Исследование структуры жидкостей и кристаллов методом функций распределения

Балахчи, Анна Георгиевна

Исследование структуры жидкостей и кристаллов методом функций распределения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Балахчи, Анна Георгиевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Иркутск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Исследование структуры жидкостей и кристаллов методом функций распределения»

Автореферат диссертации на тему "Исследование структуры жидкостей и кристаллов методом функций распределения"

На правах рукописи

ог' ОД " 3 МАЙ Ш

KAJIAX4II Анна Георгиевна

ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ЖИДКОСТЕЙ И КРИСТАЛЛОВ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

0 1 .04.07- физика твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I!рку|ск - 2000

Диссертационная работа выполнена в Иркутском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Аграфонов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Г.Н. Саркисов

кандидат физико-математических наук, доцент С И. Политыко

Ведущая организация:

Институт Физической Химии РАН

Защита диссертации состоится «5» апреля 2000 года в 10.00 часов на заседай! специализированного совета Д 063.32.03 в Иркутском государственном университете по адрес 664003, Иркутск, булвар Гагарина, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Иркутского государственно университета.

Автореферат разослан« у »

2000 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, доцент

Б.В. Мангазеев

1. Общая характеристика работы 1.1. Актуальность темы диссертации

Одной из фундаментальных проблем физики твердого тела является определение структурных и термодинамических свойств конденсированных систем по заданным характеристикам составляющих эти системы атомов или молекул, межатомных и межмолекулярных взаимодействий. Основой для теоретического исследования конденсированных систем и связанных с ними структурно-фазовых переходов служит классическая статистическая физика, ее аппарат и методы, развитые Дж.У.Гиббсом, Дж.Майером, Дж.Кирквудом, H.H. Боголюбовым, Г.Грином и др. Однако применение хорошо разработанных аналитических и полуаналитических методов классической статистической физики (таких, например, как вириальные разложения, цепочки интегродифференциальных уравнений для функцияий распределения и т.п.) к конденсированным системам обычно требуют введения в теорию дополнительных новых гипотез, подчас основанных на эвристических предположениях. Построенные таким способом теории фактически оказываются полуэмпирическими, и качество полученных с их помощью результатов обычно невозможно заранее предсказать для сколько-нибудь значительных интервалов изменения термодинамических параметров.

Другой фундаментальной проблемой физики конденсированного состояния является разработка строгой математической теории топологических фазовых переходов (например, плавления или испарения). Большинство известных методов либо чисто феноменологические, либо основываются на математических допущениях, за точность которых нельзя ручаться. С физической точки зрения почти все приближения молчаливо основываются на том, что жидкость качественно не отличается от плотного газа. Однако на линии кристаллизации жидкости это предположение становится необоснованным.

Принципиальное значение приобретает проблема описания фазовых переходов в физике твердого тела в случае исследования процессов кристаллизации. Классические теории зародышеобразования кристаллов были созданы Гиббсом, Фильмером и Косселем и они являются чисто термодинамическими. Более детальный анализ первичного зародышеобразования привел к выводу о недостаточной точности теории этого процесса. Так, в частности, моделирование на ЭВМ показало, что принятая в классической теории форма критического зародыша далека от реально возможной. Поэтому актуальным представляется поиск ответа на вопросы о тонкой структуре зародышей и о механизме их начального возникновения. Еще больший комплекс подобных вопросов возникает при исследовании макромолекулярных и полимерных систем.

В настоящее время можно выделить три теоретических подхода в исследовании структуры вещества - это метод молекулярной динамики, метод Монте-Карло и метод функций распределения. Первые два из них возникли благодаря стремительному прогрессу вычислительной техники. Они основаны на непосредственном численном моделировании динамики системы частиц, подчиняющихся распределению Гиббса. При этом для получения репрезантативных средних необходима генерация миллионов различных конфигураций системы. Естественно, что ограниченность вычислительных ресурсов делает доступными для прямых имитационных методов молекулярной динамики лишь сравнительно небольшие системы, включающие не более нескольких тысяч частиц.

Значительно более эффективным, чем методы численного эксперимента, представляется метод функций распределения. Он основан на том, что структура вещества описывается !-частичными функциями распределения / (г,,..., г,) , имеющими смысл плотности

вероятности обнаружения группы /-частиц вблизи точек с координатами ,..., Уравнения

для этих функций записываются в форме бесконечной цепочки Боголюбова Борна Грина Кирквуда Ивона (ББГКИ) и содержат в качестве параметров температуру, плотность и характеристики потенциала межмолекулярного взаимодействия. Непосредственное решение цепочки уравнений ББГКИ является чрезвычайно сложным. Это связано с так называемой «проблемой расцепления», возникающей в результате того, что функция распределения 1-ого порядка входит не только в I -ое, но и в / +1-ое уравнение.

Поскольку две младшие функции - одно- и двухчастичная функции распределения являются наиболее важными (они позволяют определить структуру, а их средние -термодинамические параметры вещества), то целесообразно переопределить бесконечную цепочку ББГКИ таким образом, чтобы исключить из неё все старшие функции распределения. В работах школы Г.А. Мартынова было показано, что в результате такой процедуры бесконечная цепочка уравнений Боголюбова сводится к системе двух интегральных уравнений для одно- и двухчастичной функций распределения (полученная система уравнений называются фундаментальной системой уравнений или обобщенным уравнением Орнштейна-Цернике). Однако эти уравнения содержат бесконечные функциональные ряды от искомых функций распределения (бридж-функции, представляющие собой бесконечные суммы неприводимых диаграмм). Просуммировать аналитически или вычислить с необходимой точностью такие ряды не удается. Для решения конкретных задач приходится прибегать к дополнительным физическим соображениям и аппроксимировать бридж-функции некоторыми простыми аналитическими выражениями (замыканиями), что приводит к приближенным интегральным уравнениям. До сих подобный подход применялся преимущественно для описания пространственно-однородных, изотропных сред (газы, жидкости) и позволял более или менее удовлетворительно описывать всю фазовую диаграмму, вплоть до линии кристаллизации жидкости.

С ростом плотности и понижением температуры погрешности аппроксимаций возрастают. На линии кристаллизации жидкости эти погрешности становятся значительными. Поэтому актуальным является поиск новых аппроксимаций, описывающих низкотемпературную область параметров с более высокой точностью. Кроме того, при достаточно низких температурах в веществе начинают проявляться квантовые свойства, их влияние также необходимо учитывать при исследовании структуры и термодинамических характеристик вещества.

Выше плотности кристаллизации жидкости приближенные интегральные уравнения решений не имеют. Однако, в последнее время получен ряд результатов, свидетельствующих о возможности использования обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике для исследования структурных и термодинамических свойств высокотемпературных кристаллов. Остается открытым вопрос об описании развитыми методами низкотемпературных кристалов и кристаллов с анизотропным потенициалом межмолекулярного взаимодействия. С другой стороны, изложенный выше подход позволяет иначе взглянуть на стандартную формулировку физики твердого тела. Известно, что в физике твердого тела зачастую просто постулируются параметры кристаллической решетки, что эквивалентно заданию одночастичной функции распределения, а двухчастичной функцией распределения, как правило, пренебрегают. Можно сказать, что фактически в теории твердого тела тип симметрии кристалла всегда постулируется, а не рассчитывается. Без знания двухчастичной функции распределения невозможно корректно рассчитать термодинамические параметры вещества, определить кривые фазовых переходов (в том числе, и температуру плавления кристалла). С помощью обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике можно сформулировать теорию кристаллического состояния вещества в терминах одно- и двухчастичной функций распределения, что позволит, по-видимому, более адекватно описывать и коллективные явления в конденсированных средах.

Все это делает актуальной задачу развития и исследования возможностей формализма уравнения Орнштейна-Цернике с целью построения единой теоретической модели для описания всех агрегатных состояний вещества.

Дополнительную актуальность вопросам развития подобного формализма обеспечивает и возможность его использования для исследования фазоструктурных превращений в двумерных пленочных и одномерных волоконных конденсированных системах.

1.2. Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы являлось применение теории функций распределения к описанию конденсированных систем, определение границ применимости и развитие методов решения уравнения Орнштейна-Цернике для кристаллической области параметров. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Получение решения обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике для модели идеального кристалла.

2. Экстраполяция полученного для модели идеального кристалла решения в область параметров, соответствующих плавлению кристалла, находящегося в равновесии с расплавом.

3. Формулировка критериев, позволяющих оценить вклад неприводимых диаграмм в прямую корреляционную функцию высокотемпературного кристалла, и разработка алгоритмов для вычисления суммы таких диаграмм.

4. Разработка методов и критериев, которые позволяют повысить точность известных замыканий в области низких температур и больших плотностей.

5. Расчет вклада квантовых эффектов в термодинамические функции на линии кристаллизации жидкости.

1.3. Методы исследований. Поставленные задачи решались методами, развитыми в физике жидкостей. Описание системы сильно взаимодействующих классических частиц осуществлялось с помощью обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике, для решения которого использовались различные приближения (замыкания). Для плотностей, соответствующих жидкому агрегатному состоянию, были получены нелинейные интегральные уравнения, которые решались численно. В частности, в работе использовался высокоэффективный спектрвльный метод Лабика-Малиевского. Оценка точности приближений осуществлялась методом сравнения полученных результатов с данными численного эксперимента, выполненного методами Монте-Карло и молекулярной динамики.

