Исследования по экстремальным задачам теории приближения для классов периодических функций многих переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

д Д1ЛЦЮНЛЛЫ1Л АКАДЕМЩ НАУК УКРЛГНИ ШСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

. ¡г [у: ¡з

На правах рукопису

РОМЛШОК Анатолш Сергшович

Д О С Л IД Ж ЕII И Я ' ПО ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРП НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ КЛАС1В ПЕРЮДИЧНИХ ФУНКЦ1Й БАГАТЬОХ ЗМ1ННИХ

01.01.01 — математичний анап!з

АВТОРЕФЕРАТ

дпс.ертацн на одобуття паукового ступени доктора фтико-матемя'Гпчнпх наук

КиУв 1996

Дас8ртвц1ею е рукаяио

Роботе шканта в 1нститу11 математики НДН Уиройш Офхцгйа! опананти: доктор ф!з.-мв!Г. наук, профэсор

бавешю в.о.

доктор ф1в.-мэт. наук ШЮШОВ В.М.

доетор ф1з.-мат. наук, профэсор ЛЗГУН Л «О.

Проа1даа уианова: 1аститу1 щшладао! матемашш за кмшЬш НШ Укра1ни (м.Доаэцьк)

Еагиот вЗдбудеться о 1Б годен!

на есохдашп споц10л1аоЕааЬ1 вчэяо! рада Д 01.66.01 при Нютатут! математики Н4Н Укра1ш1 за адресов: 252601 Кл1в 4, НОИ, вул.Терэщвяк1воька,3

3 дас0ртац1ев моана овнайошииоя в б1бл1отет 1нстатуту. Автореферат ро81сланйЙ " 8 " АЛоТУю ... 1938р.

Вчавий сэкрвтар спец1ал1аоввно! рада доктор ф!з.мат. паук

ГУСАК Д.В.

Зггалыш хсрзктсрзстакп робота

АхаувлыНсть тешь В робот: дооладдувться екстремальн1 задач± наб-лзеэння клао!в перходачних фуххкЩй багатьох змпших, що мзють певн! дифэрепц1аль1га-р1зшщэв1 властивост! - вхдомих клао!в 0.Л.Соболева, О.МЛИкольського, О.В.Бесоза, а текоз клзсхв функцШ, ян! визаача-иться за дснтомогои (У,^)-пох1дашс а розумшн! ОЛ.Огепанця.

На початку ЗО-з: рояЬз О.Л.Соболевам були зекладен! астт тео-р±1 фу1Ец1оиальша простсрЬв диферашдйоЕЩП фуякцхй багагьох ам1н-нях (простора v/ ). В сва!х досл1деэянях 0.Л.Соболев впэршо отра-1 суттезо рлкорзсх'ОвуЕЭВ Ьггегрзльнг прэдста&гання фух5кц13 чэр-зз хх чнсгднах похЗда!. Под Юного роду прэдотавлэняя стали п1зн1шо од-нпм 13 осназнш: хпатрук9нт1в даолЗдгвшт в теарИ шсладзнь простархз Соболева, Лхувиля 1 хх аналогов.

Няотуняиа основаполошпсй вклад в дослхдзюннл фуннцЮшлышх ирасторха було арсблэно а Б0-± роки О.МЛШальоьким, якай згпропону-епв клзгайЬсецха простор!а (И - простора), що базувться на харзкте-рззац1х фушоцй (або хх поздних) умоиачш Гэльдэра-ЗШчгнда а нормах проэторхв .

В 1959 р. 0.В.Бесов Е31В простори В) » ял:1 В пор1внянн! з про-оторамя \\/ 1Ц запасать в1д додатеоаохчэ параметра б. Простота В> узвгальвшть Ц -ировтора в тому скисл!, ¡до при В>~Ц 1 под1бно просторам К воаа утворшгь аашшуту скстеод просторна в!дшсиа ярпмах г обэрненах теорем шладеная.

До теп&рйшього часу ®увкц!снвлш1 простора (штса) , И * О доотатаьо добрэ винчен! з та1®!! вору теорэи внладення, представления 1 продовжаявя. Щ» в стоауеюя шиань, хкжяязаних з доол1да©шяа аироксиагатнвиЕв: хараигарзиган пэрходачшх функцИ багатьох вмйвшх з й£йпов1дцйк клао!в, то увзга до хал: була крвэрнута в 60-« 1 роки п рабочих й.г.Бабэнка. 0 одахй 1з робхг, щюв1шв доол1дяойня котаго-ровёькбго жгаэрачшка шша!а 'Мг'Дкпаса функцМ з обшганою в

яЬПдао» ' * 3 "Р0010?1

ко . всганопяв, що ексгршзльним п!дпростброа,йв йкому рям!зуеться «ей гогшрвчхши, е П1дпрост!1р 1рйгогшмвгр1гШ* пол!ном1в 9 "немчргта" гармйн1я, щр задаволшютхь умову: .. , дч . , У-Чи

- не píBHl нулю qui числа, а ниб!р числа JV" визначаеться к1льн!с-тю rspMOHiK. Мяожину вектор1в £■=( , для капе викону-

еться згадана умова,назкввпть гпюрСолгчнш храстом. В íbbíü робот! К.I.Бабенка пабудтаав л!н1йнйй метод набликенвд класíbnv«*^г,^£x , j-V*4B простор! Loo за допомотош полхном!в а номэрвш гаркозыс такой з гшербол!чного хреста. Трохи п!зн1ш9 (1964 р.) О.О.Тэлякоз-ський розглрув наближэнЕЯ фушсц!й хз клас!в VN«^ .ijt^. j-fyvL, в простор! Loo sa догомогов hojííhohíb a номерами гар;.юн1к a розши-реного rinopdoni4Eoro хреста í у внпадку, коли не soi 1 j , ¿ = \jtL, piBHi,покращив результат НЛ.Бабенко.

