Исследование слабого решения смешанных задач для квазилинейных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ.

РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ.

§ I. Интегральные неравенства и непрерывность оператора суперпозипии

§ 2. Сведение решения задачи (O.I)-(0.3) к решению счетной системы нелинейных интегральных уравнений.

§ 3. Существование и единственность решения счетной системы нелинейных.интегральных . ■ уравнений.

ГЛАВА П. НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ

СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ОТ ДАННЫХ И НЕКО- . ТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ.

§ I. Зависимость.решения смешанной задачи от. данных.

§ 2. Теоремы о единственности решения

§ 3. Некоторые вопросы.приближенного решения задачи (O.I)-(Q3).

Основным вопросом диссертационной работы является исследование смешанных задач для квазилинейных уравнений, у которых внешняя сила возбуждения зависит от искомой функиии и её производных, причем имеет неинтегрируемую особенность в начале временной координаты, в силу чего решение теряет свойства единственности и корректности в смысле А.Н.Тихонова. Следовательно задача становится некорректной.

Распространение различных волн: упругих, звуковых, электромагнитных, а также колебательные явления при больших амплитудах описываются нелинейными гиперболическими уравнениями. .

Во с* релятивистскои квантовой механике рассматривается смешанная задача для уравнения

AU*|U.| И + ,х) , в теории плазмы встречаются смешанные задачи для уравнения типа ]33^ u u ж - Аг U + £.(lu ДЦ,U .

Исследования некорректных смешанных задач представляют значительный интерес как в теоретическом, так и в прикладном аспектах, когда нелинейные возмущения относительно времени имеют неинтегрируемую особенность, например, как в уравнении Дарбу: *Ц^Д, вырождающемся при , если записать его в виде t AU.^ •

Следовательно актуальность темы диссертации безусловна. Как известно, в последнее время, под руководством академиков А.Н.Тихонова [42] , М.М.Лаврентьева [27] , члена-корреспондента АН СССР В.К.Иванова \lQ\ интенсивно развивается теория некорректных задач. Возникает необходимость, пользуясь идеями методов некорректных задач, развивать существующие метода исследований смешанных задач, рассмотреть более общие дифференциальные уравнения, охватывающие многие классические случаи.

Созданы различные методы для решения линейных и нелинейных смешанных задач. С помощью рядов Фурье построены и обоснованы различного вида решения смешанных.аадач для линейного.гиперболического уравнения в работах С.Л.Соболева [40 } , О.А.Ладыженской [28] , В.А.Ильина [l9] , З.И.Халилова [43 } и др.

Исследованиями смешанных задач для квазилинейных уравнений занимались Л.Лихтенштейн [3l] , М.Кржижанский [26] , ИЛИау-дер[2б] , Л.Лионе ^29,30] ,. А.В.Бицадзе [б] , А.И.Гусейнов [XI,12,13} , Г.И.Чандиров 146,4?] , К.И.Худавердиев [l2] , К.К.Гасанов [il] , А.Д.Искандеров \2l] , С.Я.Якубов [48] и другие.

В данной работе нелинейным методом Фурье с сочетанием методов исследования некорректных задач теории дифференциальных уравнений изучается влияние порядка особенности при "t-О нелинейного возмущения на вопросы существования решения, скорости сходимости итерационных процессов, непрерывной зависимости от данных, единственности и приближенного нахождения слабого решения следующей некорректной смешанной задачи.

