Исследование уравнения Эйлера на некоторых классических алгебрах Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

№ o ¡j Б 9 I

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЙ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ илани В.А.СТЕКЛОЙА

На правах рукописи

В Л П С О В Эдуард Вячеславович

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ЗМЕРй 'riß НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ АЛГЕБРАХ ЛИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

йгторефйрзт диссертации мг. соискание ччел-.й степени кандидата /рюнко-натекэтичьския if.iyit

МОГ КПП 1392

Работа выполнена па кафедре ьатематического анализа Курского государственного педагогического института

Научкий руководитель:

Доктор дизико-иатематических наук, профессор О.И.бОГОЯВПЕНСКИЙ

Официальные огшненти:

Доктор оизико-магематических наук, член-корреспондент РАН йЛ.ФОМЕНКО

Доктор физико-математических наук, профессор В.Ь.КЙРИИОВ

Ведущая ..рганизация: Институт прикладной математики и механики АН Украины (г. Донецк)

Тацита состоится _______ 1992 года в 14 часов

на заседании специализированного совета й 002.38.01 при Математическом институте В.Й.Стеклова РАН (г. Москва. 117956, ГСП— 1. ул. Вавилова 42)

йетореф?рат разослан ____~„_„..>/__________1992

года.

Учений секретарь специализированного совета

доктор физики-матечатичесиих наук Й,К.ГУЩИН

' " ;■ - з -

ОБЦйЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РРоОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕКУ. Работа посещена исследованиям уравнений ..^леоа^а кдассичзских алгебрах Ли. Основными направлениями этих исследований являятся вопрос с всзмоячости построения интегрируемых случаев этих урзвьениЛя, а таккг конструкций г ними сп:дзанн:.'>, на различные'матричные алгебру Ли произвольной конечной размерности и. в частности, на иестимерные алгебрах Ли. Лля этой цели использот-лись представление исходных дифференциальных уравнений р эквивалентного уравнения Лакса, зависящего от спектрального пара. метра, и тэорема Лиузилля.

Использовать представления Лакса, а тон числа представлении Лакса зависящее от спектрального параметра (представление из^спект-ральной деформации), для исследования динамических систем начали лишь последние двадцать - двадцить пять лет назад, такие

представление для некоторой динамической системы, мокко указать неё больное количество пеэьих интегралов ил:! прозести иитегркро^а-и;:е неходкой динамической систош в тета-оункция* риьс.нсрых позерх-нсстей или, вэ многих случаях, доказать интегрируемость по Лкувчл-лю. Однако зап. :ать систзму дифференциальных уравнений я вндо эквивалентной I А пари на практике оказывается достаточно слояня. С другой стороны, применений известной теоремк Лиуьилля об интегрируемости динамических систем такге связан» с рядом трудностей, а именно - поиском перьнх интегралов находящихся в инволюции с у.-;е изв ест ними.

3 работч указаны способы получения представления изоспектралмюй деформации для некоторах кшжрятннх динамических систем, и, того, рассматривается метод построения дополнительного первого интеграла, необходимого для интегрируемости по Лнуаиллм, в одноЛ задаче о двиаении твердого тела вокруг неподвижной точки.

1'£ЛЬ ИССЛЕДОЙЙпЯ:': состоит б изучении круга вопросов, енлзгн.шх с • ис.ю.п! зеванием тчор-зми Лиувилля и уравнения мзоспоктумлмтй деформации дчя исследования уравнений Зй.юра на коночномя/чгх классических алгебрах Ли.

ШЧНЙЯ НОВИЗНА. Ночная новизна полученных результате* состоит

в следук^ек:

1. Прогедено 0D05i!eHi!i3 орзультстов, полученных в задаче о 1кляуодс!йсты!и двух тоердых тел на иирокий класс; матричных алгебр i'll! .

;.:. Прсводено сисбчение результатов, получены« в задаче о ьй-и'.-чодзЛстеин произзольно-о четного числа твердых тел на сшрский wocc на гpifjMux ачгебр Ли, которые в случае кососкиметрических матриц ийзйт больное, числе реальных физических применений рзнвс не

рг СС.ЧпТрИЗаВИНХ.

