Исследования по теории арбитража в стохастических моделях финансовых рынков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

0034Э4532

На правах рукописи

Рохлин Дмитрий Борисович

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ АРБИТРАЖА В СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 5 МАР 2010

Москва 2010

003494532

Работа выполнена на кафедре высшей математики и исследования операций факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.

Научный консультант: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Г.И. Белявский.

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник МИАН A.A. Гущин,

доктор физико-математических наук, профессор И.В. Павлов, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН Э.Л. Пресман.

факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Защита состоится 15 апреля 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.01 при Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 119991 Москва, ул. Губкина, д. 8, 9-й этаж, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова.

Автореферат разослан « 9 » 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.022.01, доктор физико-математических наук, профессор Ц-^и^п^ В.А. Ватутин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию ряда общих стохастических моделей рынков ценных бумаг с точки зрения теории арбитража. Основное внимание уделяется моделям с дискретным временем. Исследованы модели с ограничениями на портфель, с операционными издержками, с бесконечным горизонтом, модели больших рынков. Получен ряд новых критериев безарбитражности, допускающих вычислительно осуществимую проверку. Исследованы некоторые математические задачи, тесно связанные с изучаемыми вопросами: задача о мартингальном выборе, теорема Крепса-Яна, вопрос о существовании эквивалентной супермартингальной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов.

Теория арбитража является краеугольным камнем стохастической финансовой математики. Согласно принципу отсутствия арбитража любая модель рынка должна быть устроена таким образом, что инвестор (участник торгов, спекулянт) не может получить прибыль без риска при отсутствии начального капитала. Другими словами, не существует инвестиционной стратегии, не требующей начального капитала и приносящей неотрицательный доход, который положителен с положительной вероятностью.

Привлекательность принципа отсутствия арбитража обусловлена тем, что сделанные предположения минимальны и экономически убедительны. Он позволяет указать наиболее широкие классы случайных процессов, которые могут быть использованы для описания цен активов (при заданных правилах торговли), и определить интервалы безарбитражных цен платежных обязательств.

Принцип отсутствия арбитража упоминался еще основоположником финансовой математики Башелье1 , который не использовал термина «арбитраж», но говорил об «операциях, в которых одна из договаривающихся сторон получает прибыль при любых ценах», и о том, что «подобная разница (цен) никогда не возникает на практике». В той же работе Башелье ввел процесс броуновского движения с целью описания цен первичных активов («ренты») и расчета цен платежных обязательств (форвардных контрактов и опционов). При этом, фактически, использовалась идея о том, что цены активов являются мартингалами.

Новый импульс развитию финансовой математики был придан работами Блэка, Шоулза и Мертона2. С использованием принципа отсутствия арбитража и теории стохастического интегрирования Ито в них была однозначно определена цена Европейского опциона в модели, где динамика цен рисково-

1 Bachelier L. Théorie de la spéculation //Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. 1900. Vol. 17. P. 21-86.

2Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities //J. Polit. Econ. 1973. Vol. 81, no. 3. P. G37-054. (1973); JVerton R.C. Theory of rational option pricing // Bell J. Econ. Manag. Sei. 1973. Vol. 4, no. 1. P. 141-183.

го актива описывается геометрическим броуновским движением. Ключевую роль при этом играет полнота рассматриваемой модели рынка: начальный капитал, необходимый для воспроизведения платежного обязательства, совпадает с ценой последнего.

В общем случае условие отсутствия арбитража приводит к существованию строго положительного функционала (ценообразующего правила), обладающего свойством согласованности: он приписывает существующие цены всем имеющимся на рынке активам и безарбитражные цены любым новым активам. Результаты об эквивалентности условия отсутствия арбитража и существования согласованного ценообразующего правила объединяются под названием «первая фундаментальная теорема теории расчета цен финансовых активов». Впервые результаты такого рода были сформулированы в работах Росса3. Термин «первая фундаментальная теорема» введен в работе Дубвига и Росса4.

В динамических моделях рынков, где цены первичных активов описываются некоторым случайным процессом 5, в классических работах Харрисона и Крепса, Харрисона и Плиски5 было подчеркнуто, что условие отсутствия арбитража равносильно существованию эквивалентной мартингальной меры для S. При этом согласованное ценообразующее правило определяется математическим ожиданием по эквивалентной мартингальной мере. Таким образом, была установлена связь теории арбитража с теорией мартингалов.

Дальнейшее развитие теории арбитража было связано с различными обобщениями данных результатов, а также анализом новых моделей и условий безарбитражности. Состояние данной теории к концу прошлого века освещено в обзоре Кабанова6 и монографии Делбаена и Шахермайера7. Укажем наиболее известные результаты.

В модели с дискретным временем и конечным горизонтом теорема Да-ланга-Мортона-Виллинджера8, в случае произвольного вероятностного пространства и произвольного согласованного с фильтрацией процесса цен S, устанавливает эквивалентность условия отсутствия арбитража и существования эквивалентной мартингальной меры для S. В модели с операционными издержками, предложенной Кабановым9, аналогом этого результата

3Ross S.A. The arbitrage theory of asset pricing //J. Econom. Theory. 1976. Vol. 13, no. 3. P. 341-360.

*Dybvig P.H., Ross S.A. Arbitrage //The New Palgrave: a Dictionary of Economics / Ed. by Eatwell J., Milgate M., Neuman P. London: Macmillan, 1987. P. 100-106.

5Harrison, J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets //J. Econ. Theory. 1979. Vol. 20. P. 381-408. (1981); Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading //Stochastic Process. Appl. 1981. Vol. 11, no. 3. P. 215-260.

GKabanov Yu.M. Arbitrage theory // Handbook of mathematical finance. Option pricing, interest rates and risk management / Ed. by Jouini E., Cvitanié J., Musiela M. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. P. 3-42. (2001)

7Delbaen F., Schachermayer IV. The mathematics of arbitrage. Berlin: Springer, 2006.

sDalang R.C., Morion A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models // Stoch. Stoch. Rep. 1990. Vol. 29, no. 2. P. 185-201.

9Kabanov Yu.M. Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets // Finance Stoch.

является утверждение об эквивалентности условия робастного отсутствия арбитража и существования строго согласованного процесса цен10. В обоих случаях условия безарбитражности носят алгебраический характер.

При рассмотрении моделей с непрерывным временем и/или бесконечным горизонтом необходимо использовать топологические версии условия безарбитражности. В работах Делбаена и Шахермайера11 было установлено, что условия отсутствия бесплатного ленча с исчезающим риском, предполагающего расширение множества достижимых капиталов за счет замыкания по норме L°°, достаточно для существования эквивалентной локальной мартин-гальной (в общем случае, сг-мартингальной) меры.

Наконец, в модели «большого рынка», предложенной Кабановым и Крам-ковым12 и представляющей собой последовательность обычных моделей рынков с конечным числом первичных активов, условия отсутствия асимптотического арбитража и наличия сильного асимптотического арбитража выражаются в терминах контигуальности и асимптотической разделимости последовательностей эквивалентных (локальных) мартингальных мер.

В настоящее время теория арбитража остается активной областью исследований. В частности, большое внимание привлекают модели с операционными издержками: условия безарбитражности в моделях с дискретным временем рассматривались в работах Кабанова, Рашоньи и Стрикера13, Шахермайера14, Григорьева (2005), Кавал и Молчанова (2006), Демпстера, Евстигнеева и Таксара (2006), Бушара (2006), Валери, Кабанова и Стрикера (2007), Жака, Беркаоуи и Варрена (2008), Рашоньи (2008), в моделях с непрерывным временем — в работах Гуазони (2006, 2008), Черного (2007), Гуазо-ни, Рашоньи и Шахермайера (2008, 2009), Кабанова и Стрикера (2008) и др. Современное состояние теории арбитража в моделях с операционными издержками отражено в монографии Кабанова и Сафарьяна15.

После основополагающих работ Росса, Хубермана16, Кабанова и Крам-кова (1994, 1998), Клейн и Шахермайера (1996) модели больших рынков

1999. Vol. 3, по. 2. Р. 237-248.

10Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 19-48.

nDelbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing 11 Math. Annalen. 1994. Vol. 300, no. 1. P. 463-520; Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes // Math. Annalen. 1998. Vol. 312, no. 2. P. 215-250.

12Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Большие финансовые рынки: асимптотический арбитраж и контигу-альность // Теор. вероятн. и ее приыен. 1994. Т. 39, № 1. С. 222-229.

13Kabanov Y., Räsonyi М., Stricker С. No-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction // Finance Stoch. 2002. Vol. G, no. 3. P. 371-382; Kabanov Y., Räsonyi M., Strieker C. On the closedness of sums of convex cones in L° and the robust no-arbitrage property // Finance Stoch. 2003. Vol. 7, no. 3. P. 403-411

14 Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 19-48.

15Kabanov Y.M., Safarian M. Markets with Transaction Costs. Berlin: Springer, 2009.

16Ross S.A. The arbitrage theory of asset pricing // J. Econom. Theory. 1976. Vol. 13, no. 3. P. 341-360; Huberman G. A simple approach to Arbitrage Pricing Theory // J. Econom. Theory. 1982. Vol. 28, no. 1. P. 183-191;

исследовались в статьях Клейн (2000, 2003, 2006, 2008), Рашоньи (2003, 2004, 2008), ДеДонно, Гуазони и Прателли (2005), Фёльмераи Шахермайера (2008).

С точки зрения настоящей работы, большой интерес представляют также недавние исследования (Каратзас, Кардарас17, Кристенсен, Ларсен18), касающиеся эталонных портфелей (numéraire portfolios) в связи с теорией арбитража. В этих работах было подчеркнуто, что в общей модели с непрерывным временем и конечным набором активов одно из естественных условий безарбитражности рынка может быть выражено в терминах (относительно) log-оптимальных портфелей.

Отметим также исследования, касающиеся определения границ цен платежных обязательств на основе принципа отсутствия арбитража. Непосредственное отношение к вопросам, рассматриваемым в диссертационной работе, имеют результаты Гапеева (1997), Шатаева (1998), Ширяева (1998), Ка-щеева (2000), Гущина и Мордецкого (2002), Рушендорфа (2002), Карассуса, Гобет и Темама (2007), Роу, Токарж и Заставняка (2008).

