Исследование специальных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На прапах рукописи МАЛ1ЕДОВ ЭЛЬХАН АЛТАЙ оглы

УДК 517.95

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ л-го ПОРЯДКА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Баку — 1992

/

Работа выполнена и Институте математики и м^ханн АН Азерб. Республики.

Научные руководители:

— доктор физико-математических наук, академик АН Лзс] Респ. Максудоз Ф. Г.,

— доктор физико-катематических наук, профессор Шамилоз А. X.

Официальные оппоненты:

..— доктор физико-математических наук, профессор Ахиев С. С. (БГУ им. М. Расулзаде),

■— доктор физико-математических наук, профессор Байрамоглы №. (ИММ АН Азерб. Респ.).

Ведущее учреждение — кафедра прикладной магемат! Азербайджанского Технического Университета.

Защита диссертации состоится « ,2 » 1992

в часов на заседании Специализированного сов

К 004.01.01 б Конференц-зале Института математики и м( ники АН Азерб. Респ. (370602, ГСП, Баку, ул. Ф. Агаева,

Отзывы на автореферат просим высылать в двух а к; плярах с заверенными подписями.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке И. АН Азерб. Респ. по тому же адресу.

Автореферат разослан < > и/о^Л

1992

Ученый секретарь > -Сг.еи яадизироытиого совс/у?/-^?/

га

д. ф.-м. н. Б. Р. НУР1

ога/я

Актуальность ?емн. 3 наотовдез вреия погребное га нега-нпкк, экономики, экологии, &»ологни, георян ввгоиагачеокого управления а других облас«ей есгесгвознания споеобогвум нмвноивноцу .рэзвигкя гворяи •йГБКциокагьЕо-дифферввциольннх урзвзевий, з 5эк ез теорию специальных крэевда: задач для Т8ких уравнений.

Общая теория фувтщиозально-даффоревдавльзше уравнений рэзрвбоганэ в рзботггг^збзлева Я.В., Ышкисв А.Д., Эльоголт,-дэ Л.9.-, Хейл Дк'., Мэкедкова В.П., Рзхыогуликой Л.Ф. и другими вотеивтикэшп ' ■ •" " '■

Теория блециатапйг краевых зздзч для обыкновенных диф-фвренциэльшг уравнений и для ^пхционэлвио-диффвревцааль-ных уравнений/развиз в' работ- Ж, Махмудовз

А.Й., Паровв АЛ!., Максудоза.ф.Г», Памилова АЛ., Лепивэ А.Е.и другиыя иатеиаишми.

йэсгэядэя дйссертация посвящена исследовании специальных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений %- го порядке.

'Д8яьа работы является исследование вопрооов разрешимости специальных краевых задач для фушсционально-дифЗ?зревцн-влыпа уравнений «.- го порядка, которая рввее ве исследована ни для функционально-дифференциальных уравнений я ви для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Иеаодика исследования. Рвзуль501ы рабэп получены на оовове сочетания вегодов георзи дифференциальных уравнений .

в функционального анализа. Метод зависимых переменных, не« независимых переменных сведения задачи к операторному уравнение и из годы о суцесявовавнй неподвижных точках конкретных операторов лехат в основе получения результатов.

Научная новизне. Научная новизна диссертационной работы заключается в следующей: ,

-.исследована специальная краевая задаче для функционально дифференциальных уравнений «--го порядка которая рэссмвтрнЕзетоя впервые, хотя в сг.;/чве обыкновенных дифференциальных уравнений она формально укладывается в постановку задач известных работ;

- доказаны теоремы существования и едино-.вевкости решения задач на основе сочетания метода зависимых пв' ременных, методе независимых переменных о методами ( существовании и единственности неподвижных точек 0П1 рвторов;

- доказаны теореиы существования реиения в различных функциональных в ростра яств ах. .