3. Преде трален вывод. позволявший записывать уравнений Эйлера з;.'.цанние на иэстиизркых алгебрах Ли, в Интегрируемом случае Стеклось. в виде лы.ссьой пары загисяцей от спектрального параметра. При 31 ум условия интегрируемости естественно вытекав: м? указанного ri.SO?,?..

4. В задаче с вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки з ссесикаетричкои поле з трехмерном псевдоеаклидоеок прост-ронстсе указан способ г.сотрогш'я дополнительного первого интеграла, Позболдвцогс сделать вывод об интегрируемости по Лиувиллй поставленной задачи. Этот дополнительный интеграл получается при рекении нзкоторой системы двух уравнений в частных производных,

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИССПЕДОВАНИЯ.

1. Расширены границы прриечмост»: некоторых новых конструкций связанных с задачей с воаикодейстзли ьлпгих твердых тел, при этом описаны физические интерпретации полученных расширений,

2. Изучен вопрос об интегрируемости аналогов классичаскогч случай Стеклова на кизокпм классе -естинеррых алгебр Ли.

3. Рассмотрена возможность построения дополыпельндго первого интеграла, позволаицегс сделать вывод об интегрируемости пи Гшувчл-ла урарненкй Эйлера на алгебре Ли, соответствующей группе двикекий псаедоев<:лидо?а пространства.

(|ЛР0ЕйЦиЙ РАБОТ"». Результат!» работы докладывались ьз псесзозной

конференции "Современные прсблвяц информатики, вычисли гэлоно.'! техники и автоматизации" ( г. Тула, 1363 г.); на ечегедпьй ксп'^зречпмк молодых ученых при ЛГУ (г. Ленинград. 1938 г.); на всссочзлой яколе-оваинаре по комплексной« анализу м динамическим сисг^коч ( г, Ташкент, 1333 г.); на ккссовзнсй кснфераниии "Актуальнче проблем;; прикладной математики" '.г, Саратов, 1331 г.); семинарах и

¡¿ЛГУ.

ОБЪЕМ И СТРУКТУР;} РДБОТК. Раиота состоит из вводгнил. грех глав и списка литчратуря. Сбций объем работы - 86 страниц. Бкелиографик насчитывает 94 наименования.

СОДЕРййНИЕ РйЗОТЫ

Во Ьзадении формулируются цели диссертации, дается обзор литературы к кратко формулируются основные результаты ра&отк.

Пэрьая глава посвящена оОобчииию конструкций ПераломоЕа-Наеп!бсо-Ио;ггвсЛоугку и, более ойцей, 3:'зг:г;-Иозс!асЬеУяку взаимодействия многих п-мерьых твердая тел на алгебры Ли 5и(р,!]). 3 перв-н параграфе! показавазтер, что система диф.ререкулп-льннх урзв.чени!' вписывающая таксе язаий&дяЛстгис, при условии

А л 'л ^

допускарт эквивалентно.-' ярудстзглгн.:. I I - Ь » t Г..

- М0 + ¡-ЕР, где Е - :::<з;:г;,с/.!-я:;й п^кй'р. - - иг т • дпноничаск::;-'. [¡а::._'ье:-:ни'>.: - ::о7о;)^г нс-тр,:;:" , :. , -

с кечьл^еи!.*;: ^ллго:.;; Г:1" г с ; ^г.': •/. дного;. л л:: :

агом'зги'им ^ Ч и 7; :|.:::лтг.р:!'> -о . Бее р л с •

пргглдятез ч?сизв'«#:1»:к.£ к-«*.; с.«;.

и плр.^":'"Г'., : с т 1 ■ - ■ • -'"-"'

взаийодчйствня 2к твердых тел, где }: - произвольно, прк условии (1) (3) ( 2V:—5 ) (2) (4) (2к) L =L ..-I : L =L =...=L Такая редукция пррводиттса путем сведения поставленной задачи, к vae рассмотренной з параграфе два.

Четвгртш. параграф носьяцен физический интерпретациям рассмотренных конструкций, большеД частьв возникающих при редукции на so(n) конструкций рассмотренных в третьем параграфе.

