Исследование задач управления движением твердых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи

Реда Эль Сайед Абдалла Бадр

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ТВЕРДЫХ ТЕД

(Специальность 01.02.01 - теоретическая механика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата, 1991

Работа выполнена в Ташкентском государственном университете нм.В.И.Ленина

Научный руководитель: д.ф-ы.н,, проТ). Азизов А.Г.

Официальные оппоненты:д.ф-м,н., проф. Курааяев С.Г. (ГЛАДИ, Москва)

к.ф-м.н., доц, Днаембаев Р.Т. (ААСИ, Алма-Ата) Ведущая организация - Университет Дружбы Народов им.П.Лу-• иукбн

Защита состоится " 2£ " /Ж^Ю^^тУ1992г. часов на заседании специализированного совета

К 058.01.09 в Казахском госуниверсйтете им.Аль-Фараби по адресу: 480012,г.Алма-Ата, ул.Ыасанчи, 39/47 в актовом зале ФШШ.

С диссертацие;1 можно ознакошться в.библиотеке

КазГУ.

Автореферат разослан ". у/

в

Ученый секретарь специализированного совета .

к.Т)-г.1.н. оМЬиф томнлин А.К.

.••¿•Г" Ъ'л* .,

. \ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

I

' !

"¿к1У1У1Ьнасть_тегщ. Одним из важшх объектов динамики управляемого движения является система твердых тел. Во многих таких системах управление движением осуществляется путем наложения сервосвязей. К таким системам относятся, например, управляемые, гироскопические системы, рассмотренные еще А.Бегеном, отмечавшим, что применение обидах теорем механики, в частности, теоремы об измерении момента количества движения, .в более точных исследованиях приводит к трудностям "...практического порядка, не возникающим при применении уравнений Лагранжа или уравнений Аппеля".

Однако условия, при которых уравнения Лагранжа и Аппеля применимы, в системах с сервосвдзями, вообще говоря, не выполняются. Это приводит к необходимости разработки специальных методов аналитической механики, позволяющих сохранить применимость уравнений Лагранжа и Аппеля. Такие методы были разработаны А.Бегеном и получили развитие в работах П.Аппеля, А.Пше-борского, М.Ф.Шульгина, В.В.Румянцева, Г.К.Пожарицкого, В.И. Киргетова, До Шаня, А.Г.Азизова и других. В этих исследованиях было уделено внимание на особенности составления уравнений движения исходя из общих принципов механики, причем длительное время для сервосвязей принималась модель неосвобождающих неидеальных связей.

В последние годы теория систем с сервосвязями стала разрабатываться с учетом освобождаемости и необходимости устойчивой реализации соотношений сервосвязей. Эти вопросы нашли отражение в ряде работ А.Г.Азизова, основанных на теории параметрического освобождения Н.Г.Четаева. Был предложен важный

для приложений алгоритм отекания структуры сил сервосвязей, обеспечивающий стабилизацию движения системы' относительно многообразия, определяемого сервосвязями. Эти Исследования примыкают к работам А.С.Галиуллина и его учеников по построению таких систем уравнений, ло отношению к которым сервосвя-зи были бы инвариантными соотношениями.

Задачи управления и устойчивости двияения механических систем с сервосвязями являются ванными как в теоретическом, так и в прикладном отношениях. Обе задачи смыкаются при изучении вопросов стабилизации лишений относительно многообразия, определяемого сервосвязями. Наховдение в явном виде управляющих сил, решающих задачу управления движением системы твердых тел, был предметом исследования многих авторов. Интересный круг задач управления движением несущего тела путем регулирования движением носимых масс (вращающиеся маховики, перемещающиеся по каналам точечные массы) исследован в ряде работ В.Б.Крементулло. Эти задачи решались при помощи теории аналитического конструирования регуляторов.

Цель__работы. I. Применить методы аналитической механики систем с сервосвязями к задачам управления движением сложных механических систем, разбиваемых на .несущее и носимые тела.

2. Решить ряд прикладных задач, связанных с устойчивой реализацией сервосвязей, налагаемых на несущее тело и осуществляемых контактным взаимодействием подвижных масс.

Основные_задачи. В работе решались следующие основные задачи:

- исследовать вопросы реализации сервосвязей в сложных механических системах, когда силы сервосвязей приложены к носимым телам;

- составить систему дифференциальных уравнений движения слояных механических систем с сервосшзями, удобных для исследования задач управления движением несущего тела путем наложения на него сервосвязей;

- на основе методов аналитической механики систем с сер-восвязями найти новые реиения задачи о стабилизации положений равновесия несущего тела путем определения структуры сервомо-торных сил, прикладываемых к махогикам;

- исследовать задачу о стабилизации положений равновесия несущего тела путем регулирования движением тел, перемещающихся по прямолинейным каналам, связанным с несущим телом; ■

- исследовать задачу об управлении движением одноротор-ного корректируемого гирокомпаса, установленного на стабилизированной в горизонте платформе.