Найти функцию удовлетворяющую уравнению

ОД) в области О -(^оД^Х Я » начальным условиям и граничному условию

BpU^O . (0.3) rS Г

Здесь С t t —S - мерное эвклидово пространство, ^Х), , *?(Л , X, IL,U,UI)- заданные функпии,причем определены в области ^ , а ,X,U,U",Ltf) в области A]

Функция относительно Т. может иметь особенности вида:

U ТГ КГ 1 1 1 постоянные, ^осЧ^эс^эс^'"^^) симметричное положительно определенное дифференциальное выражение, которое вместе с граничным оператором Bp порождает оператор ^ , имеющий чисто точечный, спектр в оЕ^(^). Уравнение (0,1) содержит в себе уравнение Дарбу. о

В качестве основных положении, полученных в .диссертации отметим:

1) обоснование процесса Пикара для существования и единственности слабого решения; теоремы о непрерывной зависимости от данных; теорему единственности типа Перрона и Браудера ^б] ; являющихся обобщением работ Чандирова Г.И. и его учеников, в которых нелинейное возмущение зависит только от искомой функции и имеет особенность конкретного вида.

2) В представленной работе, в отличие от известных нам работ, в зависимости от порядка особенности коэффициента Липшица, нелинейного возмущения и свойств оператора выделены ноше классы функций, где получена частичная корректность задачи; для построения приближенного решения обоснован метод квазилинеаризации; изучено влияние порядка особенности коэффициента Липшица нелинейного возмущения £ при £ — О на скорости сходимости процесса Пикара; аналогично, как и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, дано по-, нятие особого решения и выяснены достаточные условия устойчивости этого решения в определенном смысле.

Для исследования задачи (0.1) - (0.3) определим следующие классы функций: fc^-ijlj'b,."^. Выделим следующие подмножества : р

ОС5 Г шдх lei i£P, р А а I fc=i * о^НТ k оо tap K04UT t* I' lk=i404tiT . tti d, jU.,5^4. или 0

I \=i o^Ur1

00 ( Cl in p ~'Tl'Tl>/0'Up"' ,JUel'0l

Если определить нормы в этих множествах следующим образом:

PfP MA '

P>H то можно показать, что они становятся пространствами Банаха. Эти пространства будем называть пространствами типа Б При исследовании задачи (0.1)-(0.3) мы различаем два вида операторов : а) - к) - имеет полную ортонормированную систесобственных функций в (условие I); б) оператор - Id удовлетворяет условию I, причем множество собственных функиш ограничено по совокупности и со 1 я н • где - Л ^ соответствующие собственные значения оператора,^

YVIC-S ^ < "V,00 (условие 2). Условие 2 сужает класс операторов tv .

Б случае, когда оператор Ь удовлетворяет условию I и для 5 имеет место опенка задача (ОД)-(О.З) исследуется в пространстве В ' (Т) ,а когда У удовлетворяет условию

I . ,|ul \и\ lurl

X 1 • 1 »0> исследуется в пространстве

О >"л>1 здесь aaA^eU^^) , dcbe^aio,Т) •

А в случае, когда для оператора U имеет место условие 2) и У удовлетворяет условиям

1 jet а дл 1 i a it ,xy+ d li)^ задача изучается в пространствах

В ' tT) и В„ (Т)

А } ^ соответственно; здесь

В случае, когда функция Y не зависит от , удается расширить класс операторов U •

Для исследования решения в случае, когда коэффициент

Липшица имеет особенность вида \ при определим следующее многообразие. Пусть задана последовательность и - любая последовательность из # Обозначим через множество последовательностей йи(А) , для которых о. С/^ ^

LlWLD* > .,VV\acr I--J-4——г- -0 oL &

В H (d , Ь) МОШО определить норму разности CL~b

-SUJP ^ ? * .

НоН&Г * ^ » >1 VWCX'X- ---4

Y\=i O^MlL г^

Нетрудно видеть,что л. (d,b) - выпуклое замкнутое многообразие. Здесь dt^O > jb^O.

Для простоты записи примем обозначения

- р-ГЛМЛ. -- +

Решение, как и в работах О.А.Ладыженской £28]. и В.А.Ильина £19], пользуясь идеями С^Л.Соболева 140], определяем с помощью интегрального тождества.

Для определения таких решений задачи (0.1)-(0.3) введем следующие классы функций.

Обозначим через множество функций , принадлежащих при фиксированном ,имеющих вторые производные по , принадлежащие » причем для каждого элемента существует число Т. е 10 ,Т) такое, что VI (Аs 0 при "t £ (^i ,Т).

