Исследования по решетчатым распределениям теории вероятностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

го од

АКАДЕМИЯ- НАУК УКРА И.НЫ !\ ДПР Ш1] ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

1ШСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах

правах рукописи УДК 519.2

ГАМКРЕЛИДЗЕ Николай Георгиевич

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО РЕШЁТЧАТЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМ ■ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

(01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Киев- - 1994

Работа выполнена в отделе теории вероятностей и математической статистики Математического института им.А.М.Размадзе АН Грузии Официальные оппоненты: академик РАН Ю.В.Прохоров;

доктор физико-математических наук, профессор А.В.Иванов; доктор физико-математических наук, профессор В.М.Максимов.

Ведущая организация - Киевский политехнический институт.

Защита состоится 26 апреля 1994 г. в <5. 00 часов на заседании специализированного совета Д.016.50.01 по присуждению учёной степени доктора физико-математических наук при Институте математики АН. Украины по адресу: 252 601 Киев 4, ул.Терещенковская,3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат.разослан 25 марта 1994 г.

Ваш отзыв в двух экземплярах, заверенный гербовой печатью просим выслать по адресу учаного совета.

Учёный секретарь специализированного совета Д.016.50.01

дчф-ц.я. Д.В .Гусак

Настоящая работа посвящена предельным теоремам решётчатых распределений и, в основном, изучению локальных теорем для схемы суммирования целочисленных независимых случайных величин или векторов.

Как хорошо известно, первые результаты по локальной аппроксимации распределений касались биномиальных вероятностей и были получены А.Муавром (1733 г.), П.Лапласом (1812 г.), С.Пуассоном (1837 г.), а-также Николаем (1713 г.) и Даниилом (1770 г.) Бер-нулли ещё на заре формирования теории вероятностей. Дальнейшее развитие тематика локальных предельных теорем получила в работах Р.Мизеса (1934 гО .А.Хинчина (1943 г.). А..Колмогорова (1949 г.) и многих других современных исследователей.

В предположении, что слагаемые одинаково распределены,позже были получены необходише и достаточные условия (Б.В.Гнеденко (1948 г.) - одномерный случай; Д.Г.Мейзлер, О.С.Парасгок, Е.Л.Рва-чёва (1949 г.) - многомерный). А.Я.Хинчин применил эти и аналогичные результаты в своих работах по статистической физике (см. Хин-чин А.Я. Математические основания квантовой статистики.-М.;Л.: Гостехиздат,1951). Со временем были даны другие интересные применения локальных теорем, например в теории случайных отображений (см. Колчин В.Ф. Случайные отображения.-М.:Наука,1984).

Для различно распределённых слагаемых необходимые и достаточные условия локальной предельной теоремы для равномерно ограниченных слагаемых были получены Ю.В.Прохоровым (ДАН СССР.-1954.-Т'.98,№ 4.-С.535-538). •

Дальнейшее развитие тематика локальных теорем получила у

В.А.Статулявичуса, А.Г.Постникова, С.Х.Сираздинова, их учеников и последователей. Бели приведены глубокие теоретвко-чвсловне метода и соображения." Кроме перечисленных авторов вопросами локальной теоремы занимался целый ряд исследователей, среди которых следует назвать В.В.Петрова, Ч. Стоуна, В.Феллера.

Настоящая диссертация основана на работах автора, опубликованных в период 1964-1993 г.г. (всего 22 работы), и примыкает к перечисленным исследованиям.

Цель работы - установить ряд важных свойств решётчатых распределений и в особенности локальной, а отчасти и интегральной аппроксимации распределений суш независимых случайных величин и векторов нормальным -распределением.

Основные результаты.

1. Получены неулучшаемые оценки максимальной вероятности значений сумы случайных величин при заданной максимальной вероятности значений слагаемых для определённого класса случайных величин. Тем самым дано частичное подтверждение гипотезы Ю.В.Прохорова о форме асимптотически правильной оценки функции концентрации.

2. Построены вривры,'показывающие, что необходимые условия выполнения локальной теорем» к суагмам независимых целочисленных случайных величин; применимость интегральной теоремы, асимптотическая равномерная распределенность сумм по лгбому модулю, равномерная бесконечная малость слагаемых - не являются достаточными для локальной теоремы.

