Исследование волновых режимов течения пленки жидкости при внешних воздействиях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

Исследование волновых режимов течения пленки жидкости при внешних воздействиях

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

00346 Ю65

Москва 2008

003461065

Работа выполнена на кафедре аэромеханики и газовой динамики механико - математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: д-р физ.-мат. наук, профессор

В.Я. Шкадов

Официальные оппоненты: д-р физ.-мат. наук, профессор

H.H. Смирнов д-р физ.-мат. наук, профессор В.Н. Варапаев

Ведущая организация: Московский государственный университет

инженерной экологии

Защита состоится 20 февраля 2009 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.89 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Воробьевы горы, Главное здание МГУ, механико - математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан « ' » января 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, д-р. физ.-мат. наук

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Пленочные течения жидкости широко применяются в различных технологиях, например, при организации процессов испарения, конденсации, тепло- и массообмена. В таких случаях, как правило, жидкость течет по твердой поверхности под действием массовой силы, например, стекает по стенке под действием силы тяжести. Многочисленные эксперименты показали, что при этом свободная поверхность пленки редко оказывается плоской: обычно она покрыта теми или иными волновыми структурами. Наличие таких волн может сказываться на проводимых технических процессах как положительно (приводить к интенсификации массообмена), так и отрицательно (создавать области локального перегрева при использовании пленки как хладагента). С этой точки зрения представляется важным построение математических моделей нелинейной волновой динамики жидких пленок, а также разработка механизмов управления режимами пленочного течения с помощью создания неоднородного поля массовой силы, использования реологически сложных жидкостей или внесения внешних возмущений через твердую поверхность.

Цель диссертационной работы — изучение возможности управления параметрами течения жидкой пленки с помощью внешних воздействий. Для достижения указанной цели решались следующие задачи:

1. Изучить стационарное течение пленки вязкой жидкости по криволинейной вращающейся поверхности, выяснить влияние формы твердой поверхности на характеристики стационарного течения, развитие неустойчивости в линейной постановке и на эволюцию структуры нелинейных волн.

2. Выяснить влияние реологических свойств среды на неустойчивость <*, -

1 ','■ У

стационарного стенания пленки неньютоновской жидкости по вертикальной плоскости. Исследовать зависимость параметров волновых режимов течения от выбранной реологической модели.

3. Исследовать стекание пленки по поверхности с микрорельефом, проследить влияние структуры твердой поверхности на стационарное течение и характеристики нелинейных волн.

Научная новизна работы. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.

Впервые изучена эволюция структуры нелинейных волн на криволинейных вращающихся поверхностях. Определены формы твердых поверхностей, на которых растекающаяся под действием центробежных сил пленка имеет постоянную толщину; найдены значения безразмерных управляющих параметров, при которых течение этой пленки наиболее устойчиво.

Выведена нелинейная система уравнений, описывающая течение пленки конечной толщины произвольной обобщенно - ньютоновской жидкости. Впервые исследовано влияние реологической модели на параметры волн.

Обнаружены качественно различные типы волн в пленке неньютоновской жидкости, стекающей по наклонной плоскости с микрорельефом. Получено объяснение стабилизации течения при конечной величине неровностей.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы обоснованы. Достоверность результатов диссертации обусловлена точностью численных и аналитических методов, применявшихся при постановке и расчете соответствующих задач, и совпадением результатов с опубликованными в ранее изученных частных случаях. Полученные ре-

зультаты качественно и количественно согласуются с опубликованными в литературе экспериментальными данными.

Практическая ценность работы определяется возможностью использования исследуемых в работе механизмов управления течением пленки. Выводы о способах стабилизации потока и интенсификации волнообразования, сделанные в работе, могут быть использованы при проектировании технологических устройств, использующих пленочные течения, и при планировании экспериментов.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• Семинар кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством акад. Г.Г. Черного, 2007, 2008 г.

• IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, г. Нижний Новгород, 2006 г.

• XXXIV Международная летняя школа - семинар "Advanced problems in mechanics", г. Санкт-Петербург, 2006 г.

• Научная конференция "Ломоносовские чтения" МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006 г. - 2008 г.

• XV школа - семинар "Современные проблемы гидроаэромеханики", г. Сочи, 2007 г.

• III Всероссийская конференция "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент, приложения", г. Бийск, 2008 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в девяти печатных работах, две из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и списка литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации — 116 страниц.

Содержание работы

Во введении описана предметная область, сформулирована цель настоящей диссертации, подтверждена актуальность работы, дана информация о публикациях автора и апробации работы.

Обзор литературы содержит анализ основных достижений в изучаемой области. Прослеживаются основные этапы развития исследований пленочных течений, начиная с работ П,Л. Капицы (1948) и П.Л. Капицы и С.П. Капицы (1949), в которых изучаемая задача была впервые поставлена. Также приводятся ссылки на основные современные работы в области микрогидродинамики.

В первой главе рассматривается течение пленки вязкой жидкости по криволинейной вращающейся осесимметричной поверхности. Несжимаемая жидкость подается с постоянным во времени расходом 0> на конечном расстоянии от оси вращения. Жидкость растекается по поверхности тонким слоем и вовлекается во вращательное движение. Из описанных в литературе экспериментов известно, что такое течение на плоском диске может быть неустойчиво и сопровождаться волнами. Возможно влиять на эти процессы подбором формы твердой поверхности.

В диссертационной работе форма твердой поверхности предполагает-

ся достаточно произвольной, необходимо, чтобы толщина пленки была много меньше локального радиуса кривизны поверхности.

Выписаны полная система уравнений Навье-Стокса в криволинейной ортогональной системе координат, связанной с поверхностью, и граничные условия на свободной поверхности жидкости. Предполагается, что толщина пленки мала, и влияние силы тяжести несущественно. При этом сделан переход к уравнениям типа пограничного слоя. Полученная упрощенная система уравнений содержит геометрический параметр Щ — синус локального угла наклона твердой поверхности к оси вращения и два физических безразмерных параметра: число Экмана Е = и/Н2ш и обобщенное число Вебера 7 = где Н* = — характерное значение толщины пленки, Яо ~ характерное расстояние до оси вращения, шо = Рш — угловая скорость вращения поверхности, .Р = ч/З/Я^тщ), остальные обозначения стандартные.