Актуальность работы подчеркивается также тем обстоятельством, что ряд результатов почти одновременно независимым образом был получен другими авторами. Это касается критерия безарбитражности при наличии ограничений на портфели активов [1], которые были анонсированы в [12] (аналогичные результаты были получены в работе Евстигнеева, Шургера и Таксара19, препринт которой появился в 2002 г.); теоремы Крепса-Яна для L°° [3]: препринт 2004 г. (тот же результат получен Кассезе20: препринт 2005 г.); теоремы о мартингальном выборе [2, 6] (при дополнительных ограничениях аналогичный результат получен Рашоньи21). Однако методы доказательства во всех случаях были существенно различными.

Цель работы состоит в исследовании условий безарбитражности различных моделей рынков ценных бумаг с акцентом на вычислительно осуществимые процедуры проверки таких условий.

Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Получены новые критерии безарбитражности в моделях рынков с ограничениями на портфели активов, в моделях с операционными издерж-

17Karatzas /., Kardaras С. The numéraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stoch. 2007. Vol. 11, no. 4. P. 447-493.)

18 Christensen M.M., Larsen К. No arbitrage and the growth optimal portfolio // Stoch. Anal. Appl. 2007. Vol. 25, no. 1. P. 255-280.

19Evstigneev I. V., Schürger К., Taksar МЛ. On the fundamental theorem of asset pricing: random constraints and bang-bang no-arbitrage criteria // Math. Finance. 2002. Vol. 14, no. 2. P. 201-221.

20 Cassese G. Yan theorem in L°° with applications to asset pricing // Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser. 2007. Vol. 23, no. 4. P. 551-562.

21Rásonyi M. New methods in the arbitrage theory of financial markets with transaction costs // Lecture Notes in Math. / Ed. by Donati-Martin C. et al. Berlin: Springer, 2008. Vol. 1934. P. 455-462. Séminaire de probabilités XLI.

ками, в моделях больших рынков.

2. Поставлена и решена задача о мартингальном выборе. С использованием этого результата в моделях с операционными издержками получены критерии безарбитражности, выраженные в терминах носителей условных распределений многозначных случайных процессов, определяющих динамику цен активов и правила торговли, а также новые рекуррентные формулы для границ цен платежных обязательств.

3. Доказаны новые версии теоремы Крепса-Яна об отделимости конусов в пространствах измеримых функций. С использованием соответствующего результата для пространства Ь°° реализована новая схема доказательства первой фундаментальной теоремы в достаточно общей модели рынка с дискретным временем и бесконечным горизонтом.

4. Исследована задача о нижних оценках плотностей мартингальных мер в модели с дискретным временем и конечным набором активов. Критерии существования нижних оценок выражены в терминах носителей условных распределений приращений цен. В качестве побочного результата получено новое доказательство теоремы Даланга-Мортона-Виллинджера.

5. Установлено, что арбитражные свойства большого рынка полностью определяются асимптотическим поведением последовательности эталонных портфелей, построенных для малых рынков. С использованием этого результата проанализирован ряд конкретных моделей. Показано, что предлагаемый подход ведет к новым доказательствам и усилению ключевых результатов теории больших рынков.

6. Показано, что условие отсутствия неограниченной прибыли с ограниченным риском равносильно существованию эквивалентной супермар-тингальной плотности для весьма общей модели рынка с непрерывным временем, где множество процессов-капиталов подчинено лишь условию разветвленной выпуклости.

Методы исследования. В работе применяются методы теории вероятностей и функционального анализа. В частности, используются теоремы об измеримом выборе, теоремы отделимости, теория двойственности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты являются вкладом в развитие математической теории арбитража. Разработанные методики исследования рынков с дискретным временем на основе теоремы о мартингальном выборе и больших рынков на основе свойств эталонных порфтелей могут быть использованы для анализа новых моделей. Полученные рекуррентные формулы

для границ цен платежных обязательств в моделях с дискретным временем имеют практическую ценность и могут служить основой для разработки соответствующих алгоритмов.

Представляет интерес дальнейшее развитие предложенной методики исследования нижних оценок плотностей мартингальных мер. Этот же подход был успешно применен для доказательства новых версий теоремы Крепса-Яна. Полученный общий критерий существования эквивалентной супермар-тингальной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов с непрерывным временем может служить отправным пунктом для исследования вопроса о существовании эталонного портфеля в указанной модели.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались в Венском техническом университете, Австрия, 2005; на Третьем коллоквиуме Башелье по финансовой математике и стохастическому анализу, Метабиф, Франция, 2008; в университете г. Безансон, Франция, 2008; на симпозиуме по финансовой математике, Гданьск, Польша, 2008; на Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ, 2009; на семинаре отдела теории вероятностей и математической статистики МИАН им. В.А. Стеклова, 2009; на заседании Ростовского математического общества, 2009.

Публикации. Основные работы, в которых отражены результаты диссертации: [1-11]. К тематике диссертации относятся также работы [12-17].

Личный вклад автора. Все работы, за исключением [4], выполнены без соавторов. Из указанной совместной работы в диссертацию включены два примера (в модифицированном виде). Идеи этих примеров принадлежат соавтору. Также проф. Шахермайер указал автору на ценность леммы 2.5 работы [3] как самостоятельного результата, его связь с вопросом о нижних оценках плотностей мартингальных мер и предложил простую схему доказательства указанной леммы. В первоначальном варианте данный результат был скрыт в доказательстве теоремы 2.1 работы [3], а его обоснование опиралось на косвенные соображения, связанные с преобразованием Юнга-Фенхеля.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 10 глав, приложения и списка литературы из 189 наименований. Полный объем диссертации — 293 страницы.

Содержание работы

Во введении дан краткий исторический обзор, приведены известные результаты, имеющие непосредственное отношение к тематике диссертации, и кратко изложены основные результаты работы.

В главах 1 - 4, 6 анализируются модели с дискретным временем и конечным горизонтом: идеальный рынок рассматривается в главах 1,2; модель с

ограничениями на портфель — в главе 3; модель с операционными издержками—в главе 4, определение границ цен платежных обязательств — в главе 6. В главе 7 рассматривается модель с дискретным временем и бесконечным горизонтом, и в главе 9 - модель большого рынка. Остальные главы посвящены анализу ряда математических задач, тесно связанных с изучаемыми вопросами. В главе 5 доказывается теорема о мартингальном выборе, в главе 8 — несколько версий теоремы Крепса-Яна, и в заключительной главе 10 устанавливается критерий существования эквивалентной супермартингаль-ной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов с непрерывным временем. Приложение содержит необходимые сведения из теории измеримых многозначных отображений.

Через ri, cl, int, conv и cone мы обозначаем относительную внутренность, замыкание, внутренность, выпуклую и коническую оболочки подмножества конечномерного евклидова пространства а через

ß(x\A) = inf{A > 0 : х е АЛ}, s(x|A) = sup{(x,y) : у £ Л};

<5(х|Л) = 0, х € А, = +оо, х <£ А

— функцию Минковского, опорную и индикаторную функции. Скалярное произведение элементов х, у € Rd обозначим через (х, у). Положим также а~ = тах{—а, 0}. Множество А С называется конусом, если \х £ А для всех х € А, А > 0. Если А — конус, то Л", А* — полярный и сопряженный конусы: -А* = А" = {у G Rd : (у, х) < 0, х £ А].

Напомним, что многозначное отображение G : Q, =Х Rd, относящее каждому сj £ Q некоторое множество G(oj) С называется измеримым относительно сг-алгебры если {w : G(w) HV ф 0} 6 & для любого открытого множества V С Rd.

В главе 1 дано новое доказательство теоремы Даланга-Мортона-Вил-линджера о равносильности условия отсутствия арбитража и существования эквивалентной мартингальной меры с ограниченной плотностью для d-мерного случайного процесса (5n)£L0 дисконтированных цен рисковых активов.

Пусть (Г2, &, Р) — вероятностное пространство, наделенное фильтрацией F = {^n)n=ot описывающей процесс накопления информации. Рассмотрим d-мерный случайный процесс S = (Sn)%=0, согласованный с F, и ¿-мерный F-предсказуемый процесс 7 = (7n)n=i- Процессы Sfn и i = 1,..., d описывают соответственно дисконтированную цену г-го рискового актива и количество его единиц в портфеле инвестора в момент времени п. Процесс

п

Gl = Y,bk,ASk), ASk = Sk-Sk-ь п = 1,... ,N k=1

определяет динамику дисконтированного выигрыша инвестора.

Говорят, что выполнено условие отсутствия арбитража (NA), если из неравенства GFN > 0 п.н. (относительно меры Р) вытекает, что CPN = 0 п.н. Вероятностная мера Q называется мартингальной, если процесс S является Q-мартингалом. Обозначим через хп носитель регулярного условного распределения случайного вектора ASn+1 относительно

Теорема 1 (Даланга-Мортона-Виллинджера). Следующие условия равносильны:

(a) NA;

(b) существует эквивалентная Р мартингалъная мера Q с п.н. равномерно ограниченной плотностью z = dQ/dP;

(c) 0 £ ri(conv>fn_i) п.н., п = 1,..., N.

Теорема 1 в данной степени общности впервые была доказана в работе22. В дальнейшем был предложен ряд альтернативных доказательств: Шахер-майер (1992), Кабанов и Крамков (1994), Роджерс (1994), Жакод и Ширяев (1998), Кабанов и Стрикер (2001). «Трудная» часть состоит в доказательстве существования эквивалентной мартингальной меры при выполнении условия (а) или условия (с). При этом, фактически, достаточно рассмотреть случай iV = 1 в предположении, что случайные величины S^ интегрируемы.