1.4. Научная новизна. В работе впервые показано, что в рамках единой теоретической модели, основанной на методе функций распределения, можно описать все агрегатные состояния вещества от идеального газа до идеального кристалла. Также впервые получены следующие результаты:

1. Получено решение обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике для модели идеального кристалла при Т->0 К, связывающее потенциал межмолекулярного взаимодействия Леннард-Джонсовских частиц с параметрами кристаллической решетки.

2. На основе решения обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике, полученного для модели идеального кристалла, сформулирован критерий оценки физической обоснованности приближенных уравнений: из множества приближений физическую интерпритацию будет иметь то, которое адекватно описывает предельный переход к идеальному кристаллу при Т=0 К.

3. Аналитически вычислена простейшая неприводимая диаграмма бесконечного диаграмного ряда при Т=0 К. Предложен алгоритм вычисления этой диаграммы для Т*0 К.

4. Сформулирован критерий отбора аппроксимаций бесконечного ряда мостиковых диаграмм простыми аналитическими выражениями. Предложена новое замыкание, удовлетворяющее этому критерию.

5. Рассчитаны квантовые поправки к давлению леннард-джонсовской жидкости на линии её кристаллизации.

1.5. Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы для дальнейшего развития формализма метода функций распределения и описания в его рамках разнообразных состояний вещества, в которых оно может находиться при различных значениях плотности и температуры. В частности, полученные результаты могут служить основой для более точного описания высокотемпературных кристаллов, развития методов теоретического исследования низкотемпературных кристаллов, для обобщения развитых методов на случай кристаллов с анизотропным потенциалом взаимодействия, построения теории анизотропных и пространственно неоднородных жидкостей и газов, для исследования свойств межфазных границ невырожденных жидкостей вблизи абсолютного нуля температуры.

Развитая в диссертационной работе концепция может служить физической основой для разработки теоретического описания и анализа процессов, происходящих при синтезе аморфных, кристаллических и стеклоподобных систем для микроэлектроники и лазерной физики, при решении таких задач физического материаловедения, как синтез веществ с заранее заданными свойствами. Результаты работы могут быть применены и для построения единой микроскопической модели фазовых переходов, в частности с учетом граничных структурных эффектов, что важно, например, для решения проблемы синтеза сверхпроводящих полимерных пленок.

1.7. Защищаемые положения.

1. Обобщенное уравнение Орнштейна-Цернике описывает как жидкое, так и кристаллическое состояние системы частиц с Леннард-Джонсовским потенциалом взаимодействия.

2. Из множества аппроксимаций для прямой корреляционной функции Сц физическую интерпретацию будет иметь та, которая описывает фазовый переход из жидкого в твердое агрегатное состояние для системы классических частиц при Т—>0К.

3. Простейшая неприводимая диаграмма бридж-функционала, являющаяся многомерным интеграллом, может быть представлена бесконечным рядом, каждый член которого сводится к вычислению однократных интегралов по координатам частиц от парных корреляционных функций. В предельном случае системы классических частиц при Т—>0К, когда коллективными эффектами можно пренебречь, вклад этой диаграммы в бридж-функцию вычисляется аналитически.

4. Класс функций, аппроксимирующих бесконечные суммы мостиковых диаграмм должен быть ограничен условием минимума термического потенциала ш (имеющего смысл энергии опосредованного взаимодействия группы частиц с полем и сдруг другом), которое определяет фазовый переход расплав-кристалл в системе твердых сфер.

1.4. Связь с государственными программами и НИР. Работы по теме диссертации выполнялись в рамках темы «Применение методов физики жидкостей для исследований в области молекулярной электроники» (№ Гос. Регистрации 01940018246), программы фундаментальных исследований СО РАН «Развитие научных основ квантовой оптики и квантовой электроники, разработка новых направлений и их применение» (№ Гос. Регистрации 01940005836) и по планам НИР Иркутского государственного университета.

1.8. Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: XVII Congress and General Assembly of the Internetional Union of Crystallography (Seattle, Washington, USA - 1996 ); Международной конференции «Закономерности эволюции земной коры» (Санкт-Петербург, 1996 г.), IV и V Школах-семинарах «Люминесценция и сопутствующие явления» (г. Иркутск - 1998, 1999 г.), Второй Байкальской научной молодежной школе по фундаментальной физики (1999 г.), научных семинарах Московского государственного университета, Иркутского государственного

университета, Иркутского государственного технического университета. Иркутского филиала Института Лазерной Физики СО РАН, Института Геохимии СОРАН.

1.9. Личный вклад автора. Решение всех задач, сформулированных в диссертации, получено автором лично, либо при его определяющем участии. Постановка задач выполнена совместно с научным руководителем и соавторами опубликованных работ. Принадлежность указанных научных результатов лично соискателю признана всеми соавторами и научным руководителем. #

1.10. Публикации. По материалам диссертационной работы опубликованно /3 работ в центральных отечественных и зарубежных изданиях.

1.11. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы ( /Оо наименования), и изложена на ЭО страницах, содержит /3 рисунков и $ таблицы.

2.0сновное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, ее практическая значимость, показана научная новизна работы и сформулированы защищаемые положения.

Первая глава - обзорно-аналитическая. В ней рассматриваются работы по статистической механике и теория частичных функций распределения в равновесном состоянии. Обсуждается ряд наиболее важных проблем метода функций распределения. Сравниваются два основных подхода к описанию систем: локальный, опирающийся на уравнение Орнштейна-Цернике, и глобальный подход Гиббса.

В локальном подходе макроскопические параметры вещества в точке г зависят только от распределения молекул в ближайшей окрестности этой точки (эту окрестность называют корреляционной сферой), в отличие от глобального подхода Гиббса, рассматривающего состояние сразу всей макроскопической системы. С точки зрения строгости и общности эти подходы эквивалентны. Однако локальный подход, во первых, проще, поскольку нет необходимости решать систему, состоящую из №10гз взаимодействующих частиц, во вторых, используя этот подход, можу] сформулировать и обосновать то, что в рамках теории Гиббса обосновать не удается (например, понятие «структура вещества»). Развитая в рамках локального подхода теория применима для описания структуры разнообразных состояний вещества, в которых оно может находиться при различных значениях плотности и температуры. С другой стороны, известно что, в теории кристаллов обычно постулируются параметры кристаллической решетки, это эквивалентно заданию одночастичной функции распределения - макроструктуры, однако о существовании микроструктуры почти никогда не упоминается, в результате нельзя определить какой тип кристаллической решетки должен реализоваться в данном теле при заданной температуре и плотности.

Известно, что цепочку уравнений ББГКИ можно преобразовать к обобщенному уравнению Орнштейна-Цернике

ы, =п\02С^6{2)+1па, (1)

+ п|С,С(//Ь„с1(3) (2)

для двух неизвестных функций: одночастичной функции распределения Ф,

1 = ехр(---1- w1) и двух частичной функции распределения

С/2=0/02(; + Ь/2) = 0/02ехр(-^- + ш/2), (3)

где и=]1ст5 - плотность, ст - характерный размер молекулы, 0 =кТ - температура, 1п а -V

логарифм коэффициента активности, Ф ¡ - энергия частицы во внешнем поле, Ф ¡2 - потенциал межмолекулярного взаимодействия, V/ - термический потенциал, имеющий смысл энергии опосредованного взаимодействия группы частиц с полем и сдруг другом. Прямые

корреляционные функции выражаются через бесконечные ряды неприводимых

диаграмм от произведений парных корреляционных функций Ь ц (?/, т2 ). Суммирование таких рядов представляет основную трудность статистической механики. В зависимости от того, какие диаграммы суммируются, получается та или иная аппроксимация, выражающая Си через И\2. Наиболее известными из них являются гиперципное (ГПЦ), Перкус-Йевика (ПЙ), Мартынов-Саркисова (МаС). . В результате получаются приближенные нелинейные интегральные уравнения, каждое из которых имеет различную степень точности, это приводит к нарушению ряда термодинамических тождеств (термодинамической несогласованности), что выражается несогласованности таких величин как давление, сжимаемость и внутренняя энергия. При этом все термодинамические функции, получаемые на основе приближенного решения, оказываются в той или иной степени зависимыми от сопсоба их вычисления. Оценка точности приближенных уравнений осуществляется путем сравнения результатов их решения с данными численного эксперимента. Для системы твердых сфер наилучшие результаты дает приближенное уравнение МаС.

Рис.1. Фазовая диаграмма (Т*=0/е - приведенная температура, е- параметр потенциала Леннард-Джонса (5), п<| соответствует плотной упаковке кристалла).

Как правило, приближенные уравнения применяются для расчета структурных и термодинамических параметров систем частиц сферически-симметричным потенциалом взаимодействия и описывают всю фазовую плоскость АВСД (рис.1), 0<п<1, с погрешностью не более нескольких процентов вплоть до линии СЭ кристаллизации жидкости. При низких температурах и больших плотностях погрешность результатов возрастает - вблизи линии кристаллизации жидкости ни одно из известных приближений не обеспечивает необходимую точность. Кроме того, при достаточно низких температурах существенное влияние на

физические свойства вещества оказывают квантовые и многочастичные эффекты. Вклад квантовых эффектов на линии кристаллизации не известен. В связи с этим, в данной главе обсуждаются некоторые известные методы повышения точности аппроксимаций, а также способы учета квантовых эффектов.

При плотностях п>1 (область правее кривой ЬМ), соответствующих кристаллу (система с трансляционной симметрией) все существующие на сегодняшний день приближенные уравнения решений не имеют.

