Исследование стойкости решений систем линейных дифференциальных и разных уравнения со случайными коэффициентами и случайными преобразованиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Міністерство освіти України Київський університет їм.Т.Г.Шевченко

Дослідкешя стійкості розв'язків систем лінійних даференційних 1 різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами та випадковими перетвореннями

01.01.02 - диференціальні рівняння '

АВТОРЕФЕРАТ •

дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-магемагичних наук

на праваї рукопису

Сафуан Зезун Мустафа

Київ - 1994

Дисертація в рукопис

Робота виконана • " '

на кафедрі вщої математики Київського державного економічного •

університету

. Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Валеев К.Г.

Офіційні опоненти - доктор фі зико-математичних наук, професор Хусаінов Д.Я. .

- кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Коломівць В.Г.

Провідна організація - Інститут кібернетики Ім.В.М.Глушкова . національної АН України

Захист дисертації відсудиться *20" 06

__ 1994р.

_год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 01.01.14 по присудженню вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук у Київському університеті їм. Т.Г.Шевченка за адресою: 252127, м.Київ, проспект академіка Глушкова,6, механіко-математичний факультет, ауд. 42. .

З-дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського університету їм. Т.Г.Шевченка, Київ, вул.Володимирс‘ька,58

Автореферат розісланий /$. 05 _^І994р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

Ж

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми . Ця робота присвячена дослідженню стійкості розв'язку 1 побудові функцій Ляпунова для систем лінійних диферен-Щавьних та різницевих рівнянь, з випадковими коефіцієнтами та з випадковими перетвореннями. Досліджується стійкість розв'язку систем з коефіцієнтами, тсі залежать від марковського чи напів-юрковського скінченнозначного випадкового процесу. Такі системи вивчали В.М.Артем'ев, І.Є.Казаков, М.М.Красовський, Г.М.МІльш-їєйн, С.М.Хрисанов та 1н. Системи з випадковими коефіцієнтами 1 випадковими стрибками досліджували М.А.ДевІс.І.Я.Кац, Р.Дж.ЕлІот. Системи лінійних диференційких рівнянь з Імпульсним впливом . вивчали М.О.Пересток, А.М.Самойленко. ,

Метод функцій Ляпунова та математичне застосування його було розроблено 1 запропоновано О.М.Ляпуновим. Надалі цю роботу продовжили М.А.Айзерман, Е.А.Барбашин, К.Г.Валеев, В.І.Зубов, М.Г.ЄругІн, Г.В.Каменков, М.Ф.Кириченко, М.М.Красовський, І.Г.Мал-кін, В.А.ПлІсСг Б.С.РазумІхІн, В.В.Румянцев, А.М.Самойленко, В.Хан, Д.Я.ХусаІнов, М.ГЛетаев та 1н.

Для динамічних систем с напівмарковськими коефіцієнтами в дисертації були виведені нові результати. ' .

Теорія напівмарковських процесів найвірогідніше почалась з роботи П.ЛевІ, потім 11 розвинули В.С.Королюк, І.М.Коваленко, -А.Ф.Турбін, Д.В.Гусак, В.В.АнІсІмов та 1н.

Нині теорія стійкості руху систем, параметри яких залежать від випадкових процесів, набула широкого розвитку. Стійкість руху стохастиуних динамічних систем розглядали М.М.Боголюбов, В.В.БолотІн, І.І.Ихман, А.В.Скороход, Д.Г.Кореневський, Г.Дж.Ку-' ‘ *

шар. У нашій роботі здійснювалося дослідження у середньому

І^-стІйкостІ та стійкості в середньому квадратичному рішень систем диференціальних та різницевих рівнянь з марковськими чи напівмар-ковськими коефіцієнтами та випадковими перетвореннями рішень. Були виведені моментні рівняння для випадкового рішення. Також виведені рівняння Для стохастичних функцій Ляпунова.

Мета работа полягав в дослідженні стійкості розв’язку систем лінійних диференціальних 1 різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами та із стрибками чи випадковими перетвореннями, які залежать від випадкового процесу, а також у побудові функцій Ляпунова. •

Загальні методи дослідження. Основними методами дослідження е: теорія диференціальних 1 різницевих рівнянь, стохасгичні функції Ляпунова, перетворення Лапласа, чисельні методи розв'язку рівнянь та метод моментних рівнянь. ,

Наукова новизна.