Предлагаемый подход основан на следующем утверждении. Пусть SC — банахова решетка и SC* — топологически сопряженное пространство. Обозначим через SC+, SC* конусы неотрицательных элементов SC и SC* соответственно. Рассмотрим выпуклый конус С в SC. Если элемент / € SCI ограничен сверху на специальном подмножестве конуса С:

sup f(w) <оо, Ci = {w 6 С : ||щГ|| < 1}, w~ = max{-w, 0}, weCi

то существует g € SC*\ g > f, g(w) < 0, x S С. Результаты такого типа использовались в работах [3], [10] для доказательства новых версий теоремы Крепса-Яна и в работах [4], [11] для анализа нижних оценок плотностей мартингальных мер.

Пусть S — интегрируемый процесс, SC = L1, SC* = L°°, и подпространство Кп с L1 состоит из элементов (7n,AS„), где 7„ — ^г„_1-измеримый вектор с ограниченными компонентами. Из сказанного следует, что для доказательства существования для (Sn_i,S„) эквивалентной мартингальной меры с ограниченной плотностью достаточно указать строго положительный элемент / € L00, для которого sup{E(w/) : E(w~) < 1, w £ Кп] < оо.

22Daîang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models // Stoch. Stoch. Rep. 1990. Vol. 29, no. 2. P. 185-201.

При этом элемент g Е L°°, g > /, указанный выше, с точностью до нормализующей константы, является плотностью эквивалентной мартингальной меры. По поводу конструкции / см. замечание после теоремы 3.

В отличие от работ23 данный подход не требует доказательства замкнутости (по вероятности или в L1) подпространства Кп и использования теоремы Крепса-Яна. По сравнению с работами24 мы не рассматриваем измеримые многозначные отображения со значениями в бесконечномерных пространствах и не используем тонкую теорему фон-Неймана-Аумана об измеримом выборе и лемму «о проекции».

В главе 2 для d-мерного случайного процесса (Sn)^=0 получены критерии существования эквивалентной мартингальной меры, плотность которой, с точностью до нормирующего множителя, ограничена снизу заданной случайной величиной / [11]. Для существования эквивалентной мартингальной меры Q, удовлетворяющей условию dQ/dP > с, где с — положительная константа, необходима интегрирумость S по мере Р. Более того, приведенный в25 пример показывает, что меры Q с указанными свойствами может не существовать и для равномерно ограниченного процесса S. Некоторое достаточное условие получено в работе26. Оно выполнено, в частности, для процесса S с независимыми приращениями, если случайные векторы ASn имеют конечные моменты всех порядков.

Рассмотрим подпространство К С LPifl, &, Р), р £ [1,оо) и обозначим через q сопряженный показатель: 1/р+ l/q = 1. Элемент / е L\ задает функционал на LP по формуле (X, /} = E(Xf), X £ LP.

Теорема 2. Пусть К П Щ. = {0}. Тогда для существования элемента g, удовлетворяющего условиям

{Х,д)= 0, Хек-, g>f, g dW, (1)

необходимо и достаточно, чтобы f был ограничен сверху на специальном подмножестве К\ подпространства К:

vp := sup (X, /) < оо, К1 = {ХеК: \\Х~\\Р < 1}. (2)

XçKi

23Schachermayer W. A Hilbert space proof of the fundamental theorem of asset pricing in finite discrete time // Insurance Math. Econam. 1992. Vol. 11, no. 4. P. 249-257; Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Отсу^ ствие арбитража и эквивалентные мартингальные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Плис-ки //Теор. вероятн. и ее примен. 1994. Т. 39, № 3. С. G35-C40; Kabanov Yu.M., Strieker Ch. A teachers' note on no-arbitrage criteria // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2001. Vol. 1755. P. 149-152. Séminaire de Probabilités XXXV.

24Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models 11 Stoch. Stoch. Rep. 1990. Vol. 29, no. 2. P. 185-201; Jacoi J., Shiryaev A.N. Local martingales and the fundamental asset pricing theorems in the discrete-time case // Finance Stoch. 1998. Vol. 2, no. 3. P. 259-273.

25Delbaen F., Schachermayer W. The mathematics of arbitrage. Berlin: Springer, 2006.

2GRdsonyi M., Stettner L. On utility maximization in discrete-time financial market models 11 Ann. Appl. Probab. 2005. Vol. 15, no. 2. P. 1367-1359.

При р = оо, д = 1 данное утверждение, вообще говоря, неверно ([4], примеры 1 и 3). Однако, оно становится верным, если потребовать ограниченности / сверху на множестве {X 6 К : Х~ 6 У}, где V — некоторая окрестность нуля в топологии Макки т(1/00,1/1), или заменить Ь1 на пространство топологически сопряженное с Ь°°. Эти результаты содержатся в теореме 1 работы [4].

Отметим, что задачи, эквивалентные (2) в случае / = 1, рассматривались в работах27. Из результатов указанных работы также следует равносильность условий (1) и (2) при р € [1,оо). Аналогичное утверждение для р = оо во второй из цитированных работ Лейтнера неверно: имеются примеры одношаговых моделей рынка со счетным набором активов, в которых существует эквивалентная мартингальная мера, но условия (1), (2) не эквивалентны при р = оо. Пример такого рода построен в работе [4]. Другая его версия приводится в диссертации.

В модели с конечным набором активов в качестве К берется подпространство приращений дисконтированного капитала инвестора С^, где 7 — ограниченный предсказуемый процесс. Если Б„ е 1Р, р е [1,оо], то

Пусть — носитель регулярного условного распределения ¿х) случайного вектора £ = Д^ относительно С К11 - линейная

оболочка щ{ш). Определим на П х Е^ функции

Теорема 3. Пусть £ = Д5х е Ьр(^,К<г), / € где р € [1, оо] и

1/р+1/<7 = 1. При выполнении условия ИА для одношаговой модели (И = 1) следующие условия эквивалентны:

21LeÂtner J. Optimal portfolios with expected loss constraints and shortfall risk optimal martingale measures // Statist. Decisions. 2005. Vol. 23, no. 1. P. 49-66; Leitner J. Optimal portfolios with lower partial moment constraints and LPM-risk-optimal martingale measures // Math. Finance. 2008. Vol. 18, no. 2. P. 317-331.

к с P).

фр(и,Н) = [{h,x)-fP^,dx) ,p€[l,oo);

Фоо {u,h) = а также многозначные отображения

и *-> Тр(ш) = {h G Dt.(w) : фр{ш, h) < 1}.

(a) vp < оо;

(b) существует g е = 0, g > f\

(c) s(a|Tp) 6 ЩЖ), где a = E(/£|Jf)-

При р = 1 и 0 е п (сопу отсюда нетрудно вывести существование д 6 Е{д£\Ж) = 0. Действительно, существует ^-измеримая функ-

ция 0 < / 6 Ь°°{Ж) такая, что |^)|Т1) € ^{Ж). На этой идее ос-

новано доказательство ключевой импликации (с) =Ф- (Ь) теоремы Даланга-Мортона-Виллинджера в главе 1.

При р е [1, оо) эквивалентность условий (а), (Ь) является следствием теоремы 2. Как уже отмечалось, при р = оо утверждение указанной теоремы, вообще говоря, неверно. Тем не менее, из теоремы 3 следует, что в одноша-говой модели с конечным числом активов эквивалентность условий (1) и (2) при р = оо все-таки имеет место. Следующая теорема показывает, что аналогичный результат справедлив и для многошаговой модели. Тем самым получен отрицательный ответ на вопрос, поставленный в конце работы [4].

Обозначим через линейную оболочку носителя яп-1(01) условно-

го распределения £„ относительно

Теорема 4. Пусть процесс 5„ € п = 0,... N удовлетворяет

условию ИА и 0 < / е Р). Тогда для существования мартингальной

меры 0, плотность которой удовлетворяет оценке с1()/(1Р > с/ с некоторой константой с > О, необходимо и достаточно, чтобы рекуррентная формула Рм = /,

Рп = Е(/?п+1|^п) + ц{-ап|сопухп), ап = Е(Д1+1Д5„+1|^'П) задавала Р-интегрируемую последовательность {Рп)п=о-

Следует отметить нелокальный характер данного результата: в диссертации построен процесс (5о, ¿г), для которого не существует мартингальной меры, плотность которой ограничена снизу положительной константой, и найдется (предсказуемый) портфель (71,72), удовлетворяющий условиям ЕСРг = оо, СР2 > —1. При этом для каждого из процессов (¿¡о,^), (¿л, £>2) оба этих свойства неверны.

В 3 главе рассматривается обобщение теоремы Даланга-Мортона-Вил-линджера при наличии ограничений на портфели активов: 7п(о>) € Вп(и>), где Вп — многозначные ¿^„-гизмеримые отображения, значениями которых являются выпуклые множества Вп(и>) Э 0. Обозначим через П„(а>) ортопро-ектор на линейную оболочку хп(ш).

Теорема 5. Пусть Вп(ш) являются конусами и их проекции ПпВ„ замкнуты п.н. Тогда следующие условия равносильны:

(a)

(b) существует эквивалентная Р мера О с п.н. равномерно ограниченной плотностью г = с1(}/с1Р такая, что Е<з(Д5„|.^п_1) £

(с) f) (conv яп) ф 0 п.н., п = 1,..., N.

Теорема 5 доказана в работе [1]. В случае полиэдральных конусов Вп эквивалентность условий (а), (Ь) установлена в28. В работе29 использовалось предположение об обратимости матрицы условных ковариаций Sn относительно ^"n-ii а в работах30 — следующее условие невырожденности:

({in, А5„) = 0, 7п 6 Вп) =4> 7„ = 0 п.н.

Более слабое условие замкнутости конусов Н.„Вп и условие (с) введены в работе [1]. Условие, эквивалентное замкнутости nnJ5n, независимым образом введено в31.

Кроме того, рассмотрен случай выпуклых, но необязательно конических ограничений Вп, и исследована задача с ограничениями, зависящими от капитала.

В главе 4 рассматривается модель валютного рынка с операционными

издержками, предложенная в работах32. При описании данной модели мы яч

следуем .

Обозначим через 7гч количество единиц г-й валюты, которое можно обменять на единицу j-й. Предполагается, что dxd матрица обменных курсов 7ги удовлетворяет условиям: 7Г4 > 0,7г" = 1, тг4 < ■K%kitki, последнее из которых означает, что прямой обмен активов не хуже, чем цепочка обменов. Конусом платежеспособности называется выпуклый конус, порожденный векторами {ej}f=1 стандартного базиса и векторами Tr'-'ej — ej. Элементами —К являются портфели, которые могут быть приобретены «бесплатно».

