Исследование решений систем дифференциальных уравнений второго порядка при наличии частного алгебраического интеграла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Я. КУПАЛЫ

УДК 517.925.11

ИВАНОВА ЖАННА ВИКТОРОВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ НАЛИЧИИ ЧАСТНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА

01.01. 02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Гродно - 1996

Работа выполнена в Белорусском государственном педагогическом университете им.М.Танка.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор А.И.Яблонский.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Л.А.Черкас,

- кандидат физико-математических наук, доцент В.В.Амелькин.

Оппонирующая организация - Институт математики АН Республики

Защита состоится 6 декабря 1996 года в 10 часов на заседании совета по защите диссертаций К 02.14.02 в Гродненском государственном университете им.Янки Купали (230023, г.Гродно, Ожешко, 22, Госуниверситет, главный корпус, ауд.220).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Гродненского госуниверситета.

Молдова.

Автореферат разослан

м

м

ноября 1996 года.

Ученый секретарь

совета по защите диссертаций

А.П.Садовский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В настоящей диссертационной работе исследуются системы дифференциальных уравнений второго порядка с квадратичными правыми частями.

К рассмотрению таких систем приводят многие вопросы естествознания. Они применяются в различных областях техники, физики, химии, биологии и т.д. Однако нахождение их решений в виде элементарных функций в большинстве случаев невозможно. Даже в квадратурах удается проинтегрировать лишь немногие классы таких систем. Поэтому важное значение приобрели методы, позволявшие изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду их правых частей без нахождения самих решений. Одной из теорий, занимающейся разработкой таких методов , является качественная теория дифференциальных уравнений. Качественное исследование позволяет изучать характер решений дифференциальных уравнений "в целом", т.е. для всех допустимых значений независимого переменного, что важно для многих областей естествознания, в которых изучается развитие того или иного процесса или явления в течение сколь угодно большого промежутка времени.

Качественное исследование систем указанного вида представляет собой довольно трудную задачу. Но эта задача облегчается, если наложить определенные условия на некоторые решения или особые точки. Так часто данные системы удается исследовать при условии существования у них частного интеграла в виде алгебраической кривой.

Впервые квадратичные системы,имеющие частные алгебраические интегралы четвертого порядка,были рассмотрены А. И. Яблонским. Им же бьио показано, что уравнение алгебраической кривой четвертого порядка некоторыми аффинными преобразованиями можно привести к одному ИЗ видов:

1) F(x,y) = х4 - £ F (х, у) = 0; к=о k

23 FC X; у) =Хгу2 + 2 F ix; у) = 0;

к =о к

3) F(x;y) = xy(x + у)2- S F (x,y) = 0;

k=0

4) F(x;y) = x3y + EF (x;y) = 0,

k=o K

где FkCx;yD - однородные полиномы степени к, и были рассмотрены системы с интегралами 13 и 23. Системы с этими интегралами рассматривались и в работах В.Ф. Филипцова. Квадратичные системы второго порядка, имеющие интегралы в виде функций 33 и 43, ранее не рассматривались.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ.

13 Получить коэффициентные условия существования у систем двух дифференциальных уравнений с квадратичными правыми частями алгебраического частного интеграла заданного кривой четвертого порядка 33.

23 Провести полное качественное исследование систем, имеющих частные интегралы 33.

33 Доказать наличие или отсутствие предельных циклов у систем с алгебраическими интегралами вида 33.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертационной работе использованы методы А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова для выяснения поведения траекторий систем, а также метод, разработанный Н. П. Еругиным и развитый А. И Яблонским для выделения классов систем, имеющих заданный алгебраический интеграл.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ заключается в следующем:

13 построено все множество квадратичных систем дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих частный алгебраический интеграл вида 33;

23 доказано отсутствие предельных циклов у полученных систем;

33 проведено полное качественное исследование систем с интегралами 33;

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при проведении научно-исследовательских работ по качественной теории диффиренциальных уравнений, а также в некоторых областях техники, биологии, генетики.

Они могут служить материалом для выполнения дипломных и курсовых работ; чтения спецкурсов студентам математических специальностей вузов.

ОСНОВНЬЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

13 Найдены условия, которым должны удовлетворять

коэффициенты квадратичной системы второго порядка для того, чтобы данная система имела частные интегралы вида 3).