1. Виведені системи моментних рівнянь для систем лінійних ■диференціальних 1 різницевих рівнянь з випадковими марковськими чи нанівмарковськими коефіцієнтами та випадковими стрибками або випадковими перетвореннями розв'язку.

2. Розроблені чисельно-аналітичні методи дослідження стій-

кості у середньому 1 середньому квадратичному розв'язку систем диференціальних та різницевих рівнянь з випадковими напівмарковсь-кими коефіцієнтами 1 випадковими стрибками або перетвореннями рішень. Більш детально досліджується стійкість розв'язку лінійного диференціального рівняння першого порядку. •

.3. Знайдено.необхідні 1 достатні умови у середньому Ь2-' стійкості розв'язку систем диференціальних 1 різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами та перетвореннями розв’язку, які виражені через моментні рівняння.

4. Знайдені необхідні й достатні умови існування стохас-тичних функцій Ляпунова для систем лінійних диференціальних рівнянь з випадковими напівмарковськими коефіцієнтами 1 випадковими стрибками розв'язку, які дають змогу дослідити у середньому Ьг-стійк1сть розв'язку.

Практична цінність. Одержані в дисертації результати мають теоретичне значення 1 можуть бути використані для розв’язку практичних задач в теорії стійкості систем, а такок теорії управління.

Апробація та публікації. Матеріали дисертації повідомлялися на семінарі в Київському державному економічному університеті під керівництвом доктора фіз.-мат.наук, професора Валеева К.Г.; на Українській конференції "Моделювання 1 дослідження стійкості систем "у м.КиївІ (1993г.). '

За матеріалами дисертації опубліковано 7 робіт [1-71.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу/ трьох розділів, які містять 12 параграфів, висновків, списку літератури та додатків. Бібліографія містить 124 назви. Загальний обсяг дисертації - 174 сторінок, обсяг основного тексту 168 сторінок.

У вступі обгрунтована актуальність теми дисертації, сформульована мета роботи, міститься огляд літератури щодо теми, коротко викладено зміст дисертації.

В першому розділі досліджується стійкість розв'язку системи лінійних диференціальних 1 різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами, випадковими стрибками чи перетвореннями розв'язку.

У §1.1 наведено раніше відомі дослідження про марковські та напівмарковські процеси, стохастйчні оператори.

У §1.2 розглянуто систему лінійних різницевих рівнянь

" Хп+1 = А<^> V йег А(С) ^ о, (1) ?-4-гае9 *

де Çn - послідовність незалежник, однаково розподілених випадкових величин. •

Для системи (1 ) одержані системи лінійних різницевих рівнянь для моментів першого порядку

- 400

М(п+1 ) = В Щп); В н J АЮ <МО ÜC (2)

• —СО .

та для моментів другого порядку , .

400

D(n+1) = R D(n) ; R В H J A(Ç)DA (CWUdÇ. (3)

Теорема 1.1. Нехай коефіцієнти системи лінійних рівнянь ( 1 ) залежать від випадкових величин Сп . які незалежні 1 мають однакову щільність Імовірностей ф(С) . Тоді стійкість нульового розв'язку системи (1) у середньому рівнозначна стійкості розв'язку системи різницевих рівнянь (2). Стійкість нульового розв’язну системи різницевих рівнянь (1) у середньому квадратичному рівнозначна стійкості розв'язку системи різницевих рівнянь (3).

Також розглянуте випадок, коли матриця коефіцієнтів в системі (1) залежить від послідовності випадкових незалежних величин Сп, та від деякого марійського ланцюга .

У §1.3 розглянуто послідовність випадкових перетворень'(22), (23), які залежать від марковського випадкового процесу. Коли випадкові перетворення е лінійні .

Фх(Х) = А±К + Blt (1 = 1,...,N), (4)

знайдено моментні рівняння для моментів пертого порядку

. . N N .

М(п+1 ) = А М(п) + В; А = £ р^, В = J р1В1 (5)

і=) і=і

та моментні рівняння для моментів другого порядку

'П(п+1) = 2 р1(А10(П)А1 + А1Ы(п)В1 + (п)А1 + В^). (6)

1=1

Назвемо при В1 = О (1 = 1,...,Н) послідовність випадкових перетворень стійкою у середньому, якщо нульовий розв'язок рівняння (5) був стійким, 1 стійкою у середньому квадратичному, якщо нульовий розв'язок рівняння (6) був стійким. '

Такой розглянуто випадок, коли послідовність випадкових перетворень залежить від марковськсго ланцюга. .

