Исследование задач оптимального управления для процессов, описываемых гиперболическими системами с граничными и обобщенными управлениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ Б ОД

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА

° МАЯ

~ - • ! ; ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи УДК 517. 977. 56 ГАСАНОВЛ ЛЕЙЛА КЯЗЫМ кызы

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С ГРАНИЧНЫМИ И ОБОБЩЕННЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ

(01.01.02 — Дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БАКУ — 1995

Работа выполнена на кафедре математические методы теории управления Бакинского Государственного Университета им. М. Э. Расул-заде.

Научный руководитель:

—доктор физико-математических наук, профессор

АХИЕВ С. С.

Официальные оппоненты:

—доктор физико-математических наук САДЫГОВ М. А-(ИММ АН Азербайджана)

—доктор физико-математических наук МАНСИМОВ К- Б. (БГУ им. М. Э. Расул-заде)

Ведущая организация - Институт Кибернетики АН Азербайджана

Защита состоится /5" 1995 г.. в /4*

часов на заседании специализированного Совета Н- С04. 01. 01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики и механики АН Азербайджана по адресу: 370602, Баку, ул. Ф. Агаева, квартал 553, дом 9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИММ АН Азербайджана.

Автореферат разослан /V С11995 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физико-математических наук МАМЕДОВ Ю. М.

ОШЯ ХАРШЕРЙСТШ РАБОТЫ

Актуальность гака, 3 последние года больЕоэ развитш кодучшга 'оория оптимального управления, осноинваюкаяся на мвейчкх аоолаяв« шях математики и техники я игравкия Бастуя роль при раланин иногнх практических задач, причт тнтралъпов иосм з этой теория запвмавг принцип ыакешуыа Покзрягина. В настоящее эреад зевэсган ыиомчис-лонннэ обобщения пр^^па макоимуаа Л.С.Поирята к« зсэ болов т-рокий крут задач огсеимального управления. Так» на практика есо болг Ев приходятся 1Щ325 дело с сястемаык, двигвииа которкх оппсызаэгея дифференциальными уравнениями Ъ частных проаззщкшс, ннтегрвдькиш; уравнениями и болев слоаиыик функцшнальшии уравнениями. В частности, вопросы теории опткгольного управления процессами," опиоылаекамц системой Гурса-Дарбу» -являются преднэтец исследований шюгих. авторов, •как у нас» так. и за рубехоа. Дчя ¡таких систем получена необходишо условия оптимальности, доказана. теоремы сутескшанпя оптимального управления, изучены осо'бмэ 'управления.' ;

При исследовании многих, прикладных задач возникает необходимость решения задачи оптимального управления для процессов, оппокза-еш системой гиперболических урз'зиешгй о упряглон;ш и з граяич;ш:: условиях. В литературе такие задачи изучены недостаточно, л суцаат-в.ует только несколько работ, з которых полученн некоторые весСходгйе.'э условия оптимальности и доказана твореыэ суцэсгзогакия оягишнюго управления а сисзача Гурса-Дарбу о управляющими функциями а в граничных условиях.

На практике часто приходится сталкиваться о ситуацией,. когда 2 качестве управляющих воздействий наряду с измеривши функцаяин необходимо расснатрязать обобцешше функции. Такая ситуация ткется типичной при исследовании экстремальных сгойсгз динамика космического полета, а также при реаенля различных вариацшшсс задач, зозаигар-

ц;к в акоьчшихе, электротехнике, ¿шдидине и других областях. Анализ оптимальных систем с обобщенными управлениями значительно ос-козшгеюн 1бы обстоятельством, что такие системы обладают рядом специфических свойств. Например, решение краевой задачи является разрывной функцией. К настоящему времени разработаны различные ие-20да олгимиззцки з зздаче оптимального управления,, описываемой системой обыкновенных дкйферешшзлъних уравнений с обобщенными управлениями. Аналогичные задачи для уравнений с частными производными изучснк недостаточно. И, поэтому, для дальнейшего развития теории оптимизации представляет интерес исследование задач оптиыального управления для процессов, опасызаешх гиперболическими системами с гракичкнии и обобщенными управлениями.

