Исследование вопроса о корректности задач дифракции в случае угловых областей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Мокеева Наталья Валентиновна

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСА О КОРРЕКТНОСТИ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ В СЛУЧАЕ УГЛОВЫХ ОБЛАСТЕЙ

01 01 03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2008

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики Физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

доктор физико-математических наук, профессор Бабич Василий Михайлович ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физико-математических наук, профессор Филиновский Алексей Владиславович, доктор физико-математических наук, профессор Лукьянов Валерий Дмитриевич ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится " 2008 года в

часов на заседании Диссертационного совета Д 002 202 01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им В А Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб р Фонтанки, д.27, к 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им В А Стеклова РАН

Автореферат разослан и/_3_ " уССбСр/¿^и--2008 года

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

Ученый секретарь

диссертационого совета, доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена доказательству корректности скалярной задачи о падении плоской волны на прозрачный клин (скорости распространения волн внутри клина и вне его разные) Построения работы тесно связаны с идеями монографии [1] французских математиков Ж Лебо и П Круазиля

Начиная с 90-х годов XX в заметно возрос интерес к математическому исследованию задачи о прозрачном клине Однако, несмотря на достаточно большое количество работ по данной тематике, корректность соответствующей задачи в общей постановке не была доказана С Бернтсен и К Берлюнг в работе [2] рассматривали задачу о косом падении плоской волны на диэлектрический клин Для того, чтобы доказать корректность данной задачи они ввели ряд не вызванных существом дела ограничений в условия задачи В работе [3] рассматривался случай, когда скорости внутри клина и вне его одинаковые Много лет Б В.Будаев занимался задачами об упругом и прозрачном клине(см [4]) Однако, в его работах на первое место выходила вычислительная сторона задачи

Новый подход к решению задач рассеяния в угловых областях, т.н метод спектральных функций, разработали в начале 90-х годов Ж Лебо и П Круазиль Они рассмотрели задачу дифракции плоской волны, распространяющейся в жидкости на погруженном в нее упругом клине Постановка задачи в

[1] нетрадиционна, волна называется "уходящей" (outgoing), если ее можно представить в виде суммы специального вида потенциалов простого слоя с плотностями, принадлежащими достаточно сложно определяемому классу обобщенных функций Сингулярности этих плотностей соответствуют отраженным, преломленным и головным волнам

Задача об упругом клине при условии отсутствия нормальных напряжений на его сторонах была рассмотрена В В Камоцким (см [5]) Он впервые четко сформулировал для этой задачи условия излучения и доказал корректность соответствующей задачи Построения В В Камоцкого тесно связаны с методикой монографии [1] Таким образом, тематика диссертации актуальна

Цель работы

Целью работы является доказательство корректности задачи о падении плоской волны на прозрачный клин с помощью метода спектральных функций

Основные результаты работы

• В работе излагается метод спектральных функций в применении к задаче о прозрачном клине Пусть прозрачный клин имеет угол раствора (р, где (р £ (0, 2тг) Обозначим клин через Q — {(х, у) = (гcos©, rsm©),0 < © < ср} Пусть Qext -внешняя область по отношению к П. Стороны угла обозначим через , Г2 Будем считать, что волновое поле в П удовлетво-

ряет уравнению Гельмгольца с волновым числом к\, а в £1ехл уравнению Гельмгольца с волновым числом к2- Мы предполагаем, что зависимость от времени гармоническая и множитель еш1 будем опускать Пусть плоская волна падает на клин Г2 Падающая волна такая, что вектор ее скорости, если его "кончик" совместить с вершиной клина, находится целиком в области Пехь В качестве граничных условий рассмотрим условия сопряжения, т е условия отсутствия скачка решения и его нормальной производной на границе Будем искать решение задачи, предполагая что полное поле вне клина есть сумма падающей плоской волны и рассеянного поля Ключевой момент этого метода состоит в представлении решения в виде суммы "уходящей" и падающей волн Уходящая волна имеет вид потенциала "простого слоя", плотности которого принадлежат специальному классу