3. Дано новое (аналитическое) необходимое условие пркмеявг ыоств локальной теорему в форые так навиваемого "третьего яатегра-ла" и предложен способ опонки еввзу скорости сходимости в локальной теореме.

4. Введена количественная характеристика "гладкости" распределений целочисленных случайных величин или векторов - функция

- 3 -

гладкости и изучены её свойства.

5. Предложены способы оценки остаточного члена в локальной теореме, основанные на приёме "предварительного сглаживания" распределений с использованием функции гладкости.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседании Комиссии по теории вероятностей и математической статистике (Тбилиси,1986 г.), на семинарах в Московском и Санкт-Петербургском государственных университетах, Математическом институте им.В.А.Стеклова, в Институте математики и кибернетики АН Литвы, в Институтах математики АН Укракны (г.Киев) и СО РАН (г.Новосибирск), в Математическом институте им.А.М.Размадзе АН Грузии, на Международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике (1981, 1985, 1989 г.г.), на 1У Советско-Японском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (Тбилиси, 1982 г.), на Первом Всемирном конгрессе Общества математической статистики и теории вероятностей им.Я. Бернулли (Ташкент,1986 г.).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и комментариев. Список литературы состоит из НО наименований, причём работы автора по теме диссертации выделены отдельно и обозначены НЕ, Н2 и т.д. Общий объём 1^,0с.

Обзор содержания по главам. Всюду в дальнейшем

Л, . (I)

означает (если явно не оговорено противное) последовательность независимых целочисленных случайных величин и

В первой главе даны оценки для. ™

Назовём распределение целочисленной случайной величины унимодальным, если существует, такое целое >*\0 , что при целых

вероятность РС^3**) не убывает, а при целых ™ >т<> - не возрастает.

Теорема. Если случайные величины (I) имеют унимодальные

распределения и гпа* Р(Л^= р^ , то справедливо неравенство

х

Неравенство по существу неулучшаемо. Действительно: пусть принимает вое целые значения от - V до Я с вероятностью 1/(2N+1)

и По локальной теореме получаем, что

тлх г

Это неравенство было первым, хотя и частным подтверждением одной гипотезы Ю.В.Прохорова (Прохоров Ю.В. Экстремальные задачи в предельных теоремах // Тр.У1 Бсесоюз.совещ.по теории вероятностей и математической статистике,Вильнюс,1962).

При отказе от унимодальности со свойством симметричности и одинаковой распределенности слагаемых справедливо следующее неравенство

гль-х ас

где р. а РС^ ¡^ (¿ч«,1,...,п)

Следующая часть работы посвящена анализу необходимых условий применимости локальной теоремы с целью получить ответ насколько, они близки к достаточным. Предварительно введём обозначения и определения. Предположим, что случайные величины (I) имеют конечные вторые моменты в пусть

РпЫ = РС^т).

Последовательность (I) удовлетворяет по определению локаль-

ной предельной теореме (л.т.), если равномерно по м , - со < < оа при л -—о»

Как известно, из л.т. вытекает, что распределения нормированных сумм л сходятся к стандартному нормальному распределению, т.е. применимость центральной предельной теоремы (в интегральной форме) является необходимым условием л.т. Ю.В. Прохоровым было отмечено, что необходимым условием л.т. является также и асимптотическая равномерная распределенность (а.р.р.) суш по тбому фиксированному ыоруло 1>0 , т.е. соотношение

п —»0° Р_

К этим известным необходимым условиям автором было добавлено необходимое условие аналитического характера. В упрощённой форме это условие состоит в с л е.дующем: для применимости л.т. необходимо существование такой последовательности , что при п -»- с» ' „

з„=в„\ ПННЙ-о, .