Диссертационная работа посвящена вопросах существования редз-нля краовоЕ задачи, существования оптимального управления и выводу геибходшгх условий оптимальности в екстеиах, описываемых. гипербо-' -•"нчезкиыи уравнениями с граничными к обобщенными управлении!«. На основе вышеприведенных рассуаденай теку работы полно считать актуальной»

Цель работа. Основной целью работы является исследование зз-

олтавлькото управлонкр. для процессов, описываемых гиперболи-чекесяи претензии с гракхшшки п обобщенными управлению», а щеино:

- /здпивск специфику поставленных задач, доказать теореш су-иеег'йоваь&я ооьоаая краевой задсги для келкизйкых гиперболических у.чаьнэлйй;

- лкагать рагдг-кзыз теореш оущеемогания оптимального управ-чсе'-ГЙ:

■* г:;5зоги необходимые условия оптимально ста :;ак обычных, так и оо'обйокяих управлений.

Цэтодн ;;осл»:-дова«щ . Ч работе используется истоды функцао-

налького анализа, выпуклого анализа, теории обобщенных функций, теории оптимального управления и теории дифференциальных уравнения.

Научная новизна. Новыми являются следующие результат диссертационной работы;

- в зависимости от постановки задачи определено понятие ранения и выяснены условия 9''i--* которых существует решение краевой задачи для нелинейных гиперболических систем с граничшни и обобщенными управлениями?

- найдеш различные достаточные условия, которые сбзспечива'ют существование оптимального управления; • •

- получены необходимые условия оатииальнооти как о'бычнах, так .:: обобщенных управлений.

г Теоретическая л практическая ценность. Полученные э диссертации результаты ¡bises научно-исследовательский, теоретический и ■ практический интерес. Они могут бытз прккеяекы при рваекая коп- •■ кретных задач оптимального управления в электротехнике, медицине? в колебательны}: процессах, в процессах сорбции, десорбции, «ушки.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедра " Дифференциальные и интегральные уравнения кафедры " Математические методы тоорик управления " БГУ им. М.А.Расулзаде в IS3I - S4 гг.8 на научном ееаинарэ " Моделирование, идентификация, синтез систем управления в химических з хинико-ыеталлургическюс производствах который состоялся в 1920 г. в V. Алушта.

Структура и объем работа. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. Сна азлоаона IIS страницах, список литара-туры содержит 53 каименований.

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы з пяти работах автора, список которых приводятся в конца авторзфд-

pasa

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор исследований, относящихся к ра с су а тр и е a euuv. л работе задачам, обосновывается актуальность sena л излагается краткое 'содержание работа.

Первая глава диссертации, состоящая из трех параграфов, пое-зздзна доказательству тэореш существования реазнкя краевой, задачи, существованию оптимального управления и выводу леобходгааис условий онтаыаяьЕости з процессах, описываемых нелинейными системами гииер-о'олкчэсккх уравнений с обкчньши управлениями в системе и в гранкч-иаг условиях, а именно рассматривается управляемый процесс, аписы-bssiíkü гиперболическим уравнением вида

с уелояаямк

Z&Zc^fJzfaeh ^ЗД , rt6sl¿, (2)

,Х€Ъх^ Zxe)xj , (3)

x(i0)Xo)-j0(j^}, (ч)

n -мерные мкмодеда .ft^^i)*

Г-.Й.»lt»(j*) «о йотокушоета парзмакаах щп

y r. fj . т г -.."■чг > t ¿ 1

¿¿jét'Co. , /rfíi^cH а локальна усасаип Лило»-

по !¿" , p , ^ j (/ -Д'й % 14 - задашь комцекгша „яожзсгаа, Ai - w»kmk2& aspamos

•■-"ли u(ttZ) » ф , «aaopiasu ?. тфи^лжг «кгакед as

•«'^íiasciB {/ n Ui t Щ сойгветсхэйкао, J&gI/q , ío уираз-soiían • 03Í¿»se)« f<>oé}> Ц,^r«J назовем допуотшши.