Подалып! доелгдаэння в цьому напрям! буж розвинут! в роботах Б.С.Митяг!ва, Я.0.Бугрова, Н,С.Н1ксшьсько1, В.е.Майорова, Дшь-Зунга. Ва octhhhí 15 poKiB суттевэ зрушення в питаниях доагидаашя апрокси-матинних властивостэй класхв пврйдичних функцШ ба^атьох змхнних W í H було здШснено в низц! робхт В.Ы.Темлякова, В останце дэ-сятир!ччя згадана тематика штенсивно розвиваеться в роботах Е.Ы.Га-леева та Е.О.Евлпгаького. 1

В результат! досл1дхань, провэдашх згаданзши авторш.®, було виявлено, що в багатои1рному внпадку ыають г.йецэ наступи обставяни:

а) в багатьох гштаннях. набллжэння клаохв W iH трягонокетрячн! полйкшн з гаржш!каш з г!дарбол1чшх храст!в вШграють таку х роль, як i ввжчаШп тригоноштрют! тл2юш в одаом!рному наладку;

б) порядки ввблшшння luiaotB W в шревакнхй бтльшост! вишдахв не сп!шадавть в вЗдакшвднимя порядками на класах H •

S огляду ва д! обставши с актуальная досл1деопня деякого кола питань, пов"язаних в ваблшэннш клас!в В , як i по В1даотанннз до miacteW та И могуть бута вукчши, His клеси \\¡ , ваймати про-м£вне положения иЗа юшашш W i ¡H , а такой (Швпадати в класами

н.

В 1983 р. ОЛ.Отэпенцвм була ваяропоновава нова класкфхкац1я пвр1одачшх функцШ ода!е| smîhhoî, що базуеться ва перетвораннях ряд!в Фур"е за допомогою иультЕШИкатсф1в. До твперйшього часу на класах ÍJ^p шр!одичких функцгй одн!е! амЗнно! розглянуто практично

воi OCHOBHÎ задач!, retí ран!шэ ставились на класах Вейля. Що стосу-еться проблематики, пов"язано! з наложениям клас!в в багато-

Miprw вгптадау, то юна розйинута значно шшв. Цэ пов"язано як з

1д9йиими, так 1 з тегн1чними труддощвми, для подолашя ¡псих датр!бна валучати нов! 1дэ! х створввати нов! матоди. Тут в!дм!тимо в!дом! нам робота ОЛ.Степшщя, Н.Л.Пачул1а та П.В.Задэрея,в яних булн от-■ршвн! перш! результата в цьому напрям!.

Ызтэ робота. I. Встаношти точн! порядки найкращих наблихонь нлао!в Бесова, а такса клао!в (у,^) -дифврэшдаоБшх фуннц!й тригонометрич-ними юлпгакаьи з гар-'-юШнямц в!дповгдш 1а ступ!ячагшс ПпарбоШч-вкх хрэстхв ! аналог!в. ,

2. Злайтя порядки наЛкраядех тригономэтричннх. 1 найкраядех ортого-нальншс триготмэтричюк иаблихань клзо!з Бесова, а текоз Соболева 1 Жкольеького.

3. Дослхдкти повэдгаку найкрапрж б!л!н!йних нЕблкхань, колмого-ровсышх та трягононатркчшя цог.зрачнжхв клвснв Бесова ! в дэяких сптуац!я1 класхв Соболева 1 Шнольського.

4. Встшгавитн порядков! оцшкн колмогоровськах попервчзшк!в кла-с!в (у,^)-днфврэнц1&ов1гих фуикцгй.

Цатодяка досл1д=енш. В робот! вакорисговуютьоя деяк! загальн! катода тзор!1 йуикцхй в поеднанн! з штодани таор!! мулышшЬкаторгв, оцЬюк попэрачтпав, ш&дэгщйх тригонометрячшх та сЯлгаШшх наб-ЛЕЕвНЬ.

Пэуксва новагпа. В робот! одераан! так! результата:

I. Розповсюдгэн! на класи Бесова пэр1одачшх функций Оагатьох Еа1ншк в!доя! разультати про точн! порядка найкрашдг набликань иа-о!в Соболева 1 Школь сьяого трагономвтрэтншш пол1ыомами, гармония штх вибхфзються 1з стулгачатшс г!пэрбол!чшх хрестхв. Одаркан! разультати при пэвних значениях парадатр!в, 140 шзвачають класи Бесова, сп!впадавть а результата;,® для класйз Соболева та Школьсыдаго,

3. Одерзан! точа! порядеси найкращих тригонометрнчшх та ортого-нальага трагоаомэтрйшг наблияэвъ клао!в Бесова, а такоя а дэяюи, йэ еотчэшзх ранью, сйтуац!ях клас!в Школьського та Соболева.

3. Встшгавлан! порядки вайкрадах ЙШаШхях набляжаяь асу-в!в функц1а 1а згаданах вице клас!в у в1доов!дяих функц!оннлышх проьторах.

4. Одержан! порядков! оц!нки колгюгоровських тв трагоаомвгричвнх цопврачйин!в клас!в Весоаа а простор! , {<^ ь оо , а таяск доловлен! 1 уточнен! деяк! разультати й циж нанрямзх йа нласах ИЬголь-

сытого 1 Соболева.

к

Б. Запротяовзао спааЮ побудот .полйюм1в задано! роамхрюсг!» шс! рэашзуюсь порядки найхрагоа кайгавань шшо!в пэр1одекшх функ-Ц1й йагатьох зм1аних, що визяачвюгься узагальненоа (У,£)-пож1даоа. Встаиовлено, цо в рад! випадк!» годпростхр побудоаапшс пол!аом1а ре~ ал!зув порядок аолногороасъма ютрэчзяк1в цш нлаеЗй.

Теоретична з вря&яшп анашйегь. Результата роботи шшть теоре-тячний характер. Вони, а такой катода, що зестосовуралйсь для 1х от-рамашя, мозуть бута застоаоваат в теор!1 функцШ та функц1онашюго ваад!зу.