Далее, обозначим через ^ р^аТ 8 8 tf^ Tfl^l 1 of' ' *

InI множество функций Ц^Ьх^^ОрД) 1ГИ (X), для которых СЦг) ИЗ й С' ), 6 . Л1 ), D t 1 ) pifp рД^ P,jii соответственно.

Hi "Р^'Р

Определение I, Если Llct,3C.) ^ дТ^

Pi' Р удовлетворяет интегральному тождеству Т j ((ud.*^ 3 dcz*0 (0.4) для любого 4P(ji,X) eA^lL) , то согласно С.Л.Соболеву [40] и О.А.Ладыженской ^28], функцию Uit 1X) будем называть Р р^Т^^З.^^^ решением задачи (ОД)-(О.З) и кратко будем писать (^Д^) Р ( р - решение).

Если в определении I ,Х) (W^ (CjT) ~ пространство Соболева ), то решение будем называть ^"W^C^rpb - решением задачи (ОД)-(О.З). Очевидно, любое является Рвшением, но обратное не всегда верно.

По определению (Д; ^ ^ C^ip) » W^CM) р задачи (0.1)--(0.3) и по предположению относительно оператора L , любое (jL р' р разлагается в ряд Фурье по собственным

- II

Функциям оператора 1>/ почти для всех t С (0,Т)в причем единственным образом. Имеет место со

U (I, 1Е1 a ) IX) (0.5) где в смысле ,

Поэтому мы вправе искать ^рСЧ^^г^^ Р в виде

0.5). v

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации, которая состоит из,введения и двух глав. Первая глава состоит из трех параграфов. Для удобства, формулы обозначаются,номером данной главы, параграфа и порядком формулы в параграфе.

Первый параграф состоит из двух пунктов. В первом пункте приведены интегральные неравенства, которыми пользуемся при до-. казательстве единственности.решения, непрерывной зависимости, а также для получения априорных оценок.

Из определения решения ясно, что оо 00 .

СХЭ оо Ч 1 £7

С^ЛЛ)^>•• ■■. йЩх 1 е4(gт).

Это значит, что оператор суперпозиции if должен переводить элементы пространства типа Б в элементы • Поэтому необходимо выяснить условия, при которых функция J" ,как оператор суперпозиции, действует из пространства.типа В в пространство ^^С^тЛ непрерывно и ограниченно. Это и делается во втором пункте § I первой главы.

- 12

После выяснения нушшх свойств для действия оператора, суперпозиции 5" » решение задачи (0,1)-(0.3) как и в других работах [28}, [48] , сводится к решению счетной системы нелинейных интегральных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Фурье^ CL^Ct) решения: гда • Л I п . . - ЫМ-ХЛ ( ыйлД*^ —z—> 1Ы [цхШх)(Лх, и ^IW^dx, со ОО ait) ил ос),

Its 1 к 1 к оО

Я?" - собственные значения оператора- !v 0 —

§ 3 главы I состоит из трех пунктов. Первые два пункта посвящены установлению условий существования и единственности решения системы (0.6) в различных пространствах типа В :.

В первом пункте.предполагается, что оператор L) удовлетворяет условию I. Сформулированы достаточные.условия су^-ществования и единственности^решения системы (0.6) в пространствах Ь ' сТ) и СТ) .Налагая дополните льные условия на функции Ц) » » указываются способы расширенея классов нелинейного возмущения . В конце установлены теоремы существования и единственности в классе Н^ '

Во втором пункте, сужая класс операторов lv , доказаны теоремы существования в узких классах функций, расширен класс нелинейных возмущений ?

