Исследование термоупругих и электромеханических свойств волнового твердотельного гироскопа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

Для служебного пользования На правах рукописи экз. .11..

Киреенков Алексей Альбертович

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕРМОУПРУГИХ И ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА

01.02.01 — теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фиоико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научный руководитель — член-корреспондент РАН, профессор В.Ф.Журавлев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Г.Мартьшенко, кандидат технических наук В.В.Фнлатов

Ведущая организация — АО Московский институт электромеханики и автоматики

Защита диссертации состоится Н $_ 199Уг. па

заседании специализированного совета Д 002.87.01 при ИПМ РАН по адресу: 117526 Москва, пр-т Вернадского 101, ИПМ РАН, ауд.235 в:

С диссертацией можно ознакомиться^ библиотеке ИПМ РАН Автореферат разослан__/99Ч_

Учений секретарь специализированного совета ^_ .

Д 002.87.01 при ИПМ РАН к.ф.-м.п. тЬМаШ"- —Ук .И .Меняйлов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы. В настоящее время создана и успешно применяется на практике идеальная математическая модель функционирования основного чувствительного элемента ВТГ — полусферического резонатора. Кроме того известно, что прибор изготавливается на пределе технологических возможностей и точности электроники. Поэтому, улучшение точности возможно только за счет усовершенствования математической модели путем учета ранее не принимавшихся в рассмотрение физических факторов.

ВТГ подвергается воздействию различных полей температуры, которые можно разделить на внешние и внутренние. Внешние вызываются различными тепловыми потоками в месте нахождения прибора и могут приводить к изменению физико-механических характеристик резонатора. Кроме того, постоянные деформации резонатора могут вызвать его саморазогрев, приводящий к появле-шпо внутреннего температурного поля. Следовательно, внутреннее температурное поле может являться принципиальным источником ошибок прибора из-за физической природы свойств, присущих резонатору. Поэтому актуальнам является подробное теоретическое исследование термоупругих свойств материала резонатора.

Так как ВТГ является мехатронной системой, то также возникает необходимость исследования влияния на динамику резонатора отклопепий от поминальных значений параметров электрической схемы прибора. Эти отклонения могут быть вызваны как технологическими причинами, так и внешним температурным полем. Кроме того, саморазогрев электроники может приводить к изменению ее характеристик и являтся дополнительным источником тепла.

Цель работы состоит в исследовании влияния на точность ВТГ термоупругих свойств материала резонатора, а также отклонений от номинальных значений параметров электрической схемы прибора. Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи: 1. Построить математическую модель прибора, учитывающую

термоупругие свойства материала резонатора и исследовать

влияние температурных напряжений на эволюцию основной (2-ой) формы изгибных колебаний резонатора.

2. Исследовать влияние на точность прибора отклонений от номинальных значений сопротивлений источников питания в системе управления и в системе съема информации.

3. Вывести уравнения движения основной формы колебаний с учетом взаимодействия электродов, предназначенных для съема информации и управления колебаниями резонатора и исследовать влияние этого взаимодействия на ее динамику.

Научная новизна:

1. Впервые подробно исследовано влияние на динамические характеристики ВТГ термоупругих свойств материала резонатора. В результате этих исследований разработана механико-математическая модель Волнового Твердотельного Гироскопа, учитывающая термоупругие свойства материала резонатора, получены замкнутые системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающие саморазогрев резонатора, а также изучены эволюции основной формы колебаний с учетом температурных напряжений.

2. При рассмотрении ВТГ как единой электромеханической системы выведены общие уравнения движения, соответствующие модели кольцевого резонатора в виде сплошной среды и имеющие привязку к конкретному прибору.

3. Получено явное аналитическое выражение влияния несовпадения сопротивлений источников питания в цепях электродов съема информации и электродов управления.

4. Впервые проведено исследование влияния на динамику ВТГ особенностей конфигурации расположения электродов.

Практическое значение.

1. Показано, что термоупругими свойствами материала резонатора можно пренебрегать в отсутствии внешних источников тепла. Однако, в случае наличия внешнего температурного поля, из-за термоупругих свойств материала могут возникать нежелательные эффекты, требующие дополнительного учета при разработке системы управления прибором.

2. Установлено, что отклонения сопротивлений источников от заданных значений приводит к "уходам", недопустимым для

данного класса приборов. Причем данное явление имеет место и в системе электродов управления, и в системе электродов съема информации. К "уходу" может также приводить несовпадение геометрических характеристик конденсаторов, образованных управляющими электродами и резонатором.

