Исследование спектральных характеристик одного класса дифференциальных операторов с обобщенными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од 1 2 ДПР 1993

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

5ЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени П. И. ЛЕБЕДЕВА-ПОЛЯНСКОГО

Специализированный совет К 113.31.01

На правах рукописи УДК 517.43

КИТТИНЯВОНГ ТХЕПСАВАН

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОБОБЩЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владимир — 1993

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Дагестанского ордена Дружбы народов государственного университета имени В. И. Ленина.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущее учреждение:

— доктор физико-математических наук, профессор М. ПЛ. Гехтман.

— доктор физико-математических наук, профессор А. П. Солдатов,

— кандидат фпзико-математичес-ких наук, старший научный сотрудник И. В. Станкевич.

Ростовский государственный университет.

Защита состоится «_____» апреля 1993 г в__час на заседании специализированного совета К 113.3101 г.о присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук во Владимирском государственном педагогическом институте им. П. И. Лебедева-Полянского по адресу: 600024, Владимир,просп. Строителей, 11, ауд. 236.

Автореферат разослан «___» ____1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат ф. м. и., доцент

С. Е. Степанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы . При математическом описании ряда физических процессов, протекающих в разнородных средах, возникает необходимость изучения спектральных характеристик задач (1)-(2) и (3)- (4) :

- <*> + 0.(х,£)г)сх) = Л у ос), | х | < + оо (I)

г

Q(x,e) = s

-pLх) , х < О

+ 00

(2)

п=1

-IJIX) + (X) (ОС )= Д l| (X), Х>0 (3)

^CO)-hij(O)- 0 ■ (4)

В этих формулах fe , , oi^ , = - веществен-

ные параметры ; С|ДХ+i) С^Сх) (х > 0) - кусочно-непрерывная функция ; 'р(х) - функция, удовлетворяющая следующим уоловиям :

1) |.р(х)| —> оо при X —* — оо ;

2) 'p'i'X.) , не меняют знак в интервале (_оо,я:0] при достаточно большом по модулю ос0 (х0 ^0);

3 ) при X —* - оо

|УСХ)| = 0([р(Х)|С) , О <С < -J ;

4) если -р(х)—► —оо при ос—» —оо , то интеграл

.4/2

ХЮ | с1х

■ оо

расходится ;

7(Х) - вещественная, непрерывная в интервале [0,+ оо) (функция удовлетворяющая условиям + оо

5(1 + Х2)кх)С1Х < + оо , (5)

0

1С0С) > о ; (6)

£Г(Х) - функция Дирака ; Л - спектральный параметр .

Б случае -р(х) —оо (х—>-оо) относим ее к классу

"X , а в случае —> + оо (ОС'—--оо) - к классу ТС

Задача (1)-(2) при -^з(х)= V = СОП.б1 , С|^Х) = О рассматривалась впервые И.Е. Таммом [4] .

Случай же 0 , /р(х)нУ был исследован М.М. Гехтман

и И.В. Станкевичем [ I ] .

Случай "р(Х+1) = ^р(Х) (Х<0) бил изучен С. Пхомма-соном [3 ] .

Отметим работу Л.Д. Назарова [ 2 ] , в которой рассматривался случай потенция на (2) . когда -^э(Х) = X ( оСе К. ) .

Б гильбертовом пространстве 1_2(-оо,+ оо) на множестве функций ¿6(Н (£)) , опредо лепных условиями

^(Х) е Сгсп,п+1), (м= 1,2,...) у сое) е С2С-ооЛ) ,

¿|(Х) 6 С (- оо, + со) Л с-00,4-00) ,

ц (п + 0)- гJ'(п-0) = 6 ут>,

= - г/ + & Ь2с-оо, + оо)

посредством дифференциального выражения определим опе-

ратор н (£) формулой

Нее)? = , (Нее)) .

Определим оператор

н ^ , порожденный в гильбертовом пространстве I_+ дифференциальным выражением

= - ц" -+• , О < ОС < + оо

на функциях, которые обладают достаточной гладкостью в интервалах СО,х4) Л^и^г), •••> (эсп,+оо) ; в точке ос — 0 удовлетворяют условию (4) , а в точках х = Х^ (а) удовлетворяют сле-

дующим условиям

^1эск + 0) = г)Соск-0) =\)(оск), _

0) - у (хк-0) = .