Дпробзц1я работа. 0сновя1 результата дисертацх! допов1дайдсь в 1нститут1 математики на евмшара* в!дц1ду теорП фуикцШ (О.Х.Стэпз-наць) тв вгдаду теор!! наблшань (М.П.КорнйМук), а пакоа вз сшл1-нарвх П.Л.Ульянова 1 В.С.Шшсина в Иосковськоку ун1вэргатет1, В.Ф.Ва-бэнка в ДзШраиатроясьисыу ун±вврсатет1 1 Р.И.Тригуба в Доаацькоау унтвзроитет!. I

Крш цього в результата«! досл1д£энь автор вкотупав на м!ша-родних, всэсогонах I рвссубд1каноьках иконах ± конфзрэнц1пх (Луды:, 138Эр.; Кпга, 1990р.; вороаэг, 1991р.; К£и"*шаць-Под*льський, 19Э2р.;

Москва, 1ЭЭЗ, 1935рр.).

Ду<5л1клцИ. По тем! дновртацН ояублйюваво 1в роб!т, II а та. склали основу дксэртацх!. Список цдх робтт иаведевяй в Кгнц! автореферату . ,

Структура 1 сО"еы робота. Робота складветься з! вотупу, чотйрьох глав 1 списйу цитовакох лттвратурй. Об "ем робота - 228 сторшок ма-ииношоу. .

отлад' виллу дажтщг

У вступ! наводиться короткий !сторттчнйй оглйд Но тем! роботи, викладаиться основы! результата 1 вказуються зн'язки а досл1дквннями ' }нятас автор1в.

Пвршя глава дисертацН присвячена пятннням вайкращого наближен-т клаа!а Бесова Вр.1<5 » а також, в гшва1й и!р1, клас1в Соболева V^

1 ШКОЛЬСЬКОГО Но в простор! 1-<1. , \ 4 р < оо> .

а т. Г г I »

, - т, -м!рниа евклШв прост1р 1 Х= (эс^.. — еле—

А

мент цього простору. Позначимо |Г\С-я;зЛ-

Ы. -м!рнмй куб; - иношша функцхй |(эО 2Т - пер1одачних

по коаагй ампнй таких, адо

\

Вваяаемо, що для вслх функцхй, цо розглядаються нихче виконана умова: ^ {(хЦхг^О , .¡^"¡уй. -

Для вектор1в С^д,... , К^ - цш числа, - натуральн! числа, ]= , гокладэмо 2.' # <

1 позначимо ЦС^^, С.^ * * 5 фе-10^ <к -

ковфЩ1ента фур"е ^(х^ . Юд1 клася Ьр^ . г=Ол,.. . .*г^>0J

, 1 < , шзначаться наступим чином

при д 4 0 * 1

У випадках класи В'р-.о вязначаюгься аналог1чним чином э

иааяов модаф1кац1еп "0лок1в" ■ Зауважимо, що а ростом

1ядекйу $ кляси розашряоться 1 врй Нр •

Нвгай ВцаЭД- багагом!рн1 аналоги ядер Беряулл!

■ н 4 гм П ч4 ¥ х ^ ^ > о.

(нврЬт1сть <>0 означае, .К, ~ 10,46

фулкцШ . як! мокнч представит» у вит ляд!

Да

В деяких иипадках нам будэ зручно нласи ЧУр,А. 1 Нп позначати

ФЧ-

р . Кожному вектору , впорядкованому у вигля-Д1 0< ^уДу'и^-^к,, шстввнмо у в1доовхдн!сть два вэкто-

ри И^.^^дв х; • •

при ]= 1 )[]"' ^ при У+1?1а 1 позначимо черезТ^У 1

мноиши полшомхв в номэрами гврщзнЬс 1з ^ (оту-

гч?1 ! ) гу<Л ОъУ^п.

пхнчатий гЬ1врС5ол1чш1й греет) 1= V У^> (розширений отуп!нча-

тий г1пэрбол!чний хрест) в1дповгдао. Зауввшш, що к!лък1сть точок

• т мюгяться в Ш х С^' мвюгьод-наковий порядок в!даосно я , а сама 2- К •

Для, р (.Хм) 1 клаоу Р ввэдемд апроксимативн! характерис-

тики

I сформулюеда деяк! а твердаэаь, отриманих в §1 пэрша! глави.

Теорема 1.1.1. Для будь-якого мають м!сца сп!вв1даотэння

в**. С1)

Теорсшч 1.1.2. При «о Лд>0 справедлив! оц!нки

да.0= 0/(«>ч).

ЗроОимо два зауважання до сформульовашх резулътат!в. ^ г

1. Сшвзздноиення, аналогична (I), мае м!сцв 1 для величин А А сама, в цьому випадку в шказниках стедан1в п_ зам!сть \М потребно аашсаги I, таким таном, ав1дои роб то висновок, вр пол1-номя 1з I дГ мавть гора вагу над полйомаш 1з в смисл! порядит на&пикэння. У Г

2. В силу обмэкеноот! оаэратор!в t Он. за нормою ,

р^С^ьо4) порядки звяичиа Е^ 1 ЕиС&Ь^Р рэал1зуюгьея су-

мами фур"е 1)В1ДШВ1Д)!0.

ОДодо результатов теорема 1.1.2, то для 1х отримання використовува-лись шлЬгомя в1дм5эн1 в!д оуы Фур"е.

В §2 встановлзн! точи! порядки величин

для р!зник

сп±вв!даошенъ м!я параметрами р 1 ^ . Офэрмулюемо один 1з результат^, що огосуеться вшадку \

Теореыа 1.3.1. Нйхвй <» , А* Р 00

Тод!

На заввршвння отладу резулътат1в,отршанкх в 551,2, в1дзяячн-мо, що в1дпов1да1 оц!нка для клао!в

Щи и

р в1Дом! 1 були отрима-

и! в так.1й посш1довност1.

Порядки величин ЕЦМр^^^р^е^,«») 1 вшадку Щлочигель-

ного вэктора V отримав В.О.ЫитяПя, а для довольного вектора "ь -Н.О.НЬсольоька. Вшадкя 1 буля розгляяут* я1дгто-

в!дао Е.М.ГалеЕвш 1 В.М.Танляковю». Що стосуеться класса Нр , те для 'них велготни Е^ будя талШей!: яря ^ = -

Я.О.Вугровйм; при % - Н.О.НЬгольсшзя; йря * * р < ч- 00 Й.М.Твиляковш. Сп1встввпвшй результат эгвдгот гамр!« з р-э-^л* •

Т

татами, отриманими дня клас!в , в!ды!тимо дв! обставши.

