Исследование решений начальных и начально-краевых задач неоднородных линейных гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГБ ОД

НАЩОНАЛЬИА АКАДЕМЫ НАУК УКРАЙШ ШСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах руинетсу

ХРИЩЕШОК Володяшф Ояогсапдракт

ДО СЛЩЖЕННЯ РОЗВ'ЯЗЮВ ПОЧАТКОВНХ Ï ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ НБОДНОР1ДНИХ НЕЛШХЙНШС ППЕРВ ОЛГЧНИХ РГОНЯНЬ

01.01.03 — матема-лтша ф^зггка

Автореферат

дксертащ! на одобуття ircsscro сгупецз. кандидата фшпжо-жгатешжгштс nays.

Кит — 1894

Ддаертааш) е рукопис. Робота виконана у вшш звичаяних даферешалъних р1внянь *1нетягуту математики HAH SKp&inx.

HayKDBi KspiEiococ доктор ф1зико-катекатичннх каук

ЕОИЧЖ O.A. рокгор фшко-натехатичык наук, професор CEJE3QB 1Л.

0<5ШШ опокенти: члан-кореспокдент HAH Ущшни. дрофесор

ЛИООВСЬКИИ L0. кавзщаг фхзкко-иатешткщкх каук„доцвнт ЧИРИШОВ В.О.

Провша уетанова: Хнстатут ибернентмкк HAH йгоанш

Захист вшудеться "-v "l&ßnffi iso ' р. о год. на засщши сзЕшазизовало; рада Д oie.5o.oi цра Ькстктуп тематики ШШ УКршш за адресов

ssaaoi, Щв к ГСП , вул Терешшвська э.

3 дасерташ-сю имна оанаяокнгхся у äiöaioreiu 1нетигуту хатекатикх HAH Ясрахни

Автореферат роэлслано "iV ~ %аоН р

ЗЧБНИ2 секретар СПСЦДО130ШЮ1 рада

3.-5 jus.-кат.наук ЛУЧКА A.D.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

АКТУАЛЬН1СТЬ ТЕНИ

Неодноради систеш квазшшиш ппербол^шшх систем часто викорнстовуюгьсп в теоретичяих i прикладник задачах хеханад сушлымх середоввд. Зокрема, вони з'являюгься при постановш ршюмалтшх задач для классом* ршияь г 1дрогазо динамки, коли для В1дбиття В1дм1ююстея коикретнлх задач вводиться втучш ыасов1 силище.И.Седов Механика сплошных сред.т.I., 1972), але иавхгь для однор1дких р1вяя!{ь газово! ДШШ1КИ вг.тановлешш теорем юнувания зазнавало великих трудашв. Спочатку ильки для эначенъ пошропй, wo мало

В1ДР1ЭНЯ6ТЬСЯ В1Д ОДИНИЦ1 <;Hiehida //Тгоо. Japan Aoad., 1968,

г.44), та гочаткових даяих з дуже малою загалыюю Bapiauie»

^ОИш J. //Coram.Pure,Appl.Math.» 1965» Doctor A. //Caeohoalovak Hath, е., 1977). лотш результат лопирено для эначень пол1тропи В1Д } ДО з ( DlPerna R.J, //Ооига.Ригв Xppl.Math., 1973). i,

нареип» нащодавно за допокогою мэтоду кюкпенсоваш кокпатсст!

^ Tartar Ii. Reesarlh NoteB in Math.,Nonlinear Analysis and Ueohanioei Heriot-Watt Symposium. 1979) ВДЭЛОСЯ ШЗбупКЯ

обменення на загальну вар1ащю початковкх дшшх с cuerna п..т. //Consn.aath.Phya., 1983). Питания коректиого вкбору широкого класу касових ом у прикладних задачах, себто роэв'язтеть В1ДП0В1ДННХ неоднор1дюк систем, дос1 залишалось шдщглш.

