Исследования по предельным теоремам для сумм слабо зависимых банаховозначных случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН Институт математики имени В. И. Романовского

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ ТЕОРЕМАМ ДЛЯ СУММ СЛАБО ЗАВИСИМЫХ БАНАХОВОЗНАЧНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛЕЧИН

01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации на соисканпе ученой степени доктора физико-математических наук

ол

На правах рукописи

ЗУПАРОВ Талат Маруфович

Ташкент — 1995

Работа выполнена' в Ташкентском государственном университете.

Официальные оппоненты:

академик АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор Т. А. САРЫМСАКОВ, академик АН Литвы, доктор физико-математических наук, профессор В. А. СТАТУЛЯВИЧУС, доктор физико-математических наук, профессор

III. К. ФОРМАНОВ.

Ведущая организация — Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стсклова РАН.

Защита состоится <И6 » 4_199^года

в часов на заседании спещшлнзнрованного совета

Д 015.17.21 в Институте .математики имени В. II. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент-143, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В. II. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан « ^ » „З*.и_199^года.

Ученый секретарь спецсовета, доктор физ-мат. наук

- д_ Хашиыоа.

ОБЩАЯ ХАРАКЮТСТШ РАБОТЫ

Актуальность теш. Одной из задач теории вероятное "гей является изучение предельных закономерностей аря оушкровании случайных величия (о.з,). Внутрзкизе развитие теория вероятностей в ранках общего развития матекатикя, ииещзе тенденцию к обобщение и расширении границ применимости классической теории, а также потребности прикладного характера из других отраслей науки, техники я естествознания вызвали х гжзяи необходимость изучения как с.в. более общей природа, так я случайных величин , подверженных тем или другим форты гашеш-оота, В последнее время вое большее внимание уделяется предельным теоремам в бесконечномерных пространствах, так как целый ряд практических а теоретических задач математической статистики, теория случай -ннх процессов, теории кассового обслуживания» статистической Физики можно формулировать как верояткосгнке задачи в некого -рых функциональных пространствах. Слой зклзд в развитие этой области виезлк шопт крупные ученее.

Прогрзсо з этой области в первую очередь овяэан с инзнаии А.А.Нэркова, С.Н.Бэрштзйяэ, А.Н.Колмогорова, Да.Дуба, О.В.Прохорова, Т.А.Сарцис&кова, СД.Скрахдккова, А.А.Вэровхова, И.А. Ибрагимова, В.А.Сгатуяявичуеа, Э.Э.Оаонова, Ю.А.Розанова, 11. Розенблатта, В.И.Паулаусгшоа, В.Филиспа, А.З.Скорохода, Н.Н.Ва-хаимя, С.В.Нагаева и др.

Систематлчеокое изложение '¡.•-гор!;к йороя-яоогхос распределений з функциональных отостраштаах берет оноз качало в работах Р.Фораз, Б. Мурье и затем былепродолжеяо Л.Ле Ктэ-\ О.В.Про -Коровин н В.З.Сазояовмм. Последними рву и;; Азтор.~чй в '¡эстноотх.

было показано, что шогяе из исследуемых статистик выражаются через нормированную сушу о.в. оо значениями в абстрактных пространствах и, следовательно, асимптотический анализ этих ста -тистик сводится к изучение суш с.в. со значенияш в функцио -нальннх пространствах.

В настоящее время предельным теоремам для сумм независимых олагаешх (как в конечномерном, так и в бесконечномерном-случаях) посвящена обширная литература. Имеется немало работ, посвящениях предельным теоремам для с у им слабо зависших с .в. Однако предельный теоремам для су},¡к слабо зависишх с,а. со значенияш в банаховых пространствах посвящено очень мало работ. Это объясняется тем, что при обобщении классических предельных теорем для сумм слабо зависимых с.в, со значениями в банаховом пространстве возникают, не говоря о технических, совераенно новые принципиальных трудности, связанные с нормировкой, с невозмокноотью (из-за зависимости) вцракешзя ковариационного оператора суиш слабо эавиоишх величин через ковариационные операторы слагаемых, с нехваткой удобных методов исследования и др. С другой стороны, обобщение более тонких классических результатов, связанных в первув очередь о оцеикаш скорости сходимости, на зависите с.в. сопряжено со'значительным! трудностям» уке в случае действительнозначннх о.в., не говоря о многомерных и беско-

* '

нечиомерных.

