Исследования по стохастическому анализу и сингулярным стохастическим дифференциальным уравнениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Исторический обзор

Стохастические дифференциальные уравнения: определения, утверждения, примеры

Изолированные особые точки и односторонняя классификация

Двусторонняя классификация и марковские решения

Классификация на бесконечности и частные случаи

Глобальные решения и инвариантные распределения

Структура работы.

Апробация диссертации

Глава 1. Стохастические дифференциальные уравнения: определения, утверждения, примеры

§ 1.1. Базовые определения.

§ 1.2. Теорема Ямада-Ватанабэ и связанные вопросы

§ 1.3. Достаточные условия существования и единственности.

§ 1.4. Десять важных примеров

Глава 2. Изолированные особые точки и одностороняя классификация

§ 2.1. Изолированные особые точки: определение.

§ 2.2. Изолированные особые точки: примеры

§ 2.3. Односторонняя классификация: результаты.

§ 2.4. Односторонняя классификация: доказательства

Глава 3. Двусторонняя классификация и марковские решения

§ 3.1. Двусторонняя классификация: результаты

§ 3.2. Двусторонняя классификация: доказательства

§ 3.3. Точки ветвления: немарковские решения

§ 3.4. Точки ветвления: строго марковские решения

Глава 4. Классификация на бесконечности и частные случаи

§ 4.1. Классификация на бесконечности: результаты

§ 4.2. Классификация на бесконечности: доказательства

§ 4.3. Степенные уравнения

§ 4.4. Снос постоянного знака

Глава 5. Глобальные решения и инвариантные распределения

§ 5.1. Глобальные решения: результаты.

§ 5.2. Глобальные решения: доказательства.

§ 5.3. Инвариантные распределения: результаты

§ 5.4. Инвариантные распределения: доказательства

Содержание

Исторический обзор

В настоящей диссертации предлагается единый подход для изучения существования, единственности и качественного поведения решений сингулярных стохастических дифференциальных уравнений. Исследование проводится методами стохастического анализа, такими как теория мартингалов, техника локальных времен, методы замены времени и преобразования фазового пространства и т.д.

Прежде всего дадим краткий исторический обзор. Теория стохастических дифференциальных уравнений (ниже будем использовать сокращение СДУ) — одна из наиболее важных ветвей стохастического анализа. Она имеет тесные связи как с другими областями математики (уравнениями в частных производных, теорией потенциала, теорией марковских процессов), так и с приложениями (например, с теорией оптимальной остановки и с финансовой математикой).

Основы теории диффузионных процессов были заложены А.Н. Колмогоровым [20], [57] (уравнение Колмогорова-Чепмена, прямые и обратные уравнения в частных производных). Эта теория была далее развита в работах У. Феллера [48], [49].

К. Ито предложил потраекторную конструкцию диффузионных процессов. С этой целью он ввел понятие стохастического интеграла [51] и

Введение 6 понятие стохастического дифференциального уравнения [52], [53]. В то же самое время и независимо от Ито, СДУ были рассмотрены И.И. Гих-маном [9]-[11]. (Некоторые более ранние исследования в этом направлении можно найти в работах П. Ланжевена [59] и С.Н. Бернштейна [1], [38].) С появлением этих работ теория СДУ стала активно развиваться.

И.В. Гирсанов [7] предложил метод замены меры, который впоследствии стал стандартным методом доказательства существования и единственности так называемых слабых решений (сам этот термин появился позже). Теорема Гирсанова широко применяется не только в чистом стохастическом анализе, но и в его приложениях (применение этой теоремы в финансовой математике описано в монографии А.Н. Ширяева [32; Гл. VII, §ЗЬ]). Дальнейшие достаточные условия существования и единственности решений были получены А.К. Звонкиным [17], Н.В. Крыловым [21], [22], Н.И. Портенко [26], [27], A.B. Скороходом [28], Д. Стру-ком и С. Вараданом [66] и другими исследователями. Полученные условия были существенно слабее условий, налагаемых в работе К. Ито [53]. Причина заключается в следующем. В работе Ито решение строится на заданном фильтрованном вероятностном пространстве с заданным броуновским движением, в то время как в более поздних работах решение строится на некотором фильтрованном вероятностном пространстве с некоторым броуновским движением. Это расхождение показало необходимость введения двух типов решений: сильных и слабых; см. работу И.В. Гирсанова [7], монографию Р.Ш. Липцера и А.Н. Ширяева [23], работы Т. Ямада и С. Ватанабэ [69], А.К. Звонкина и Н.В. Крылова [18]. Далее, Д. Струк и С. Варадан [66], [67] ввели понятие мартингальной проблемы, тесно связанное с понятием СДУ (подробно мартингальные проблемы и их применения рассмотрены также в монографиях [47], [54]). Дж. Хант [50] и В.А. Волконский [5], [6] предложили метод замены времени и преобразования фазового пространства для построения регуляр

Введение 7 ных непрерывных строго марковских процессов (он описан в монографиях [15; Гл. 17], [63; Ch. V.1]). Этот метод также может быть применен для построения решений одномерных однородных СДУ. Используя этот метод, Х.-Ю. Энгельберт и В. Шмидт [43]-[46] получили очень слабое достаточное условие существования и единственности решений одномерных однородных СДУ.

Теория СДУ и ее применения описаны в ряде монографий. Отметим книги [2; Гл. VIII], [3], [4; Гл. 12], [12], [13], [14], [15], [23; Гл. IV], [25], [55; Ch. 18], [56; Ch. 5], [62; Ch. IX], [63; Ch. V], [67].

Стохастические дифференциальные уравнения: определения, утверждения, примеры

Прежде всего мы приводим в параграфе 1.1 определения некоторых базовых понятий теории СДУ: сильных и слабых решений, сильной и слабой единственности, мартингальных проблем и решений до случайного момента времени (также называемых локальными решениями). Изложение ведется для наиболее общих СДУ, а именно, многомерных уравнений с коэффициентами, зависящими от прошлого. Это уравнения вида то dXÍ = b\(X)dt + Y^<rHx)dB't, Х0 = х0 (¿ = 1 ,.,n), (1) з=i где п 6 N, те N, х0 6 Кп, а b:C(R+,Rn) xR+ ->Жп, и : х ->Rnxm являются предсказуемыми функционалами. (Определение предсказуемости можно найти, например, в [16; Гл. I, §2 а] или [62; Ch. IV, § 5].)

Далее, мы напоминаем в параграфе 1.2 некоторые, общие факты, касающиеся связи различных типов существования и единственности. Наи

Введение 8 более известный и часто применяемый результат в этом направлении — теорема Ямада-Ватанабэ.

Предложение (Ямада, Ватанабэ). Предположим, что для СДУ (1) имеет место сильная единственность. Тогда Имеет место слабая единственность. (11) Существует измеримое отображение

Ф : (С(1^,Жт),£) —+ (С(1+,]Г),£) такое, что процесс Ф(В) согласован с пополненной натуральной ^ фильтрацией ) процесса В и для любого решения (X, В) имеем Х = Ф(В) Р-п.н.

Из этой теоремы вытекает, что из слабого существования и сильной единственности следуют сильное существование и слабая единственность.

В настоящей работе (см. параграф 1.2) доказывается "двойственное" утверждение:

Теорема 1.16а. Предположим, что для СДУ {1) имеют место слабая единственность и сильное существование. Тогда имеет место сильная единственность.

Следует отметить, что эта теорема была доказана Х.-Ю. Энгельбер-том [41] при некотором дополнительном ограничении. Здесь же она доказывается без всяких дополнительных ограничений.

Доказательство теоремы 1.16а опирается на следующее утверждение, представляющее самостоятельный интерес.

Теорема 1.166. Предположим, что для СДУ (1) имеет место слабая единственность. Тогда для любых решений (Х,В) и (Х,В) (они

Введение 9 могут быть заданы на разных вероятностных пространствах) выполнено В^ Ь ^ 0) = Law(Xí, В^, £ ^ 0).