При малых значениях обратного числа Экмана (большое влияние вязкости) конвективными членами можно пренебречь, и стационарное аналитическое решение выписывается в конечном виде:

В этих формулах Н — безразмерная толщина пленки, д — безразмерный расход в продольном направлении, V, V, IV — безразмерные продольная, азимутальная и поперечная компоненты скорости, связанные с размерными величинами соотношениями:

= иЯ^Е-'и, Уют = + У), Кгапз =

и = (уН-У^,У = РЩ (-¡Л»у + \у3Н - , ТУ - -Р2Щ [ЩНХ + 2ЩН + Д%Я] - у (Я% + , р = -Р1ге{н-у)- 7(х + ^),

(1.1)

н= д = ехр(-2(ж - хт1п)).

где К —расстояние до оси вращения, х = 1п (£ I , у

Найдена форма твердой поверхности, по которой пленка будет растекаться слоем конечной толщины. Образующая этой поверхности в цилиндрических координатах (й, <р, задается уравнением:

л

Изучено стационарное течение пленки в случае, когда конвективные члены не могут быть отброшены. Уравнения движения записываются в проекциях на линии тока, в результате чего начально - краевая задача для системы уравнений в частных производных параболического типа в заранее неизвестной области сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследованы течения при различных значениях числа Экмана. Показано, что длина участка формирования асимптотического течения пропорциональна Е-1/2. Такие же результаты были получены с помощью асимптотических и численных методов ранее для течения на плоском диске.

Исследована возможность получения пленки постоянной толщины путем "перенесения" участка формирования асимптотического течения за пределы криволинейной поверхности. Для этого рассматривается составная поверхность представляющая собой плоский диск вблизи оси вращения, и поверхность, определяемую (1.2), на периферии. При = -1 отличие толщины пленки от постоянной величины над неплоским участком поверхности не превышает 2%.

В разделах 1.3-1.4 рассматривается линейная устойчивость асимптотического течения (1.1) к малым осесимметричным возмущениям и нелинейные волны, которые развиваются из этих возмущений.

Для применения метода Шкадова к задаче о пленке на вращающемся

а < 1

(1.2)

диске проводится локальная аналогия между пленками, растекающейся по диску и стекающей по стенке. Предполагается, что профили продольной и азимутальной скоростей подобны определяемым уравнением (1.1) с нестационарными, зависящими от х параметрами:

■»"'■ШК1"!)1

= (эд>3(1,*) - Л«,*) + .

Для расходов в продольном и азимутальном направлениях и толщины пленки получены эволюционные уравнения:

Я г

Ъг

5 ^/г 117 (Щ

Ы + ЯХЩ = 0; 1 5

56 \ И, 1

Цо

К

+ Д^ЛЛих = 0;

1А

= 0,

ео

Л =/гехр(2Ах), д = дехр(2Дх),

где Щ, 6 — слабо меняющиеся на длине волны параметры.

Локальные параметры Не, Д, До могут быть выражены через два глобальных (рь р2) и °ДИН локальный параметр подобия (¿) следующим образом:

VI

Д = 348.3(р1р2)-а8<*1-4, ДоЛ = 0.01609рГ°-7рР<Га9;

ри*

Для периодических по пространству и растущих со временем малых осесимметричных возмущений получено следующее дисперсионное уравнение:

а

{Щ^о)

1/3

Зг (Щ Д?0) + ШО

2/3

аУ/3'

+ 5<Я)

= 0.

При этом частота волны П является действительным числом, а волновое число — комплексным а = ат + га*. Указано, что амплитуда волн будет нарастать по времени, если мнимая часть волнового числа удовлетворяет неравенству

а* + 2Д < 0.

Решения, полученные в разных точках диска, объединяются, исходя из предположения о постоянстве размерной частоты волны — волнового инварианта

/ = 5С<Р,

где я = аг/у/156 — нормированное волновое число, с = агГ1 — фазовая скорость волны.

На основе анализа дисперсионного уравнения построен алгоритм нахождения точки потери устойчивости для пленки на произвольной поверхности. На плоскости параметров (рьрг) найдены области, которые соответствуют различному качественному поведению течения на плоском и составной криволинейной поверхности, описанной в разделе 1.2 (рис. 1). Выяснено, что возможны следующие ситуации: течение по криволинейной поверхности устойчиво, а на плоском диске нет ( Х>3); на плоском диске неустойчивость начинается ближе к оси вращения, чем на криволинейном (£>2); на криволинейном диске ближе, чем на плоском (2?1); на обеих поверхностях в одной точке ("Со) ; на обеих поверхностях течение устойчиво (Т>4).

Изучена эволюция нелинейных волн на плоском диске и на криволинейной поверхности. Получено, что в случаях, когда течение по криволинейной поверхности теряет устойчивость дальше от оси вращения, нелинейные волны обладают меньшей амплитудой и более простым спек-

1

1 £>4 £>о

0.18 0.2 Р' 0.22

Рис. 1. Области качественно различного соотношения характеристик устойчивости течений на диске и на криволинейной поверхности.

тральным составом.

Во второй главе изучается течение пленки неньютоновской жидкости по вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Исследуется стационарное течение, его устойчивость в линейной постановке, а также нелинейная волновая динамика.