Iiüihm даерелом по яви кеодиорютих пгорСол1Чних ртняиь с подели що опмсуюгь внутрши1 пронеси у сушлышх Сйредкняда. Якшо сл1дувати тврнодинашчгшу шдиоду ( ГлэясдорФ П., Прибит И. Термодинамическая теория структура устойчивости и фгтуктуяш'п.-1979, Да Гроот C.F., Мазур II. Норавковвсная тврмэдяпомикэ. 1966) , розук1ши п1д и(утр10Н1ыи процесаин ximi'üu ре ахни, дисощацш. обм1н енерпсю Miw pisfotwt стуяеияни свобода тлекул.-фаэов1 переходи тоще. то Bci тт иодет шиадаптъея н «ятлi середовша. що релакеye, i огокуеть и яро кг дало ясяя. Так, яря процвсах фонемного переносу в тверди* птх гт ммп'х температурах (другий звук) з'явшться мяегра$!« pi№?;mr> (ЛЩоиц Й.М-., ЙигяевсйяЙ А.П. игнегкйа* 1ЭУ), Гуреът)

- s -

Б.К. Кинотика фопонних систем. 1980, Ниттель Ч. Квантовая теория ТБорднх Т0Л. I9G7, Chester M. -Fhjs.Rev., 1963,) - Такого IK ТИПУ 6 узагапьнеш р1шшшя переносу, що запропоноваш 1з розгляду гашлътошаня на реинтт Q Коротким M.Р. //дан СССР, 1977;. для дне перс них середовищ (.Ясшшов Г.П., Галыгорин Л.Г., Кутявин З.И. /ЛТня.^яз. куриал, 1980,), 1 турбулентшх сэредовшд (. Зубарев Д.Н. //Теор. матем. {яз., I9BI, ЛойцянскиЛ Л.Г. //Изв. АН СССР,сер. мзканика кидк. гвза, Тввг), або виведеш методами феН0К8ШЛ0Г1ЧШ1 тврмодинамш! (, Kalieki S. //Bull de Aoademio polonaise dec coienoes. Ber.deB.eei.teohn., 1965, Подстригвч Я.С., Коллио Ю.М. Обобщенная термомохшпвса. -Киев; Наук. думка, 1976, Колпощиков В-II., Яновский C.B. //Инж.физ.курн., 1984J Pi ¡шпиня, до описуогь так1 модел1, як правило пперссшчш.

Властишст1 л1шних р1внянь третього порядку середошсца, то релаксуе, доенгь ретсльно досл1даеш(, Рудэнко O.S., Солулн С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. 1975 ), для Ш£Х доведено розв'язшеть по чат ко во - краяово! задаш , побудовано всихпготичний та фукдамзктальний розв'язки - ÇВарламов В.В. // Дифференциальные уравнения, 1980, ЖВМ М', 1987, Диффэренциалыше уравнения., 1988, ).

Тшюж Д0СЛ1ЖД5Н1 розв'яэки 1 наявшеть дасинативннх структур для р1вншшя другого порядку з нелшяшетю у правт частнш С Данилэгаго В.А., Кудннов В.М., Макаренко A.C. // Препринт ИЭС АН УССР, 1983. АН УССР, 1983,/Инж. физ. кури., 1984, Кудинов B.W.. Макаренко A.C. //Докл. АН УССР, 1984 ) i з конвешшн членом, (, Макаренко A.C., Москальков М.Н. // Препр., Ии-т Гесфгэюш АН Украины НИИ МДИ при КШ1 , 1992, //В кн. Моделирование динамики деформируемых сред. 5993,).

Нелшши ршяння третього порядку С, В. А. Владшров, Б. А. Лшшснко, B.D. Королевич .-✓Доп. АН Укра1ни, îeaaj, частивши випадкон яких с р1В)1яння, шо для omicy бегагомоююнонтних середоввд було виведеш э екслерименталышх яашк С Ляхов Г.М. ГЪяны в грунтах и горных породах.-М.: Наука, 1W32). були досл1даен1 гр'ушвими i аеннлтотичшши методами (, В.А. &.тдгашроп, В.А. Даниленко, B.D. Королевич //Пропр. Ин-т _Геофизики АН yCGF, 19-к1;. . Але грунговшго матешпичного анап1зу us предает юнування роэв'язкиз 1. кодлелшанкя повед1нки pD?n'R3KiB поза мпшахи данях' фтчних екскеркнснпв проведено не

•було.