23 Выделены все классы систем с алгебраическими интегралами вида 33 и доказано отсутствие у них предельных циклов.

33 Проведено полное качественное исследование систем, имеющих частные интегралы 33.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на' десятой научно-практической конференции молодых ученых Минского педагогического университета, на республиканской научно-методической конференции "ФПМИ-25". на заседании кафедры дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета и кафедры математического анализа Белорусского педагогического университета.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в работах С1-53.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа изложена на 116 страницах, состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав, выводов, списка использованных источников, содержащего 85 наименований, приложения .

КРАТКОЕ СОДЕРЖАЩЕ PAdOTbl

Во введении излагается краткая история вопроса, освещается современное состояние рассматриваемой проблемы.

В общей характеристике работы обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, показывается научная новизна и практическая значимость исследования, приводятся сведения об апробации его результатов, формулируются положения, выносимые на защиту, кратко излагаится основные результаты, полученные в диссертации.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена выделению классов автономных систем вида

х= сх + hy + а2х2 + 2bgxy + с^у2 = Q(x,y), у = ах + by + ах2 + 2Ь}ху + с^2 = Р(х,у).

имеющих алгебраический интеграл

F(x,y) = ху(х+у)2 + а(у3 + f^xy2 + у^у + S^3 +

+ + + 52*2 + *3у + 5зх + 54= {2)

Предполагается, что коэффициенты системы CD и интеграла С 23 являются действительными числами. При этом рассматриваются только такие системы., в которых Q(x,y) и Р(х,у) - взаимно простые многочлены.

В первом параграфе данной главы получены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты системы С13. для того, чтобы кривая (23 бьиа ее частным интегралом, а также соотношения, выражающие коэффициенты интеграла через коэффициенты данной системы.

Доказано, что система С13 в этом случае может быть сведена к виду:

х = сх + hy + ах2 - ху, у = ах + Ьу - а^у + ху.

при этом для коэффициента а2 возможны следующие значения:

13 а2 = 0; 2) а2 = -1; 3) а2 =

4> аг = 3-

5) а2(а + 11) + (а + ¡1 + 2с + 2Ь) = 0.

В этом же параграфе найдено все множество систем вида С 33, в случаях 13,' 23, 33. Показано, что у полученных систем могут быть только распадающиеся частные интегралы. Коэффициенты этих систем выражаются через один, . или два неизвестных параметра.

Во втором параграфе находятся системы С33, для которых а2 = Коэффициенты этих систем также выражаются через один или

два неизвестных параметра. Получена система

который распадается лишь при а = 0 и ос = -1. Показано, что остальные системы, рассмотренные в этом параграфе, имеют распадающиеся частные интегралы С23.

В третьем параграфе найдено все множество систем вида С 33 для которых выполняется соотношение а2(а + Ь) + (а + Ь + 2с + + 2Ь) = 0. Коэффициенты систем выражаются через один, два или три неизвестных параметра.

В этом случае система

х = Ьу + |я2 - ху, •1

у = аЬх - ^у2 + ху,

С 43

имеющая интеграл

Р(х,у) = 4(х+у)2ху - 4Ьу3 - ЗбИху2 + 36Ьах2у + 4аИх3 + 27Ь2у2 - 90аЬ2ху + 27агЬ2х2 + 54аЬ3у -- 54агЬ3х + 27а2Ь4 = 0,.

+

С53

х = ~|ьх +Ьу - 5Х2 - ху, у = Их - |ьу + 5У2 + ху

С 63

имеет нераспадающийся интеграл:

F(x, у) = y3(4x - 4h) + у^вх2- 4hx - h2) + + y(4x3+ 4hx2- 2h2x + 2h3) + (4hx3- h¥- 2h3x + 7h4) = 0;

система'

x = -2(211 - 150v^)hx + hy - |x2- xy, у = (99 - 70V2)hx + |(111 - 80V5)hy + gy2 + xy

имеет интеграл

F(x, у) = xy(x + yf + (7 - 5V2)(7 + 5v5)hy3 +■ (7 - 5V2)(19 + 5v2)hy2x + (7 - 5V2)(19 - б^Ьух2 + (7 - 5v2)zhx3+ |(7 - 5V2)2(3 + 2VS)h2y2 + + - 5V5)2h2xy + |(7 - 5VS)2(3 - 2v^)h2x2-- |{7 - 5V5)3(19 + 5V2)h3y -- |(7 - 5v^)3(19 - 5V2)h3x - - 5V2)V = 0.