Будем считать, что спектральные характеристики операторов Н (£) , Н ц. и задач ( I ) - ( 2 ) , ( 3 ) - ( 4 ) соответственно

совпадают .

Задача изучения спектральных характеристик операторов Н Сб.)

А

и всегда привлекала внимание математиков, особенно в связи

с многочисленными приложениями в квантовой механике и других разделах физики .

Не пью реферируемой работы является спектрааьный анализ опера-

Л

торов н (£) и

Общая методика исследования . Результаты настоящей работы получены с помощью методов теории функций и функционального анализа ( теория самосопряженных расширений симметрических операторов спектральная теория дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве )

Научная новизна . В диссертации :

1. Доказана самосопряженность оператора Н (Ь) . Построена резольвента оператора Н •

2. Изучена природа спектра оператора Н (£) . Доказано, что оператор Н (.£) полуограничен снизу в случае -р(Х) —» + оо

с х —>- оо) •

3. Выяснены достаточные условия существования гачмовских уровней оператора Н (£) в случае —»+ оо (х—» - оо) .

4. Получены разложения произвольных функций из <;>(-оо,-+ оо) по обобщенным собственным функциям оператора

н (£) . Установлен;

формула Парсеваля-Стеклова .

5. Доказана самосопряженность оператора Н ^ . Построена резольвента оператора Н ^ . Проведено качественное исследование природы спектра этого оператора .

А

6. Изучены собственные функции оператора Н^ .

Теоретическая и практическая значимость . Полученные в диссертации результаты представляют интерес в спектральной теории неклассических дифференциальных операторов . Эти результаты могут быть использованы в теории поверхностных состояний ( таммовских уровней кристаллов при изучении электронного строения молекулярных систем, имеющих достаточно протяженные области регулярности . Кроме того, полученные результаты могут быть положены в основу спецкурса ,

читаемого студентам математических и физических факультетов университетов и педагогических институтов .

Апробация работы . Основные положения диссертации неоднократно обсуждались на семинаре по спектральной теории операторов в Дагестанском университете, на ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава ДГУ .

Публикация . По теме диссертации опубликовано три работы [5-?]> описок которых приведен в конце автореферата .

Объем и структура работы . Диссертация изложена на 113 страницах машинописного текста и состоит из введения и трех глав . Работа содержит 6 рисунков . Список литературы включает 59 наименований. в том числе 9 на иностранных языках .

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор работ, примыкающих к теме диссертации, обосновывается актуальность тематики и приводятся основные результаты диссертации .

В первой главе исследованы спектральные характеристики оператора Н (&) в случае <р(х > & "Х- .

Обозначим через Э(х,7\) и решения уравнения

= Л у (X) , I х| < + оо ,

которые удовлетворяют условиям Коши :

в(о,ю= <1, е'(о,Л) = ^(о,?о= о.

Определим функцию

Я"(Л)= 0(1,Л) + £?С4,Л) •

Обозначим через =0,1,2,...) нули функции Л)-2

а через уч(Д =0,1,2,...") нули функции !ТЧЛ) + .2. . Числа ^ ' /*/ М = ^,1,2,...) вещественны и разбивают всю вещее]

венную ось на отрезки /V ^ и интервалы

Ал

' а =

Т,

V

(уЧ,^ ,/<.,•) , ¿ = 2.к.+ 4, ( 0,-1,2.,...)

Введем обозначения

Л = уЛ^ ; Т= иТ^ = .

. * л

Обозначим через с(эс,?0 и решения уравнения (:

которые на [од) совпадают с и ©(х,/^ соответс-

твенно .

Определим функции ( Л ё

пл-сЛ) =- (?)

ё(х,А) + т2(Л)ч€(х,?\) .

В формуле (7) ветвь квадратного корня выбрана таким образог

что при Л -СО А/-р"а(Л)-4 >0 .На

верхних берегах

разрезов Л^ (A=G+10)

гаг(А)= Р(<о) + I Q(6)

где

Р С<5) = (- 4 У С 6 ^ (145) + £СП ,<?) - в Ci )/z I ,<5) I

Теорема I.I . Спектр оператора Н С£) абсолютно непрерывен и расположен на всей спектральной оси Л , причем кратность спектра равна единице на множестве Т и равна двум на множестве

int Л .

Следствие I.I . Оператор Н(£) не полуограничен ни сверху, ни снизу .

