Исследование взаимодействия волн напряжений с дефектами типа трещин или включений в изотропной среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. Современное состояние вопроса.б

2.Краткое содержание диссертационной работы.

ГЛАВА I. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ТРЕЩИН ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА.Л

§ I.Некоторые предварительные соотношения.

§ 2.Постановка первой динамической задачи теории упругости для периодической системы трещин продольного сдвига.

§ 3. Построение фундаментального решения.

§ 4.Сведение краевой задачи о трещине продольного сдвига к интегральному уравнению.

§ 5.Асимптотика волновых полей напряжений в окрестности разрезов.Динамический коэффициент интенсивности напряжений.

§ 6.Численная реализация построенного алгоритма. Результаты расчетов.

ГЛАВА П. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ТУННЕЛЬНЫМИ РАЗРЕЗАМИ.

§ I. Постановка задачи.

§ 2. Интегральные представления решений.

§ 3. Интегральные уравнения краевой задачи

2.1.9).

§ 4. Асимптотика волновых полей напряжений в окрестности вершин разрезов. Динамические коэффициенты интенсивности напряжения.

§ 5. Результаты расчетов.

ГЛАВА Ш. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УПРУГИХ ВОЛН С ЖЕСТКОЙ

КРИВОЛИНЕЙНОЙ ВСТАВКОЙ.

§ I. Постановка задачи.

§ 2. Разрешающая система сингулярных интегральных уравнений.

§ 3. Асимптотика волновых полей напряжений в окрестности вершин вставки. Результаты расчета.

Проблемы взаимодействия волн напряжений с различного рода дефектами в упругих средах имеют большое значение в теории разрушения, дефектоскопии и в вопросах прогнозирования ресурса конструкций. Поэтому необходимо учитывать инерционный эффект при расчете конструкций и сооружений с трещинами, уметь определять зависимость коэффициента интенсивности напряжений от частоты стационарной трещины под действием гармонических нагрузок. Однако, решение динамических задач теории упругости и акустики для области с разрезами сопряжено с характерными трудностями, связанными с нарушением регулярности границ.

В последнее время благодаря усилиям ученых и исследователей сформулированы основные положения механики разрушения, корректно поставлены математические задачи и разработан достаточно обширный аппарат их решения.

Для решения указанных проблем применяются методы интегральных преобразований, функционально-инвариантных решений, парных уравнений, асимптотические методы и другие.

Из решений задач динамической механики разрушения в случае трещин продольного и поперечного сдвигов, нормального отрыва можно сделать важнейшие качественные выводы о процессах, предшествующих хрупкому разрушению при динамическом нагружении. Большинство имеющихся в литературе исследований относятся к рассмотрению волновых полей в окрестности прямых и круговых трещин. Однако, как показали исследования, динамический коэффициент интенсивности напряжений существенно зависит от кривизны дефекта.

Из всего предыдущего следует, что актуальной является разработка методов решения динамических задач для бесконечных тел с криволинейными трещинами. С теоретической точки зрения трещина представляет математический разрез, при переходе через который смещения могут претерпевать разрывы. Если разрывы смещений заранее неизвестны, то волновое поле, возникающее из-за наличия трещины оказывается достаточно сложным.

Настоящая диссертация посвящена разработке единого подхода к решению двумерных стационарных задач динамической теории упругости для тел с трещинами-разрезами.

Сущность развиваемого подхода заключается в следующем:

1. Строятся интегральные представления перемещений или производных от них, обеспечивающие скачки соответствующих кинематических величин по линии разреза. Эти интегральные представления удовлетворяют уравнению движения и-условию излучения.

2. Граничные условия на разрезах удовлетворяются за счет плотностей фигурирующих в интегральных представлениях решений^. Краевые задачи сводятся к сингулярным интегродифференциальным уравнениям первого рода.

3. Производится асимптотический анализ интегральных представлений напряжений в окрестности вершин трещин- разрезов, с последующим построением формул для динамических коэффициентов интенсивности напряжений.