В первои параграфе при определенное ограничениях на дянннч задача для кзкдогс-. допустимого управления доказаны локальная и глобальная теорема существования решения краевой задачи в классе абсолютно-непрерывных функций. Для линейной краевой задачи, иаполг-зуя метод Римана получено представление решения з явном вадо. Бо второи параграфа для задачи минимизации функционала

на аяснестве'решен:;-' -%'отекц где непрерывная при

£ в ЛУ1 , доказываются дво теореш существования оптимального управления. Управление

я соотвогствуи-

иеа ему рашэ-кш систем Ц)~(4) назовем донусгимкыи,

если я.в. на

Х'ф))

п.в. на »¿¿¿(Х^У^Х^ъХ))ъ.ъ* на . £3Х1 (.

ТЕОРЕМ 5. ■•Пусть выполняются условия .1. функция 5 и, -¿уХ) не' зависит от , ф .

2. Множества ' , {/¿(^3) , ) при фиксированных

, ' - непуста, компактные я

непрерывно зависят о? { * *.£ » ¿Г

3» Кавдоиу допустимому ртравяенкю соответствует абсо-

лютно-непрерывное реиение » определенной на ,0 «

Семейстзо допустимых управлений Ц^ непусто.

5. Существует равномерная оценка

И II £ Ж; /V,5&

для всех реиений х) систеш (1)-(4), соогветстзувдсс управлениям СО^эОёС/^

6, Ьйоаесиа Ц ,2 Ы^ / И,Ь, IIМ^Щ• Я^г) =

в Кп для фиксированных ,-к }

~ а -

Тогда в задвче (I)существует оптимальное управление. Пуль

х-¡а

Тогда первоначальная задача сводится к эквивалентной задаче ккни-мхбэцйи функционала (5) при ограничениях:

ф Шг,хЩ(1 г), 2Л*),*, *),

Ф/З^Хф Ь) й £ь(£,х0) ± О^Хс), V> (6)

Т£0РШ 6. Пусть система (1)-(ч) при \\

улдаетзсряет условия!! 2,3,'4,5 теоремы 5

ЕЫПуК-

л-.:г; , а (¡¡(^р-^^)-/ погнута гю (р>О, ) « Тогда су-

.:;е«15увт оптш;иль:юз управление в задача и)-М»(5),

Дахои' расзкатрквдзгсг задача циияааэбции ¿ушадионала

"О Хц)

Предполоякм, что / =

=•£.¿5}. язлкесся обратными фукэдшк к ¿.у^лсцпя

= (0(2; р, $, I х).

Тогда задача (1)-(4),(7) эквивалентна задача ниниаизацлл функционала

±1

•с, ¡С' " '

-¿О X* . при ограничениях (в),

Г50РЗМА 7» Пусть 'выполняются псе условия теоремы б и функции '¡/(ърф . ^АН >ос) выпуклые по> й- 5 <2. соответственно. Тогда существует оптимальное улраэде-. яие э задаче (8),(б).

Б тэетгеы параграфе для случая, когда •£„ К ~ п 71 •'К. ' ' , /

получеш необходимые условия"оптимальности управления а форыэ »принципа максимума , а для •сашгярного случая получен диффзрехщиальшгй принцип максимума в задача (1)-(4),(5).

Во второй глава диссертаций рассматривается упразднений процесс,, описываемый гиперболическим уравнением с граничными обобщенными воздействиями:

, - О)

хбЛХл, (п)

• (12)

Бд,¿(2,4) ~ заданные непрерыв-

ные П. - мерные вектор-функции; (/¡^ а (гр^ (^ ~ непрерывные матричные функции размерностей 71%Шх и ; (¿1^) и

■ ¿¿¿(х) нулевого порядка распределения, являющиеся обобдзнкшт лрс-ьвво.чшма от функций И^ЬвУВщИо^ди ^(^¿Уй^^о,^) ограниченной вариации на отрезкахи [Хл^Х^] к непрерывных слева на полузамкнутых интервалах ^оз"^)

Еокмр-функцкя £ ,■ удовлетворяющая интегральному

уравнению ^ х ,

I х ^ , ^ Хо х

называется слабым ревением задачи (9)-(12), соответствующим век--ор-ч:.уш;цйи , Последние два

пнгограла в правой части равенства (13) понимаются в'смысле • Сгидт-ьеса.

Линейность уравнения (10) и (II) относительно воздействий

» , о

¿¿У?) II обусловлена той, что 30 первых над обобщенными

функциями определены лииь линейные операции, во вторых эта линейность яэляэтся необходимым условии существования реиений.