который также не распадается; система

1..2

х

yhx + hy - jx - xy,

С 83

у = - ^hy + |y2 + xy

имеет первый интеграл

F(x,y) = (x + у)г[2ху + (1 - 3y)hx - 2hy] + 5 = 0,

нераспадающийся при 5*0.

Все остальные системы, полученные в случае S3, имеют распадающиеся интегралы вида С 23.

' Вторая глава состоит из трех параграфов. В этой главе проводится полное качественное исследование систем С43. С63, (73, и С83: находятся особые точки в конечной части плоскости и на бесконечности, определяется их характер, исследуется пове-

дение сепаратрис седел и сложных состояний равновесия, доказывается отсутствие предельных циклов.

В первом параграфе рассматривается система С43.

При этом выясняется, что данная система в зависимости от значений параметра а может иметь две или четыре особые точки з конечной части плоскости, а именно:

1) если а > 0, то система С43 имеет четыре особые точки: седло, лежащее в начале координат, и три узла;

23 если а = 0, то система С43 имеет две особые точки: узел и состояние равновесия с одним эллиптическим, одним параболическим и одним гиперболическим секторами, расположенное в начале координат;

33 если й < 0, а = -1, то система (43 имеет фокус в начале координат и узел;

43 если а = -1, то система С43 имеет центр . в начале координат и состояние равновесия с одним эллиптическим и одним гиперболическим секторами.

Координаты особых точек отличных от точки 0(0; 0) находятся из системы:

8Х3 - Эх2 + 27ах - 27а = О

у -

для каждого конкретного значения а.

Очевидно, что значения а = 0 и а = -1 являются бифуркационными для данной системы:

- при переходе через значение а - 0 происходит слияние двух узлов в сложную особенность с эллиптической областью, а затем рождение фокуса,

- при переходе через значение а = -1 характер устойчивости фокуса и узла С случай 33 меняется: из устойчивых они становятся неустойчивыми.

С помощью критерия Дюляка доказывается отсутствие предельных циклов у системы С 43. В качестве функции Дюляка выбирается функция

5

В(х,у) = хУ3р"6(х,у),

где F(x,y) = 0 - частный алгебраический интеграл С53.

Бесконечно удаленные точки системы С43- не зависят от значений параметра а: данная система имеет два седла - на концах координатных осей и узел - на бесконечно удаленной части прямой у = -х.

Во втором параграфе рассматривается системы С63, С73 и С83.

Система (63 имеет седла в конечной части плоскости и .узлы на бесконечно удаленных концах координатных прямых и на концах прямой у = -х.

Система (73 имеет три седла и узел в конечной части плоскости и три узла на бесконечности.

Система (83 в зависимости от значений параметра у может иметь две, три, или четыре особые точки в конечной части

ПЛОСКОСТИ:

13 при у € (-да;-11 - 8/5) система (83 имеет четыре особые точки: три седла и центр;

23 при у = -11 - 8V2 система имеет три особые точки.- два седла и положение равновесия с двумя гиперболическими секторами;

33 при у е (-11 - 8V2;-11 + 8/2). система имеет два седла;

43 при у = -11 +■ 8/2 система имеет два седла и положение равновесия с двумя гиперболическими секторами;

. 53 при у е. (-11 8/2; 1) система имеет четыре состояния равновесия: три седла и центр;

63 при у = 1 система имеет 'два седла;

73 при у е (1;«>3 .система имеет четыре особые точки: три седла и центр.

Для данной системы бифуркационными являются значения -11 -8/2; -И - 8/2; 1. Кроме того, анализируя поведение траекторий системы (83 при у € (-11 + 8/2,1), приходим к выводу, что бифуркационным является также значение У = j-

На бесконечности система имеет узлы - на концах координатных прямых и на концах прямой у = -х. При этом характер и число бесконечно удаленных особых точек не зависит от значений у.

Так как системы (63, (73. (83 не имеют особых точек , типа "фокус", то они не имеют предельных циклов.

