Исследование решений смешанных задач для квазилинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей смешанной производной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§ О.I.Вспомогательные понятия и утверждения.

ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ,ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ СЧЕТНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I.I.Вполне непрерывность линейного оператора действующего из пространства Lpn^^-i) в Ъл Ст)

§ 1.2.Непрерывность и ограниченность нелинейного onenet в pa тора в пространстве о р (Т)

§ 1.3.Сведение решения задачи к решению счетной системы нелинейных интегральных уравнений.

§ 1.4.Существование'решения счетной системы нелинейных интегральных уравнений.

§ 1.5.Существование решения смешанной задачи для нелинейного уравнения.

§ 1.6.Существование слабого решения смешанной задачи в классе непрерывных функций.

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ОТ ПАРАМЕТРА

§ 2.1.Непрерывная зависимость и принадлежность решения классу Гельдера.

§ 2.2.Исследование принадлежности решения классу Липшица.

§ 2.3. Дифференцируем ость и асимптотическое представле-;; ние решения по параметру.

Многие процессы физики и механики, связанные с неравномерными переходами, описываются дифференциальными уравнениями с малыми параметрами. Многие практические задачи приводят к нелинейным уравнениям. Так при изучении поперечных колебаний стержней изучались [б7] различные задачи для уравнения:

- (гУг - У* ЭУ - о (B.I)

Релей в своей книге пишет ". мы предположим, что членами, зависящими от углового движения сечений стержня, можно пренебречь, что равносильно предположению, что инерция каждого сечения сосредоточена в его центре ." ( [67] , стр.282). Он вместо уравнения (B.I) подробно исследовал смешанную задачу для уравнения:

Очевидно, если уравнение (B.I) написать в следующей форме Ъ^гс . рг -v^V -w2.

I X - = ^ (В.З)

-^я- -д ос* ^ то при £, = i из (В.З) получается уравнение (B.I), а при о уравнение (В.2).

Нетрудно заметить, что если внешняя сила зависит от смещения стержня, то изучение поперечного колебания стержня сводится к исследованию различных смешанных задач для уравнения: эУ ^ ргуг с эУ ^г/, v « Л ~ £ л « ^ (в.4)

Релей [67] построил классическое решение смешанной задачи для уравнения (В.2) с помощью собственных функций спектральной задачи Ху , (В.5) со) = fee) = у (О) - -%'"(£)« . (в.6)

Нетрудно видеть, что спектральная задача (В.5), (В.6) самосопряжена, положительно определена и имеет чисто точечный спектр. В рамках этой терминологии уравнение (В.4) можно записать в виде где Л^ самосопряженный положительно определенный оператор с чисто точечным спектром, а сС^ такой оператор, что Кесть ортонормированная система функций.

Отметим, что операторы Л и о^ , имеющиеся в уравнении (В.7), совпадают с операторами, имеющимися в левой части (В.З), и имеет место соотношение Лх = ^ , есж вместо записать условия ц (<?) = , причем оператор имеет чисто точечный спектр. Исходя из этого, при исследовании смешанной задачи постулируем вышеуказанные свойства и Я„ ,т.е. будем предполагать, что эс ~ ^ ^ .

Для наглядности обозначим решение смешанной задачи уравнения (В.7) через пл. (-1 j эс, £) . При изучении поперечных колебаний стержня рассмотрен линейный случай для и £ = О , причем под решением понимаж классическое решение смешанной задачи Г^ . Поэтому вопрос о том, насколько пренебрежение Релея и аналогичные подходы искажают истинную картину явления, становится основным.

Так возникает математическая проблема обстоятельного исследования зависимости решений смешанных задач для дифференциальных уравнений от малых параметров.

Отметим, что регулярная теория возмущений математически окончательно оформлена в работах А.Пуанкаре [бб] , Релея [б7] и Шредингера [99] . Важная роль в развитии этой теории принадлежит А.М.Ляпунову [98] , который разработал метод доказательства сходимости рядов по степеням малого параметра. В настоящее время этот метод нашел дальнейшее развитие в работах Ю.А.Рябова [15-17].

Проблемами зависимости решения от малого параметра занима-жсь так же Б.Вандер-Поль [18] , Л.С.Понтрягин[б5] , А.Н.Тихонов [73] , [74] , Ю.Л.Далецкий [27] , [28], М.И.Вишик и Л.А.Люстер-ник [21] , [22] , А.Б.Васильева [19] , [20] , А.Н. Филатов [76] , Е.Ф.Мищенко и Н.Х.Розов [57] , С.А.Ломов [52] и многие другие.

Теория возмущений для уравнений в частных производных менее развита по сравнению с теорией возмущений для обыкновенных дифференциальных уравнений.

В тех случаях, когда роль возмущения играет старшая производная по одной из независимых переменных, именно спектр предельного оператора выделяет существенно"особые" точки решения. Если же возмущением являются старшие производные по двуми или более независимыми переменными то ситуация намного усложняется. Такие задачи до настоящего времени практически не рассматривались.

Поэтому изучение вопроса о влиянии таких возмущений на решение задачи представляет теоретический и практический интерес.

В данной работе исследуется следующая смешанная задача: найти в области SLr О; Т ] * J?L7 SI 6 [R * решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям ги(0,зс) = if (X) , ( О, рс) s f ОО, ос € SX , (В.9) и граничному условию

Bp ъс - О > (B.IO) где малый параметр, и УЧэО заданные на функции, x-fu) заданная функция, удовлетворяющая условию

Каратеодори в £lTx(R , -дифференциальное выражение, которое вместе с граничным оператором Bp порождает положительно определенный самосопряженный оператор с чисто точечным спектром.

