Исследование взаимодействия пьезокерамических элементов с упругими волноводами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

□0305Вв5Э На правах рукописи

Кваша Олег Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ С УПРУГИМИ ВОЛНОВОДАМИ

01.02.04 - механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар - 2007

003056859

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Глушкова Наталья Вилениновна

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор

Ватульян Александр Ованесович

кандидат физико-математических наук, доцент

Никитин Юрий Геннадиевич ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится «11» мая 2007 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 при ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет».

Автореферат разослан « к » олрАМ- 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Евдокимов А. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время все более широкое применение получают электромеханические системы с пьезокерамическими возбудителями упругих волн, выполненными в виде гибких поверхностных накладок или внутренних прослоек волноводных структур. Примером здесь могут служить оболочечные конструкции аэрокосмических изделий, снабженные системой сенсоров, системы активного виброгашения в салоне автомобиля или в помещении, системы прецизионного позиционирования, работающие на упругих поверхностных волнах и др. К преимуществам использования пьезокерамических пластинок относятся их лёгкость, гибкость и относительная дешевизна, поэтому конструкции, снабженные системой распределенных пьезокерамических датчиков или вибровозбудителей, относят к смарт-структурам (smart structures).

При разработке смарт-материалов и проектировании соответствующих электромеханических систем большое значение имеет создание математических моделей, адекватно описывающих протекающие в них волновые процессы. Часто пьезокерамические накладки используются для наблюдения за состоянием тонкостенных элементов конструкций. Поэтому в первую очередь были изучены низкочастотные изгибные и продольные колебания, возбуждаемые ими в балках, пластинах и оболочках. Однако такие модели не работают, когда длина волны соизмерима или меньше толщины волновода, например, в пьезокерамических двигателях и системах прецизионного привода движителем являются поверхностные волны рэлеевского типа.

Другой проблемой является учёт взаимного влияния при моделировании системы полосковых возбудителей. Как правило, в инженерных расчетах используется простая суперпозиция полей, возбуждаемых каждым элементом в отдельности (сосредоточенные источники), без учёта их

взаимного влияния и распределения контактных напряжений. Такой подход даёт удовлетворительные результаты только в определенных пределах (низкие частоты), а во многих практически важных случаях приводит к значительным искажениям характеристик.

Таким образом, возникает необходимость разработки новых математических моделей, с существенно более широким диапазоном применимости, чем у традиционных инженерных подходов. В частности, необходим учёт высших мод упругого волновода и строгое описание динамического контактного взаимодействия с ним гибких деформируемых накладок.

Разработка отвечающей указанным требованиям модели для системы полосковых пьезоактуаторов на упругом слое или полупространстве и является главной целью настоящей работы. Вспомогательными, но представляющими самостоятельный интерес задачами являются:

1) формулировка и разработка эффективных методов решения возникающих при этом краевых задач динамической теории упругости;

2) реализация разработанных методов в виде пакетов программ для быстрого параметрического анализа характеристик моделируемых систем;

3) исследование применимости традиционных и разрабатываемых моделей;

4) исследование волновых (резонансных) эффектов, принципиально недоступных в рамках традиционных, упрощённых моделей;

5) построение эффективных алгоритмов выбора управляющих параметров группы пьезоэлементов, реализующих требуемые режимы излучения. Диссертационная работа проводилась в рамках выполнения проектов

РФФИ 03-01-00520, 04-01-00801, 06-01-96607 и ШТАБ 05-1000008-7979, что также указывает на её актуальность.

Методика исследований. С помощью интегральных преобразований

задача сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных контактных напряжений под пьезоэлементами и продольных смещений их точек. Для её решения в случае ядер, Фурье-символы которых имеют точки ветвления (упругое полупространство), используется вариант схемы Галёркина, эффективность которого обеспечивается специальным выбором базисных функций и проекторов. Для случая мероморфных Фурье-символов ядер обобщается метод бесконечных систем, предложенный ранее Е. В. Глушковым • и Н. В. Глушковой для решения задачи о контактном взаимодействии упругого волновода конечной толщины с жёстким штампом. Выводятся представления для энергии возбуждаемых группой пьезоэлементов упругих волн в виде квадратичных форм от электрических напряжений, подаваемых на их электроды. На основе этих представлений строятся эффективные алгоритмы выбора управляющих параметров группы, реализующих требуемые режимы излучения.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

1) построена математическая модель для упругого волновода с системой поверхностных пьезокерамических накладок, применимая в широком частотном диапазоне и строго учитывающая их взаимное влияние; •

2) разработаны и реализованы в виде пакетов программ эффективные методы решения возникающих при этом краевых задач динамической теории упругости;

3) проведён численный анализ волновых и энергетических эффектов, которые принципиально не описываются традиционными упрощёнными моделями, выявлена связь резонансных свойств рассматриваемых систем с их волноводными свойствами;

4) построены эффективные алгоритмы выбора управляющих параметров группы пьезоэлементов, реализующих требуемые режимы излучения. Практическая значимость результатов связана с возможностью

их использования при разработке смарт-материалов и проектировании соответствующих электромеханических систем, решении широкого круга актуальных проблем дефектоскопии материалов, соединений и контрукций.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях: International Workshop «Research in Mechanics of Composites 2006» (Bad Herrenalb, Germany, 2006), IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), IX международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2006), V Российская конференция с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005), 2-nd Conference on Mathematical Modeling of Wave Phenomena (Växjö, Sweden, 2005), I и III Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (Ростов-на-Дону, 2002 и 2004), Всероссийская научная конференция по волновой динамике машин и конструкций (Нижний Новгород, 2004), II, III и IV объединённые научные студенческие конференции факультета прикладной математики «Прикладная математика XXI века» (Краснодар, 2002, 2003 и 2004); а также на семинарах кафедры численного анализа КубГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, общим объёмом 126 стр., включающим в себя 62 рисунка и 92 наименования литературных источников.

На защиту выносятся:

- математическая модель упругого волновода с системой поверхностных пьезокерамических накладок;

- численные методы решения краевых задач о контактном взаимодействии упругих волноводов с системой поверхностных

пьезокерамических накладок;

- исследование резонансных свойств упругих волноводов с поверхностными пьезокерамическими накладками;

- разработанный алгоритм выбора управляющих параметров группы пьезоэлементов, реализующих заданные режимы излучения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся обзор существующих работ по теме диссертации, приводится общая характеристика работы, обсуждается её актуальность, формулируются цели и задачи исследований. Кратко описывается содержание диссертации по главам.