У §1.4 розглянуто систему лінійних диференціальних рівнянь . (ЩО

= А(Ш)) Ш), (7)

dt

коефіцієнта якої залежать від напівмарковського випадкового процесу Ç(t). Позначимо щільність розподілу системи випадкових величин (X(t).C(t)) через

П

, f(t,X,Ç) = І fk(t,X) Ô(C - ек)

тоді моменти першого порядку мають вигляд ,

п

M(t) ? < X(t) > = І Mk(t), Mk(t) = І X fk(t,X) dX,

■ ■ k=1 в

m

де Km - m-мірний простір змінних ....x ,• які становлять

вектор X = (хч,...,xm)*, dX з dxi. Аналогічно вводиться матриця моментів другого порядку

* п *

D(t) = < X(t)X (t) > = І Dk(t), Dk(t) = [ XX fk(t,X)dX.

• *=' І

Для системи (7) виведені рівняння для моментів першого порядку

« . ■

’ мк(1;) = ^ ■к^) + | Ч:(І - т) е^’^СОсіт;

0 . •

_ - * я ■

’ £ А * г " А (і-*Г)

2к<*> = І Чк.^е.' М.(о) + \ ІЧкя<^)Оквв * ,

-1 • сГ

• <к=1,...,п) (8)

а також для моментів другого порядку . „ .

' * 11 ' • * ’ вк(1;) = Фіс<1;)е Вк(0)еПс + J ф^г-Ое* *к(т>е йт;

' . О ■

"к™ = I Чк^їО*. **"* в.«»8*** <£, + ■. •

. В=1

1; ■

Г £ Л(Ь-'С) *

+ Ц9кв^-х>Скае Ска(і-г{к=1......п) (9)

О

У цих рівняннях (8) 1 (9) можна передбачити, що в момент стрибка випадкового процесу відбувається стрибок розв'язку системи диференціальних рівнянь (7)

Х(^ + 0) = - 0). йег ск8 ї 0. (к,з = 1,

При цьому припускається,' що напівмарковський процес СО)- переходить в момент ^ Із стану Є8 у стан 9к . . -

У другому розділі розглянуто стійкість розв’язку системи лінійних диференціальних рівнянь з випадковими коефіцієнтами 1 з ■ стрибками, що залежать від марковського чи напівмарковського випадкового процесу.

У §2.1 досліджується стійкість системи рівнянь (7),ДЄ Ш) напівмарковський процес, стрибки якого співпадають з стрибками коефіцієнтів. З системи рівнянь (8),(9) можемо одержати систему.

моментних. рівнянь для марковського процесу при Сва=Е (в=1,...,П)

£10^(1) „ п ,

-ТГ- = УУ*> + + <*=1......п>- (1°-)

. аг В=1

Для дослідкення стійкості розв'язку момвятних рівнянь використаємо властивосг] симетричних матриць. Вводимо лінійний оператор N , який перетворюй симетричну матрицю Б знову в симетричну матрицю И‘И. Цей оператор називається монотонним, якщо з нерівності В| » 02 випливає справедливість нерівності Ы*П£.

Доведено леми.

Мела 2.1. Лінійний оператор \3(*), визначений за формулою ' * *

^А ГЪ-Т:) А „(<¡-1) *

Чкз(^)Скае *<'С>Є «Ъе*1 <11>

О

а монотонним.

Лет 2.2. Симетричні матриці \(*) (к = 1. •••.«), визначені системо» рівнянь (9), задовольняють нерівності .

Ики) ї0 (к = ' (12)

Вводячи позначення

СО

00

= |юктсії, \»к = І \{х)йч ' (к = 1

о о '

та Інтегруючи систему рівнянь (9), приходимо до системи лінійних алгебраїчних рівнянь

“ А * А*Ч

\ = І Ф1с(ї)еАіс1:(Вк(0) + іуе^аі;;

Визначення 8.1. Назвемо розв'язок системи рівнянь (7) у

середньому І^-стійким, якщо збігається невласний Інтеграл . 00

з = І < |хсї)|2> <». •

о

Доведено теореми. . ■

Теорема 2.1. Для того, щоб нульовий розв'язок системи рівнянь (7) з стрибками ХЦ^+О) = С^Х^-О), йе1; ї 0, (3 =

0,1>2,, к,з = 1,...,п) у випадкові моменти часу ї (і = 0,1.2, ,...), які визначаються стрибками випадкового марковського процесу СІО, було у середньому І2-СТІЙКИМ, необхідно, щоб збігалися матричні Інтеграли

" * -

= І « (к = 1....п) (14).