Полученные в диссертации результаты могут прменятся : решении конкретных задач из тео'рии управления, баллистики, динамики заряженных частиц в стационарных магнитных полях : других областях., 8 тик ке в обосновании различных вопросов связанных с функционально-дифференциальным уравнениями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации до клэдшзались на УП Республиканской -йонференцзи по ыэтематик и механике (Баку, 1987), научной семинаре кафедры высаей иот^цамки АзТИ, семинарах отделов "обыкновенные дафферэн-

дальние уравнения", "даффврошшбжзые уравнения à чзсгинх [роизводвых" Ивсгатутв кэтвааинсл и механики АН Азерб.Рэз:;,,, юучком семинаре кафедры дифференциальных и интегральных равкений Бэкгосуниверситегв йы.М.Расулзаде.

Публикации. По теие диссертации опубликовано шиь эбот:

1. Некоторые вопросы геории уравнений о гладкими опера. торэьи. Деп.ВИЕИГИ 20.02.1985г., Ж> 1363-85 Деп.

2. О существовании и вдинственяосая решения одной специальной „задачи для функционально-дифференциальных уравнений "И- - го порядке. Деп.ВИНИШ 28.01.87,

® 652-В87. -

3. Вопросы существования и эдавамевности решения одной специальной задачи для функционально-дифференциальных уравнений TV - то порядка.. Maгер. УП Республ. конф.нол.учен, по иагеи. и мох. Книга'I. Баку, Зли, 1987, с. J77.

О рвзрввикооти одной специальной задачи для фунхци-онально-дафференцкзльнцх уравнений % - го порядка. Изв.АН Азерб.СС?, сер.физ-iexB. и матэи.вэук, 1987, Й 2. (совибсгяо с Шашдовш АД.). 5. Теоремы существования и единственности решения одной специальной задачи для функциоивлько-дйМереицйзль-кых уравнений "Н - го порядка нейтрального типа. йзв.АК Азорб.ССР, сар.(|из-техн, и иатеи.наук, 1987, L' 3, с.35-39. (совестно с Иаыяловыа АЛ.).

- б -

Структуре к обьом работа. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Полный о бьем составляет И4 страницы иашинописи. Енблиографн- . ческий список вкмочаб? . ¿04 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В работе ЖьсЦогс Ж впервые была исследована задача, встречэвдеяоя в баллистике, которая послужила н8Ч8лом для многочисленных дальвейиихлоследозаний.

Нзстояцэя диссергвция лосвяцена исследованию вопросов разрешимости специальных краевых задач о неизвестным параметров и дополнительным огрвшчениеи в виде- равенства для функционально-дифференциальных уравнений П- го порядка и состоит из введения и двух глав, содержащих пять параграфов.

В введении дается краткий обзор работ, примыкающих к теме диссертации, обосновывается актуальность тематики, а также приводятся некоторые результаты диссертации.'

В диссертации используется список, рледуюаих обозначений: * '

евклидово пространство мерных вектороз;

(и)

• с» (о,Т1- пространство'всех раз непрерывно дифференцируемых на [о,Т1 $ - мерных зектор-функцай;

¿^(о.Т)- пространство всех ф - мерных вектор-футецай, суммируемых на (с.Т).;

пространство всех непрерывных на [о,Т] ¡)- ирных вектор^-функций, обладающих абсолютно непрерывной производной (г,-г)- го порядка, для . которых в силу известных свойств абсолютно не-■п ре разных функций супаствует гочти

та- Х'Г] к 4,}.(у,Т) :

С^[{>»Т] *£, - пространство зсезс пэр виде (хЦ),Х) ч^ях, ¿го

* Е1" пространство пар вида (х(^),т) таких, что

Ед ;

[РЛ*! - пространство всех измеримых и ограниченных нз

¡0,7} ') - иерных вектор-функций.

Норны з приведенных пространствах вводятся

обычнва образом.

В исследуемых, в диссертации задачах ищется пара (ха)/Г) где Х({) - реиение функционально-дифференциального уравнения го порядка, з - искома значение аргумента.

В первой главе кз основе ъ-зтода зависимых переменных и методе вйзавиеинкх.переиенньж исследуются вопросы существования в' вдзясгзекнооти репвния специальных крзезых задач.

Суть методе^ зависимых переменных заключается з следующем. ; .