На пути построения статистической теории кристаллов в рамках локального подхода возникают большие трудности. Первая из них связана с тем, что функции распределения кристаллов являются периодическими функциями координат, свойства которых, в общем случае, определяются бесконечным набором фурье-компонент, поэтому задача сводится к бесконечному числу уравнений, позволяющих рассчитать каждую из гармоник. Вторая трудность обусловлена самой природой твердого тела. Частицы удерживаются в узлах кристаллической решетки силами взаимодействия. Последние описываются парным потенциалом взаимодействия, вид которого определяет двухчастичную функцию распределения, а через нее - одночастичную. Не смотря на то, что главная задача теории заключается в определении одночастичной функции распределения (она описывает структуру решетки), ни на одном этапе нельзя пренебречь двухчастичной функцией, являющейся по существу первопричиной возникновения периодической структуры. Следовательно, каждое из уравнений, определяющих амплитуды гармоник, на самом деле представляет собой систему двух уравнений для 0| и И наконец, даже в том случае, когда потенциал взаимодействия

зависит от модуля расстояния между частицами гу = |г, - , двухчастичная функция распределения кристалла оказывается функцией двух векторов - г, и г^, т.е. зависит от шести координат (х,, у/, г, и Ху, у^, ). Это делает задачу вычисления двухчастичной функции распределения гораздо более сложной, чем в случае жидкостей, где она зависит только от одной переменной гу. Все перечисленные трудности удалось преодолеть лишь для описания систем

частиц со сферически-симметричным потенциалом взаимодействия. В частности, в рамках локального подхода, разработан алгоритм расчета структурных параметров высокотемпературного (вблизи температуры плавления) кристалла. Однако, остается открытым вопрос о том, каким образом можно обобщить развитую теорию на область температур, лежащих ниже тройной точки.

Во второй главе получено решение обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике для модели идеального кристалла, связывающее потенциал межмолекулярного взаимодействия с параметрами кристаллической решетки. При этом одночастичная функция распределения имеет смысл локальной плотности в лабораторной системе координат. Для пространственно однородных, изотропных сред, в отсутствие внешнего поля, одночастичная функция распределения равна единице. Для кристаллического состояния одночастичная функция распределения не равна единице, даже несмотря на отсутствие внешнего поля. Чтобы описать такую систему необходимо, следуя Боголюбову, ввести внешнее поле, которое фиксирует положение кристалла в пространстве, а затем устремить поле к нулю. Тогда одночастичная функция распределения описывает локальное распределение плотности относительно фиксированной системы координат, задающей положение кристалла -как целого. В качестве начала такой системы координат удобно выбрать одну из частиц решетки, присвоив ей условно номер ноль. Поэтому одночастичная функция распределения С\=ехр{^ ¡) для кристалла является периодической функцией и её можно представить в виде ряда Фурье. Показано, что

для идеального кристалла при Т=0К все фурье-компоненты О ^ одинаковы и 0| является суперпозицией трехмерных 8-функций Дирака

= (?/-?„), (4)

где суммирование проводится по узлам кристаллической решетки Гп координаты которых, в свою очередь, должны быть определены.

Взаимное расположение узлов решетки (т.е. период решетки и тип сингонии кристалла) определяется потенциалом межмолекулярного взаимодействия. С другой стороны, потенциал Ф¡2 входит в парную корреляционную функцию в виде комбинации -Ф ¡2 /© • Рассмотрим вид функции А12 при Т=0К. Пусть межмолекулярное взаимодействие описывается потенциалом Леннард-Джонса:

где ст- характерный размер молекулы. Потенциал Ф имеет минимум в точке г0=>]~2. Поэтому функция -Ф¡2 /© при Т->0 имеет в этой точке 5-образный максимум. В результате. /¡12 может быть аппроксимирована одномерной функцией Дирака 5 (г;2 - Г0 ).

Таким образом, при Т=0, с учетом (4), уравнение (1) удовлетворяется тождественно, г для прямой корреляционной функции получается следующее уравнение

+п£С«(г/;?п)5 (г2п -г0) = 5 (гп-г0) (6;

Решение которого есть

С,2 =а5 (т,2 -г0), (7;

а = 1/(1 + п Ы0), г,2 = т0, т,3 = т0, т23 = т0 (8

Последнее соотношение определяет структуру кристалла (период решетки и тип сингонии). Эт< видно из следующих соображений.

При Т=0°К система является плотно упакованной. Для систем частиц со сферически симметричным потенциалом взаимодействия (Леннард-Джонс) имеется два типа решеток I плотной упаковкой - гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка и гексагональна; плотноупакованная решетка. Возьмем произвольно пару ближайших соседей, расположенных ] плоскости (111). Она имеет четыре соприкасающихся с ней частицы для обеих типов решетки две частицы в плоскости (111) и по одной в прилегающих плоскостях. Если же частицы 1 и '. лежат в двух соседних плоскостях, ситуация будет иной. Для ГЦК решетки N0 по прежнем; равно 4, а для гексагональной решетки Ыо=3. Таким образом, Ыо=сош-/ для ГЦК решетки. Та: как пара ближайших соседей выбирается произвольно, то это обстоятельство свидетельствует пользу того, что реализуется ГЦК решетка. Последнее соответствует экспериментальны! данным для кристаллов инертных газов. С другой стороны, известно, что для потенциал Леннард-Джонса (5) при низких температурах стабильна гексагональная плотноупакованнг структура, что соответствует как данным метода молекулярной динамики, так и метода Монте Карло. Для однозначного определения типа решетки необходимо рассчитать число частиц в второй координационной сфере, которое уже различно для этих двух решеток.

Решение уравнений (1), (2) получено для температуры Т=0 К. Можно предложить экстраполяционную формулу, которая описывает кристалл при температуре плавления. Полагаем, что двухчастичными корреляциями как и в случае идеального кристалла ещ8 можно пренебречь, т.е. h 12 = 6(rI2 - г0 ). В то же время считаем, что одночастичная функция, гак в в жидкости, уже равна единице. Следовательно, суммирование по дискретным точкам в (6) можно заменить интегрированием, и тогда

с ,2 (г/2) + n Je „ (r,„ )5 (r2n - г0 )drn = 6(г„ - г„) (9)

Решая это уравнение получаем экстраполяционную формулу для прямой корреляционной функции кристалла на линии плавления:

/ ч , sink0r,2 С/гЫ=Ь (10)

k0rJ2

Отличие от ассимптотаки прямой корреляционной функции на линии кристаллизации жидкости, известной из литературы, заключается в том, что затухание происходит с частотой, соответствующей определенному волновому числу ко. Это число определяет границу существования решения, описывающего кристалл с соответствующим данному волновому

, 2/гч/з числу периодом решетки /0 =-.

В первом разделе третьей главы предложен метод оценки диаграммных рядов для прямой корреляционной функции высокотемпературного кристалла. Прямая корреляционная функция С|2 неявно содержит в себе вклад неприводимых диаграмм. Суммирование таких диаграмм практически неосуществимо при конечных температурах, так как необходимо учитывать коллективные эффекты, обусловленные молекулярным движением. В случае системы классических леннард-джонсовских частиц при Т—>0°К вид неприводимых диаграмм значительно упрощается, поскольку коллективными эффектами можно пренебречь, а парная корреляционная функция аппроксимируется 5 - функцией Дирака. Тем не менее, даже в этом случае вычисление всех неприводимых диаграмм остается чрезвычайно сложной задачей. Однако первая неприводимая диаграмма вычисляется сравнительно просто.

Заменяя парную корреляционную функцию hi2 на 5- функцию Дирака и интегрируя в сферической системе координат, получим

= {{d(3)d(4)S(r2 - г02 )б(г|3 - г02 )5(г324 - г2 )5(г2 - г2 )5(г24 - г2) =

= ííd(3)d(4)h 13^14^23^24^34 -

-2

4яг049(1-^-) (П)

Г12 v 0 Г12

где Э( 1 - ) - функция Хевисайда.

2т0

При конечных температурах коллективными эффектами пренебречь нельзя, поэтому развитый выше метод неприменим. Тем не менее, можно предложить алгоритм, который позоляет вычислить, по крайней мере, первую неприводимую диаграмму. Использование Фурье преобразования позволяет представить первую неприводимую диаграмму в виде бесконечного ряда

юфо2 =^1]к2акьк1(2/ + ;;^(к)]2, (12

4Г (2ъу о 1=о

где

9тг00 г2 I +2 _ 2

г 0 |г-1| 2Л

В предельном случае, когда Т->0 °К, мы полагаем Ь]2=5(г|2-го) и приходим к такому ж( результату, что и в (11).

Следующие два раздела главы посвящены формулировке критерия, ограничивающей класс простых аналитических выражений аппроксимирующих бридж-функцию, а также поиск; новых аппроксимаций.

При конструировании новых аппроксимаций бридж-функции необходимо учитывать, чт( в пределе малых плотностей (и, соответственно, со«1), все они должны привести I гиперцепной аппроксимации. Это соображение и берется за исходную точку. Существует цель» ряд выражений, которые при ш«1 сводятся к ГПЦ аппроксимации. Большая част! приближенных уравнений, полученных на основе этих выражений, решений не имеет Необходимо дополнительное условие, которое позволит более эффективно осуществлять отбо{ выражений, аппроксимирующих бридж-функцию. В работе предлагается осуществлять отбо( аппроксимирующих функций, исходя из условия минимума термического потенциала

®шт=-1. (13:

соответсвующего потери устойчивости решения пространственно-однородного уравненю Орнштейна-Цернике для модели потенциала твердых сфер в точке фазового перехода расплав-кристалл. Для системы твердых сфер на линии кристаллизации жидкости это подтверждаете» как данным численного эксперимента, так и результатом решения приближенного уравненш МаС, описывающего линию кристаллизации точнее других изветных уравнений.