о

Теорема 2.2. Нехай виконані нерівності зк < ю (к = 1,..., п). Для у середньому Ь2~ст1йкост1 нульового розв'язку системи (7) необхідно 1 достатньо, щоб система рівнянь (13) мала обмежений невід'ємний розв'язок

«к ^ 0 (к = 1,...,п).

• Теорема 2.3. Для того, щоб нульові# розв’язок системи рівнянь (7) був у середньому 12-ст1йким необхідно 1 достатньо, щоб збігався метод послідовних наближень при вирішенні системи рівнянь (13) '

СО

(1+1 ) " г А* (1) А^ *

\ = 2 + «я >Є °Ъ.йЪ <15>

8=1 О • •

, (к = 1.....П, 1 = -1,0,1,2,...)

при =0 (к = 1.,п).

У §2.2. пропонується чисельно-аналітичний метод дослідае-

ння стійкості у середньому квадратичному розв’язку лінійного даференціального рівняння з випадковими напівмарковськими коефі-цібнтами

dx(t)

= a(C(t)) Kt)

- (16)

dt

та випадковими стрибками розв'язку ‘

x(td + О) = Oksx(t - 0); . Ckg. f О. (17)

(j — 0,1,2,, k,8 = 1,...,n).

. Доведено теореми. . _

Теорема 2.4. Для того, щоб виконувались співвідношення

• lira dL(t) = 0 (k = 1.............n) (18)

t-«too к

необхідно, щоб виконувались співвідношення

1ІШ ф. (t)e2akt = 0 (к = 1..............П), (19)

t-k + ОО *

CO

де позначено Фи(t) = )dt (k = 1,...,n); 4^(0) = 1.,

' t ’ ■

Теорела 2.5. Нехай виконані співвідношення (19), а також

збігаються невласні інтеграли ' '

+00

Г гаі 1

І ФкШе * аї < (О (к = 1............п). (20)

о .

. Для того, щоб виконувалося співвідношення (18),,достатньо,

щоб виконувалися граничні співвідношення

11т «„(1;)= 0 (к=1........п). (21)

Теорема 2.6. Якщо виконані умови теореми 2.5., то з асимптотичної стійкості розв’язку системи Інтегральних рівнянь

= егвзЧ<°>+

є=1

О

2а (Ї-І)

, 8 ,

Г (т)(П (к = 1................п)

випливає асимптотична стійкість нульового розв’язку (16) у середньому квадратичному. .

У цьому параграфі також запропоновано алгоритм чисельного дослідження стійкості рівнянь (16). Побудовано границі області нестійкості. , •

У §2.3 розглянуто системи лінійних диференціальних рівнянь (7) з коефіцієнтами, які залежать від напівмарковського процесу 1 передбачається, що одночасно з стрибками напівмарковського випадкового процесу відбуваються випадкові перетворення рішень. Введено тане,.понягтя випадкового перетворення: •

Нехай випадковий вектор X має щільність імовірності ^ (X). Перетворення вектора X у вектор У можна називати випадковим, якщо

де т) - випадкова величина. Введемо стохастичні оіґератори б х які визначаються за формулою .

(22)

в=1 >

Тоді для системи (7) маємо такі рівняння для моментів пер-

шого порядку

іуі;) = «^(ПИ^тм^О) + | (|^(1-т)Мк(1-г)Ук(а)йі;

О

п

п

\<*> -І + і І 9кв(«-т)0ІМ»в(і-т)Ув(т,йг;

В=1 _ 8=1

ІО

Нка •

' <к=1......................................П> . <24)

.1=1 .

1 моментів другого порядку

• і .

* г - * 1

вк(г> = + ]Фк(^х)Мк(г-х)И»к(х)Нк(г-т;)(П •

° ■ (к - 1,...,п)

п Ыкз . . « *

»к») = 2 Чк„(^ I Рк.в.1Ак.я.Л^)1).(0)Н.^^.в.1 +

1=1 '

* п ^ка ^ #

+ | I Чк,<^> I Рк...