Так как пьезокерамическис накладки часто используются для наблюдения за состоянием тонкостенных элементов конструкций, в первую очередь были изучены низкочастотные изгибные и продольные колебания, возбуждаемые ими в балках, пластинах и оболочках (Crawley and de Luis, 1987; Crawley and Lazarus, 1989; Dimitriadis, Fuller and Rogers, 1991; Wang and Rogers, 1991; Chaundhry and Rogers, 1994; Banks, Smith and Wang, 1995). В этих моделях действие пьезоэлементов моделируется парами сосредоточенных сил, приложенных к концам областей их контакта с упругим телом (pin-force model). Величины сил вычисляюися при этом исходя из геометрических и физических свойств волновода и пьезоэлементов. В некоторых моделях учитывается также влияние частоты колебаний и инерционные эффекты в накладках (Liang, Sun and Rogers, 1996; Zhou, Liang and Rogers, 1996; Giurgiutiu and Zagrai, 2000).

Этот подход позволяет получить достаточно простое и физически наглядное описание происходящих в системе волновых процессов. Тем не менее, область его применимости ограничена низкочастотным диапазоном, где характерные длины волн значительно больше толщины волновода. Имеются две основные причины для такого ограничения. Во-первых,

сами технические модели балок, пластин и оболочек работают только в низкочастотном диапазоне и не позволяют учесть всего набора волн, возникающих в волноводе. Отчасти этот недостаток можно преодолеть, используя для волновода полную систему уравнений теории упругости (Giurgiutiu and Zagrai, 2000; Raghavan and Cesnik, 2005). Во-вторых, инженерные расчеты проводятся, как правило, путем простой суперпозиции полей, возбуждаемых каждым элементом в отдельности, без учёта их взаимного влияния и распределения контактных напряжений (сосредоточенные источники), что даёт удовлетворительные результаты только на низких частотах, а во многих практически важных случаях приводит к значительным искажениям характеристик.

Для преодоления этих ограничений требуется использовать более сложные модели как для волновода (упругий слой, полупространство, пакет слоев и так далее) так и самих пьезоэлементов и строго учитывать их взаимодействие. Последнее можно достичь путём использования метода конечных элементов (Moulin, Assaad and Delebarre, 2000). Это, однако, сопряжено с существенными вычислительными затратами, и, что более важно, существенно затрудняет получение физически ясной и наглядной картины волновых явлений, происходящих в системе.

В то же время имеется возможность получить с одной стороны физически наглядное описание волновых полей (как в упрощённых инженерных моделях), с другой - такую же строгую количественную информацию как при использовании метода конечных элементов. Такую возможность даёт интегральный подход, основанный на использовании интегральных представлений волновых полей, возбуждаемых в упругом волноводе поверхностными нагрузками. Использование этих представлений совместно с условиями контакта упругого тела и пьезоэлементов и учёт специфики задачи (малая толщина пьезоэлементов в сравнении с характерными длинами волн, распространяющихся в системе) позволяет

свести её к краевой задаче для системы интсгро-дифферснциальных уравнений относительно неизвестных контактных напряжений и продольных смещений точек пьезоэлементов. После нахождения неизвестных волновые поля, возбуждаемые в системе, рассчитываются при помощи интегральных представлений. Структура подынтегральных выражений в последних такова, что позволяет эффективно построить решение в виде суперпозиции волн, распространяющихся в волноводе.

Следует отметить, что практическая реализация такого подхода связана с использованием достаточно сложного математического аппарата, поэтому к настоящему времени имеется сравнительно небольшое число примеров его использования для решения задач контактного взаимодействия с упругими структурами (Seemann, 1996; Ватульян и Скрипочка, 2000; Wang and Huang, 2001; Boström and Zhang, 2005, Кочетков и Рогачева, 2005). Во всех указанных работах в качестве модели волновода рассматривается упругое полупространство. Проблема создания моделей электромеханических систем, работающих с волноводами конечной толщины (слой, пакет слоёв), основанных на реализации интегрального подхода, до последнего времени оставалась открытой.

В первой главе диссертации приводятся используемые в дальнейшем вспомогательные сведения теории упругости и электроупругости, даётся постановка краевых задач для упругого слоя и полупространства с полосковыми поверхностными пьезоэлементами. Приводится детальное описание используемых в дальнейшем моделей пьезоэлементов.

В качестве базовой модели рассматривается линейно-упругий волновод толщины h, занимающий область —оо < х < оо, —h < z < 0, к поверхности которого приклеены M тонких гибких пьезокерамических накладок толщины /im, m = 1,2, ...,М (рис. 1). Материал накладок принадлежит классу симметрии 6mm и поляризован по их толщине (то есть в направлении z). Вне областей контакта поверхности волновода свободны

от напряжений. Установившиеся гармонические колебания и(ж, г)е~ы1 (и = {их,их} - вектор смещений) возбуждаются касательными контактными напряжениями дт, возникающими в областях контакта С1т — [хт — ат,хГп+ ат] при продольной деформации накладок под воздействием поперечных электрических полей Ет = (0При этом ЕХ1т = Ут/Ьт, Ут -напряжение, подаваемое на электроды т - той накладки. Здесь и далее гармонический множитель опущен, изложение ведётся в терминах комплексных амплитуд соответствующих величин.

1' ,..,♦„.....1 .А^А..... , * *.........+......

и"__ 0 XX ^т и+

-/7

Рис. 1: Геометрия задачи. Математически, и (ж, г) удовлетворяет уравнениям Лямс

(А + ¿¿)УсНу и + ¿¿Ди + ри? и = 0 (1)

и граничным условиям

(2)

Здесь д = Е 9т! А, /х - постоянные Ляме, р - плотность, а —

т=1

(тХ2, ст2)т - вектор напряжений на горизонтальной поверхности. Если в качестве волновода рассматривается упругое полупространство, то последнее условие в (2) заменяется условиями излучения при .г —> — оо.

Предполагается, что в силу малости толщины (кт « А, где А - характерная длина объёмных волн в пьезокерамике) продольные компоненты смещений точек накладок ь>т не зависят от г. Кроме

£Г|г=0 =

<7 =

того, для тонкой и гибкой накладки сдвиговые деформации 7Х2 и нормальные напряжения аг считаются пренебрежимо малыми. В рамках этих допущений уравнения продольных колебаний накладок и краевые условия для них принимают следующий вид:

С^Ущ , 2 _ I /п\

^тР'п — ОтЯтт V"/

^т/йх\х=хт±ат = ет, т = 1,..., М, (4)

где к2т = ш2рт{ 1 - и1)/Ет, Ът = ( 1 - г^)/(/гт£т), ет = (1 + г/т)й31 ,тЕг,т\ у Рт > ¿31,т - модуль Юнга, коэффициент Пуассона, плотность материала и пьезокерамическая константа т-той накладки

В области контакта справедливо условие непрерывности смещений:

их(х, 0) = Ут(х), х 6 (5)

В рамках традиционных упрощённых подходов вместо уравнений Ляме (1) обычно используются уравнения пластин Кирхгофа:

сРи/йх2 + = 0, , .