В динамической модели задается согласованный с фильтрацией (¿?tjt=o случайный процесс (Щ)£_0| принимающий значения в множестве матриц обменных курсов. Через Kt = К(Пг) обозначим соответствующий процесс конусов платежеспособности. Пусть ^"¡-измеримый d-мерный случайный вектор 0t описывает портфель инвестора в момент времени t. Процесс портфеля (9t)J= о называется самофинансируемым, если

0t-0t-i S -Kt п.н., t = Q,...,T,

2BSchiirger К. On the existence of equivalent т-measures in finite discrete time // Stoch. Proc. and Appl. 1996. Vol. 61, no. 1. P. 109-128; Napp C. The Dalang-Morton-Willinger theorem under cone constraints // J. of Math. Econ. 2003. Vol. 39, no. 1-2. P. 111-126.

29Pham II., Touzi N. The fundamental theorem of asset pricing with cone constraints 11 J. of Math. Econ. 1999. Vol. 31, no. 2. P. 265-279.

30 Carassus L., Pharn II., Touzi N. No arbitrage in discrete time under portfolio constraints // Math. Finance. 2001. Vol. 11. no. 3. P. 315—329; Pham H. Dynamic ¿^-hedging in discrete time under cone constraints // SIAM J. on Control and Optimiz. 2000. Vol. 38, no. 3. P. 665-682.

31 Evstigntxv I. V., Schurger K., Taksar M.I. On the fundamental theorem of asset pricing: random constraints and bang-bang no-arbitrage criteria // Math. Finance. 2002. Vol. 14, no. 2. P. 201-221.

32Kabanov Yu.M. Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets // Finance Stoch. 1999. Vol. 3, no. 2. P. 237-248; Kabanov Y., Strieker C. The Harrison-Pliska arbitrage pricing theorem umier transaction costs I j J. Math. Econom. 2001. Vol. 35, no. 2. P. 185-196.

33Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 19-48.

где = 0. Через Лг(П) обозначим выпуклый конус в состоя-

щий из элементов От самофинансируемых процессов 0.

Говорят, что процесс обменных курсов (П()^0 удовлетворяет условию робастного отсутствия арбитража (NAr: robust no-arbitrage), если существует процесс (nt)l0 обменных курсов с меньшими операционными издержками:

удовлетворяющий условию отсутствия арбитража (NA): AT(n.)nL°{m.d+,&T) = {0}.

. Напомним, что последовательность (77.^-измеримых селекторов G таких, что множества {i7i(w)}iSi плотны в G(u>) при каждом ш : G(cj) ф 0, называется представлением Кастэна для G. Рассмотрим представление Кастэна (fj)^ отображения G и, следуя [2], положим

=cl ,

\«=1 /

где — носитель регулярного условного распределения относи-

тельно Ж. Полученное многозначное отображение ы > x(G, и) является Ж-измеримым и не зависит от выбора представления Кастэна п.н.

Теорема 6. Для модели валютного рынка с операционными издержками следующие условия эквивалентны:

(a) NAr;

(b) существует строго согласованный процесс цен, т.е. Р-мартингал {Zt)J=o, принимающий значения в (ri Щ)Т=0;

(c) рекуррентная формула W-г =

Wt = cl (riKl П ri Yt), Yt = cl (convx(WM, &t))

задает последовательность многозначных отображений (Wt)J=0 с п.н. непустыми значениями.

Эквивалентность условий (а), (Ь) установлена в работе34, где и было введено условие NAr. Условие (с) введено в работе [7]. Весьма близкий результат

34 Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 19-48.

независимым образом получен в работе35 при дополнительном предположении о выполнении условия «эффективного трения»: int Ä"* ф 0.

Утверждение об эквивалентности условий (Ь), (с) вытекает из теоремы о мартингальном выборе [2], [6] (глава 5), хотя в работе [7] и главе 4 доказательство проводилось по другой схеме.

Как известно, на идеальном рынке арбитражные стратегии включают лишь два изменения портфеля в соседние моменты времени и легко строятся с использованием соображений отделимости. При наличии операционных издержек такие стратегии могут иметь более сложную структуру. С использованием условия (с) теоремы 6 в заключительном параграфе главы 4 построен пример рынка с банковским счетом и двумя рисковыми активами, в котором нет двухшаговых арбитражных стратегий, но есть трехшаговая.

Глава 5 посвящена теореме о мартингальном выборе. Пусть на фильтрованном вероятностном пространстве (fi, ß', Р, о) задана последовательность «^-измеримых многозначных отображений

Q Gt(u>) С Rd, f = 0,...,T

с непустыми выпуклыми значениями Gt(io). Будем говорить, что для последовательности (Gt)t=g разрешима задача о мартингальном выборе, если существуют согласованный случайный процесс (St)J^0 со значениями в (nGt)J=o и эквивалентная Р вероятностная мера Q, относительно которой S является мартингалом.

Теорема 7. Следующие условия эквивалентны:

(a) для {Gt)J= о разрешима задача о мартингальном выборе;

(b) рекуррентная формула Wт = Gt,

Wt = cl (ri Gt П ri Yt), Yt = cl (conv *(W(+1, &t))

задает последовательность многозначных отображений (Wt)J=0 с п.н. непустыми значениями.

В полной общности данная теорема доказана в работе [6], а при дополнительных предположениях об открытости G „(и) либо о конечности П — в работе [2]. Задача о мартингальном выборе поставлена в [14], [2].

Если значениями Gt являются конусы, то разрешимость задачи о мартингальном выборе равносильна существованию Р-мартингала (St)n=o со зна~ чениями в (riGt^g. Отсюда вытекает эквивалентность условий (Ь) и (с) теоремы 6.

3iRdsonyi M. New methods in the arbitrage theory of financial markets with transaction costs // Lecture Notes in Math. / Ed. by Donati-Martin C. et al. Berlin: Springer, 2008. Vol. 1934. P. 455-462. Séminaire de probabilités XLI

Теорема о мартингалыюм выборе играет ключевую роль в главе 6, основной целью которой является построение вычислительно осуществимых процедур для определения множества справедливых цен платежных обязательств в рамках рассмотренных в главах 1 и 4 моделей идеального рынка и валютного рынка с операционными издержками. Данная проблема является в теории арбитража одной из основных.

Как известно, в модели идеального рынка верхняя граница множества справедливых цен (верхняя цена хеджирования, цена продавца)

С* (/г) = inf{i : х + GJ > /г для некоторого предсказуемого процесса 7}

платежного обязательства /г G допускает двойственное описание

С*(/т) = sup{EQ/т : Q е ^(5), EQ|/r| < 00},

где £P>(S) — множество эквивалентных мартингальных мер для S. В модели валютного рынка известна формула36 для множества

Н+(Ст) = {Со G : Сг - Со 6 Лг(П)}

начальных портфелей, позволяющих суперхеджировать Сг:

И+(Ст) = {Со : (Со, z0) > Е(Сг, ZT), Z е Ji(j\ Ст)}-

Здесь К*, Сг) — множество Р-мартингалов Z, принимающих значение в относительной внутренности К* и удовлетворяющих условию Е| (Cr, Zt) \ < оо.

Несмотря на теоретическую ценность указанного выше двойственного описания множеств безарбитражных цен и портфелей непосредственное применение данных формул часто оказывается затруднительным из-за того, что множества мартингальных мер и строго согласованных процессов цен могут быть очень большими. Представленные ниже рекуррентные формулы, в которые не входят указанные двойственные объекты, представляются более удобными с вычислительной точки зрения.

Теорема 8. Пусть в модели идеального рынка выполнено условие NA. Определим согласованную с фильтрацией последовательность (wt)J~0 посредством рекуррентных формул wt = /г,

щ(ш) = inf{a + (/?,ЗД) : (а;/?) G Gt(u)},

G,(w) = {(а;/?) € К X Г*-1 : Ег(1(а + (¡3, St+l) > wt+1)\^t)(u,a,p) = 1}.

Если Gm = 0 на множестве положительной меры для некоторого т, то С*(/г) = +оо. В противном случае, С*(/т) = и>о.

36Schackermayer W. The fondamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrète time // Math. Finance. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 19-48.

Здесь Er(f\jX?) — регулярное условное математическое ожидание случайной величины /(w, z), зависящей от параметра z. Данное понятие введено в работе37. Формулы теоремы 8 напоминают рекуррентные соотношения метода динамического программирования. Близкие результаты получены в работе38. В отличие от указанной работы мы не используем операцию существенного супремума семейства случайных величин (что упрощает вычисления) и не предполагаем, что фильтрация F порождается процессом S.

Обозначим через dh субдифференциал в нуле выпуклой положительно однородной функции h. Интеграндом называется расширенная функция ф : fi х ь-> [—сю, +оо] такая, что функция ф(-,х) является ^-измеримой для любого х 6 Rd. Интегранд называется нормальным, если его надграфик является замкнутым и ¿^-измеримым.

Теорема 9. Пусть в модели валютного рынка выполнено условие NAr. Определим согласованную с фильтрацией последовательность нормальных интеграндов {ht)J=0 посредством рекуррентных соотношений

НТ(и,х*) = (Ст,х*)-6(х'\К*т)\

Ы(ш,х*) = -e(-®*|Gt) - б(х*\Щ),

Gt(W) = {z € Ж" : Еr(I(-z € 0(-Ьж))|^)(и;, z) = 1}.

Если Gm = 0 на множестве положительной меры для некоторого т, то Н+^т) = 0. В противном случае, Н+(£г) = —d(—ho).

Примеры, проанализированные в главе 6, охватывают ряд известных результатов о границах цен платежных обязательств в моделях с конечным вероятностным пространством (Мельников и Феоктистов (2001)), с ограниченными относительными ценами (Гапеев (1997), Ширяев (1998), Кащеев (2000), Гущин и Мордецкий (2002), Рушендорф (2002)), с неограниченными относительными ценами (Шатаев (1998), Гущин и Мордецкий (2002), Ка-рассус, Гобет и Темам (2007)), с операционными издержками (Роу, Токарж, Заставняк (2008)). В случае конечного вероятностного пространства полученные формулы могут быть реализованы в виде конечных алгоритмов.