шдаюшдт до всього сказаного становить эиашшя штерес як з практично!, так 1 з теоретично! точку эору, е .встаиовленнп розв'язносп точаткових 1 тчатково-крайових задач. дня НВЛ1ШЙШГО г1пербол1чного ршняния третюго порядку 1 оироконасштабне коделювання повед1нки IX розв'язкш а иетой визначення вшшностея, то привносить релаксашяш пронеси у розповсодження хвиль.

ПЕТОЙ РОБОТ и е

1.Для 1зоентрошшх р1внянь газово! дашашки визначення. класу насових сил 1 доведения в ньоыу кздваиня слабкого розв'язку для задаш 1Сош1.

Для иел1Н1Яого ппербол1чного ршшння третього порядку; з.Д)сл1д«ення розв'язност1 задаш Кош 1 початкою-крайово1 задач1.

3.Побудова асиштотнчного розв'язку автомоделью! хвнн1.

4.Дэсл1даення уяови сийкосп авюиаделыю! шш. з,Визначення чишшка утворення структур.

в.Одершання розв'язку про розпад дошльного розриву ! побудова сует Годунова.

?.Д)Сл1даення спякосп схени Годунова.

о,Чисельне моделгаання ловедшки розв'язк1в Го'шково-крряор.нк задач 1 задач! про {юзпад довшыюго розриву,

ЭАГАЛЫ1Л МЕТОДИКА ДОСЛЦПЕИН»

Застосоваи1 метода аатейаштого анатэд, \eopii фудаш. ршшш у частиннкх похшмх, • истода газокм ди-чаипо;, асихптотиши методи. чисельш розрахунки, реэупьтати' /!1П<?г-ю'.» Тартара, Куранта, Фрщихса, Году)юва,Гсядахтмясьтаг», Еч'мте.

НЛУКОВА НОВНЗНЛ ГОБОТН

Для 1зоентропнкх р1внш(ь газово1 диналиси визначено клас касових сил, в якому. доведет 1снувашш слабкого розв'язку для задач! Кош! 1 лоширено результат« по застосувашоо методу кокпенсовано! коипактност! на юоднор!дш гшербол1ЧН1 систеки.

Для нелшяшго гшербол1чшго р1Бняшш третього порядку: -доведено 1снування класичних розв'язк1в 1 розв'язшв у широкому значенш задач1 Крш1 1 лочатково-краяово1 задаш;

-побудовано асштготичниЯ розв'язок автонодельно! хвши; -одержало укову ст1йкост1 автонодельно! хвши 1 показало, и.0 воиа е чншшкок утворекня структур-,

-одержано розв'язок про разная довиыюго розркву 1 на яого П1дстав1 побудовано схеиу Годунова;

-доведено стшють схеьш Годунова;

-проведено чнсельне коделшшшя розв'язкт початково -краяою! задаш 1 задач 1 про розпад дов1лыюго розриву стосовно дослдаенш утворешш хвильових струг ур у виглад пшв, колапс1в 1 СОЛ1ТОШВ.

ПРАКТИЧНА ЦИШСТЬ

Одержан! результати встаиовлшгь математичну ко ре класть розглядуваних коде лея. Проведет анаппичш дослдаення 1 чиселыи розрахунки дня середовш, то релаксуюгь, вкзначаюгь харакгерн1 поведшки розв'язк1в 1 окреслшгь меж1 застосування моделей. Вишекия лроцес утворекня хвильових структур дозюляе оплсувати локал1зашв зон 1 амтштуду шдвищеного тиску в залеяноси в)д иакдкост1 та ютенсивиосп хвил1. що входить в серодовщэ, 1 паранетрт релагссацп цього середовища. Тим саиих коша ефективно розраховуваги поля тиску при шгулъснмх иавантвяшнях геоф]эичних середовиц: зенлетрусах, ударах, писаках; у багатокохлонентних середовшц. а також у шших

щ*зшс8х, «XI потрашпвгь тд означения процкс ш, шо релаксують.

