А, не яв-

кстся базисом в L^(q) .

В Заключении сформулированы основные результаты, выносимые на са-щпу.

Основные результат дкссери^цт^п спу" з г! г * ^r.v.

1. Смнргов Ю.Г. О пстноте ercroai собстаешпл: н присоединенных эсаш цглевай линии передачи. - Дел. в ВИНИТИ, 19S6, N-4027-BS6, 13с.

2. Илыпгсхий АС., Синрнсч Ю.Г. Исследование математических моделей яосрсчгатосхоБЬЗх линий.//В кн.:Метод1х мятстга-ппеспсго ксдстшротнип, ан-гома-птащи обработки 1шблюдешш и: их прткгнешк. М.: Издво МГУ, 1986, Ï.175-Î93.

3. Cî-етрнсз Ю.Г. О полнота системы собственных и присоединенных волн аспгчно заподнешгого кшнозода с нерегулщяюй гралндей.//ДАН СССР, L9S7, т.297, N-4, с.829-832.

4. Смирнов Ю.Г. Метод расчета постоянных распространения к еттухзшгя целевой лшпп! передачк.//В кн.: Математическое ît программное сбеспече-•ше библиотеки прихладшгх программ ло злекзроднна?,п*хе. М.: Изд-во МГУ, L9S7, c31-2S. ____________ __-

— 5т~Ильгавнй АС:, Смирнов Ю.Г. Мзтятатнческое мояе.тчроганме процесса распросяранегаш злегзремзгнкхнш: колссезош в щелевой линии пере-зачи. //Жури, кычнат. митсм. н j-istoî. фшня;, 1937, т. 27, N-2, с-252-261.

6. Ильннсккй AC., О.згрпсз Ю.Г. Вариационный ютод в задаче о со-зстЕешшк волнах чассгзго заполненного еояноеодз с нерегулярной гргнп-аей.//3 хи.: Численные метода: решения обратных задач маггекзпгчссхой tfni-S'oai. M.: Изд-во МГУ, iSSS, с. 127-137.

7. Ильинский АС., Смирнов Ю.Г. Чнспишсс модеяирозЕНке щелевых виват передачи.//В хк.: Актуальные вопросы прикладкой ».атематгеаг. M.': Изд. -во МГУ, 1939, с.127-133.

8*. Ильинский АС., Смирнов Ю.Г. Численное моделирование щеяеных гпепш передачи, образоЕгкных Еогакжадаки различного поперечного сечс-кня.// Рвддгокзшиха и эяектроннха, 1SS9, т.34, N-5, C.SG8-916.

9. Скнрноз Ю.Г. Анализ матслсетисских моделей щелегзых к начосхсных гшний передачи с дроЕодннхсгл upcsïSBaTbSïcst Йхетла.//Раянстезк1ка к атек-гртЕка, 1990, т.35, N-6, с.1333-1335.

- , "-21 ' 1 ■

1 10.-Смирнов-Ю.Г. ITpiaiSiiejuro метода операторных пучков в задаче о со бствекигк ватагах частично заюикшого волноаэда.//ДАН СССР, 1990 т.312, N-3, с.597-599< "-••• ' , ' ' .

• Н. Shestcpaloy Yv.- V., SmimoY Ye. G. Method of Operator Pencils ia th Eotmdaiy Transmission Proble-tis for the Systems of Hclmholtz Equations,// Inter national Seminar «Mathematical methods in-Electromagnetic Thoory>, April 12-20 1950, Gurzuf, Kharkov, p.l4S-162.

12. Смирнов Ю.Г. Mere« одераторшк пучков в краевых задачах сопр;дке ниа систсшг зллжш;чеех.?к ур^1иай.//Д};ффереЕцзни1ьны5 ураачеши; 1991, т27, N-1, с.140-147.

13. Смирнов Ю.Г. О фредгсльмооосш задачи дифракции i:c плоском огра нггчешгом идеально проводящем экране.//ДАН СССР, 1991, т. 319, N-I, с. 147

149. - .

14. Сиириш Ю.Г. Метод ваератсрпнх пучкеа в задача на собязешш sicitiiia до: системы уравнений.//В кн.: «Остнмальнш; методы енчпсясшг к их применение к обработке информации.» Пегаа, 1591, с.42 -46.

15. Sminiov Yu. G. Pscudodiifcrertfial Equations for Electrodynainic Scree Problem ia Il.//Maihcrriat:ca! Methods in Electromagnetic theory. 4-th Intonation si Seminar. 15-24 September, 1991. Alvshta. P.171-1S2.

16. Смкрнов Ю.Г. Разрешимость Езпетродкффоренциажнкк ур-гвдалкй: задаче дифракции на идеально проводящем плоском зкракс.//Рздиотсйпйсг ашапрсшскв. 1992, т.37, N-1, с.32-35. -

17. Сшгрнсгг Ю.Г. О фредтольмогосга системы лееддодифферегадагльна • уравнений в задаче дифракцизг на огрЕкияшнсм З1фш©.//Диф4«реициашк''

урашення, 1992, т.28, N-1, с.136-143. •

18. Smirnov Yu. G. His Behavior of Electromagnetic Field Near а Corner < Flat Bounded Seresn.//b?j «Day of Diffraction - 92». luicmatiorid Seminar. At streets. Saint Petersburg. 1992. P.31.

19. Смирнее Ю.Г. О ргзркыпмокш всктерщк задач дкфракцнк б еЗдаг тех, ствззшных через ахвереше в зхрзке.//Журп. еычдся. i.sr-т?;.;. к матки, ф зихн, 1993, т. 33, N-9, с. 1427-1440.

• 20. Sminiov Yu. G. Method-of Singular • integral ■ Operator-Functions for tl Transmission line Prd>leni.//Elcctxoninsncties, 1993, vol.14, N--2, p. 145-156.

21. Смирнов Ю.Г. О разрешим эсга кжгориш: тапгаро-дафффсшдеглкгЕ: уравнений в задач» дкфрающк аяезлромагшпного катя к& зкракнг краж еолько'1 фррме£.//.^урн. еекисл. штем. к матен. физики. 1994, т.34, К-К с.1461-1475.

22. Ияышквдй А.С., Смирнев Ю.Г. йкшралыш» урашаккл дя>т зад: дафргкцшг'вояк из зг^>шах.//РадцагеетЕха и злгааранкка, 1994, г.39, N-с23-31.