Если через обозначить решение системы, состоящей

из двух уравнений: / , го в случае наией задзч:Гьз

уравнения ^ выражается через ^ как некото-

рой функционал вида <Г = Р(1р), э для определения V» получается операторное .уравнение вида , где р^>= £(Т(ч>),&>) . Изучение свойств оператора Р тесно связано с соответствующим свойстзэа:: функционале £(¥)> Пусть к операторному уравнению г^Р^ применяется истод последовательных прлбла-

Шзиилов АД. К теории специальных крэевих задач для дифференциальных уравнений второго порядка с откдсняюкшся аргукен. Изв.АН Аз.ССР, сер.фкз-техн.и мзг.вэух, 1979, £ 2.

- в -

яевий. Тогда гу), причем ) -

есть точное решение уравнения = ^ Деле а том, чю из уравнения Т^с^у) Т~ выражается через в неявной вида. Следовательно, для нахождения < вообце, потребуется построить еще сдан бесконечный процесс последовательных приближения.

Суп метода независимых3^ переменных состоит з том, что исследуемая специальная краевая задаче оводзтея к операторному уравнению вида 1}-$%, где Ц - есть пэра (^Т). В отличие от метода зависимых переменных, как - искомо« значение аргумента, так и другое неизвестное ^ вводят в операторное уравнение как самостоятельные переыензыё, т.е. Т не выражается через у , как это делается в нетоде ээвисишх Беременных.

Б зависимости от конкретных свойств оператора $ « в указанному операторному уравнению можно применять различные иетоды о существовании и единственности решения. Если приманить метод последовательных приближений к операторному уравнению и^Л11, го будем иметь: V- =Ли.,. Одним из преимущес метода независимых переменных пе})ед методом зависимых переменных является то, что он позволяет построить последовательные приближения к точному решению операторного уравно-ния непосредственно, не прибегая к точному решение некоторо го функционального уравнения, как это делается в метода зе-. висшльа переыенннх. Как было упомянуто, каждое последовательное приближение к неподвижной точке опораторэ ? содзр

Швыияов А.Х. Об одной подходе к разрешимости специальных краев1Я задач. ДАЙ Азерб.ССР, 197В, 5.34-, К? 2,3-8.

жиг параметр > - точям рзявгш« некоторого й^етязонэш^/э уравнения, определяющего фуякциснел Т

Сочетание негодв ззвискшх переменных о принципом сей-ввющих отобракений в его обобщением имеет то преимущество, чю оно позволяет нейти блиявйший х начэлу момент времени в которой траектория проходят через точку Это ваяно с

практической точки »рения. Кроне того, таким путем удается оценить длину интервала неосцилляции реиеотя рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнений % - го порядка.

Заметим, что в .гачеегве основного пространства нами берется не пространство, к которому принадлежит.семо решение, как это делается, нвприыер в известных работах, а пространство, к которому принадлежит И--"ан производная от искомой йектор-^ункиий, Это,в 'частности, способствует более компактно доказывать 'осяо'вяыа утверждения.

■Первая глава диссертации содержит три параграфа. Б первом параграфе с поиоцыо комбинаций метода зазисиша переменных, принципа слзшэещих отображений доказываются теоремы существования и единственности решения специальной краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений г^- го порядке "запаздывающего типа". Снэчзло изучавтся конкретно свойотва функционала Затеи на основе етих озойств

изучаются свойства оператора Р . Эти свойства псзвсяяюг установить существование и единственность решения упомянутой

38д8чи.

Приианеп.чйл в диссертации тройная нумерэц:л формул, утверкден!?й, где первый но«ер означает главу, второй - параграф, третий - номер фориуд ада утверждений данного параграфа сохраняется я для,автореферата. •

В § Iii рассматривается футсдаонзяьно-дафферевщаальяое уравнение виде

,х'Ь).>сШЛе[оЛ ,(1.1.1)

где F - заданная i) - иерная вектор-функция, hß)- золенная скалярная функция, - искомая ^ - мерная вектор-функция.