Задачу (B.8)-(B.I0) назовем задачей Fz , а при £ = о задачей Для решения этой задачи используется современная теория ортогональных рядов и сочетание методов нелинейного функционального анализа с нелинейным методом Фурье.

1. Установить достаточные условия существования различного вида решений возмущенной и невозмущенной задач.

2. Выяснить влияние параметра возмущенной задачи на данные для принадлежности ее решения классу решений невозмуженной задачи.

3. Получить асимптотические формулы решения возмущенной задачи относительно параметра.

4. Обосновать утверждение Релея относительно малости влияния энергии вращения в некоторых пространствах решений возмущенной за-; дачи.

Исследованию вышеуказанных вопросов посвящена данная работа.

Смешанная задача для линейного гиперболического уравнения достаточно хорошо изучена в работах В.А.Ильина [ЗЗ] , [34 1 , О.А.Ладыженской [49] , Д.Х.Каримова [39] , [40] , [41 ] , К.Б.Бай-кузиева [б - 9] , Каланова Б.С. [7] , [37] и многих других авторов, тогда как смешанная задача для нелинейных и квазилинейных уравнений изучена сравнительно мало.

Исследованием подобных вопросов занимались многие математики. Однако, основной результат, превративший изучение вышеуказанных уравнений в самостоятельную математическую теорию, был получен в конце сороковых годов А.Н.Тихоновым.

Исследованием смешанных задач для квазилинейных гиперболических . уравнений и уравнений высшего порядка занимались Л.Лихтенштейн [50] , М.Р.Сиддиги [б9] , [70] , И.С.Градштейн [26] ,

Ж-.Шаудер [92] , С.Н.Бернштейн [II] , С.Л.Соболев [71] , [53] , Л.Лионс [61] , А.И.Гусейнов [25] , Г.И.Чандиров [82 - 89 ] , Я.Д.Мамедов [54] , [55] , А.Д.Искендеров ] , К.И.Худавердиев [78 - 81] , С.Я.Якубов [96] , [97J , З.Н.Джалилов [29] , Р.А.Гор-чу-заде [23] , Г.М.Халилов [77] и многие другие.

В 1958 году Г.И.Чандиров [82] впервые применил нелинейный метод Фурье к следующей смешанной задаче:

TF ~ = Т > «*)e[0}T]»SL; (B.II)

ЪС ( О, ОС ) if toe) , = у/сэс; , octXl ; (B.I2) uu,0) = o ? si. = [ о; цт 2 (в.13) и исследовал существование, единственность и корректную разрешимость различных решений задачи (В.П)-(ВЛЗ). В отличие от работ других математиков он отказался от аналитичности правой части и разработал нелинейный метод Фурье для исследования смешанных задач для квазилинейных гиперболических и операторных уравнений.

В 1966 году Г.М.Халилов применил нелинейный метод Фурье для исследования смешанной задачи для уравнения

Он доказал теоремы существования и единственности решения поставленной задачи и исследовал вопрос существования решения, когда коэффициент Липшица имеет неинтегрируемую особенность.

В I97I году З.Н.Длалилов [29] рассмотрел смешанную задачу для операторного уравнения

CG-u.)^ - F и. = , где F и G .дифференциальные выражения соответственно Я г. и порядка, которые вместе с граничными условиями поровдавт самосопряженные положительно определенные операторы с чисто точечными спектрами, и изучил корректную разрешимость данной задачи.

В последнее время Г.Й.Чандировым и его учениками [5] , |[68] , [46] , [47] , [48] , [84] , [87] , [88] , [89] изучена корректная разрешимость смешанной задачи для квазилинейных и нелинейных уравнений гиперболического типа и операторных уравнений в случае когда коэффициенты Липшица нелинейного возмущения по £ имеют не-интегрируемую особенность и в уравнения входит малый параметр при старших смешанных и старших производных;

Отметим, что сингулярно возмущенная задача для уравнений в частных производных изучалась в работах К.А.Касимова [42 ] , Е, Во tUid [12] , Д. Мап-уегоп [56] , К.Р.Касумова [46] ,[47] [48].

Как известно, определение решения дифференциального уравнен ния связано с классом функций, где ищется решение, и топологией, по которой оно удовлетворяет уравнению. В диссертации с помощью интегрального тождества типа О.А.Ладыженской даны определения решения задачи Г£ .

Основная схема исследования заключается в следующем:

Пользуясь интегральным тождеством типа О.А.Ладыженской традиционным способом решение задачи сводится к решению счетной системы нелинейных интегральных уравнений относительно коэффициентов Фурье. После обстоятельного исследования зависимости решения от параметра и доказательства теоремы существования решения счетной системы нелинейных интегральных уравнений, следуя О.А.Ладыженской, построено решение задачи Г£ :

§ 0.1 носит вспомогательный характер и содержит основные определения и факты из функционального анализа и теории уравнений математической физики.

В первой главе, пользуясь нелинейным методом Фурье и ( С, l) суммированием, доказываются различные теоремы существования и единственности для решения задачи Г£ . Отметим, что при одинаковых начальных данных и правой части уравнения (В.9) решения задач и Г0 принадлежат различным классам функций. Тем самым выяснено влияние параметра на шкалу пространств решений.

Для обоснования пренебрежения возмущением для достаточно малых £ > О , мы доказываем непрерывную зависимость решения по £ на отрезке [ О) CL] .

В первом параграфе первой главы приводится доказательство непрерывности и ограниченности линейного оператора

Хи. = X^TJL,.) , где

О S)l

Во втором параграфе первой главы изучается непрерывность и ограниченность нелинейного оператора где <L}$>>s о -некоторые постоянные числа, для любого £ £ С о j а, ] ( с*- > о ) f 2 aj^e) гг сое; ,

На t

В частном случае из утверждения этих теорем вытекают соответствующие теоремы из работ 177] , £ 29 3 » [б ] .