Рис. 1 иллюстрирует теорему Ямада-Ватанабэ и теорему 1.16а.

В параграфе 1.3 содержится сводка основных результатов, касающихся существования и единственности решений СДУ. Это теоремы Ито, Звонкина, Энгельберта-Шмидта, Ямада-Ватанабэ, Скорохода, Струка-Варадана, Портенко, Крылова. Для одномерных однородных СДУ (они представляют первостепенный интерес для данной работы) одним из наиболее мощных методов исследования существования, единственности и качественного поведения решений является метод замены времени и преобразования фазового пространства. Мы описываем суть этого метода, опуская технические сложности.

Параграф 1.4 содержит ряд важных примеров СДУ. Некоторые из них широко известны (примеры Танака, Гирсанова, Цирельсона, Бар-лоу), некоторые являются новыми. В частности, мы проводим полное исследование существования и единственности решений уравнения, которому подчиняется процесс Бесселя. Для этого уравнения доказывается следующее утверждение.

Пример 1.35. Рассмотрим СДУ dXt = ф 0)Я + Х0 = с д > 1 (как известно, этому уравнению подчиняется процесс Бесселя размерности £).

I) Если 5 ^ 2 их о / 0, то для этого уравнения имеют место сильное и слабое существование, а также сильная и слабая единственность.

II) Если 1 < 6 < 2 или хо = 0, то для этого уравнения имеют место сильное и слабое существование, но нет ни сильной, ни слабой единственности.

Введение слабое сущест. сильная единст. наилучшая => ( возможная / <= ситуация сильное сущест. слабая единст.

Рис. 1. Связь между различными типами существования и единственности. Верхние диаграммы показывают очевидные импликации и импликации, вытекающие из теоремы Ямада-Ватанабэ. Средняя диаграмма показывает одну очевидную импликацию и импликацию, вытекающую из теоремы 1.16а. Нижняя диаграмма иллюстрирует теорему Ямада-Ватанабэ и теорему 1.16а в терминах "наилучшей возможной ситуации" (см. § 1.2).

Введение 11

Интересным применением результатов параграфов 1.2 и 1.4 (в частности, теоремы 1.16а) служит следующее. Для произвольного СДУ каждое из свойств:

• слабое существование,

• сильное существование,

• слабая единственность,

• сильная единственность может выполняться или не выполняться. Итак, имеется 16 (= 24) мыслимых комбинаций. Некоторые из них невозможны (к примеру, если есть сильная единственность, то, по теореме Ямада-Ватанабэ, должна быть и слабая единственность). Для каждой из этих комбинаций теорема Ямада-Ватанабэ, теорема 1.16а и примеры параграфа 1.4 позволяют либо дать пример соответствующего СДУ, либо доказать, что эта комбинация не реализуется. Оказывается, что реализуется лишь 5 комбинаций (см. табл. 1).

Изолированные особые точки и односторонняя классификация

Для одномерных однородных СДУ, т.е. уравнений вида

Хг = Ь(Хг)(Н + <г{Хг)<1Ви = х0, (2) одно из наиболее слабых достаточных условий существования и единственности слабого решения было получено Х.-Ю. Энгельбертом и В. Шмидтом [43]—[46]. (В случае, когда 6 = 0, имеются даже необходимые и достаточные условия; см. работу [43], а также работу С. Ассинга и Т. Сенфа [36].) Энгельберт и Шмидт доказали, что если а(х) ф 0 для любого х 6 М и е £Ьс(К) (3)

Введение 12

Слабое суще ст. Сильное сущест. Слабая единст. Сильная единст. Возможно/Невозможно невозможно, очевидно

- — — + невозможно, очевидно невозможно, очевидно возможно, примеры 1.28, 1.29 невозможно, очевидно невозможно, очевидно невозможно, очевидно невозможно, очевидно возможно, пример 1.37 невозможно, т. Ямада-Ватанабэ возможно, примеры 1.30-1.32 невозможно, т. Ямада-Ватанабэ возможно, примеры 1.33-1.35 невозможно, т. Ямада-Ватанабэ невозможно, теорема 1.16а возможно, очевидно

Табл. 1. Возможные и невозможные комбинации различных типов существования и единственности. К примеру, комбинация " Н---1— " в строке 11 соответствует СДУ, для которого существует решение, нет сильного решения, есть слабая единственность и нет сильной единственности. Таблица показывает, что такие уравнения даются примерами 1.30-1.32.

Введение 13 запись / € означает, что функция / локально интегрируема на Е, т.е. йг < оо для любого компакта К), то существует единственное слабое решение уравнения (2). (Более точно, существует единственное слабое решение, определенное до момента взрыва.)

Условие (3) является достаточно слабым. Тем не менее, и в теории, и в приложениях часто возникают уравнения, для которых оно не выполнено. Таковы, к примеру, СДУ для геометрического броуновского движения йХг = цХгсИ + (тХгйВи Х0 = х0 (модель Блэка-Шоулса!) и СДУ для процесса Бесселя размерности 6

ЛХ* = 5-тяг ^ + ав*> - ®0.

Лг

В приложениях уравнения, не удовлетворяющие условию (3), возникают обычно следующим образом. Пусть некоторый процесс моделируется как решение уравнения (2). Предположим, что этот процесс положителен по природе (например, это цена акции или численность популяции). Тогда СДУ, моделирующее этот процесс, не должно удовлетворять условию (3). Причина заключается в следующем. Если условие (3) выполнено, то для любого абК решение достигнет уровня а с положительной вероятностью. (Это вытекает из конструкции решения; см. параграф 1.3.)

Исследование СДУ вида (2), не удовлетворяющих условию (3), составляет основную задачу настоящей диссертации. Для таких уравнений мы вводим термин сингулярные стохастические дифференциальные уравнения. Частные случаи таких уравнений исследовались в различных работах (например, СДУ для геометрического броуновского движения или СДУ для процессов Бесселя). Однако методы исследований опирались на специфику того или иного уравнения (например, на свойство линейности коэффициентов), и отсутствовал единый метод их исследования.

Введение 14

В настоящей диссертации предлагается единый подход для исследования (слабых) решений сингулярных стохастических дифференциальных уравнений. Мы изучаем в первую очередь следующие проблемы:

• Существует ли решение уравнения (2) ?

• Единственно ли оно?

• Каково качественное поведение решения?

Подчеркнем, что под существованием и единственностью мы здесь понимаем слабое существование и слабую единственность. Отметим, что слабым решением уравнения (2) обычно называется пара процессов (X, В) таких, что выполнено равенство (2) (понимаемое в интегральной форме) и В является броуновским движением (точное определение содержится в параграфе 1.1). Нам же будет удобно понимать под решением (2) один объект, а именно, меру Р на пространстве С(К+), относительно которой процесс является -броуновским движением (здесь X обозначает канонический процесс, а {Т^ — каноническую фильтрацию на С(М+)). Иными словами, мы рассматриваем решение СДУ (2) как решение соответствующей мартингальной проблемы. При этом существование такого решения равносильно слабому существованию, а единственность такого решения равносильна слабой единственности (см. предложение 1.6).

Для исследования сингулярных СДУ введем следующее определение. Точку с/ £ К назовем особой точкой для уравнения (2), если * ьШ запись / ^ означает, что \f(z)\dz = оо для любого е > 0).

При этом мы будем всегда предполагать, что сг{х) ф 0 для любого х 6 К.

Введение 15

Первый вопрос, возникающий в связи с этим определением, состоит в следующем: почему такие точки действительно следует называть особыми для уравнения (2)? В параграфе 2.1 доказывается ряд результатов, указывающих на принципиальное отличие между особыми и неособыми точками. В частности, теоремы 2.5а и 2.56 показывают, что особые точки — это те и только те точки, где локальное время решения обращается в нуль.