1. Оск1пьки „о"И», то тут i шока во! результата, що стооупть-

R7- I I*

оя клас!в Ор>0(м1отять в!даов1дн1 оцйзки дня класса Нр . Кр1ы цього,

вадавчи параметру & певних значень, 1з результат 1в для клас!в ßp^

можнв отримати в1дашв1дн1 оц!нки 1 для клас!в W р, л.

2. Hi при яких значениях параметра б порядки величин Ehl^yDp« ■•t<р< оо t (В^е^у »1 s р* < 40 вэ нояуть бутякращими за порядки в!дпов1дних величин для клас!в Якщо х , то для

Наступи! два параграфа пероо! глеви прйсвячен! доол!дяэнни величин Ц) ( F = Bp)ö, Ир, W^jl ), J»t називтсмо найкращими аррюгональниш тригошмвтрачнши наблшюншши клво!в F в простор! * < ' м i

Ивхай К },.. К - дов1яьний Haöip Wl - м!рних векторta ^ = . ¡.М,т. . ДляЦ(ХуО побудуемо полйюм

1 отзначимо ©ц С= ^ И^-^мй^Ц. яйцо F - клао функцй*,

то покладаемо Величина е

чвсткоеим виивдаоы ода1е! нпроксвматишо! характеристики, введэво! 0.В.0течк1яим (дев. нивчэ).

В (3 аапропоноваво метод шбудови пол!ном!в виду (2), як! в ряд! вклада !в дашь мо*лив!сть отримуватй кращ! порядки ваблихеввя lutaciB , в пор!ввянв! з! ступ!нчатими Пдарбол!чниш1

сумами Фур"е тако! к розм!рност1.

Теорема 1.3.1. Höraft , п,,>,-1 * . Тод!

м im

Сп!вставляючи цп оц!нку 8 ouimot теореми 1.2 Л при П* 2- ft- > батимо. що у випадку + 1Vе>2 мае м!сце сп!вв!дно-

В

ншешл

' В доповнэшя до оц!нок величия '6м . I4 р £ ^ *

^ 00 , отркшккх К.0.Б9д1нськш, наш доведана Теоражз 1.3.3. ШхвЗ 2. сус со, »ц > 4- _ 4. .Под!

В 54- га допсжятаз разшхку 1дей, да ВЕКорнстовувались в пош-рэдаъаму параграф!, практично завершено ацйки величин ь> )

1 ^ (Мрд, » . Офорчулвемо один результат 1 на сладок а нього.

Терема 1.4.1. НзхвЯ » ,р>2. ,^>0 • Тодх при

Наел!док 1.4.Х. йэхай А «¿р* с», . Тод!

емСЧцЦХМ-'^мУ1.

В1да1таио, що порядки величин (Э^ » 1

(Нр> Ц)" ^6 Р* 00 • Р# 2 . на в!ди1ну в!д поряда1в ьэличия

втьс?я сумами Фур"е ' К ■

В зекличному п"ятому параграф! пэршо! глави встаяовлвний.порядок наблвжеяня клас!в « Ир< 110 рунами Фур"е в ,

а такая оцШа звэрху найкращого на&шюнвя кпасЛв 8>р,<? , ! < р -ь 2. , в I о« григономэтричнйля псшЫомами з гймрболйного хреста.

Ооноша чаотина друто1 глава дисертацИ присвячеяа вивчешш величин Си(р, Ц.) С Р* &р,е,И р ) VJ I.il.)-найкрчдас тркготсмптртчтх найдавань клпп!в Р в простор! Ц,.

• ем(а- ^ <,,

1 К' Ц *

vi '

де | - система вэаторЬз К = . , , 1,= V*1" »

а С^ - довЬан! числа. В!дпов1дно

для класу ]г . Величина (в одааиЗрноэду вшадиу втрЕЭ була розглянута О.В.Стечк1нш. В шдальшоыу досл!даеная величин (3) 1 (4) продовжувалось в роботах Р.СЛсглагыовэ, НЛ.Осзолкова, В.б.На-йорова, ЮЛ.Иакозоза, В.0.Калгана, В.М.Твшшкова, Е.О.Бэлшовного. . В друга глав!, розвяваита !де11 метода, що вшгаристовувалися * вгаданшет авторами, наш отраман! порядков! оц±шш вайкрадах. тркго-ноштричних наблиаэнь клас!в £)р, е« а таког: Wp)t^.! И р в матриц! Ь ^

для р!звих оп!вв1дношэнь пш параметрам р х <у . Осбовннй результат §1 мириться в наступному чшрдаанн!.

Теораыя 2.1.1. Нвхай <г® > ■ Год£

Оп!вставивши (5) в результатом теорема 1.3.1, шявляшо вЗдаЬвноот* йповЭд1нц!веЛиЧий(Эм^б?Ц) 1 ^(¿^Ц)'

В §2 проведано досл!даання величин ¿м(Ьр«4 Д®1 к^30^

Вт '■ . . у*; г

р,о мало! гладкосИ по параметру г, 1 доведана Тесрака 2.2.1. НбхаЙ , ^ ^ . Тод!

В!да!ттга, цо для клвв!в р=И ) аналоги теорем 2 Л Л 1 2.2Л

доведен!, а для клао!в Н^ анонсован! Е.С.Вел!нським. В другому пярвграф1 доол!даэва таноа'жшэдйиа величин 5 м^у^Ц)»

Тесрека 2.2.1При , 1 мае Шсце оц!нка

1з (Б) 1 (7) шшливав, що 6ц

В §3 продовкено вивчення райЕфших тригонометричних наблииэнь клао!в . XVр^ г Нр в метркд! . Оформулюемо двяк! 1з отри-

маних тут твэрдкэяь.