: і з=1 1=1

. (к = 1...П). (25)

Теорем 2.7. Для того, щоб розв’язки системи

(іхт

= А(г,С(0)Х(0

(26)

сії

були у середньому І2-ст1йкиш, необхідно, щоб збігались невласні Інтеграли

- 00 .

. зк = І (^(1) 1 Нк(1)|2(11 < » (к = 1. ... ,п). (27)

о •

Ввівши позначення

Бк = І Ц^ХИ. «к = і Wlt(t)dt ‘

о . о

- маємо таку систему матричних рівнянь

ТО

(к = 1,...,п), (28)

°к = | + »к)Нк(ї)«,

0

оо • N.

п . кв

щ щ .

1 %3М 1%.влк. „Ліііів.іоидії^^і«.

о 3=1 1=1 •• ■

(к - 1.п) (29)

Теорєла 2.8. Нехай коефіцієнти системи рівнянь (26) залежать від напівмарковського процесу Ш) , як зазначено у формулах

Нехай виконані необхідні умови стійкості (27). Для того, щоб нульовий розв'язок системи (26) був в середньому Ь2-стійким, необхідно 1 достатньо, щоб при Е3(0) >0 (в = 1,...,п) система рівнянь (29) мала розв'язок > 0 (к = 1,... ,гі). '

Лет 2.3. Для того, щоб нульовий розв'язок системи ліній-, них рівнянь (26) був у- середньому Іг-ст1йким, необхідно, щоб збігались матричні невласні Інтеграли

І2-ст1йкост1 розв’язку системи (26) випливає стійкість розв'язку ' у середньому квадратичному. • • '

Теорела 2.9. Якщо нульовий розв'язок системи лінійних диференціальних рівнянь (26) у середньому 1<г~ст1йкий, а Інтенсивності qkg(t) (к,а = 1,...,п) напівмарковського ггроцесу С('і)

(ЩП

(ЗО)

1 розв'язок Х(1;) зазнає випадкових перетворень

ха^-Ю) = Фг1<Шу-0),т)г1) (г,1 = 1...п),

І • • • «

яким відповідають перетворення щільності Імовірності

т^ОД) = Б^пуо.Х),

00

ик = I Фк(Шки)ЇІ*(1;)сії (к = 1............п.);

О

оо

О ' •

Потім показано, що при досить загальних умовах з у середньому

задовольняють умовам

Ііт Якзи)Н8(і;)1І*(г) з о (к.б =

ііт ф и)іЛі;) = о <з = і,...,п),

И-+СО 8 3 8

то нульовий розв’язок системи (26) асимптотично стійкий у середньому квадратичному.

Більш детально досліджується стійкість розв’язку ЛІНІЙНОГО диференціального рівняння (16) з випадковими перетвореннями ' 1(^+0) = р^х^-О); Рх ї 0 (1 = 1.....М) (31)

що здійснюються з Імовірностями рх (1 = 1..,N1. .

Виведено рівняння для моментів другого порядку 1 побудовано границю області нестійкості розв’язку рівняння (16).

У §2.4 розглянуто стійкість у середньому квадратичному розв'язку лінійного диференціального рівняння (16) з стрибками, які відбуваються у випадкові моменти з випадковою величиною стрибка , де С(ї) - випадковий марковський процес, який приймає два стани 0к (к =1,2) з Імовірностями, що задовольняють систему диференціальних рівнянь

ар,^) сір2 (г) •

------г = - \р (ю + ^р (о,.-------------= яр т - гф (г).

аг ^ . (її ^

• Я > О, V > 0 (32)

Передбачається, що час між стрибками розподіляється за екс-понеіщіальним законом, а величина стрибка розподілена за степеневим законом, при цьому.одержали умови стійкості випадкового розв'язку у явному виді '

' А. + V - 2а1 - 2аг > 0, 2а{аг - Л.аг - г,а1 > 0. (33)

У §2.5 досліджується система лінійних різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами, які залекать від скінченнознпчпого

' ІЗ • . ' '

налівмарковського ланцюга. Передбачається, що одночасно із стрибками відбуваються випадкові перетворення розв'язку.

• Для системи лінійних різницевих рівнянь .