• В работе доказана теорема об изоморфизме - центральная теорема для этого метода В том варианте теоремы об изоморфизме, который требуется в наших рассмотрениях, основные рассуждения во многом аналогичны рассуждениям в [1,5] (хотя и не во всем например, нам приходится вводить пространство #++, отсутствующее в указанных работах) Задача сводится к некоторым интегральным уравнениям, разрешимость которых удается доказать с помощью теоремы об изоморфизме

• В работе сформулирован и обоснован принцип предельного поглощения для задачи о прозрачном клине

Методика используемая в данной работе близка к методике Лебо и Круазиля (см [1]) и дает возможность доказать необходимые результаты

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми

Теоретическая и практическая ценность работы

Работа носит теоретический характер Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования задач рассеяния в угловых областях и для численного их решения

Апробация работы и публикации

Результаты работы докладывались на семинаре по теории дифракции в Санкт-Петербургском отделении Математического Института РАН им В А Стеклова, на семинаре по вычислительной и теоретической акустике научного совета по акустике РАН в Институте проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, а также на международной конференции "Days on Diffraction 2007", Санкт-Петербург Основные результаты диссертации изложены в трех научных статьях [6,7,8]

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и трех глав и изложена на 70 страницах В первой главе представлены основные обозна-

чения и сформулированы полученные результаты Во второй главе излагается метод спектральных функций в применении к задаче о прозрачном клине и доказывается теорема об изоморфизме В третьей главе доказана корректность задачи о падении плоской волны на прозрачный клин в постановке, основанной на принципе предельного поглощения Список литературы включает 14 библиографических ссылок Работа содержит 14 рисунков

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В М Бабичу за постановку задачи, всестороннюю поддержку, помощь и содействие в подготовке этой работы Автор благодарен В В.Камоцкому за ценные замечания

Краткое содержание работы

Первая глава состоит из четырех параграфов В первом параграфе представлена постановка задачи и основные обозначения Пусть волновое поле внутри клина удовлетворяет уравнению (Л + к\)и = 0, а вне клина удовлетворяет уравнению (А+к^й = 0 Будем искать решение задачи, предполагая что полное поле вне клина есть сумма падающей плоской волны и рассеянного поля- й = итс + К Падающая волна имеет вид

Тогда (ь, К) удовлетворяет следующей системе уравнений /

(Д + к\)ь = О в П,

(А + к\)к = 0 в П^й,

(2)

V - К = «тс на Г = Г1 и Гг,

Во втором параграфе сформулирована гипотеза невырожденности- пусть плоская волна падает таким образом, что ее фронт не ортогонален сторонам клина и кроме того в процессе отражения и преломления не возникает волн с фронтом, ортогональным какой-нибудь из сторон клина (см [1], гипотеза Н) Мы будем исследовать задачу (2) методом спектральных функций в предположении выполнения гипотезы невырожденности Определим класс А, которому будут принадлежать плотности потенциалов простого слоя

Определение 1 Распределение д <£ Л если д € 3'(11), яиррд с П+ и преобразование Фурье д(£) удовлетворяет следующим требованиям

\д(регв)\ <1р < оо, (3)

Со

д голоморфна в окрестности точек к\, кч

Введем декартовы системы координат (х,у) и (х',у'), связанные со сторонами угла Плотности потенциалов простого слоя «1 (х), «2(ж'),,З1 (ж), в-^х') принадлежат классу Л и равны нулю при х < 0, х' < 0 Будем искать уходящее решение задачи

(4)

(2), те решение, допускающее представление в виде суммы двух потенциалов простого слоя, соответствующих сторонам угла

V—V\+ щ, h = h\ + h2

Искомые потенциалы определены в пространстве R2 и должны удовлетворять следующей системе

(Л + k\)vi = -ai (х)51{у), (Д + А-а2{х>)82{у>),

(д + Афл^-Афад.