В разделах 2.1 - 2.4 рассматривается течение обобщенно - ньютоновской жидкости, то есть такой, в которой связь между тензорами вязких напряжений и скоростей деформаций задается соотношением

Гц = Ч>{Ь)ец,

где ¡2 — второй инвариант тензора скоростей деформаций. В настоящее время в литературе в основном используется степенной закон вязкости:

При п > 1 среды демонстрируют дилатантное поведение, а при п < 1 — псевдопластическое. Однако эта модель показывает неограниченный рост вязкости при бесконечно больших (или бесконечно малых) скоростях сдвига. Этого недостатка лишена, например, модель Эйринга (Еупп§), в которой

ахшпЪу/Щ

Ч>{12) = /¿00 + {но - Ноо)--•

Отметим, что модель Эйринга обоснована с молекулярно-кинетиче-ской точки зрения. Часто при описании течений псевдопластических жидкостей полагается ¡.1^ = 0. Мерой неньютоновского поведения для модели Эйринга принято выбирать число Деборы Ое = у/А{/«/2Я. В работе для описания течений дилатантных жидкостей использовалась модель степенной жидкости, а для псевдопластических — степенной жидкости и модель Эйринга.

Для описания линейной устойчивости стационарного плоскопараллельного течения жидкости с произвольным реологическим законом выведено обобщенное уравнение Орра - Зоммерфельда:

Ч+у™ - 2а2т]-у" + т]+а4ь + 2т]'+ь"' - 2т]'_а2у' + Ц(у" + а2у) = = гаИе [(и0 - с) {у" - о?у) - и%у]

гь. - п + МйуЯ { ' '

4+ — Ч + Ц3 Щ 1

ч- ~ Л ¿/2 ио >

штрихи означают производную по поперечной координате. Профиль невозмущенного течения задается функцией щ(у), т] = — безразмерый эффективный коэффициент вязкости, число Рейнольдса вычисляется по характерной скорости, толщине пленки и </?с — характерному значению коэффициента вязкости.

При изучении пленочных течений для (2.1) ставятся следующие граничные условия на твердой поверхности у = О

у = у' = 0 (2.2)

и на свободной поверхности у = 1:

(и0 - с){у" + а2у) - и'оУ = О, г]+у'" + т)'+у" - [а2

(??- + 277) + га(ио — с)] у'+ (2.3)

+ (*У+ + и =

что соответствует условию прилипания на твердой поверхности и описывает действие поверхностного натяжения с коэффициентом ст, \Уе = р112Н/а.

Для указанных двух соотношений решена спектральная задача линейной устойчивости. Выяснено, что при любых значениях реологических параметров для каждого числа Рейнольдса имеется нейтральное волновое число ап, такое, что возмущения с волновыми числами меньшими нейтрального нарастают, а больше нейтрального затухают со вре-

менем. При малых и умеренных числах Рейнольдса нормированное нейтральное волновое число ап \ZWe~1 остается постоянным при фиксированном значении числа Капицы (обобщенного числа Капицы для степенной жидкости) Ка = о?'*/{д1'^*) (Ка = ст

В предположении аЯе < 1 в модели степенной жидкости найдено приближенное аналитическое решение задачи на собственные значения для уравнения (2.1) с соответствующими граничными условиями. Получено следующее дисперсионное соотношение:

2п + 1 гаКепп~2

с =

2(2п + 1)

а

,2

(Зп + 2)п2 \Ve2n +1_

п (2п+1)"-1 Для нейтрального волнового числа получено соотношение

-\2

" (Зп + 2)п2' Эти выражения использовались при тестировании численных методов.

Для построения нелинейной системы уравнений был использован прямой метод. Предполагалось, что в каждом сечении профиль скорости подобен таковому при безволновом стационарном течении. Тогда поле скоростей можно задать двумя функциями д, к двух переменных:

где щ (у) — профиль скорости стационарного течения.

В этом случае эволюцию волновой структуры пленки описывает система из двух уравнений

^ Н2 „(«*( 0)/2) +А

(2.4)

Ы + дх = О,

где /? = ^ и\{у)(1у> 5 — параметр подобия. Данная система уравнений сводится к ранее известным для ньютоновской и степенной жидкости.

В разделе 2.3 изучается линейная устойчивость тривиального решения системы (2.4) /1=1, д = 1. Результаты сравниваются с решением спектральной задачи для обобщенного уравнения Орра - Зоммерфельда, Вид зависимостей коэффициентов усиления и фазовых скоростей возмущений от волнового числа качественно совпадает, а при малых значениях волнового числа интегральный подход дает весьма близкие к решению полной задачи результаты.

В рамках обоих подходов получается, что с ростом п рост возмущений происходит в более узком диапазоне волновых чисел. С другой стороны, при малых п при анализе решений полной задачи обнаружен еще один эффект, обратный указанному: при больших значениях £ происходит стабилизация течения (рис. 2). Значение 5, при котором этот эффект проявляется, зависит от значения Ка: чем больше Ка, тем шире диапазон 5, где длинноволновое приближение хорошо работает. Отметим, что интегральные уравнения выведены в предположении больших значений Ка и не показывают этого эффекта.

Стабилизация или дестабилизация течения одновременно проявляется в изменении области неустойчивости и максимального коэффициента усиления. В рамках интегрального подхода с уменьшением п при фиксированном 5 максимальный коэффициент усиления монотонно растет, тогда как решение полной задачи предсказывает спад этой величины, начиная с некоторого значения п{5). Таким образом, требуется специальное рассмотрение интервала значений п в окрестности п = 0.5 при выводе математической модели (2.4), применяемой для исследования нелинейных волн. При этом результаты, полученные в рамках интегрального подхода, убеждают в правомерности этого метода при п > 0.7.

Такие же расчеты были проведены и для реологической модели Эй-ринга. Определяющие безразмерные параметры подбирались так, чтобы

Рис. 2. Линии уровня зависимости нейтрального числа ап от п и <5 для степенной жидкости. Сплошные линии — решение уравнения Орра - Зоммерфельда, штриховые — интегральный подход.

кривые течения г/(/г) были бы максимально близки: значения указанной функции и ее производной совпадали при /2 = 1.