Отметим, что если в неравенстве (**)функция с|14Л принадлежит <^г(0,Т) » то скорость сходимости процесса Пикара как и в классических работах, получается в виде К*1

С 0 -^-у , где VI - номер итерации, К - некоторое • » число; если d (А) имеет неинтегрируемую особенность в точке нуль, то решение ищется в классе и скорость сходимости процесса Пикара аналогична скорости сходимости степенного ряда. Другими словами, сильная особенность коэффициентов Липшица приводит к классам некорректных задач и снимает со знаменателя скорости сходимости И \ Непрерывная зависимость решения от данных не имеет места в H^'^C^; 8)» Сле~

U d' Р г довательно, R ^ (d,?>) является классом существования и единственности решения оистемы (0.6).

В последнем пункте, следуя С1;Л.Соболеву [40], доказано, оо что функция (*), где a„(-fc) решение системы (0.6) удовлетворяет интегральному тождеству

0.4),то есть Ц(1,х) является слабым решением задачи(ОД)--(0.3).

Вторая глава посвящена непрерывной зависимости решения смешанной задачи от данных и некоторым вопросам приближенного решения. Она состоит из трех параграфов. Известно,что решение смешанной задачи(G.I)-(0.3) , кроме t, ОС. зависит еще от ^, "ЦТ, J , Т - где ТТ - начальный момент времени. Поэтому, решение задачи символически можно писать в виде С точки зрения приложений, представляет интерес указать достаточные условия, при которых решение смешанной задачи (0.1)-(0.3) непрерывно зависит от данных, априори ограничены, решение корректно в смысле Адамара, устойчиво по Ляпунову в различных пространствах типа В • Этим вопросам посвящен § I второй главы. И в этом параграфе в зависимости от свойства оператора U> и порядка особенности коэффициента Липшица функции У изучены вышеуказанные вопросы.

Отметим, что когда ? является суммой двух функций, одна из которых удовлетворяет условию Липшица, а другая - условию Гельдера, доказана ограниченность решения.1

Основные рещультаты относительно частичной корректности:

1) Если коэффициенты Липшица нелинейного возмущения ^Г как в теореме Г.3.1 (стр.43), то получены непрерывная зависимость решения от данных Ц) , £ и начального момента времени в пространстве (TV, 7

2) Если порядок особенности коэффициента Липшица нелинейного возмущения 7 как в теореме 1.3.2 (стр.49), то решение непрерывно зависит от 9- и начального момента времени в прогтг странстве 6 г ± l II) , когда If (х) =.\jJ(X) = 0 .

3) В случае, когда порядок особенности коэффициента Липшица как в теореме 1.3.5 (стр.58), нам удалось изучить непрерывную зависимость решения только по возмущениям ^ в пространстве

Отметим,что когда особенность высока, задача (0.1)-(0.3)

- 15 - . . не является корректной и в смысле А.Н.Тихонова,

Во втором параграфе этой главы установлены достаточные условия только для единственности решения счетной системы (0.6). Отметим, что результаты этого параграфа не содержатся как частный случай в результатах предыдущих параграфов. Мы предполагаем, что имеет место:

I HI , u, Ln - , X, u t, IT J) u где

В этом параграфе находим класс функций K(A),Q(.x) и числа » ^ » обеспечивающие единственность и (Д*1^1 7 Wallop задачи

01 )-(0.3) отдельно в.случаях, когда оператор lv удовлетворяет условию I или 2. Доказана также теорема типа Перрона. Далее, следуя Браудеру, показано, что налагая дополнительные условия на функцию 'J , можно увеличить число К. (стр.103) Методы нахождения точного решения счетной системы нелинейных интегральных уравнений практически нереализуемы и,в ос-, новном, невыгодны для численного расчета. Поэтому в приложениях разрабатываются приближенные методы для решения таких задач. Исходя из этого соображения, в § 3 второй главы даны определения приближенного решения и исследованы некоторые, вопросы численного анализа, связанные с приближенным решением счетной системы (0.6).

Б первом пункте § 3 главы П, пользуясь интегральными неравенствами показано, что образ частичных сумм решения 1Е1 (Х^^АЛ может быть реше-ft-i нием (определение I стр; 114) в различных пространствах,, а также изучена близость решений счетной системы с приближенным решением возмущенной системы.