= Mk.Cfc)** (k = 0,1,2,...), dim = m (34)

знайдено рівняння для моментів першого порядку .

k

мв(к) = <|>e(k)Na(k)Me(О) +5 фв(k-a)Н8(k-a)Шв(a);

a=t

а Ы*3 •

»SIW +

n k-1 ®e3 ■

+ 2 2<Wa) (s = 1,••.,n) (35)

j=i a=i r=i

1 другого порядку

* ^ ' *

DB(k) = 4>e00NB(k)De(0)NB(k) + £ 4e(k-a)NB(k-a)r8(a)Ns(k-a);

a=i '

r VSJ * *

Ts(k) = I q8j(k) I Р.;а>А.і.Л<к>^0>Мі<*>«>в. J,* +

J=1 r=l

n k-1 Vsj t ,

+ I 2 4a3(a) 2 ps.J. A. J.rNí<a)TJ(k-a)^(a)<t>fli г(а=1, • • ,n). (ЗЄ)

i=\ a=i r=i

• У третьому розділі пропонуються способи побудови функцій Ляпунова для системи лінійних диференціальних рівнянь 'з випадковими стрибками чи випадковими перетвореннями.

У §3.1 наведено відомі розробки про монотонні оператори, а також про властивості розв'язку операторних рівнянь у частково впорядкованих просторах. ЦІ відомості використовують при розв'язку рівнянь для побудови функцій Ляпунова.

У §3.2 виведені рівняння для сгохастичиих функцій Ляпунова щодо систем лінійних диференціальних рівнянь, коефіцієнти яких залежать від налівмарковського процесу .

ик(х) = J < X*(t)B(C(t))X(t)I Ç(t) = ek, X(t) = X > dt. (37) .

. o .

(k = 1 ,...,n)

Доведено теореми. •

Теорема 3.7. Нехай коефіцієнти системи лінійних диференціальних рівняні (7) залежать від випадкового напівмарковського процесу C(t), який приймає скінченну кількість значень Єк (к = 1, ...,п). Нехай Ç(t) визначений Інтенсивностями q (t; (к = і. '...,п) 1 в моменти t. стрибків CCt) значення С ( t .-0 ) = Є_ .

■ Л . «J 8

на значення Ç(t .+0) = в розв'язку системи (7) мають стрибки

* з ** . .

X(td+0) = Ck3X(t3-0), let Cka * 0 (k,3 = 1.n). (38)

При цьому основні стохастичні функції Ляпунова ик(Х) (37)

•ик(Х) = Х*СкХ = Ско(ХХ*) (к = 1,...,п) визначаються системою рівнянь виду

CO W .

JJLt A, t "r A, t* A. t

\е dt + IJ P„k°Ake dt- <39>

i3- w

О О

(к = 1,...,п)

' Теорема 3.8. Для того, щоб нульовий розв’язок системи рівнянь (7) з випадковими стрибками був асимптотично стійким у середньому квадратичному достатньо, щоб виконувалась одна з рівнозначних умов:, 1. Система рівнянь (39) при будь-яких матрицях Вк > О

(к = 1 ,...,п) мав додатний розв’язок Cfe > о (k=1,...,n).

2. Система рівнянь (39) при деякому наборі матриць Вк > 0

(к = 1,...,п) має додатний розв'язок ск > ° =1,...,п).

3. Збігається метод послідовних наближень

00 * 00 *

0+1) г Vі A t " r A t * (Я A t

ск = І 4>k(t)e к Вке к dt + I qsk(t)e к CskC3 0ske к dt

О

1S

(О)

. (к = 1....Д1) (3 = а,1.2...... ск =0).

4. Для вектора з матричними складовими С = (С1...Сп) лінійний оператор

(ВС).

• со

" г а * * ' А *

к ‘ I } СаІсСа^в1сЄ « '

а=1 0

мае спектр, який лежить в одиничному крузі.

5. Збігається метод послідовних наближень 00

їм) £ г к* ічч *

«к = I 1 Чкз^)°каЄ 8 + "і”»* * Ска«

. 8 = 1 О ' ■

(О)

Ик = 0 (к = 1............п; з = 0,1,2,...).

У цьому * параграфі розглянуто побудову функцій Ляпунова для марковських процесів. Тоді система (39) для визначення функцій Ляпунова має вигляд '

' со • . сю

П * »** * » *.

*а,... А,.і * А.Ь

ск - \ е^е^в^аг + £ І чвкеїаккеАк,;с[ксвсвкеАк,ійг.