¿4и>/(1х* - = 0. (1'

Здесь и(х) и т(х) - продольные и поперечные смещения точек срединной поверхности пластины; £1 и £2 - волновые числа изгибных и продольных волн, соответственно: $ = (ы2к/В, = ри2к/В\ £> = ЕУ?( 12(1 - V2), В = ЕК/{ 1 — р2)\ Е, и - модуль Юнга и коэффициент Пуассона пластины.

В предположении, что единственным результатом действия пьезоэлемента на пластину будут равномерно распределённые вдоль концов области контакта силы величиной Рт, а также идеальности его контакта с пластиной, получаются следующие граничные условия для уравнений (6):

и(хт т ат - 0) - и(хт =р ат + 0) = Т^т/5, т"(хт т ат - 0) - ы"(хт Т ат + 0) = ±Мт/Д

11

где Рт - ---, фт = .—^ и Мт = Ртк 2 - величины

сил и моментов, возбуждаемых пьезоэлементами.

Во второй главе поставленные краевые задачи сводятся к системам интегро-дифференциальных и интегральных уравнений. Приводятся различные представления волновых полей, возбуждаемых в рассматриваемых упругих средах группой полосковых поверхностных источников. Детально рассматриваются вопросы вычисления энергии, переносимой различными типами распространяющихся в них волн.

Волновое поле, возбуждаемое в упругом волноводе с плоскопараллельными границами поверхностными нагрузками вида (2), может быть выражено в интегральном виде через его матрицу Грина к:

и = (8)

где

м , м

= £ / дт(х)еюЧх = £ (¿т{а)

т=1п т=1

и К1 = {Кп(а, г), К21(а, г)}Т - первый столбец Фурье-символа матрицы Грина волновода. Выбор контура интегрирования Г диктуется принципом предельного поглощения.

Подстановкой представления (8) в условия (5) задача (1).- (5) сводится к краевой задаче для системы интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных контактных напряжений дт(х) и продольных компонент смещений накладок рт(х):

£ / К{а)Як{а)е~1аЧа = ут{х), х е Пт, (9)

Ы 1г

Сру

+ К2тут = Ьтдт, (10)

¿Ут/йхи=хт±ат = ет, т = 1,..., М, (И)

где К(а) = Кц(а,0). После её решения для построения волновых полей в волноводе используется представление (8).

Важно отметить, что нагрузка д = £ Ят(х), действующая на

т=1

поверхность упругого волновода, имеет вид

м м

Ф) = Е Е т = 1,..., М, (12)

т—1.7=1

Функции 4}ут при этом определяются из решения контактных задач для системы полосков вида (9) - (11)) с ej — 1, е» = 0, г ф j.

Для упругого волновода конечной толщины Фурье-символы элементов матрицы Грина К13 являются мероморфными функциями от а. В комплексной плоскости они имеют конечное число вещественных полюсов к — 1,..., N1, и бесконечный набор комлексных: к — N1 + 1, N1 +

2,____Замена интеграла в (8) суммой вычетов приводит к представлению

волновых полей, возбуждаемых вправо и влево от источников в виде суперпозиции нормальных мод упругого волновода:

М оо

и^я, г)=ЕЕ (г^^-^ч (13)

т—1 к=1

где ^ - волновые числа нормальных мод, ^ к = гГкЯт{Ч:С,к)е±1^Хт±ат\ Гк = гс5К(а)\а=<;к, а* (2) = Кх(а, г)/КВо всех соотношениях верхний знак берётся для х > Г2, нижний для х < П. Слагаемые с вещественными волновыми числами & описывают бегущие волны, уходящие на бесконечность с фазовой и групповой скоростями ср^ = ш/Ск и сд,к = (1си/с1(к, в то время как слагаемые с комплексными (к описывают экспонециально затухающие волны.

Осреднённый за период колебаний 2тг/и> поток энергии Е^, переносимой к - той модой упругого волновода на бесконечность вправо или влево от источников, представляется в виде неотрицательной квадратичной формы относительно ет:

м м

= Е Е - {А£е, е). (14)

«=1¿=1

и>

4Г|;

м

Е

7=1

Здесь uf¡h —

м

л 7- Е ^е^^Ч tf¡m¡k = irkQhm{тСОе^^Ч

\ т=1

е = {ei,e2,. ■., ем}Т - вектор управляющих параметров, A* = -

неотрицательная эрмитова матрица с элементами = u^kñfk.

В случае упругого полупространства элементы матрицы Грина Кг] имеют два вещественных (рэлеевских) полюса ±£д и четыре точки ветвления ±к„, п — 1,2. Перемещения (8) в этом случае имеют вид м

и(®, *) = JE + оси-1), (15)

|х| —► +оо, z — 0(1), и afi(z) имеют тот же вид, что í*д и af (z) в (13). Формула (15) представляет только рэлсевские волны, бегущие вправо и влево от источника. Представление для объёмных волн даёт вклад стационарных точек в асимптотику осциллирующего интеграла (8): 2 м егЯк„ 3

и - Ей», «n = E^mM"^ + 0(R-*), (1б)

R —* +оо, — 7Г < ip < О, С (v) = - sin ¥>Ki ,n(-«n cos (p)Qm{-Kn cos <р)е~ш/4

ц> — аг^ап (г/х), Я = \/х2 + г2,

2

где Кх1П, п = 1,2- первый столбец матрицы Ко п: К (а, г) = £ Ко „(а)е<т"г.

' п= 1 '

Поля смещений 111 и иг соответствуют Р— и волнам, соответственно.

Для осрсднённого за период колебаний потока энергии Ед, переносимой рэлеевской волной вправо или влево от источников, получается представление, аналогичное по виду (14):

м м

4 = 11 (<лй±л) = (А%е, е). (17)

г=1.)=1

При этом и Лд имеют тот же вид, что м^ и А^ в (14).

Для потоков энергии ЕР1§((р1,<р2), У2), переносимой Р— и 5—

волнами на бесконечность через часть цилиндрической поверхности 5,

заданную в полярной системе координат соотношениями </?! < ц> < <¿>2, К >> 1, получаются представления

Ер£(<Р1, Ы = (Лре, е), ЮО = (¿4 в), (18)

где Ар = (аг^)р, А3 = (ау)" - эрмитовы матрицы с элементами

¥>2 <Й = /(а},^1)^, (а^)* = /(а*,

VI VI

. м . м

а}(р) = (ыК1(Л + 2/х)/2)5 £ а^р) = (^/2)5 £

т=1 т=1

*"го(¥>) = К„ СОБ ф)Я],т{~Кп СОБ

Третья глава посвящена разработке методов решения выведенных ранее систем интегро-дифференциальных и интегральных уравнений. Рассматриваются вопросы практической реализации этих методов и оценивается их эффективность. Проводится сопоставление с результатами, полученными другими авторами. Показывается, в частности, что построенная модель при использовании в качестве волновода упругого слоя в области низких частот даёт такие же результаты, как и более простые технические модели, использующие теорию пластин Кирхгофа.