Теорема 2.3.1. Нехай , •;р-. Год!

Що стосуеться в1дпов1данх рэзультатгв для клас!в Ир 1 , то

порядки еэличип ^ • 1ем(мр>ц)

, 'гл>- вотановив В.Ы.Темляков, а оц!нки звэрху для

ем(\у^, Ц}> нр^• <,ц V~ Е-°-Б9Л1НСЬ-

кий. В доповнэння до цих рэзультат!в наш доведена

Теорвна 2.3.11. При $ /]- ^ Мде м!оца оцшка

Кр1м цьаго в третьему параграф! отриман! точн! порядки величин е^^М^ Увшадках Вауважимо, що при цьому на кпасах у вшадку 00 вияв-

лвн! дбяк! ефектн, як! в аналоПчних ситуац!ях на класах '^.и Пр нв проявляются.

В чвтвэртому параграф! вивчавться найкращ! тригономэтричш наб-л0ж8ння шю01в *Фр И р!ВД0М!рН1Й М8ТрИЦ1.

Заключна чаотша друга! глави дасвртацН приовячвна дасл1да:эшпа питань найкращях <3!л!н1Йних иаблшкэяь. Поанатамо черва ноки-

ну функц!й 11п ам!ннга ^^^^ для яких

&к!нченна вмйпана норма

НСмМ^-ИКъ^Ч*.

да опечатку бэра твоя - норма функцх! , ^) по зшншй х , а

п!сля цього г- норма да бшшШ ^ . Для Ц, доведено ъежяжву ,

1 для функцмналъного класу Р шкладэко

В1да1тшо, цо питания бхлхнШюго иаблнжэаня 1ндав1дуальвзх фушцйЗ, а тахш клшо!в функцШ доол1даувштсь в роботах Е.ПМдта, I Р.ОЛсмвгиова, Ч.А.МХчалл!, А.Щшуса, В.Ы.Тешишова, М.-В.Бабаева тэ Звашх.

в §5 отримвнх тачз.1 порядки валюта (8) даю ряду Ъгг1ез1даошеш> парамэтраш у>- , 1 при уыовх, що ^(х-^). р

Р- » аб° г-Фр • Офориулаеыо даяк! 1з результатов; '

Чеорём В.5.2. Нэхнй 4 ¿^>62 , 9 £ о, 1 . Тодх при

\ ¿Оо ,

В1дгов1да1 оц!вка велачш. ^^вотааовлэв! В.М.ТбшшкоЕйм.

Георгам 2.6.4. Нахай \6 б £ «« , ?А>0 . Тод! при <*> ,

А $ Ч,о *00 ■ ' / л ч \

11 Х1 . ' НшШдса: 2.8.2. Нэхай 2 ¿£|:.,4|>< <» , л1>0 • Тод!

В зашит 1й частан1 параграфу отриман! шрадкя взята см [и^р ]<? „

Трегя главе тсвртвцН практачво гава1ств, за винятком остан-яього параграфу, присвячеаа доолЬдата» колмогоровсыаа поггарз<шик1в клйс1в даята сттуац}ях 1 клйо1в фр, ) в простор! £<р

Негйй - дчяка (шятр^льао-пгмэтричмч) тсшна банахового

простору ОС , год! а - мХрякм тмогоровсыата поперечником множили ф називаетъся величина

де ~ п!дпрост1р рсзг.ирностх 1ъ простору ОС . Шдпрост1р, на якому досятаетъся никня грань в (9), називавть екстремальним п!д-просторсм. Величина (9) була введена в 1Э36р. А.М.Колмогоровим i шел же огримана парша оцйша:

дэ - гшас фуннц!й, ззданних на ЕгТ;т1 , у лкжф-'О -а исходна абсолютна нвпэрервна хЦ 11^1^ •

В середин! 50-х рок!в У.Рудышл 1 С.В.СтвчкЮТм були встановлэ-п! порядки шперэчвик!в с/п.( у ¿-2)1 «пХ^'ё^ Ь2 Точн! значения поперечников

оо , С) шэршэ отриман! В.М.Тихомировин

(1360р.) Ваялив! результата ао обчнелвншэ гоперачшййв класхв фушс-ц!й одахе! змзннох була отрясав! Ы.П.Корн!йчуком та його учнягга (В.Ф.БаОэнко, Д.О.Лигув, В.1.Р?Сан). Що стосуеться порндкоЕпх оц1нок поперэчашйв, то в роботах раду автор!в (дав., ивприклад, Тихпми-ров В.И. Теория приОЛ5й®нйЙ //Соврэмэнннв проблема математики. Фуя-даментальяш ншрэвлошл.-1987.-14.-С. 103-260) було виявлено, що для класхв

„ <*> аер!одичлих <функц!й одн1е! змхнно!

порядка йОЕврэчтк!в М \Vp\Lv)

отьсй Шдггроотором трйговоиатричвих шлхаон1в степени й'ъ . В бага-той!рвму вшадау в роботах К Л. Бабенка, Б.О.ШггягЬш, В.е.Майорова, В.М.Гэмлякова, Е.Й.ГалЕЕва булв виявлэна швлог!я з одном1рвим вя-падком, язса полагав в тому , що порядки кммогоровськшс потарэчник!в класгв £ Нр реал!зуються п!дпрастором трк-

гономэтричних шлйш!в з тордовЬсаш в г!вербол1чяях хрест!в.

В петгаому параграф! трэгьох глави отримая! точн! порядки попэ-речшк!в сТц^Ь)^ 1^,") в тих випадках, да п!дпрост!р тригонометрич-йих пол!ном1в з гармонйшми 1з ступйгчатих гптор&олгчних хрест!п е екстремальним. Таким чином, з врахувшшям результат!в тршо! глани,

задача яро порядки величии ^(Б^Ц^) Е № шшадаах. ввэлася фахс-

тично до вствдавлеывя к!дцоа!даюс оцшок эшшу.

Творена 3.1.1. йахай , , .