«о •ог

----МаС

-(14)

'п/а

Рис.2. Решение уравнения Орнштейна-Цернике с замыканием (14) и решение приближенного уравнения МаС при той же плотности (п=0.4).

ПЩ-ПЙ

0 1 2 3 4 5

\2/о

МаС

0 1 2з4 5

г12/а

Рнс.З. Решение уравнения Орнштейна-Цернике с замыканием (а) ГПЦ-ПЙ при плотности п=1.1, (б) ПЙ при плотности п=1.4, (в)МаС при п=1.01.

В работе предложено два выражения, удовлетворяющих критерию отбора (13):

со4

у = со + — (14)

7 = соехр(со)»сй + со2+..., (15)

где использовано обозначение у=Ь-С (индексы, нумерующие частицы, для упрощения записи опущены).

Решение уравнения Орнштейна-Цернике с аппроксимацией (14) существует только в ограниченном интервале плотностей 0< п <0,4. На рисунке 2 приведено решение ви для плотности п=0,4. Видно, что оно существенно отличается от термодинамически согласованного решения приближенного уравнения МаС (последнее существует и при более высоких плотностях, вплоть до п»1).

Аппроксимация (15) физически более обоснована. Она является комбинацией двух известных замыканий: Перкус-Йевика и гиперципного, её можно назвать ГПЦ-ПЙ аппроксимацией. Решение уравнения Орнштейна-Цернике с замыканием ГПЦ-ПЙ существует на интервале плотностей 0<п<1.1. При п=1.1 решение становится отрицательным, т.е. теряет физический смысл.

В точке фазового перехода действительное решение точного (т.е. такого, в котором учтены все неприводимые диаграммы) пространственно-однородного уравнения Орнштейна-Цернике становится комплексным, или, как принято говорить, «исчезает». Для приближенных интегральных уравнений этого может не происходить - так, например, вблизи границы кристаллизации большинство приближенных интегральных уравнений имеют действительные решения в той области фазовой диаграммы, где их на самом деле быть не должно. Приближенные уравнения ПЙ и ГПЙ-ПЙ имеют решения при плотностях превышающих плотность кристаллизации п=1.01 флюида (под которым подразумевается как газ, так и жидкость) твердых сфер, однако, как видно из рисунка 3 эти решения являются отрицательными, т.е. не имеют физического смысла. Единственным уравнением, более менее точно описывающем линию кристаллизации, является уравнение МаС, его решение исчезает при п=1.01. Принято считать, что чем точнее аппроксимация описывает традиционные характеристики вещества (давление, сжимаемость и т.д.), тем больше вероятность того, что она достаточно верно воспроизведет кривые фазового равновесия.

В работе проведена оценка термодинамической согласованности приближенных уравнений (МаС, ПЙ, ГПЦ-ПЙ) по вириальному уравнению. На рисунке 4 приведены

результаты расчета фактора сжимаемости Z =- для системы твердых сфер. В качестве

п©

эталона для сравнения была выбрана экстраполяционная формула Карнахана-Старлинга, которая определяет 2> с ошибкой не более 0.3% по сравнению с данными численного эксперимента. Из рисунка видно, что предложенное замыкание ГПЦ-ПЙ является более точным, чем замыкание ПЙ.

При достаточно низких температурах на физические свойства макроскопических систем в существенной мере влияют квантовые эффекты, поэтому последний раздел третьей главы посвящен учету вклада квантовых эффектов в термодинамические функции на линии кристаллизации жидкости.

В работе рассматривалась область температур, при которых обменными эффектами можно пренебречь, так называемые, полуквантовые или невырожденные жидкости. Для учета квантовых эффектов в невырожденных жидкостях удобно использовать квазиклассическое приближение и разлогать термодинамические величины в ряд по степеням постоянной Планка с

Рис.4. Фактор сжимаемости Ъ, определенный для системы твердых сфер с помощью вириального уравнения.

точностью до членов порядка Ь2. Коллективные эффекты, обусловленные взаимодействием частиц, описываются двухчастичной функцией распределения. В результате можно вычислить квантовые поправки к термодинамическим величинам. В частности, для давления Р = Ры + 8Р на линии кристаллизации системы Леннард-Джонсовских частиц соответствующая квантовая поправка 5Р имеет вид

Тг2п V

5Р = ^1012 та 0 о

22 _ _5_ ,'2 ,6

(1г (16)

Зависимость этой поправки от плотности среды определяется не только множителем п2, но и двухчастичной функцией распределения вн. Вычисление в|2 проводилось для различных плотностей и типов замыкания уравнения Орнштейна-Цернике. Выбор параметров потенциала Леннард-Джонса соответствует потенциалу взаимодействия для молекул аргона. Значения, отражающие вклад квантовых эффектов в давление на линии кристаллизации аргона, приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Поправки на квантовые эффекты к фактору сжимаемости, вычисленные на линии кристаллизации аргона. Т*=0/е-приведенная температура (е и с - параметры потенциала Леннард-Джонса).

т* ИмаС SZмaC Пгпц-пй §2тц-пй Ппй 5гПй

100 2,596 0,664 2,60 1,168 2,7 -0,134

10 1,484 2,649 1,60 5,553 2,1 -2,291

5 1,25 3,968 1,50 14,322 1,9 -20,015

3 1,104 5,421 1,41 23,769 1,7 -196,508

2 0,998 6,909 1,34 34,334 1,6 -324,498

1 0,779 8,796 1,25 65,423 1,4 217323,5

Линия кристаллизации определялась по исчезновению решения уравнения Орнштейна-Цернике с соответствующим замыканием. Мы ограничились данными для аргона, поскольку качественно они ничем не отличаются от данных для Кг и Хе. Как видно из таблицы 1,

более значимое отличие, чем константа связи, в данные вносит тип аппроксимации. Оказывается, что уравнение Перкус-Йевика на линии кристаллизации совершенно непригодно, так как приводит к отрицательным значениям квантовых поправок к давлению. Последнее связано с необходимостью уточнения аппроксимации бридж-функционала в области низких температур и больших плотностей. Качественно правильные результаты на линии кристаллизации дают предложенная намиаппроксимация ГПЦ-ПЙ и аппроксимация МаС. С понижением температуры процентный вклад квантовых эффектов в термодинамические характеристики вещества увеличивается (таблица 2) . Из литературы известно, что при высоких температурах 50+100° К поправками на квантовые эффекты можно пренебречь, поскольку их вклад не превышает 5%. Однако, как следует из таблицы 2, при температурах ниже 50° К это уже не так и при определении термодинамических характеристик вещества пренебрегать квантовыми эффектами нельзя.

Таблица 2.

Квантовые поправки 6Z и 5Z% для фактора сжимаемости, полученные на линии кристаллизации аргона с помощью уравнения МаС. Т*=0/б-приведенная температура (е- параметр потенциала Леннард-Джонса)

т* 100 10 5 3 2 1

52маС 0,664 2,649 3,96В 5,421 6,909 8,796

бгМас(%) 3 16 26 37 55 62

Таким образом, в рамках локального подхода квантовые эффекты на линии кристаллизации жидкости могут быть учтены предложенным в работе методом.

В Заключении приводятся основные выводы и результаты работы.

1. Получено аналитическое решение обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике для идеального кристалла при Т=0 К. Из решения следует соотношение, связывающее потенциал межмолекулярного взаимодействия с параметрами кристаллической решетки.

2. На основе модели идеального кристалла предложен критерий физической обоснованности тех или иных приближений, используемых в физике жидкостей. Из множества аппроксимаций для прямой корреляционной функции Си физическую интерпретацию будет иметь та, которая адекватно описывает фазовый переход из жидкого в твердое агрегатное состояние для системы классических частиц при Т->0К.

3. Рассмотрен кристалл, находящийся при температуре плавления. В предположении, что двухчастичными корреляциями, как и в случае модели идеального кристалла, еще можно пренебречь, а одночастичная функция распределения, в тоже время, уже равна единице, получена экстраполяционная формула для прямой корреляционной функции.

4. Предложен алгоритм сведения простейшей диаграммы бридж-функционала к последовательному вычислению однократных интеграллов по координатам частиц от парных корреляционных функций. Получено значение этой диаграммы в предельном случае при Т—>0К.

5. Сформулирован критерий. позволяющий ограничить класс функций, аппроксимирующих значение суммы бесконечных неприводимых диаграмм, исходя из условия минимума термического потенциала (Шт|п=-1), что соответствует потере устойчивости однородного решения уравнения Орнштейна-Цернике для потенциала твердых сфер при плотностях кристаллизации, т.е. фазовому переходу расплав-кристалл.

6. Получена и проанализирована новая аппроксимация бридж-функции, замыкание ГПЦ-ПЙ, которая является комбинацией двух замыканий - гиперцепного и Перкус-Йевика - и удовлетворяет введенному в настоящей работе критерию отбора аппроксимаций. Установлено, что для системы твердых сфер новая аппроксимация является более точной, чем аппроксимация ПЙ.

7. Рассчитаны квантовые поправки к давлению на линии кристаллизации леннард-джонсовской жидкости.

Таким образом, приведенные в диссертационной работе результаты исследования показали, что в рамках локального подхода возможно создание единой теоретической модели, позволяющей описать все агрегатные состояния вещества: от идеального газа до идеального кристалла, включая определение параметров фазовых переходов газ-жидкость и жидкость кристалл.

3. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Аграфонов Ю. В., Балахчи А. Г. Идеальный кристалл как критерий оценки точности приближенных уравнений в физике конденсированного состояния вещества. // В сб. докладов., Санкт - Петербург: СПГУ, 1996г., т. 2. с

2. Аграфонов Ю. В., Балахчи А. Г. Роль модели идеального кристалла в физике жидкостей. // В сб. «Знание - в практику», Иркутск: ИТУ, 1997г.,вып. 2., ч. II, с.

3. Аграфонов Ю. В., Балахчи А. Г. Проблема приближенных интегральных уравнений в физике жидкостей. // В сб. Применение лазеров в науке и технике., Иркутск : ИФ ИЛФ СО РАН, 1997г., вып. 9, с.164.

4. Аграфонов 10. В., Ушаков Ф. Е„ Балахчи А. Г. Решение обобщенного уравнения Орнштейна - Цернике для идеального кристалла. // Известия вузов, 1998, .№6, с. 45-50.

5. Аграфонов Ю. В., Балахчи А. Г. Расчет квантовых поправок к давлению на кривых фазового равновесия аргона. //В сб. «Люминесценция и сопутствующие явления.» Иркутск: ИГУ, 1998г., с. 80.

6. Аграфонов Ю. В., Балахчи А. Г, Дорогобид Я.С., Малов А.Н. Влияние структуры примембранной воды на эффект лазерной биостимуляции. // В сб. «Люминесценция и сопутствующие явления.» Иркутск: ИГУ, 1998г., с. 74.

7. Аграфонов Ю. В., Балахчи А. Г., Бирюлина Т. В, Выговский Ю. Н., Дорогобид Я. С., Кручинин Л. Е., Малов А. Н., Ушаков Ф. Е., Черный В. В. Граничные структуры жидкости и голографические регистрирующие среды.//Компьютерная оптика, 1999, №13, с. 118-124.

8. Аграфонов Ю. В., Балахчи А. Г. Некоторые критерии оценки неприводимых диаграмм для прямой корреляционной функции жидкости и аморфных тел.// В сб. материалов Всеросийской научной конференции по математическому моделированию, Улану-Удэ, 1999, с. 19-23.

9. Аграфонов Ю.В., Балахчи А.Г., Бирюлина Т.В., Ушаков Ф.Е, Цыдыпов Ш.Б. Описание ближнего порядка метастабильных жидкостей с помощью радиальной функции распределения // В сб. материалов Всеросийской научной конференции по математическому моделированию, Улану-Удэ, 1999, с.79-85.

10. Аграфонов Ю.В., Балахчи А.Г., Бирюлина Т.В., Ушаков Ф.Е, Цыдыпов Ш.Б. Ближний порядок в метастабильных жидкостях и аморфных телах.// В сб. «Люминесценция и сопутствующие явления.» Иркутск: ИГУ, 1999г., с. 73-75.

11. Аграфонов Ю. В., Балахчи А. Г. Неприводимые диаграммы в теории жидкостей и аморфных тел.// В сб. «Люминесценция и сопутствующие явления.» Иркутск: ИГУ, 1999г., с. 75-77.

12. Аграфонов Ю. В., Балахчи А. Г., Выговский Ю. Н., Дорогобид Я. С., Малов А. Н., Тимина О.О., Рогатких Д А., Фещенко B.C., Черный В. В. Оптические и квантовомеханические процессы при лазерной биостимуляции.// В сб. «Люминесценция и сопутствующие явления.» Иркутск: ИГУ, 1999г., с. 77-79.

13. Agrafonov Yu.V., Balakhchi A.G. The model of the ideal crystal as a criterion for evaluating of the approximate equations of the liquids, 2000, http//xxx.lanl.gov/archive/cond-mat/0002291.

Отпечатано н Ипсштс

геохимии СО РА11 Тираж - 100 Закач ЗО

Введение диссертация по физике, на тему "Исследование структуры жидкостей и кристаллов методом функций распределения"

Актуальность темы.

Одной из фундаментальных проблем физики твердого тела является определение структурных и термодинамических свойств конденсированных систем по заданным характеристикам составляющих эти системы атомов или молекул, межатомных и межмолекулярных взаимодействий. Основой для теоретического исследования конденсированных систем и связанных с ними структурно-фазовых переходов служит классическая статистическая физика, ее аппарат и методы, развитые Дж. У. Гиббсом, Дж. Майером, Дж. Кирквудом, H.H. Боголюбовым, Г. Грином и др. Однако применение хорошо разработанных аналитических и полуаналитических методов классической статистической физики (таких, например, как вириальные разложения, цепочки интегро-дифференциальных уравнений для функций распределения и т.п.) к конденсированным системам обычно требуют введения в теорию дополнительных новых гипотез, подчас основанных на эвристических предположениях. Построенные таким способом теории фактически оказываются полуэмпирическими, и качество полученных с их помощью результатов обычно невозможно заранее предсказать для сколько-нибудь значительных интервалов изменения термодинамических параметров.

Принципиальное значение приобретает проблема описания фазовых переходов в физике твердого тела в случае исследования процессов кристаллизации. Классические теории зародышеобразования кристаллов были созданы Гиббсом, Фильмером и Косселем и они являются . чисто термодинамическими. Более детальный анализ первичного зародышеобразования привел к выводу о недостаточной точности теории этого процесса. Так, в частности, моделирование на ЭВМ показало, что принятая в классической теории форма критического зародыша далека от реально возможной. Поэтому актуальным представляется поиск ответа на вопросы о тонкой структуре зародышей и о механизме их начального возникновения. Еще больший комплекс подобных вопросов возникает при исследовании макромолекулярных и полимерных систем.

В настоящее время можно выделить три теоретических подхода в исследовании структуры вещества - это метод молекулярной динамики, метод Монте-Карло и метод функций распределения. Первые два из них возникли благодаря стремительному прогрессу вычислительной техники. Они основаны на непосредственном численном моделировании динамики системы частиц, подчиняющихся распределению Гиббса. При этом для получения репрезентативных средних необходима генерация миллионов различных конфигураций системы. Естественно, что ограниченность вычислительных ресурсов делает доступными для прямых имитационных методов молекулярной динамики лишь сравнительно небольшие системы, включающие не более нескольких тысяч частиц.

Значительно более эффективным, чем методы численного эксперимента, представляется метод функций распределения. Он основан на том, что структура вещества описывается /-частичными функциями распределения (71./ (г,,., г,), имеющими смысл плотности вероятности обнаружения группы /-частиц вблизи точек с координатами гх,., г 1. Уравнения для этих функций записываются в форме бесконечной цепочки Боголюбова Борна Грина Кирквуда Ивона (ББГКИ) и содержат в качестве параметров температуру, плотность и характеристики потенциала межмолекулярного взаимодействия. Непосредственное решение цепочки уравнений ББГКИ является чрезвычайно сложным. Это связано с так называемой «проблемой расцепления», возникающей в результате того, что функция распределения /-ого порядка входит не только в / -ое, но и в / +1-ое уравнение.

Поскольку две младшие функции - одно- и двухчастичная функции распределения являются наиболее важными (они позволяют определить структуру, а их средние - термодинамические параметры вещества), то целесообразно переопределить бесконечную цепочку ББГКИ таким образом, чтобы исключить из неё все старшие функции распределения. В работах школы Г.А. Мартынова было показано, что в результате такой процедуры бесконечная цепочка уравнений Боголюбова сводится к системе двух интегральных уравнений для одно- и двухчастичной функций распределения (полученная система уравнений называется фундаментальной системой уравнений или обобщенным уравнением Орнштейна-Цернике). Однако эти уравнения содержат бесконечные функциональные ряды от искомых функций распределения (бридж-функции, представляющие собой бесконечные суммы неприводимых диаграмм). Просуммировать аналитически или вычислить с необходимой точностью такие ряды не удается. Для решения конкретных задач приходится прибегать к дополнительным физическим соображениям и аппроксимировать бридж-функции некоторыми простыми аналитическими выражениями (замыканиями), что приводит к приближенным интегральным уравнениям. До сих подобный подход применялся преимущественно для описания пространственно-однородных, изотропных сред (газы, жидкости) и позволял более или менее удовлетворительно описывать всю фазовую диаграмму, вплоть до линии кристаллизации жидкости.

Выше плотности кристаллизации жидкости приближенные интегральные уравнения решений не имеют. Однако в последнее время получен ряд результатов, свидетельствующих о возможности использования обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике для исследования структурных и термодинамических свойств высокотемпературных кристаллов. Остается открытым вопрос об описании развитыми методами низкотемпературных кристаллов и кристаллов с анизотропным потенциалом межмолекулярного взаимодействия. С другой стороны, изложенный выше подход позволяет иначе взглянуть на стандартную формулировку физики твердого тела. Известно, что в физике твердого тела зачастую просто постулируются параметры кристаллической решетки, что эквивалентно заданию одночастичной функции распределения, а двухчастичной функцией распределения, как правило, пренебрегают. Можно сказать, что фактически в теории твердого тела тип симметрии кристалла всегда постулируется, а не рассчитывается. Без знания двухчастичной функции распределения невозможно корректно рассчитать термодинамические параметры вещества, определить кривые фазовых переходов (в том числе, и температуру плавления кристалла). С помощью обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике можно сформулировать теорию кристаллического состояния вещества в терминах одно- и двухчастичной функций распределения, что позволит, по-видимому, более адекватно описывать и коллективные явления в конденсированных средах.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы являлось применение теории функций распределения к описанию конденсированных систем, определение границ применимости и развитие методов решения уравнения Орнштейна-Цернике для кристаллической области параметров. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: 1. Получение решения обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике для модели идеального кристалла.