Научная новизна:

- в явном виде составлена система дифференциальных уравнений слошшх механических систем с сервосвязяма, учитывающая взаимное влияние несущего и носимых тел;

- предложен конструктивный метод определения структуры сил сервосаязей, прикладываемых на носимые тела и решающих задачу устойчивой реализации сервосвязей, налагаемых на несущее тело;

- в задаче о стабилизации положений равновесия несущего тела с помощью трех маховиков найден новый закон формирования сервомоторных сил, обеспечивающий асимптотическую устой-

чивость в целом;

- предложены новые законы формирования управляющих воздействий, решающих задачу о стабилизации положений равновесия несущего тела путем регулирования движения точечных масс, перемещающихся по каналам, связанным с несущим телом;

- в задаче об управлении движением корректируемого гирокомпаса найден новый закон формирования сервомоторных сил, обеспечивающий требуемую стабилизацию движения оси ротора гироскопа. 4

Практическое^значение разрабатываемых в диссертации вопросов состоит в том, что они позволяют рационально исследовать задачи управления движением несущих тел путем регулируемого воздействия носимых масс. Это позволяет значительно расширить круг прикладных задач управления движением системы твердых тел.

Апробация даботск Результаты работы докладывались на семинаре кафедры общей механики ТашГУ (руководитель проф. А.Г.Аэиэов), на семинаре кафедры теоретической механики КазГУ (руководитель - член-корр.АН КазССР, проф.В.А.Сапа).

¡¡ублакачаИл. Диссертация представляет собой развернутое изложение материалов, представленных и опубликованных в работах [I - 3] .

Структура 2. об^егд работы^ Диссертация состоит из введения, четырех глав разбитых на 12 параграфов, заключения, 5 рисунков и списка литературы из 46 наименований. Обьем диссертации 107 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ И ЕЕ ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Во введении дается краткий обзор работ, посвященных проблемам стабилизации движения систем с сервосвязями, теории движения сложных механических систем, разбиваемых на несущее и носимые тела. Устанавливается круг задач, решению которых посвящена диссертация, дается краткое изложение содержания глав и параграфов работы.

В первой главе исследуются методы составления уравнений движения сложных механических сист&м, стесненных как обычными идеальными связями первого рода, так и сервосвязями.

Рассматривается механическая система, у которой можно выделить некоторое тело, принимаемой за несущее. С этим телом связана подвижная система координат .положение которой относительно инерциальной системы О определяется координатами §о ' 1о ' ^о пашоса ^ и У1"-лами Эйлера С/^ , 0 , (/> . Относительно системы движутся носимые тела, положения которых с учетом голономных связей первого рода определяются координатами С^ , ^ .

Предполагается, что движение несущего тела может быть стеснено связями первого рода Ш6

¿-рие. ™

где и А^ - известные функции координат

(£ = определяющих положение несущего

тела, и времени "Ь : - означают производные по времени от этих координат.

На движение носимых тел могут быть наложены связи первого рода

п _

. (2)

где и Йу - являются известными функциями коорди-

нат и времени. Кроме того, предполагается, что целью управления движением является наложение на систему сервосвязей

Г**, с ; 1,ГоГ , ¿* ¿.па .

Допуская, что условиями Н+6

С*; Л* ¿,»1 = й + с1

П П 7 }

ассматриваемыми совместно с уравнениями л+6 1

21 А, х.0 X В\. Ц. -О

(3)

(4)

(5)

определены (А) - перемещения системы, в § I составляется общее уравнение динамики, которое затем преобразуется к виду

-фЭГЬк'.р -О .

(6)

Здесь Т- > ^ > > £ ) - конетическая энергия

системы, у которой в качестве квазискоростей приняты

проекции вектора скорости полюса О на подвижные оси Оссу ^ ,а также вектора мгновенной угловой скорости несущего тела на те же оси; £2, - обобщенные заданные силы, отнесенные к координатам, определяющим носимые тела;

У^ - трехиндексные символы; - обобщенные силы,

отнесенные к квазикоординатам ; вариации и

связаны условиями, следующими из (А)-перемещениЗ.