Доказательства ключевых результатов, представленных в главе 6, опираются на теорему о мартингальном выборе (теорема 7). Связь с указанной теоремой проясняет следующий результат.

Теорема 10. Пусть выполнено условие NAr. Тогда следующие условия эквивалентны:

27 Дынкин Е.Б., Евстигнеев И. В. Регулярные условные математические ожидания соответствий // Теория вероятн. и ее примен. 1976. Vol. 21, по. 2. Р. 334-347.

звСига.чзш L., Gobel В., Тетат Е. A class of financial products and models where super-replication prices are explicit // Stochastic processes and applications to mathematical finance. Proceedings of the 6th Ritsumeikan international symposium, Kyoto, Japan, March 6-10,2006 / Ed. by J. e. e. a. Akahori. Hackensack, NJ: World Scientific, 2007. P. 67-84.

(a) (Со, Zq) = Е((т, Zt) для некоторого Z 6 Л({т\ К*, (т);

(b) разрешима задача о мартингальном выборе для последовательности случайных конусов

У0* = {(**;»*): x'etfo*. У* = (Со, Л};

Vt* — Kl х R, 1 < t < T - 1; VT* = {(®*;»*): i* 6 Äi, у* = (Ст,®*)}.

В главе 7 рассматривается модель рынка с дискретным временем и бесконечным горизонтом на фильтрованном вероятностном пространстве (^¿)м>). -^о = {0,^}, & = в которой множество W

процессов капиталов всевозможных инвестиционных стратегий подчинено следующей системе аксиом:

(A) существует избранный актив: 1 £

(B) W является выпуклым конусом;

(C) допускается фиксация капитала в произвольный неслучайный момент времени: Ws = {Wm :WeW, me Z+} С W\

(D) в момент времени m при наступлении события Am G можно вложить средства в стратегию W € Ж: Un = /^m(W„ — Wm)I{n>m) 6

Заметим, что данные аксиомы касаются лишь допустимых операций над процессами из W и не требуют введения первичных активов.

Последовательность (W®)^ случайных процессов назовем сходящейся по Фату к процессу W, если существует а £ К такое, что W^ > —а и

Wn = lim W® п.н., п > 0.

j—*oo

Множество случайных процессов назовем замкнутым по Фату, если оно содержит пределы всех сходящихся по Фату последовательностей своих элементов.

Процесс W называется а-допустимым, если Щ > —а п.н., t > 0. Процесс W назовем допустимым, если он является а-допустимым при каком-нибудь о. Множество всех допустимых элементов W обозначим через "fVadm-

Положим = {W € W+ : Wq = 1} и введем следующие множества случайных величин, мажорируемых предельными значениями W^ капиталов допустимых стратегий на бесконечности:

С = C(W) ={ieL°°:i< Woo для некоторого W 6 IV„ = 0},

Я = H(W+) = {xeL0+:x<Woo для некоторого W е Щ,+}.

Значения W^ считаются определенными и рассматриваются лишь в том случае, когда предел limn_,oo Wn существует п.н.

Заменив в данных формулах Ж на W, введем также множества Са = C(W), Hs = соответствующие стратегиям, «действующим» лишь

до конечного горизонта. Поскольку множества W, W являются выпуклыми конусами, то С, С3 — выпуклые конусы в L°°, а Я, Я, - выпуклые подмножества L°+.

Обозначим через D, D замыкания множества D С Ь°° в топологии нормы L°° и в топологии ff(L°°, L1) (т.е. в »-слабой топологии L°°) соответственно. Будем говорить, что для стратегий с конечным горизонтом выполнено

(i) условие отсутствия бесплатного ленча с исчезающим риском (NFLVR3), если C~SP>L™ = {0};

(ii) условие отсутствия бесплатного ленча (NFLS), если С„ = {0};

(iii) условие отсутствия неограниченной прибыли с ограниченным риском (NUPBRS), если множество Hs ограничено в LP.

Первые два названия заимствованы из работ39, а последнее — из работы40.

Будем говорить, что для общих стратегий выполнено

(i) условие отсутствия арбитража (NA), если СП Lf = {0};

(ii) условие отсутствия бесплатного ленча с исчезающим риском (NFLVR), если СПЬ™ = {0}.

Неотрицательный случайный процесс Z назовем супермартингальной плотностью для если ZW является супермартингалом для всех W Е W+, Zo = 1. Супермартингальная плотность называется эквивалентной, если lim„_00 Zn = Zqo > 0. Аналогичные понятия вводились, например, в работах Швейцера (1992), Крамкова и Шахермайера (1999), Кабанова и Стрикера (2005). Называя «эквивалентными» плотности с условием Zx > 0, мы следуем терминологии работы Каратзаса и Кардараса (2007).

Системе аксиом (А) - (D) удовлетворяют (i) линейные пространства, устойчивые относительно остановки: W 6 W ==> WT 6 W-, (ii) предсказуемо выпуклые (в смысле определения41) конусы; (iii) модель рынка с про-

39Kreps D.M. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities // J. Math. Econom. 1981. Vol. 8. P. 15-35; Delbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing // Math. Annalen. 1994. Vol. 300, no. 1. P. 463-520; Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes // Math. Annalen. 1998. Vol. 312, no. 2. P. 215-250.

40Karatzas I., Kardaras C. The numéraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stoch. 2007. Vol. 11, no. 4. P. 447-493.

41 Föllmer H. and Kramkov D. Optional decomposition under constraints // Probab. Theory Relat. Fields.

1997. Vol. 109, no. 1, P. 1-25

извольным числом первичных активов. Условие замкнутости по Фату выполняется в модели рынка с конечным числом активов, в том числе при наличии ограничений 71 6 Bt, где Bt — случайные выпуклые конусы с замкнутыми проекциями ПtBt.

Обозначим через & и множества супермартингальных плотностей и эквивалентных супермартингальных плотностей для а через — можество эквивалентных супермартингальных мер.

Теорема 11 (о существовании эквивалентной супермартингальной плотности). Пусть множество случайных процессов W удовлетворяет аксиомам (А) - (D). Тогда NUPBR" <=> NFLVR3 <=> 9е ф 0.

Доказательство теоремы 11 опирается на теорему Крепса-Яна для пространства L°° с топологией нормы, доказанную в работе [3] и позволяющую установить наличие строго положительной разделяющей меры (в смысле определения42), являющейся, однако, лишь конечно-аддитивной. С использованием рассуждений43 отсюда удается вывести существование эквивалентной супермартингальной плотности.

Теорема 12 (о существовании эквивалентной супермартингальной меры). Пусть множество случайных процессов W удовлетовряет условиям (А) - (D) и замкнуто по Фату. Тогда

NA и NUPBR* NFLVR <=> NFL3 <=> #/0.

Принципиальный момент доказательства теоремы 12 состоит в обосновании *-слабой замкнутости в L00 конуса С при выполнении условия NFLVR. При этом существенно используется результат теоремы 11 о существовании эквивалентной супермартингальной плотности. Этим предлагаемый метод отличается от известного подхода, развитого в работах Шахермайера и Дел-баена, где подобные утверждения выводятся непосредственно из условий безарбитражности.

Процесс 0 < V 6 1+ назовем эталонным, если У-1 является супермартингальной плотностью для W+. Данный процесс определяется однозначно и является относительно log-оптимальным:

Eln(W(/VÍ) <0, WeWlt+.

Исследованию таких процессов посвящена обширная литература, берущая начало от44. Свойство эталонное™ log-оптимальных портфелей впервые отмечено в45. Дальнейшие сведения об эталонных портфелях (в англоязычной

i2Kabanov Yu.M. Arbitrage theory // Handbook of mathematical finance. Option pricing, interest rates and risk management / Ed. by Jouini E., Cvitanié J., Musiela M. — Cambridge: Cambridge University Press, 2001. — P. 3-42.

i3Karatzas I., ¿itkovií G. Optimal consumption from investment and random endowment in incomplète semimartingale markets // Ann. Appl. Probab. 2003. Vol. 31, no. 4. P. 1821-1858.

44Kdly J.R. A new interprétation of information rate // Bell. Syst. Techn. J. 1956. Vol. 35. P. 917-920.

isLong J.B. The numéraire portfolio // J. Financial Economies. 1990. Vol. 26. P. 29-69.

литературе для них используется термин numéraire portfolio) можно найти в работах Бешерера (2001), Каратзаса и Кардараса (2007), Кристенсена и Ларсена (2007), в монографии Платена и Хиса (2006), в диссертации Кристенсена (2005).

Теорема 13 (о верхней цене хеджирования). Пусть множество W, удовлетворяющее аксиомам (А) - (D), замкнуто по Фату и / 0. Тогда для любых а G К+ и g G следующие условия эквивалентны:

(a) существует стратегия W G W+: Wo = a, Wœ > g;

(b) sup E(gY0C) < a.

Y €9

Теорема 14 (об эталонном процессе). Пусть множество W, удовлетворяющее аксиомам (А) - (D), замкнуто по Фату и ф 0. Тогда существует единственный процесс V G #1,+ такой, что V-1 6

В заключительной части главы 7 затрагивается вопрос о существовании эквивалентных мартингалъных плотностей. В модели с конечным числом активов условия существования эквивалентных супермартингальной и мар-тингальной плотностей равносильны. Однако, при наличии счетного числа активов это не так: построен пример одношаговой модели со счетным числом активов, в которой существует эквивалентная супермартингальная плотность, но не существует эквивалентной мартингальной плотности и эквивалентной супермартингальной меры. Этот же пример показывает, что условие замкнутости по Фату множества W в теореме 12 не может быть опущено.

В главе 8 рассматривается теорема Крепса-Яна, которая, как уже отмечалось, играет важную роль в обосновании результатов главы 7. Пусть {X, У) — пара банаховых пространств в двойственности, и X наделено локально выпуклой топологией т, согласованной с указанной двойственностью. Пусть Х+ С. X — т-замкнутый отмеченный конус (т.е. Х+ П (—Х+) = {0}). Элемент £ G Y называется строго положительным, если (х, £) > 0 для всех х G Х+\{0}.