Эти коэффициенты определяются в виде функционалов, построенных на решениях интегральных уравнений соответствующих краевых задач.

4. Разрабатывается схема численной реализации построенных алгоритмов.'

5. Исследуются динамические коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от кривизны дефектов, их взаимного расположения, характера нагрузки, значений нормализованных волновых чисел.

I. Современное состояние вопроса.

Исследованию прочности сооружений и конструкций всегда уделялось большое внимание. При действии на элементы конструкций переменных нагрузок возникает сложное волновое поле. На линии разрыва или на трещине эти волны дифрагируют, вызывая локальное повышение напряжений вблизи конца трещины. Как правило, в стационарном случае рассматривается два вида задач, если гармонические усилия приложены на самой трещине или из бесконечности излучается монохроматическая волна.

В настоящее время развито много способов решения дифракционных задач. Некоторые из них, например, рассмотрены в монографии А.Н. Гузя, В.Д. Кубенко, М.А. Черевко [23] . Зоммерфельд [2б| и Мауэ [107, 108] рассмотрели дифракцию волн на полубесконечном экране, первый - в условиях антиплоской деформации, второй -плоской деформации. Колебание плоскости с полубесконечной трещиной рассмотрено также Г.П. Черепановым [83, 84] . Особенность полей локальных напряжений заключается здесь в том, что они изменяются во времени и зависят от частоты. Однако, для этих задач не существует статического аналога. По этой причине нельзя сравнить динамическое и статическое решения.

Большой интерес представляют задачи о взаимодействии волн напряжения с конечными трещинами. Достаточно полный обзор данной проблемы рассмотрен в работах В.Г. Борисковского, В.З. Партона [73 , Датта [94] , Краута[юз] . В.З. Партон, Б.А. Кудрявцев рассмотрели задачу об установившихся колебаниях плоскости с трещиной [57] и плоскости с включением [58] . Известно решение стационарной динамической задачи для полосы с прямолинейной трещиной, если к ее берегам приложена гармоническая сдвигающая нагрузка или гармоническая нагрузка нормального отрыва [56, 57] . Задача для пространства с туннельной трещиной под действием продольного сдвига исследовалась Н.М. Бородачевым [ 8] в эллиптических координатах, что позволяет находить решение уравнения Гельм-гольца в виде ряда, разложенного по функциям Матье, Плоскость с периодической системой трещин изучалась Б.А. Кудрявцевым, В.З.Пар-тоном [ 33] . В этих работах рассматривалось поле напряжений в вершинах трещин и получено, что амплитуды динамического коэффициента интенсивности напряжений практически в рабочем диапазоне частот нагружения выше статического коэффициента интенсивности (СО = 0, а длина волны становится бесконечно большой). Динамичность нагружения приводит к тому, что интенсивность поля локальных напряжений превышает свое статическое значение более чем на

Ж.

Л,А. Филыдтинским впервые исследовалась задача о взаимодействии волн продольного сдвига с криволинейными конечными трещинами в пространстве [77] . Используемые в работе сингулярные интегральные уравнения являются весьма удобным аппаратом при исследовании напряженно-деформируемого состояния в окрестности трещин.

Взаимодействие волн напряжений с криволинейной трещиной продольного сдвига, когда на трещине задано перемещение, рассматривали A.M. Назаренко, Л.А. Филыптинский [4б] .

Лебер и Си [105]рассмотрели задачу о взаимодействии плоских гармонических горизонтально поляризованных волн сдвига (SH. -волн) ; с! прямолинейной трещиной конечной длины в бесконечно упругом теле. Для такой же геометрии трещины и тем же методом решена плоская задача [109] в условиях падения волны растяжения -сжатия ( Р - волны) или волны сдвига (SV - волны).

Влияние волн радиального сдвига и кручения на величину динамических напряжений в пространственном случае вокруг дискообразной трещины рассматривалось в работах [ПО, III] и [97] . Установившиеся колебания- неограниченной плоскости с периодической системой прямолинейных разрезов,к берегам которых приложена нормальная гармоническая нагрузка исследованы в [991 • Здесь применена простая схема возмущения, которая дает возможность получить решение соответствующей системы нулевого порядка (статический случай),

Стационарные динамические задачи в случае разрезов, выходящих на границу полупространства или приближающихся к ней рассматривались в [3, 20, 22, 89, 91, 98, 87, 90, 95] .