Во втором пункте, налагая на функцию J" дополнительные условия, дано обоснование метода квазилинеари- . зации 1,41 для.решения счетной системы нелинейных интегральных уравнений. Получена квадратичная скорость сходимости.

Отметим, что полученные нами результаты не,следуют из существующих результатов известных нам работ.

Основное содержание диссертации изложено в работах 149, 50, 51, 52] .

1. Б а р и Н.К. Тригонометрические ряды. - М.: "Наука",1961. 936 с.

2. Бар.башин Е.А. Введение, в теорию устойчивости.М.: "Наука", 1967. 223 с.

3. Беллман Р. Теория, устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит. 1954.- 215 с.

4. Беллман Р,, К о л а б а .Р. Квазилинеаризация и .нелинейные краевые задачи. М.:"Мир", 1968. - 184 с. б.Бицадзе А.В. Некоторые классы, уравнений в частных производных.,-,М.: "Наука", 1981. - 448 с.

5. Б р а У Д е р Ф.Е. (Brouder F.E.) Functional analysisand partial differential equations.II. Math. Ann.1962, 145, No 2, 81-226.

6. Бурб.аки H. Функции действительного переменного.- M.:"Наука", 1965. 424 с.

7. В а й н б е р г М.М. Вариационные методы исследованиянелинейных операторов. М.: "Наука", 1956. -344. с.

8. Годуно.в С .К., Уравнения математической физики.-М.:Наука". 1979. 392 с.

9. Г о л ь д б е р г В.Н., Н а й м а р к Ю.И. Корректностьнелинейной смешанной задачи.для волнового уравнения на плоскости. Мат. сб. 1965. т.67(Ю0), Ш I,с.16-54.

10. Г у с е й н о в А.И., Г а с а н о в К.К. О применимости метода Фурье к решению смешанной задачи для одного класса квазилинейных гиперболических уравнений.-Докл.АН СССР, 1963, т.148, с. 761-764.

11. Гусейнов А.И., Худавердиев К.И.О решении методом Фурье одномерной смешанной задачи для квазилинейных гиперболических.уравнений второго порядка. Докл. АН СССР, 1963, т. 148, 15 3, с. 496-499.

12. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введениев теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. М.:"Наука", 1980, - 414 с.

13. Г у р с а Э. .Курс математического анализа. М.-Л.:ОНТИ. 1936. 563 с.

14. С г о n w о 1 1 Т.Н. Hofe on the derivatives wihhrespech a parametr of the soltioucs of sistem of dif. equations. Ann., of math. Ser., 1919,2.20.

15. Демидович БД. Лекции по математической теории устойчивости, г ВД.: "Наука", 1980. 472 с.

16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементытеории функций и функционального анализа. М.: "Наука". 1968. - 496 с. . .

17. И в а н о в В.К., Васин В.В., Танаяа В.П. .Теория линейных некорректных.задач и ее приложения. М.: "Наука", 1978. - 206 с.

18. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для параболического и гиперболического уравнений. УМН, I960, т.15, .№2 (92), с. 97-154.

19. И л ь и н В.А. Достаточные условия разложимости функции в абсолютно и.равномерно сходящейся ряд по собственным функпиям. Матем. сб., 1958, т.48 (88), JS I, с. 3-26.

20. Искандеров А. Д. О смешанной задаче для нагруженных квазилинейных уравнений гиперболического ти-, па. Докл. АН СССР,.1971, т. 199, Я 6, с.1237-1239.

21. Каратеодори К. (Caratheodory С.). Vorlesungen uber reille funktioneu, Leipzig und Berlin, 1918.

22. Коддингтон Э.А., Левинсон H. Теорияобыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд. иностр. лит. 1958.

23. Курант Р., Гильберт Д. .Методы математической физики. М.-Л.: ГИТТЛ. 1951. 544 с.

24. Красносельский М.А. Топологические, методы в теории, нелинейных интегральных уравнений. -М.: Гостёхиздат. 1956. 392 с.