Качественное различие между особыми и неособыми точками состоит в следующем. Если нуль — неособая точка для уравнения (2), то, по крайней мере, локально существует единственное решение, выходящее из нуля, и оно является знакопеременным (это вытекает из теоремы 2.8а и из конструкции решения, приведенной в доказательстве этой теоремы). Если же нуль — изолированная особая точка для уравнения (2), то возможна одна из следующих 4 ситуаций:

1. Не существует решения, выходящего из нуля.

2. Существует (локально) единственное решение, выходящее из нуля, и оно положительно.

3. Существует (локально) единственное решение, выходящее из нуля, и оно отрицательно.

4. Существует (локально) как положительное, так и отрицательное решение, выходящее из нуля. (В этом случае могут также существовать знакопеременные решения.)

Точная формулировка содержится в теореме 2.6.

Используя введенную терминологию, можем сказать, что уравнение является сингулярным, если и только если множество его особых точек непусто. Важно при этом отметить, что обычно естественным образом возникают СДУ, имеющие лишь одну особую точку (часто это точка 0). Поэтому наиболее важный класс особых точек представляют изолированные особые точки. (Точка с? 6 К называется изолированной особой

Введение 16 точкой, если она особая и обладает проколотой окрестностью, состоящей из неособых точек.)

Прежде всего приведем ряд примеров, показывающих, как может вести себя решение в окрестности изолированной особой точки. Для уравнения т = -А- /(х* ф о) л + ¿ви Хъ = х нуль является изолированной особой точкой и не существует решения, выходящего из нуля. Это строго доказывается в параграфе 1.4 и неформально может быть объяснено следующим образом. Коэффициент сноса Ь отрицателен в правой полуокрестности нуля и положителен в левой полуокрестности. Кроме того, снос является очень сильным вблизи нуля. Поэтому он не позволяет решению выйти из этой точки, и единственно возможным остается решение, заданное по формуле Р(Х = 0) = 1. Но, как легко проверить, эта мера не является решением. Другим примером служит СДУ для процесса Бесселя ах* = ^г 7№ Ф 0) Л + Хо = го

ZЛt с 5 > 1. Из примера 1.35 следует, что для этого уравнения существует как положительное, так и отрицательное решение, выходящее из нуля. Неформальное объяснение здесь состоит в следующем. Коэффициент сноса Ь положителен справа от нуля и является достаточно сильным, чтобы обеспечить существование положительного решения. Аналогично, снос отрицателен слева от нуля, и существует отрицательное решение.

Еще одним примером служит СДУ для геометрического броуновского движения

1Хг = цХ^ + № + 1{Хг ф 0))йВи Х0 = х0 слагаемое /(Х^ ф 0) здесь добавлено для того, чтобы гарантировать выполнение условия а ф 0 в каждой точке; очевидно, добавление этого

Введение 17 слагаемого не влияет на свойства решения с ф 0, но исключает тождественно нулевое решение). Для этого уравнения коэффициенты сноса и диффузии настолько малы вблизи нуля, что решение, выходящее из строго положительной (или строго отрицательной) точки, никогда не достигает нуля.

Как видно из примеров выше, уравнения с изолированными особыми точками часто возникают как в теоретических вопросах, так и в приложениях. До сих пор отсутствовал единый метод исследования поведения решения вблизи таких точек. Не были изучены такие вопросы, как: существует ли решение; единственно ли оно; может ли оно достичь такую точку; может ли оно выйти из такой точки; может ли оно пройти через такую точку и т.д. Подобные вопросы исследовались лишь для некоторых конкретных уравнений.

В настоящей работе проводится полное исследование поведения решения в окрестности изолированной особой точки. Это приводит к построению полной качественной классификации изолированных особых точек. Классификация показывает, может ли решение достичь эту точку справа/слева, может ли оно ее покинуть вправо/влево, может ли оно быть продолжено после достижения этой точки и т.д. При этом на коэффициенты уравнения накладываются минимальные условия регулярности. Именно, мы предполагаем лишь, что коэффициенты Ъ и а являются измеримыми функциями и а ф 0 поточечно. Для проведения классификации мы прежде всего исследуем поведение решения в односторонней окрестности изолированной особой точки. При этом выделяется 7 различных типов поведения. Они описываются приводимыми ниже теоремами 2.8а-2.8ж.

Для формулировки теорем прежде всего введем необходимые обозначения. Пусть нуль — изолированная особая точка для уравнения (2).

Введение 18

Тогда существует а > 0 такое, что

6 ^(«Н).

Заметим, что интеграл может сходиться. В этом случае соответствующий интеграл должен расходиться в левой полуокрестности нуля. Будем использовать функции выбираем версию, обращающуюся в нуль в точке а. Можно проверить, что решение в правой полукрестности нуля является регулярным непрерывным строго марковским процессом, и функция в является его функцией шкалы. Вместе с тем следует подчеркнуть, что исследование существования, единственности и качественного поведения решении проводится исключительно методами стохастического анализа без обращения к результатам теории марковских процессов.

В приводимых ниже теоремах оказывается более удобным иметь дело не с пространством С(М+) непрерывных функций, а с пространством С(Е+) функций, определенных до случайного момента времени. Формальное определение состоит в следующем: С(М+) состоит из функций / : —> М и {7г} со следующим свойством: существует момент £(/) € [0, оо] такой, что / непрерывна на [0,£(/)) и / = тг на [£(/), оо). Здесь 7г — изолированная точка, добавленная к вещественной прямой.

Функция 5 является версией неопределенного интеграла /х р{у)<1у. Если /0°р{у)(1у < оо, выбираем версию, обращающуюся в нуль в нуле; иначе

Введение 19

Будем обозначать через X канонический процесс на С(М+) и рассмотрим моменты остановки

Та =8ирт£{* > 0 : - а| < 1/п}, п

Та,с =Та А Тс, Та,с ~Та Л Тс с обычным соглашением 0 = +оо (здесь а, с 6 К). Заметим, что Та может не равняться Та, поскольку может оказаться, что X = тг в момент Та (тогда Та = оо). Будем также рассматривать стохастические интервалы

5, Г] = {(си, г) € П х Ж+ : 5(о;) ^ г ^ Т(ш)}, ]5,Т] - {(ш, 5(о;) < * ^ Т(и)},

5,Т[= {(и,*) € П X Ж+ : 5(о;) < * < Т(си)}: ]5,Т[= {(и, 0 в (и) < * < Т(ш)}, где 5, Т — моменты остановки (при этом необязательно 5 ^ Т).

В приводимых ниже теоремах используется понятие решения до случайного момента времени. Обращение к этому понятию необходимо при описании локального поведения решений вблизи особой точки, поскольку это поведение зависит лишь от поведения коэффициентов в окрестности соответствующей точки, а знание коэффициентов лишь в окрестности позволяет делать утверждения о свойствах решений лишь до момента выхода из этой окрестности. Решение до случайного момента времени — это пара (Р, 5), где Р — вероятностная мера на С(К+), а 5 — момент остановки на С(К+) (точное определение содержится в параграфе 1.1). Также оказывается удобным ввести понятие решения до момента 5— (см. параграф 1.1). Ниже такие решения обозначаются как (Р, 5—). Бу

Введение 20 дем говорить, что решение (Р, 5) (или (Р, 5—)) положительно, если мера Р сосредоточена на положительных траекториях.

Теорема 2.8а. Предположим, что

Если £о Є [0, а], то существует единственное решение до То,а • При этом ЕрТо>а < оо и Р(Хт0 а = 0) > 0.

Если выполнены условия теоремы 2.8а, то будем говорить, что нуль имеет правый тип 0.

Теорема 2.86. Предположим, что

Если жо Е [0,а], то существует положительное решение Р до Та, и такое решение единственно. При этом ЕрТа < оо и Р(ЭЬ Та \ Хь =

Если выполнены условия теоремы 2.86, то будем говорить, что нуль имеет правый тип 2.

Теорема 2.8в. Предположим, что

I) Для любого решения (Р,5) имеем X ^ 0 на |То, 5| Р-п.н. (т.е. для любого £ ^ 0 имеем Р -п.н. на {То ^ ^ ^ 5}).