5. Расчет вклада квантовых эффектов в термодинамические функции на линии кристаллизации жидкости.

Методы исследований. Поставленные задачи решались методами, развитыми в физике жидкостей. Описание системы сильно взаимодействующих классических частиц осуществлялось с помощью обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике, для решения которого использовались различные приближения (замыкания). Для плотностей, соответствующих жидкому агрегатному состоянию, были получены нелинейные интегральные уравнения, которые решались численно. В частности, в работе использовался высокоэффективный спектральный метод Лабика-Малиевского. Оценка точности приближений осуществлялась методом сравнения полученных результатов с данными численного эксперимента, выполненного методами Монте-Карло и молекулярной динамики.

Научная новизна. В работе впервые показано, что в рамках единой теоретической модели, основанной на методе функций распределения, можно описать все агрегатные состояния вещества от идеального газа до идеального кристалла. Также впервые получены следующие результаты:

1. Получено решение обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике для модели идеального кристалла при Т—»0 К, связывающее потенциал межмолекулярного взаимодействия Леннард-Джонсовских частиц с параметрами кристаллической решетки.

2. На основе решения обобщенного уравнения Орнштейна-Цернике, полученного для модели идеального кристалла, сформулирован критерий оценки физической обоснованности приближенных уравнений: из множества приближений физическую интерпретацию будет иметь то, которое адекватно описывает предельный переход к идеальному кристаллу при Т=0 К.

3. Аналитически вычислена простейшая неприводимая диаграмма бесконечного диаграммного ряда при Т=0 К. Предложен алгоритм вычисления этой диаграммы для Т*0 К.

4. Сформулирован критерий отбора аппроксимаций бесконечного ряда мостиковых диаграмм простыми аналитическими выражениями. Предложено новое замыкание, удовлетворяющее этому критерию.

5. Рассчитаны квантовые поправки к давлению леннард-джонсовской жидкости на линии её кристаллизации. и

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы для дальнейшего развития формализма метода функций распределения и описания в его рамках разнообразных состояний вещества, в которых оно может находиться при различных значениях плотности и температуры. В частности, полученные результаты могут служить основой для более точного описания высокотемпературных кристаллов, развития методов теоретического исследования низкотемпературных кристаллов, для обобщения развитых методов на случай кристаллов с анизотропным потенциалом взаимодействия, построения теории анизотропных и пространственно неоднородных жидкостей и газов, для исследования свойств межфазных границ невырожденных жидкостей вблизи абсолютного нуля температуры.

Защищаемые положения.

2. Из множества аппроксимаций для прямой корреляционной функции Сп физическую интерпретацию будет иметь та, которая описывает фазовый переход из жидкого в твердое агрегатное состояние для системы классических частиц при Т-+0К.

3. Простейшая неприводимая диаграмма бридж-функционала, являющаяся многомерным интегралом, может быть представлена бесконечным рядом, каждый член которого сводится к вычислению однократных интегралов по координатам частиц от парных корреляционных функций. В предельном случае системы классических частиц при Т->0К, когда коллективными эффектами можно пренебречь, вклад этой диаграммы в бридж-функцию вычисляется аналитически.

4. Класс функций, аппроксимирующих бесконечные суммы мостиковых диаграмм должен быть ограничен условием минимума термического потенциала со (имеющего смысл энергии опосредованного взаимодействия группы частиц с полем и друг с другом), которое определяет фазовый переход расплав-кристалл в системе твердых сфер.

Связь с государственными программами и НИР. Работы по теме диссертации выполнялись в рамках темы «Применение методов физики жидкостей для исследований в области молекулярной электроники» (№ Гос. Регистрации 01940018246), программы фундаментальных исследований СО РАН «Развитие научных основ квантовой оптики и квантовой электроники, разработка новых направлений и их применение» (№ Гос. Регистрации 01940005836) и по планам НИР Иркутского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: XVII Congress and General Assembly of the Internetional Union of Crystallography (Seattle, Washington, USA - 1996 ); Международной конференции «Закономерности эволюции земной коры» (Санкт-Петербург, 1996 г.), IV и V Школах-семинарах «Люминесценция и сопутствующие явления» (г. Иркутск - 1998, 1999 г.), Второй Байкальской научной молодежной школе по фундаментальной физики (1999 г.), научных семинарах Московского государственного университета, Иркутского государственного университета, Иркутского государственного технического университета, Иркутского филиала Института Лазерной Физики СО РАН, Института Геохимии СОР АН.

Личный вклад автора. Решение всех задач, сформулированных в диссертации, получено автором лично, либо при его определяющем участии. Постановка задач выполнена совместно с научным руководителем и соавторами опубликованных работ. Принадлежность указанных научных результатов лично соискателю признана всеми соавторами и научным руководителем.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 13 работ в центральных отечественных и зарубежных изданиях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы (100 наименования), и изложена на 90 страницах, содержит 13 рисунков и 3 таблицы.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

Основные результаты главы опубликованы в статьях [92*-100*].

3.1. Алгоритм вычисления первой неприводимой диаграммы

Прямая корреляционная функция С12 неявно содержит в себе вклад неприводимых диаграмм. Суммирование таких диаграмм практически неосуществимо при конечных температурах, так как необходимо учитывать коллективные эффекты, обусловленные молекулярным движением. В случае системы классических леннард-джонсовских частиц при Т-»0 К вид неприводимых диаграмм значительно упрощается, поскольку коллективными эффектами можно пренебречь, а парная корреляционная функция аппроксимируется 8 - функцией Дирака. Тем не менее, даже в этом случае вычисление всех неприводимых диаграмм остается чрезвычайно сложной задачей. Однако первая неприводимая диаграмма ряда (1.4.19).

1СС^>2 =112 = ЯЬ13Ь14Ь2зЬ24Ьз4с1(3)<1(4) (3.1.1) вычисляется сравнительно просто.

Заменим в (3.1.1) все парные корреляционные функции Ь соответствующими 8 - функциями Дирака

112= ||5(г123 -г02)8(г2 -г2)8(Г24 -Г02)8(Г2 -Г2)8(Г224 - г2 ДО)с1(4). (3.1.2)

Выполним в (3.1.2) интегрирование по координатам третьей частицы, что даст 1-124 = /¿(3)Ь13Ь2зЬз4 = /а(3)5(г132 -Г02)5(г232 -г02)8(г342 -г02) =

00 71 2 71 ¡гп&13 в13ае13 |скр138(г132 -г02)8(г232 -г02)8(г342 -г02) =

0 0 о

2п % 1аФ13 /зте^ае^бй - 2г12го со8013)8(г14 - 2г14г0 собу) о о

3.1.3) £Ь -^2)2|(1ф1з8(г124 - 2Г14Г0 (^ С08 0

2г, о о

2гл

14 1

Г Л2 Г12

Ч2г0У

8Ш014 созф13), где Г342=Т142-ЬГ132-2Г14Г13С08 у, С08 у —С08 0]3 С08 0)4 + 8Ш б^БШ 0И СОБ ф, ф = фи - ф]4,

013 ©14 Ф13, Ф14— соответствующие углы в биполярной системе координат (рис.3.1). офо;

47*0*3(1

2г п Яь13ь14ь2зь24ь34а(з)<1(4) =

Г12 л/ЗГо г12

3.1.5)

При конечных температурах коллективными эффектами пренебречь нельзя, поэтому развитый выше метод неприменим. Тем не менее, можно предложить алгоритм, который позволяет вычислить, по крайней мере, первую неприводимую диаграмму.

Использование Фурье преобразования парной корреляционной функции,

Ъ]2 =

2пУ

471

2пУ о 3 кг,

3.1.6)

12 позволяет представить неприводимую диаграмму (3.1.1) в виде бесконечного ряда

А®1 4и 00

Т>2= : з ь 14 ь 23 ь 24 ь 34 |к2ькакЯс!(3)а(4)111з1114 лГ (2я) О

Ьо, Ь эш кг, л — со

23-24 = Iк2ЪкёкЯё(3)с1(4)11,зЬ141123Ь24Р,(С08 у) = кгз4 (2%У О

4тг г, 2

2л) о к ^ Ь к<1к Я<1(3)<1С4)Ь 1 зЬ14 Ь 23 Ь 24 1(2^ + 1) РДсо8б13)РДсо8е14) 0

471

I,(кг13)1 Дкг14) =-- {к^ёк X(2£ +1)\<1(3)11 13^23^ (^13) (С08 ®13)

271 у о 0

471 00

2тс)Л о

4)11141124Р/(со8 014)1/(кг14) = -^- |к2ёк11кЕ(2/ + #й(к);, (3.1.7)

1=0 где

00 71 к)=|а(3)Ь13Ь23Т/(Ц3)Р/(со8е13) = 27с|4аг131Дкг1з)|8те13ёе13112зР/(со801з) о о г+1 г2+12-х2

271 00 271 00 ^ЛМШ^) /тахЬ^Р;(С08в13) = — /IЛЬ12(г) (к1) 1теМ112Р¡С 'I , " )• г-и

2П со12 ехр(со12) = п|[Ь13 -со13 ехр(ю13)]Ь2зс1(3), (3.2.6) которые являются существенно нелинейными интегральными уравнениями типа свертки. Для их решения необходимо применять современные численные методы. К таким методам, относится используемый в работе высокоэффективный спектральный метод Лабика-Малиевского [17], основанный на комбинации прямого и обратного Фурье преобразования. МаС

3.2.5)

1.2

1.0

0.6

0.2

0.0

-0.2 О 2 3 5

Г12/0

Рис.3.2. Решение Оц (г^) приближенного уравнения (3.2.5)

N з для приведенной плотности п==~ а =0-4 и решение приближенного уравнения

МаС при той же плотности.