В третьем параграфе решение задачи Г приводится стандартным методом к решению счетной системы нелинейных интегральных уравнений Теорема 1.5 ):

4: SL W=1 оо aK CMJ V* с*^ * mw з (1.10) где

Ом-; л

Vjb =■ 5 У (^)V^Coc) doc . SL собственные значения оператора, соответствующие собственным функциям оператора - of^ , такие, что с?-^ А, Д х**°°пРи к о<=> , параметр и

В четвертом параграфе первой главы доказываются теоремы существования и единственности решения счетной системы нелинейных интегральных уравнений (1.28) и (1.10) в пространствах типа В* (т) и В р^С?) соответственно.

Для случая когда оператор удовлетворяет условию 2 справедлива

ТЕОРЕМА 1.9. Пусть

1) Оператор Q действует из Вя (Т) в / (51-) ограничен и непрерывен;

2) функции f С^) и ^(эс) такие, что

II Гал)118-ст;

3) ( Л) ^ +

Тогда система (1.28) для достаточно малого Т имеет хотя бы одно решение в пространстве 8 р ( Т) .

Анализ условий имеющихся в формулировке теоремы, показывает: а) пусть L ~ О, at ~ ± и .Г*. = [с?* </П - Тогда условие I) j j «J ♦ 11 ^ в теореме означает, что оператор J- Q действует из Вр (Т) в а условие 2) означает, что '(эО £ ^ и у (ос) £ СS1) ; б) пусть Ь = о, «а = 4 и = ГТогда условие I) в теореме означает, что оператор WQ, действует из Вр(т)в

Z (ilT) , а условие 2) означает, что <f'(x) б Z^ (ХО и V с*^) е Z (Л). Сравнение условий а) и б) показывает, что при требований, имеющихся в достаточных условиях для у и У с тем, чтобы решение системы (1.28) принадлежало Bp СТ) , сравнительно больше, чем при = О . Ясно, что если решение задачи Q непрерывно по параметру £. , тогда можно пренебречь влиянием возмущения.

При определенных условиях, имеющихся в формулировке теоремы I.II, доказываются существование и единственность решения; затем для получения общей теоремы единственности, пользуясь методикой Брауэра, расширяется класс функций за счет ослабления условий на коэффициенты Липшица.

Доказана

ТЕОРЕМА I.I2. Пусть I) I ^ + 00 ;

2) nFc^£)jj8iCT)^M~Lu-t±), где г>е€>оу г— оо где o^K-tPjviJIl^ll^^]^ ;

5) Оператор -o[ удовлетворяет условию 2.

Тогда счетная система нелинейных интегральных уравнений гЫ) S (1.28)

7 Л * = * где У имеет единственное решение в пространстве Bt(T) и итерационный процесс Пикара сходится равномерно относительно £ > о в смысле метрики пространства В*. СО .

В пятом параграфе первой главы доказываются существование, единственность и непрерывная зависимость от параметра £. решения смешанной задачи Гг ,

В случае когда оператор — об^ удовлетворяет условию I) имеет место

ТЕОРЕМА I.I5. Цусть

1) OF ' (Лт ) (лт ) •

2) Граница области Л. такова, что имеет место гг 5 ЧС (эО (ос.) doc. • л л

3) Функции и такие, что

I Га,о ц6 ст) о» . л»

Тогда если сХ г) £ £? (Т) при любом £. £ [ о. а ]

С ^ • является решением системы (1.28), то оо 2 я^ сое) к= i. будет се, .

Как и в работах Г.И.Чавдирова [83] , [87] , [88] , [89] , когда для разложения в ряд Фурье по собственным функциям имеет место ( C,i) суммирование, при доказательстве теоремы существования и единственности решения смешанной задачи можно отказаться от дополнительного условия для равномерной сходимости ряда Фурье.

В шестом параграфе первой главы методом ( С, 1 ) суммирования доказываются теоремы существования, единственности и зависимости от параметра смешанной задачи Г при минимальных условиях.

Во второй главе, с помощью решения счетной системы нелинейных интегральных уравнений (1.10), изучены непрерывная зависимость гельдеровость и дифференцируемость решения задачи Г относительно . В случае когда — ~ ——- обоснована формула о X* ла Тейлора для решения возмущенной задачи по параметру £

В § 2.1 второй главы доказываются теоремы d непрерывной зависимости и принадлежности решения классу Гельдера ( решение задачи Г ) • is. '

Отметим, что везде непрерывность да понимается в смысле пространства С » равномерно по L и ос. . Доказана

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть

1) Функция J- ({^^гс) удовлетворяет условиям Каратеодо-ри и такова, что системы (1.28) и (2.1) имеют решения в 8t(Т);

2) | (I ) -fa^ujUcax)\и^-иг \ } где (-£,эс) £ ? о ^ CQ-LjVc) L ^ ^ (Лт) ;

3) Функции с*-) и у Сое,) такие, что

1^1 с. + с-а и

4) Л

Тогда решение задачи непрерывно по параметру и при ъ о имеет место m. 1MU}OC?<L) ~ ЪС ; а) ъс t-L р эс) .

Когда уравнение (В.8) является уравнением поперечного колебания стержня, имеет место

ТЕОРЕМ 2.3. Пусть а) Оператор J- действует из С Sl^) в Lf>(Slr)-j б) Функции ^(Ч^) и У Сое) такие, что

Оо ^ оо JJ I К + - , gA3; ^ + ~ , где + ~~ = 1 и i ^ + о<=> , Тогда

1) U Лх^) в Lip^ (-L) т.е.