Для случая волновода в форме упругого полупространства используется схема Галёркина. Метод Галеркина дает возможность проводить численный анализ, однако его эффективность падает с ростом частоты или размера области контакта, когда для обеспечения требуемой точности приходится значительно увеличивать число базисных функций. Наряду с ростом вычислительных затрат это приводит и к численной неустойчивости при решении возникающих алгебраических систем. Поэтому в случае мгроморфного символа ядра (волновод конечной толщины) основным является метод сведения интегральных уравнений к бесконечным системам.

Результаты проверок и сопоставления с результатами других авторов показывают высокую эффективность разработанных методов. Так,

Рис. 2: Сопоставление частотных зависимостей амплитуд смещений слоя (сплошные линии) и пластины (пунктир) в ближней и дальней зоне.

например, на рис. 2 приводятся частотные зависимости амплитуды смещений |их|//ге1 поверхности упругого волновода толщины Н, возбуждаемые двумя пьезоэлементами, полученные как в рамках разрабатываемой модели так и для пластины Кирхгофа.

Здесь и далее в численных примерах и> = 2п/к/у3 - безразмерная круговая частота, / - частота в герцах, у3 - скорость продольных волн в упругой среде. Остальные безразмерные параметры определяются условиями уя = 1, р = 1 и /г = 1 (для слоя); р - плотность материала упругой среды. Упругие свойства среды определяются коэффициентом Пуассона и = 0.3. Свойства пьезоэлементов были выбраны следующими (в безразмерной форме) Ьт = 1/6, Ет = 0.866, ит = 0.3, рт — 0.997; Ег,т,^з1,т берутся такими, что в (11) е\ = 1.

Приводятся результаты расчётов, показывающие, что в низкочастотном диапазоне имеет место хорошее согласование результатов и с точки зрения пространственного распределения амплитуды колебаний точек поверхности волновода.

В четвёртой главе приводятся результаты численного анализа построенных моделей для случая одной пьезокерамической накладки.

Для осреднённого за период колебаний потока энергии , поступающей в слой от одного пьезоэлемента, зависимость от ширины накладки (при фиксированной частоте) носит периодический характер (рис. 3).

В области высоких частот резонансные максимумы зависимости Ео(а), наблюдаются в случае, когда ширина полоска совпадает с полуцелым числом длин волн одной из мод двуслойной структуры полосок-слой:

акИ = ~{к + 0.5), к = 0,1,2,.... (19)

Здесь - волновые числа, определяемые из характеристического уравнения К (а) — ¿>т(2т(а) = 0, (?т - Фурье-символ фундаментального решения уравнения (10). На рис. 4 ветви дисперсионных кривых упругого слоя с пьезокерамической плёнкой, определяющие условия резонанса, обозначены маркерами. Интересно отметить, что с ростом частоты и они выстраиваются вдоль одной линии.

В области низких частот там, где число вещественных нормальных мод двуслойной структуры полосок-слой совпадает с числом вещественных мод упругого слоя, резонансные максимумы зависимостей Ег(а) для каждой из мод определяются формулой вида (19) с 1 — 1. При этом частота, начиная с которой резонанс определяет только одна мода, увеличивается при уменьшении толщины накладки.

Механизм появления максимумов функции Ео(а) в случае упругого полупространства (рис. 5) такой же, как в случае упругого слоя. Резонансные свойства рассматриваемой системы определяются поведением нулей г\ и ¿2 (рис. 6). Максимумы энергии рэлеевских волн Ед(а) и объёмных волн Еи(а) определяются формулами вида (19), где в первом случае вместо 2; берётся г\, а во втором Яе^. При этом с возрастанием частоты ш величина вклада Еу в Е0 становится значительно большей, чем

О 2 4 6 8 а 10 О 1 2 3 4 а5

Рис. 3: Поток энергии Е0 в зависимости от полуширины полоска а; вертикальные линии показывают значения а* = 7г(к + 1/2)/^ для г(, соответствующих главным ветвям дисперсионных кривых, отмеченных на рис. 4 маркерами.

Рис. 4: Волновые числа нормальных мод в зависимости от и> (дисперсионные кривые) для слоя ((к, сплошные линии), двуслойной структуры полосок-слой (г;, пунктир) и пластины Кирхгофа (£„, штрих-пунктирная линия).

Рис. 5: То же, что на рис. 3, но в качестве волновода взято упругое полупространство; а* — л (к + 1/2 )/Яег2 (для графика (б) вместо Иегг берётся

Рис 6: Дисперсионные кривые для волновода в форме упругого полупространства; волновые числа объёмных Р— и ¿> — волн {к^ и к2). волны Рэлея (£г) и поверхностные волны рэлеевского типа в полупространстве с поверхностной пьезокерамической плёнкой (чисто вещественный ¿1 и комплексный гг).

величина вклада Ец, так что макимумы Е0(а) в высокочастотном диапазоне определяются величиной Ие При этом линия 11е ^(ш) почти совпадает с линией, формируемой отмеченными маркерами ветвями дисперсионных кривых двуслойной структуры накладка-слой (рис. 4).

Пятая глава посвящена решению проблемы формирования направленного излучения упругих волн при помощи системы полосковых пьезокерамических излучателей. Основная идея развиваемого подхода заключается в следующем. Осреднённый за период колебаний поток энергии, переносимой нормальными модами упругого слоя, может быть представлен в виде квадратичной формы от управляющих параметров ет (см. формулу (14)). В случае упругого полупространства то же самое справедливо для потоков энергии Ед, Еь, переносимой рэлеевскими и объёмными волнами (см. формулы (17) и (18)).

Пусть на некоторой частоте колебаний ш требуется добиться максимальной амплитуды излучения М\ волн, матрицы квадратичных форм энергии которых обозначены Ак, при минимальной амплитуде М2 волн с матрицами В*. Очевидно, задача в этом случае сводится к

нахождению набора параметров ет, максимизирующих целевую функцию

<20>

М\ м2

где А = £ Ак, В = £ Вк.

}=1 3=1

Точки максимумов функции и{е) удовлетворяют условиям экстремума:

....." <->

Условия (21) приводят к нелинейной системе

(А - иВ)е = 0 (22)

относительно вектора неизвестных е. Если матрица В невырождена, то последнее соотношение можно переписать в виде

Яе - 1/е = О, Я = В'1 А, (23)

Рис. 7: Направленное излучение одной фундаментальной моды ао или So системой из четырёх полосков при ш = 2 (графики (а) и (б), соответственно).