Положим С б - вещественно )

A/t(s)= m.2(<o) уч(^)

а со = Р(<з-)уи(о + ;

b(S> = sl(<5) - 0i(<3)/i(G)

где уЧС<Г> , уч/G) , -J(G') , Jd(G) - некоторые непрерывные функции от G С+ \)2f<ST> гф о )•,

(a^fe)

A(<5)=

\ацс<з) aitCG)

CL4t(<5)= i + Q(G)[y^J + Ло] .

CL2Z(€> = P ) + QV)f + j/ce) ] •

¿v^ - a2AG) = + (irejf/iCS-y^ee; + Jf^fe;];

Теодена_Ь2 . Пусть -f (x) 6- L2(-oo,+oo) . Тогда справедливо равенство Парсеваля-Птокпова

л ТДА(Я+Дд(б) Lz

л оо

A - - - - oo

Теорема 1.3 . Пусть jf(x) в L2 (-оо, + 0о) ,

тогда

+ ОО

+

A -CO ^

Вторая глава диссертации посвящена исследованию спектральных характеристик оператора Н(£) в случае -р(х) в X,*. Обозначим через 21 множество нулей функции

П(Л)Э --Г- ,

где 1Т12(\) определена формулой (?) , а Ц^х,/^ - решение уравнения

-у + ^р^)^ = А.^ , х< о ,

принад лежащее [—.¿(-оо, 0).

Пусть ^ множество чисел <5^ , удовлетворяющих условиям

1ес1,ба-)=о , 19(1,< 1,

р- *

Пусть множество чисел , удовлетворяющих условиям

о , I 8(4,<0^)1 >

Введем обозначение

-'А 2.

= ид, ив* •

Опреде там (функции

&

тлЪ=---,

4 и.(ОЛ)

= 0(ос,7У> + (¿=4,2) .

Теорема 2.1 . Спектр оператора Н (6) состоит из абсолютно непрерывной компонента, расположенной на множестве Л , причем кратность спектра равна единице и дискретной компоненты, которая состоит из разве что счетного множества простых собственных чисел

и^лТ •

Следствие 2.1 . Оператор Н (6) полуограничен снизу .

Определим функции \^1эсДк) и "^¿(эсДк.) соотношениям

Введем обозначения

Ф* (х,и> =

с[к =

В этих формулах

сои , и е ж: и^

сГЦ- , _

.-4

> б

г

<

irLttK>= -frm. m (1,Л) .

¿2. . Пусть e L,2(-oo,+oo). Тогда имеет

често формула Пароеваля-Стеклова

A

Теорамд 2.3 . Пусть ^(эсое !_>р(-оо,+ со) , тогда

Л

В этих формулах положено

z г

эе($) = [ т4«з-> - Р(в)] + О. (в).

Третья глава диссертации посвящена изучению природы спектра

А

оператора Н ^ . л

Пусть - резольвента оператора Н^, R-^ - резольвента

оператора

н

а в случае о(.к —

Теорема 3.1 . Пусть Уля А 4 0 и выполняется условие (б) . Тогда есть конечномерный оператор, ранг которого не

превосходит (а .

А

Пусть и Ч^С^То - два линейно-независимых

решения уравнения

/\ijix) , X е (0, + оо) ,

которые при Эт. Л ф О

Л I .А

Ч* (X,А) ё Ь2(0, + оо), %(ос,Ъ£ (0, + оо).

Введем обозначения

Л /- I Л /

М^к = ^(Хк^Лк^ (к = 1Тп ; 1=4,г)

Обозначим через МП(Л) матрицу (размером 2пх2п)

о

А / Л А , / ^

ДпСЛ) = с1е[[ПпШ] .

Теорема 3.2 . Пусть & > 0 и выполнены условия ( 5 ) - (6 ) . Тогда спектр оператора Н п состоит из абсолютно непрерывной

А

части $а(Нп)= [0, + оо) и не более У\ собственных чисел

(_К. — ) , которые определяются, как отрицательные корни уравнения Дп (А) = 0 •

Теорема 3.3 . Пусть Л0 - собственное число оператора Н п . Тогда оно простое и соответствующая ему собственная функция имеет вид

у

СУ41С х,"Авъхе[0,*Л

А А

А

где

2 1 соСЛо) 17 5 Чгк/Ч1 ТГТТТл-ЧЫ-**

С.