2) ЪС C-t > ж, Z.) есть решение задачи Г^ и дважды дифференцируемо, а точнее при зД /э if^ и c-Lв /сд ) и в случае р ~ %

В случае, когда уравнение (В.8) является уравнением поперечного колебания стержня с нелинейным возмущением и если су/ / у— // ^— ч // f шествуют , J J- г J[xit, , то функция ^ как оператор действует из в (Лт) » и кроме того если на границе выполняются условия (2.II), то е Ci) J и в случае р = с^ - %

В § 2.2 второй главы выясняются условия, при которых решение задачи Q удовлетворяет условию Липшица по параметру для любых CLJ и £я е CS*s оЛ^Гх?) т.е. доказаны аналогичные теоремы как и в § 2,1.

Отметим, что при £± з е С , где о решение задачи Г^ удовлетворяет условию Липшица по £ и притом jA (£) = (7 ( fi^Y") при Sо И

В § 2.3 второй главы исследуется дифференцируемость по параметру в смысле Гато решения задачи Г^ и строится формула Тейлора по параметру. Доказывается существование решения счетной системы линейных интегральных уравнений (2.33) в вариациях в смысле Пуанкаре.

ТЕОРЕМА 2.8. Пусть а) Функции Сэс.) и уСх) такие, что б) Функция и.) такова, что oD^^ как oneс 3) ратор действует из W tSb^) в класс абсалютно непрерывных функций для любого t 6. [ О Т ] .

Тогда если C-fe, Z) является решением системы (2.33), то

I) = О. a,

2) для любого £ б Lo-j aj,

Когда функции f (х-) л ус*) удовлетворяют определенным условиям гладкости доказываются справедливость формулы Тейлора для решения задачи по £ , т.е.

5' лг /

Выясняются влияние £. на условия налагаемые функциям if и ^ в случае, когда уравнение (В.8) является уравнением поперечного колебания стержня.

Пусть в (В.8) . ясно, что для Й ОбгВ^" (Т)

J ' 1, к. у имеет место: а) при £, ^ о, jn^ CL) ~ ГЬ И для функций f и ^ получаем соответственно условия о-в» oL+ К +

2. п. if' + 2. n. IVJ к- 1 « i*. • к=1 б) при ~ О . Тогда для функции у {^с) получаем условие

Сю п. I < + 00 •> Z

Kri » ( а для функции у ex.)

00

Замечание. Все предложения и доказанные в работе для задачи

Q теоремы можно аналогичным образом доказать и для следующей смешанной задачи- П с : s

Найти в области JTL ^ = S1 6 К решения уравнения с JL. ъс) + и. ^ OF U, ОС.,и) ; удовлетворяющего начальному условию

VL (<?, ос) - ^f сое.) ; х£ Л; и граничному условию вг и, = о где (зО заданная на XI заданная на

R функция, £ неотрицательный параметр. Эту задачу назовем задачей П £ .

Результаты диссертации были доложены на всесоюзном коллоквиуме по уравнениям математической физики и дифференциальным уравнениям (г.Фергана, 1971), на YHI республиканском совещании математиков Узбекистана (г.Ургенч,1974), на первой всесоюзной школе по уравнениям математической физики (г.Ташкент,1978), на семинаре

По краевым задачам для дифференциальных уравнений" (руководитель академик АН Уз.ССР М.С.Салахитдинов), республиканской конференции молодых ученых (г.Ташкент,1980), семинаре профессора Чандирова Г.И. по уравнениям математической физики в Аз.ГУ им.С.М.Кирова (г.Баку 1970-84гг.)

Эти результаты докладывались так же на семинаре профессора Д.Х.Каримова по вырождающимся дифференциальным уравнениям и уравнениям математической физики на кафедре математического анализа и ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Ферганского Государственного педагогического института.

Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность профессору Чавдирову Г.И. и профессору Каримову Д.Х. за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

§ 0.1. Вспомогательные понятия и утверждения

Этот параграф носит вспомогательный характер и содержит основные определения и факты из функционального анализа и теори уравнений математической физики, заимствованные из [з] , [44 ] , [32] , [49] , [83] , [80]

I. Функциональные пространства

Цусть Si (Т; О = = с'^ою,**^ t = 0,1,- ••, К . В этом множестве определим операции сложения двух элементов и умножения элемента на скаляр покоординатно. Тогда данное множество 31 становится линейным векторным пространством.

Рассмотрим некоторые^подпространства данного пространства. I. Пространство в„ (т) . Рассмотрим те элементы векторного пространства которые удовлетворяют условию со р

Л ГГЬС^ОС

КХ^ШП ^ + ОО , Об ^ С? , K.t 4 fb ' где IV и * ^ при n^ . Это множество обозначим через В р ( Т ) .

Если в Вр (Т) определить норму элемента по формуле

I Я|8- ст) = [§ (К. р то Bp C^J будет пространством типа Банаха [82] , [83] .

2. Пространство Bp' (T) . Из 2 (Т; 1) выделим те

Ct € Л (Т; ±) которые удовлетворяют условиям: оо

2 (Л* ггъ CL ос Icx^C-Olу ^? V& И a j

X ^ -4 < T J

Ц^4* , X^—> 0,0 ПРИ П- —> ^^ , и это

Z3 где

• - • -множество обозначим через В СТ-) J С®6 ^ О, J3 ^ с?}

В этом множестве норму элемента Cl (.-£,€.) £ Bp (Т.) определим с помошью формулы Р 2 < т 1 f |р

00 0 \Г Р

Это пространство типа Банаха [44] , ^83 ] .