) (2)

Здесь ^(Мд) характеристическая функция сл.величины ^

Результаты цитированной выше работы Ю.В.Прохорова позволяют поставить вопрос не является ли условие ц.п.т. и а.р.р без всяких дополнительных условий достаточным для локальной теоремы. Ответ отрицательный. Контрпример построить сравнительно просто, . если не требовать бесконечной малости слагаемых в нормированной ■ сумме. •

Пример [ш] . Пусть случайные величины с нечётными индекса-

ми п.я2.к-1 распределены по симметризованному закону Пуассона с характеристической функцией .^^Даь-г)3 ^Р^^^КТ:^}' Па_

Г н'

раметр и шаг распределения равны к , 2(б к ] соответственно . Случайные величины с чётными "индексами принимают значения-к,-.-,-^ К с вероятностью 14к каждая.

Проверка требуемых свойств распределений суш £>«. (применимость интегральной теоремы и а,р.р. и отсутствие л.т.) оказывается не очень трудной (по сравнению со следующим примером)» и мы на ней здесь останавливаться не будем.

При дополнительном условии бесконечной малости слагаемых в нормированной суше, гипотеза также неверна, т.е. удаётся построить довольно сложный пример", в котором слагаемые в нормированной сумме бесконечно малы, суммы а.р.р. и удовлетворяют ц.п.т.,

но, тем не менее, для £эЛ не имеет места л.т.

Пример [нз] . Построение последовательности происходит следующим образом. Пусть а=(4+. Запишем«* в виде цепной дроби \_iji, ••■,4} . Числители и знаменатели ^ соответствующих подходящих дробей' представим в виде следующей таблицы

6 ■л 2 3 5

3 . 5 . 8 М 21

2. . 3 .5 г

Числители образуют ряд Фибоначчи ^ + р. ^ ^

Причём_ ^ в р^ й *

Рассмотрим последовательность независимых величин, которую удобнее выписать в виде следующей таблицы

1 г'"

. . 1..........(3)

где величины ^ -ой строки распределены одинаково и принимают значения о, с^ , р^ с вероятностями '•/р. , Ур.

соответственно, а количество случайных величин в строке выбира-**

ется как СрГ1]*! ( С^З означает целую часть числа а ). о о

Характер рассуждений, принимаемых при анализе этого примера, можно в сжатой форме описать следующим образом.

Условие бесконечной малости слагаемых и ц.п.т. проверяется следующим способом. Для произвольного п, существует такое ^

что , где ■•• + ггк и тогда

следовательно »*>«»• 1 ^ ЧРИ и-*®. где с -

абсолютная константа. Из этого условия вытекает, как условие Ляпунова, так и условие бесконечной малости слагаемых в нормированной суше.

Для проверки условия а.р.р. достаточно показать, что во всех рациональных точках вида характеристическая функ-

ция суммы £>„ стремится к нулю (Критерий Дворецкого - Вольфови— ца). Имеем

А ¿м

при .

Наконец остаётся показать, что необходимое аналитическое условие (2) не выполняется.

Действительно, беря разложение Тейлора при 1 £ - 29Г/*

"ч

п оценки производных,получим

(здесь и далее с - означает различные положительные абсолютные постоянные).

Следовательно, ц к 1

Тем самым, при всех достаточно больших к справедливо

О'^/^А ^ л

е.в*Ъ<,2зг-г„ Ц- гзгд!

Так как в построенном примере Зу > С , то тем самым не выполняется необходимое условие (2) для л.т. и для построенной последовательности (3) л.т. не имеет места. Следует заметить, что для построенного примера условие Ю.А.Розанова не выполняется и тем самым заключаем, что это условие по существу не улучшаемо. Напомним, что это условие Ю.А.Розанова состоит в следующем: при равномерно по к

1.

Следующая часть диссертации посвящена исследованию свойства гладкости распределения. С этой целью вводится функция Б и исследуются её свойства. Используя приём "предварительного сглаживания" получаем легко проверяемое достаточное условие для л.т. и в терминах функции гладкости получаем способ оценки ос-

таточного члена в локальной теореме.

Перейдём к более подробному изложению. Определим "степень гладкости" распределения Р^ целочисленной сл.величины ^ следующим образом

мег

где * - множество всех целых чисел.

Изучаются различные свойства . Наиболее интересные

те из них, которые имеют место в предположении, что ? . есть сумма большого числа случайных величин. Для суммы 9» и ' независимых одинаково распределённых целочисленных случайных величин с максимальным шагом распределения равным I всегда Б-при -»- ао .