Анализ решений задачи на собственные значения для указанных реологических моделей показал следующее. Результаты применения интегрального подхода слабо зависят от принятой реологической модели, причем это проявляется и в размере области неустойчивых волновых чисел, и в величинах коэффицентов усиления. Решения полной линеаризованной задачи в рассматриваемых случаях отличаются существеннее. При одинаковых значениях внешних безразмерных параметров в модели Эй-ринга практически не наблюдается эффекта стабилизации при больших 6 и малых п. Кроме того, абсолютные значения коэффициентов усиления в модели Эйринга оказываются существенно больше, чем для степенной жидкости. Различия между этими моделями увеличиваются при увеличении влияния неньютоновских свойств среды. Такие результаты можно объснить тем, что при одинаковых параметрах в модели Эйринга средняя вязкость оказывается меньше, чем для степенной.

В разделе 2.4 изучено влияние неньютоновских свойств среды на характеристики нелинейных волн. Рассмотрены уединенные волны, а также периодические по пространству волны с различными волновыми числами. Получено, что в рамках модели Эйринга уединенные волны имеют большую амплитуду и фазовую скорость, чем для степенной жидкости. Для нелинейных периодических по пространству волн одной длины были получены подобные результаты. Это согласуется с выводами анализа линейной устойчивости.

Раздел 2.5 посвящен изучению линейной устойчивости течения пленки псевдопластической жидкости Шведова - Бингама. Для этой модели характерно наличие конечного предела текучести. В течениях таких жидкостей часто наблюдается квазитвердое ядро, в котором тензор де-

формации равен нулю. В условиях слабой пластичности, когда толщина этого ядра мала по сравнению с толщиной пленки, также выведена система уравнений, аналогичная (2.4) и проведен анализ линейной устойчивости тривиального решения. Получено, что в модели Шведова - Бингама интервал неустойчивых волновых чисел оказывается наименьшим, а также нейтральные возмущения являются самыми медленными среди всех изученных моделей.

В третьей главе рассматривается стекание пленки степенной жидкости по плоскости с микрорельефом под действием силы тяжести. Величина неровностей имеет порядок толщины пленки, а характерный продольный размер рельефа много больше этой толщины. В этом случае эволюционная система уравнений приобретает вид:

Ы + дх = О,

{Ьоххх — Вккох).

где В — параметр, характеризующий наклон твердой поверхности к горизонту, Н0 — форма твердой поверхности.

Рассмотрены два вида микрорельефов: локализованные (ступеньки и препятствия) и периодические синусоидальные. В каждом случае было найдено стационарное решение. Для локализованных неровностей изучена зависимость максимальной и минимальной толщины пленки от реологического параметра, числа Рейнольдса, угла наклона поверхности к горизонту. Во всех изученных случаях перед неровностью наблюдаются осцилляции толщины пленки и формы свободной поверхности, а за ней толщина пленки монотонно выходит на асимптотический уровень. При этом перепад толщин (разность между максимальным и минимальным значением) растет с ростом числа Рейнольдса и увеличением угла накло-

18

на поверхности к горизонту. При изменении реологического параметра п на ступеньке наблюдается монотонное убывание перепада толщин, а на препятствии в форме горки в указанной зависимости имеется локальный минимум при п « 1. Этот эффект объясняется тем, что в первом случае имеется только одна область утоньшения пленки, в которой резко возрастает вязкость, что вызывает рост толщины перед ступенькой. Во втором случае есть как область торможения пленки перед препятствием, так и разгона после него, что и приводит к некоторой "симметрии" зависимости относительно п — 1.

Для стенки с синусоидальными неровностями исследовалась зависимость амплитуды свободной поверхности и сдвига фаз между свободной и твердой поверхностью от пространственного периода неровностей, наклона поверхности к горизонту и реологического параметра. В случае малой амплитуды синусоидальных неровностей получено приближенное аналитическое выражение для формы свободной поверхности, которое удовлетворительно совпадает с численными расчетами. Показано, при достаточно коротковолновых неровностях свободная поверхность пленки будет близка к плоской. Значение волнового числа при котором происходит выравнивание свободной поверхности тем меньше, чем больше значение параметра 8.

Неньютоновские свойства сильнее проявляются при больших значениях 5, причем амплитуда свободной поверхности монотонно возрастает с ростом п.

В разделе 3.4 рассмотрены нелинейные волны в пленке ньютоновской жидкости над поверхностью с синусоидальным рельефом. Обнаружено, что при малой амплитуде неровностей профиль волн близок к профилю волны на гладкой стенке, однако наблюдаются периодические изменения со временем. Период этих изменений совпадает со временем,

Рис. 3. Профили нелинейных волн на гладкой стенке (а) и на стенке с рельефом Но = 0.1 вш ах (б).

за которое волна проходит один пространственный период. Они тем существеннее, чем больше амплитуда неровностей. При определенном значении амплитуды (около 0.1 толщины невозмущенной пленки) устанавливается другой режим течения, при котором форма свободной поверхности мало меняется со временем, однако сильно отличается от стационарного решения (рис. 3). Наличие такого рода решений качественно объясняет сильное увеличение критического числа Рейнольдса над неровной поверхностью, которое было зафиксировано в ряде экспериментов.

В Заключении приведены основные результаты и выводы:

• Изучено стационарное течение пленки вязкой жидкости по криволинейной вращающейся поверхности. Найдена форма поверхности, по которой пленка растекается, сохраняя постоянную толщину. Определен набор безразмерных параметров, управляющих течением. Найдены значения параметров, при которых отклонение поверхности от плоскости приводит к стабилизации течения. Проиллюстрирована эволюция нелинейных волн.

• Поставлена задача о линейной устойчивости плоскопараллельного течения произвольной обобщенно - ньютоновской жидкости. Решена спектральная задача неустойчивости течения пленки жидкости по вертикальной плоскости для степенной жидкости и модели Эй-ринга. Получено, что для псевдопластических жидкостей область волновых чисел, соответствующих растущим возмущениям, шире, чем для дилатантных. С другой стороны, обнаружен эффект стабилизации пленки степенной жидкости при малых значениях показателя вязкости.

• Выведена система эволюционных уравнений для интегральных характеристик, описывающая развитие нелинейных волн в пленке

обобщенно - ньютоновской жидкости. Показано, что при слабом проявлении неньютоновских свойств степенная модель вязкости и модель Эйринга дают близкие результаты. Изучено влияние неньютоновских свойств среды на характеристики нелинейных волн.