Замечание 0.1. Если в определении I просто обозначается через Bp (Т).

Замечание 0.2. В определении 2 через чается пространство с нормой элемента а«,б)б в р *(V

J. = О , то Bp (т)

В'р'^СТ) обозна

II a. (т) = Z (K а через (Т\) г с нормой элемента Й (■£,£) € В L (Т)

11 =fl Viatel

3. Пространство к, (T) . Обозначим через Впи (ТО

О Кте элементы которые удовлетворяют условию х>

- ~ ^Ъ-L 9

-и и вели в множестве норму элемента CL (i, £-) определить формулой

Л 01

Z (К ъя^КМ)

W- — — < v то это пространство типа Банаха.

Замечание 0.3. Если в определении d - О , к о то Bp ,, (Т) s Bp СО . И если только к = о , то б£в ст) * в* ст;.

4. Пространство . Пусть Z^C^) -собственные функции положительно определенного, самосопряженного оператора с чист от очечным спектром -о£ , Л^, - соответствующие собственные значения.

Для каждого элемента Си Вр (Т) определим оператор следующим образом j

Я £ О - = s t-v=l

Обозначим через Ер область значений оператора piT) на Е;

Очевидно, что оператор Ц отображает Вр (Т) на Ер (£1 ) т.е. с? •' В; ст; — ЕР (Лт).

5. Пространство С-^-т) . Каждому элементу

С1 Dp (Т) соотнесем функцию

Оо

Оаал) = Z

И.— 1 где (xj) - функции из определения 3. и™ . Г ^

Класс таких функций обозначим через С я

6. Пространство

Обозначим через И^/об*^) множество функций таких, что и х-) при фиксированном Т] принадлежат области определения оператора , имеют к -тые производные по -L , принадлежащие L^(Sl) , и обращаются в нуль при -L ^ Т-й. ( > О -зависит от Где т ,

I ^с/^ Со о Л

Ясно, что пространство (^зСх. ) BCIW плотно в пространстве Zip (ilT) ,[83].

- 26

Для функций из ^справедливы соотношения:

Lrb { ф doc. = О при к =2 ± л и feirb S £ «.xjU* = £ ^ . doc.^ О

-L ->т ii при к = £.

7. Определение решения задачи /g. Г по Ладыженской. <9, А.)

Если функция ТА* С4>л х.г L) € Е удовлетворяет следующему интегральному тождеству о гли л для любого , то функция ItC-L^^s.) называется j )) решением задачи и кратко обозначается ( £ ' ))РС •

8. Условие Каратеодори. Пусть дана функция

О ^ определенная в области ЛхКлКл!? .

- д>3

Если функция J- i^^Mi.определена на , непрерывная по U^) почти при всех € и измерима по совокупности остальных переменных при всех значениях {^-tj^i U3)€lR » то будем говорить, что функция удовлетворяет условию Карате од ори.

9. Оператор В ходе исследования в некоторых случаях будем различать два типа оператора -У в зависимости

Дм от того, что какому из следующих условий удовлетворяет — ьС :

Условие I. Дифференциальный оператор — имеет полную ортонормированную систему собственных функций в h (JTV) .

Условие 2. Оператор — ^f имеет полную ортонормирован

PC ную систему собственных функций в (-П-) i причем множество собственных функций ограничено в совокупности, т.е. существует положительное число J^L такое, что для всех К = имеет место It^C^OK Л и для собственных значений сходится ряд ^ для ± р ^ Z , где Л и. собственные значения, соответствующие собственным функциям О) оператора - ьС^ и такие, что О А^ .

10. Будем преполагать относительно границы области что имеет место о) ^ и сх) = - Я2*. $ л ii где собственные функции, а Л ^ соответствующие собственные значения оператора — ^ , 1С Сэс) любой элемент дС* из области определения оператора — .

•'С

11. Порядок оператора —^ . Пусть oL 6 ^ любое число.

Л"

Назовем число cL порядком оператора ■—Zc^ если справедливо равенство

-<£«) г£ (х) =. где и" Сое) собственные функции и -X ^ - соответствующие собственные числа оператора — ос •

12. В случае, когда оператор — ьС^ удовлетворяет условию I, будем предполагать, что и для любого dL > О , f> 1 , jp. + - I .

13. Если оператор — удовлетворяет условию 2, то

Ер ( лт) с: 1р (Лт), где об > о ; со f

14. Пусть некоторое множество из Обозначим через 53к множество элементов 6. , которые являются

К -той компонентой, хотя бы одного элемента из .

Определение 0.14. Если для любого 8"> о можно найти число такое, что при у N (£>) имеет место

2 Нхк||о ^ & ^ равномерно на множестве , то будем

VCry-^t. О к: говорить, что множество имеет равномерно стремящийся к нулю остаток.

II. Некоторые неравенства типа Рисса-Зигмунда-Марцинкевича (Р.З.М) и Гронуолла.

ТЕОРЕМА 0.1. (Ф.Рисс)([31] т.II с.154) Пусть ± ^ р Я.

Если функция f € ортонормированная система функций (t£CxO^ равномерно ограничена, то для коэффициентов Фурье = £ / ч, с*) ^, = . (o.i)

XL с k У > со.2) р ^ имеет место - i где

II. Для любой последовательности (С^ ) с конечной нормой С Н g существует функция $ С*-) € L^St) , удовлетворяющая равенствам (0.1) при всех М- = и такая, что

IUM). . (о.з)

Доказательство теоремы для одномерного случая приведено в монографии Зигмунда [31] , а для многомерного случая в работе [83] .