т.^огаа I. пусть функции х;,^(г,х),

£а(х) шжрзршш пои ^еН^] ,Xв^с^/геН'" к лсизйл:.. удсюшгзсряк! у «ловка Лшшвда во 5 . Тогда для про-«•ззальнил: расиродйланпи ) гЦр(Х) _ пудового порядна су-чоствуег сдакотьенноо с;;с.й'ос ло;-:альиоэ рсиЛгпе задачи (5)-(12). лЛСГКАА 2. Пусть • .угда/**^,«)^*,*) .

.кз^та; пол .ОГе^Х,}, £ёЯ>г и

¿¡¿оде* ¿мряет усяозяяи Ляаиица по £ , Тогда для произвольного раслредолсн:н и^Л) , ¿¿г (ос) -нулевого порядка существует еднн-стаанко слабой р;азкко задач« (9)-(12) г Й

Во ьтор-л; параграфе рлсспвтрггнаоьсл оэдача фун:с-

икояЕла ;5), заданного нп -:лаСь:: реисшии задача (9;-Ц2) при ог~

раничгниях"на текущее значение управлений:

¡М^Ы ,1иоГХ)1±1} (14)

Введены сопряженные снсташ в интегральном виде

* ОС ^

вдв а сг ^^, х)=, ж;^ ^ г^ j=^^ г, ^^-

ТЕОРША 3. Пусть (¿¿¡(^уИл-оптимальное управлении в задаче (5) , 19) - (12) , (14) , а

-релешя задачи (9) - (12) и (15) , соответствуете этому управлению. Тогда выполняется следующие равенства:

-ты Ж< й-!#¿<4у-Ь^-к^п

■ гуш ) ¿0 % ({1 Ы-& ^ % (к) Ц ^) >

^ * 1 ■ •

где максимум берет§я по всем допустимым управлениям /А, (аг)} ;

х),]^ .

»о

В третьем параграфе рассматривается задача мннимнзгигии функционала (5) заданного на слабых решениях системы (5)-(12)при наличии ограиичзшй на полную вариацию управлялих ооздейстаий:

Уаф^)*!, \Г*Ь*ил Си,)

Используя специальное представление обобщенной функщы нулевого порядна с лоышняным носителем, в основе которого лежит раз-рквкое преобразование независимой переменной, получены следующие необходимые условия оптимальности обобщенных воздействий: ТЕОРЕМА 4. Пусть {И1сЬ}и^г))

- оптимальное управление в задаче (5) ,(9) -(12), (14|.) ,а ре-шешя задачи ( 9) -(12)" к (15;,соответствующие этому управлению.Тогда

о в ^

Кроме того,либо &!(■{:) О, Ь0 , либо \

либо С^'М^Ш-О, x0<;x¿xi , либо'

В четвертом параграфе для задачи (Ь) ,{^-(12) доказана теорема существования оптимального управления.

В третьей глазе продолжается исследование задачи оптимального управления системами, описываемыми хиперболическиш уравнениями с граничными обобщенными, управлениями в более общем случае, т.е. рассматривается система гиперболических уравнений с граничными распределениями в

, иЖ, ), х) € &, (к)

С18)

. (19)

Б первом параграфе используя идею регуляризации, основанную на виброкорректности обыкновенных дифференциальных уравнений, определяется понятие решения системы (16 ) - (15 ) в случае произвольных распределений (й>(£)} VI*) } нулевого;порядка.

Дли абсолктно-непрэрывшк функций «

ЯШеДСт^хд слабыы реиен1мн заДачи (16Н19)

понижается репение сястеш интегральных уравнений

3 случае, когда 11(£) , (ели хотя бы одна из них) явля-

ется функциями ограниченной вариации, при определенных решения задачи (16)-(1Э) э интегральной виде (20) возникает трудности, связанный с доопределением операции умножения сингулярной обобщенной функции (или ) на разрывнуа функции