со СЛо)

А 2,

О^Ч* (Хк,1\0)

'2.К+4'

иСК) 2к"г

+ 1 +

^СДо) со(Л0)

-д. + ЧгСх^Л^Сг^] ;

а С[ определяется из условия нормировки с^х,/^-) в [—^(СЬ+оо).

Следствие 3.1 . Пусть Л0 - собственное число оператора Н. которому соответствует нормированная собственная функция ¿|0(ос). Справедлива оценка ( X —► + )

/V

Следствие 3.2 . Оператор Н п полуограничен снизу .

^ о ^

Обозначим через -чЭ^СН^) дискретный спектр оператора На

при О,

Следствие 3.3 . Пусть ^(сЮе О , И = с1 и А>0 . 'Го: справедливы следующие утверждения :

■Я ^

а) если оС >-■-—- , то 8а(Н^)=0;

Л +пх.,

б) если о^ <--^— , то 5>,(Н?) состоит из одного

i+VlX1 а

элемента .

На защиту выносятся следующие научные положения : Изучены спектральные характеристики одного класса дифференциальных операторов, коэффициенты которых обобщенные функции .

1. Доказана самосопряженность оператора Н(6) . Построена его резольвента .

2. Доказано, что спектр оператора Н Сб.) (-£>Ос)—оо) абсолютно непрерывен и расположен на всей спектральной оси Л , причем кратность спектра равна единице на множестве Т и двум на множестве ¿пХ А .

3. Доказано, что спектр оператора Н (£) (-р(оо—> + оо) состоит из абсолютно непрерывной компоненты, расположенной на множестве /\_ , причем кратность спектра равна единице и дис-

кретной компонента, которая состоит из разве что счетного множества простых собственных чисел t^ в v^n Т . Установлено, что в этом случае оператор Н (£) полуограничен снизу .

4. Выяснены достаточные условия существования таммовских уровней оператора Hfc¿-> в случае -р(х)—» + оо (х—оо) .

5. По.лучены разложения произвольных функций из |_¿C— оо,+схэ)

по обобщенным собственным функциям оператора Нсб>-

6. Доказана самосопряженность оператора Н ^ . Проведено качественное исследование природы спектра оператора Hj^ • В частности, доказано, что спектр оператора Н^ состоит из абсолютно непрерывной части, расположенной на полуоси А ^ 0 , и не более П. простых собственных чисел, которые определяются, как отпнцате лъние корни уравнения Ди С А") — 0 •

Л-

7. Изучены собственные функции оператора Hft •

Пользуясь случаем, хочу выразить признательность и глубокую благодарность моему научному руководителю МЛ. Гехтману,который привлек мое внимание к кругу вопросов, рассмотренных в диссертации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гехтман Ч.Ч., Станкевич И.В. Спектральная теория некоторых неклассических дифференциальных операторов . Учебное пособив . -Чахачкала : Даггоеунивереитет, 1985 .

2. Назаров А.Д. Изучение спектральных характеристик одного класса уравнений Ытурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом . Авт. дисс. на сопок, уч. степ. канд. фпз-иат. наук . - Баку, 1982 .

3. Нхоммасон С. Исследование спектральных характеристик одного класса одномерных уравнений Шредингера с обобщенным потенциалом. Авт. дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ-мат. наук . Ростов-на-Дону, 1989 .

4. Тамм И.Е. 0 возможной связи электронов на поверхности кристалла PKljs. Sowjetunion, 1332, VI , 7лз .

ГГУБ.Ш'ТКЛЩТХТ АВТОРА ПО TE'ffi ДИССЕРТАЦИИ

5. Киттинявонг Т. Изучение спектральных характеристик одного класс; дифференциальных операторов с обобщенным потенциалом на всей оси (-оо,+оо) . - Махачкала, 1992.- 33 е.- Деп. в ВИНИТИ

29.05.92 № Г795-В92 .

6. Киттинявонг Т. Изучение спектральных характеристик оператора Штурма-Лиувилля о сингулярным потенциалом на полуоси (0,+оо). - Махачкала, 1992.- 18 с. Деп. в ВИНИТИ 29.U5.92 № I796-B92 .

7. Киттинявонг Т. Исследование спектральных характеристик одного класса дифференциальных операторов второго порядка .- Махачкала, 1992.- 25 с. Деп. в ВИНИТИ 21.07.92 Je 239I-B92 .