* 8=1 + . з^к О

(к = 1,....п) (40)

У §3.3 за допомогою функцій Ляпунова досліджуються стійкість

розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь з коефіцієнтами, що залежать від напівмарковського процесу. Припускаємо, що випадковий процес змінює значення стрибком 1 одночасно відбуваються випадкові перетворення. Виведені рівняння, що визначають • основні стохастичні функції Ляпунова . '

*» N ,

п ек

+ I I Чак<*> 1 Рв.к.А<^А3.к.1°аАа.к.А(г>«-: <41

в=1 0 1=1

)

Доведено теореми.

Теорела 3.9. Для того, щоб система рівнянь

»sk

Г * Ґ ' * 'І

= Н* + і \(^У1Чзк<1;)1|1РЯ.1сЛАЯ.к.1СзАа.к.і]\<1;)^

° (к=1,...,п) (42)

мала додатний розв'язок Ск > 0 (к = 1,...,п) при Нк > 0 (к = 1,

...,п) необхідно 1 достатньо, щоб система рівнянь

со . м

п кз * *

*з=1 1=1 ' *

О .

00 N.

п кз * *

(к = 1......п) (43)

мала додатний розв'язок Ws >0 (k =1...п) при Gk > 0 (k=1,...,n).

Системи рівнянь (42),(43) одночасно можуть бути розв'язані

або не розв'язані методом послідовних наближень виду

(Я ‘

С = lim С ; к t-»+® к

(J+1) " (}) (О)

Ск “ ^ + 2ЛзСз • Ск го (к- 1,...,п).

3=1

Теорела 3.10. Для того, щоб нульове рішення системи (26) з випадковими перетвореннями розв'язку виду .

Х^+О) = лг11ах(гл-0) ; аег кг1в * о (з = 1..................иг>1)

було у середньому Ь2-стійким, необхідно 1 достатньо, щоб система рівнянь (42) мала при Вк > 0 (к = 1,...,п) додатний розв'язок Ск >0 (к = 1,—;п).

Доведені теореми дають простий критерій у середньому Ь2-стійкості, за допомогою якого в дисертації розв'язані приклади..

Основні наукові результати, які містить дисертація, опубліковані' у таких роботах: '

1. Зезун С.М. Дослідження стійкості розв'язку ЛІНІЙНОГО диференціального рівняння з випадковими стрибками.-Київ, 1992,-6 с.

- Бібліогр. 2 назви. Рос. -Деп.в УкрІНТЕІ 09.03.92.-Ji 313-УК 92.

2. Валеєв К.Г., Зезун С.М. Дослідження стійкості розв’язків

системи лінійних різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами. -Київ, 1992.-10 с.-Бібліогр. 2 назви. Рос.-Деп.в УкрІНТЕІ 12.09.92. -Л І4ІІ-УК 92. .

3. Валєев К.Г.,Зезун С.М. Побудова стохастичної функції Ляпунова для системи лінійних диференціальних рівнянь з випадковими стрибками.-Київ, 1992.-18 с.-Бібліогр. З назви. Рос.-Деп.в УкрІНТЕІ 12.09.92. -* 1412 - УК 92.

4. Зезун С.М. Дослідження стійкості розв'язків системи лі-

нійних диференціальних рівнянь із стрибками, які залежать від на-півмарковського процесу//Укр.конф.по модел.та досліди.стійкості систем:Гез.доп. -Київ, 1993. - ч.І. с.52. ' ’

5. Валєев К.Г., Зезун С.М. Лінійні диференціальні рівняння з напівмарковськими коефіцієнтами 1 випадковими перетвореннями. -Київ, 1993.-12 с. -Бібліогр. 2 назви. Рос. -Деп.в УкрІНТЕІ 28.06. 93. -J6 І259гУК 93.

6. Валеев К.Г., Зезун С.М. Лінійні різницеві рівняння з

випадковими напівмарковськими коефіцієнтами 1 випадковими перетвореннями розв'язків.f Київ, 1994. -17 с. -Бібліогр. 6 назв. Рос. -Деп.в ДНТБ України 10.01.94. - X ПО - УК 94. .

7. Зезун С.М. Дослідження стійкості розв'язку лінійного диференціального рівняння з випадковими перетвореннями розв'язків. -Київ, 1994. -8 с. -Бібліогр. 2 назви. Рос. -Деп.в ДНТБ України 10.01.94, - * 109 - УК 94.