Подробные сведения о различных методах механики разрушения можно найти в большом количестве работ советских и зарубежных ученых. Наиболее полное освещение вопросов механики разрушения содержится в семитомной энциклопедии "Разрушение" (под редакцией Либовица [б2] ), монографиях А.Е. Андрейкива [2] ; Броека [ III ; А.Н. Гузя [20] ; Т.Екобори [241 ; Ирвина [юо] ; В.В.Па-насюка [&о] ; В.З. Партона, Е.М. Морозова 1.59] ; В.З. Партона, П.И. Перлина [бо] ; М.П. Саврука [б4] ; Л.И. Слепяна [бд\ ; Г.П. Черепанова [84] . Эти же вопросы освещены в отдельных главах монографий Н.Ф. Морозова [42] , Ю.Н. Работнова [61] , Л.И.Седова [б7] , И. Снеддона[70] , а также статьях Г.И. Баренблатта [4] : Г.И. Баренблатта, Г.П. Черепанова [б] ; Д.Д. Ивлева Г 29] : В.В. Новожилова [48, 49] ; П.Париса, Дне.Си [54 , 68] ; Г.П. Савина, В.В. Панасюка [63] ; Л.А. Филыптинского [78] .

Вопросы дифракции упругих волн на различных концентраторах напряжений рассматривались в работах А.Н. Гузя, В.Т. Голов-чана [21] ; А.Н. Гузя, В.Д, Кубенко, М.А. Черевко Г23] ; в статьях [20, 22, 85] . Задачи рассеяния электромагнитных волн на тонких препятствиях в случае Н - поляризации совпадают в идейном плане с динамическими задачами в случае антиплоской деформации. Обзор таких работ находится в работах В.Д. Купрадзе L34 , 35] ; Л.Фелсена, Н. Маркувица [ 75, 76] . Вопросы развития математических методов теории дифракции электромагнитных волн рассматриваются в монографии В.В. Панасюка, М.П. Саврука, З.Т. Назарчука [52] . Соответствующие статические задачи для пластин с включениями и ослабленных трещинами рассматривались в работах [1,19].

Несмотря на огромные успехи, достигнутые в разработке механики разрушения и различных ее приложений, решение динамических задач имеет болыцую актуальность в связи с решением обратных задач. Метод идентификации дефектов, керазрушающий контроль конструкций требует по зависимости амплитуды рассеянной волны от неизвестного дефекта определить его геометрическую конфигурацию и место расположения. Проблемы идентификации дефектов рассматривались в работах [88, 102] .

Следует отметить, что в случае бесконечных разрезов были получены аналитические решения. Построение сингулярных решений для динамических задач с трещинами конечной длины представляет весьма нелегкую задачу. И решение их стало возможным в самое последнее время благодаря изящным аналитическим решениям некоторых модельных задач и развитию новых численных методов вместе с созданием быстродействующих ЭВМ последнего поколения.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Разработан единый подход к решению двумерных задач динамической теории упругости для неограниченной упругой изотропной среды с криволинейными трещинами или жесткими тонкими вставками, основанный на :

- построении интегральных представлений амплитуд перемещений и первых производных от них;

- сведении поставленных краевых задач к сингулярным интегральным и интегрэдифференциальным уравнениям;

- построении асимптотических полей напряжений в окрестности дефектов.

2. На основании предложенного метода решены следующие задачи :

- задача о взаимодействии волн напряжений с периодической системой криволинейных трещин продольного сдвига;

- первая основная динамическая задача теории упругости для изотропной среды с криволинейными туннельными полостями-разрезами;

- задача о взаимодействии упругих волн с жесткой тонкой криволинейной вставкой.