II) Если хо Е [0, а], то существует единственное решение Р до Г0,а. При этом ЕРТо!а < оо и Р(ХТо а = 0) > 0.

Если выполнены условия теоремы 2.8в, то будем говорить, что нуль имеет правый тип 1.

0) > 0.

Введение 21

Теорема 2.8г. Предположим, что

Г ( М Г 1 + |Ь(®)| , ч , Г 8{х) . р(хМх < 00, / , ч 0/ = оо, / 0 ах <

Уо Уо Я^)*7 М Уо Я®)* 0*0

I) Если хо > 0, то любое решение (Р, Я) строго положительно. и) Если жо ^ 0, то любое решение (Р,5) отрицательно.

11) Если хо Е (0, а), то существует единственное решение Р до

Если выполнены условия теоремы 2.8г, то будем говорить, что нуль имеет правый тип 6.

Теорема 2.8д. Предположим, что Если хо > 0, то любое решение (Р, 5) строго положительно. (И) Если хо ^ 0, то любое решение (Р, 5) отрицательно. (111) Если жо £ (О;; то существует единственное решение Р до Та . При этом Р(Та = оо) > 0 и Нтг-кх) -X* = О Р -п.н. на {Та = оо} .

Если выполнены условия теоремы 2.8д, то будем говорить, что нуль имеет правый тип 4.

Теорема 2.8е. Предположим, что

1) Если хо > 0, то любое решение (Р, 5) строго положительно. (и) Если а?о Е (0, а], то существует единственное решение Р до Та. При этом ЕрТа < оо .

Ш) Если хо = 0, то существует положительное решение Р до Та, и такое решение единственно. При этом ЕрТа < оо и X > 0 на |0,То| Р -п.н.

То,а— • При этом ЕрТо,а < оо и Р(1іті^0о Хі = 0) > 0 .

Введение 22

Если выполнены условия теоремы 2.Е, то будем говорить, что нуль имеет правый тип 3.

Теорема 2.8ж. Предположим, что

I) Если хо > 0, то любое решение (Р, 5) строго положительно. и) Если хо ^ 0, то любое решение (Р,-^) отрицательно.

111) Если хо 6 (0, а], то существует единственное решение Р до Та . При этом Та < оо Р -п.н.

Если выполнены условия теоремы 2.8ж, то будем говорить, что нуль имеет правый тип 5.

Замечание. Если нуль имеет правый тип 0, 1 или 2, то для любого хо Е (О, а) существует решение, достигающее нуля со строго положительной вероятностью. Поэтому типы 0, 1, 2 можно назвать выходными. Типы же 3, 4, 5, 6 являются невыходными в том смысле, что для них любое решение с хо > 0 не достигает нуля.

Теоремы 2.8а-2.8ж составляют одностороннюю классификацию изолированных особых точек. В параграфе 2.3 приводятся неформальное и графическое описания этой классификации (см. рис. 2.3 на стр. 97, 98). Односторонняя классификация изолированных особых точек иллюстрируется на рис. 2.

Односторонняя классификация изолированных особых точек составляет содержание параграфов 2.3 и 2.4. В доказательствах используется метод случайной замены времени и преобразования фазового пространства, техника локальных времен непрерывных семимартингалов, приемы склеивания решений и др. Ключевую роль играют вопросы сходимости интегральных функционалов броуновского движения и процессов Бесселя.

Рис. 2. Односторонняя классификация изолированных особых точек

Введение 24

Двусторонняя классификация и марковские решения

В параграфах 3.1, 3.2 проводится вторая часть классификации изолированных особых точек. Именно, рассматривается поведение решения в двусторонней окрестности изолированной особой точки и исследуется, какие эффекты происходят в результате комбинации правого и левого типов. Приводимые ниже теоремы 3.2а-3.2д указывают на те эффекты, которые происходят в результате комбинации правого и левого типов и не отражаются односторонней классификацией.

Будем говорить, что изолированная особая точка имеет тип (¿,7), если она имеет левый тип г и правый тип 3. (Левый тип изолированной особой точки определяется аналогично ее правому типу на основании поведения коэффициентов уравнения в ее левой полуокрестности.)

Пусть нуль — изолированная особая точка для уравнения (2). Тогда существуют числа а < 0 < с такие, что

Если же правый тип нуля — один из 1,., 6, то для любого в > О

Это легко видеть из рис. 2.)

Если бы нуль имел тип (0,0), то (1 + \Ъ\)/а2 € 1^(0), т.е. в этом случае нуль не являлся бы изолированной особой точкой. Для остальных 48 комбинаций правых и левых типов (1 + |&|)/<т2 ^ Аос(^) ■ Итак, изолированная особая точка может иметь один из 48 возможных типов.

Если нуль имеет правый тип 0, то

Введение 25

Теорема 3.2а. Предположим, что нуль имеет тип (г,]) с г = 0,1,4,5,6, .7 = 0,1,4,5,6 (при этом случай г = ] = 0 исключается). Тогда для любого решения (Р, 5) имеем 5 ^ То Р-п.м.

Теорема 3.26. Предположим, что нуль имеет тип {г,з) с г = 0,1, 3 = 2,3. Для любого решения (Р,5) имеем X ^ 0 на [То,5]] Р-п.м.

II) Если £о Е [а, с], то существует единственное решение Р до Та^с.

Теорема 3.2в. Предположим, что нуль имеет тип (2, 2). Тогда для любого хо € (а, с) существуют различные решения до Та.

Теорема 3.2г. Предположим, что нуль имеет тип (2,3). Для любого решения (Р,5) имеем X > 0 на |То+,5] Р-п.м., где

Т0+ = >0:Xt>0}. п) Если хо £ (а, 0], то существуют различные решения до Г0)С. ш) Если ссо 6 (0,с], то существует единственное решение до Та^с, и оно строго положительно.

Теорема 3.2д. Предположим, что нуль имеет тип (3,3).

1) Если хо Е [а, 0), то существует единственное решение до Та>с, и оно строго отрицательно. и) Если хо Е (0,с], то существует единственное решение до Та,С} и оно строго положительно.

III) Если хо = 0, то существуют различные решения до Та;С. Их можно описать следующим образом. Если Р — решение до Та]С, то существует А Е [0,1] такое, что Р = АР~ + (1 — А)Р+, где Р~ — единственное отрицательное решение до ТйуС, а Р+ — единственное положительное решение до Та>с .

Мы не приводим здесь утверждений, касающихся типов (г,у) с г = 4,5, 6, у = 2,3, поскольку для этих типов поведение решения в дву

Введение 26 сторонней окрестности соответствующей точки ясно из односторонней классификации и нет дополнительных эффектов, происходящих из двусторонней комбинации типов.

Теоремы 2.8а-2.8ж (описывающие поведение решения в односторонней окрестности изолированной особой точки) вместе с теоремами 3.2а-3.2д (указывающими на эффекты в двусторонней окрестности, происходящие в результате комбинации правого и левого типов) составляют полную классификацию изолированных особых точек. Из построенной классификации видно, существует ли решение вблизи изолированной особой точки, единственно ли оно и каково его качественное поведение. В частности, оказывается, что изолированные особые точки лишь 4 (из 48) типов нарушают единственность локального решения. Они названы в работе точками ветвления. Выделение этих точек — одно из наиболее интересных и важных следствий построенной классификации.

Теория СДУ тесно связана с теорией марковских процессов. Д. Струк и С. Варадан [67; ТЬ. 6.2] доказали, что если для любой начальной точки хо существует единственное решение СДУ (2) (более точно, рассматривались многомерные однородные СДУ), то решение обладает строго марковским свойством. Верно и частичное обращение этого утверждения: при некоторых дополнительных ограничениях регулярный непрерывный одномерный строго марковский процесс является решением СДУ (см. работу В. Шмидта [65]). Взаимосвязь между строго марковскими процессами и СДУ в одномерном случае исследовалась также в работах [35], [39], [46].