и задача сводится к нахождению собственного вектора es матрицы R, соответствующего её максимальному по модулю собственному значению Х$.

Если матрица В вырождена, то это означает, что у неё имеется собственное значение As = 0. Пусть fco - его кратность. В силу эрмитовости у матрицы В имеется ровно fco линейно-независимых собственных векторов cs,k, к = 1,..., fco, соответствующих As = 0. Взяв в качестве е линейную

ко

комбинацию этих собственных векторов е^ = Е с^е,?^, можно добиться

к=1

полного гашения нежелательного излучения: {Bes, es) = 0'

Показано, что для полного контроля над излучением N нормальных мод упругого слоя (волны, уходящие в разные стороны от источника и имеющие одинаковое волновое число Ок считаются различными) достаточно 7V + 1 источников (полосков).

Рис. 7 иллюстрирует возможность излучения в заданном направлении только выбранной нормальной моды с использованием четырёх пьезоэлементов. Здесь ясно видно полное гашение смещений слева от источников и чёткую синусоидальную картину колебаний справа от них, соответствующую излучению единственной требуемой моды.

Рис. 8 иллюстрирует возможности алгоритма для формирования

-2т

3

-я/2

-2л/Э

z

It OX

Sx/3'

-2я/3 „ -n/2 '■»/3 -2m

-п/2

z\ г

It \ ox A

-Sia3 -5m x

■2m -n/2 -s-m -2m -ж/2

Рис. 8: Излучение объёмных Р— и S— волн (графики (а) и (б), соответственно) в предписанных направлениях, помеченных жирными дугами, при помощи десяти льезоэлементов (ат = 1.0, т = 1,2,..., 10; Xi = —14, х2 = —11, = —8, х4 = —5, х$ = —2, xg = 2, x-i = 5, Xg = 8, xg = 11, Хю = 14).

направленного излучения объёмных волн в упругом полупространстве. На всех диаграммах ясно просматривается главный лепесток требуемой направленности.

В заключении дана краткая сводка основных результатов, указано их научное и практическое значение.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Зееманн В., Кваша О. В. Возбуждение упругих волн в слое пьезокерамическими накладками // Акустический журнал. - 2006. - Т. 52. - № 4. - С. 470-479.

2. Seemann W., Ekhlakov A., Glushkov Е., Glushkova N., Kvasha О. The Modeling of Piezoelectrically Excited Waves in Beams and Layered Substructures // Journal of Sound and Vibration. - 2007. - Vol. 301(3-5). -P. 1007-1022.

3. Glushkov E. V., Glushkova N. V., Kvasha О. V., Seemann W. Selective Mode Excitation in Elastic Waveguides by Piezoceramic Actuators // AIP Conference Proceedings. - 2006. - Vol. 834(1). - P. 152-159.

4. Glushkov E. V, Glushkova N. V., Golub M. V., Kvasha О. V. Mode Selection, Wave Trapping and Energy Localization in Layered Structures with Defects // International Workshop «Research in Mechanics of Composites 2006» (Bad Herrenalb, Germany, November 26-29, 2006). -Karlsruhe: Institut fur Technische Mechanik, 2006. - P. 14.

5. Глушков E. В., Глушкова H. В., Голуб М. В., Кваша О. В., Фоменко С. И. Интегральный подход в задачах возбуждения, распространения и дифракции упругих волн //IX Всерос. съезд по теор. и прикл. механике (г. Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г.). Аннотации докладов. Т. 3. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та им. Н. И. Лобачевского, 2006. - С. 68-69.

6. Глушков Е. В., Глушкова Н. В , Кваша О. В. Создание направленного излучения бегущих волн системой пьезокерамических накладок на упругом слое // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IX междунар. конф., посвященной 85-летию со дня рождения акад. РАН И. И. Воровича, (г. Ростов-на-Дону, 11-15 октября 2005 г.). Т. 2. - Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2005. - С.. 62-66.

7. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Кваша О. В. Решение динамической контактной задачи для упругого слоя с пьезокерамическими поверхностными накладками. - Краснодар: Кубанск. гос. ун-т, 2005. -40 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.07.05, № 1015-В2005.

8. Глушкова Н. В., Кваша О. В. Моделирование волн, возбуждаемых пьезокерамическими накладками в упругом волноводе // Смешанные задачи механики деформируемого тела: Материалы V Рос. конф. с междунар. участием (г. Саратов, 23-25 августа 2005 г.) / Под ред акад. Н. Ф. Морозова. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - С. 92-95.

s

КВАША Олег Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ С УПРУГИМИ ВОЛНОВОДАМИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 23.03.2007. Формат 60x84i/I6. Уч.-изд. л. 1,33. Усл. печ. л. 1,39. Бумага Maestro. Печать трафаретная. Тираж 110 экз. Заказ № 7075.

Тираж изготовлен в типографии ООО «Просвещение-Юг»

с оригинал-макета заказчика. 350059 г. Краснодар, ул. Селезнева, 2. Тел./факс: 239-68-31.

ВВЕДЕНИЕ . G

1 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГИХ ВОЛНОВОДОВ С ПОВЕРХНОСТНЫМИ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕ

СКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ.

1.1 Уравнения и краевые задачи динамической теории упругости для сред с плоскопараллельными границами 13 • 1.2 Уравнения и краевые задачи динамической теории электроупругости

1.3 Постановка краевых задач для упругих волноводов с поверхностными полосковыми пьезоэлементами.

1.3.1 Постановка задач на основе уравнений теории упругости

1.3.2 Постановка задач на основе технических моделей волноводов

2 ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫМИ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ В УПРУГИХ ВОЛНОВОДАХ.

2.1 Матрица Грина упругого волновода.

2.2 Сведение краевых задач для упругих волноводов с поверхностными полосковыми пьезокерамическими элементами к системам иптегро-дифференциальных уравнений

2.3 Сведение краевой задачи для системы интегро-диффереициальных уравнений к системе уравнений Винера-Хопфа.

2.4 Представления волновых нолей, возбуждаемых полосковыми источниками.

2.4.1 Представление волнового поля в упругом слое в виде суперпозиции нормальных мод.

2.4.2 Асимптотические представления объёмных и реле-евскпх воли в упругом полупространстве.

2.5 Энергия упругих волн, возбуждаемых иолосковыми источниками

2.5.1 Энергия нормальных мод.

2.5.2 Энергия объёмных и релеевских волн.

1 3 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ИНТЕГРО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

3.1 Схема Галёркипа.

3.2 Метод бесконечных систем.

3.2.1 Сведение задачи к бесконеной системе линейных алгебраических уравнений. 3.2.2 Сведение бескоиепой системы линейных алгебраических уравнений к асимптотически эквивалентной конечной.

3.3 Оценка эффективности предложенных методов.

3.3.1 Схема Галёркина.