3. Показано, что взаимодействие между собой электродов как системы управления, так и системы съема информации приводит к эволгоциям основной формы колебаний, требующим учета при разработке прибора.

Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается корректностью математических постановок задач и строгостью использованных методов исследования.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку:

— па 435-ом заседании семинара при Научном Совете РАН по механике систем и Научпом Совете РАН по проблемам управления движепием и навигация под руководством академика А.Ю.Иш-линского, академика Д.М.Климова

— на семинаре кафедры теоретической механики Московского энергетического института

Основные результаты диссертации изложены в работах:

[1] В.Ф.Журавлев, Ю.К.Жбанов, А.А.Киреенков, В.В.Филатов. Исследование возможности создания прецизионного волнового твердотельного гироскопа (ВТГ) и малогабаритного гирокомпаса на его основе. Отчет по НИР "Ребро АН", глава 2, рукопись, ИПМ РАН, Москва,1993.83с.

[2] А.А.Киреенков. Влияние термоупругого поведения материала на динамику ВТГ.// Изв. РАН. МТТ. 1995. В печати.

Структура И объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 41 наименования. Общий объем диссертации 101 страница формата А4.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Введение.

В данной диссертационной работе исследуются термоупругие и электромеханические свойства Волнового Твердотельного Гироскопа (ВТГ). Аналогичный объект в американской литературе получил название Hemispherical Resonator Gyro (HRG). Отличительной чертой ВТГ является то, что он не содержит движущихся частей, роль которых выполняют стоячие упругие волны в тонкой полусферической оболочке. Еще одно качественное отличие данного прибора состоит в том, что он является не чисто механической, а единой электромеханической системой. В последние десятилетия системы такого вида получили название мехатропов. В мехатроне механические и электрические колебания являются взаимосвязанными.

Основной составной частью ВТГ является полусферический резонатор, представляющий из себя тонкую упругую полусферическую оболочку с ножкой, закрепленной на неподвижном основании. Резонатор изготавливается из плавленного кварца, имеет диаметр 58.ujt и толщину стенки Источником инерциальной ин-

формации служат стоячие волны упругих изгибных колебаний с собственной частотой 2500Гц. Для съема информации и управления колебаниями используются дискретно расположенные вокруг резонатора электроды: восемь и шестнадцать, соответственно. Зазор между электродами и резонатором устанавливается одинаковым и равным 0.15.UJU. Прибор характеризуется постояной времени 1800сбк, соответствующей затуханию амплитуды колебаний в е раз.

Хотя резонатор имеет форму полусферы, хорошей математической моделью, используемой при расчете реального прибора, является тонкое упругое кольцо, совершающее изгибные колебания в своей плоскости, которое можно считать нерастяжимым.

Термоупругие свойства ВТГ.

В качестве модели Волнового Твердотельного Гироскопа рассматривается тонкое, упругое, изотермически нерастяжимое кольцо, осевая липия которого в недеформированном состоянии представляет собой окружность. Под изотермической нерастяжимостью понимается способность кольца изменять длину осевой линии только из-за воздействия поля температуры. Предполагается, что кольцо совершает изгибные колебания в своей плоскости и вращается с угловой скоростью И = перпендикулярной плоскости кольца, которая считается медленной функцией времени.

Упругие свойства материала кольца описываются моделью твердого тела Кельвина-Фойхта, обобщенного на случай термоупругих напряжений

гт = Е(е - аТ) + (ё (1)

где: <т — напряжения, возникающие в кольце, с — окружим деформация, Е — модуль Юнга, а — коэффициент линейного расширения, а ( — коэффициент демфирования.

При рассмотрении тепловых свойств кольца будем предполагать, что на всей поверхности кольца происходит теплообмен путем лучеиспускания по закону Стефана-Больцмана. Так как кольцо считается тонким, то будем считать температуру кольца постоянной в каждом, произвольно выбранном, поперечном сечении, т.е. температура является функцией только времени Ь и окружного угла (р.

Обозначим через V) = ги({,<р) и V = v(t,^p) перемещения, соответственно, в направлении внутренней нормали и касательной. Тогда волокно, отстоящее на расстоянии I от осевой линии, испытывает относительное удлинение

(2)

Подставляя (2) в (1) получаем напряжения, возникающие в тонком растяжимом кольце, с учетом температурных напряжений.