Цель работы. Исследование последовательностей слабо зависимых с.в. со значенияш в функциональных пространствах.

Конкретными задачами исследования были: - развитие некоторого общего метода доказательства предельных тзорём для последовательностей зависим« с.в. со значенияш в

паховом пространстве,

получение оценки остаточного члена.в центральной предельной »реме,

'/становление принципа инвариантности для слабо зависимых с.в. >ценка скорости оходашсти,

¡зучение вероятности умеренных уклонений для различных клас -I слабо зазисишх с.в.

Методика исолздованкД. 3 работе используются: метод аппрок-«ации слабо зависимых о.в. аезавасншни' ояучаШмш эолпчина -, метод Бернптейча, метод Ю.Б.Прохорэва одного вероятностного ¡странотва, метод урезания, подход В.М,Золэ?срева, использу-.4 яри оценке'остаточного члена з центральной предзд&ной те-кй. и др.

Научная новизна и практическая ценность»В диссертации поет! ода дующие основные результат:

ала оценка остаточного члена в центральной предельной теоре-для последовательностей со значения!.« в вещественном баиа-ом пространстве, удовлетворявших одному из оледуввдх условий Зой эаэяоишотн: абсолютной регулярности, равномерно силько-гссренсаипанкп, ИХ - заикокшети,

?лучеш< иомеятнне нераэзнстяа типа Роэеатаяч для олабо зявн~ 1х случайных векторов,

!тановлен принцип инвариантности для олабо зависишх с.в. а пека -неулучиаемая' оценка скорости оходлыооти, юрвые по луч о на иеулучааеюя тю порядку оценка остаточного !а в центральной предельной те про «о для последовательностей , удовлетворяющих условию полной регулярности о К0аф1и«вви~

том, стрекяаишя к куда степенный образом.

Результат диссертации дагуть быть использованы и уда частично используются при решении задач теории случайных процессов, математической статистики, аналитической теории чисел, статистической физики и яругах. Эти результаты используются также при доказательстве предельных теорем для случайных процессов оо значениям! в бапахових и общих линейно - метрических пространств.

В диссертации проведено систематическое теоретическое исследование в области предельных теорем и существенно развито перспективное направление, связанное с изучением суй.' слабо завиои-шх с .в. со значениям» в банаховой пространстве.

Апробация. Результаты диссертации докладывались: на оеш -карах по теории вероятностей к математической статистике Ш -теиатичгского кнатитул ш.В.А.Стеклава АН СССР, Московского государственного университета ии. М.В.Лотцосова, Ленинградского отделения Щтематического института АН СССР, Института па-тематики и кибернетики АН Лит ССР, Ленинградского государственного унигероктета нц.А.А.Еданова, Вильнюсского государственного университета иц.В.Капсукаоа, Ташкентского государегаенного университета кы.В.И.Лешш; ка 11,111,1У и У - Вильносоких международных конференциях по теорий вероятностей и матештичеокой статистике (1977, 1981, 1965 и 1969); на ЦТ и П Советеко - Японских симпозиумах по теории вероятностей и математической статистике (Тбилиси, 1982 ц Киев 1991); на III Ферганском коллоквиуме по предельны!« теоремам теории вероятностей (Фергана, 1963); на I ¿¡ездународиоы конгресс о общества ии^Бернулли (Ташкент, 1966); на всесоюзной конференции по «атекатичсской статистике, посвя-

ценной 100 - лети» В.И.Романовского; на республиканской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Ташкент, 1980), на совещании по вероятностным и статистическим методам и их применения в физике и технике (Алма - Ата, 1988).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [j] - [l2] , список которых прилокен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 282 страницах н состоит из введения, трех глав к списка литературы из [68 наименований.

СОЛЕРЕАНИБ РАБОТЫ

Пусть SC - сепарабелыюе вещественное линейное метри -(веков пространство и (£2 ? Т, Р ) - основное вероятност-

юе пространство. Пусть - алгебра борелевских

токеств пространства 9Е . Измеримое по Бсрелв отображение

К : (£2 ,Т) —> называется случайной величи-

:ой со значениями в 9С или ЗС - эиачной случайной величи-ой С % - з.с.в.).