В § 2 из общего уравнения динамией выводятся дифференциальные уравнения движения несущего и носимых тел. При этом уравнениям движения несущего тела придается форма уравнений ЭЯлера-Лаграшса, а уравнениям движения носимой системы - форма уравнений Лагранжа второго рода. Эти уравнения, содержащие множители связей, позволяют определить как движение системы, так и силы реакций первого и второго родов.

В § 3 рассматривается случай, когда сервосвязи налагаются лишь на несущее тело. Причем предполагается, что реакциями связей второго рода являются исключительно контактные действия носимых тел. При этом задача будет определенной,если число уравнений сервосвязей, налагаемых на несущее тело, будет равно числу условий на перемещения, обращающих в нуль работу сил реакций сервосвязей. Если несущее таю при этом не стеснено связями первого рода, то его уравнения движения примут вид уравнений Эйлера-Лаграняа

А Ж ± V* у] Ж. „ л. 4- У эт _

^ Эау £ ^ 30); я + %

9Т

- *Ре 6 \ <*>

где Т , как и вшие,. составлена без учета сервосвязе®. Их нужно принять во внимание лишь после того, как закончена вычисление выражений

дТ эт дТ р

За)е ' д%е 1 Эсд^ б ' ие ■

Кроме того, в атом параграфе устанавливаются некоторые первые интегралы уравнений движения, которые имеют место при частных предположениях.

Учитывая, что во многих задачах динамики твердого тела целесообразно введение параметров Родрига-Гамшштона, в § 4 приводятся некоторые сведения об этих параметрах, необходимые для исследования рада вопросов, рассматриваемых в данной диссертации.

Во второй главе исследуется задача стабилизации положений равновесия несущего тела путем регулирования движением носимых, в качестве которых принимаются маховики, оси вращения которых неподвижны в системе , ¡¡сестко связанной с несупдем телом. •

В предположении, что несущее тело имеет точку, которую модно принять в качестве полюса-и которая имеет заданное движение относительно инерциальней системы отсчета , в § 5 выводятся дифференциальные уравнения движения несущего тела, с которым связаны маховики, предназначенные для реализации сервосвязей, налагаемых на это тело. Реакциями связей в этом случае будут сорвомоторные силы, прикладываемые к но-

Э1

сишг.т телам. Здесь же рассматривается случаи, К'огда! о качестве несущего- тела принимается твердое тело1 с й'еподзпжтой точ-' K'ofr,. по- главным осягл' тгерщпг которого' распслетеяй1 оат тр^х одасродяых симметричных маховиков'» Шховаеа привода?«» во-вращшге специальными двлгаталйН1Гг к которая ГфЖйШт1 сим ссрвосвязей, предназначенные для стаЛш'заадвг опрвдея'еййого' положения равновесия несущего тела,- Эта- задача с&Л'а1 ¡гсслйдо^ вана в работах Т.А.Летовой и В.В.Крементул'л«'. К ffapset йгз- МЯК работ решалась задача гашения, о во второй - задача асимптотической устойчивости положения равновесия несущего тела,определяемого УСЛОВИЯМ!

/ Ы , 1 -ic

р*0, 4*0, t*0; oL, = < (8)

' 7 ¿К [о , L±kl

где р , Cj, , t - проекции мгновенной угловой скорости тела на оси OX-LfZ , ^¿^ ~ направляющие косинусы углов.

В § 6 дано новое решение этой задачи. Оно основано па замене кинематических уравнений Пуассона уравнениями,описывающими поведение параметров Родрига-Гамильтона Л^ (¿ = £7,3)/ и методах аналитической механики систем с сервосвязями, позволяющих в явном виде найти закон формирования сервомоторных сил, обеспечивающий асимптотическую устойчивость в целом

Положения, определяемого условиями .

р--о, у--о, г = о ; (¿-¿,2,з) t ■ о)

В третьей главе с помощью результатов первых двух глав, исследуется задача стабилизации положений равновесия несущего тела путем регулирования относительным движением подвижных масс, к которым прикладываются сервомоторные силы.

Рассматривается механическая система, состоящая из несущего твердого тела, имеющего неподвижную точку О , и трех носимых точек. Предполагается, что с несущим телом связана система координат , оси которой являются главными

осями инерции несущего тела. По прямолинейным каналам, расположенным параллельно главным осям инерции, могут перемещаться материальные точки, на которые действуют сервомоторные силы, относящиеся к внутренним силам. Ставится и решается задача об определении структуры сервомоторных сил так, чтобы они обеспечили стабилизацию заданного положения равновесия несущего тела.