В параграфе 3.3 мы показываем, что наличие точек ветвления приводит к появлению немарковских решений уравнения (2). В то же время все строго марковские решения в окрестности точки ветвления допускают простое описание. Это — тема параграфа 3.4. В доказательствах используется, в частности, техника регулярных непрерывных строго марковских процессов.

Введение 27

Классификация на бесконечности и частные случаи

В параграфах 4.1, 4.2 рассматривается поведение решения "в окрестности +оо ". Оказывается, что решение может иметь один из трех возможных типов поведения. Они описываются приводимыми ниже теоремами 4.1а-4.1в.

Будем предполагать, что коэффициенты уравнения (2) удовлетворяют условию

1 -Ь |6| Г1 ,, „ е Цос([а,оо)) для некоторого а£1. Будем использовать функции оо - / р(у)(іу, ж Є [а, сю) и X и обозначения

Тж = Иш Тп, п—їоо

Та,оо — Та Л Тоо.

Теорема 4.1а. Предположим, что р{х)(1х = оо. о а

Если Хо Є [а, оо); то существует единственное решение Р до Та. При этом Та < оо Р-п.н.

Если выполнены условия теоремы 4.1а, то будем говорить, что +оо имеет тип А.

Теорема 4.16. Предположим, что

Г / ^ Г 1*(*)1 ^ р(х)ах < оо, / 4 .¿¿ж = оо.

Л Л

Введение 28

Если хо € [а, оо); то существует единственное решение Р до Та. Если кроме того хо > а, то Р(Та = оо) > 0 и Нш^оо = +оо Р-п.н. на

Если выполнены условия теоремы 4.16, то будем говорить, что +оо имеет тип В.

Теорема 4.1в. Предположим, что

Если хо € (а, оо); то существует единственное решение Р до Та100— . При этом Р(Гоо < оо) > 0. (Другими словами, решение взрывается в +оо со строго положительной вероятностью.)

Если выполнены условия теоремы 4.1в, то будем говорить, что +оо имеет тип С.

Замечание. Известный феллеровский критерий взрывов (см. [48]) может быть получен как следствие построенной классификации.

Теоремы 4.1а-4.1в составляют классификацию типов +оо (аналогично проводится классификация типов —оо). В параграфе 4.1 приводятся неформальное и графическое описания этой классификации (см. рис. 4.2 на стр. 153). Классификация на бесконечности иллюстрируется на рис. 3.

В параграфе 4.3 рассматриваются степенные уравнения, т.е. СДУ вида

Для этих уравнений предлагается простая процедура определения типа нуля и типа бесконечности (см. рис. 4 и 5).

Далее, в параграфе 4.4 мы исследуем, какие типы нуля и типы бесконечности возможны, если коэффициент сноса Ь имеет постоянный знак (результаты представлены в табл. 2 и 3).

Та = оо} . с1Хг = 1А\Х^а<и + р\Х^<1Ви Хо = х0.

4)

Рис. 3. Классификация на бесконечности

Введение р ® 2 1 ! © 1

1 1

1 л ! ® 1 1 1

7 > -1

Р ® Л

7 < -1

Р ® 1 , © 1

1 ! ® 1

11/2 Л 1 1 1 1 1

7 = -1

Рис. 5. Классификация на бесконечности для степенных уравнений. Здесь Л = ц/и2 , 7 = а — 2/3, где а, /3, ц, и задаются формулой (4). Сначала следует вычислить 7 и выбрать соответствующий рисунок (из трех возможных). Потом следует отметить на этом рисунке точку с координатами (Л, /3) и выяснить, какой области она принадлежит. Буква (Л), отмеченная в этой области, показывает, что +оо имеет тип Л. Например, если 7>—1,Л>0и/3>(1 — 7)/2 , то +оо имеет тип Б.

Введение 32 а2 = 1 а произвольно

Ь ^ 0 0 2 3 0 12 3 4 5

Ъ ^ 0 0 1 0 1 4

Табл. 2. Возможные правые типы нуля в случае сноса постоянного знака

72 = 1 о произвольно

Ь^О ЛВС А В С

Ь < 0 А А

Табл. 3. Возможные типы +оо в случае сноса постоянного знака

Глобальные решения и инвариантные распределения

Как было отмечено выше, при проведении классификации изолированных особых точек и классификации на бесконечности естественно пользоваться понятием локального решения или решения до случайного момента времени, так что все решения, рассматриваемые в главах 2-4, являются локальными.

В параграфах 5.1, 5.2 мы применяем результаты глав 2-4 для изучения существования, единственности и качественного поведения глобальных решений, т.е. решений в классическом смысле. Это делается лишь для уравнений, имеющих не более одной особой точки (но именно такие уравнения и возникают чаще всего). Результаты представлены теоремами 5.1а-5.1в (схематичное изображение соответствующих утверждений дается в табл. 4-6).

Введение 33

Теорема 5.1а. Предположим, что уравнение (2) не имеет особых точек, т.е. € ¿¡„(К). i) Если —оо и +оо имеют типы А или В, то существует единственное решение Р. При этом для любого а Є М имеем Р(Т0 < оо) > 0. ii) Если — оо или +оо имеет тип С, то не существует решения.

Тип —оо Тип +оо Сущ. Един. Комментарии

А В А В + + решение может достичь любую точку

С — + взрыв в — оо

С — + взрыв в +оо

Табл. 4. Существование и единственность решения в случае отсутствия особых точек. К примеру, вторая строка отвечает ситуации, когда —оо имеет тип С и нет ограничений на тип +оо . Таблица показывает, что в этом случае не существует решения, поскольку происходит взрыв в — оо .

Теорема 5.16. Предположим, что нуль — единственная особая точка для уравнения (2). Пусть Хо > 0.

Если +оо имеет тип С, то не существует решения. (и) Если нуль имеет тип (г,^) с г = 0,1,4,5,6, э = 0,1 (случай I = ^ = 0 исключается), то не существует решения. ш) Если нуль имеет тип (¿,7) с г = 2,3, ] = 0,1, —оо имеет тип А или В и +оо имеет тип А или В, то существует единственное решение Р. При этом Р(Т0 <оо)>0 на [То, оо[ Р-га.и. гу) Если нуль имеет тип (г, У) с г = 2,3, 3 = 0,1, а — оо имеет тип С, то не существует решения.

Введение 34 у) Если нуль имеет тип (г,э) с г = 0,1,4,5,6, ] = 2, а +оо имеет тип А или В, то существует единственное решение Р. Оно положительно и Р(То < оо) > 0. у!) Если нуль имеет тип (г, у) с г = 2, 3, ] = 2, —оо имеет тип А или В и +оо имеет тип А или В, то существуют различные решения. ун) Если нуль имеет тип (г^) с г — 2, 3, у = 2, —оо имеет тип С, а 4-сю имеет тип А или В, то существует единственное решение Р. Оно положительно и Р(То < оо) > 0. уш) Если нуль имеет тип (г, у) с у = 3,4, 5, а +оо имеет тип А или В, то существует единственное решение. Оно строго положительно.

1х) Если нуль имеет тип (г, с ] = 6, то не существует решения.

Теорема 5.1в. Предположим, что нуль — единственная особая точка для уравнения (2). Пусть хо = 0.

Если нуль имеет тип (г,]) с г = 0,1,4, 5, 6, ] = 0,1,4, 5, 6 (случай i = j = 0 исключается), то не существует решения. и) Если нуль имеет тип (1,]) с г = 0,1,4,5,6, у = 2,3, а +оо имеет тип А или В, то существует единственное решение. Оно положительно. ш) Если нуль имеет тип (г, ]) с г = 0,1,4,5,6, у = 2,3, а +оо имеет тип С, то не существует решения.

1у) Если нуль имеет тип (г, 7) с г = 2,3, ] = 0,1,4,5,6, а — оо имеет тип А или В, то существует единственное решение. Оно отрицательно. у) Если нуль имеет тип (г,]) с % — 2,3, ] = 0,1,4,5,6, а —оо имеет тип С, то не существует решения. у1) Если нуль имеет тип (г,^) с г = 2,3, з = 2,3, —оо имеет тип А или В и +оо имеет тип А или В, то существуют различные решения.