Пусть h-ín) ; П-1,2,... j - последователь-

ость ¿ - подалгебр <э - алгебры Т , Через .М^Д, £>) бозначиы £ - алгебру, порожденную <о - алгебрами •

l¿CUTc< Je(ti) . Обозначим

~ s«p j р(Д В) - p(a)pcb) i

A € mn(i, ы bcnjb+т, itito)

A^.D-el sup \p(A/Mo^-pcajH

0/ v \E(X-£X)(Y-ey) I

f ft, т) = sup

YCT , ' A eVe^y-Ey/

|p^ab) -P(a)P(S)\

YOc.t) = Sup -р7дГ~--

11 ACJ^fcbPiA^«»

6tMft(ictt, Tci-a;) Ш окажем, что последовательность 9C - з.с.в. / у " '11=1,%.. | удовлетворяет условию сильно] перемешивания (о,п.), уоловив абсолютной регулярности ( а.р условию полной регулярности (п.р.), условию равномерно силы го перемеаившгая (р.о.п.) и условию tn ~ зависимости, если i

с( fx)-sup c/Jfr.T)-»©, П(т)= rup R (fc,T)~»C

- fc.n *

Чх)= sup f (тс,г)-*о, if(x)=jwp *f 0«,t)-*o тс, л n к.п п

любые две ^ - алгебры .М (ft-Tc, О.) и М (&.& + ( ) незави-

п ъ . fi

иш при b — Cl > иг .

Первая глава диссертации посвящена изучение распределений

умм слабо зависимых 9С - з.о.в,

В § 1,1 доказывается аппрокоииационная теореиа, позволяв-

дя сводить задачу изучения распределений оуш слабо зависишх

.в. со значениями а % к изучению распределения оуцм незави-

яшх St - з.с.в. Эта теорещ используется при получении боль-шиства результатов первой главы. Приведем формулировку этой те-

реш* ' О0

Геореш I.I.I. Пусть i .fc(tl)i П> 11 -

юследовательиооть Q? - алгебр и || Hifc*Tc(f|); ftpj 1 -

¿у. * Ute I

гаследовательнооть л - з.о.в., изизришх относительно ,

i - иезав'иоишв - з.о.в., такие, что распределения

V*tic А. »

ь я совпадают при ~

9UK

Тогда для любых Ae^HX), it=f,2,... » fi V« Tcftl)

Главноа целью главы I является нахождение оценок окорости зходицостн в центральной предельной теореме, для чего прздяага-

V X *

гний здесь, метод' представляется нам наиболее пригодна«.

В § 1.2 получен ряд шиентннх пэразекота для В - з.с.в.

Сздесь и в дальнейшем ¡5 - сепарабельное взщеостеньод бгша -

хобо пространство о нормой |) ( теорелш 1.2.1 я 1.2.2),

Эти утверждения обобщают и уточняет ранее известные неравенства из работ Иооихары, М.Пелиград, С.А.Утева и др. и являются более общий:: и точными дане в случаях веществекнозначных с,в. рассмотренных в некоторых из названных работ.

Теорема I.2.I. Пуоть (Х^ ¡Ъъ j\ - последовательность В - з.с.в., удовлетворяющая условно п.р. Тогда существует конечная постоянная C^fc, f (')} , зависящая только от! >0

и коэффициента п.р. f(') « такая, что

В § 1.3 доказана центральная предельная теорема для стационарных процеосов в гильбертовом пространстве Ц , удов -летворявщих некоторым условиям перемешивания, введенным! И.Г. Нурбенкс (ДАН СССР, 1986, т.278, Й 4, 793 - 796), являющимся менее ограничитель кыш, чем подобные условия из § ¿.I. Из этих утверждений следу»? некоторые известные результата о центральной предельной теорема даже в одномерном случае. Штод дока -э ателье тва этих теорем действует и в более общих чем И банаховых пространствах,

В § 1,4 получены равномерные оценке скорости еходкиэоти в центральной предельной теореме для Б - з.с.в.,удовлетворяющих условно а.р. по классам инокеатв, которые шире клзоооз шаров и эллипсоидов ( теореш 1,4.1 - 1.4.8). Дрш того, чтобы охарактеризовать полученные в этих параграфах результаты, ш ограничимся перечне легшем теорем, относящихся к равномерным оценкам в центральной предельной теореме для Б г з.о.в.,удовлетворяющих условно р'о.п.