> О.

b.^.í^-v ) > о

( V W < Í)=( v^o*. H > ' *<А (ТоЛ > < 1+K, >'=ЙЛ ^ И >*•

Тод( ефекгивиа ниркна Д фронта ударно! хиш . визначаеться як довнияи проект! частнни дотнчно1 у í=o ни v=vt i v=vo

Л А

1 оск1льки «в залетать в1д % 1 т, то для фиссовано!

D автоюдельно1 УХ эвщск ощгаоеться вплив член1в э жшдннни в Р1ВНЯНН1 стану (в) на ширкну УХ 4: зб1льшення х приводить до збшлення л, збиъшелкя г слричиняе зкеншення а у" т1й облает! napampiB, для якмх вгасокуеться нершисть

D* £ X/t

Показусться, цо умова ('г? с умовою .ctwkocti одного с1«ейства точних розв'язхнз.

У розд1Л! * для piBHffltb показуеться, цо розв'язок

про розпад дов!льного розриву з почагковими дакини (vt,uítpt) для X<0 i (vz,v.t,pt) для х>0, гут üj.u.p^ стай1 величини, подаеться

у вигляд1

V- (и^иг )/2 +(px-pt)/2/f X /т,

р « (р^р^/г f/xT^ fvV/2> (,1°>)

v9 » и, /т f Р, -Р, yx/2-(ut-ut ,)/П, t'„ » v, - tip,-p, VX^-fu.-u,

На шдстав! будуеться схема Годунова

Г»*4 Г» Г» П

Г»»* Г* П п

- и.т + (Р^ - р^т/ро=0 .

р»*| п п«4 г» г> г»

Цр} - р^йс + - «¡)£ЙГ - /(р^и^сшг 1 в укоьах теорехи з.г.г доводиться п ст1ЯК1сть

ООО -у

Теорема 4.3.1 Нехай V ,и ,р е ра 2 Ъ, Т аизначено з

?) =0. 7оЭ1 Эля Дуа«.-як ого1<Т у смузь схела св1С>со.

За допохого» прошдитьсч иоделхвання повед1нкк розв'яэку про гараень стосовко • впяиву сшввдаошень нахилу старших характеристик 1 швкдкосп руху поршня О . Дня параметра сжтеми 1=о.зэ,р=о.ээ,х=г. . ?<г,ом, и(г,о)=1, 1 значения 5=о.з структура ударно! хвш в1дпов1дае автошдельнт хвил1 (мал. 1 Ящо трохи зб1льиити д =о.4 на фронп ударно! хвш з'являсться Л1к СМал. г якия при подальшому зб1льшенн1 V ¿гхоа збиыдуеться. Таким чинок для невеликого порушешш уюви (,12; кест1йк1сть ударно! хвил1 ще щщуиуетъся в'язмст за яку в р1вкянн1 стану вшовиае член з коефщентоы 1 така конкурекщя процеав, цо породауюгь неспшсть, 1 процеав. «о породауоть спаасть, у вдаов1дност1 э синергетичною иеолопею Гаяена призводагь до нишкнення структур на фронп ударно! хшш у вигляд1 шк1з. В гоку вкладку, коли швкдшсть руху шраня надго велика, перекогаюгь процеси иестмкосп 1 тк на фронп Ух перетворюеться у ижапс (хал.з).

Лмшдаення скстехи за допокогою теоретико-групових иетошв дозволяс зробнги висновок, що для 1 « 1» х 'О, © « вР< } - эер-р. де р » V"*. х > о, иожливе юнування кваэшершдичм« розв'язку, яххя кожа описувати задачу рро порзень, що рухаеться э р1вак1ршо ивидост» нерухокни Ийодаор1днии середзвищеи

i.eo

i.eo

MO

1.20

1.00

¿o ' ' ' '¿.'¿о " " a.'¿o" " ' ♦.'Ao " " el¿o " " a'Ao ""'i o'bo hfe6.,olf«=3-f X beta-1., u=0.3

tlejûç

3.40

2.C0

1.Б0

1.Ï0

o.eo

0.*0 I II» Il I Hill I 4 111111>4> M 11 «11»! Il 4 11 4 »I l'n-ri4V|lf ч n < I ri -2.00 O.C" 2.00 4.00 9.00 0.00 10.00