Энергия деформации единицы обьема тела, с учетом температурных напряжений имеет вид

К = ^- + «Т<тупр (3)

где 0уПр — упругая часть напряжений, возникающих в резонаторе.

Для получения энергии деформации всего поперечного сечения необхсщимо произвести интегрирование равенства (3) но его площади. При этом необходимо учитывать, что при изменении температуры все размеры тела испытывают линейное расширение Л = Л(1 + а Г); Ь = Ь(1 + а Т); Я = Д(1 + аТ).

При вычислении кинетической энергии необходимо учитывать, что плотность материала имеет следующую зависимость от температуры р = х+з^у • С учетом этого предположения, линеаризованное выражение для плотности лагранжиана с учетом температурных напряжений, после нормировки множителем ро^Я, имеет вид

Ь = ^((¿-Йго + ПД^ + Сад + Пи)2)-

(4)

- ^ае2(«/" + и')3(1 +5аТ) - - «;)а(1 + За Г)

в котором введено обозначение аеа = <52 -- где 5 и

I — изотермические выражения для площади и момента инерции поперечного сечения кольца.

Теперь, для того чтобы приступить непосредственно к выводу уравнений движения, осталось привести выражение для плотности диссипативной функции Релея, имеющее, после нормировки множителем ро^Я, вид

В = ^ - г*)2 + + ¿')2 (5)

в котором использовано обозначение ¿1 = £о = ■

У изотермически нерастяжимого кольца изменение длины осевой линии происходит только за счет изменения температуры. Это предположение приводит к видоизмененному условию нерастяжимости в следующей локальной форме

V* — V) — айТ^.ур) (6)

которое дает связь между переменными шик, описывющую в линейном приближении изотермическую нерастяжимость кольца

Применяя, при составлении уравнений движения кольца в форме Лагранжа, принцип Гамильтона для непрерывных систем, приходим к уравнению в частных производных шестого порядка, описывающему механические колебания топкого изотермически нерастяжимого кольца под воздействием меняющегося во времени поля температуры относительно переменной то

V, - й," - 4ши,' - + 2ш1У + *о") - Со (гуУ1 + 2и»1У + т") =

= 5«(^ + ^)((^+ш)г) + ай(г™+Г) <7>

в котором введены безразмерные: время т = ае*, угловая скорость и> = ~ и коэффициент диссипации Со =

Характерной чертой уравнения (7) является то, что оно получено для температурного поля произвольной природы, которое может определяться как внутренними источниками тепла, так и внешними.

Будем предполагать, что отсутствует приток тепла извне и есть только внутренние источники тепла, появляющиеся из-за перехода рассееваемой в результате действия внутренней диссипации механической энергиии в тепло. Следовательно, мощность диссипа-тивпых сил, равная удвоенной функции Релея (5), имеет значение плотности внутренних источников тепла в соответствущем урав-непии теплопроводности.

Кроме того, без ограничений общности можно считать, что температура окружающей среды равна начальной температуре резонатора, а также считать, что температура кольца мало отличается от пачальной. Тогда после линеаризации граничного условия и интегрирования уравнения теплопроводности по площади поперечного сечепия получаем смешанную задачу для уравнения теплопроводности, характеризующую саморазогрев тонкого упругого изотермически перастяжимого кольца, которая, после исключения переменной V с помощью условия изотермической нерастяжимости (6), имеет вид

г = —- -^-Т + + «О1

сжроН? сзуроБ с (8)

где через Р = 2(6 + Л) — обозначен периметр поперечного сечения.

Уравнение (8) совместно с уравнением (7), образует замкнутую систему дифференциальных уравнений, характеризующую процессы взаимодействия полей деформации в температуры в изотермически нерастяжимом кольце, при отсутствии внешних источников тепла.

При дальнейшем исследовании системы (7-8) будем считать, что в кольце имеются колебания только по основной (2-ой) форме. Известно, что в этом случае решение линейного дифференциального уравнения, образованного левой частью уравнения (7), описывающее динамику основной формы, имеет вид

■ш(т,<р) = Я\(т) соа 2(р + 42 (т) ат2<р (9)

Так как оператор, стоящий в правой части (7), можно рассматривать как возмущение первого порядка малости оператора, стоящего в левой части, то и в этом случае будем искать решение в виде (9), а решение, характеризующее изменение поля температуры, будем искать в виде тригонометрического ряда

Г(т, <р) = Т0 (г) + ^ (Гс"(т) соз тир + 7?( т) зт пуз) (10)