ЛЕША 0.1. Пусть функция 1С Ci) £ С С O^TJ , и d) & о V-L € [ о; Т] и удовлетворяет неравенству 6 о где х (Ч) и ^ С-0 неотрицательные и интегрируемые функции на отрезке [о-; Т ] , а функция ограничена на Г^/Т].

Тогда имеет место неравенство

I i 1

-j^cd^ (г,1)

Неравенство Гронуолла-Беллмана.

Пусть IL (-L) и ос (i) непрерывные неотрицательные функции удовлетворяюще при t > неравенству L при с } о .

Тогда функция bL^-L) при удовлетворяет неравенству

4: и-сD .

Доказательство этого неравенства приведено в [83]

1. В.М.А лександров , М.Д. Солодовник Асимптотические решения задачи в цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве. - Прикладная механика, 1974, 10, 7, с.77-83.

2. М.Т. Атакулов 0 решении методом Фурье конечных и бесконечных систем с нелинейными частями. -Автореферат канд. диссертации, Ташкент, 1980, 18 с.

3. И.К. Б а р и Тригонометрические ряды 1961, Москва, "Наука", 936 с.

4. К аххар Байкузиев.О решении смешанных задач для нелинейных уравнений гиперболического типа, выро издающего на границе области. Кащщдасткая диссертация, Самарканд, 1968 Д5 с.

5. К. Б а й к у з и е в , К.Х. 11 а б а д и к о е Смешанная задача для лдного нелинейного уравнения второго порядка вырождающегося на границе области Тр.Таш.гос.пед.ин-та, 1976,164,с.19-27

6. К.Б. Б а й к у з и е в ,М.Ка сым ова Смешанная задача для линейного уравнения четвертого порядка вырождающегося на границе области. -Изв.АН Уз.ССР, серия физ-мат, наук, 1968,В 5.

7. К.Б. Б а й к уз и е в , Б.С. Калонов 0 разрешимости смешанной задачи для уравнения высшего порядка, вырождающегося на границе области. -В сб. "Краевые задачи для дифференциальных уравнений", Ташкент, "ФАН", 1972, & 2, с.40-54

8. К.Б.Б айкузиев 0 разрешимости смешанных задач для уравнений высшего порядка, вырождающихся на границе области. -В сб. Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложенияв гидродинамике,Таш.ГПИ.1982г.,g.3-II.

9. UUBarbuti Jnat**i г&СНе,пьш2 Lyl problem, di propafy&Lone semi tinaarL.- Jttnak detteswvlou normal svperiore dc Pusa, 19G*, 11,П.С.Н.Б e p н штейн Об одном классе функциональных уравнений с частными производными. Изв.АН СССР, т.4, № 1,1940г.

10. L.Б ВоЬ/stcl Ths. second uttla^Wag/ vaiue problem for a iineor paracolic zc^Qiion. wd\\<x smaii para meter:-^Mich. MalU. Л 1Щ ы^ ЩррМГ-Щ.

11. М.М.В а й н б е р г Вариационные методы исследования нелинейных операторов. -М.; "Наука", 1956, 344 с.

12. В.В азов Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Мир,1968

13. Е.А.Г р е б е н и к э в , Ю,А.Р я б о в Новые качественные методы в небесной механике. Киев,гНаукова думка 1971г.-442с.

14. Е.А.Г РЕБЕНИКОВ, Ю.А. Ю.А.Р я б о в Резонансы и малые знаменатели в небесной механике.-М.:Наука, 1978.-126 с.

15. Е.А.Г ребеников , Ю.А.Р я б о в Конструктивные мето-тоды анализа нелинейных систем. -М.:Наука, 1978г. -432 с.

16. Б.В а н- д е р -П о л ь (В.Van ekr Pot) Oh reiCiDciiOYiOSCL £tflUcnsrPfilbs. Mag. (1926) p.p.9H-992.

17. А.Б.В асильева 0 дифференцировании решений дифференциальных уравнений,содержащих малый параметр.-ДАН СССР,М.:1948,JG 4, с.597-599.

18. А.Б.В асильева 0 дифференциальных уравнениях, содержащих малый параметр.-Мат.сб.31 (73),1952, Л 3, с.587-644

19. М.И.В и ш и к ,Л.А.Л юстерник Регулярное выродэдение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром.-УМН,12,1957 Л 5, с.3-122

20. М.И.В и ш и к , Л.А.Л ю с т е р н и к Асимптотическая теория решений задач с быстро колеблющимся граничными условиями уравнений в частных пр0ИЗЕ0Дных.-ДАН СССР,т.119,1958,с.636-639

21. А.И.Г усейнов,К.К.Гасанов 0 применении метода Фурье к решению смешанной задачи,для одного класса квазилиней^ ных гиперболических уравнений -ДАН СССР,1963,148,$ 3.

22. И.С.Г радштейн Дифференциальное уравнение с мальм множителем при производных и теория устойчивости Ляпунова.-ДАН СССР 65,1949,гё 6, с.788-792.

23. Ю.Л.Д а л е ц к и й Асимптотический метод для некоторых .дифференциальных уравнений с осциллирующими коэффициентами.-ДАН СССР,1962,143,№ 5,с.1026-1029.

24. Ю.Л.Д а л е ц к и й , С.В.Ф о м и н Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах.-М.:Наука,1983,384с.

25. И.Д ж а л и л о в Исследование смешанной задачи для операторного уравнения: (Gu)tt~ Fu = QP лл, <ЦЬ, ftti). —Автореферат кандидатской диссертации,Баку 1971,13с.

26. В.А.Д у б р о в с к и й 0 некоторых нелинейных интегральных уравнениях-Уч.записки МГУ.,; вып.30,математика,КН-З-я, 1939.