• Исследовано течение пленки неньютоновской жидкости по плоскости с микрорельефом. Изучено влияние рельефа на стационарное течение и нелинейные волны. Обнаружено, что наличие рельефа может привести к возникновению слабо меняющегося со временем течения, которое существенно отличающется от стационарного с плоской границей раздела.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Могилевский Е.И., Шкадов В.Я. Влияние рельефа подложки на течение пленки неньютоновой жидкости по наклонной плоскости// Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. №3. С. 49 — 56.

2. Могилевский Е.И., Шкадов В.Я. Течения тонких пленок вязкой жидкости по криволинейным вращающимся поверхностям// Изв. РАН. МЖГ. 2009. №2. С. 18 - 32.

3. E.I. Mogilevskiy, V.Ya. Shkadov Nonlinear Waves in Liquid Films on a Spinning Disk// XXXIV Summer School- Conference "Advanced Problems in Mechanics". Book of Abstracts. SPb: IPME RAS. 2005. P. 63.

4. Могилевский Е.И., Шкадов В.Я. Пленки вязкой жидкости на вращающихся профилированных поверхностях// Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция Механика. Тезисы докладов 2006. С. 116 - 117.

5. Могилевский Е.И., Шкадов В.Я. Механизмы отбора волн на профилированных удерживающих поверхностях// IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Тезисы докладов. Т.2 , Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского. 2006. С. 135.

6. Могилевский Е.И. Волны в пленке жидкости со сложной реологией// Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция Механика. Тезисы докладов 2007. С. 158.

7. Могилевский Е.И., Шкадов В.Я. Течение тонкой пленки вязкой жидкости по плоскости с микрорельефом// XV школа - семинар "Современные проблемы аэрогидродинамики", МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. С. 79.

8. Могилевский Е.И. Спектральная задача неустойчивости пленок обобщенно - ньютоновских жидкостей// Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция Механика. Тезисы докладов. 2008. С. 130 — 131.

9. Могилевский Е.И., Шкадов В.Я. Волны в пленке обобщенно - ньютоновской жидкости// III Всероссийская конференция "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент, приложения". Тезисы докладов. Новосибирск, 2008. С. 75 — 76.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имени М.В.Ломоносова

Подписано в печать /3,0 /. 09 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /.5 Тираж /Об экз. Заказ О/

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Течение в неоднородном поле массовых сил

1.1. Постановка задачи.

1.2. Стационарное течение

1.3. Анализ линейной устойчивости течения к малым возмущениям

1.4. Структура нелинейных волн.

Глава 2. Волны в реологически сложных жидкостях.

2.1. Постановка задачи. Стационарное течение.

2.2. Анализ линейной устойчивости

2.3. Эволюционная система уравнений для обобщенно - ньютоновской жидкости.

2.4. Нелинейные режимы течения пленки обобщенно - ньютоновской жидкости.

2.5. Анализ линейной устойчивости течения жидкости Шведова -Бингама

Глава 3. Течение пленки по плоскости с микрорельефом

3.1. Постановка задачи.

3.2. Течение по плоскости с локализованной неровностью.

3.3. Стационарное течение по периодическому рельефу

3.4. Нелинейные волновые режимы течения над синусоидальным дном.

Актуальность работы. Пленочные течения жидкости широко применяются в различных технологиях, например, при организации процессов испарения, конденсации, тепло- и массообмена. В таких случаях, как правило, жидкость течет по твердой поверхности под действием массовой силы, например, стекает по стенке под действием силы тяжести. Многочисленные эксперименты показали, что при этом свободная поверхность пленки редко оказывается плоской: обычно она покрыта теми или иными волновыми структурами. Наличие таких волн может сказываться на проводимых технических процессах как положительно (приводить к интенсификации массообмена), так и отрицательно (создавать области локального перегрева при использовании пленки как хладагента). С этой точки зрения представляется важным построение математических моделей нелинейной волновой динамики жидких пленок, а также разработка механизмов управления режимами пленочного течения с помощью создания неоднородного поля массовой силы, использования реологически сложных жидкостей или внесения внешних возмущений через твердую поверхность.

Цель диссертационной работы — изучение возможности управления параметрами течения жидкой пленки с помощью внешних воздействий. Для достижения указанной цели решались следующие задачи:

1. Изучить стационарное течение пленки вязкой жидкости по криволинейной вращающейся поверхности, выяснить влияние формы твердой поверхности на характеристики стационарного течения, развитие неустойчивости в линейной постановке и на эволюцию структуры нелинейных волн.

2. Выяснить влияние реологических свойств среды на неустойчивость стационарного отекания пленки неныотоновской жидкости по вертикальной плоскости. Исследовать зависимость параметров волновых режимов течения от выбранной реологической модели.

3. Исследовать стекание пленки по поверхности с микрорельефом, проследить влияние структуры твердой поверхности на стационарное течение и характеристики нелинейных волн.

Научная новизна работы. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.

Впервые изучена эволюция структуры нелинейных волн на криволинейных вращающихся поверхностях. Определены формы твердых поверхностей, на которых растекающаяся под действием центробежных сил пленка имеет постоянную толщину; найдены значения безразмерных управляющих параметров, при которых течение этой пленки наиболее устойчиво.

Выведена нелинейная система уравнений, описывающая течение пленки конечной толщины произвольной обобщенно - ньютоновской жидкости. Впервые исследовано влияние реологической модели на параметры волн.

Обнаружены качественно различные типы волн в пленке неньютоновской жидкости, стекающей по наклонной плоскости с микрорельефом. Получено объяснение стабилизации течения при конечной величине неровностей.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы обоснованы. Достоверность результатов диссертации обусловлена точностью численных и аналитических методов, применявшихся при постановке и расчете соответствующих задач, и совпадением результатов с опубликованными в ранее изученных частных случаях. Полученные результаты качественно и количественно согласуются с опубликованными в литературе экспериментальными данными.