( или ,&(х),х) ). Используя тот

факт, что линейные многообразия ДС^^о^О а зсзду плотны в пространствах УВщСЬо,^^ ^УВщС^О)^) соответственно в смысле «•-слабой сходимости, репениэ системы аб)-(13), когда и(ЬеУВщ&0,Ь1), ЯМеУВп^Хв:*!) опредэ-лпа/слвдуащии о'бразо;?,

. Пусть последовательность ¿Ь

в *-слабой'топологии пространства УВт^ш^^В^^ьХ^ сходится к (и({)-, )' . Обозначим через слабое ре-

шение- задачи (1б)-(19), соответствующее (ик(1)} • •

Коли существует предел . &ГУ1 х.) и этот прз-

дел нз зависит от выбора последовательности ¿¿¿я/^/1,^^]} то функцию х) назовем внброрешенизи задачи Ш)-(19), отвечающим входным функциям И(ос.))

Леобходише условия существования вибрсреиения а зиброкор- . ректпости задача (1б)-(19) тесно связаны с разроаиаастьа уравнений

в полных дифференциалах

матричная .функция непрерывно-диффе-

ренцируема да ооюиуш>о?я переменных и выполняется услозие Фоо-

.....

то существуют локальные реоения (¡{(¿¿¡р.^Л),фуравнений, (21). Бамена

сводит задачу (169—(.'Х9) к эягивайенгяоё интегральной системе, не содержащей обобщенную функцию

^/¿я; = дгигЦр, Ы)> Ц+Ф^/х),^, ¿р ), %)-■*%

ш = / рмт,и /гу, р, т] с&%

* , через » • обозначены про-

изводные Функции по 2 , Г ( аналогично определя-

ется /У^Л^!*) )•

Исследуя полученную систему (23), выясняются условия, при которых рассматриваемая система (16)-(19) является локальной виброкороектзости и вибоокорректвдети в целой. В частности доказана ТЕОРЕМ I. Луств системы (21) локально разрешили, -(¿укиций

(М,-Ь) »/¿(¿/¿^

Оф,^) * бгггВДж). . непрерыв-

ны по совокупности переменных и локально удовлетворяют условна Лишвцз по . Тогда система (16)-(19) вибгокорректна на вхо-

дах ограниченной вариации.

Во втором параграфе рассматривается задача нпкзваизациа функционала (5), заданного на ынокэстве зиброреаенкй систегш (1б)-(19), при наличии ограничений

шЫсУВт^оЫ^Ог гыеУсУВ^ьльт^о

При заданном Ш^еУ&т^о^х) определил фузхцш

' 1/а^ит ., 4Ак

Гц{?Щ$$Ь оолил ЫРШТ-Ь (рЧ^»,

если Т*Й,и{-р)(= П1 » -П). - ннохество точек непрерывности функции Ыи . Тогда функции *)ц(р} являются

абсолкжю-непрернзншз и ^а(р)€10,Ц п.э.

-Р£[1С)Т]. Аналогично определены функция (х) - х+Уя^Ш),

С поаоцьв этой разрывной- замены пзрачзккых задача оптиыаль-кого оЗзбззгнато управления сводится з стандартной задаче аяними-ззгда! Оукс^саада , заданного на слабых решениях

* лячесгзв допуссашх упрззяеяий берутся иэяеряшв функция

- 16 -

!

(П(р)}УПЦ,),¿(р),Щ)) » Удовлетворяющие условиям:.

ОШЩ^^ЩНЪЩШ! п.в. т. X заранее ке фиксируются ,П(р)-^и[-р) 3ГЩ)>

. Для задачи минимизации функционала (У=-^'/у(Т,Х)) при ограничениях (25) обычным методой выведены необходимые условия оптимальности. Используя полученный принцип максимума для вспомогательной задачи получен интегральный принцип максимума для ис- ■ ходной задачи.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: . '

1. Гасакоза Л.К. Теорема существования оптимального управлений для задачи Гурса-Дарбу с гранитам) управлением. Дел. в Аз.НИЛНТИ» 1995, к ЖЬ, II с. • . ...

2. Гасанова Л.К. Оптимальное управление в -системах Гурса-Дарбу с управлениями и в начальной ив граничных условиях» Деп«, в Аз.НЛШТИ 1990» Кг ХШ, с. '

5.Гасанова Л.К. Оптимальное управление для системы гиперболических уравнений с гранишныи обобщенными воздействиями. Деп. в Аз.НШШТИ, 1993, й 1961, 25 с.