27. А.3 и г м у н д Тригонометрические ряды.-М.:"Мир",1965; T.I 616с.,т.2-540с.

28. A.B.3 и м и н Задача Коши для линейного уравнения второго порядка с малым параметром,вырождающегося в пределе в уравнение с особыми точкагли-"Дифференциальны уравнения--1969,т.5,№ 9, с.1989-1593

29. В.А.И л ь и н Ядро дробного порядка-Мат.сборник 1957,41 (83).

30. В.А.Й л ь и н 0 разрешимости смешанных задач для параболического и гиперболического уравнений-УМН.,I960,т.ХУ,вып.2,92,с.97-159.

31. А. Д.И скандеров 0 смешанной задаче для нагруженных квазилинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа -ДАН СССР, 199,}Ь 6,1971г.

32. М.М.К а б а ц и й ,И.И.М а р к у ш Асимптотичне забражения разв"язку мшано задач для р/вняне четвертого порядка з малым параметром при старшШ пох/дн/й -Допов\д АН УРСР,1969,А, й 8, с.679-681

33. Б.С.К а л о н о в Смешанная задача для одного квазилинейного уравнения высшего порядка.вырождающегося на границе области,Тр.Ташкентского гос.пед.института",1976,164,с.II-18.

34. К Caroteodonj Vohs-ищгп ъ&ег reitde. •funnUoneh. 2-ol pzigoyidber£ln3 4918.

35. Д.Х.К а р и м о е 0 периодических решениях нелинейных уравне-т ний четвертого порядка.-ДАН СССР, 1945,10,)£ 9.

36. Д.Х.К а р и м о в Смешанная задача для одного вырождающегося квазилинейного уравнения высшего порядка.-Тр.Ташк.гос.пед.ин-т", 1976,164,стр.4-10.

37. Д.Х.К а р и м о в, М.К а с ы м о в а Смешанная задача для линейного уравнения четвертого порядка,вырождающегося на границе области.-Изв.АН Уз.ССР,серия физ-мат,1968, № 2.

38. К.А.К а с ы м о в Асмптотические разложения решений задач с начальными скачками для обыкновенных интегро-дифференциальных и гиперболических уравнений с малым параметром при старшей производной,Докторская диссертация.-Алма-Ата,1971г.

39. М.К а с ы м о в а Смешанные задачи для линейного и квазилинейного уравнений четвертого порядка,вырождающегося на границе области.-Кандидатская диссертация,Фергана,1969г.,115с.

40. М.А.К р а с н о с е л ь с к и й ,П.П.З а б р е й к о ., Е.И.П устыльник ,П.Е.С абольский Интегрируемте операторы в пространствах суммируемых функций 1966г.-М.:Наука,1966,500с.

41. G. R Carrier Sin^utar perturbation -theory-Ohd geophysics^ „ S.2AJVL Pev? Wq л/2, pj>.m-i93.

42. K.P.K а с у м о в Влияние сингулярного возмущения на решение смешанной задачи",Научные труды MB ги ССО Азерб.ССР, серия физ-мат. наук 2,1979, с. 76-84.

43. К.Р.К а с ум о в Зависимость решения смешанной задачи от возмущения границы.Научные труды MB и ССО Азерб.ССР,серия физ.-мат.наук5,1979,с.106-109.

44. Ж.Л.Л ионе Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.Мир,М.,1972,587с.

45. С.А.Л о м о в Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.:Наука,19б1г.,400с.

46. Л.А. Л юстерник , В.И.С о б о л е в Элементы функционального анализа.Наука,М.,1965.

47. Я.Д.М а м е д о в ,С.А ш и р о в ,С.А т д а е в , Теоремы о неравенствах.-Ашхабад: "Илым",1980г.

48. Я.Д.М а м е д о в ,Г.М.Н оврузов К теории решений дифференциальных уравнении с вольтерровским оператором.-Дифференциальные уравнения 8,1972, № 6.

49. D. Мапфсгоп., И. М Oqustorzb Opiimat ргоб^мin dCslruivied porormUr control ft-tem s (m).Bu(tJfisi.potikkh. ZJq^L'I WQ, я АГЗ-tj pp. €5-70.

50. Е.Ф.М и щ e н к о ,H.X.P о з о в Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.-М.,Наука,1975г.248с.

51. Р.Н.М олодожник ова Устойчивость клиновидного профиля в сверхзвуковом полете.-"Тр.Моск.Авиа."1969,вып.186.с.80-102.

52. Р.И.М у р а д о в Смешанная задача для гиперболического уравнения с малым параметром.-"Изв.АН Азерб.ССР сер.физ-техн.и мат. наук."1969,$ 6, с.17-21

53. В.В.Н е м ы ц к и й Теория существования и единственности для нелинейных интегральных уравнений.-Мат.сборник 1934,41 (3)

54. R. Е. Н. On a ioundary vaiue prvMemOu поп faneor to,<uQHon willj asmcitt parameter;. 5 ЯЛЖд. Appt' MqIWo 4969, fy pp «569 J

55. C.M.H и к о л ь ск и й Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами.-Труды математического института АН СССР,1945,т.15,с.1-76

56. И.Г.П етровский Лекции по те ори дифференциальных уравнений.-М. :Наука,1975

57. И.Г.П етровский Лекции по уравнениям в частных произв одных.-М.,Наука,1966

58. Л.С.По н т р я г и н Асимптотические поведение решении систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных. -ИАН СССР, 1957,21,$ 3,с.605-626.

59. А.П у а н к а р е Соьрание соч.т.1.-М.:Наука,1971.