Введение 35 ун) Если нуль имеет тип (г,^) с г = 2,3, ] = 2,3, —оо имеет тип А или В, а +оо имеет тип С, то существует единственное решение. Оно отрицательно. уш) Если нуль имеет тип [г,]) с г = 2,3, ] = 2,3, —оо имеет тип С, а +оо имеет тип А или В, то существует единственное решение. Оно положительно.

1х) Если нуль имеет тип (г,^) с г = 2,3, э = 2,3, —оо имеет тип С и +оо имеет тип С, то не существует решения.

Тема параграфов 5.3, 5.4 — инвариантные распределения для сингулярных уравнений. Проблема существования и единственности инвариантных распределений СДУ является одной из классических проблем стохастического анализа. Известные результаты (см., например, [29]) отвечают случаю, когда коэффициенты уравнения "достаточно регулярны". Для одномерных СДУ это, в частности, означает, что решение, выходящее из любой точки, может достичь любую другую точку, так что носителем инвариантного распределения служит вся вещественная прямая. Однако часто возникает необходимость рассмотрения СДУ, обладающих инвариантными распределениями, сосредоточенными на некотором интервале вещественной прямой. (К примеру, это нужно в моделях стохастической волатильности, используемых в финансовой математике. В этих моделях инвариантное распределение СДУ, задающего волатильность, должно быть сосредоточено на положительной полуоси.) Заметим, что если интервал I не совпадает с М и уравнение (2) обладает инвариантным распределением /л с эирр^ = I (/ обозначает замыкание /), то это уравнение должно быть сингулярным в описанном выше смысле. Действительно, если для СДУ (2) выполнено условие (3), то для любого а Е К решение достигнет уровня а с положительной вероятностью.

Введете 36

Левый тип нуля Правый тип нуля Тип —оо Тип +0О Сущ. Един. Комментарии

С — + взрыв в +оо

0 14 5 6 0 1 — + ловушка в нуле

2 3 0 1 А В А В + + проход через нуль

2 3 0 1 С — + взрыв в — оо

0 14 5 6 2 А В + + отражение в нуле

2 3 2 А В А В + — ветвление в нуле

2 3 2 С А В + + отражение в нуле

3 4 5 А В + + решение строго положительно

6 — + ловушка в нуле

Табл. 5. Существование и единственность решения в случае, если нуль — единственная особая точка. Начальная точка строго положительна.

Левый тип нуля Правый тип нуля Тип —оо Тип +оо Сущ. Един. Комментарии

0 14 5 6 0 14 5 6 — + ловушка в нуле

0 14 5 6 2 3 А В + + решение положительно

0 14 5 6 2 3 С — + взрыв в +оо

2 3 0 14 5 6 А В + + решение отрицательно

2 3 0 14 5 6 С — + взрыв в —оо

2 3 2 3 А В А В + — ветвление в нуле

2 3 2 3 А В С + + решение отрицательно

2 3 2 3 С А В + + решение положительно

2 3 2 3 С С — + взрыв в — оо или +оо

Табл. 6. Существование и единственность решения в случае, если нуль — единственная особая точка. Начальная точка равна нулю.

Введение 37

Мы даем необходимые и достаточные условия существования единственного инвариантного распределения \± для уравнения (2) такого, что \х содержится на интервале /СМ (он может быть открытым, замкнутым или полуоткрытым) и эирр ¡1 = 1. При этом на коэффициенты уравнения накладываются минимальные условия регулярности: мы предполагаем лишь, что Ь и а — измеримые функции, причем а(х) ф 0 для любого х 6 К. Для формулировки соответствующей теоремы введем функции

Гх 2Ыу) , Л p(x)=exp^-J ¿ц^йуу хе1 г в(х) = / р{у)йу, X е I, где / обозначает внутренность /, а /х обозначает версию неопределенного интеграла. Эти обозначения имеют смысл, если

Будем также пользоваться следующим соглашением: для / : I — утверждение " / ¡(х)йх < оо в концевой точке /" означает, что /ип1 /(х)с1х < оо для некоторой окрестности и этой точки; утверждение " § /(х)(1х = оо в концевой точке /" означает, что /ип1 /(х)(1х = оо для любой окрестности и этой точки (концевая точка может быть как конечной, так и бесконечной).

Теорема 5.2. Имеет место эквивалентность (1) + (и) (а) -|-----Ь е):

0) Для любой начальной точки хо Е I существует решение РХо уравнения (2) с РХо(Ш Хг I) = 1, и такое решение единственно (X обозначает канонический процесс на С(Е+)). (и) Существует инвариантное распределение р, (т.е. для любого * £ о I Рм) — ¡1, где Рц — ^ Рхр(йх)); сосредоточенное

Введение 38 на I (т.е. /л(1) = 1) с вирр/х = I, и такое распределение единственно. а) Имеем

Ь) Имеем рсгг е ь\1) т.е. 1(х)сг 2(х)с1х < оо). (с) В бесконечных концевых точках I имеем р(фХ = о*.

1) В конечных концевых точках I, не принадлежащих I, имеем е) В конечных концевых точках I, принадлежащих I, имеем либо [ р(х)с1х < оо, / ¿х < оо, [ (Их = оо,

У У /7(^)СГ2(гг) У ¿72(Ж) либо г Л, Г ! + 1К®)1 I / МЛ р[х)ах = оо, / . . „. . з(ам аж < оо.

У У р(я)сг20) р(ж)<72(:г)

Если эти условия выполнены, то мера ¡л, описанная в (п); имеет вид ц(<1х) = с1х, где с — нормирующий множитель. Более того, для любого распределения V, сосредоточенного на I, имеем

I Р„) ц, где Ри = /7 Рху(йх)

Введение 39

Структура работы

В главе 1 содержатся основные определения, факты и примеры, касающиеся теории СДУ. Также в этой главе представлены и собственные результаты автора. Это теоремы 1.16а, 1.166 и пример 1.35.

Результаты настоящей работы, составляющие классификацию изолированных особых точек и классификацию на бесконечности, даются в главах 2-4. Применения построенной классификации приведены в главе 5.

В приложении А собраны факты из стохастического анализа, используемые в работе. Технические леммы отнесены в приложение В.

Цитируемые утверждения названы предложениями. Собственные результаты автора названы теоремами (вспомогательные утверждения — леммами).

Диссертация содержит 6 таблиц (см. стр. 82, 165, 167, 169, 172) и 12 рисунков (см. стр. 62, 88, 96, 97, 98,132, 133,148, 152, 153,157,161), в том числе 7 иллюстраций с смоделированными на компьютере траекториями решений сингулярных СДУ.

Апробация диссертации

Автор выступал с докладами на следующих конференциях, где излагались также и результаты, относящиеся к диссертации:

• Workshop on Mathematical Finance. Франция, Париж, 1998. Тезисы: Vector stochastic integrals in the fundamental theorem of asset pricing.// Paris, INRIA, 1998, p. 149-163.

• Ломоносовские Чтенил-1999. Москва, МГУ, 1999.

• Колмогоровские Чтенил-1999. Москва, МГУ, 1999.

Тезисы: О сильных и слабых решениях стохастических дифферен

Введение 40 циальных уравнений, определяющих процессы Бесселя.// Теория вероятностей и ее применения, 44 (1999), №. 3, с. 699.

• Mathématiques Financières. Франция, Париж, 1999.

Тезисы: Convergence of some integrals associated with Bessel processes.// Paris, INRIA, 1999, p. 405-425.

• Second Nordic-Russian Symposium on Stochastic Analysis. Норвегия, Бейтостолен, 1999.

• 12th Winter School on Stochastic Processes. Германия, Зигмундсбург, 2000.