я=1

Подставляя (9) и (10) в систему уравнений (7-8), приходим к выводу о том, что на вторую форму механических колебаний, оказывает влияние только нулевая, вторая и четвертая гармоники температуры. В свою очередь механические колебания по основной форме приводят к саморазогреву кольца, вызывая ноявление только нулевой и четвертой гармоники температуры. Кроме того оказалось, что в линейном приближении, влияние 2-ой гармоники поля температуры на динамику 2-ой формы механических колебаний сводится к действию малого постоянного возмущения, которое, как известно, не влияет на динамику системы. Следовательно, опуская для простоты записи значки принадлежности к четвертой форме у переменных {7^,1^}, получаем, что связанная система уравнений, описывающая термоупругие колебания основной формы, в отсутствии внешних источников тепла, после введения нового масштаба измерения "медленного* времени т\ = и обозначений:

з — в л _ 4 ,,. . _ _ 8ч/ах . „ _ у5ЛрР . „ _ зтсоае3

« = ^Со,7 = Зу^, «о = а«, а = 3са*,ойз, а, = % =

единица, а Т =

имеет вид

д + д = -<2д + ~ 2а0Г0д - а0Тд

Т0 = +

Тс = -(о + сч)Тс + г*, (4? - й)

Г, = -(а + а,)Г, + 217о«719з

где д — вектор столбец переменных {<7ь<7з}, ./ — симплектическая Тс Г,

г. -гс

Таким образом, система (11) определяет влияние саморазогрева изотермически нерастяжимого кольца на динамику основной формы колебапий, показывая, что саморазогрев тонкого упругого кольца, вызванный механическими колебаниями по основной форме, оказывает влияние только на консервативную часть системы дифференциальных уравнений, описывающей динамику этой формы. Из (П) видно, что нулевая гармоника температуры приводит к увеличению собственной безразмерной частоты колебаний ^ на величину первого порядка малости ЗбаТо, а действие четвертых гармоник приводит к появлению матрицы потенциальных позиционных сил гиперболического типа, вызывающих расщепление частот колебаний. Последний эффект аналогичен эффекту, возникающему из-за неоднородности материала резонатора.

Для дальнейшего исследования системы (11) будем применять метод осреднения. После перехода, в первых двух уравнениях (11), от "быстрых" переменных {д, д} к "медленным" {ж} и проведя осреднение, преобразованной с помощью этой замены системы, по быстрой перемеппой, роль которой играет новое безразмерное время т,, получаем в первом приближении метода осреднения замкнутую систему дифференциальных уравнений для медленных переменных {х 1, х2, я3, х4, То, Тс, Г,}:

1,1 Го = -а,То + ^тто*2

Тс = -(а + в|)Ге + |т7о [х] + х\-х\- х\) . Т„ = -(а + а{)Тв + Щ (ж1®2 + х3х4)

3 0 х + а0Т0 0 Е 1 0 Т

0 3 -Е 0 *+2а° —Т 0

описывающую эволюцию и взаимодействие основной формы колебаний тонкого изотермически нерастяжнмого кольца с нолем температуры в нем.

В соответствии с интерпретацией данной В.Ф.Журавлевым, стоячие волны определяют в четырехмерном фазовом пространство х трехмерное многообразие — конус стоячих волн, задаваемый уравнением: К = II®* - х?х3 = 0. Им было показано, что прямолинейная форма колебаний может претерпевать одну из следующих эволюций: прецессия формы, изменение частоты и амплитуды колебаний, а также разрушение формы, которым в фазовом пространстве соответствуют определенные направления. Эти направления определяются векторами, образующими базис инфннитезимальных эволюции, который вне конуса стоячих волн пеортогоналеп. Для выяснения локальной эволюции стоячей волны, вызываемой силами, стоящими в правой части первых двух уравнений системы (12), достаточно спроектировать эти силы на векторы эволюционного базиса. Выполняя проектирование, с дополнительным делением проекций на ||а;||2, и используя выражение для определителя системы базисных векторов Д = 4ЛГ3 — х4 получаем

Б г То Т

с1ез1 К 0 0 0 05^(Гс8ш41> - Т. соа 4$)

1? 0 2 4 0 2«/д№ сое 40 + Т, в^п Щ

Ф 0 0 а02Ь 2а/А(Тсео«4* + 'Г, зт41?)