Более того, если последовательность (I) независимых, ограниченных, одинаково распределённых целочисленных сл.величин с максимальным шагом, равным I равномерно ограничена, то

Далее изучается возможная скорость стремления ^(Р«,,) к нулю при разных ограничениях на распределения сл.величины (I).

Для многомерного случая мы вводим аналогичную характеристику равенством а

' IV»

где внутренняя сумма берётся по всем целочисленным векторам, •а

-г,о), ...

Для нее имеет место, в частности, утверждение.

Пусть ^ - целочисленный вектор в Яь .Если ,

то максимальный шаг распределения Р^ равен I.

Следующее свойство относится к суммам а независимых одинаково распределённых целочисленных случайных векторов

Ш vOO

\№\

«»»»<»<4 ex« í.-acuJ

a=Ca ,.... a ) Aj^ - алгебраическое дополнение эле-

мента и А я (Xti l^ji^ .

Если ^i; ■ • • п,.• • последовательность целочисленных одинаково распределённых случайных векторов, имеющих максимальный шаг распределения, равный единице и , то при и.-roa

Заметим, что условия этого утверждения обеспечивают невырожденность матрицы ковариаций.

Применение характеристики SC^Í в л.т. основано на неравенствах типа

JLHiL, tt* 2*10

2 | S¡n t/¿ 1

Простейшим, но типичным результатом, получаемым 'на этом пути, может служить следующее утверждение.

Пусть (I) последовательность независимых (необязательно одинаково распределённых) случайных величин. Если существует натуральное По и положительное число А , \ <^ такие, что при всех к.

бчрГ)4*

и если к этой последовательности применима центральная предельная теорема и £>* *= О С*) > при п.->-ео , ю к этой последовательности применима и локальная предельная теорема в усиленной

форме. , ■

Р>*т

Здесь и далее Гу^ означает -кратную свертку

распределения сл.величины . Присутствующие в формулировке

теоремы параметры VI0 и А 'обеспечивают существование тагах

сл.величин ^ <,п , которые распределены так же

как ^ для каждого ^ и), и для которых обеспечивает-

ся "достаточная" гладкость* Б" Р^оо ) £ А < \/*2" •

В третьей части работы изучаются несколько задач, связанных с центральной предельной теоремой. Работа [Н?] посвящена доказательству ц.п.т. способом, отличным от хорошо известного подхода Эссеека. Суть работы заключается в следующем, если в качестве сглаживающего распределения взять финитные распределения, плотность которых бесконечно дифференцируема, а характеристическая функция убывает достаточно быстро, то можно получить правильную скорость сходимости в ц.п.т., но при наличии одной Леммы, принадлежащей Эссеену. Эта заметка [н?] примыкает к работе А.Журавского и интересна ещё и тем, что учитывая вышеуказанное обстоятельство можно было ещё в 1933 г. иметь истинную картину сходимости в ц.п.т. Следует добавить, что целый ряд утвервдений этой заметки переносится и на конечномерный случай. Далее следует неравенство, обобщающее неравенство Эссеена, оценивающее сверху равномерное откло-. нение функции распределений Р(») от (■> в терминах, соответ-. ствутощих характеристических функций и ^(1) на случай раз-

мерности большей или равной двум [НЬ] . Буквальный перенос доказательства неравенства Эссеена на слутай Я5 даёт интеграл

У"\Т№у"Х,№.....д"' <

который может быть и бесконечным из-за поведения подинтегральной

функции вблизи нуля. Обойти 8ту трудность удаётся введением еспо-* * /

могателышх функций и . Способ доказательства,

предложотша в этой работе, в. дальнейшем применяется для оценки близости по вариации [нб].

- 12 -

Публикации автора по теме диссертации

Н I. Гашфелидзе Н.Г. 0 локальной предельной теореме для решётчатых случайных величин/Деория вероятностей и её применения. -1964.-Т.9,вып.4.-С.733-736.

Н 2. Гамкрелидзе Н.Г. Об одной нижней оценке скорости сходимости в локальной теореме//Лит.мат.сб.-1967.-Т.7,вып.3.-С.405-409.