Уравнения (3.2.3)-(3.2.6) решались для случая потенциала твердых сфер

Ф(г) =

00, г < ст О, г > сг

3.2.7)

Оказалось, что уравнения (3.2.3), (3.2.4) не имеют решений.

Решение уравнения (3.2.5) существует только в ограниченном интервале плотностей 0< п <0,4. На рисунке 3.2. приведено решение для плотности п=0,4. Видно, что оно существенно отличается от термодинамически согласованного решения приближенного уравнения МаС (последнее существует и при более высоких плотностях, вплоть до п«1).

Уравнение (3.2.6) дает вполне приемлемые решения в диапазоне плотностей 0<п<1.1. Ниже аппроксимация (3.2.2.-г) будет рассмотрена подробнее.

Таким образом, необходим дополнительный критерий, который позволит более эффективно осуществлять отбор выражений, аппроксимирующих бридж-функцию. Осуществлять отбор аппроксимирующих функций, можно исходя из условия минимума термического потенциала тт 1'

3.2.8) соответствующего потери устойчивости решения пространственно-однородного уравнения Орнштейна-Цернике для модели потенциала твердых сфер в точке фазового перехода расплав-кристалл. Для системы твердых сфер на линии кристаллизации жидкости это подтверждается как данным численного эксперимента [19], так и результатом решения приближенного уравнения МаС [67], описывающего линию кристаллизации точнее других известных уравнений.

Функции (3.2.2-а,б) не удовлетворяют установленному только что критерию, так как для них точка оз=-1 является особой точкой, а не точкой минимума. Вследствие этого, уравнения (3.2.3), (3.2.4) решений не имеют. Функции (3.2.2-в,г) удовлетворяют критерию (3.2.7). Уравнение (3.2.5) имеет в ограниченном интервале плотностей решения, которые не согласуются с решениями хорошо известных уравнений и данными численного эксперимента. Скорее всего, это свидетельствует о том, что аппроксимация (3.2.2-в) не адекватно учитывает вклад неприводимых диаграмм. Функция (3.2.2-г) может быть использована в качестве замыкания. Рассмотрим это замыкание подробнее.

3.3 Комбинированное ГПЦ-ПЙ замыкание

Новое замыкание у = (оеа>, (3.3.1) сконструировано на основе анализа уже известных аппроксимаций и полученных с их помощью результатов. Оно представляет собой комбинацию двух замыканий, гиперцепного (ГПЦ) и Перкус-Иевика (ПИ), его можно назвать замыканием ГПЦ-ПИ. Функция (3.3.1) имеет минимум при со = -1, т.е. удовлетворяет установленному в предыдущем параграфе критерию.

Для того чтобы получить решение уравнения Орнштейна-Цернике с новым замыканием для потенциала твердых сфер (3.2.7), мы используем алгоритм Лабика-Малиевского [17]. Особенностью алгоритма является то, что требуется в явном виде выразить ю через у. В нашем случае, это приводит к трансцендентному уравнению, которое аналитически не решается. Можно поступить следующим образом, решить трансцендентное уравнение численно, затем интерполировать полученные значения со сплайнами различных функций со(у). Наилучшую сплайн-интерполяцию использовать затем в алгоритме Лабика-Малиевского.

В результате сплайн-интерполяции было получено две функции, наилучшим образом (согласно коэффициенту корреляции к) аппроксимирующие зависимость со(у):

Функция (3.3.2) по виду совпадает с аппроксимацией ПИ, к тому же соответствующий ей коэффициент корреляции ниже, чем коэффициент корреляции функции (3.3.3), поэтому мы ее рассматривать не стали, а при решении уравнения Орнштейна-Цернике в алгоритме Лабика-Малиевского использовали выражение (3.3.3). Решения О^Отг) ГПЦ-ПИ уравнения (3.2.6), соответствующие плотностям п-0.7, п=0.9, п=1, приведены на рис.3.3 (а-в). Как видно из рисунка качественно эти решения совпадают с решением уравнения МаС.

Чем точнее аппроксимация, тем точнее она описывает традиционные характеристики вещества: давление, сжимаемость и т.д. Таблица 1 содержит ш(у)=-0.002+0.7 1п{у+1), к=0.999047

3.3.2)

3.3.3)

Рис.3.3 (а) . Решение 0)2 (г!2) приближенного уравнения ГПЦ-ПЙ

N з и МаС для приведенной плотности п=— <х=0.7. V

Рис.3.3 (б) . Решение (г12) приближенного уравнения ГПЦ-ПЙ и МаС для приведенной плотности п=-С53=0.9. V

Рис.3.3 (в) . Решение (г12) приближенного уравнения ГЩ-ПЙ и

N ч приведенной плотности п=— сг=1. V результаты расчетов для системы твердых сфер в ГПЦ-ПЙ приближении, а также в приближениях МаС и ПЙ. В ней указаны значения фактора сжимаемости Р

2 = —, определенные с помощью вириального уравнения (1.1.7). В качестве п© эталона сравнения была выбрана экстраполяционная формула Карнахана-Старлинга [24], которая определяет Ъ с ошибкой не более 0.3% по сравнению с данными численного эксперимента. Рисунок 3.4 иллюстрирует данные таблицы.

Заключение

2. На основе модели идеального кристалла предложен критерий физической обоснованности тех или иных приближений, используемых в физике жидкостей. Из множества аппроксимаций для прямой корреляционной функции С\2 физическую интерпретацию будет иметь та, которая адекватно описывает фазовый переход из жидкого в твердое агрегатное состояние для системы классических частиц при Т—>0К.

4. Предложен алгоритм сведения простейшей диаграммы бридж-функционала к последовательному вычислению однократных интегралов по координатам частиц от парных корреляционных функций. Получено значение этой диаграммы в предельном случае при Т—>0К.

5. Сформулирован критерий, позволяющий ограничить класс функций, аппроксимирующих значение суммы бесконечных неприводимых диаграмм, исходя из условия минимума термического потенциала (сот;п=-1), что соответствует потере устойчивости однородного решения уравнения Орнштейна-Цернике для потенциала твердых сфер при плотностях кристаллизации, т.е. фазовому переходу расплав-кристалл.

6. Получена и проанализирована новая аппроксимация бридж-функции, замыкание ГПЦ-ПЙ, которая является комбинацией двух замыканий -гиперцепного и Перкус-Иевика - и удовлетворяет введенному в настоящей работе критерию отбора аппроксимаций. Установлено, что для системы твердых сфер новая аппроксимация является более точной, чем аппроксимация ПЙ.

7. Рассчитаны квантовые поправки к давлению на линии кристаллизации леннард-джонсовской жидкости.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Балахчи, Анна Георгиевна, Иркутск

1. Гиббс Дж. //Основные принципы статистической механики. Гостехиздат. М.-Л. 1946

2. Martynov G.A./ Classical Statistical Mechanics. Dordrecht: Kluwer Academ. Publ.,1977

3. Green H.S.// The molecular theory of fluid mixtures. Amsterdam: North-Holland, 1952.

4. Martynov G.A. Fundamental theory of liquids; Method of distribution functions. Bristol-N.Y.: Adam Hilger, 1992.

5. Балеску P. Равновесная и неравновесная статистическая механика. М.: Мир,1978.

6. Крокстон К. Физика конденсированного состояния. М.: Мир, 1978.

7. Боголюбов Н.Н.// Избранные труды по статистической физике. М.: МГУ,1979.

8. Born М., Green H.S.// A general kinetic theory of liquids. Cambridge: Univ.press, 1949. P.98

9. Yvon J.// La theorie statistique des fluideset Г equation d'etat. Act.scient. et ind. N 203,Herman, Paris, 1935.

10. Kirkwood J.G.// Statistical mechanics of fluid mixtures. Joyrn.Chem.Phys.1935.v.3. №5. P. 300-313

11. Allen M.P., Tildesley D.J.// Computer Simulation of Liquids. Oxford: Oxford University, 1987.

12. Гулд X., Тобочник Я// Компьютерное моделирование в физике. М: Мир, 1990.

13. Полухин В.А., Ухов В.Ф., Дзгутов М.М.// Компьютерное моделирование динамики и структуры жидких металлов. М.: Наука, 1981.

14. Под ред. Биндеоа К.// Монте-Карло в статистической термодинамике. М.: Мир, 1982.

15. Хеерман JI.B.// Методы компьютерного эксперимента в физике. М.: Наука, 1990.

16. Под ред. Дж. Темперли, Дж. Роулинса, Дж. Рамбрука// Физика простых жидеостей. Статистическая теория. М.: Мир, 1971

17. Labik S., Malijevsky A., Vonka P.// High-speed method of deciding the Ornstein-Zernike equation. Mol. Phys. 1985. V.56. P. 709.

18. Labik S., Malijevsky A.// Account of multipartial interactions and quantum effects. Mol. Phys. 1987. V.60. P. 663.

19. Levesque D., Patey G.N., Weiss J.J.// A Monte-Carlo study of hard spheres. Mol. Phys. V.34. N4., 1977, P. 1091-1099.

20. Alder B.J., Wainwright TV/Phase transition for a hard sphere system. J. Chem. Phys. 1957. P. 1208-1209.

21. Henderson D., Quintana J., Sokolowski S.// A comparison of integral equations and density functional theory versus Monte Carlo for hard dumbbells near a hard wall J.Chem.Phys. 1995. V.83 №510. P.3033

22. Мартынов Г.А. // Преобразование цепочки уравнений Боголюбова к точной замкнутой системе уравнений для унарной и бинарной функций распределения. Короткодействующий потенциал.ТМФ. 1975. Т.22. № 1. С. 85-95.