Пусть требуется определить пзру С^Ш.Т) такую, что lu,T] t %(i) удовлетворяет уравнении (I.LI) в ье;:оло~ рои сшсл9 и уоловияи

(1.1,2)

• , V fti-2)

%(o)*0 (S) - 0 t (1.1,3)

<1.1.4}

■ (I.I.5)

- заданный $ - иерний вектор, 0 - ззд&нное

число, I - § - евклкдовз корма а

Вадачэ (I.I.I)-(I.I.5) в случае 7г= 2 без отклонения аргумента исследована в роботах , Максудова Ф„Г,

Щакиловэ А.Х., Перова А.И., Делила А.Я., Вавилова С.д, и других математиков.

В рабогвх Бзгирянэ Э.А. ''¡оследовзна задеча типе (1,1.2)-(1.1.5). В случае, даже когд^ правая часть уравнения (1ЛЛ) не содеркит последнего аргументе Ä (/;$)) задача (1ЛЛ)~ (I.I.5) ранее не исследована. Замети«, что задача (1ЛЛ)-(1.Г.5) яипь формально укладывается в гсостзкоекя ззязч jno-

- о ^

л к

нгофжх р?б05 Вчг'-р-;ИЭ Г1-

В кзстоягем перо-гр.'Ф? дснгзычзв^оя сзсрчглл суч;о:.:.':.лл-гия й единстве нпосм решения задачи (1Л.1)-(1.1.5).

С этой целью определяются зознонкые границы для искового значения эргукенгз Т , которые являются очень удобными для построения я исследования свойсуз оператора рассматриваемой задачи. При это« искомое значение аргумента представляется кек функционал от точки некоторого шара конкретного функционального пространства, тец сэкыи одно переменное исследуемой задачи вырезается через другое а оператор задача содержит исковое значение аргумента как промежуточное (зависимое) переменное. Ззиетии, что таким путец удается без дополнительных ограничений выделить обметя гладкости отдельных операторов, встречаемых при исследовании задач» (1.1.1)-(1Л.5). Нес интересует такое решение (^(1) ,<Р) . для которого является непрерывной У - мерной Ъектор-функчией на отрезке [о,т), обладающей абсолютно непрерывной производной

(11-!)- го порядка, т.е. [0,Т} •

Приведен одну из тэоре» настоящего параграфа. ТЕОРЕМА 1.1 Л.. Пусть:

1) ) - мерная вектор-функция Рф,*,,*,,... определена при - [о.Т! , Я^Е^ а

удовлетворяет условиям Яэрзтедора 3 т.е. р - взиари-¡.•а по { при зоех произвольных (Таксированных зивчеиаях остальных аргументов и непрерывна по совокупности мех аргументов, кроыз £ , при почти кзядом

2) Р удовлетворяет условию Липсицэ с кокстэнтвки р П Р Р соответственно но переменным

£}»••• » •

?•) '/¡-(i; - изкариаа а ограничена яа (о.,т|

4) 31Ш0ЕНЯЯТ0Я нзрззенсгва

л 4 ^ f -t

V- i , V- i

" («-¿л

A î « s ч . û r- S i* ,

гдэ

5) число p jgoBneïSopf.oï серг?нонсс«сн

/ ?.. л и ¿1 "У %

-, ^ ; J fy ______t« <~w-___i

6) ЗКПОЕЙЙ2ГУ20К Í05£T.C -¡¿t£2<53CT3a

i л = -f J, ----- - ( I , ■ \ * a j

V ~~ 'jr-C v ) ■ .• —■—

JL. fe \ -, ; oí kr?« l Î ? y f i i ¡

!f(í. * ... :Í У- Л 2 Ту •

) л fi 0>~i/i " ' ' ' ■ ¿ '

У ^ -, -»3 > 4 w ) A', 'l>An' ¡í(; ki-ю' ■

где oí í)»i tip: i í--: i'C.Ti» lit'í) - с П « £ fe ,

Тогд: 3 r>a;-,0'ia (1Л '__ r ? r .5) KÜSCS a ^ксп^ппсе

v.