(A + Ai^-ftOOW)

Обобщенные функции 5\,52 заданы на финитных бесконечно дифференцируемых функциях равенствами

роо роо

<дъф>= / ф{х,0)<1х, < S2, ф >= / ф(х',0)<Ь/ (6)

J о J о

Можно дать корректное определение уходящего решения

Определение 2 Уходящим решением задачи (2) называется решение, допускающее представление в виде суммы потенциалов простого слоя

(5)

V = Vi + V2, h= hi + h2,

где

v, = — lime_>o v\

а353,

hn

- lim^0(A + Afe"2»)"1 hmE_0 h' = - lim£_0(A + Ще^У1^,

(7)

Здесь сходимость понимается в смысле обобщенных функ-ций(в Я') а7. ¡З3 это плотности из класса Л, сосредоточенные на сторонах клина

В третьем параграфе обсуждаются свойства тн оператора сдвига на комплексной плоскости, позволяющего описать всю совокупность отраженных и преломленных волн, возникающих в рассматриваемой задаче

В четвертом параграфе представлены основные результаты дисертации

Во второй главе излагается метод спектральных функций в применении к задаче о прозрачном клине В первом параграфе получены интегральные представления уходящих решений Эти интегральные представления содержат преобразования Фурье плотностей потенциалов а3,0},з = 1,2 Новые неизвестные нашей задачи Е = (Еь Е2), где Ег = {а3,(33)Т,з = 1,2 называются спектральными функциями При подстановке интегральных представлений в краевые условия получается система интегральных уравнений для И3, которую мы не приводим из-за ее исключительной громоздкости.

Во втором параграфе доказана эквивалентность рассматриваемой задачи дифракции данной системе интегральных уравнений и однозначная ее разрешимость Определим следующие классы функций

Определение 3 Н+ - пространство голоморфных в С_ =

{z Im z < 0} функций h, тч

sup I \h{x — ic)\2dx < oo (9)

c>0 JR

Пространство H+ это классический класс Харди

Определение 4 Н++ - пространство голоморфных в С = {z Im z < 0} функций f, представимых в следующем виде const

f = g Ч--, где Re а > 0, а — фиксировано (10)

iz — а

и выполняется оценка

sup / (1 4- x2)\g(x — ic)\2dx < oo (11)

oo JR

Функции / € #++ - это образы по Фурье функций из //1(R+), продолженных нулем на отрицательную часть оси х-ов

Определение 5 Определим далее (Н++)2 как пространство функций соответствующих Н++ на каждой стороне клина и константы а и const, фигурирующие в определении Н++, для обеих сторон одни и те же

Основной результат параграфа три гласит, что соответствующий векторный интегральный оператор является изоморфизмом пространства (Я+)2ф(#++)2 на себя (теорема "об изоморфизме"). Следующий шаг заключается в выделении из спектральной функции сингулярной части, которая соответствует отраженным и преломленным плоским волнам Остаток будет удовлетворять уравнению к которому можно будет применять теорему об изоморфизме

В параграфе четыре представлена процедура выделения сингулярностей из Т,} и показано, что спектральная функция соответствующая уходящему решению имеет вид (£) = где у3 (£) есть сумма слагаемых соответствующих отраженным плоским волнам вида где sk3 & С2 Точки z^ получаются из точек z\ — к-2 cos(0m), = ¿2 cos(cp + ©ш) с помощью оператора сдвига, описанного в третьем параграфе первой главы Функция Х}(£) аналитична в С\(—оо, —к^] при £ ф С\ где С3 С [—ki,— А2] Множества С3 - наборы точек ветвления, соответствующие головным волнам

В пятом параграфе описано поведение рассеянного поля при больших значения fer Мы сводим задачу нахождения асимптотики рассеянного поля (существенно используя разложение = У+ к рассмотрению интеграла, к которому применим метод перевала

В Третьей главе задача рассеяния плоской волны на прозрачном клине рассмотрена в постановке, основанной на принципе предельного поглощения Принцип предельного поглощения состоит в том, что в среде вводится "поглощение" - что математически сводится к замене к\ и /с2 на kie~ls' и к^е~г6', г' > О Будем искать уходящее решение задачи

<

(Д + Ще-^'у' = 0 в П, (А + = 0 в ПехЬ,

v - h = итс на Г = Fi U Г2,

(12)

^ на Г = 1^2,

где итс = егЪ2е~" Уходящее решение (т/, /г®')