В1да!гшэ, цо оц±ш® веиау подарэчш!н1а клао!в Ир в ушвах

тоореш 3-1Л отршаМ В.ЫЛеыляношш £ Е.М.Галгешм в!дпов1дио. Що сгооуегься оц!шш анизу в (10), то а валдкност! в!д значекь параметра б ш II отримуемо або за допомогоа редукцН до ск1нченноы!рнога вшадку (даскрэтшац1я), або вшюриотовуючй иаближвння зсувхв фувк-цхй. Обидах цх хде£ для оц!иок попвречншпв першим викориотав Р.ОЛо-ыагыов, а п1анйа0 вони роавивалися в роботах В.Майорова, В.О.Ка-шша, е.Д.Глусясша та 1ншшх..

Гэорема ЗЛЛ розыовсвдиеаа нами х на вшадон , алэ в давним обмеяенням на пзрамэгр & . Точншэ, мае шсцэ

Теорема 3 Л .3. Нэхай Л<1уиц , >ц>4-, ^¿вб^. "Год!

Наа на в!дом! аналоги теорема а Л.а для хласгёв 1 Н^ .

В §1 отриман! такой точа! порядки поператаик1в ¿1 , щэ

в двох вшадках: ; б) <*> .

В одахй. 13 роб!т Р.О Лсмагхдав показав, що п1дгдюат1р-тригоно-мэтричних пол!наы1в степеня 6 ю. ш е акстрзыальнш для пошрбчншса ¿ЦМ^, 1,™)- ПЮля цього В.О.Кашн, отримавш ваалив! результата,

що стооувалися пошречшк!в ск!нчакнам1рних шошш, дав повннй роа-в"яаок задач! про порядки годарачшк!в <Яп(Мр > ) . 1в результата, отршавих Б.О.Квшиниы, вишшвало, до прл ки«х р} п!д-просгхр тригонометричних пол!ном!в отаданя ё уь на е вкотрамальним для попервчник1а с!^ (МУр р • П1за1шэ В.М.Гбшшкоаим було виявлв-

во, ща в СагатсШрному нипадку ц1дпрост!р тригоаомвтричша. пол!шм!в в гармон1кзми в г1пврбол1чних хрвст!в при <|,>ыс<х[|>; р] не реаМвуе порядок попврачнкя1в юшо!в 1 Нр в матриц! .

В §2 проводиться дошИдаэяня кожогоровських потэречнии!в У ашодку с^мах. » да п1дпрост!р тригоно-

ггэтршших голйюмхв з гарашЬсвш хз ступЬвчатак гйгарСолхчних жрео-íxb такая ш ревл1вуе порядок позерзчбиав с\щ( •

Мае ихсцз

Таореиа 3.2.1. НэхеЗ: a) с« , ^ llées^ , тод!

При веганозлеш! оцтон ввэрху ив корпогувалзоя ивтодои даск-рзтизац!!, В!дзнпчико, що оцйвшг ашрху хюпорвчникй clM ( Ф^ L

в умовэх таорвма 3.2,1 «тршап£ psnísa В.Н.Тешшковш за допшогою хашшс мйвувшь. Щэдо оцЬюя внкззг, то для £к вотаношгэнвя да eso-ристалиЗа

результат®®

попэрэдзьй

главк ггро СШнШй ааближешя.' Пор1вншш ¡рэзуяшин тзоро-.и 3.2.1 з отйшевяв валатая fM (5р ,(те°Рэкз 2.5.2), знаходиш, що у випадау ¿> ,

i\>k при í

i, таким чаном, при i é <9 < á г сгостарггаеко в!дапщост1 в порядках вагетсш ¿ÍM ( i Т/ч f 113 класах i

Hp в данitt ситуацН аналог гаш» ефпст мгеця не мае. .

РЛ

В ввяшчвШ частая! §2 дооладкунгься пшзречники клаоЬв Ор^а , ^ s р é <х> в ptHHoaípHía матриц!. Бстановити точн! порядки величин cbj, e;l<*>)> за вшятнвм вшшдку р = о=» ', q - '1 , тут е9 вдвлося. Отриман! порядков! оц!нки внизу в!др1знянш>-ся в1д 'Оц!нок зверху мно-

шиком виду \ Ьн и .

В^§3 проводаться досл!дшння кадаогаровсышх попэрачникхв вда-С1В в дшх втадках: а) <=« . р -^УО'!)«'

б) \ оо , « Класш , в яких параметр *г^

вадовольняе ушви г б), навиваема кяасаш функцхй мало! гладкоо-

В теоремах з.а.1 % З.а.2 встакоалеах порядков! оцшки подарач-ешкхв в1дов1даа у ншадаах в) 1 б). При цъому в про-

цесх встаяовлешя оцшж вверху в щхх теораыах вдалооя уточнитя оцхнки вверху тперачвиктв, Нр^^.) » як! ранхкз буди отргман!

Е.М.Галеевим. В к.шц! параграфу _ даслхдагяться також колмого|>оваьк1 поперечники у випадках: а! ч^1^00»

Эанлочяий параграф трвтьог глзеи присвячений триганоштричним поперечникам класхв В в простор! 1.1}. . Як в!дм!чалося вшце, в

п!дпрост1р трк-

гонометрнчииж шП'йкяйн а гармониками 18 гйюрболхчних храст!в не е екстремаяышм даш ипдаречвшга

ц)

. Б ав"язку з ци» вшвз-

кае яиташя: а чи ш мохив все-таки якшось чжом вибрата И екстпо-'ц к.з.)

нент 6 , той пзородквнжй ними п1дпраст1р реалхзував порядок поперечника 1 йпя того , вдоб доти вгдпов!дь на це пи-

чвтя. патрхбно досявдита тригошиетричний поперечник, який був введений Р.ОЛсмагыошж.

Яйца _ деякий фуякцговаяъшй клэс, го за озяэчвнвда

да дойлывлвадвтарй! кЧ*,1,.,.»^ £ "2. • 1г V"- '

В §4 доведена наттгутша р

Теореме 3.4.1. йэха» * , ЦМ .

1Г>

. Зауванимо, що аналоги ц!е! гвореш для клао!в 1 Нр анонсо-

ван! Е.О.Белйюьким.