«' 'Г, • '1Г?Л rt '¡>/Ti

j • <r\rj К. >v.-s j ,

io Síüpc:,

- il -

•.'со'г-; тык пэхокдеяяя пары » зогорэя удавгвтеорз-

а* c:îcïsîî3î

í/t Sfl <Г, vfU nb *ßh M

НИСМУ».....Щф^цы^ц^1-2'»

N) 1

<§*)~з , f ¿Гв.Т] , , çi.a.2)

:-iCi)<í.> , i= 3,1,2,... , (1.2.3)

, CI.2A>

; ^ v ; . (1ЛЛ) vrJ t ■• зздзяны?, - зсхогзя •} - :î3ps:ïs ззглор-

, ¿.Л) •- ОЗДЗ НГ^ "£-"3 ôjHKi^nt, f(-v

= -íi. fí),-пэдоняоэ 'í:ío:;oí I • f - аз^&чс-р:^ ii!p",:¡ "

с

) ■

irr niera ?т е я- а с ^гз с :з :ï и: ; ц ::

?ёсз?.чя зглсчл <1.2Л)-(1»2.5) э ^кякгонзжзке з^сгэтяе»»

Т^з.ТМ, , Dpís.T] ^ Es .

¡¡¿.шъж o^sy из Zízscsiuvjx ? нгоголеза лггзгр^рз ;гс™

djokï ' • -

S.) -} - "op:¡sn rïî,::- Т олраг^а-

■i' » ^

пр- i Ç pi.Tj , ;.;CfÄ (>ÂÎ;,Î.....

■ у ycn'ísn im l£.i по?:--*

i; - г;;сprro7 ^ic^io Ii::: щ i

'' s : í-í .... , nrc'jy.m:::

фу ищи п !.-зк: с, чео прообраз льбого кзиерккого

инокаотва Е , £ с[0,Г]ПЬ иахвргни а зкполвквг-ся неравенства ^

"тег 1Г (Б) ^ шезЕ ,

где 8 > а - числа; «

4) для чиовл , $>о 15 Т ешолняшсй неравен-

ства;

. : V

<А-

К-1

2(ъ-01 (п~1)!

5) число ^ удовлетворяет нерзвевствзи:

О < В <: &ЙА. ,

^ . 3 /

Выполняется аокке норзвенстве

1»* « ■

> Т Р 0 . < { ; (1.2.6)

Гт*- оЙ^У* ..........

Xе'е..., характеристическая функция мно-

кесгва [0,Т] • •

Тогда задеча (1.2.1)-(1.2.5) инеет единственное реиепяе

ГД9

В третьей параграфе наотоящей глазн рассматриваются вон-росы существования и единственности ранения на основе ватодэ независимых первиенных.

Приведем одну пз доказанных з постоянен параграфе тзорза, ТЕОРЕМА 1.3.1. Пусть:

1) - иврнвя ввктор-фуисцая ...Л Я \ определена при -¿е [о,Г] , Яд 6 , ¿«3,1,.0,1,...,щ а удовлетворяет условиям Карзтедоря, т.е. р изнерака

по •}: пря зсех произвольных фяксяровзнных значзняях остальных аргументов- и непрерывна во совокупности зсзз зргуаенгоз, кроив , при почти хэядои 4й[*ЗуТ};

2) р удозлотворяет. условна Лзпвяцэ:

.....>

на ^»о" « <>

5) , 1= 0,Дограничены з изот-

ри иы на 10,Т] ; Ц.(£) , £ ^0,1,...,т{ - изнвриииа функции такие,, что прообразы любого измеримого уно-кества £ > = С [о,Т] П к ,(В) измерима л выполняют-

К/* '

ея вервзенотво '

8 тезЕ ,

где 0„|>а - числа , 0,1 ,... «ш^.;

■V) ДЛЯ чисел А=>0» гЬо , Т >а выполняется рэзввсгзэ

- 1Ь '

г% Т*"1 , < А <

а Ом)! (п-1>! '

5) число ^ удовлетворяет не равенствам

о < р < «МП , ±\ .

6) выполняются гэкхе неравенстве п пц

к-^ХШ^ + Ф'+Ф? <1 .