Пусть)( , •••• ~ CTP0P0 стационарная последовательность в -з.с.в. +хп,уг(а)=1 iixhnj+a, £Ч(0,Т) и _ гаусоовская В - з.с.в, с нулевым срсд1ии и ковариационным оператором Т и её распределение , соответственно.

Пусть .А €$Cß) удовлетворяет следующим условиям, введенным В.И.Паулаускасом:

(A.I) множество А связное, ОсА и каядня луч"Ьэс , "t >О • // 0С|}=Н пересекает границу "ЭА ынонества .А в одной точке;

. (А.2) функционал

ctA(x)= 3«ф{ьо; -p^-TAj

является трижды дифференцируемым для всех ЭС ф о (дифференцирование понимается в смысле Фреше, T)^cl^('X) обозначает t - ю производную отображения Г"х) в точке от ) и

i г W т W . '

tut d (v:) ~ hi Sup d <-r)=m <oo-

Ux|H A Wl A

(А.З) для любого распределения с нулевым средним , сильным вторым моментом ц ковариационным оператором Т*

Г <2)т 2 % т

в

Будем говорить» что мноаеотаоА и гауооовская иера удовлетворяет условию (А.4), если существуют константа С^в/Г' А) и число ^ такие, что для всех £ > о

SllP Ср;'((91Мьа>))е).:SC,(Ъ.ъа:ia|*)в,

i IT \

А(г,ф-Аг«-а-, \a)v(a\л А

€ ' ' I" С

А=I тсс В; «х-у у < е, уеАв\ (в\а), <U&

и константа С, (В,Т. А ) имеет свойство

СДВ,оГГ,А) « (В,Т,А)

для всех ОЧо(< 1 и некоторого ^ > О .

В дальнейшем будем предполагать, что В € , т.е. oi раяение J : В\|о| f = . 11*11 триады дифференцируемо

имеют меото оценки

ВЛх^Са.В)»^1",1 U.1,2,3; осФ0\

Положим Ы = in г / Сп2., ■ - •

и предположим, что

г

FX, - О , eilX,» •

' -Aft

Теорема 1.4.2. Пусть

ковариационный оператор В - з.с.в. ^^^ Jj-- «

где ' * ^^

я.

Гогда %

и

Теорема 1.0.5. Еоди tf(tc)fCtt" н

г £

EjjSj * с н EUXJ

•а

[Ь8в

$ ft*?* т

•де I^jq - ковариационный оператор В - а.о »а,

j р se-tj 1Мй.~\

Теперь ш перейден к случаи 8 — Н я АгУ/о). Эдеоь

i

ценки оотаточного члена в центральной предельной теореме эна -

нтельно улучшается н удается уточнить заваскшоть

т ковариационного оператора.

Пусть - сспарабэльноз вояео-веппов шльбертово проот-

анство о нормой Н *Н » перееденной сколярным произведением

v •) , Р ',» Р •,.,', - ортоиорщроваякый das но в 14 v ■ 1 '

усть А^ IX • ••• - строго стационарная пооледосательнооть

;-{ - п.с.в.,2 xlcj = = ,

- м -

Оо

¿о = Е ("ЗД.,,, -ЕХ.^Л,)-ед +

оо . .

Предположи и, что ^

= е||х4|) <оо.

Теореыа 1.4.7. Пуоть строго стационарная последователь -ность Н - З.с.в. % >Хг удовлетворяет условию р.с.г

* |, Д>0 и Гп - ковариационный опе-

ратор Н - а .с .в. |г Р=

гао /I, -

8 ' «

Л 'ч ; а^сь С(а,т)«{ 1-1 . Пе^М

я А, >/ А^ ... - собственные'эиачения ковариационно-

го оператора Т® . _0

'х'еореш 1.1.8. Если , то

где ТП0 _ ковариационная оператор Н - з.о.в.

Вторая глава диссертации поевли-епа принципу инвариантности (п.и.) и оценкам скорости оходишоти э п.и. для слабо зависимых с.в.