Тезисы: Isolated singular points of stochastic differential equations (совм. с Х.-Ю. Энгельбертом).// In: R. Buckdahn, H.-J. Engelbert, M. Yor (Eds.). Stochastic processes and related topics. Taylor &; Francis, 2002, p. 55-80.

• Workshop on Levy Processes and Related Subjects. Дания, Орхус, 2000.

• Workshop on Fluid Mechanics and Stochastic Flows. Дания, Орхус, 2001.

• 12th European Young Statisticians Meeting. Словакия, Янека Долина, 2001.

• Second World Congress of the Bachelier Finance Society. Греция, Крит, 2002.

Тезисы в электронном виде: Improper stochastic integrals in the Fundamental Theorems of Asset Pricing (совм. с A.H. Ширяевым).// www.ma.utexas.edu/Bachelier2002.

• Конференция "Колмогоров и Современная Математика". Москва, МГУ, 2003.

Тезисы: On minimization and maximization of entropy in various disciplines (совм. с В.П. Масловым).// Москва, 2003, с. 408-409.

Введение 41

Тезисы: On the absolute continuity and singularity of probability measures on a filtered space (совм. с M.A. Урусовым).// Москва, 2003, с. 410-411.

• Third World Congress of the Bachelier Finance Society. США, Чикаго, 2004.

Тезисы в электронном виде: General arbitrage pricing model: probability and possibility approaches.// www. uic. edu/orgs/bachelier.

• Workshop on Stochastic Equations and Related Topics (конференция, посвященная 60-летию Х.-Ю. Энгельберта). Германия, Йена, 2005.

Кроме того, автор выступал с докладами в следующих зарубежных университетах:

• Институт Исаака Ньютона, Кембридж, Великобритания, 2005.

• Политехнический Институт Цюриха (ЕТН), Швейцария, 2004.

• Технический Университет Вены, Австрия, 2002, 2004.

• Университет Анже, Франция, 2003.

• Университет Йены, Германия, 1999, 2000, 2001, 2002, 2004.

• Университет Кембриджа, Великобритания, 2002.

• Университет Лондона, Великобритания, 2002.

• Университет Миннесоты, США, 2001.

• Университет Орхуса, Дания, 2000.

• Университет Париж-VI, Франция, 2003.

Помимо этого, автор читал лекции на летней школе "From Levy processes to semimartingales: recent theoretical developments and applications in finance", организованной Университетом Орхуса (Дания) в 2002 г.

Автор дважды выступал на заседаниях Московского Математического Общества (2002, 2004) и 8 раз — на Большом Кафедральном Семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факуль

Введение 42 тета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова (1999, 2000, 2001, 2002, 2003).

Тематика диссертации тесно примыкает к различным аспектам стохастического анализа, таким как: стохастические интегралы, интегральные функционалы диффузионных процессов, локальные времена, свойства броуновского движения, абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных мер. С тематикой диссертации связаны работы автора [70], [71], [72], [73], [74], [75], [76], [77], [78], [79], [80], [81], [82], [83], [84], а также монография [85]. В электронном виде эти и другие статьи можно найти на сайте автора: http://mech.math.msu.su/~cherny.

Работы [72], [74], [78], [79], [83] были отмечены премией Европейской Академии для молодых российских ученых. Вручение премии состоялось 23 ноября 2004 г. на 31м этаже Главного Здания Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова.

Автор выражает благодарность своему учителю члену-корреспонденту РАН профессору А.Н. Ширяеву за интерес к работе, важные рекомендации и ценные замечания.

1. С.Н. Бернштейн. Принципы теории стохастических дифференциальных уравнений.// Труды Физ.-Мат. Института им. В.А. Сте-клова, 5 (1934), с. 95-124.

2. A.B. Булинский, А.Н. Ширяев. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003.

3. С. Ватанабэ, Н. Икеда. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М.: Наука, 1986.

4. А.Д. Вентцель. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1991.

5. В.А. Волконский. Случайные замены времени для строго марковских процессов.// Теория вероятностей и ее применения, 3 (1958), с. 310-326.

6. В.А. Волконский. Аддитивные функционалы марковских процессов.// Труды Московского Математического Общества, 9 (1960), с. 143-189.

7. И.В. Гирсанов. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно-непрерывной замены меры.// Теория вероятностей и ее применения, 5 (1960), вып. 3, с. 314-330.

8. И.В. Гирсанов. Пример неединственности решения стохастического уравнения К. Ито.// Теория вероятностей и ее применения, 7 (1962), вып. 3, с. 336-342.Список литературы 209

9. И. И. Гихман. Об одном методе построения случайных процессов.// Доклады Академии Наук СССР, 58 (1947), с. 961-964.

10. И. И. Гихман. О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями.// Украинский математический журнал, 2 (1950), вып. 3, с. 45-69.

11. И. И. Гихман. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов, I, II.// Украинский математический журнал, 2 (1950), вып. 4, с. 37-63; 3 (1951), вып. 3, с. 317-339.

12. И.И. Гихман, A.B. Скороход. Теория случайных процессов, т. III. M.: Наука, 1975.

13. И.И, Гихман, A.B. Скороход. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1982.

14. Дж. Дуб. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

15. Е.Б. Дынкин. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963.

16. Ж. Жакод, А.Н. Ширяев. Предельные теоремы для случайных процессов. М.: Физматлит, 1994.

17. А.К. Звонкин. Преобразование фазового пространства диффузионного процесса, "уничтожающее" снос.// Математический сборник, 93 (1974), вып. 1, с. 129-149.

18. А.К. Звонкин, Н.В. Крылов. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений.// В кн.: Труды школы-семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 1974), Вильнюс, 1975, ч. 2, с. 9-88.

19. К. Ито, Г. Маккин. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1968.Список литературы 210

20. А.П. Колмогоров. Об аналитических методах в теории вероятностей.// Успехи математических наук, 5 (1938), с. 5-41.

21. Н.В. Крылов. О квазидиффузионных процессах.// Теория вероятностей и ее применения, 11 (1966), вып. 3, с. 424-443.

22. Н.В. Крылов. О стохастических интегральных уравнениях Ито.// Теория вероятностей и ее применения, 14 (1969), вып. 2, с. 340-348.

23. Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

24. Г. Маккин. Стохастические интегралы. М.: Мир, 1972.

25. Б. Оксендал. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003.

26. Н. И. Портенко. О существовании решений стохастических дифференциальных уравнений с интегрируемым коэффициентом переноса.// Теория вероятностей и ее применения, 19 (1974), вып. 3, с. 552-557.

27. Н.И. Портенко. К теории стохастических дифференциальных уравнений.// Теория случайных процессов, 4 (1976), с. 72-80.

28. A.B. Скороход. Исследования по теории случайных процессов. Киев, издательство Киевского университета, 1961.

29. Р.З. Хасъминский. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайном возмущении их параметров. М.: Наука, 1969.

30. Б. Цирелъсон. Пример стохастического дифференциального уравнения без сильного решения.// Теория вероятностей и ее применения, 20 (1975), вып. 2, с. 427-430.Список литературы 211

31. А.H. Ширяев. Статистический последовательный анализ. 2е изд. М.: Наука, 1976.

32. А.И. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. 2е изд. М.: Фазис, 2004.

33. АЛ. Ширяев. Вероятность. Зе изд. М.: МЦНМО, 2004.

34. S. Assing, W. Schmidt. Continuous strong Markov processes in dimension one.// Lecture Notes in Mathematics, 1688. Springer, 1998.

35. S. Assing, T. Senf. On stochastic differential equations without drift.// Stochastics and Stochastics Reports, 36 (1991), No. 1, p. 21-39.

36. M.T. Barlow. One-dimensional stochastic differential equations with no strong solution.// Journal of the London Mathematical Society, 26 (1982), p. 335-347.

37. S.N. Bernstein. Équations différentielles stochastiques.// Act. Sci. Ind., 738 (1938), p. 5-31.

38. E. Çinlar, J. Jacod, P. Protter, M.J. Sharpe. Semimartingales and Markov processes.// Probability Theory and Related Fields, 54 (1980), p. 161-219.