В § 7 методом А.И.Лурье составляются уравнения движения несущего и носимых тел, получаемые из уравнения (6). В отличие от работ В.В.Крементулло, в которых для определения ориентации несущего тела вводятся девять направляющих косинусов углов и соответствующие им кинематические уравнения Пуассона, здесь для ориентации тела вводятся параметры Родрига--Гамильтона, позволяющие ввести систему лишь четырех кинематических уравнений. Уравнения относительно движения носимых точек следуют из уравнений —

л Ц: < I ^ ц

где Тг - кинетическая энергия носишх точек в их относительном движении; - обобщенные заданные силы, отнесенные к координатам , определяющим положение носишх точек; СО - вектор мгновенной угловой скорости несущего тела;

0 - тензор инерции системы в точке О ; - глав-

ный момент относительных количеств движения; íp¿ - серво-моторные силы, регулирующие движение носимых точек.

Наряду с тремя уравнениями, определяющими движение несут-шего тела, к системе (10) присоединяются такжё уравнения

Л= -(¿АЛ + 4 ),

Л= 4 4 4 ^ х2 - 4 ^ лз.

+ > (п)

Л 8 4 М- >

где

к и ' 4-15 ; V3? •

В § 8 исследуется задача определения структуры сил серво-связей, зависящих от фазовых координат несущего тела и, воз-мржно, носишх тел, обеспечивающих стабилизацию положения равновесия системы по переменным, определяющим несущее тело. Причем положение равновесия всей системы, как частное решение совокупности всех уравнений, определяется условиями (9), к которым добавляются равенства

гс=0. у* о, 2*0; х-о , у , г=0 , (12)

где Л , ^ , £ - координаты носимых точек в системе .Составляются и исследуются уравнения первого приближения.

¡В § 9 дается решение задачи стабилизации положений равновесие несущего тела (9) без упрощающих предположений о малости углошх скоростей, углов, характеризующих отклонение тела от юолодаш равновесия; координат и скоростей носимых точек. В ЯШМ виде найден закон формирования сил сервосвязей.обес-ввчдвзвдзй двнкеиие несущего тела в соответствии с уравне-ядда

. (13)

где

лл - С'*- ВТ*, аг * Л" V, а, - ВТ1-К1;

И С - положительные постоянные коэффициенты. Эти уравнения совместно с системой (II) допускают асимптотически устойчивое частное решение (9).

Заметим, что в первом приближении сервомоторные силы имеют структуру

»ш4 п, +с1г хг),

% . 4 с1 л3 ),

где -> массы точек, - расстояния между прямолиней-

ними каналами и осями координат. Причем при отсутствии заданных сил уравнения (10) допускают три первых интеграла, которые в линейном приближении имеют вид

Четвертая глава диссертации посвящена задаче управления движением однороторного гирокомпаса, представляющего собой астатический гироскоп, ось внешнего карданова кольца которого смонтирована на стабилизированной в горизонте платформе.

Предполагается, что оси вращения кардановых колец и чувствительного элемента пересекаются в одной точке 0 , совпадающей с центром масс и геометрическим центром чувствительного элемента. Точка О перемещается относительно поверхности Земли с заданной по величине скороотью & . Положение системы определяется координатами: с/ - угол мевду проекцией оси ротора гироскопа на горизонтальную плоскость и направлением на север, А - угол подьема оси ротора над горизонтом, У -

утол поворота ротора относительно гирокамеры.

Целью управления гирокомпаса является ее стабилизация относительно состояния, определяемого условиями

где С, - произвольные постоянные.

для реализации чего могут быть использованы, например,электромагнитные силы, создающие моменты относительно осей внешнего и внутреннего колец.

В § 10 на основе результатов первой главы составляется полная система дифференциальных уравнений движения гирокомпаса. Так как движете несущего тела считается заданным, то из уравнения (6) будет следовать система

АЖ_ Ж'аз ~ — di Ы dd U ' dt ty'J'cttW

где Т - кинетическая энергия системы в ее абсолютном движении; и Я^ - силы реакций сервосвязей, прикладываемые к осям внешнего и внутреннего карданова колец. Как и в работах Я.Н.Ройтенберга, посвященных этой задаче, закон формирования этих сил должен быть найден на основе доступности измерения углов у® и d + Ц> , где У - курс корабля, а также знании величины скорости и широты местонахождения.

В § II определяется структура сил Ф^ и .обеспе-

чивающих стабилизацию состояния, определяемого условиями (16). При этом предполагается, что момент сил сопротивления относительно оси вращения ротора уравновешивается активным моментом. Поэтому система (17) допускает циклический интеграл

fi = И * cW" , (18)

дГ

Для исследования системы применяется метод,'основанный на теории вынужденных движений, В явном виде находится структура сил Ф, и , реализующих устойчивое выполнение условий (16).