Принцип инвариантноете является одной из наиболее содержательных частей современной теории вероятностей. Развитие этого направления связано с »йенами А.И.Колмогорова, У.Донскера, О.В. Прохорова, А.З.Скорохода, А.А.Боровкова и др. •

П.и. для стационарных последовательностей о.в. с перемепи-ванием был установлен в работах С.Давыдова, И.А.Ибрагимова, Лу Хуан Ронга, Н. Пели град, Н.Херндорфа, В.З.Городецкого и др. Для необязательно стационарных последовательностей о.в., удовлет -воряющих одному из условий перемешивания, п.и. доказан в работах В.Филиппа и Вебба, Лейша, ЭберлеЯна, Неймана и Райта, Я Хе-рндорфа, М.Пелиград, С.А.Утева

Пуоть У • ХР »• • • - последовательность о .в.

2 ' 2 £ ъ.

Далее, пусть С Г О» "О - пространство непрерывных функций на Со, 11 с норм й IIХФ11 1' / . которая порождает в нем 6* - алгебру борелевских множеств. Об-

разуем случайный элемент У^ Н) язС[р, |] положив

Пусть - стандартный броуновский процесс

случайная ломаная из С С©» I) , которую ш построим следующим образом.

Рассмотрим точки очсреэка Со, \ 1 вида ^^Г Ь2- упо] ядочим их и поотроиы на отрезке [0,1 3 непрерывную случайную л<

ианую ЭД^ (О с верм»;ами в точхах 0|си' ) (еслк

2 _ а

п~ • • - п при + - + К:^ , то за вершину

ш береи любу» нэ точек ^^ /Вп) ). ЧерезУп

v/ соответственно, ш обоз качни распределения величин У^ (i) ,

Следует отиетить, что во-всех вшеперечислешгах работах изучается слабая «ходимость У^ к ^ и от исходной последовательности требуется либо условие стационарности, либо такое условие, которое ке.выполняется для достаточно широкого класса не-

Ж \

стационарных последовательностей ' .

В 5 2.3 изучается слабая сходимость к V для последовательностей | К-1.2.-; Я удовлетворяющих одному аз условий вереиотквания.

Приведем теорену 5.3.2, которая охватывает достаточно ен-рохиЯ класс с.в. и/шляется зяачнгельши обобщенней в этом сшс-ле результата И.Пелиград.. "

Огиетии, что в дальнейяем, т.е. после опубликования ре-

зультатов автора С.А.Утевыи также получены теореш о п.и., свободные от этих недостатков.

Теорема 2.3.2. Пусть последовательность с .в. | | удовлетворяет уоловию р.с.п. ЕХъ^О > ' ^ " . .,tl и выполнено условие Линдеберга:

\ 1KJ &tt I 0 ' ^ « > о

»С = 1

(здесь означает индекатор события Л ). Тогда имеет

нес то слабая сходимость мер

W.

Основное отличие теоремы 2.3.2 о? результатов вышеперечисленных авторов заключается в том, что не накладывается никаких дополнительных ограничений на рост дисперсий частичных суш. Пусть д

х- ^ »пах В.\и

К* max В2 1 m

и Ц) - непрерывная случайная ломаная о версшнаш в точк-

ах ( , n Jfy^) . Если некоторые совпада-

ют) то за вершину ш возмем любуи из них. Пусть W^ - рае -пределение случайного процесса в С £Р,1 j •

Теорема 2.3.3. Боли выполнены условия теореш 2.3.2, то

Wn* * w.

Следствие 2.3.5. Предположим, что выполнены уоловия тео-pei« 2.3.2. Пусть* ' Функции принадсежазще

Тогда

.....

~ W (% (В < Ш) * % (i) i i е Со, <3) .

Определим L(P.Q) - расстояние Леви - Прохорова мея-ду распределениям! Р и Q в банаховом Пространстве В :

l (р, q) ~ ¿и {e>o;p(a)^q(a£)+£í va<z%(b)\.

В работах Беркеаа и Филнппа (Atiu- 1979, 7,-29-5*4 ), А.А.Боровкова и А.И.Сахакенко (Теория вероятн. и её примем.,198С т.25, Я 4, 734 - 744) предлоЕйны методы, позволяющие получить оценки расстояния Леви - Прохорова для различных классов слабо зависимых последовательностей.