3.3.2 Метод бесконечных систем

3.4 Сравнение численных результатов с результатами других исследований.

3.4.1 Упругий слой.

3.4.2 Упругое полупространство 4 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛОСКОВЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИ

ЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ С УПРУГИМИ ВОЛНОВОДАМИ 07 4.1 Дисперсионные свойства упругого слоя и упругого слоя с пьезокерамической плёнкой

4.2 Резонансные свойства упругого слоя с поверхностным полосковым пьезоэлементом и характер распределения поступающей в слон энергии по модам.

4.3 Дисперсионные свойства упругого полупруостранства и упругого полупространства с пьезокерамичсской плёнкой. Резонансные свойства упругого полупространства с поверхностным полосковым пьезоэлементом и их связь с резонансными свойствами аналогичной системы для упругого слоя.

ФОРМИРОВАНИЕ НАПРАВЛЕННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ВЫБРАННЫХ ВОЛН В УПРУГОЙ СРЕДЕ СИСТЕМОЙ ПОЛОСКОВЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ

5.1 Методы формирования направленного излучения выбранных нормальных мод упругого слоя.

5.1.1 Максимизация амплитуд излучения заданного набора нормальных мод.

5.1.2 Максимизация контрастности излучения

5.1.3 Условия полного гашения.

5.1.4 Группа источников с одинаковым распределением базисных нагрузок.

5.2 Направленное излучение нормальных мод группой поверхностных пьезокерамических накладок.

5.2.1 Построение базисной системы нагрузок.

5.2.2 Создание направленного излучения группой поверхностных пьезокерамических источников

5.2.3 Приближённые формулы для создания направленного излучения

5.2.4 Влияние расположения и размеров пьезоисточников на эффективность направленного излучения . . . . 5.3 Формирование направленного излучения объёмных волн в упругом полупространстве.

В настоящее время всё более широкое применение получают электромеханические системы с пьезокерамическими возбудителя ми упругих волн, выполненными в виде гибких поверхностных накладок или внутренних прослоек волноводных структур. Примером здесь могут служить оболочечные конструкции аэрокосмических изделий, снабженные системой сенсоров, системы активного виброгашения в салоне автомобиля или в помещении, системы прецизионного позиционирования, работающие па упругих поверхностных волнах и др. К преимуществам использования ньезокерамических пластинок относятся их лёгкость, гибкость и относительная дешевизна, поэтому конструкции, снабженные системой распределенных ньезокерамических датчиков или вибровозбудителей, относят к смарт-структурам [82].

Множество приложений такие системы находят в задачах дефектоскопии слоистых волноводов, где требуется формировать направление излучение одной выбранной нормольной моды в заданном частотном диапазоне [8, 9, 60, 63, 90]. Они могут быть легко смонтированы на уже1 существующие волиоводные элементы конструкции, и в силу своей лёгкости и гибкости слабо меняют её механические свойства. Волны в волноводе возбуждаются при этом касательными контактными напряжениями, возникающими на поверхностях пьезоэлементов при их продольной деформации под воздействием поперечного электрического поля. Управление излучением осуществляется изменением управляющих нолей (путём изменения напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлементов).

При разработке смарт-матсриалов и проектировании соответствующих электромеханических систем большое значение имеет создание математических моделей, адекватно описывающих протекающие в них волновые процессы. Так как поверхностные пьезокерамические элементы часто используются для наблюдения за состоянием тонкостенных элементов конструкции, в первую очередь были изучены низкочастотные изгибпые и продольные колебания, возбуждаемые ими в балках, пластинах и оболочках [54], [5G] - [59], [61], [83], [85|, [88], [89] (см. также обзоры в [54, 62, 79]). В этих моделях действие пьезоэлементов моделируется парами сосредоточенных сил, приложенных к концам областей их контакта с упругим телом (pin-force model). Величины сил вычисляются исходя из геометрических и физических свойств волновода и пьезоэлементов. I

В некоторых моделях учитывается также влияние частоты колебании и инерционные эффекты в накладках [62], [71] - [73], [92[.

Этот подход позволяет работать с первыми двумя фундаментальными модами (изгибной и продольной) упругого волновода и даёт достаточно простое и физически наглядное описание происходящих в нём волновых процессов. Тем не менее, область применимости таких моделей ограпиче-9 па. низкочастотным диапазоном, где характерные длины волн значительно больше толщины волновода. Имеются две основные причины для такого ограничения. Во-первых, сами технические модели балок, пластин и оболочек работают только в низкочастотном диапазоне и но позволяют учесть всего набора волн, возникающих в волноводе. Отчасти этот недостаток можно преодолеть, используя для волновода полную систему уравнений теории упругости [64], [79] - [81]. Во-вторых, инженерные расчеты проводятся, как правило, путем простои суперпозиции полей, возбуждаемых каждым элементом в отдельности, без учета их взаимпо-Ф го влияния и распределения контактных напряжений (сосредоточенные источники), что даёт удовлетворительные результаты только на низких частотах, а во многих практически важных случаях приводит к значительным искажениям характеристик.

Для преодоления этих ограничений требуется использовать более сложные модели как для волновода (упругий слой, полупространство, пакет слоев и так далее), так и самих пьезоэлементов и строго учитывать их взаимодействие. Последнее можно достичь путём использования метода конечных элементов (МКЭ). Это, однако, сопряжено с существенными вычислительными затратами, и, что более важно, существенно затрудняет получение физически ясной и наглядной картины волновых явлении, происходящих в системе (например, распределения энергии, поступающей в волновод от источников, по распространяющимся в нём нормальным модам). Кроме того, классическая схема метода конечных элементов неприменима в случае неограниченных упругих тел, так как предполагает дискретизацию по всей пространственной области, занимаемой волноводом. Это ограничение преодолевается введением специальных поглощающих границ, бесконечных элементов (например, полосовых элементов, иредоженных в [74] - [7GJ) или использованием гибридных схем, сочетающих в себе копечпоэлементную дискретизацию в ограниченной области волновода с разложениями по нормальным модам [77, 78]. ,.

В то же время имеется возможность получить с одной стороны физически наглядное описание волновых нолей (как в упрощённых инженерных моделях), с другой - такую же строгую количественную информацию как при использовании МКЭ. Такую возможность даёт интегральный подход, основанный на использовании интегральных представлений волновых нолей, возбуждаемых в упругом волноводе поверхностными нагрузками. Использование этих представлений совместно с условиями контакта упругого тела и пьезоэлементов и учёт специфики задачи (малая толщина пьезоэлементов в сравнении с характерными длинами волн, распространяющихся в системе) позволяет свести её к краевой задаче для системы интегро-диффереициальных уравнений относительно неизвестных контактных напряжении иод пьезоэлементами и продольных смещении их точек. После нахождения неизвестных контактных напряжений волновые поля, возбуждаемые в системе, рассчитываются при помощи интегральных представлений. Структура подынтегральных выражений в последних такова, что позволяет эффективно построить решение в виде суперпозиции воли, распространяющихся в волноводе.