Несколько модифицируя терминологию46, будем говорить, что упорядоченное топологическое пространство (X, т, Х+) обладает свойством Крепса-Яна, если для любого т-замкнутого выпуклого конуса С С. X, удовлетворяющего условиям

СПХ+ = {0}, -Х+сС,

существует строго положительный элемент g G X* такой, что его ограничение на С неположительно: (х,д) < 0, х G С.

46Jouini Е., Napp С., Schachermayer XV. Arbitrage and State price deflators in a général intertemporal framework // J. Math. Econom. 2005. Vol. 41, no. 6. P. 722-734.

Говорят, что топологическое пространство (X, т) обладает свойством Линдвлёфа, если из любого его т-открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие. Для слабой линделёфовости пространства X достаточно выполнения любого из следующих условий: (а) X рефлексивно, (b) X сепа-рабельно, (с) X слабо компактно порождено.

Теорема 15. Пусть пространство (X, а(Х, У),Х+) обладает свойством Линделёфа и на нем существуют строго положительные функционалы. Тогда для любой топологии т, согласованной с двойственностью (X, Y), пространство (X, т, Х+) обладает свойством Крепса-Яна.

Доказательство данного результата изложено в §8.1. Очень близкий результат содержится в работе47, где вместо свойства Линделёфа было использовано следующее условие, концептуально связанное с теоремой Халмоша-Сэвиджа. Для любого семейства неотрицательных функционалов {^ß}pei С Y существует счетное подсемейство со следующим свойством: если

для х е -Х+\{0} существует ß е / такое, что (х, £ß) > 0, то (х, > 0 для некоторого i.

Пространство L°° с топологией нормы обычно не обладает свойством Линделёфа. Тем не менее, как показано в [3], имеет место следующий результат (другое его доказательство независимым образом получено в работе48).

Теорема 16. Пространство L°°(Q, ß", Р), наделенное топологией нормы и естественным упорядочением, порожденным конусом (f2, iP, Р), обладает свойством Крепса-Яна.

С другой стороны, как показывает пример 2.1 работы49, пространство ix(R+) = {(/t)ter+ : Z)teK+ l/'l < не обладает свойством Крепса-Яна. При этом строго положительные функционалы на ¡4®+) существуют. Заметим, что ^(R^-) является банаховым идеальным пространством на (R+, 2®+, ¡/), где V — считающая мера на R+. Данная мера не является сг-конечной.

Указанный пример подчеркивает точность основного результата работы [10], который показывает, что сг-конечность меры fj. гарантирует выполнение свойства Крепса-Яна для любого банахова идеального пространства на Доказательство этого результата приводится в §8.3.

Теорема 17. Пусть X — банахово идеальное пространство на (Г2, р) с конусом неотрицательных элементов Х+ = {ж G X : х > 0}. Если мера ß является сг-конечной, то пространство (Х,т,Х+), где т — топология нормы, обладает свойством Крепса-Яна.

47Jouini Е., Napp С., Schachermayer W. Arbitrage and etate price deflators in a général intertemporal framework // J. Math. Econom. 2005. Vol. 41, по. 6. P. 722-734.

4sCassese G. Yan theorem in L°° with applications to asset pricing // Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser. 2007. Vol. 23, no. 4. P. 551-562.

49 Jouini E., Napp C., Schachermayer W. Arbitrage and State price deflators in a général intertemporal framework // J. Math. Econom. 2005. Vol. 41, no. 6. P. 722-734.

В главе 9 рассматривается обобщение модели большого финансового рынка, введенной в работе Кабанова и Крамкова (1994). В данной модели предполагается, что на n-м «малом» рынке дисконтированные цены активов описываются векторным семимартингалом = (St1,n,... ,Sf^n''n), t £ [0,Г(п)], T(n) < оо. Разумеется, каждому п соответствует свое фильтрованное вероятностное пространство (П", Р", {¿?")о<ь<т(п))- Любой элемент множества ЗСп неотрицательных процессов-капиталов, порожденных стратегиями торговли, является суммой неслучайного начального капитала и векторного стохастического интеграла по Sn. Число d(n) активов и горизонт планирования Т(п) могут неограниченно возрастать при п —> оо.

Следуя50, будем говорить, что на большом рынке

• нет асимптотического арбитража (NAA), если из условий Хп £ ЗСп, 0 вытекает, что limsup^^ Рп{Х% > 1) = 0;

• имеется сильный асимптотический арбитраж (SAA), если

lim sup Рп(Хт > 1) = 1

п—»оо

для некоторой последовательности X" £ ЗСп такой, что Xfí —► 0.

Более точно, в терминологии указанной работы мы рассматриваем арбитраж «первого рода».

Последовательность (Рп) называется контигуалъной относительно последовательности (Qn) (обозначение: (P")<(Qn)), если из условия Qn(>4n) —► О, Ап £ вытекает, что РП(ЛП) —> 0. Последовательности (Р"), (Q") называются полностью (асимптотически) разделимыми (обозначение: (Рп) А (Q™)), если существуют последовательность натуральных чисел щ | оо и множества Ап' £ такие, что Р"*(.ЛП*) -> 1 и Qnk(Ank) —» 0, fc —>00.

В работах51 критерии выполнения условий NAA и SAA выражены в терминах контигуальности и полной разделимости некоторых последовательностей вероятностных мер. В работе [8], результаты которой излагаются в главе 9, показано, что свойства безарбитражности большого рынка полностью определяются асимптотическим поведением последовательности эталонных портфелей (numéraire portfolios), построенных для малых рынков. При этом

50Кабаков Ю.М., Крамков Д.О. Большие финансовые рынки: асимптотический арбитраж и контигу-альность // Теор. вероятн. и ее примен. 1994. Т. 39, № 1. С. 222-229; Kabanov Yu.M., Kramkov D.O. Asymptotic arbitrage in large financial markets // Finance Stoch. 1998. Vol. 2, no. 2. P. 143-172.

51 Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Большие финансовые рынки: асимптотический арбитраж и контигу-альность // Теор. вероята. и ее примен. 1994. Т. 39, № 1. С. 222-229; Klein I., Schachermayer W. Asymptotic arbitrage in non-complete large financial markets // Probab. Theory Appl. 199C. Vol. 41. P. 927-934; Klein I., Schachermayer W. A quantitative and a dual versión of the Halmos-Savage theorem with applications to mathematical finance // Ann. Probab. 1996. Vol. 24, no. 2. P. 867-881; Kabanov Yu.M., Kramkov D.O. Asymptotic arbitrage in large financial markets // Finance Stoch. 1998. Vol. 2, no. 2. P. 143-172.

делаются минимальные предположения о структуре множеств 3£п капиталов на малых рынках.

Именно, предполагается, что ЗСп - семейство неотрицательных согласованных с случайных процессов, удовлетворяющее условиям

0) 1 е и ЗСп является конусом: если X 6 ЗСп и А > 0, то XX е 5Сп\

(п) существует строго положительный процесс (эталонный портфель)

Vй 6 := {Хп е&п:Х$ = 1}

такой, что Хп/Уп является Р"-супермартингалом для всех Хп € .

Пусть 0" = (МрУ ■ Р" — суб-вероятностная мера (0 < Оп(Ап) < 1) с Р"-плотностью (Ур)"1. Определения асимптотического арбитража и сильного асимптотического арбитража в рассматриваемой модели формулируются так же, как и выше. Определения контигуальности и разделимости очевидным образом переносятся на случай суб-вероятностных мер О".

Теорема 18. В модели большого рынка справедливы соотношения:

МЛ (Р") < ((V?)-1 • Р") НтНттГЕр (Уу)~а = 1;

а|0 п-»оо

<=>• (Рп) Д ((V??)-1 • Р") ^ За > 0 : НтШЕр (Уу)~а = 0.

п—>00

Более полный список эквивалентных условий представлен в §9.1. Отметим, что требование существования эталонных портфелей оказывается единственным нетривиальным условием, касающимся структуры малых рынков, позволяющим дать указанную выше характеризацию условий ЫАА и ЭАА. В то же время, оно не является ограничительным, поскольку в традиционной семимартингальной модели рынка с конечным набором акций и конечным временным горизонтом существование эталонного портфеля вытекает из существования эквивалентной локальной мартингалыюй (или даже а-мартингальной) меры для процесса цен (51,п,..., Ба,п) (см.52).

В §9.2 рассматривается последовательность неполных рынков на конечных вероятностных пространствах. Обозначим через Я(Р|0) = Ер 1п (с1Р/с1С)) энтропию Р относительно эквивалентной меры О и через ^(5П) — множество эквивалентных мартингальных мер на п-м малом рынке.

52Karatzas /., Kardaras C. The numéraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stoch. 2007. Vol. 11, no. 4. P. 447-493; Christensen M.M., Larsen K. No arbitrage and the growth optimal portfolio 11 Stoch. Anal. Appl. 2007. Vol. 25, no. 1. P. 255-280.

Теорема 19. Пусть ¿P(Sn) ф 0. Тогда для любого п существует единственная мартингальная мера Qn G £P(Sn) с минимальной обратной энтропией: #(P"|Qn) < #(P"|Qn), Q" G &>{Бп) и выполняются следующие соотношения:

NAA (P")<(Qn); SAA (Pn)A(Qn).

Доказательство цитированных выше результатов Кабанова и Крамкова, Клейн и Шахермайера, касающихся семимартингальных моделей рынков, дано в §9.3. Хотя данные результаты не содержатся в теоремах §9.1, они достаточно непосредственно вытекают из указанных теорем и утверждений53, относящихся к описанию структуры множества супермартингальных мер для ЗСп, Указаны также критерии, аналогичные теореме 19. Вместо эквивалентных мартингальных мер, минимизирующих обратную относительную энтропию, в них входят эквивалентные супермартингальные плотности с теми же свойствами.