39. M. Csôrgô, L. Horwâth, Q.-M. Shao. Convergence of integrals of uniform empirical and quantile processes.// Stochastic Processes and Their Applications, 45 (1993), No. 2, p. 283-294.Список литературы 212

40. H.-J. Engelbert. On the theorem of T. Yamada and S. Watanabe.// Stochastics and Stochastics Reports, 36 (1991), p. 205-216.

41. H.-J. Engelbert. Existence and non-existence of solutions of one-dimensional stochastic equations.// Probability and Mathematical Statistics, 20, (2000), p. 343-358.

42. H.-J. Engelbert, W. Schmidt. On one-dimensional stochastic differential equations with generalized drift.// In: Stochastic Differential Systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences, 69, p. 143-155. Springer, 1985.

43. H.-J. Engelbert, W. Schmidt. On solutions of one-dimensional stochastic differential equations without drift.// Probability Theory and Related Fields, 68 (1985), p. 287-314.

44. H.-J. Engelbert, W. Schmidt. Strong Markov continuous local martingales and solutions of one-dimensional stochastic differential equations, I, II, III.// Math. Nachr., 143 (1989), p. 167-184; 144 (1989), p. 241281; 151 (1991), p. 149-197.

45. S.N. Ethier, T.G. Kurtz. Markov processes: characterization and convergence. Wiley, 1986.

46. W. Feller. The parabolic differential equations and the associated semigroups of transformations.// Ann. Math., 55 (1952), p. 468-519.

47. W. Feller. Diffusion processes in one dimension.// Trans. Amer. Math. Soc., 77 (1954), p. 1-31.Список литературы 213

48. G. A. Hunt. Markoff processes and potentials, I, II.// Illinois Journal of Mathematics, 1 (1957), p. 44-93; 2 (1958), p. 151-213.

49. K. Itô. Stochastic integrals.// Proc. Imp. Acad. Tokyo, 20 (1944), p. 519-524.

50. K. Itô. On a stochastic integral equation.// Proc. Imp. Acad. Tokyo, 22 (1946), p. 32-35.

51. K. Itô. On stochastic differential equations.// Memoirs of the American Mathematical Society, 4 (1951), p. 1-51.

52. J. Jacod. Calcul stochastique et problèmes de martingales. Lecture Notes in Mathematics, 714 (1979).

53. О. Kallenberg. Foundations of modern probability. 2nd Ed. Springer, 2002.

54. I. Karatzas, S.E. Shreve. Brownian motion and stochastic calculus. 2nd Ed. Springer, 1991.

55. A.N. Kolmogoroff. Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.// Math. Annalen, 104 (1931), p. 415-458.

56. N. V. Krylov, M. Röckner. Strong solutions of stochastic equations with singular time dependent drift.// Probability Theory and Related Fields, 131 (2005), No. 2, p. 154-196.

57. P. Langevin. Sur la théorie du mouvement brownien.// C.R. Acad. Sei. Paris, 146 (1908), p. 530-533.

58. N. S. Nadirashvili. Nonuniqueness in the martingale problem and the Dirichlet problem for uniformly elliptic operators.// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sei., 24 (1997), p. 537-550.Список литературы 214

59. J. W. Pitman, M. Yor. Some divergent integrals of Brownian motion.// In: Analytic and Geometric Stochastics (ed. D. Kendall). Supplement to Adv. Appl. Probab., 18 (1986), p. 109-116.

60. D. Revuz, M. Yor. Continuous martingales and Brownian motion. 3rd Ed. Springer, 1999.

61. L.C.G. Rogers, D. Williams. Diffusions, Markov processes, and martingales. 2nd Ed. Cambridge University Press, 2000.

62. M. V. Safonov. Nonuniqueness for second-order elliptic equations with measurable coefficients.// Siam. J. Math. Anal., 30 (1999), No. 4, p. 879-895.

63. W. Schmidt. On semimartingale diffusions and stochastic differential equations.// Stochastics and Stochastic Reports, 29 (1990), p. 407424.

64. D.W. Stroock, S.R.S. Varadhan. Diffusion processes with continuous coefficients, I, II.// Communications in Pure and Applied Mathematics, 22 (1969), p. 345-400; p. 479-530.

65. D.W. Stroock, S.R.S. Varadhan. Multidimensional diffusion processes. Springer, 1979.

66. T. Yamada. Principal values of Brownian local times and their related topics.// In: Ito's stochastic calculus and probability theory, Springer, 1996, p. 413-422.

67. T. Yamada, S. Watanabe. On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations.// J. Math. Kyoto Univ, 11 (1971), p. 155-167.Список литературы 215 Работы автора по теме диссертации

68. А. С. Черный. Векторный стохастический интеграл в первой фундаментальной теореме теории арбитража.// Успехи математических наук, 53 (1998), №. 4, с. 221-222.

69. A.C. Черный, А.Я. Ширяев. Некоторые свойства броуновского движения со сносом и обобщение одной теоремы П. Леви.// Теория вероятностей и ее применения, 44 (1999), №. 2, с. 466-472.

70. A.C. Черный. Сходимость некоторых интегралов, связанных с процессами Бесселя.// Теория вероятностей и ее применения, 45 (2000), №. 2, с. 251-267.

71. A.C. Черный. Качественное поведение решений стохастических дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами.// Успехи математических наук, 55 (2000), №. 3, с. 193-194.

72. A.C. Черный. О сильной и слабой единственности для стохастических дифференциальных уравнений.// Теория вероятностей и ее применения, 46 (2001), №. 3, с. 483-497.

73. A.C. Черный. Семейства согласованных вероятностных мер.// Теория вероятностей и ее применения, 46 (2001), №. 1, с. 160-163.

74. А.Н. Ширяев, A.C. Черный. Векторный стохастический интеграл и фундаментальные теоремы теории арбитража./ / Труды МИР АН им. В.А. Стеклова, 237 (2002), с. 12-56.

75. A.C. Черный, М.А. Урусов. Разделяющие моменты для мер на пространствах с фильтрацией.// Теория вероятностей и ее применения, 48 (2003), №. 2, с. 416-427.Список литературы 216

76. A.S. Cherny. On the strong and weak solutions of stochastic differential equations governing Bessel processes.// Stochastics and Stochastics Reports, 70 (2000), No. 3, p. 213-219.

77. A.S. Cherny. Principal values of the integral functionals of Brownian motion: existence, continuity and an extension of Ito's formula.// Lecture Notes in Mathematics, 1755 (2001), p. 348-370.

78. A.S. Cherny, A.N. Shiryaev. On criteria for the uniform integrability of Brownian stochastic exponentials.// In: Optimal Control and Partial Differential Equations. In honor of Alain Bensoussan's 60th birthday. IOS Press, 2001, p. 80-92.

79. A.S. Cherny, A.N. Shiryaev, M. Yor. Limit behaviour of the "horizontal-vertical" random walk and some extensions of the Donsker-Prokhorov invariance principle.// Теория вероятностей и ее применения, 47 (2002), №. 3, с. 498-516.

80. A.S. Cherny, H.-J. Engelbert. Isolated singular points of stochastic differential equations.// In: R. Buckdahn, H.-J. Engelbert, M. Yor (Eds.). Stochastic processes and related topics. Taylor & Francis, 2002, p. 55-80.

81. A.S. Cherny. Invariant distributions for singular stochastic differential equations.// Stochastics and Stochastics Reports, 76 (2004), No. 2, p. 101-112.

82. A.S. Cherny, A.N. Shiryaev. On stochastic integrals up to infinity and predictable criteria for integrability.// Lecture Notes in Mathematics, 1857 (2004), p. 165-185.

83. A.S. Cherny, H.-J. Engelbert. Singular stochastic differential equations. Lecture Notes in Mathematics, 1858 (2004), 128 p. (Монография).Указатель обозначенийС(К+)аС(Ш+) С(Е+, Г1)Г*+г