Первые оценки W*} в этом случае, методом одного ве-

роятностного пространства, была получена ИооихароЯ (1979), когда »-Xg »... - строго стационарная последовательность удовлетворяющая условию а.р. с коэффициентом перемешивания УЗ (Т)j

IZKÍflM) <оо

при существовании у слагаемых абсолютного момента порядка 4+S ( § > о ). Его оценка имеет вид -itl^n) •

При условии р.с.о, и.о,п. скорость сходимости к нулью расстояния Леви - Прохорова, такаеидля.стационарных процессов , изучалась в работах Канагава, В.В.Городецкого и С.А.Утева.

Оценка с короста сходимости к нулю расстояния Леви - Прохорова L (W-ti* V/i . когда исходная последовательность о,в. не обязательно стационарная, насколько вам известно, ранее не изучалась.

В §2.4 главы II устанавливается оценка сходимости в п.и.

при различных уоловиях олабой зависимости без предположения стационарное тн.

Теорема 2.3.1, Пусть последовательность Тс = ^,

-••» и ; 11 = 1,2,.-| удовлетворяет уоловию р.о.п.

для К= -{ , Z ,..., 11 .

^ стс~е; о > 0(5)

где

(ы ) ; -И* <5.

Тогда существует такая постоянная С(% 8, с^ , зависящая только от 3 , 0 и С , что .

1

/ п (С

\ . Тс=-4

Следствие 2.3Д. Пуоть Х^ , Х^ #... - стационарная в узком сшсле последовательность е..в. удовлетворяет условна р. .с,п. с коэффициентом

.... . -в

д(*с) ^с|с ; в , 2

и ' ,, • . , •

Коли

В* > г 11 ЕХ1 ,

(I)

, зависящая только

1(ц,,У)«С<*.Л.с)Г Д п

Заметим, что в следствие 2,<».1 условие (I) можно заменить условней , Оценка , У\7) в теореме 2,4,1 являет-

ся окончательным 9 смысле зависимости от и моментов исходной последовательности,

8 главе II изучены такао скорости сходимости к нуле расстояния Леви - Прохорова (Ь/ц ' Ь?) яяя пооледоаагельиостгй удовлетворяющих условию о,п.

Теорема 2,4,2. Пусть последовательность / ЗС^ц' ;

11 > 4 ^ удовлетворяет уоловаю о.п. » для некоторого В ; и 0 <. йг 1

П, (2)

О)

(€5+ ; <4,

Тогда

_1

Следствие 2.4.2. Пуоть стационарная в узком смысле последовательность^ '-^Ct '*'* Удовлетворяет ус лови» с.п. и ви -полнены условия (2) и (3). Кроме того если

2 f) 2te

V> r*E IX, | , ^

ТО / 5 - S~2

г/ \ / * )

L(V„,w)^C(s,f,c) I у

В главе III исследуется оценка остаточного члена в цент -ральсоП предельной теореме и вероятности умеренных уклонений для последовательностей К - з.с.в., удовлетворявших соототвен-но условиям п.р. и р.о.п.

В последние годы при исследовании остаточного члена э центральной предельной теореме для эазисишх величин наряду'с из -вестным методрм Берна те йна появились ряд конкурирующих методов: метод Стейна, метод семиинвариантов и логарифмических производных , метод Статулявичуоа - Тихамирова и др.

В литературе основная часть исследований, связанных о предельным теоремами для зависимых величин проводится методом Верните йна. Это не случайно, так как среда вышеперечисленных ме -тодов метод Бернштейяа отличается своей универсальностью. Он применяется как в конечномерной, так и в бесконечномерном случаях, в доказательстве центральной предельной теореме, закона повторного логарифма, при оценке оотаточного члена в центральной предельной теореме, принципа инвариантности и др.

Однако при оценке остаточного члена в центральной предельной теореме для олабо эазисишх величин до о их пор методом

Берштейна не удавалось получить оценку лучшую чемО^И- ^Н и поэтому был» высказаны мнения (Ч.Стейн), что оценка порядка

в центральной предельной теореме для стационарных процессов о перемешиванием является пределом возможности этого метода, и что этим методом нельзя получить окончательные оценки з центральной предельной теореме.