Сп!вставивпт результата теорем 3.4.1 ! 3.2.1,Сачимо, що у вила-

рм" те м!сце слгввХдяоивння^о

таким чином, отрямуемо юзлтивву в!дпов!дь на сформульоЕане ВЙЩ9 питания.

В четверти глав! дисэртвцИ розглядавться питания наближення клаа!в (У»^)-дафэрэ«ц1йовтг функц!й багатьох змЬнних.

айав^Сх^.ГЫх^-о . №

-Л- к

II ряд Фур"е. Кехай дал!, длп функц!й натурального аргументу

1 д!йсних чисел , ряд

к Н * е рядом Фур"е дэяно! функц!! 1з

Дю функции, насл1дуют ОЛ.Отепанця, нозначшо * назвамо (У,|^)-пох!днов функцП

Нножшузфувйц1й » що задоиольнявть таку удаву, позначимо через . Яйцо

1 при цьому , то говорить, .

Заувагомо, що прй НГЧ , г->0 , класи Ь^р сп!впадаюгь з

клвсаш . ^

Довл1даэвая клас!в хфоводамо в двох напр ямах. Опечатку

вствновляемо точн! порядка найкрадах наближэнь цих клвс!в в матриц! Ц, за дбпомюгов трагойоштрячнга шлМв 1з множив^

або С^^ р^ (дав. нижчэ), а гот!м даемо обгрунтувавня такому вибору

вгрегат!в наОликеяня.

В §1, який е дошлйгаш, отрииан! умови компактного вкладення

клао!в 1|Ц> в проот!р . Для того, щоб сформулю-

вати основн! результата з тих, як! отриман! в 52, введемо деяк! поз-н8ч8ння. »v,

Через оО позначимо мнояину функцйй ] у ^ , для яких викону-

шться умови: а) - додатн! 1 Рмп V¡(кУО ;

Для кокного-К через £>д/ позначиш мноотау век-

тор!в , ЩО надовальняе ушву П £

покладемо (¿/^ = и^рСО . Заувашмо, що ноли у-(иЛ= и". ?■>£).

1 год! мнокина

е ступ!нчвтш г1пер<Зол!ч-нш хреотом' С^^ , , 'Ь* % • И* '

Наблнження функций 1з клас!в в простор! , ьо, будемо зд!йснгшати за догаошгою суы фур"е виду

^ ^^ , ¿(К*')

котр!, якщо покласти ' , мотаа еагатсати у вяг-

ЛЯД1

В §2 отриман! точн! порядки величин

як 1, виасл1док ойшжшоог! операторе «ур"е Ор/ . сггйихадяйгь КЗ порядку в ввйкрвщяш нвбляжедаям

Д8 Тф^ - ШКЯИШЭ ГГОЛ1НОМ1В 8 НОНврйШ ГВрМОНЙС 18 *

Трор?ш8 <.2.Г. Веха* V ^-ун Тод! при р £(-!,<«)

ШмУЕ/ЦД^.

1В

Наод1дов 4.2.1. Наха» V ЧН'бЬ , £¡<=11, .

Тод!

Для^того, щоб сформулшати результат, щр стосуеться нвблшгення клво!в р в простор! пра \<р<<у<оо, введено щэ да ян! позна-

чення. Нзхай с1 - дов!лье9 нвв!д"емяе та ало. Позначшо через Я] л.

п!дшгаетну фувкцй! хз ей , для яких км Ч(уЛЬ.гО . Дал!, для

Я02Н0Г0 Л прл \ < р< су ^ оо шношдеш

! говначиио ^

-г- 4- М Пу

дэ 1 С^л^р^г»- мношша пол!ном!в з номера*® гармоны !з

Тесрёиа 4.2.2. НехаЙ < с« , ¿г-^ , у £ , а.е Ц

Тод! '

В §3 даеться обгрунтування отбору гол!ном1в !з мнокин | ор. 1

Т ч> I4" 11^

для нзближэння клас!в в метриках А^р 1 1~> <у в!дпо-

в!дяо. Гншими словами, досл!джуються колмогоровськ! топврэчняки кла-) V

с!в в метриках н1даов!двих простор!в.

Оформулюеио два результата, отримая! а §3.

Ееорена 4.3.1. Нахай V Ш , Тод! при

^¿(А,"0) мае м!адв оц!нка ^

да числа

ша"ааан! агёвиздаошшшйм

число элемент 1в множив С^ц . Зааначимо, що при ^(У^УС^ порядок поперечника с^(Ц^)^^ аовдвааданий В.М.Гаяееввд.

Теореиа 4.3.а. НахайрЦ^Д! »А" р~ 2 1 ^ Тод! справедшва оц1вк»

дэ числа М 1! ша*»аш1 сп1вв1даапешям , | .

число элементна даозшш «г . '

Кр1м цього в 63 ввтанавлвна тачка по порядку оц!ша поперечника

Такш чином, отриман! в чатвертШ глав! результат» св!дчать про те, що для нзблшюння клас1в в просторах 1-|> , або до-

цШьш вибирати тал1вшя в!дпов1дно 1в множйй 1~Т>у< к

го

Ожовпх рет/лъттп та езсксбкя

1. Встаковлек! тота! параден наближзндя кяас!в Бесова, а також клас!в а обкэгэаов Сф* Р > —пах:£дгчои трзгонокаграчншж полёгокзш з гарнонхка-!.а в!дпов1дно з гйтерболгчнше хрэстхв 1 1х аиалаПв. Отримвн! результата при певши зяачэзшях. параметра О , що входить в означения класхв Бесова, сяхвпэдазть з вхдегяаш результатами для клпв1в Соболева та Нхкольсьяого.

2. Одэрг.ан! тотлх порядки наШфзчзх твкгенопэ'гртгос та ортогопальгах тригонкяэтргшшс набважвь хле&в Бесова, а такоз клаехз Соболева 1 Шзсолъського в дэкшх сзтусцхях, янг валгаалксь не внвчонпш.