3. Получены динамические коэффициенты интенсивности напряжений 14 ^ , Ц ^ , и 5 в виде функционалов' построенных на решениях интегральных уравнений соответствующих краевых задач.

4. Изучено влияние кривизны дефектов, их взаимного расположения, характера действующей нагрузки, нормализованных волновых чисел, длины волны, коэффициентов Пуассона на динамические коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах дефектов.

5. На основании результатов расчетов можно сделать некоторые качественные выводы.

Для периодической системы трещин. а) Динамический коэффициент интенсивности напряжений значительно зависит от кривизны дефектов, их взаимного расположения, волновых чисёл. б) Если фронт падающей волны перпендикулярен оси симметрии параболического дефекта, то уменьшается при увеличении кривизны дефекта. в) Динамический коэффициент интенсивности напряжений уменьшается с увеличением отношения длины падающей волны к длине трещины. г) В точках называемых точками скольжения отмечены характерные резонансные явления.

6. Для трещины в условиях плоской деформации. а) Относительные динамические коэффициенты интенсивности и зависят от кривизны дефекта, волновых чисел и характера нагружения. б) Если фронт волны параллелен оси симметрии параболического дефекта, то в вершине находящейся в теневой зоне коэффициенты интенсивности напряжений существенно выше нежели в другой вершине. в) При действии на трещине гармонически изменяющейся нагрузки динамические коэффициенты интенсивности напряжений могут подрастать от 20% до 50% в зависимости от геометрии дефекта по сравнению со своим статическим аналогом.

7. Дифракция волн на жесткой тонкой вставке. а) Отношение максимальных амплитуд напряжений на вставке к амплитудам напряжений в падающей волне слабо зависит от частоты падающей волны и существенно зависит от коэффициента Пуассона и кривизны вставки. б) Из результатов расчетов следует, что отношение максимальных амплитуд напряжений на вставке к амплитудам напряжений в падающей волне прямо пропорционально нормализованному волновому числу. , отсюда возникает возможность простого описания асимптотики напряжений окрестности вершины вставки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Андрейкив А.Е. Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии. Киев: Наук.думка, 1979. -141 с.

2. Афанасьев Е.Ф., Черепанов Г.П. Некоторые динамические проблемы теории упругости. Прикл.мат. и мех., 1973, 37, Jf° 4,с. 618 639.

3. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении, ПМТФ, 1961, № 4, с. 3 - 56 .

4. Баранблатт Г.И., Черепанов Г.П. О хрупких трещинах продольного сдвига. Прикл.математика и механика, 1961, т. 25, №6, с. III0 - III9.

5. Борисковский В.Г., Партон В.З. Динамическая механика разрушения Дтоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. механика деформируемого твердого тела, 1983, т. 16, 84 с.

6. Бородачев Н.М. Динамическая задача о трещине в случае деформации продольного сдвига. Проблемы прочности, F4, 1973. -с* 33

7. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Изд-во АН СССР, 1957. - 502 с.

8. Бромерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир, 1968 .

9. Броек Д. Основы механики разрушения. М.: Высшая школа,1980. 368 с.

10. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. - 379 с.

11. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука,1981. 512 с.

12. Волкова Л.В., Филыптинский Л.А. Взаимодействие волн напряжений с периодической системой криволинейных трещин продольного сдвига. Журн. прикл. мех. и техн.физики, 1981, № 2,с. 164 169.

13. Волкова Л.В., Филыптинский Л.А. Решение второй динамической задачи теории упругости для изотропной среды с криволинейными разрезами. Докл. АН УССР, 1984, сер. А, № 3, с. 28 -31.

14. Волкова Л.В., Филыптинский Л.А. Двоякопериодическая задача теории упругости для продольного сдвига анизотропной среды с трещинами. МГТ, 1979, №2, с. 91 - 95.

15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1977. - 640 с.

16. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. Физматгиз, 1962. - 1100 с.

17. Григолюк Э.И., Грингауз М.Г., Филыптинский Л.А. Об одном подходе к исследованию сингулярных полей напряжений в кусочно-однородной среде с ветвящимися разрезами. Докл. АН СССР, 1981, т. 261, 1Ф 3, с. 567 - 570.