Во втооой главе строится представление изоспектрэльной деформации для интегрируемого случая Стеклова уравнений Зйлера на шестч-аернах алгебрах Ли. Все рассматриваемые алгебры разбиваются на дпа класса fi и В. В классе Р. содержатся алгебры Ли so(4), $о (3.1), Sa (2.2), £ , L и другие; в классе Е: sc(4j=so(3)+so(3); sl(2,Ri+ sl(2,R); set 5 ; + si(2,R) и другие.

flepBiiA параграф носит описательный характер. Б нем указываются коммутационное соотноаения мезду вектораки некоторого базиса, выделяющие классн й и В из ынозества всех аести^ерних алгебр Ль. вид уравнений Зйлера для кагдлго из классов, вид первых интегралов и гамильтониана H соответствующего интегрируемому случаи Стеклова. Во втором параграфе для алгебр Ли класса Б доказывается теорема утверидаюцая, что для системы дифференциалышх уравнений

( M - M к Si \р * p'tf

гд, Л. ) Lr, , м. - .1-, М, , р„ -- И1(- р. , «• эм- 1

- структурные константы соответствующей алгебра Ли. с гамильтонианом Н:

3 ' с \г

¿-1

при выполнении условия:

_ о

I ил----- ела- .

clet 4

где оС - коэффициент пропорциональности, Г-сНа^^ ,{ г ъ ); а=(1]зв(в г ,в 3 ); п=СII ^ ,п г ,п 3 ); а=сНле(а ^ ,а 2 ,а 3 ), ьояускакт эквивалентное представление типа Лакса зависящее от спе.чтрчльного параметра.

В третьем параграфе для алгебр Ли класса Я док<дзииззгсл теорела англогичнза тесрвме из параграфа 2: система днффереиииалышх уравнений

р = р * и) + ае ЛА * г„ Ц>; - > р, - р, ;

с функцией гамильтонианом Н: ¿--I

при вмролнении условна:

-2.1 = сЛО-И"1-

допускаюг эквивалентное представление типа Лакса заиисящее от спектрального параме1рэ.

3 четвертей параграфе обсуждается возмояность применения теоремы Дубр ;>ина для интггрированиа построенных в параграфах два и три пре 'авлений Лакса в тчта-й.ункциях римпнозых поверхностей я связи пол1 .энных результатов с работами классиков.

3 третьей главе рассматривается интегрируешь! случай уравнений Эйлера на шестимврной алгебре Ли I ^ , ссотввтс'яуищсй группе движений трехнерного г.севдоевклирова пространства, описывающие пра-цькие твердого тола вокруг неподвижной точки в осесиыкетричнпи поле:

М - ,М ли) + ф л , С^т.^ьЛ,

гцо ч -■ вектор Пуассона, (Лд) - потенциальная функции, ч = пд, п= - (Ш«Сп 1 , п а , п^ ) - матрица структурных констант. Тс; не уравнения имеют три первых интеграла. Для интегрируемости исходном системы но Лиувияпа необходимо зкать еще один первый интеграл. Нахождение доиопнительнсго интеграла сводится к решение некоторой систеыч двух дифференциальных уравнений и частных производных, из которой следует при каких значениях исч> и УСд) записанная система уравнений пудет иметь интеграл вида

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Власоз З.Ь. Интегрируемые случаи уравнений Зилера на алгебре /!и Ь // Математическая физика. Н.: йГПй им. В.И.Ленина - 1986,-С. 63 - 70.

¿. Власов З.В. Представление Лакса и первые интегралы уравнений Эйлера ка некоторых шестин&рных алгебрах Ли // Доклады но матекати-ке и ер прилояеник^. - Москва-Тула: МИАН им В.й.Стьклова ПН СССР. -1988. - Т. 2. - Вып. 2. - С. 183 - 132.

3. Власов З.В. Представление Ллкса для некоторых интегрируемых уравнений Зйлпра на иестииернах алгебрах Ля // Математические заметки. 1ЙВВ. - Г. 44. - Виг,. 1. - С. 19 - 26.