3. Провэдош ДОСЛ1ДК9ЕНЯ нвйнрзддх бХЛШХйШЕХ пзблпетнь есув1з функций 1з вгадаипх нласхв у пхдпозгдшх фуякцЮнальюпс просторах.

4. Лося!деэао поездгнку ксшгагорозсысшс та трагопомэтрлчних поперэч-никхв зелпехв Бгсова в простор! а такоп дошшзпо % уточнено дэя-к! результата, ею стосувтьсл нолшторовськкх пошрэчник1в клвоХз Соболева та Нхкодьсъкого,- Встаяовдэно» цо в ряд! втаадгПв огримаях оцшш колкогоровсышх гопзрэчшжхз шгЕпадаить по порядку з вхдгго- с вхдштки'оцгтеазн! бЬлшхйшх паблнкень.

Б. Побудовано Шдщростора тригонометрячкнх шл!вом1в, як! рэайвуоть йорлдка колмогоровсышх пошрэчншехв класхв Функцхй, що визвачеэться узагальшною (<|),р)-поа:1дЕгат.

OcKOEHi лсшоканнк дасертацх! ощйп$коаан$ в таких роботах;

1. Родашк A.C. Прибливешэ классов париодачашша фуницйг многих переменных метрике Lc^ .-Киэв, tS3ö.-47c.-(Rpanp./AH УШР.

йа-т математики; 20.20).

2, Рошишг A.C. О KOJiiaTopoacKHX & лиаайнах шшарачнаках шшссоа Бесова париодйчэскш: ffiggapfii кашта Евраыаншг// Иасдадошэяи» во по теории прибливедаа ©гнвцвй. -Киаа: Ка-» катаыашаз АН УССР,

1991 .-С.86-32.

5. Роданвд A.C. ЛриблшэЕпэ классов Басова шраодшаоких функций ' многих переменных в пространстве JLa/VSicp. иат. Eypa.-tS9t.-43,

йш.-о.13эа-14св.

4. Ропаки.; A.C. О щшбжвешЕ классов пардадачаскш: функцвй шаиа переменных // Тш sa.-tS92.-44, 1S.-Q.662-672»

6. Ройзнвк A.C. Наилучшие зршзшкэтрачвокив и билинейныа прийвяаэ-ния функций многих дврэыеыннх ев классов б . 1ft laa ш. -1992.-44, £11 .-0.1635-154?.

6. Роивши A.C. О приближений классов Басова функций многих парз-мэлных частными суммами Фуръа о ввданшм числам гармоник //Оптимизация методов прзбджиЕия.-Каав: Ин-т математики АН УССР, 1932.-0.70-78.

кногих переменных частными (фазами йурьэ с произвольным выбором гармоник // Ряда Фурье: теаргя в яршюк&шш. -Iteaв: Ин-т uamrn-теки АН УСОР, 1992.-0.112-118.

8. Решит A.C. О наилучших тригошЕйтриаских приШшйэетях в кол-ыогоровских попэречшшах классов Бесова функций многих пэремэн-ннх П Укр. мат. адм.-1993.-45, -0.(363-676.

7. Рсиашк A.C. ЦриОпшшниз ккаесов

9. Рошстк д.С. Наилучшие тригонометрические и билинейные прийлтаа-

икя функций многих переменных из классов ßp s . II // Там se.-1993.-45, >510.-0.1411-1423.

10. Ptaaimt A.C. О коямогоровских .поперечниках классов Bßp-периодических функций многих переменных налой гладкости в пространства

Цу/ Там КЭ.-19Э4.-46, J37.-0.915-926.

11. РскЕиис A.C. О наилучших приближениях и коиюгоровских поперечниках классов Басова периодических функций шогих пэрвменнах // Таи ЕЭ.-1995.-47, .'51 .-0.79-92.

Ршанхя: А.С. "ййслэдеbseue по вкстреьшдыш^ Ездэчан теории щнйиженая для классов п^раадячаскях ^уагзфкй за»отвх пер^енвах".

Диссертация на соискание ученой степени. доктора фнзико-штематичэс-iQEX наук по специальности 01.01.01. - матегштютеский анализ. Институт матештшк ШБ Украины, Киев, 13&S.

Защищается дассартацая, посвященная исслэдоьаншо некоторых вопросов приближения классов периодических фунаций иеогих переменных, обладаадях оаредалекныка даффаренциально-рааыооткша! свойствами. Найдены точные по порядку оценки наилучших нрййлии&ний в тих классов пшшом&чи с гаржшакаш из гширОолячеша. краотев. Установлена порядки нэидучлих три-опшзтряесасих м Сшкн'лйаыа цркОлашвяй, кол-могоровских я григономэтрнвогоа псшрачников расшатрзвабкых клае-сов. Построена подпространства трш'оеоглэхричвсккх поииошн, которые реализуют порядки кохмогоровсгда: вшарачшшт классов (ф»РН№$1в-ренцируешх фуввдай.

RoaaayuS; A.S. "Inyeslig&liaa од estrensl ргоЫогл о! approximation theory for alamsa of periodical iunatioaa.of ssvex-ai variables".

Tsesis for a doctor of Falsical and Eattemtlcal 2с1еазаз degree on speaiality 01.01 .Gt. - mathematical analysis. Institute oi Uathema-tics of the national Acadetsy of Sciences oi moraine, Kiev, 15%.

She thesis is defended tie voted to the investigation of войэ problems of approximation ol classes of pariotiical functions of several variables, posseaing specific dlfferential-difiereme properties. Exact order estimates are found of the best approximations of this с1вззеа by polynoia-iala with harmonics iroas hyperbolic crosses. The orders are determined, of the boat trigonotnstrifi end bilinear approximations, Kolmogoroff*в and trigonometric ttidthea oi the сХаозэз under consideration. The spaces are constructed of trigonometric polynomials realising the orders of Kolmtigorof f * в wldthes of tha classes of (ф,р) - differentiable functions.

tt»OT8Fi слова: rapwoaina, сума Фур"е, г1торбол1чвий крест, «ййкрч-щ? нэблпячняя, ronsp8чйеи.