18. Гузь А.Н. О дифракции волн на конечных телах вращения. -Прикл. механика, 1973, 9, вып. 7, с. 10-18.

19. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев: Наук, думка, 1972.-253 с.

20. Гузь А.Н., Головчан В.Т. О-решении плоских задач стационарной дифракции упругих волн для многосвязных областей. -В кн.¡Распространение упругих и упруго-пластических волн. Ташкент, 1969, с. 42-61.

21. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наук, думка, 1978. - 307 с.

22. Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов.- Киев: Наук.думка, 1978. 351 с.

23. Завадский В.Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах. М.: Наука, 1972. - 557 с.

24. Зоммерфельд А. Оптика. Пер. с нем. под ред. М.Е. ЕльяшеЕича.- М.: Иностранная литература, 1953.

25. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. -Киев: Наук.думка, 1968. 287.

26. Ивашка В.П., Шугуров В.К. Исследование волноводов методом сингулярного интегрального уравнения. Литов.физ.сб., 1979, 19, № 2, с. 203 - 210.

27. Ивлев Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения. -}пурн. прикл. механики и техн. физики, 1967, № 6, с. 88 128.

28. Ильинский A.C., Свешников А.Г. Развитие методов математического моделирования в электродинамике. Вестн.Моск. ун-та. Вычисл. математика и кибернетика, 1981, № 3, с. 44 - 51.

29. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. - 496 с.

30. Каландия А.И. О приближенном решении одного класса сингулярных интегральных уравнений. ДАН СССР, 1959, т. 125, М.

31. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Дуальные тригонометрические ряды в задачах о щелях и штампах. Прикл. мат. и мех., 1969, 33, № 5, с. 844 - 849.

32. Купрадзе В.Д. Основные задачи математической теории дифракции: Установившиеся процессы. JÎ. ; М. : ОНТИ, 1935. - 112 с.

33. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950. - 280 с.

34. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

35. Лепендин Л.Ф. Акустика. М.: Высшая школа, 1978. - 448 с. •

36. Мак.-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1977. - 584 с.

37. Малюжинец Г.Д. Замечание по поводу принципа излучения. -Курн. техн. физики, 1951, 21, №8, с. 940 942.

38. Малюжинец Г.Д. Математическая формулировка задачи о вынужденных гармонических колебаниях в произвольной области. -Докл. АН СССР, 1951, 78, № 3, с. 439 442.

39. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. -М.: Мир, 1974. 327 с.

40. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. -Л.: Кзд-во Ленигр. ун-та, 1978. 182 с.

41. Морс Q.M., Фешбах Г. Методы теоретической физики. В 2-х т. Т. I. М.: Изд-во иностр.лит., 1958. - 930 с.

42. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

43. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Физматгиз, 1962. 511 с.

44. Назаренко A.M., Филыптинский JI.A. Решение второй краевой задачи динамической теории упругости для трещины продольного сдвига. Динамика и прочность машин. Респ. межвед.научн.-техн. сб., Харьков, 1982, вып. 35, с. 32 - 35.

45. Новацкий В. Теория упругости. .- М.: Мир, 1975. 872 с.

46. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах. Прикл.мат. и механика, 1969, 33, № 5, с. 797-812.

47. Новожилов В.В. 0 необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности. Прикл. мат. и механика, 1969, 33, № 2, с. 212 - 222.

48. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наук, душа, 1968,- - 246 с.

49. Панасюк'В.В., Саврук М.П., Дапышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев; Наук, думка, 1976. - 444 с.

50. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. -Киев: Наук.думка, 1984. 344 с.

51. Пао Ин-син. Динамическая концентрация напряжений в упругой пластине. Прикл. механика, 1962, № 2, с. 147-154.

52. Парис П., Си Дж. Анализ напряженного состояния около трещин. В кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения. -М.: Мир, 1968, с. 64 - 142.