В §9.4 мы рассматриваем диффузионные модели рынков. Пусть W¡'n, 1 < г < т(п) — независимые стандартные винеровские процессы и дисконтированные цены рисковых активов подчинены системе стохастических дифференциальных уравнений

dsf = sr(/4'"dí + од*-», dw?)), i < < < d(n), t g [о, т(п)],

где предсказуемые случайные процессы р,г,п, ¡3l'n удовлетворяют условиям гт(п)

J (|мЛ + 1/П2)

dt < оо.

Предположим также, что d(n) < т(п) и ранг матрицы ап со строками (i0*'n)f=i равен d(n) для всех t, ш и п. Тогда матрица ст™(<т")т обратима. Пусть вектор А" = ((7")T(o-n(<Tn)T)-Vn удовлетворяет условию |А¡\2dt < оо п.н. Процесс А" называют обычно рыночной ценой риска.

Теорема 20. Справедливы соотношения

ГПп)

NAA <=>• lim limsupP"

М->00 п->т

|А"| di > M = 0;

/(*-(») „

SAA lim sup Р" |А"| di > п->00 V Jo

M 1=1 для всех M > 0.

b3Kramkov D., Schachermayer W. The asymptotic elasicity of utility functions and optimal investment in incomplete markets // Ann. Appl. Probab. 1999. Vol. 9, no. 3. P. 904-950; Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes 11 Math. Annalen. 1998. Vol. 312, no. 2. P. 215-250; Kabanov Yu. Ai., Strieker Ch. On equivalent martingale measures with bounded densities 11 Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2001. Vol. 1755. P. 139-148. Séminaire de Probabilités XXXV.

Полученные критерии, фактически, имеют тот же вид, что и в работе54. Однако класс рассматриваемых здесь моделей шире, поскольку мы не накладываем условия существования эквивалентных локальных мартингальных мер на малых рынках.

В §9.5 рассматривается рынок с дискретным временем и бесконечным горизонтом. Предполагается, что имеется только один рисковый актив, дисконтированная цена которого определяется рекуррентным соотношением

Sn = Sn_l(l + Rn), Rn = exp(/i„ — <т£/2 + <тп£п) — li n > 1; S0 = 1.

Здесь /Xk £ R, crfc > 0 — неслучайные последовательности и (£.k)T=i n0" следовательность независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Рассматриваемая модель большого рынка соответствует последовательности малых рынков на временных интервалах [О,..., п]. Положим е > 0 и

п , s 2 п

^(е) = Y. (тЧ '{o<w<i(i+£K}> = к=1 х К/ k=1

Пусть En(e) = Ej,(e) + Установлено, что если (i) £оо(1) < оо,

то выполнено условие NAA, (ii) ^(е) = оо для некоторого е > 0, то выполнено условие SAA. Ранее было известно55, что выполнения условия J2k=li^k/ck)2 < оо достаточно для отсутствия асимптотического арбитража. Получены также следующие критерии.

Теорема 21. Выполнено в точности одно из условий NAA или SAA. Если limfc-^oo akl= 0 для некоторого е 6 (0,1), то

NAA Soo(e) < оо; SAA Soo(e) = оо.

В главе 10 доказано, что разветвленно-выпуклое семейство W неотрицательных случайных процессов обладает эквивалентной супермартингальной плотностью, если и только если множество Н неотрицательных случайных величин, мажорируемых значениями элементов W в фиксированные моменты времени, ограничено по вероятности.

Рассмотрим вероятностное пространство (П, &, Р), наделенное фильтрацией (^t)ter+, удовлетворяющей обычным условиям непрерывности справа и полноты. Предполагается, что & = cr(Uf>oи ст-алгебра ¿^Ь тривиальна с точностью до Р-нулевых множеств. Все рассматриваемые далее случайные процессы считаются согласованными с фильтрацией Пусть Р

54Kabanov Уи.М., Kramkov D.O. Asymptotic arbitrage in large financial markets 11 Finance Stoch. 1998. Vol. 2, no. 2. P. 143-172.

55Ширяев A.H. Основы стохастической финансовой математики. Москва: Фазис, 1998.

— множество случайных процессов, траектории которых непрерывны справа и имеют конечные пределы слева Р-п.н.

Следуя56, назовем семейство W С D неотрицательных случайных процессов разветвленно-выпуклым (fork-convex), если для любых элементов Хг € W, i = 1,2,3, где X2 > 0, Xs > 0; любого s 6 Ж+ и любого h3 £ L%(&s), hs < 1 процесс

xt -- X¡i[0¡s)(t) + x¡ (нЩ + (1 - WO

принадлежит W.

Как и в главе 7, случайный процесс Z G D, удовлетворяющий условиям Zq = 1; Zt > 0, t > 0 и Zoo = linif^oo Zt > 0 п.н., назовем эквивалентной супермартингальной плотностью для W, если процесс XZ является Р-супермартингалом для любого X 6 W.

Теорема 22. Пусть W — раэветвленно-выпуклое семейство случайных процессов, содержащее 1, и пусть X<¡ = 1 для всех X 6 W. Множество

Н = {у £ Ь°+ -.у < Хт для некоторых X 6 W, Т > 0}

ограничено по вероятности, если и только если существует эквивалентная супермартингальная плотность для W.

Данный результат имеет ясную интерпретацию в рамках математической теории арбитража. Именно, пусть имеется произвольное индексированное семейство § = (Sl)iej семимартингалов S* g В. Через L(S) обозначим множество, элементами которого являются семейства Г = (7®)¿gj предсказуемых случайных процессов, удовлетворяющих следующим условиям: (a) y¡ = 0 для i € J\I, где I — некоторое конечное множество (зависящее от Г), (Ь) определен векторный стохастический интеграл (7*)iei по (S!);ej. Указанный интеграл обозначим через Г о Введем множество

W(S) = {X 6ГО:Х = 1 + Го§>0, re-L(S)}.

Данную конструкцию можно рассматривать как модель рынка с произвольным числом основных рисковых активов. В терминологии главы 7 в рассматриваемой модели рынка выполнено условие отсутствия неограниченной прибыли с ограниченным риском (NUPBR), если соотвествующее W(§) множество Н ограничено по вероятности.

Теорема 23. Для выполнения условия NUPBR необходимо и достаточно существования эквивалентной супермартингальной плотности для W(§).

5sZitkovi{ G. A filtered version of the bipolar theorem of Brannath and Schachermayer //J. Theoret. Probab. 2002. Vol. 15, no. 1. P. 41-61.

В случае конечного числа активов (т.е. конечного множества J) данный результат содержится в работе57, где используется тонкая техника стохастического исчисления. Методы, используемые в диссертационной работе, позволяют дать короткое доказательство теоремы 23 (для произвольного J), основанное лишь на стандартных теоремах функционального анализа и теории мартингалов. Данный результат можно рассматривать как критерий отсутствия асимптотического арбитража на большом финансовом рынке, заданном на фиксированном вероятностном пространстве (как в работе58).

Автор выражает особую благодарность члену-корреспонденту РАН, профессору А.Н. Ширяеву за возможность сделать доклад на Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ, полезные замечания и рекомендации; профессору В. Шахермайеру за приглашение на семинар, ценные указания и совместную работу над статьей [4]; профессору Ю.М. Кабанову за приглашение на Третий коллоквиум Башелье и в университет Безансона, интересные дискуссии и гостеприимство.

Публикации по теме диссертации

[1] Рохлин Д. Б. Расширенная версия теоремы Даланга-Мортона-Виллин-джера при выпуклых ограничениях на портфель // Теория вероятн. и ее примен. — 2004. — Т. 49, № 3. - С. 503-521.

[2] Рохлин Д. Б. Задача о мартингальном выборе в случае конечного дискретного времени // Теория вероятн. и ее примен.— 2005.— Т. 50, № З.-С. 480-500.

[3] Rokhlin D.B. The Kreps-Yan theorem for L°° // Int. J. Math. Math. Sei. -2005. - Vol. 2005, no. 17. - Pp. 2749-2756.

[4] Rokhlin D., Schachermayer W. A note on lower bounds of martingale measure densities // Illinois J. Math. - 2006. - Vol. 50, no. 4. — Pp. 815-824.

[5] Rokhlin D.B. Martingale selection problem and asset pricing in finite discrete time // Electron. Commun. Probab. — 2007. — Vol. 12. — Pp. 1-8.

[6] Рохлин Д. Б. Теорема о мартингальном выборе для случайной последовательности с относительно открытыми выпуклыми значениями // Мат. заметки. - 2007. — Т. 81, № 4. - С. 614-620.

57Karatzas 1., Kardaras С. The numéraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stoch. 2007. Vol. 11, no. 4. P. 447-493.

5sDe Donno M., Guaaoni P., Pratelli M. Super-replication and utility maximization in large financial markets // Stochastic Process. Appl. 2005. Vol. 115, no. 12. P. 2006-2022.

[7] Рохлин Д.Б. Конструктивный критерий отсутствия арбитража при наличии операционных издержек в случае конечного дискретного времени // Теория вероятн. и ее примен. — 2007. — Т. 52, № 1. — С. 41-59.

[8] Rokhlin D.B. Asymptotic arbitrage and numéraire portfolios in large financial markets // Finance Stoch. - 2008. - Vol. 12, no. 2. — P. 173-194.

[9] Рохлин Д. Б. Эквивалентные супермартингальные плотности и меры в моделях рынков с дискретным временем и бесконечным горизонтом // Теория вероятн. и ее примен. — 2008. — Т. 53, № 4. — С. 704-731.

[10] Рохлин Д. Б. Теорема Крепса-Яна для банаховых идеальных пространств // Сиб. мат. журн. — 2009. — Т. 50, № 1, — С. 199-204.

[11] Рохлин Д. Б. Нижние оценки плотностей мартингальных мер в теореме Даланга-Мортона-Виллинджера // Теория вероятн. и ее примен. — 2009. - Т. 54, № 3. - С. 492-514.

[12] Рохлин Д.Б. Расширенная версия первой фундаментальной теоремы финансовой математики при конических ограничениях на портфель // Обозр. прикл. и промышл. матем,— 2002. — Т. 9, № 1,— С. 131-132.