1пг а 2 0 0 -^—(Гс 8Ш40 - т. сов 40)

таб. 1

Из таблицы 1 видно, что нулевая гармоника температуры, которую можно рассматривать как действие потенциальных сил сферического типа, вызывает только изменение частоты, а влияние четвертой гармоники, которое можно рассматривать как действие гиперболических сил потенциального типа, может приводить к разрушению стоячей волны и к изменению амплитуды в случае

чистой стоячей волны (К = 0). Кроме того, вне конуса стоячих волн эти силы могут вызывать прецессию волнового поля и изменение амплитуды колебаний. Следовательно, учет термоупругош поведения материала приводит к выводу о нарушении устойчивости стоячей волны. Поэтому при разработке прибора, в случае, если рассмотренный эффект окажется велик, может потребоваться управление для поддержания формы и амплитуды прямолинейной формы колебаний. Величина эффекта будет зависеть от конкрст-пых характеристик материала.

Используя числовые значения параметров ВТГ, приведенные во введении, получаем, что влиянием саморазогрева можно пренебрегать.

Таким образом, при разработке Волнового Твердотельного Гироскопа, в случае отсутствия внешних источников тепла, учет термоупругих свойств материала резонатора в линейном приближении не требуется. Однако, если по каким-то причинам, произошел разогрев резонатора, термоупругие свойства материала могут оказывать значительное влияние.

Электромеханические свойства ВТГ.

Согласно дискретной электрической модели Волнового Твердотельного Гироскопа, разработанной В.Ф.Журавлевым и Д.Д.Лин-чем, проводящая поверхность резонатора состоит из п отдельных обкладок, составляющих с п сосредоточенными электродами п конденсаторов. Эти п обкладок соединены между собой и омическое сопротивление связи равно г. Онн также заземлены и омическое сопротивление заземления равно р. Кроме того, в данной модели пренебрегается взаимным влиянием конденсаторов друг на друга. Каждый электрод соединен с источником питания, имеющим сопротивление и подающим в цепь напряжение V*.

Обозначим через Qu — заряд на обкладках к-то конденсатора, а через через С* — емкость конденсатора, образованного &-ым электродом и соответствующим ему участком поверхности резонатора. Применяя закон Ома и правила Кирхгофа получаем, что, при сделанных предположениях, уравнения соответствующих электрических цепей имеют вид

О п

RkQk+~-+r^2mklQ, = Vk, * = 1,...,п (13)

к 1=1

б которых ты — являются элементами матрицы п х п, об л а дающей следующими свойствами: тц = тц; ты = т^/^,; И"*н|| = тк+1,1(1к +1%) + тиЕ, гда — косой ряд порядка

к. Характер уравнений (13) зависит от того, какая система электродов рассматривается. В дальнейшем будут рассматриваться две из них: система электродов съема информации и система электродов управления. Система съема информации характеризуется большим сопротивлением источников питания Д* —* оо, а также независимостью напряжений источников V/, от времени н номера к. Система управления характеризуется малым сопротивлением источников питания й —► 0, и независимостью их напряжений Ук от времени. Кроме того омическое сопротивление связи тоже можно считать малым г —+ 0.

Для получения уравнений движения кольцевого резонатора, как мехатронной системы, необходимо к потенциальной энергии деформации добавить потенциальную энергию п плоских конденсаторов

п 2*

Я = Е ^ / (* - ¿М^ *>))*(¥> (И)

*=| о

где ё (<р — <рь) — дельта функция Дирака, рассматриваемая в месте нахождения к-то электрода, = у1{к — I) — угол, задающий направление на ¿-электрод, а ¿о — зазор между недеформировапным резонатором и пластиной электрода.

При получении выражения (14) учитывалось, что емкость конденсатора, образованного &-ым электродом и кольцом, определяется по формуле

_ щг^ъ) <к>

где = 8.85 • 10-12Ф/м — электрическая постоянная, а 5 площадь поверхности к-то электрода.

На основании формул (14-15), получаем уравнение движения кольцевого резонатора как единой электромеханической системы.

й> - ь," - 4$Ы/' - аз2 («Л1 + + ли") + 1

2тС0<*о

где т = ро5Д — масса кольцевого резонатора.

Уравнение (16) необходимо рассматривать совместно с уравнениями электрических цепей (13), в которых следует считать, что емкости Ск определяются по формулам (15). В этом случае, уравнения (13),(16) образуют замкнутую систему нелинейиых дифференциальных уравпеннй в частных производных, шестого порядка, описывающую взаимодействие механических и электрических колебаний в ВТГ.