"содержит" как падающую, так и отраженные и преломленные волны Если из Vе1 и НЕ' вычесть набор этих волн, то остаток должен стремиться к нулю на бесконечности В качестве решения задачи дифракции естественно взять предел Vе' и Н£ при е' —► 0 Существование решения удается доказать методами монографии [1]

В первом параграфе дана постановка задачи в случае экспоненциально большой на бесконечности падающей волны Определим класс Л£", которому будут принадлежать плотности потенциалов простого слоя

Определение 6 д(х) е Ле" д(х)е~е"х е А

Определение 7 Уходящим решением задачи (12) называется решение, допускающее представление в виде суммы

(13)

(14)

Vе = г;| |,

н* = ¡4 + не2,

где

= - 11тМЕ/ = - 1ипе_>е/(Д + к^е-2"1)-1^, = - 1ш1е_е/ Щ = - 1ш1е_>е/(Д + Ще-2™)-1^

где е > г' Здесь сходимость понимается в смысле В', Плотности а}, /З3 из класса А6", сосредоточены на сторонах клина Гг Здесь е" — зт е'

Для уходящих решений получены интегральные представления, содержащие образы по Фурье плотностей потенциалов

Во втором параграфе выводится система интегральных уравнений для спектральных функций и сформулировано утверждение о разложении спектральной функции

В третьем параграфе сформулирована теорема об изомор-физме(ее доказательство вполне аналогично доказательству теоремы об изоморфизме из второй главы).

В четвертом параграфе показано, что после выделения из решения преломленных и отраженных волн, оставшаяся "дифракционная" часть 'оЕтф и экспоненциально мала на бесконечности Предел vs' и ишс + hе' при е' —» 0 - это то же самое решение, которое получается в результате рассмотрений второй главы

Список литературы

1] J -Р Croisille, G Lebeau Diffraction by an immersed elastic wedge, volume 1723 of Lecture notes in mathematics Springer (1999)

[2] S Berntsen, C.Bergljung Diffraction by a dielectric wedge at skew mcndence Q.J1 Mech Appl Math (2001)54(4),549-583 Oxford University Press 2001

[3] L Knockaert, F Olyslager, D De Zutter The diaphanous wedge IEEE transactions on antennas and propagation, Vol 45, No 9, 1997

[4] Budaev В V Diffraction by Wedges Longman Scientific and Technical, Harlow, 1995

[5] Kamotski V , Lebeau G. Diffraction by an elastic wedge with

stress-free boundary existence and uniqueness Proceedings of the Royal Society A Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Lond Volume 462, Number 2065 (2006), 289 - 317

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[6] Мокеева Н В Исследование вопроса о корректности задач дифракции в случае угловых областей Записки научных семинаров ПОМИ, том 324 С -Петербург(2005), 131-147

[7] Мокеева Н В Принцип предельного поглощения в задаче о прозрачном клине Записки научных семинаров ПОМИ, том 332 С -Петербург(2006), 138-148

[8] Мокеева Н В О корректности задачи рассеяния плоской волны прозрачным клином. Вестник Санкт-Петербургского Университета, Сер 4, Вып 4(2007), 95-101

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 18.03.08 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 808/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

1 Обозначения и результаты

1.1 Постановка задачи.

1.2 Уходящие решения.

1.3 Операторы сдвига.

1.4 Обзор полученных результатов.

2 Метод спектральных функций

2.1 Интегральное представление уходящих решений.

2.2 Спектральная функция. Система интегральных уравнений для спектральных функций.

2.3 Теорема об изоморфизме. Аналитическое продолжение спектральной функции.

2.4 Разложение спектральной функции.

2.5 Асимптотика рассеянного поля.

3 Принцип предельного поглощения

3.1 Постановка задачи в случае экспоненциально большой на бесконечности падающей волны.

3.2 Система интегральных уравнений для спектральных функций.

3.3 Теорема об изоморфизме.

3.4 Асимптотика рассеянного поля.