60. Р елей(Лорд.Дж.В.Стретт) Теория звука.-М.: 1955,504с.

61. Э.А.Р з а е в Аппроксимация решений сингулярных смешанных задач,решениями регулярных задач.Научные труды MB и ССО Азерб.ССР,серия физ.-мат.наук3,1979,с.10-18. *

62. М. R. SubHgl bouvuiaf^ progfem th a ъоп&маг parkat ckf^erentlcA equations.- Luckmow Onlver\stt^ s-ludtes, Faculty o\ sekke, J939,

63. M.R. Sic\<kaL Caucus pro££*m parUafc duttcr^nUdl fyuaUonsA.C L^pe.ePrt>c.Cor*.erto|ge PW soc 3U493r), M.19&02.

64. А.Н.Т и х о н о в ,В.Я.А р с е н и н Методы решения некорректных задач: М.: Наука,1979

65. А.Н.Т и х о н о в Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных"-Матем.сб.1952,т.31(73),с.575-586.

66. Дж.У и з е м Линейные и нелинейные волны.-М.:Мир, 1977г.

67. А.Н.Ф и л а т о в Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.-Ташкент,1974г.

68. Г.М.Х а л и л о в Решение нелинейной смешанной задачи квазилинейного уравнения второго порядка и квазилинейного уравнения четвертого порядка -Кандидатская диссертация,Баку,1968г.-15с.

69. К.И.Х у^авердиев "Нелокальные теоремы существования и единственности решения предельной краевой задачи на полубесконечной прямой для одного класса квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка" ДАН Азерб.ССР,Т.ХХП,& 5,1966,с.3-7

70. К.И.Х уда вердиев "Решение предельной краевой задачи- 154 на полупрямой для одного класса нелинейных гиперболических уравнений второго порядка" ДАН Азерб.ССР,Т.ХХШ, £ 2, 1967

71. К.И.Х уда в ерди е в "Исследование сильно обобщенного решения многомерной смешанной задачи для одного класса гиперболических уравнений второго порядка с нелинейной операторной частью" ДАН Азерб.ССР № 5-6,1971г.,с.25-31,84-89.

72. Г.ИЛ а н д и р о в Решение смешанной задачи методом Фурьедля уравнения Ii,-IL-F .Ученые записки АГУ им.С.М.Киxtрова,сер.физ.-мат.наук, J£ 3,1958, с.12-18

73. Г.ИЛ а н д и р о в Смешанная задача для квазилинейных уравнении гиперболического шипа.-Докторская диссер.Баку, 1970г. 248с.

74. Г.И Л андиров Об обобщении неравенства Гронуолла и его приложения.-Ученые записки Азерб.Ун-т,серия физ.-мат.наук, 1978, № 2, с.27-31

75. Г.ЙЛ андиров,Э.А.Р заев 0 корректности в смысле А.Н.Тихонова нерегулярных задач. Азерб.Унив.г.Баку 1980г.,18с. (Рукопись Деп.в ВИНИТИ, 27/Х1-80г.) № 4998 80 ДЕП.

76. Г.И Л андиров Об одной спектральной задаче для дифференциального оператора второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами" -Азерб.Ун-т,Баку,1981г.,17с. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ l/YI-8Ir. }£ 2600-81 ДЕП.)

77. Г.ИЛ андиров Об одной нерегулярной спектральной задаче для одномерного оператора Шредингера с кусочно-постоянными коэффициентами.-В сб. "Столкновение частиц с яд рами, атомаш,молекулами ", Баку, 1982, с. 55-59.

78. Г.ИД а н д и р о в , Э.А.Р заев "Приближение решений нерегулярных смешанных задач решениями регулярных".-"Республиканский симпозиум по дифференциальным уравнениям", тезисы докладов, Ашхабад, 1978, с. 88

79. К.Х.Ш абадиков 0 существовании, единственности и непрерывной зависимости решения смешанной задачи для одного нелинейного уравнения четвертого порядка-В сб."Краевыезадачи для диффер.ур.","ФАН",Ташкент,1973г.,с.74-83.

80. К.Х.Ш абадиков 0 разрешимости смешанной задачи для одного нелинейного уравнения четвертого порядка в непрерывной зависимости решения от параметра'-Исследования по проблемам физико-математических наук" сб.научн.трудов Таш.ГПЙ,т.240, 1978г.,с.23-28

81. I.ScKouder GemufMe RqM mnovert tutparUWen von tSW.NlatVi.,fc.Vl., iQ36.

82. Н.Н.Ш .ополов Смешанная задача для одного гиперболического уравнения 4-го порядка.-Годишн.Высш.Учебн.заведение.Приложение матем.(1976) 1978,12,№ 2,с.29-40.

83. Н.Н.Ш ополов Смешанная задача для одного гиперболического уравнения 4-го порядка.-Годиш.Высш.Учебн.заведен.Прилож.матем. (1976) 1978,12,-2, с.29-40

84. С.Я.Я кубов 0 разрешимости задачи Коши для эволюционных уравнений.-ДАН СССР, 156, J£ 5,I964,c.I04I-I044.

85. С.Я.Я кубов Разрешимость задачи Коши .для дифференциальных уравнений в Банаховом пространстве."Функциональный анализ" -Труды института математики АН Азерб.ССР,1967,с.187-206

86. Д.К.Л и к а ,Ю.А.Р я б о в Метод итераций и можарируюшие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний-Кишинев: Штинница,1974-291с.

87. Х.М а х м у д о в ,К.Х.Ш абадиков 0 разрешимости задачи Коши для некоторых дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах-Рукопись депонирована в Уз. НИТИ 1984,№ 1,775, 24 с.