4. ГасаЕовз Л.К. Оптимальное управление системами, олисыгаемши гиперболическими уравнениями с граничными обобщенными управлениями. Деп. в Аз.НИИНТИ, 1993, 199В, 17 с.

5. Гасаиоза Л.л. Оптимальное управление для задачи Гурса-Дарбу

с граничным обобщенный управлением. Педагони университет. Хэбэрлзр

журналы., тэб.елм.сер., й I, 199'.-, Ь с.

Ьэоэнова Ледла Казьм гызы

1щпзрболик систейЛарлэ тэсвир олунан, сзрЬэд вэ уиучияэшмим здарздурз малик олан просеолэр v чу н олтимол адс.рэет:»1э аюсэлэлэршшн тэдгиги.

X Y I А С С 9

Пш йлршццзн вэ гч фосюдок ибарэгдлр. Бирмйчя фосилдэ ба-хылан систеа» зэ osp/.эд в»рт>рянэ дахил олан ад-;раедичи сидллар елчулэн кэтурулур. Вашлангыч юрт здаргедичи параметр-ЛЗОДЭН -ЮьНиДЫр. By ■'¡рйУЯКЭ СЗр!";ЗД НЭ08ЛЭ02НИН ЬЭЛЛИНИЕ зарль-гы б? ^екакэляда ajpsK&aip. Оэтиим ядарэнин варлыги учун м?х-тасту теопемлэр асбйт ол/нур за оптхмаллнг учун зэруря дортлар

таекльф.

Икинчи (рзоилдэ идарэедичи ¡ГунксиЗалар оларат бпрда^тшэа-та кэйд/д BanuaCHiàTri '¿ункслзелар лэгурулур вэ анчат сэрпэд шэрт-лэршэ бу функси^сларын умулалэишй тер5..;элэри дахил ол=л снти-шл идарэетге ;.;зсэлэо1шз бахкльр. Ээ»Т> hэллин варл&гн зэ дека-ksïï'.qk учун локал ей глоблл теоремэр. исба? олуиур. Picapsедичи ■Т;ункси^алар уз»рл>;э кухт&яиф шэрглэр roji«uvt¿-. сгггкг/аллнг учун зэрури в»рг5вр алыныр t» ошикал 'ширэнин варлыгы кестэрилир.

Учунчу £«силдз сксгека нч сари од цвртлэрянэ ¿гд.-;рэедичп ^yHKOKjan^p Д^ХИЛ ОЛЬаГЛА, CápílSA иэрглэрикэ бу Гушсси^аларын у''.¡у?."ллэ:..«ил гвр;)д:элэрл дахил олая у нудя яавда оьтиьал .¡дарэвт-мэ «аоэлася араадьрьльр. Зароди оэрЬад ыэсэлзси учу к ьиброкор-ректлик авптлари тапыльр зэ оптид.ал идарэетмэ мэоэлзси учун зэ-рури гартлэр алнннр.

GASANOVA LEYLA KAZIM

INVESTIGATION OF PROBLEMS OF THE CONTROL FOR THE PROCESSES. DESCRIBED BY HYPERBOLIC SYSTEMS WITH BOUNDARY AND GENERALIZED CONTROLS.

ABSTRACT

This work consists of the introduction and three chapters. In the first chapter the control-functions in the considered system and boundary conditions are considered like measurable functions. Initial conditions depend on the controlling parameter. The existence and uniqueness are studied in this chapter.. Some theorems of- existence and uniqueness of optimal cjntrof. are proved and necessary conditions for optimalizes are obtained.

In second chapter functions with bounded variation of one variable are taken as control-functions and only those optima! control problems boundary conditions of which contain derivatives of above-mentioned functions are considered.Locai and global theorems for existence and uniqueness of weak solution are proved. By putting various conditions on control-functions, necessary conditions for optimality are obtained and existence of optimal control is shown.

In third chapter an optimal control problem is invertigation, so that the system "and boundary conditions contain control-functions, besides boundary conditions contain generalized derivatives of control-functions. Vibrocorrectness conditions for the boundary value problem are found and necessary conditions for the optima! control problem are derived.