Третья глава состоит из двух параграфов и посвящена качественному исследованию систем вида (13, имеющих распадающиеся частные интегралы (23.

Эти системы можно разделить на следувщие группы:

13 системы, у которых интеграл С 23 распадается на две различные или две совпадающие прямые и кривую второго порядка;

23 системы. у которых интеграл С 23 распадается на две кривые второго порядка;

33 системы,у которых интеграл С23 распадается на прямые;

43 системы,у которых интеграл С23 распадается на прямую и кривую третьего порядка.

В первом параграфе данной главы рассматривались системы первой и второй группы. Во втором параграфе бьши исследованы системы третьей группы. Для систем первой, второй и третьей группы проведено полное качественное исследование. Доказано, что данные системы не имеют состояний равновесия типа "фокус", следовательно, не имеют предельных циклов.

Системы (13, имеющие нераспадающиеся частные интегралы в виде алгебраической кривой третьего порядка, бьши рассмотрены Р.Н. Евдокименко . Ею были выделены все классы таких систем, проведено их полное качественное исследование и доказано отсутствие у них предельных циклов. Поэтому системы четвертой группы не рассматривались.

ВЬЕОДЫ

В- диссертационной работе рассмотрены автономные системы дифференциальных уравнений второго порядка с квадратичными правыми частями, имеющие частный интеграл вида

F(x, у) = ху(х + у)2+ EF(x;y) = 0;

k=0

где Fk(x;y3 - однородные полиномы степени к.

1. Найдены коэффициентные условия существования таких систем и выделено все их множество.

2. Проведено полное качественное исследование полученных систем.

3. Установлено, что состояния равновесия типа "фокус" имеет лишь система (43, для которой методом Дюляка доказано

отсутствие предельных циклов вокруг этой точки.

4. У остальных систем, рассмотренных в диссертационной работе, состояний равновесия типа "фокус" . не обнаружено; следовательно, эти системы не имеют предельных циклов.

5. Построены качественные картины поведения траекторий систем в целом в круге Пуанкаре, которые топологически эквивалентны картинам, изображенным на рисунках 2 - 4В приложения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Захаранка Ж. В. Якаснае даследаванне а?таномных с!стэм другога парадку з квадратичным! правым1 часткам1 // Весц.1 БДПУ. - 1994. - »1. - С. 99 - 103.

2. Захаренко Ж.В., Яблонский А.И. Качественное исследование системы дифференциальных уравнений при наличии алгебраического интеграла // Диф. уравнения. - 1995. - Т.31, №5.-С. 759 - 764. .

3. Захаранка Ж. В. Якаснае даследаванне адной дынам!чнай с 1стэмы другога парадку'// Вест БДПУ. - 1995. - С.89 - 91..

4. Захаренко I. В. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений второго порядка // Материалы республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики. Минск. БГУ, 1995. - Ч. 2. - С. 95.

5. Захаренко Ж. В. Об отсутствии предельных циклов у одной автономной системы второго порядка // Тезисы докладов математической конференции "Еругинские чтения - Ш" - Брест. БрГУ. 1996. - С.55.

11

РЕЗЮМЕ

Иванова!. В. Исследование решений систем дифференциальных уравнений второго порядка при наличии алгебраического интеграла.

Ключевые слова: автономная система, дифференциальное уравнение, траектория, интеграл, состояние равновесия, седло, узел, центр, фокус, предельный цикл, сепаратрисса.

В диссертационном исследовании рассматривается автономная система второго порядка с квадратичными правыми частями.

Целью исследования является нахождение условий, которым должны удовлетворять коэффициенты данной системы, чтобы ее частным интегралом была функция

Fix;у) = ху(х - V)2- ZFJx.y) = 0; С*)

к =0 К

где Fk(x.y) ~ однородные полиномы степени к. Кроме этого ставилась задача качественного исследования систем, имеющих частные интегралы такого вида.

В диссертации используются методы и приемы качественной теории дифференциальных уравнений.

Получены следующие результаты:

13 найдены коэффициентные условия существования у квадратичных систем второго порядка алгебраических частных интегралов С*3;

23 выделено все множество систем, имеющих своим частным интегралом функцию вида С*3;

33 проведено полное качественное исследование полученных систем, доказано отсутствие у них предельных циклов.