в в о

Я-1 кц 11 «

где

Ъ щ ■.

к,-2:2: у, • № ^ « {

Тогда задаче (1.2.1)-(1.2.5) киев! единственное решение

(*(*),<Г) : *(!)<£ Л^кТ) Г^.+Л - ,

где '

Во Второй главе изучаются вопросы рзарешииости специель-' вше краевых задач для функциовально-диф^еренцивльнше уравнений П - го Порядка, В денной главе в качестве ьакона движения рассматривается уравнение, являющееся честным случаем уравнений, изучаемых во.второй и третьей параграфах предыдущей глзви. Такое "упрощение" связано о природой проблемы разрешимости-специальных краевых задач для функционально-диффо-

- Г? - .

ренаиэяьвых урввнегай.

Вторая глава диссертации состоит из двух псраграфов. В § 2.Гизучеяы вопросы разрешимости задачи нахождения нарн » которая удовлетворяет системе:

......Пи^... Д^)

, ' (2.1.2)

, 1«0,1,...,Н-2 , (2.1.3)

» <Т> ~ Я** , • (2.1.4)

¡Ь^'Ы-с?- . • (2.1.5)

где задзнныз X - искомая ' 0- «арные аектор-фугпс-

ции, г»,- (!>) ~ заданные скалярные функции, ^(Д к1а0.) «... ~ = х , -заданное число; $ • Ц - некоторая

норма'в

В яастояявм параграфе, сочетая ыагод зазисишлс переменных с принципом Шэудерэ, доказана теорема существования ре-рения зчдачи (2.1.1)7(2.1.5) в пространстве .

Приведем одну из теорем настоящего параграфа^ ТЕОРЕМА 2.1.1. Пуатъ:

1) -) иернэя вектор—[ункпия ......Я * м" ч

непрерывна при i е [о,Т] , *дб ^ , 1=0,],-,*-*; ^оЛ -.м и ограничена 11-| ^ Ж

2) функции & ф , ¿ = непрерывны при' íe[o,Г] и для них выполняйся неравенства

г

л8

3) выполняется неравенстве (£.2.9), (2.1.10), где

^ Д >-£? ( £ - фиксированное число;

4) выполняется условие

Л ¿Я .

Тогда задача (2.1.1)-(2.1.5) имеет по крайней мере одно ресение (ХШ,Г):ЪШ £ Су [о,Г] ; Г« I\л, ] , I. i

1 (ркМ? »-■* х _ ( (О-Л.М I 1а I тМУЗ ' ^ "11Т-цГ} .

"Во второй параграф второй главы рассматриваются вопросы существования решения специальной краевой задачи для уравнения ^ - го порядке в пространстве [{¡Т}*Е^ ,

Приведем одну кз доказанных зз настоящем параграфе теорем. ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть: •

1) выполняется неравенстве • ' '

ТГ-Т*"* у А х тГТ*'1 • > (2.2.9)

ЛоГ2Г| * й ^ Т^Ш • '

где Л«1П, Т^>0,Т >0 I

2) - мерная вектор-функция £

определена при £ # ^ £ Еу , 8, 1»■"> •

¿~йtit—lJi^}¿ и удовлетворяет условиям Коратедори;

3) дяя вектор-функции £ почти при всех 1й,Т-] выполняются веревевогва

гяе суммируемая ва [о,т] функция, для которой

ыеото Берззопотзз

О £ f < mtn (0- Mi , ±) , (2.2.Ю)

T '

где p = )Ji(s)ds ;

0

, ieOtJ,...1M'J;^=o,i',...,mt азаериин и ограничены на |о,т] .

Тогда задача <2.1.2)-(2,1.5> ямвез по крайней ыэре одно рвение , ^fü.Tl ; Tif,

В заключении автор вырэяавт .благодарность академику АН Азербэйдяэнекой республики Ф.Г.Макоудову и доктору физяко-иатемзтических наук, профессору 'А Д.Иашлову за постоянное вниыаняа к настоящей работа а полезные обоунде-. ния результатов.