Практическая ценность работы определяется возможностью использования исследуемых в работе механизмов управления течением пленки. Выводы о способах стабилизации потока и интенсификации волнообразования, сделанные в работе, могут быть использованы при проектировании технологических устройств, использующих пленочные течения, и при планировании экспериментов.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• Семинар кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством акад. Г.Г. Черного, 2007, 2008 г.

• IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, г. Нижний Новгород, 2006 г.

• XXXIV Международная летняя школа - семинар "Advanced problems in mechanics", г. Санкт-Петербург, 2006 г.

• Научная конференция "Ломоносовские чтения" МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006 г. — 2008 г.

• XV школа - семинар "Современные проблемы гидроаэромеханики", г. Сочи, 2007 г.

• III Всероссийская конференция "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент, приложения", г. Бийск, 2008 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в девяти печатных работах, две из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и списка литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации — 116 страниц.

Основные результаты, представленные в этой главе, опубликованы в работах [20, 21].

Заключение

В настоящей работе получены следующие основные результаты:

• Изучено стационарное течение пленки вязкой жидкости по криволинейной вращающейся поверхности. Найдена форма поверхности, по которой пленка растекается, сохраняя постоянную толщину. Определен набор безразмерных параметров, управляющих течением. Найдены значения параметров, при которых отклонение поверхности от плоскости приводит к стабилизации течения. Проиллюстрирована эволюция нелинейных волн.

• Поставлена задача о линейной устойчивости плоскопараллельного течения произвольной обобщенно - ньютоновской жидкости. Решена спектральная задача неустойчивости течения пленки жидкости по вертикальной плоскости для степенной жидкости и модели Эйринга. Получено, что для псевдопластических жидкостей область волновых чисел, соответствующих растущим возмущениям, шире, чем для дилатантных. С другой стороны, обнаружен эффект стабилизации пленки степенной жидкости при малых значениях показателя вязкости.

• Выведена система эволюционных уравнений для интегральных характеристик, описывающая развитие нелинейных волн в пленке обобщенно -ньютоновской жидкости. Показано, что при слабом проявлении неньютоновских свойств степенная модель вязкости и модель Эйринга дают близкие результаты. Изучено влияние неньютоновских свойств среды на характеристики нелинейных волн.

• Исследовано течение пленки неныотоновской жидкости по плоскости с микрорельефом. Изучено влияние рельефа на стационарное течение и нелинейные волны. Обнаружено, что наличие рельефа может привести к возникновению слабо меняющегося со временем течения, которое существенно отличающется от стационарного с плоской границей раздела.

1. Алексеенко C.B., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Волновое течение пленок жидкости. Наука: Сибирское отделение 1992 255с.

2. Бунов A.B., Демехпн Е.А., Шкадов В.Я. О неединственности нелинейных волновых решений в вязком слое// ПММ. 1984. Т. 48. №4. С. 691 696.

3. ByFioB A.B., Демехин Е.А., Шкадов В.Я. Бифуркации уединенных волн в стекающем слое жидкости// Вестник МГУ. Математика, механика, 1986. №2. С. 73 78.

4. Буря А.Г., Шкадов В.Я. Устойчивость пленки жидкости, стекающей по колеблющейся наклонной поверхности// Изв. РАН. МЖГ. 2001. А"°5. С. 3 13.

5. Вачагин К.Д., Зиннатулип Н.Х., Тябин Н.В. Пленочное течение неньютоновской жидкости по вращающимся поверхностям //Инж.-физ.ж. 1965. Т. 9. №2. С. 187 195.

6. Веларде М.Г., Шкадов В.Я., Шкадова В.П. Влияние поверхностно-активного вещества на неустойчивость стекающей пленки жидкости// Изв. РАН. МЖГ. 2000. №4. С. 56 67.

7. Демехин Е.А. Ветвление решения задачи о стационарных бегущих волнах в вязком слое жидкости на наклонной плоскости// Изв. АН СССР, МЖГ. 1983. №5. С. 36 44.

8. Демехин Е.А., Демехин И.А., Шкадов В.Я. Солитоны в стекающих слоях вязкой жидкости// Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. №4. С. 9 16.

9. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. К теории солитонов в системах с диссипацией// Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. №3. С. 91 97.

10. Заметалин B.B. Устойчивость ламинарного пограничного слоя неьюто-новской степенной жидкости // ПМТФ. 1978. Т. 1. №1. С. 101-106

11. Калпткин H.H. Численные методы, М., Наука, 1978, 512 с.

12. Капица П.Л. Волновое течение тонких слоев жидкости. //Журн. экспе-рим. и теор. физ. 1948 . т. 18. №1. С. 3 28

13. Капица П.Л., Капица С.П. Волновые течения тонких слоев жидкости. //Журн. эксперим. и теор. физ. 1949 . т. 19. №2, С. 105 120

14. Могилевский Е.И., Шкадов В.Я. Течения тонких пленок вязкой жидкости по криволинейным вращающимся поверхностям // Изв. РАН. МЖГ. 2009. Ш. С. 18 32.

15. Могилевский Е.И., Шкадов В.Я. Пленки вязкой жидкости на вращающихся профилированных поверхностях // Научная конференция Ломоносовские чтения. Секция Механика. Тезисы докладов 2006. С. 116-117

16. Могилевский ЕМ. Волны в пленке жидкости со сложной реологией.// Научная конференция Ломоносовские чтения. Секция Механика. Тезисы докладов. 2007. С. 158.

17. Могилевский Е.И. Спектральная задача неустойчивости пленок обобщенно ньютоновских жидкостей// Научная конференция Ломоносовские чтения. Секция Механика. Тезисы докладов. 2008. С. 130 131

18. Могилевский EM., Шкадов В.Я. Волны в пленке обобщенно ньютоновской жидкости // III Всероссийска. конференция "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент, приложения". Тезисы докладов. Новосибирск, 2008. С. 75 76

19. Могилевский Е.И., Шкадов В. Я. Влияние рельефа подложки на течение пленки неньютоновой жидкости по наклонной плоскости // Вестн. МГУ Математика, механика. 2007. №3. С. 49 — 56.