Задача о рассеянии и преломлении волн прозрачным клином давно находится в поле зрения физиков (собственно говоря с XVII века, со времён первых опытов о преломлении света прозрачной призмой). До работы Пуанкаре, опубликованной в 1889 году, задачи об угловых областях рассматривались либо с позиции физической оптики (подход Гюйгенса-Френеля), либо с позиции преломления и отраже-ния плоских волн. Пуанкаре" первый пытался сформулировать задачу об угловых областях, как краевую задачу математической физики. В своей работе ("Theorie mathematique de la lumiere") он указал, что надо искать решение уравнения Гельмоль-ца, удовлетворяющее краевым условиям(см.[1]). Он рассматривал импедансное граничное условие и условие сопряжения. Пуанкаре суммировал некоторые частные решения и искал их физический смысл. Однако, в работах Пуанкаре нет ни четкой постановки задачи, ни её решения.

Вскоре Зоммерфельд получил решение задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на экране, с идеальными граничными условиями. Полученное им решение носит имя' "интеграл Зоммер-фельда". Кроме того, он первый' сформулировал условия излучения и предложил вариант условий в окрестности вершины угла, которые в дальнейшем получили название "условия Мейкснера". Интегральная форма условий излучения была введена Магнусом (см.[2]). В середине XX века Г.Д.Малюжинец нашел решение задачи о рассеянии акустической плоской волны на клине с импедансными граничными условиями, используя представление решения в виде интегралов Зоммерфельда.

Вопрос о точной постановке и корректности более сложных задач для угловых областей встал только в последние десятилетия. Начиная с 90-ых годов XX в. заметно возрос интерес к математическому исследованию задачи о прозрачном клине. В работе [3] рассматривается приближённое решение (так называемое приближение физической оптики) для задачи о падении плоской волны на прозрачный клин. Здесь вопрос о корректной постановке задачи не рассматривался. Berntsen и Bergljimg в работе [4] рассматривали задачу о косом падении плоской волны на диэлектрический клин и проверяли корректность данной задачи. В их работе нет полного решения задачи. Они ввели ряд ограничений, например, предположили, что плоская волна падает таким образом, что клин полностью освещён (причём, волновое число внутри клина больше, чем волновое число вне клина). Кроме того, они доказали корректность задачи не для всех положительных волновых чисел, а лишь для вещественных положительных чисел за вычетом дискретного набора чисел "неизвестности". В таких предположениях исходная задача эквивалентна некоторой системе интегральных уравнений с компактными операторами к которым они применяли теорию Фредгольма. В работе [5] рассматривался случай, когда скорости внутри клина и вне его одинаковые. В этом случае задача реша-ется(например, методом разделения переменных) и доказательство её корректности не очень сложно. Много лет Б.В.Будаев занимался задачами об упругом и прозрачном клине(см.[6]). Однако, в его работах на первое место выходила вычислительная сторона задачи.

Новый подход к решению задач рассеяния в угловых областях -с помощью т.н. метода спектральных функций - разработали в начале 90-х годов французские математики Лебо и Круазиль[7]. Они рассмотрели задачу дифракции плоской волны, распространяющейся в жидкости на погружённом в неё упругом клине. Постановка задачи в [7] нетрадиционна: волна называется "уходящей"(о1^ок^), если её можно представить в виде суммы специального вида потенциалов простого слоя с плотностями, принадлежащими достаточно сложно определяемому классу обобщенных функций. Сингулярности образов по Фурье этих плотностей соответствуют отражённым, преломлённым и головным волнам.

Задача об упругом клине при условии отсутствия нормальных напряжений на его сторонах была рассмотрена В.В.Камоцким в работе [8]. Он впервые чётко сформулировал для этой задачи условия излучения и доказал корректность соответствующей задачи. Построения В.В.Камоцкого тесно связаны с методикой монографии [7].

В настоящей работе рассматривается скалярная задача о падении плоской волны на прозрачный клин. Скорости распространения волн внутри клина и вне его разные. Наша цель доказать корректность этой задачи с помощью метода спектральных функций. Ключевой момент этого метода состоит в представлении решения в виде суммы "уходящей" и падающей волн. Уходящая волна имеет вид потенциала простого слоя, плотности которого принадлежат специальному классу. Мы докажем теорему об изоморфизме - центральную теорему для этого метода. Задача сводится к некоторым интегральным уравнениям, разрешимость которых удаётся доказать с помощью теоремы об изоморфизме.