В работе опровергается это высказывание (теорема 3.4.1). Применяя оценку скорости сходимости в центральной предельной те ореме для независимых с.в. в терминах усеченных разностных >.» • ментов, методом Вернатейна доказано, что существует Sc , $0>2 ■ зависящее от коэффициента п.р. f(') , такое, что для 2<S<S0 получается яеулучшаемая по порядку оценка в центральной предел! пой теореме.

Здесь следует отметить, что в этой теореме получена неулуч шаомая по порядку оценка в случае, котаа коэффициент п.р. стремится к нулю степенным образом и другие методы в этом случае лу бо не применимы, либо дают, значительно менее точную оценку чем

в нашей теореме. Приведем формулировку этой основной теоремы

главы III.

Теорема 3-4.I. Пусть строго стационарная последовательность C.B.Y , V удовлетворяет условию п;р. с коэф-1 , &

фициентом перемешивания ,

J^idc"0; е>о,

Еоли

EXi = О, Е|Х,|

G-1 / (Q-\\z

J t e J + e

* > Tti EX^ ; T > o.

о найдется такая постоянная СС, , зависящая толь-

coi S ,0 , С и t .что

i / \ i i & Sup P(S )-Ф(х)|^С(%б,С.Т; -

х ^ ' • ft72""

Pixy^-jL; \ е du.

у2?Г ~оа

3 теореме 3,5.1 главы III изучена вероятность умеренного уклонения для необязательно стационарных последовательностей о,в. ; р.с,п. Из этого результата, в частности, следует в незавпеи -ком случае результат Рубина и Сетурашяа (Sattleil^A, 1, 1965» h27,V.Zj,, а з случае строго стационарных последовательностей результаты и.Гхоиа и Г .Бабу (Amiß*ol.,V.^ 4977, р-222-234

Ма здесь приведем оледувщне следствия из ^есраш 3.5.1: . Следствие 3.5.1t Пусть последовательноеть (Х^^ > НМ» j удовлетворяет условиям:

- vt(s>

IL * (*)<<*>,

HM

где fis> = 2min |тсеМ- 2\z>s\j

i s e |xteft|s, s ex*n | - о «x

*nax г

" &U. "~> 00 при tl->co . __

Тогда при 1t—>Oo в области 0< Сyßti ßJ} справедли-

вы следущие асимптотические соотношения:

О

С»)

—----5>1: —--> А

1 ь ф(-х)

Следствие 3.5.3. Пусть строго стационарная последовательность е.в. удовлетворяет условно p.e.п. о

Vf(fc)i 0>о

я

ЕХ^О, ElX^jV«»' оо,

ч 00

<о2~ exf + zz: EX1X^fc > О .

я—^

Тогиа при ц_в ойлаотк 0<OC^C\mß^ справедливы ьскиптотичсскив соотношения (4),

Заметны, что метода доказательства теорем третьей главы мзкво применить т. в случае, когда исходная последовательность o.a. удовлетворяет условиям а.р. или с.п.

Ооиовные результат« диссертации опубликованы в оледуидих

работах:

±.Зупаров Т.11. Предельные теореш для некоторых классов зависимых случайных величин. - III Вильнюсская конференция по теории вероят. и матешт. стат., тД, 1981, с. 205 - 206,

2/3 у п а р о в Т.Н. Об одной теореме из метрической теории ■ непрерывных дробей. - Изв. АН УзССР, сер. фкз.-мат. наук, 1981, л 6, о.9 - 12.

3. Зупаров Т.М. Шментные неравенства и оценки остаточного члена в центральной предельной теореме для последова -тельностей слабо зависимых случайных величии. - В кн. {Предельные теоремы для случайных процессов и стат. вывода. Ташкент, : Фан, 1981, о. 69 - 87.

4. Зупароэ Т.Ы. Вероятности умеренных уклонений для ^

- перемеривающихся последовательностей. В кн. : Предельные теореш для случайных процессов а омезные вопросы. Таякснт, : Фан, 1982, с. ^ - 102.

5. 3 у п а р о в Т.М. Оценки скорости сходимости в централь -ной предельной теореме для абсолютно регулярных случайных величин со значениями в некоторых банаховых пространствах.