Будем считать, что имеются колебания только по основной форме. Следовательно, решение уравнения (16) имеет вид (9). После подстановки представления (9) и введения безразмерного времени Т\ = А<, получаем систему уравнений порядка п + 2, описывающую динамику основной формы при рассмотрении ВТГ как единой электромеханической системы, в случае неподвижного основания (П = 0):

- ,__2 Чр 01 II соз2<рк

9 9 57гтА2Сос1о 2- * зт2|рк

к—1 "

\Щк + - + Хг £ ты<?I = V*, к = 1,...,

(17)

в которой А = ^ае3 имеет смысл собственной частоты колебаний резонатора по основной форме, а юк = 11^1) соз2<р* + й1и'2^*;-

В случае системы электродов съема информации (п = 8) уравнения электрических цепей, имеющие вид последних восьми уравнений системы (17), образуют нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных {<?,£?}, содержащую, в силу того что Я* -+ оо, малый параметр ,

причем уравнения для каждого к оказываются независимыми друг от друга и, поэтому могут рассматриваться отдельно. Для построения ассимптотик заряда в (17) будем применять метод малого параметра Пуанкаре, в соответствии с которым получаем, что в линейном приближении ассимптотики для заряда имеют вид

Подставив разложения (18) в первые два уравнения системы

(17) получаем

'О Ъ

где А - оператор действующий по правилу А(ф) —

соа ф я'ш ф зт ф — соз ф

Таким образом несовпадение сопротивлений источников в системе съема информации приводит к появлению симметрической матрицы диссипативных сил, содержащей и сферическую часть, и девиатор, которые могут приводить к затуханию амплитуды стоячей волны и прецессии волнового ноля. Матрицы Л(4^*) — симметрические матрицы диссипативных сил сферического типа, вызывающие прецессию стоячей волны на конусе стоячих волн К = 0. Бели К -ф 0, то возникает дополнительное изменение К и изменение амплитуды.

Будем считать, что сопротивления источников питания имеют пеболыпое отклонение от номинального значения

Я* = Л(1+ £*),-& = 1,...,п (20)

Подставив равенства (20) в систему (19) получаем 2У2

Я + Я +

51гтг»А3<$Д

Г 8 8

I к=1 к=1

4 = 0 (21)

Следовательно, отклонение сопротивления ¿-го источника от номинального значения Я на малую величину б^Л приводит к

уменьшению безразмерного коэффициента диссипации на

57гтА а0Н

и к дополнительной разнодобротности с безразмерным коэффициентом диссипативного дефекта равным с^^дЗ^д•

Из проведенного исследования можно сделать вывод о значительном влиянии несовпадения сопротивлений источников питания в системе съема информации на величину ухода и, следовательно, на точность прибора.

В случае системы электродов управления (п = 16) сопротивления источников питания Ль —» 0= 1,... ,16. Следовательно,

уравнения электрических цепей, имеющие вид последних шестна-дцатии уравнений системы (17), образуют сингулярно возмущенную нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных {д, ф}, так как малый параметр Л КС\, находится перед старшей производной, причем уравнения для каждого к снова оказываются независимыми друг от друга.

Поэтому, для построения ассимптотик заряда в (17) будем применять метод интегральных многообразий, основанный на теореме Тихонова, в соответствии с которым ассимптотические разложе!шя для заряда в линейном приближении имеют вид

Як = Укс0 + ^--—--тыУ/«;/ (22)

Так как нас интересует только влияние сопротивлений источников, то при подстановке разложений (22) в первые два уравнения системы (17), для упрощения выкладок, будем учитывать только те члены, которые явно зависят от Як, к = 1,...,16 (это можно сделать в силу линейности (22)). Выполнив данную процедуру, получаем

2б7а 18

* + 9 + ^Я* (Е + = 0 (23)

Следовательно, как и в случае системы съема информации, несовпадение сопротивлений источников питания приводит к появлению симметрической матрицы диссипативных сил, содержащей и сферическую часть, и девиатор, приводящие к затуханию амплитуды колебаний и прецессии волнового поля. Конкретный вид инфинитезимальных эволюций системы (23) зависит от вида распределения напряжений и сопротивлений источников. Предположим, как и в случае системы съема информациип, что сопротивления источников питания имеют небольшое отклонение от номинального значения, т.е., что справедливы формулы (20) и рассмотрим два наиболее интересных с точки зрения практики случая. Случай 1. Все напряжения источников питания 14 одинаковы и равны V. Подставляя (20) в (23) получаем систему, структурно совпадающую с (21), из которой видно, что в системе электродов