23. Мартынов Г.А. // Преобразование цепочки уравнений Боголюбова к точной замкнутой системе уравнений для унарной и бинарной функций распределения. Кулоновский потенциал.ТМФ. 1975. Т.22. № 2. С. 260-268.

24. Аграфонов Ю.В.// Физика конденсированного состояния вещества. Метод частичных функций распределения. Иркутск, 1994.

25. Morita J., Hiroike К. //A new approach to the theory of classical fluids. 1. Progr.Theor.Phys.1960. V.23. P. 1003-1027.

26. Hiroike K. // Progr.Theor.Phys. 1960. V.24. P.317.

27. Morita J., Hiroike K. // A new approach to the theory of classical fluids.2. Progr.Theor.Phys. 1961. V.25. P.537-578.

28. Аринштейн Э.А., Абросимов В .Г.// Приближенные уравнения для радиальной функции распределения. 1. Ж. структ. химии. 1968. Т.9. С. 1064.

29. Аринштейн Э.А., Абросимов В .Г.// Приближенные уравнения длярадиальной функции распределения. 2. Ж. структ. химии. 1969. Т. 10. С. 320.

30. Аринштейн Э.А., Гитман Д.М.//Система интегральныхуравнений для частичных функций распределения. Изв. ВУЗов. Физика. 1967. Т.9. С. 110113.

31. Аринштейн Э.А// Устойчивость жидкости и кристалла и критерий кристаллизации. В кн. Проблемы статистической физики. Тюмень, 1976 С.101-109.

32. Коваленко Н.П., Фишер И.З. Метод интегральных уравнений в статистической теории жидкостей. УФН, 1972, Т. 108. №2 С.209-239.

33. Мартынов Г.А. // Проблема фазовых переходов в статистической механике. УФН. 1999. Т. 169. № 6. С. 595-623

34. Martynov G.A.// Nonequilibrium statisticalmechanics, transport equations and the second law of thermodinamics. Uspekhi Fizcheskikh Nauk. 1996.V.39. P.1045.

35. Percus J., Jevick G.//Analysis of classical mechanics by means of collective coordinates. Phys.Rev.1958. У.110. P.l.

36. Thiele E.//Equation state for hard spheres. Chem.Phys. 1963.V.39.P.474-479.

37. Levesque D. // Etude des equations de Percus ed Yevick. Physica. 1966, V.32. P.1985-2006.

38. Percus J.// Approximation method in classical statistical mechanics.

39. Phys.Rev.Lett.1962, V.8. Р.462-463.

40. Barker J.A.,Henderson D. // What is «Liquid». Understanding the states of matter. Rev.Mod.Phys.,1976.V48.№4.P. 587-671.

41. Van Leuven J.M.J., Groenveld J., De-Boer J.// New method for the calculation of pair correlation function. Physyca 1959. V.25. P.792-808.

42. Meeron E.// Math.Phys. 1960. V. 1. P. 192.

43. Rushbrooke G.S.// On the hyper-chain approximation in the theory of classical fluids. Physica. 1960.V.26. P.259-267.

44. Verlet L., Levesque D.// On the thoory of classical fluids. Physica, 1962, vol.28 P.1124-1136.

45. Martynov G.A.// Exact equation and theory of liquids. Analysis transformation and method of solving exact equations. Mol. Phys. 1981. V.42. P.329.

46. Martynov G.A., Sarkisov G. N.// Thermodynamic coordinated equation of theory of liquids. Mol. Phys. 1983. V.49. P.1495.

47. Мартынов Г.А., Саркисов Г.Н.// Термодинамически согласованное уравнение теории жидкостей. ДАН. 1981. Т.260. №6. С. 1348-1351

48. Henderson D., Sokolowski S. // The bridge function of a Lennard-Jones fluid calculated from a second-order Percus-Yevick equation. J.Chem.Phys. 1996. V.104. P.2971.

49. Rogers F.J., Young D.A.//Phys.Rev. 1984. V.30. P.999.

50. Ghonasgi A., Chapman W.G.//A new equation of state for hard chain molecules.

51. J. Chem. Phys. 1994. V.50. P.409.

52. Luis Perez L., Stefan Sokolowski S., Pizio O. // Capillary condensation of Lennard-Jones fluid in a slit-like pore filled with quenched disordered matrix J.Chem.Phys. 1998. V.72. P.4208.

53. Duh D.-M., Haymet A.D.J., Perera D.N. // Structure and properties of the CF1 central force model of water. Integral equation theory J.Chem.Phys. 1997. V.90. P.1188

54. Duh D.-M., Haymet A.D.J. Booth M.J.// Water near a planar interface. Atom-based integral equation theory J.Chem.Phys. 1997. V.97. P.7716.

55. Duh D.-M., Haymet A.D.J.// Integral equation theory for uncharged liquids. The Lennard-Jones fluid and the bridge function. J.Chem.Phys. 1995. V.103. P.2625.

56. Henderson D., Sokolowski S. // Density profiles of a model of associating hard spheres in contact with a crystalline surface: An integral equation approach J.Chem.Phys. 1995. V.103. P.7541.

57. Llano-Restrepo M., Chapman W.G.// Monte Carlo simulation of the structural properties of concentrated aqueous alkali halide solutions at 250C using a simple civilized model. J.Chem.Phys. 1994. V.100. P.5139.

58. Duh D.-M., Henderson D.// Integral equation theory for Lennard-Jones fluids. The bridge function and applications to pure fluids and mixtures. J.Chem.Phys. 1996. V.104. P.6742.

59. Verlet L.//Mol.Phys. 1980. V.41. P.183.

60. Ballone P., Pastore G., Galli G., Gazzillo D.// Mol.Phys. 1986. V.59. P.275.

61. Lee L.L.// J.Chem.Phys. 1992. V.97. P.8606.

62. Barker J.A., Henderson D.//Rev. Mod. Phys. 1976. Y.48. P.587

63. Zerah J.,Hansen J.P.// Self-consistent integral equations for fluid pair distribution functions: Another attent. J.Chem.Phys. 1986. V.84. P.2336.

64. Vompe A.G., Martynov G.A.// Differntial condition of thermodynamic consistency as closure for the Ornstein-Zernike equation. Phys.Rev. 1993.V. E-47. №2. P. 1012-1017.

65. Vompe A.G., Martynov G.A.// The bridge function expansion and the self-consistency problem of the Ornstein-Zernike equation solution J.Chem.Phys. 1994. V.100.№5. P.5249-5258.

66. Вомпе А.Г., Мартынов Г. А., Саркисов Г.Н.// Уравнение Орнштейна-Цернике и структурный критерий существования однородных фаз. ЖФХ. 1994.Т 68, №2. С. 197-201.

67. Вомпе А.Г., Мартынов Г. А.//Проблема термодинамической согласованности решение уравнения Орнштейна-Цернике. ЖФХ. 1994.Т 68, №3. С. 433-443.

68. Вомпе А.Г., Мартынов Г. А., Саркисов Г.Н.//06 одной аппроксимации бридж-функционалов в теории жидки. Доклады РАН 1998. Т. 358. С. 329.

69. Саркисов Г.Н. //Приближенные уравнения теории жидкостей в статистической термодинамике классических систем. УФН. 1999. Т. 169. №6. С. 625-641.

70. Root L.J., Stillenger F.H., Wshington G.E.// Analysis of closing the drawing near in classical equilibrium multipartial system theory J.Chem. Phys. 1988. V.88. P.7791.

71. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. 4.1. М.: Наука, 1976.

72. Байдаков В. Г. Межфазная граница простых классических и квантовых жидкостей. Екатеринбург: УЙФ Наука, 1994.

73. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. Л.: Наука, 1975.

74. Андреев А. Ф.// Письма в ЖЭТФ. 1978. Т.28, №9. С. 603-606.

75. Андреев А. Ф.// УФН. 1979. Т.127, №3. С. 724-726.

76. Андреев А. Ф., Косевич Ю. А. // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т.77, №6. С.2518-2523.

77. Жен П. Ж. де.//УФН. 1987. Т.151, №4. С. 619-681.

78. Жен П. Ж. де. Сверхпроводимость металлов и сплавов. М.: Мир, 1968.

79. Пашков В. В., Маринин В. С.// Обзоры по теплофизическим свойствам веществ. ТФЦ. М.: ИВТАН, 1979, №2 (16)

80. Hansen J. Р., Wies J. J. // Phys. Rev. 1969 V. 188, №1. P. 314-318.

81. Hill R. N. //J. Math. Phys. 1968. V.9, № 10. P. 1534-1547.

82. Давыдов A.C. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976.

83. Базаров И. П., Николаев П. Н. Корреляционная теория кристалла. М.: МГУ, 1981.

84. Аграфонов Ю.В., Мартынов Г.А.//Фазовый переход жидкость-кристалл. ТМФ.1992. Т. 90. №1. С. 113.

85. Аграфонов Ю. В., Ушаков Ф.Е. // Расчет структурных параметров высокотемпературных кристаллов с помощью функций распределения. В сб. Знание в практику. Материалы научно - технической конференции. Выпуск 2. Часть II.Иркутск. 1997г