- ДАН СССР, 1583, т. 272, Л 5, с. 1042 - 1045.

6. 3 у п а р о в Т.М. Оценки скорости сходимости в централь-1 ной предельной теореме для абсолютно регулярных случайных величин со значениями в банаховом пространстве. В. кн. : Асимптотические задачи для вероятностных распределений. Таикен, : Фан, 1984, о. 78 - 87.

7. 3 у п а р о в Т.М. Об оценках скорости сходите та з принципе инвариантности для слабо зависимых случайных величин.

- В ка. : Предельные теорема для вероятностных раопреле -кий. Ташкент, : Фан, 1985, о. 32 - 52.

8. 2 у р б е н к о>Й.Г. , 3 у п а р о в Т.М. Центральная предельная теорема для стационарных процессов с перемешиванием в пространстве Пзльберта. - ДАН СССР, 1986, т. 266, .4 2, с. 272 - 276.

9. Б у п а р о в Т.Н., Я к у п о в К.Н. О принципе инвариантности для последовательностей с равномерно сильным перемешиванием. - В кн. : Асимптотические методы в теории вероятности и математической статистике. Ташкент, : Фан, 1968, с. 86 - IOI.

Ю. 3 у л а р о в Т.II. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для стационарных процеосов с равномерна силь . кии' перемешиванием. - ДАН УзССР, 1987, J5 12.

11. 3 у п а р о в Т.Н. , Цухамедов А, К. Принцип инвариантности для процессов о равномерно сильным перемешива -нием. В кв. ; Функционалы от случайных процессов и отатис -тич. вывода. Ташкент, : Фан, 1989, о. 27 - 36.

12. 3 у п а р а в Т.И. О скорости сходимости, в центральной предельной геореме для олабо зависимых величин. - Теория вёро-ятн. и eg примен.,1991, т. 36, Л Ч, о. 635 - 6ЧМ.

АННОТАЦИЯ

Диссертацияда банах фазоснда ^йиат цабуд яидувчи тасоди-ий иаг^дорлар йкввдкои учуй лишт теореиалзр оо^ааа буйича иотешли яаэаряй тадоугфтлар квлтнрилган.

Диссертациянннг асоаий натияалари 5угСндагиляр:

чизи^ли ыетрак фазода ^йма? ирйуя в^лувчи кучопз бо глиста тасздифий ипуюрдар йирикдкскнияг такримотиии ургаяшни бог-еткриэ тасодифий ш1$лорлар йиищдиоинккг таг^иасиши ургашш -га олкб келадиган теореыалар нсботлаиген;

• - банах фазосида 5^яймат цабуд ^луачк ва кучоиэ борлик,-лилик иартларидак; бкряаи ^аяоатлактнрувчи тасоди'яй №9Дорлар кйгма-кетлигя учун ыарказий лншт теорекада я^кдаиш тезди-гншшг ба^олари олянган;

- кучскз борлщт тасодифий ш^дорлар учуя инвариант лик принципи исботланган ва я^нлаиия теэлнгашшг атц дахрсп олиигаи;

- гула рэгулярлик коэффициента- нолга даралали тартай билая иятилувчи таоодифяй ш^орлар кеша - кетлаги учун иар-казий лйшт «еореыаоида я^шлаяии гезлзгининг тартиба буйича онщ бах,ося олннган.

5UKUSV

Tne dissertation dealn with sycteEatic investigation within tho field of limit theorems. The perspective direction connccted with investigation of evuna of weakly-dependent random variables with values in some Banach space is deeply considered dn the dioeertation.

The following rec.ulta were obtained»

- the ectio&te of tail terra in the central limit the ore» for sequenced of random variables in a real Banach apace v.hich eatiaiy one of the weak dependence conditions euch as absolute regularity, uniformly strong nixing or m - ¿epender.es ie given;

- Rosenthal's type inequalities) for weakly depended rar.do/a vectors are obtainod;

- invariant principle for weakly depended rand on variableB are eoiobliahed and non-improvable estimate of epeed of convergence is obtainedj

- first »on-improvable by order estimate ef tail term in ths ccr.tral liaiit theorem for oequonoee of random variables which satisfy the complete regularity condition r/ith power tanner converging to zero cDeficient is obtained.