43 построены качественные картины поведения траекторий систем в круге Пуанкаре.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы при проведении научно-исследовательских работ по качественной теории дифференциальных уравнений, а также в некоторых областях техники, биологии, генетики. Они могут служить материалом для выполнения дипломных и курсовых работ;. чтения спецкурсов студентам математических специальностей вузов.

Р Э 3 ю м э

I в а н о в а Ж. В. Даследаванне рашэнняу с1стэм дыферэнцыяльных раунанняу другога парадку пры наяунясц1 прыватнага алгебраiчнага 1нтэграла.

Ключавьи словы: аутаномная с1стэма, дыферэнцыяльнае раунанне, траектория, 1нтэграл, стан payнаваг1, сядло, вузел, цэнтр, фокус, л!м!тавы цькл, сепаратриса.

У дысертацьмным даследаванн1 разглядаюцца аутаномныя с1стэмы другога парадку з квадратычным! правым1 часткамь

Мэтай даследавання з'яуляецца знаходжанне умоу, як1м пав!нны задавальняць каэфШыенты дадзенай с!стэмы, каб функцыя

F(x;y) = ху(х + yf+ EF(x;y) = 0; ОЗ

k=o к

дзе Fk(x,y) - аднародньи палшомы ступен! к, была яе прыватным 1нтзгралам. Акрамя таго став!лася задача якаснага даследавання с1стэм 3' прыватнымi 1нтэгралам1 ОЗ.

У дысертацы! выкарыстоуваюцца метады i прьймы якаснай тэоры! дыферэнцыяльных раунання?.

Атрыманы наступныя вын1к1:

13 знойдзены каэф1цыентныя умовы 1снавання у квадратичных с!стэм другога парадку алгебра1чнага прыватнага 1нтэграла у выглядзе функцьй ОЗ;

23 атрымана Усё мноства с!стэм. як!я маюць прыватны ¡нтэграл ОЗ;

33 праведзена лоунае якаснае даследаванне гэтых с1стэм, даказана адсутнасць л!м!тавых цыклау-,

43 пабудаваны якасныя карц1ны паводз1н траекторый с1стэм у крузе Пуанкарэ.

1 Результаты дысертацыйнай працы могуць бьць выкарыстаны пры правядзенн! навукова-даследчых работ, а таксама У некаторых гал1нах tsxhíkí, 61ялог11, - генетык1. Яны могуць служыць матэрыялам для нап1сання курсавых i дыпломных работ; чыгання спецкурса? студэнтам матэматычных спецыяльнасцей вузау.

SUMMARY

1 v a n o v a Z. V. The research of decisions of systems of differentia] equations of the second order in the presence of algebraic integral.

Key words: autonomous system, differential equation, trajektory, integral, condition of equilibrium, saddle, knot, fokus, centre, limit cycle, separasector.

In the thesis research the autonomous system of the second order with the square-law right parts is considered.

The object of the research is to find the conditions which must satisfy the coefficients of the given system in order that the function:

, 3

F(x;y) = xy(x + y) + E F (X; y) = 0; (*)

k=o *

was its particular integral, where Fk(x,y) are homogeneous polinoms of degree k. Moreover it has been set a task of qualitative research of the received systems.

In the dissertation methods of the qualitative theory of differential equations are used.

The following results were received:

1) the coefficiental conditions of existence of the algebraic particular integral in the form of function (») in the square-law system of the second order were found;

2) all the great number of systems which have the particular integral in form (*) was found, it was hold their complete qualitative research and the absence of limit cycles in them was proved.

The results of the dissertational work can be used for holding of the scientific work on the qualitative "theory of differential equations, and as well in some fields of engineering, biology, genetics. These results can be used for carrying-out of degree and course works; for lecturing of special couses to students of mathematical specialities of higher education esteblshments.

Иванова Жалка Викторовна

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДЙФЖРЕНЦИАЛЬНЬК УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ НАЛИЧИИ ЧАСТНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА

Подписано к печати 28.10.96. Формат 60x84 1/16 Бумага книжно-журнальная. Объем 1 п.л. Заказ N 75. Тира»; 60 экз. Отпечатано на множительной технике издательского отдела Гродненского госуниверсктета. 220022. г.Гродно, Ожешко, 22.