20. Могилевский Е.И., Шкадов В. Я. Течение тонкой пленки вязкой жидкости по плоскости с микрорельефом. // XV школа семинар "Современные проблемы аэрогидродинамики", МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. С. 79

21. Просвиров А.Э., Рябчук Г.В.Течение вязкой несжимаемой жидкости по поверхности вращающегося диска // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №6. С. 39 — 43.

22. Си сое в V.M., Тальдрик А.Ф., Шкадов В.Я. Течение пленки вязкой жидкости по поверхности вращающегося диска // Инж.-физ.ж. 1986. Т. 51. №4 С. 571 575.

23. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. Устойчивость течения пленки вязкой жидкости по поверхности вращающегося диска // Инж.-физ.ж. 1987. Т. 52. №6 С. 936 940.

24. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. Спиральные волны в пленке жидкости на вращающемся диске // Инж.-физ.ж. 1990. Т. 58. №4 С. 573 577.

25. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. Развитие доминирующих волн из малых возмущений в стекающих пленках вязкой жидкости// Изв. РАН. МЖГ. 1997. №7. С. 30 41

26. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. О двупараметрическом многообразии волновых решений уравнения стекающей пленки вязкой жидкости // Доклады РАН. 1999. Т. 367. №1. С. 56-61

27. Сподарева Л.А. Устойчивость течений неньютоновской жидкости// ПМТФ. 2000. Т. 41. №3. С. 75-80

28. Трифонов Ю.Я. Расчет волнового стекания пленок в рамках уравнений Навье- Стокса // Доклады РАН. 2007. Т. 416. №2. с. 195 199.

29. Трифонов Ю.Я. Расчет устойчивости волнового стекания пленок с использованием уравнений Навье — Стокса //ПМТФ. 2008. Т. 49, №2. С. 98-112

30. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в двухслойных пленках. // Вестник МГУ. Математика, механика. 2004. №2. С. 51 57

31. Цвелодуб О.Ю. Волновые режимы на пленке обобщенной ньютоновской жидкости, стекающей по вертикальной плоскости // Изв. РАН. МЖГ. 2007. №4. С. 3 15.

32. Цвелодуб О.Ю., Шушеначев В.Ю. Волновые режимы на пленке нелинейно-вязкой жидкости, стекающей по вертикальной плоскости // ПМТФ. 2005. №3. С. 73 84.

33. Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. №1. С. 43-51

34. Шкадов В.Я. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. №2. С. 20-25

35. Шкадов В, Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости // Научные труды ин-та механики МГУ им. М.В. Ломоносова. Вып. 25. 1973. 192 с.

36. Шкадов В.Я. Вопросы нелинейной гидродинамической устойчивости слоев вязкой жидкости, капиллярных струй и внутренних течений. Дисс. докт. физ.-мат наук. Механико-математический факультет МГУ, Москва, 1973

37. Шкадов В.Я. Уединенные волны в соле вязкой жидкости. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. №1. С. 63-66

38. Шкадов В.Я. К теории нелинйных волн в пленке жидкости на вращающемся диске // Вестник МГУ. Математика, механика. 2005. №1 С. 59 — 65.

39. Шкадов В.Я., Демехин Е.А. Волновые движения пленок жидкости на вертикальной поверхности (теория для истолкования экспериментов)// Успехи механики. 2006. Т.4. С. 3 65.

40. Шкадов В.Я., Сисоев Г.М. К теории одиночных волн в стекающем слое вязкой жидкости // Доклады РАН. 2001. Т. 380. №6. С. 774 778.

41. Шульман З.П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей. М.: Энергия. 1975. 352 с

42. Шульман З.П., Байков В.И. Реодинамика и тепломассообмен в пленочных течениях под ред. Шашкова А.Г. Минск: Наука и техника. 1979. 296с.

43. K. Argyriadi, M. Vlachogiannis, V. Bontozoglou Experimental study of inclined film flow along periodic corrugations: The effect of wall steepness//Physics of Fluids. Vol. 18. 2006. P. 012102-1 012102 - 15.

44. Benjamin T.B. Wave formation in laminar flow down an inclined plane // Journal of Fluid Mech. 1957. Vol. 2. P. 554 574.

45. Benney B.J. Long waves in liquid films. // Journal of Math. Phys. 1966. Vol. 45. P. 150 155

46. Bird R.B., Armstrong R.C., Hassager O. Dynamics of polymeric liquids. Vol. 1. Fluid mechanics. New York: John Willey & Sons,1987 649 p.

47. Blyth M.G., Pozrikidis C. Film flow down an inclined plane over a three-dimensoinal obstacle. //Physics of Fluids. 2006. Vol. 18. № 5. P.

48. Chang H.-C. Wave evolution on a falling film // Annu. Rev. Fluid Mech.1994. Vol. 26. P. 103-136

49. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. Interaction dynamics of solitary waves on a falling film //J. Fluid Mech. 1995. vol. 294. P. 123 154.

50. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kopelevich D.I. Stability of a solitary pulse against wave packet disturbance in an active medium // Phys. Rev. Let.1995. Vol. 75. P. 1747 1750.

51. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N. A simulation of noise-driven wave dynamics on a falling film// AIChE J. 1996. Vol. 42. №.6. P. 15531568.

52. Chang H.-C., Demekhin E.A., Kalaidin E.N., Ye Y. Coarsening dynamics of falling-film solitary waves.// Phys. Rev. E. 1996. Vol. 54. P. 1467 -1471

53. Chang H.-C., Demekhin E.A. Complex wave dynamics 011 thin films. Elsevier. 2002. 402 p.

54. Charwat A.F., Kelly R.E., Gazley C. The flow and stability of thin liquid films on a rotating disk// J. Fluid Mech. 1972. vol. 53 P. 227 255.