управления, отклонение сопротивления к-го источника питания от номинального значения на малую величину RSk приводит к увеличению безразмерного коэффициента диссипации на и к дополнительной разнсщобротности с безразмерным коэффициентом

диссипативного деффекта равным -

бтгтАай

Случай 2. Электрическая балансировка резонатора определяется зависимостью: Vk = V соа 2(ipk — а). Подстановка этого равенства в систему (26) показала, что качественно данный случай не отличается от случая 1, за исключением небольших количественных поправок.

До сих пор, при рассмотрении электрической модели ВТГ, различие в емкостях конденсаторов, которые образуют электроды с резонатором, предполагалось только за счет колебаний резонатора. Однако несовпадение геометрических характеристик конденсаторов, таких как неравенство зазоров между электродами и резонатором или неравенство площадей электродов, если оно имеет порядок амплитуды, может оказать значительное влияние на динамику основной формы. Все упомянутые несоответствия сводятся к одному: неравенству емкостей конденсаторов в недеформированном состоянии резонатора Со* = С0(1 + Л*). Уравнения электрических цепей и ассимптотические разложения для заряда в этом случае получаются формальной заменой С0 на Со* в формулах (17), (18) и (22). Подставляя полученные таким образом ассимптотикн н уравнения механических колебаний в случае системы управления получаем, что отклонение в емкости конденсатора, образованного fc-ым электродом и резонатором, на величину Д*, приводит к дополнительному уменьшению безразмерной собственной частоты

колебаний на величину ^У i расщеплению частот с коэффи-

ожтЛ Oq

циептом равным ^У увеличению коэффициента диссипации

очгтпА «¿о

4V*RCZAk -

Iia - \ л и к разнсщобротности на эту же величину.

ъятла0

В случае системы съема информации оказалось, что учет неравенства емкостей в недеформированном состоянии резонатора не приводит к эффектам, качественно отличающимся от изученных, за исключением появления ненулевой постоянной силы, которая, как известно, не оказывает влияния на инфинитезимальные эволюции

основной формы колебаний.

В рассматриваемой до сих пор электрической модели ВТГ не учитывалось влияние друг на друга соседних электродов. Однако, при уточнении влияния на динамику резонатора электрической схемы, нельзя пренебрегать взаимодействием электродов между собой. Одпой из причин этого взаимодействия может быть искривление электрического поля у краев электродов, из-за которого заряд, находящийся на одном из электродов, будет индуцировать заряды на соседних. Следовательно, при рассмотрении электрических свойств прибора необходимо рассматривать взаимодействие не одного, отдельно взятого электрода и соответствующего участка поверхности резонатора, а единой системы, резонатор плюс п электродов. С точки зрения электростатики, данная конфигурация представляет систему, состоящую нз п+1 проводников, один из которых (резонатор) полностью окружен другими. Электрические свойства такой системы удобно характеризовать матрицей емкостей, которая в нашем случае имеет вид

...... О с„

С =

С, С1 0

¿1 с3 С1

0 с2 с,

О

Сп-1

с«-2 О

С-п-2

Сп-\

Сп-1

О

Сп-1

Сп

(24)

в которой Ск,к = 1,...,п означает емкость плоского конденсатора, образованного отдельно взятым электродом и поверхностью резонатора, сь,к = 1,...,п — емкость конденсатора, который образуют между собой соседние электроды. Так как взаимодействие электродов друг с другом является слабым, то очевидно, что для V»,^ = 1,п выполняется неравенство с* -С С,-. Электрическая энергия, запасенная такой системой, определяется квадратичной формой зарядов, расположенных на электродах, матрица которой является обратной матрицей для матрицы емкостей

о

где С} обозначает вектор-столбец зарядов, находящихся на электродах.

Будем сразу считать, что в кольце имеется только основная форма колебаний. Это соответствует представлению кольца как колебательной системы, в виде "связки" двух плоских осцилляторов. Уравнения движения в этом случае являются обычными уравнениями Лагранжа второго рода, имеющими, с учетом (25), вид

где , д3 имеют смысл обобщенных координат в конфигурационном пространстве второй формы колебании.