hi«6., olf«3. X beta»]'., u=0.45

Мал. 2

в?,? 11 ,i, i??,?.,., i ......9?.?.„.99.?.., „99.8 QQ.Q

E oo i

oo>

009

009

OO'Ol

fS'O-n «'t^oísq X -£=/10 ,Ф9=«!Ч

OQ'Ol op'8 00'9 OO* OO'Z oao OO'Z-

........iiFiiimi il iltii il mifnii initMinnjiiiiimn»!. gg.Q

I 004

I 084

ICQ'S

•t

OS'S OO'C OSS

с

£ 00 >

о.ео

о.ев

О.Ев

q.0.84

0.82

0.80

0.7в - ц ' ■ ' ' ч »m i п i i т п m m i i ! p'l i t '|tl "ц i i '-гт-'тн-гп -5 00 0.00 0.00 10.00 15,00 20.00

0.95

ОВО

0 65

о.

0.80

0.73

Мал. 6

О 10 i ii ' i m ii i i i i i m г i п'гп i и i i iii >1 i 11 ■ п i i i г 'гг-ггг1 -5 00 0 00 3.ô0 (ооо 15.00 20.00

Мал .6

- -

3 кетою лридушення флуктуашя. шшишш похибками округленна, параметр х обирався вшшшн В1д нуля..Розрахунки , зд1йснеш за схемою Годунова (.ю; при с1г =0,005 1 о,1 ^ з, деионструюгь наявшсть автоиоделъних осщлящл за фронтом (нал. 4).

Вигсористовуши результат« про нехашзм утворення структур в лочатково-1фаЯовю< задачах, для задач1 Рииана, тсбто задач! Кои1 з розривгаош почат кошши дазсии, для фиссовашсс початкових дшсих, эначення нелшякосп т 1 параметра т=7 проводиться иоделювання поведипо! розв'язк1в варлгватта значения %. Для задании т=7, Р0=1 в нзиах ост $ 25/1 ,1 для .г>гзь. у

В!шад]сах великого значения % =зг утворювався Б1докренленнЯ 1ипульс, шшлпуда яхого з часом зкегапувалася (.нал. 5), нале значения х=4-5 • да таш задач! вккликало утворення В1до1сремленого 1ипульсу з ашштудою, що нескименно- зб1льшуеться з часом С кал. в;, це все спонукало поиуки % . для яких пронеси СТ1НК0СТ1 1 шст1Як»ст1 компенсували б одне одного. Значения Х=5.8 породауе такия баланс 1 спричиияе угворзши солпоно ПОД16ИОГО рОЗь'ЯЭКУ иаТ.?;. СОЛ1ТОНОПОД1б1исТЬ Ц1И рОЗБ'"ЗК1В

шдтверджуеться, явдо 1К 212товхнути. Тод1 гид час IX взаекодп помпна затрижа руху дещо б!льие за одну знерозмрену секунду (мал. ер.

Ochobhi результати дисертацИ надрукаван1 у наступних роботах: i. Хрищешж В.А. сходимость метода вязкости для изоэнтропийных уравнений газовой динамики - Киев, I990.-I6 с.-(Препр./ АН УССР. Ин-т геофизики), а. Хрищенхж В.О. Розв'язмсть задач1 Komi для р1внянь середовища, що релаксуе 1 реагуе" Дрповщ АН Укра1ни.-iesa. -ж .-c.ie-ie.

э, Хршцэнюк В.А. Разрешимость уравнений активной среды.//

Численнне метода механики сплошной среды; Тез. докл. IT Всерос. шк. молодых учэншЦп.АОрау-Дирсо,26.06-31.06.1992 г,). -Красноярск, 1992.- С. 106.

Хрищенюк В.А. Неравенство для слабого решения системы уравнений газодинамики// Моделирование динамика деформируемых сред.-Киев: Наук, думка, 1993: 0.43-47. В. Бойчук A.A., Хрищейюк В.А. Существование и поведение реиений начальных и начально-крайовых задач для нелинейного гиперболического уравнения третьего порядка- Киэб, 1994.-18 ö. -- (tlpAiip./ HAH Украины. Ий-i математики