53. Партон В.З. Задачи взаимодействия и инерционный эффект в механике разрушения. Пробл.прочности, 1970, № 1,с. об - 63.

54. Партон В.З. Плоская задача об установившихся колебаниях для полосы с разрезом. Тр.Моск. ин-та хим.машиностр., 1972,45, с. 84 92.

55. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Динамическая задача для плоскости с разрезом. Докл.АН СССР, 1969,тЛ85,$3, с.541-544.

56. Партон В.З., Кудрявцев В.А. Динамическая задача механики разрушения для плоскости с включением. В сб.: Мех.деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975,с. 379 384.

57. Партон В.3., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1974. - 416 с.

58. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. - 688 с.

59. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. - 744 с.

60. Савин Г.Н., Панасюк В.В. Развитие исследований по теории предельного равновесия хрупких тел с трещинами (обзор). -Прикл.механика, 1968, 4, № I, с. 3-24.

61. Саврук М.'П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1981. - 324 с.

62. Свешников А.Г. Принцип излучения. Докл. АН СССР, 1950, 73, № 5, с. 917 - 920.

63. Свешников А.Г. Численные методы в теории дифракции. -InsProc. Intern. Congr. Math•,Vancower, 1974, Vancower, 1975t vol. 2, p. 437-4-42.

64. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2-х т. М.: Наука, .1973. - т. 2, - 584 с.

65. Си Г. Распределение напряжений вблизи концов трещины продольного сдвига. Тр. Амер. о-ва инж.-механиков, сер.Е, Прикл.механика, 1965, т. 32, № I, с. 57 - 65.

66. Слепян Л.И. Механика трещин, Л.: Судостроение, I98I.-296c.

67. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Иностранная литература, 1955. - 668 с.

68. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости.

69. М.: Физматги'з, 1961. 219 с.

70. Соболев С.Л. Некоторые вопросы теории распространения колебаний. В кн.: Франк Q., Мизес В. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Л.-М., 1937, -с. 468 - 617.

71. Справочник по специальным функциям/ Под ред. Абрамовица М., Стиган И. М.: Наука, 1979. - 832 с.

72. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736 с.

73. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.; Мир,1978. т. I. 547 с.

74. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн,-М.: Мир,1979. т. 2. 555 с.

75. Филыптинский Л.А. Динамическая задача теории упругости дляобласти с криволинейными разрезами (деформация продольного сдвига). Докл. АН СССР, 1977, т. 236, №6, с.1327 - 1330.

76. Филыптинский Л.А. Упругое равновесие (плоской) анизотропной среды, ослабленной произвольными криволинейными трещинами. Предельный переход к изотропной среде. Изв. АН СССР. Мех. тверд.тела, 1975, № 5, с. 91-97.

77. Филыптинский Л.А. Взаимодействие волн напряжений с криволинейными туннельными трещинами продольного сдвига в полупространстве. Прикл.мат. и мех., 1982, т.46, №3, с.482-487.

78. Фильштинский Л.А., Волкова Л.В. Динамическая задача теории упругости для области с криволинейными разрезами (плоская деформация). Докл.АН СССР, 1983, т. 221, № 4, с.831-834.

79. Чернышев Г.Н. 0 действии сосредоточенных сил и моментов на упругую оболочку произвольного очертания. ГОШ, 1963,т. 27, вып. I .

80. Черепанов Г.Г1. Дифракция упругих волн на разрезе. В сб.: Мех.сплошной среды и родств.пробл.анализа. М.: Наука, 1972, с. 615 - 622.

81. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. - 640 с.

82. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А. и др. дифракция волн на решетках. -Харьков: Изд-во ун-та,1973.-285с.

83. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми. М.: Наука, 1968. - 344 с.

84. Achenbach J.D. Wave propagation, elastodynamic stress singularities and fracture. Theor. and Appl. Mech. Prepr. Proc. 14th IVTAM Congr., Delft, 1976. Amsterdam e.a., 1976, p.71-87.