Система (26) является незамкнутой. Для ее замыканпя необходимо добавить уравнения электрических цепей , которые в нашем случае будут иметь вид уравнений (13), если в них положить все коэффициенты равными единице, причем их удобно рассматривать записанными в матричном виде

где И = , Д«}, V — вектор столбец напряжений ис-

точников питания, а матрица М имеет тот же смысл, что и выше.

Решепие системы (26-27) попрежнему будет зависеть от того, какая система электродов рассматривается, а ассимптотики заряда в системе (27) строятся теми же методами, что и ранее: методом малого параметра Пуанкаре, в случае системы электродов съема информации, и методом интегральных многообразий, в случае системы электродов управления. Единственное отличие состоит в том, что теперь все приходится делать в матричном виде, так как уравнения электрических цепей при учете взаимодействия соседпих электродов для каждого номера к нельзя рассматривать отдельно.

Применяя использованную выше процедуру получаем, что в системе управления учет взаимодествия электродов изменяет только консервативную часть системы (26), приводя к появлению симметрической матрицы потенциальных сил, содержащей отличные ,в общем случае^ от нуля и сферическую часть, и девиатор, которые вызывают, соответственно, изменение собственной частоты и расщепление частот.

(26)

ЯЯ + + гМЯ - V

(27)

В случае системы съема информации учет взаимодействия электродов оказывает влияние только на дяссшхативную часть системы (26). Возникающая из-за этого взаимодействия симметрическая матрица диссипативных сил гиперболического типа, содержит отличные в общем случае от нуля и сферическую часть, и девиа-тор, которые могут приводить, соответственно, к дополнительной диссипации стоячих волн и прецессии волнового поля.

Сделаем дополнительное предположение о том, что емкости конденсаторов — I,...,п), образованных соседними электродами одинаковы и равны с. В этом случае матрица Я, определяющая влияние взаимодействия соседних управляющих электродов на консервативную часть системы (26) имеет вид

/? 16

Н = Т, (Е + А+ ») (28> к=1

Как и выше, рассмотрим наиболее интересные с точки зрения практики случаи.

Случай 1. Все напряжения источников питания V* одинаковы и равны V: Л = -АлДсУ^Е. Следовательно, расщепление частот не будет происходить, а возможно только уменьшение собственной частоты колебаний на величину первого порядка малости Ау/2сУ2. Случай 2. Электрическая балансировка резонатора. Я = —2сУ2 Е -АсУ2А(Аа). В этом случае будет присутствовать как эффект уменьшения безразмерной частоты на 2сV2, так и расщепление частот с безразмерным коэффициентом АсV2.

В системе съема информации, в предположении равенства емкостей конденсаторов, образованных соседними электродами, взаимодействие этих электродов вообще не оказывает никакого влияния, потому что матрица, определяющая диссипативную часть системы (26), в этом случае обращается в ноль.

Заключение.

Разработана механико-математическая модель ВТГ, учитывающая термоупругие свойства материала резонатора — тонкое упругое изотермически нерастяжимое кольцо.

Показано, что колебания по основной форме вызывают неравномерный разогрев кольца, приводя к появлению нулевой и четвертой гармоники поля температуры.

Исследование эволюции стоячих волн показало, что нулевая гармоника температуры может приводить только к изменению частоты колебаний, а четвертая — к разрушению стоячей волны и тоже к изменению частоты. Кроме того, в случае наличия квадратурной составляющей, возможна прецессия формы и уменьшение амплитуды колебаний.

При рассмотрении ВТГ как единой электромеханической системы было показано, что отклонения сопротивлений источников от заданных значепий приводят к "уходам", недопустимым для данного класса приборов. Причем данное явление имеет место и в системе электродов управления, и в системе электродов съема информации. Однако система электродов съема информации более чувствительна к несовпадению сопротивлений источников питания, чем система управляющих электродов. Показано, что несовпадение геометрических характеристик конденсаторов, образованных управляющими электродами и резонатором может также приводить к "уходу" и, кроме того, к разрушению прямолинейной формы колебаний.

Впервые проведено исследование влияния на динамику ВТГ особенностей конфигурации расположения электродов. Показано, что взаимодействие между собой электродов как системы управления, так и системы съема информации приводит к эволюцням основной формы колебании. Однако качественный характер этих эволюций в рассматриваемых системах электродов имеет принципиальное отличие. В случае системы электродов управления их взаимодействие влияет только на консервативную часть системы дифференциальных уравнений, описывающей основную форму механических колебаний, а в случае системы электродов съема информации их взаимодействие влияет только на диссииативную часть указанной системы.