55. Dandapat B. S., Gupta A. S. Long waves on a layer of a visco-elastic fluid down an inclined plane // Rheol. Acta. 1978. Vol. 17. P. 492 499.

56. Dandapat B.S., Mukhopadhyay A. Waves on a film of power-law fluid flowing down an inclined plane at moderate Reynolds number// Fluid Dynamics Research. 2001. Vol. 29. №3. P. 199-220

57. L. A. Davalos-Orozco, F. H. Busse Instability of a thin film flowing on a rotating horizontal or inclined plane // Physical Review E. 2002. Vol. 65. P. 026312-1 026312-10.

58. Deere M.M.J., Baret J.-C. Gravity-driven flows of viscous liquids over two-dimensional topographies //Journal of Fluid Mechanics. 2003. Vol. 487. P. 147 166

59. Demekhin Y.A., Tokarev, G.Y., Shkadov, V.Y Hierarchy of bifurcations of space-periodic structures in a nonlinear model of active dissipative media// Physica D. 1991. Vol. 52. №2. P. 338 -361

60. Espig H., Hoyle R. Waves in a thin liquid layer on a rotating disk// J. Fluid. Mech. 1965. Vol. 22. №.4 P. 671 677.

61. Kalliadasis S., Bielarz C., Homsy G.M. Steady free-surface thin film flows over topography. // Physics of Fluids. 2000. Vol. 12. P. 1889 1898.

62. Kalliadasis S., Homsy G.M. Stability of free-surface thin film flows over topography. // Journal of Fluid Mechanics. 2001. Vol. 448. P. 387 410.

63. Kalliadasis S., Bielarz C. Time-dependent free-surface thin film flows over topography. // Physics of Fluids. 2003. Vol. 15. P. 2512 2524.

64. Matar O.K., Sisoev G.M., Lawrence C.J. Evolution scales for wave regimes in liquid film flow over a spinning disk //Phys. of Fluids. 2004. Vol. 16. №5. P. 1532 1545

65. O.K. Matar, G.M. Sisoev, C.J. Lawrence Thin film flow over spinning discs: The effect of surface topography and flow rate modulation // Chemical Engineering Science. 2008. Vol 63. Issue 8. P. 2225 -2232.

66. T. G. Myers Application of non-Newtonian models to thin film flow//Physical Review E. 2005. Vol. 72. P. 066302-1 066302-11

67. S. Miladinova, G. Lebon, E. Toshev Thin-film flow of a power-law liquid falling down an inclined plane// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2004. Vol. 122. P. 69-78.

68. E.I. Mogilevskiy, V.Ya. Shkadov Nonlinear Waves in Liquid Films on a Spinning Disk// XXXIV Summer School- Conference "Advanced Problems in Mechanics". Book of Abstracts. SPb: IPME RAS. 2005. P.63.

69. C. Pozrikidis The flow of a liquid film along a periodic wall//Journal of Fluid Mech. 1988. Vol.188. P. 275 300.

70. Shkadov V.Y. Hydrodynamics of slopped falling films. In: M. Velarde, R.K. Zeytounian, editors. Interfacial phenomena and the Marangoni effect. Springer-Verlag. 2002. P. 191 224.

71. Shkadov V. Ya, Sisoev G. M. Numerical bifurcation analysis of the travelling waves on a falling liquid film // Computers and Fluids, 34, Issue 2, 2005, p. 151-168.

72. Sisoev G.M., Dandapat B. S., Matveev K.S., Mukhopadhyay A. Bifurcation analysis of the travelling waves on a falling power-law fluid film // J. Non-Newt. Fluid Mech. 2007. Vol. 141. P. 128 137.

73. Sisoev G.M., Matar O.K., Lawrence C.J. Axisymmetric wave regimes in viscous liquid film flow over a spinnng disk //J. Fluid Mech. 2003. Vol. 495. P. 385 411.

74. D. Tseluiko, M. G. Blyth. D. T. Papageorgiou, J.-M. Vanden-Broeck Electrified viscous thin film flow over topography.// Journal of Fluid Mechanics. 2008. Vol. 597. P. 449-475.

75. Trifonov Yu. Ya. Viscous liquid film fows over a periodic surface. // International Journal of Multiphase Flow. 1998. Vol. 24. P. 1139-1161.

76. Trifonov Yu. Ya. Stability of a viscous liquid film flowing down a periodic surface // International Journal of Multiphase Flow. 2007.

77. Valluri P., Matar O.K., Hewitt G.F., Mendes M.A. Thin film flow over structured packings at moderate Reynolds numbers // Chemical Engineering Science. 2005. Vol. 60 P. 1965 1975.

78. Vlachogiannis M., Bontozoglou V. Experiments on laminar film flow along a periodic wall// J. Fluid Mech. 2002. Vol. 457. P. 133-156.

79. Wang C.Y. Liquid film flowing slowly down a wavy incline //AIChE Journal. 1981. Vol. 27. Pt 2. P. 207-212.

80. Wang C.Y. Thin film flowing down a curved surface. // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 1984. Vol. 35. P. 532-544.

81. Wierschem A., Lepski C., Aksel N. Effect of long undulated bottoms on thin gravity-driven films. //Acta Mechanica. 2005. Vol. 179. P. 41-66.

82. Wierschem A., Scholle M., Aksel N. Comparison of different theoretical approaches to experiments on film flow down an inclined wavy channel //Experiments in Fluids. 2002. Vol. 33. P. 429-442.

83. Woods D. R., Lin S.-P. Instabilities of a liquid film flow over a vibrating inclined plane// J. Fluid Mech. 1995. Vol. 294. P. 391.

84. Yi W., Satterwall F.On the instabilities of vertical falling liquid in the presence of surface-active solute// J. Fluid. Mech., 1994. Vol. 278. P. 297 — 323.

85. Yih C.S. Stability of liquid flow down an inclined plane // Phys. Fluids, Vol. 6. №3. P. 321 334

86. Yih C.S. Stability of noil- Newtonian liquid film flowing down an inclined plane // Phys. of Fluids. 1965. Vol. 8. №7. P. 1265 1262.