Одна из возможных интерпретаций задачи о падении плоской волны на клин - "электромагнитная". Рассмотрим задачу дифракции плоской волны на диэлектрическом цилиндре (см.[9]). В случае Е-поляризации компонента Ez полного поля Ehe удовлетворяет уравнению Гельмгольца. Граничные условия, в скалярном случае имеют вид Ei(x,y)\s = Et(x,y)\s 1 дЕЦх~у)\ = ldEez(x,y), I Hi дп ''-> Не дп '

Таким образом, если магнитная проницаемость fii & це, электрическая составляющая полного электромагнитного поля Ег,е удовлетворяет условиям:

А + Щ,с)Еге — О < Ei(x,y)\s = Et(x,y)\s dEj(x,y) | dEt(x,y) I ^ дп \s ~ дп I5' и задача нахождения Ez идентична скалярной задаче, рассматриваемой в настоящей работе. Здесь магнитная проницаемость.

Цель настоящей работы

•распространить метод спектральных функций на задачу о прозрачном клине

•доказать корректность задачи о падении плоской волны на прозрачный клин

•сформулировать и обосновать принцип предельного поглощения

Методика используемая в данной работе близка к методике Ле-бо и Круазиля (см. [7]) и даёт возможность доказать необходимые результаты. Центральный момент заключается в доказательстве теоремы об изоморфизме. В первой главе представлены основные обозначения и формулировки полученных результатов. Во второй главе излагается метод спектральных функций в применении к задаче о прозрачном клине и доказывается теорема об изоморфизме. В третьей главе показано применение к задаче принципа предельного поглощения.

Материалы диссертации изложены в работах автора [11,13,14].

1. A.Sommerfeld Mathematical theory of diffraction (R.J.Nagem, M.Zampolli, G.Sandri translators). Progress in mathematical physics Volume 35.

2. P. Курант. Уравнения в частных производных изд-во 'Мир'. 1949г.

3. Se-Yun Kim, Jung-Woong Ra, Sang-Yung Shin. Diffraction by an Arbitrary-Angled Dielectric Wedge: Part I Physical Optics Approximation. IEEE Transactions on Antennas and Propagation (1999), vol.39, No.9, 1272-1292.

4. S.Berntsen, C.Bergljung. Diffraction by a dielectric wedge at skew incndence. Q.Jl.Mech.Appl.Math.(2001)54(4),549-583. Oxford University Press 2001.

5. L.Knockaert, F.Olyslager, D.De Zutter. The diaphanous wedge. IEEE transactions on antennas and propagation, Vol.45, No.9, 1997.

6. Budaev B.V. Diffraction by Wedges. Longman Scientific and Technical, Harlow, 1995.

7. J.-P.Croisille, G.Lebeau Diffraction by an immersed elastic wedge, volume 1723 of Lecture notes in mathematics. Springer1999).

8. Kamotski V., Lebeau G. Diffraction by an elastic wedge with stress-free boundary: existence and uniqueness. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Lond. Volume 462, Number 2065 (2006), 289 317.

9. Т.Н.Галишникова, А.С.Ильинский Численные методы в задачах дифракции. Изд-во Московского университета (1987).

10. В.М.Бабич, М.А.Лялинов, В.Э.Грикуров Метод Зоммерфельда-Малюжинца в теории дифракции. С.-Петербург (2003).

11. Мокеева Н.В. Исследование вопроса о корректности задач дифракции в случае угловых областей. Записки научных семинаров ПОМИ, том 324'. С.-Петербург(2005), 131-147.

12. Gilles Lebeau. Propagation des ondes dans les diedres. Memoires Soc.Math.Fr.Nouv.Ser.,60 (1995).

13. Мокеева Н.В. Принцип предельного поглощения в задаче о прозрачном клине. Записки научных семинаров ПОМИ, том 332. С.-Петербург(2006), 138-148.

14. Мокеева Н.В. О корректности задачи рассеяния плоской волны прозрачным клином. Вестник Санкт-Петербургского Университета, Сер.4, Вып.4(2007), 95-101.