85. Achenbach. J.D. Elastic wave propagation problems in non destructive evaluation; In. Trends ., Delft, 1979, p. 1938.

86. Achenbach J.D., Brind E.J. Elastodynamic stress-intensity factors for a crack near a free surface. Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1981, 48, N 3» p.539-542.

87. Achenbach J.D., Gautesen A.K. Elastodynamic stress-intensity factors for a semi-infinite crack under 3-D loading. Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1977, 44, N 2, p.243-249.

88. Achenbach J.D., Keerl M., Mendelsohn D.A. Elastodynamic analysis of an Edge crack. Trans. ASME. E, 1980, 47. -P.551-556.

89. Biot M.A. General theorems on the equivalence of group velocity and energy transport. Phys. Rev., 1957» 105, N 4. -p.1129-1137.

90. Bowman J.I., Senior T.B.A., Uslenghi P.L.E. Electromagnetic and acoustic scattering by simple shapes. Amsterdam: North-Holland publ. co., 1969. - p.728.

91. Datta S.K. Scattering of elastic waves. In: Mechanics Today. Vol.4. - Oxford: Pergamon Press, 1979.

92. Dhaliwal B.S., Singh B.M. Diffraction of SH waves by Griftith cracks in a non homogeneous infinite medium. CANCAM 77. Proc. 6th Can. Congr. Appl. Mech., Vancouver, 1977. Vol.1. Vancouver, s.a., p.231-232.

93. Sci., 1980, 18, N 2, p.507-522.

94. Hanzawa H., Kishida M., Asano M. Dynamic interference between acrack and a plane boundary. Dynamic stress intensity factor induced by a plane harmonic SH-waves. Bull. JSME, 1981, 24, N 192, p.895-901.

95. Hussain M.A., Pu S.L. Dynamic stress intensity factor for an unbounded plate having collinear cracks. Eng. Fracture Mech., Vol.4, N 4, 1972, p.865-876.

96. Irwin G.R. Fracture. In: Handbuck der Physik, Berlin: Springer, 1958, Bd. 6, s.551-590.

97. Loeber J.F., Sih G.C. Diffraction of antiplane shear waves by a finite crack. J. Acoust. Soc. Am., 1968, v.40, p.9098.

98. LuongW.C., Keer I»M., Achenbach J.D. Elastodynamic stress intensity factors of a crack near an interface. Int. J. Solids Structures, 1975, v.11, p.919-925.

99. Maue A.W. Die entspannugswelle bei plötzlichem Einschnitt eines gespannten elastishen Körpers. ZAMM, Bd.N 1-2, 195^, s.1-12.

100. Maue A.W. Die Beugung elastischer Wellen an der Halbebene. ZAMM, Bd.33, N 1-2, 1953, s.1-10.

101. Sih G.C., Loeber J.F. Torsional vibration of an elastic solid containing a penny-shaped crack. J.Acoust.Soc.Amer., 1968, 44, N 5, p.1237-1245.

102. Sih G.C., Loeber J.P. Normal compression and radial shear waves scathering at a pennyshaped crack in an elastic solid. J. Acoust. Soc. Amer., 1969, 46, N 3, Part 2, p.711-721.

103. Sih G.C., Loeber J.F. Wave propagation in an elastic solid with a line of discontinuity or finite crack. Quart. Appl. Math., 1969, 27, N 2, p.193-213.

104. Srivastava K.N., Palaiya B.M., Earaulia D.S. Diffraction of SH waves by two coplanar Griffith cracks at the interface of two bounded dissimilar elastic half-spaces.Indian J. Pure and Appl. Math., 1981, 12, N 2, p.242-252.

105. Stone S.F., Ghosh M.L., Mal A.K. Diffraction of antiplane shear waves by an edge crack. Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1980, N 2, p.359-362.

106. Theocaris P.S., Ioakimidi H.I. numerical integration methods for solution of singular integral equations. -Quart. Appl. Math., 1977, 35, N 1, p.173-184.

107. Twersky v. Multiply scaltering of waves and optical phenomena. J. Opt. Soc. Amer., 1962, 52, N 2, p.145-171.