Свойства интегральных уравнений, возникающих при решении контактных задач теории упругости, к настоящему времени достаточно подробно исследованы [11] - [15]. Разработаны эффективные методы их решения и накоплен богатый опыт решения конкретных практических задач [39, 40].

Таким образом, подход, основанный на использовании интегральных представлений, даст удобный инструмент для качественного и быстрого количественного анализа электромеханических систем с тонкими ньезо-ф электрическими возбудителями (и сенсорами). Следует в то же время отметит!), что практическая его реализация связана с использованием достаточно сложного математического аппарата, поэтому к настоящему времени имеется сравнительно небольшое число примеров его использования для решения задач контактного взаимодействия пьезоактуаторов с упругими структурами [7, 37, 55, 70, 84, 91, 87]. Во всех указанных работах в качестве модели волновода рассматривается упругое полупространство. Проблема создания моделей электромеханических систем, работающих с волноводами конечной толщины (слой, пакет слоев), осно-* ванных на реализации интегрального подхода, до последнего времени оставалась открытой.

Таким образом, возникает необходимость разработки новых математических моделей, с существенно более широким диапазоном применимости, чем у традиционных инженерных подходов. В частности, необходим учет высших мод упругого волновода и строгое описание динамического контактного взаимодействия с ним гибких деформируемых накладок.

Разработка отвечающей указанным требованиям модели для системы полосковых пьезоактуаторов на упругом слое или полупространстве и является главной целью настоящей работы. Вспомогательными, но представляющими самостоятельный интерес задачами являются:

1) формулировка и разработка эффективных методов решения возникающих при этом краевых задач динамической теории упругости;

2) реализация разработанных методов в виде пакетов программ для быстрого параметрического анализа характеристик моделируемых систем;

3) исследование применимости традиционных и разрабатываемых моделей;

4) исследование волновых (резонансных) эффектов, принципиально недоступных в рамках традиционных, упрощённых моделей;

5) построение эффективных алгоритмов выбора управляющих параметров группы пьезоэлемептов, реализующих требуемые режимы излучения.

Диссертационная работа проводилась в рамках выполнения проектов РФФИ 03-01-00520, 04-01-00801, 0C-01-9GG07 и INTAS 05-1000008-7979.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, общим объёмом 12G стр., включающим в себя 02 рисунка и 92 наименования литературных источников.

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в работах [21] - [29], [33] - [3G], [GO] - [G8], [8G] и получены автором совместное Е. В. Глушковым и Н. В. Глушковой. Постановку задачи и общее руководство исследованиями осуществляли Е. В. Глушков и Н. В. Глушкова. Лично автором осуществлена реализация методов решения рассмотренных задач, разработаны пакеты программ и проведены численные расчёты, дан анализ полученных результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1) В диссертационной работе построена математическая модель для упругого волновода с системой поверхностных пьезокерамнческих накладок, применимая в широком частотном дипазоне и строго учитывающая их взаимное влияние.

2) Разработаны и реализованы в виде пакетов программ эффективные методы решения возникающих при этом краевых задач динамической теории упругости.

3) Проведён численный анализ волновых и энергетических эффектов, которые принципиально не описываются традиционными упрощёнными моделями, выявляиа связь резонансных свойств рассматриваемых систем с их волноводными свойствами.

4) Построены эффективные алгоритмы выбора управляющих параметров группы пьезоэлементов, реализующих требуемые режимы излучения.

Практическая значимость результатов связана с возможностью их использования при разработке смарт-материалов и проектировании соответствующих электромеханических систем, решении широкого круга актуальных проблем дефектоскопии материалов, соединений и коптр.ук-ций.

1. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Глушкова Н. В. Методы построения матрицы Грина стратифицированного упругого полу пространства // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1987. - Т. 27. - Вып. 1. - С. 93-101.

2. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинчепко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих тел. М.: Наука, 1986. - 343 с.

3. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. Ф. К расчету сейсмического источника с заданной направленностью излучения // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 262. - № 4. - С. 831-834.

4. Боев С. И., Сумбатян М. А. Динамическая контактная задача для упругой полуплоскости при высоких частотах колебания // Прикладная математика и механика. 1985. - Т. 49. - Вып. 6. С. 10391043.

5. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. -343 с.

6. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. - 416 с.7| Ватульян А. О., Скрипочка Л. Н. О колебаниях пьезоэлектрическое! пластины на упругом полупространстве // Дефектоскопия. 2000. -Т. 1. - С. 76-82.

7. Викторов И. А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966. - 168 с.9| Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны. М.: Наука, 1981. -287 с.

8. Владимиров В. С. Обобщённые функции в математической физике.- М.: Наука, 1979. 320 с.

9. Ворович И. И., Бабсшко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. -320 с.

10. Ворович И. И. Резонансные свойства упругой, неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 245. - № 5. - С. 1076-1079.

11. Ворович И. И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 245.- № 4. С. 817-820.

12. Ворович И. И., Александров В. М., Бабсшко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. - 456 с.

13. Ворович И. И., Бабсшко В. А., Пряхина О. Д. Динамика, массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мнр, 1999. - 247 с.

14. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. - 648 с.

15. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Кириллова Е. В. Динамическая контактная задача для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем // Прикладная математика и механика, 1992. - Т. 56. - Вып. 5.- С. 780-785.

16. Глушков Е. В., Глушкова Н. В. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Краснодар: Кубанск. гос. ун-т, 1990. - 72 с.

17. Глушков Е. В., Глушкова Н. В. К определению динамической контактной жёсткости упругого слоя // Прикладная математика и механика. 1990. - Т. 54. - Вып. 3. - С. 474-479.

18. Глушкова H. В. Определение и учёт сингулярных составляющих в задачах теории упругости. Диссертация на соискание ученой стенеин доктора физико-математических наук. Краснодар: Кубанск. гос. ун-т, 2000. - 220 с.

19. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Зеемапн В., Кваша О. В. Возбуждение упругих волн в слое пьезокерамическими накладками // Акустический журнал. 2006. - Т. 52. - № 4. - С. 470-479.

20. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Кваша О. В. Решение динамической контактной задачи для упругого слоя с пьезокерамическими поверхностными накладками. Краснодар: Кубанск. гос. ун-т, 2005. - 40 с.- Деп. в ВИНИТИ 13.07.05, №1015-В2005.t

21. Глушкова Н. В., Кваша О. В. Смешанные задачи механики деформируемого тела. Материалы V Российской конференции с международным участием (г. Саратов, 23-25 августа, 2005 г.) / Под ред. акад. Н. Ф. Морозова. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - С. 92-95.

22. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М: Машиностроение, 1980. - 411 с.

23. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. - 294 с.

24. Зоммерфельд А. Электродинамика. М.: Ии. Лит., 1958. - 502 с.

25. Кочетков И. Д., Рогачева Н. Н. Контактное взаимодействие активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства // Прикладная математика и механика. 2005. - Т. G9. - Вып. 5. - С. 882895.

26. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. - 688 с.

27. Развитие теории контактных задач в СССР / Под ред. Л. А. Галина.- М.: Наука, 1976. 493 с.

28. Механика контактных взаимодействий / Под ред. И. И. Воровича и В. А. Бабешко. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 672 с.

29. Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчет, технология и применение) / Под ред. Г. Мэттыоза. М.: Радио и связь, 1981.- 472 с.

30. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 е.

31. Партон В. 3., Кудрявцев В. А. Электромагпитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. - 472 с.

32. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 2. Специальные функции. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 664 с.

33. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. - 504 с.

34. Тимошенко С. П., Войновский-Кригср С. Пластинки и оболочки. -М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

35. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - 576 с.48| Тихонов А. Н., Арсспип В. Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979. 288 с.

36. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1972. 736 с.

37. Федорюк М. В. Асимптотика, интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.- 544 с.

38. Федорюк М'. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. - 368 с.

39. Хан X. Теория упругости. М.: Мир, 1988. - 344 с.

40. Achenbach J. D. Wave Propagation in Elastic Solids. Amsterdam: North-Holland, 1973. - 425 p.

41. Banks H. Т., Smith R. C. and Wang Ynn The Modelling of Piezoceramie Patch Interactions with Shells, Plates, and Beams // Quarterly of Applied Mathematics. 1995. - Vol. LIII. - No. 2. - P. 353-381.

42. Bostrom A. and Zhang B. In-Plane P-SV Waves from a Piezoelectric Strip Actuator: Exact Versus Effective Boundary Condition Solutions // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 2005. - Vol. 52. - No. 9. - P. 1594-1600.

43. Crawley Е. F. and cle Luis J. Use of Piezoelectric Actuators as Elements of Intelligent Structures // AIAA Journal. 1987. - Vol. 25. - No. 10. -P. 1373-1385.

44. Crawley E. F. and Lazarus К. B. Induced Strain Actuation of Isotropic and Anisotropic Plate // AIAA Journal. 1989. - Vol. 29. - No. 6. -P. 944-951.

45. Diaz Valdes S. H. and Soutis C. Health Monitoring of Composites Using Lamb Waves Generated by Piezoelectric Devices // Plastics, Rubber and Composites. 2000. - Vol. 29. - No. 9. - P. 475-491.

46. Dimitriadis E. K., Fuller C. R., Rogers C. A. Piezoelectric Actuators for Distributed Vibration Excitation of Thin Plates // Journal of Vibration and Acoustics (Transactions of the ASME). -1991. Vol. 113. P. 100-107.

47. Ginrgiutiu. V. and Zagrai A. N. Characterization of Piezoelectric Wafer Active Sensors // Journal of Intelligent Material Systems and Stuructures. 2000. - Vol. 11. - P. 959-975.

48. Giurgiutiu V. and Cue A. Embedded Non-destructive Evaluation for Structural Health Monitoring, Damage Detection, and Failure Prevention // The Shock and Vibration Digest, 2005. - Vol. 37. - No. 2. - P. 83-105.

49. Giurgiutiu V. Lamb Wave Generation with Piezoelectric Wafer Active Sensors for Structural Health Monitoring // Proceedings of the SPIE. -2003. Vol. 5056. - P. 111-122.

50. Glushkov E. V. and Glushkova N. V. Blocking Property of Energy Vortices in Elastic Waveguides // Journal of the Acoustical Society of America. 1997. - Vol. 102. - No. 3. - P. 1356-1360.

51. IEEE Standard on Piezoelectricity. ANSI/IEEE Std 176-1987.

52. Liang C., Sun F. P. and Rogers C. A. An Impedance Method for Dynamic Analysis of Active Material Systems // Journal of Vibration and Acoustics (Transactions of the ASME). 1994. - Vol. 116. - P. 120128.

53. Liang C., Sun F. P. and Rogers C. A. Coupled Electro-Mechanical Analysis of Adaptive Material Systems Determination of the Actuator

54. Power Consumption and System Energy Transfer // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 1994. - Vol. 5. - P. 12-20.

55. Liang C., Sun F. P. and Rogers C. A. Electro-Mechanical Impedance Modeling of Active Material Systems // Smart Materials and Struct ures. 1996. - Vol. 5. - P. 171-186.

56. Liu G. R. A Combined Finite Element/Strip Element Method for Analyzing Elastic Wave Scattering by Cracks and Inclusions 111 Laminates // Computational Mechanics. 2002. - Vol. 28. - P. 76-81.

57. Liu G. R. and Achenbach J. D. A Strip Element Method for Stress Analysis of Anisotropic Linearly Elastic Solids // Transactions of the ASME. 1994. - Vol. 61. - P. 270-277.

58. Liu G. R. and Achenbach J. D. Strip Element Method to Analyze Wave Scattering by Cracks 111 Anisotropic Laminated Plates // Journal of Applied Mechanics. 1995. - Vol. 62. - P. 607-613.

59. Raghavan A. and Cesnik С. E. S. Finite-Dimensional Piezoelectric Transducer Modeling for Guided Wave Based Structural Health Monitoring // Smart Materials and Structures. 2005. - Vol. 14. -P. 1448-1461.

60. Rogers C. A. Intelligent Material Systems The Dawn Of A New Materials Age // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 1993. - Vol. 4. - P. 4-12.

61. Seemann W. A Linear Ultrasonic Traveling Wave Motor of the Ring Type // Smart Materials and Structures. 1996. - Vol. 5. - P. 361-368.

62. Seemann W. Stresses in a Thin Piezoelectric Element Bonded to a Half-Space // Applied Mechanics Reviews. 1997. - Vol. 50. - No. 11. - P. 204209.

63. Sonti V. R., Kim S. J. and Jones J. D. Equivalent Forces and Wavenumber Spectra of Shaped Piezoelectric Actuators // Journal of Sound and Vibration. 1995. - Vol. 187(1). - P. 111-131.

64. Zhang В., Bostrom A. and Niklasson A. J. Antiplane Shear Waves from a Piezoelectric Strip Actuator: Exact Versus Effective Boundary Condition Solutions // Smart Materials and Structures. 2004. - Vol. 13. - P. 101-1G8.

65. Zhou S.-W., Liang C. and Rogers C. A. An Impedancc-Baesed System Modeling Approach for Induced Strain Actuator-Driven Structures // Journal of Vibration and Acoustics. 199G. - Vol. 118. - P. 323-331.