25. Кржижановский М.,Шаудер И.Ouaziliniar Dif. gleichungen zweiter ordmeng won;hyper. Typus. Genaischte Randwertoif. Stud.Math. t.VI. 1936.

26. Лаврентьев M.M., Романов В.Г., III и-татский С,П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: "Наука", 1980. - 286 с.

27. Ладыженская О.А. Смешанная задача, для гиперболического уравнения. М.: ГИТТЛ. 1953. - 280 е.

28. Л и о н с Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.:"Мир", 1971. - 371 с.

29. Л и о н с Ж.Л. Некоторые метода решения нелинейныхкраевых задач. М.: "Мир", 1972, - 587 с.

30. Ь i с h t e n s t e i n L. Zur Theorie partiellerDifferentialgleichungen zweiter Ordnung vora hyperbolichen Types, J. reine und angew. Math., 158, No 1 (192), 80-91.

31. Л о м о в . С.А. Введение в общую теорию сингулярныхвозмущении. -М.: "Наука", 1981. -.400 с.

32. Н а й ф э А.Х. Методы возмущений. М.: "Мир", 1976.- 455 с.

33. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференпиаль-г ных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат,,1949. - 550 с,

34. П е й н Г. Физика колебаний и волн. М.: "Мир",1979.- 389 с.

35. Р и с с Ф. С е к е ф а л ь в и Н,а д ь Б. Лекциипо функциональному анализу. М.: "Мир", 1979.- 587 с.

36. С а н с о н е .Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Изд. иностр. лит., 1954, т.П, - 416. с.

37. Смо липкий Х.Л. Опенки производных фундаментальных функций. Докл. АН СССР, 1950, 74, Я 2, с. 205-208. .

38. С о б о л е в С.Л. Уравнения математической физики.М.: "Наука", 1966. 443 с.

39. С о б о л е в С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд. СО АН СССР, 1962. 172 с.

40. Тихонов А.Н., Самарский А .А. Уравнения .математической физики. М.: "Наука", 1976. - 587 с.

41. Тихонов А.Н., А р е е н и н В.Я. Методы решениянекорректных, задач. -М.: "Наука", 1979. 285 с.

42. X а л и л о в З.И. Об устойчивости.решений уравненияв.банаховом пространстве. Докл. АН СССР, 1961, т. 137, И 4, е.,797-799. . .

43. Чандиров Г.И., Р.з а е в Э.А. О корректности всмысле Тихонова А.Н. нерегулярных,задач. Баку,1980-18 с. Рукопись представлена Азерб. ун-том. Деп. в ВИНИТИ, 1980, $ 4998-80.

44. Чандиров Г.И. Об одном.обобщении неравенстваГронуолла и ее приложениях, -г Уч. зап. Азерб. ун-та, сер. физ.-мат.наук, 1958, Я 6.

45. Чандиров Г.И. Смешанная задача, для квазилинейных уравнений гиперболического типа. Дисс. на соиск. уч. степ, доктора физ.-мат.наук, ТГУ, 1970.

46. Чандиров Г.И. Об одном, обобщении неравенства.Гронуолла. и ее приложениях.Уч. зап. Азерб. ун-та, сер. физ.-мат.наук, 1978, # 2, с. 27-31. . ,

47. Я к у б о в С.Я. О квазилинейных дифференциальных уравнениях в абстрактных пространствах. Докл. АН Азерб. ССР, 1966, 22,Л 8, с. 8-12.

48. Бегматов А, 0 единственности решения смешанной задачи для квазилинейного гиперболического уравнения, в кн.: Краевые задачи для. дифференциальных уравнений. Ташкент, Фан, 1972, с. 55-63.

49. Б е г м а т о в А. Существование решения смешанной задачи для квазилинейного гиперболического уравнения. В сб.:"Вопросы алгебры, теории чисел, дифференциальных и интегральных уравнений. Самарканд, 1973, с. I23-I3I.