Н 3. Гамкрелидзе Н.Г. О связи локальной и интегральной теорем для решётчатых распределени2//Теория вероятностей и её применения. -1968. -Т.13,выл.I.-С.175-179.

Н 4. Гамкрелидзе Н.Г. К оценке максимальной вероятности для суш целочисленных случайных величин/Деория вероятностей и её применения.-1973.-Т.18,вып,4.-С.842-846.

Н 5. Гамкрелидзе Н.Г. Об одной оценке максимальной вероятности// Сообщ.АН ГССР.-1974.-73,№ I.-С.17-20.

Н 6. Гамкрелидзе Н.Г. Неравенство Эссеена для многомерной функции распределения/Деория вероятностей и её применения.-1977.-Т.22,вып.4.-С.837-900.

Н 7. Гамкрелидзе Н.Г. Об одном методе доказательства центральной предельной теоремы/Деория вероятностей и её применения.-1980.-Т.25.вып.3.-С.619-625.

Н 8. Гамкрелидзе Н.Г. К оценке близости распределений по вариации //Теория вероятностей и её применения.-1983.-Т.28,вып.2.-С.445-446.

Н 9. Гамкрелидзе Н.Г. О сглаживании вероятностей при сложении независимых целочисленных величин/Деория вероятностей и её применения.-1981.-Т.26,вып.4.-С.835-841.

Н10. Гамкрелидзе Н.Г. Об одной мере гладкости распределений многомерных целочисленных случайных векторов/Деория вероятностей и её применения.-1985.-Т.29,вып.2.-С.401-405.

Й1. Гамкрелидзе Н.Г. О модуле непрерывности функции Вейерштрасса //Мат.заметки.-1984.-Т.36,№ I.-С.35-38.

HI2. Гамкрелидзе Н.Г. О применении функции "гладкости" в доказательстве локальной предельной теоремы//Теория вероятностей и её применения.-1988.-Т.33,внп.2.-С.373-376.

ИЗ. Гамкрелидзе Н.Г. Об одной мере "гладкости" целочисленных распределений/Ли Междунар.Вильнюс.конф.по теории вероятностей к мат.статистике,IS8I:Т.1.-Вильнюс,IS8I. -С .122.

HI4. Gainkrelidze h'.G. On a measure of the smoothness of lattice

distribution of random vectors//IV ШЗ й-Japan зугср.on probability theory, a.math.statistics,Tbilisi, 1982.-Vol. 1 .-P.217-218.

HI5. Гамкрелидзе Н.Г. Об одном вероятностном методе оценки модуля непрерывности функции Вейерштрасса//1У Медцунар.Вильнюс.конф. по теории вероятностей и мат.статистике,1985.-С.152.

HI6. Гамкрелидзе Н.Г. Об одном многомерном аналоге неравенства Эссеена//1Всемир.конгр.0-ва маг.статистики и теории вероятн-ностей им.Я.Бернулли,Ташкент, 1986:Т.2.-М.¡Наука,1986.-С.837.

HI7. Gamkrelidze N.G. On the function oi smoothness.-'and local limit theorem for lattice aiotributian//V Intern.Vilnius coni. on probability theory a.math.statistics,1939.

Ш8. Gamkrelidze H.'G. On local limit theorem for lattice distribution. -Amsterdam,1990.-(Дер./Centrum voor wiskunde en infor-matica;33-E9004).

HI9. Гамкрелидзе Н.Г. Письмо в редакцию/Деория вероятностей и её применения. -1990. -Т. 35, вып. 2.- £. 33 3

Н20. Гамкрелидзе Н.Г. О неравенстве для многомерной характеристической функции//Теория вероятностей и её применения.-1991.-Т.36,вып.3.-С.602-604.

H2I. Гам1фелидзв Н.Г. О локальной предельной теореме/Деория вероятностей и её применения.-В печати.

Н22. Gamkrelidze N.G. On a probabilistic property of the Fibonacci sequence//Ihe Fibonacci quarterly j.-In print Заказ 7-0 Объем jf О ■ Тирах 70,-finютрафа !ЖиС, уэх. Орджоникидзе, 8/9