[13] Рохлин Д.Б. Критерий отсутствия асимптотического бесплатного ленча на конечномерном рынке при выпуклых ограничениях на портфель и выпуклых операционных издержках // Сиб. журн. индустр. мат. — 2002,- Т. 5, № 1,- С. 133-144.

[14] Рохлин Д.Б. Задача о мартингальном выборе в случае конечного вероятностного пространства // Обозр. прикл. и промышл. матем. — 2004. — Т. 11, №4.-С. 913-914.

[15] Рохлин Д.Б. Критерий отсутствия арбитража в дискретной модели рынка ценных бумаг при выпуклых ограничениях на портфель // Сиб. журн. индустр. мат. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 95-108.

[16] Рохлин Д.Б. Теорема о С-мартингальном выборе // Обозр. прикл. и промышл. матем. — 2006. — Т. 13, № 4. — С. 713-714.

[17] Рохлин Д.Б. О критериях безарбитражности больших финансовых рынков // Обозр. прикл. и промышл. матем,— 2007.— Т. 14, № 1.— С. 143-144.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/16. Объем 1,3 уч.-изд.-л. Заказ № 1593. Тираж 150 экз. Отпечатано в КМЦ «КОПЩЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88

Введение

§0.1. Краткий исторический обзор.

§0.2. Модель с дискретным временем и конечным горизонтом.

§0.3. Модель валютного рынка с операционными издержками.

§0.4. Границы цен платежных обязательств

§0.5. Модель с дискретным временем и бесконечным горизонтом

§0.6. Модель большого рынка

§0.7. Структура и результаты работы.

Глава 1. Теорема Даланга-Мортона-Виллинджера

§1.1. Формулировка теоремы БМ\¥

§1.2. Вспомогательные результаты.

§1.3. Доказательство теоремы БМ\У

Глава 2. Нижние оценки плотностей мартингальных мер.

§2.1. Одношаговая модель

§2.2. Доказательство теоремы 2.1 при р € [1, оо).

§2.3. Доказательство теоремы 2.1 при р = оо.

§2.4. Л^-шаговая модель.

§2.5. Примеры

Глава 3. Критерии отсутствия арбитража при выпуклых ограничениях на портфели активов.

§3.1. Обозначения и вспомогательные результаты.

§3.2. Основные результаты.

§3.3. Ограничения, зависящие от капитала.

Глава 4. Критерии отсутствии арбитража в моделях с операционными издержками

§4.1. Носитель регулярного условного распределения многозначного отображения

§4.2. Основной результат

§4.3. Критерий безарбитражности рынка с операционными издержками

§4.4. Модель рынка с банковским счетом.

§4.5. О построении арбитражных стратегий.

Глава 5. Теорема о мартингальном выборе

Глава 6. Рекуррентные формулы для границ цен платежных обязательств

§6.1. Основные результаты -.

§6.2. Классификация начальных портфелей

§6.3. Субдифференциальное описание множеств Н+, Н

§6.4. Рекуррентные формулы для Н+, Н

§6.5. Примеры

Глава 7. Критерии безарбитражности в моделях рынков с дискретным временем и бесконечным горизонтом

§7.1. Теоремы о существовании эквивалентных супермартингальных плотностей и мер

§7.2. Примеры множеств, удовлетворяющих введенным аксиомам

§7.3. Доказательство теоремы 7.1 (о существовании ESD)

§7.4. Доказательство теоремы 7.2 (о существовании ESM)

§7.5. Дальнейшие свойства множеств W, замкнутых по Фату

§7.6. Модель рынка с конечным числом основных активов.

§7.7. О существовании эквивалентных мартингальных плотностей при наличии счетного числа основных активов: контрпример

Глава 8. Теорема Крепса-Яна.

§8.1. Теорема Крепса-Яна для слабо линделёфовых банаховых пространств

§8.2. Теорема Крепса-Яна для Ь°°.

§8.3. Теорема Крепса-Яна для банаховых идеальных пространств

Глава 9. Асимптотический арбитраж и эталонные портфели на больших финансовых рынках.

§9.1. Основные результаты.

§9.2. Модели рынков на конечных вероятностных пространствах

§9.3. Семимартингальные модели рынков.

§9.4. Диффузионные модели рынков

§9.5. Модель рынка с дискретным временем, бесконечным горизонтом и одной ^-нормальной акцией.

Глава 10. О существовании эквивалентной супермартингальной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов

§10.1. Основные результаты.

§10.2. Доказательства.

Настоящая диссертация посвящена исследованию ряда общих стохастических моделей рынков ценных бумаг с точки зрения теории арбитража. Основное внимание уделяется моделям с дискретным временем. Исследованы модели с ограничениями на портфель, с операционными издержками, с бесконечным горизонтом, модели больших рынков. Получен ряд новых критериев безарбитражности, допускающих вычислительно осуществимую проверку. Исследованы некоторые математические задачи, тесно связанные с изучаемыми вопросами: задача о мартин-гальном выборе, теорема Крепса-Яна, вопрос о существовании эквивалентной су-пермартингальной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов.

Ниже, после краткого исторического экскурса, дается обзор ключевых результатов работы.

§0.1. Краткий исторический обзор

Лежащая в основе финансовой математики теория арбитража основана на следующем принципе: динамика цен рисковых активов не допускает арбитражных возможностей. Это означает, что любая модель рынка должна быть устроена таким образом, что инвестор (участник торгов, спекулянт) не может получить прибыль без риска при отсутствии начального капитала. Другими словами, не существует инвестиционной стратегии, не требующей начального капитала и приносящей неотрицательный доход, который положителен с положительной вероятностью.

Привлекательность принципа отсутствия арбитража обусловлена тем, что сделанные предположения минимальны и экономически убедительны. Он позволяет указать наиболее широкие классы случайных процессов, которые могут быть использованы для описания цен активов (при заданных правилах торговли), и определить интервалы безарбитражных цен платежных обязательств.

Принцип отсутствия арбитража упоминался еще основоположником финансовой математики Л.Башелье, который не использовал термина «арбитраж», но говорил об «операциях, в которых одна из договаривающихся сторон получает прибыль при любых ценах»1 и о том, что «подобная разница (цен) никогда не возникает на практике»2 [44]. В той же работе Башелье ввел процесс броуновского движения с целью описания цен первичных активов («ренты») и расчета цен платежных обязательств (форвардных контрактов и опционов): см. [138], [170]. При этом, фактически, использовалась идея о том, что цены активов являются мартингалами.

Новый импульс развитию финансовой математики был придан работами Блэ-ка, Шоулза и Мертона [48], [139]. С использованием принципа отсутствия арбитража и теории стохастического интегрирования Ито в них была однозначно определена цена Европейского опциона в модели, где динамика цен рискового актива описывается геометрическим броуновским движением. Ключевую роль при этом играла полнота рассматриваемой модели рынка: начальный капитал, необходимый для воспроизведения платежного обязательства, совпадает с ценой последнего.

В общем случае условие отсутствия арбитража приводит к существованию строго положительного функционала (ценообразующего правила), обладающего свойством согласованности: он приписывает существующие цены всем имеющимся на рынке активам и безарбитражные цены любым, новым активам. Результаты об эквивалентности условия отсутствия арбитража и существования согласованного ценообразующего правила объединяются под названием «первая фундаментальная теорема расчета цен финансовых активов». Впервые результаты такого рода

Mes opérations où l'un des contractants gagnerait à tous les cours

2des écarts semblables ne se rencontrent jamais dans la pratique были сформулированы в работах [163], [83], [164]. Термин «первая фундаментальная теорема» введен в [75].

В динамических моделях рынков, где цены первичных активов описываются некоторым случайным процессом 5, в классических работах [92], [93] была подчеркнуто, что условие отсутствия арбитража равносильно существованию эквивалентной мартингальной меры для процессов цен первичных активов. При этом согласованное ценообразующее правило определяется математическим ожиданием по эквивалентной вероятностной мере, относительно которой процесс Я является мартингалом. Таким образом, была установлена связь теории арбитража с теорией мартингалов.

Дальнейшее развитие теории арбитража было связано с различными обобщениями данных результатов, а также анализом новых моделей и условии безарбит-ражности. Состояние данной теории к концу прошлого века освещено в обзоре [106], где выделены динамические модели (1) с дискретным временем и конечным горизонтом, (11) с операционными издержками, (111) с непрерывным временем, (гу) больших рынков. В каждой из них вводятся и исследуются свои условия и критерии безарбитражности.

Укажем наиболее известные результаты. В модели с дискретным временем и конечным горизонтом теорема Даланга-Мортона-Виллинджера [64] устанавливает эквивалентность условия отсутствия арбитража и существования эквивалентной мартингальной меры для процесса цен первичных активов. В модели с операционными издержками [105] аналогом этого результата является утверждение об эквивалентности условия робастного отсутствия арбитража и существования строго согласованного процесса цен [171]. В обоих случаях условия безарбитражности носят алгебраический характер. При рассмотрении модели с непрерывным временем необходимо использовать топологические версии условия безарбитражности. В работах [68, 70] было установлено, что условие отсутствия бесплатного ленча с исчезающим риском, предполагающее расширение множества достижимых капиталов за счет замыкания по норме Ь°°, достаточно для существование эквивалентной локальной мартингальной (в общем случае, сг-мартингальной) меры. Наконец, в модели «большого рынка» [12, 108], представляющей собой последовательность обычных моделей рынков с конечным числом первичных активов, условия отсутствия асимптотического арбитража и наличия сильного асимптотического арбитража выражаются в терминах контигуалъности и асимптотической разделимости последовательностей эквивалентных (локальных) мар-тингальных мер.

В настоящее время теория арбитража остается активной областью исследований. В частности, большое внимание привлекают модели с операционными издержками (см. монографию [109]): условия безарбитражности в моделях с дискретным временем рассматривались в работах [28, 49, 73, 86, 98, 113, 114, 122, 150, 171, 183], в моделях с непрерывным временем — в [58, 87-90, 112] и др. После основополагающих работ [96, 162] и [12, 108, 128, 129] модели больших рынков исследовались в [46, 74, 78, 124-127, 148, 149, 151, 159].

В следующих разделах введения мы ограничимся рассмотрением лишь тех вопросов, которые имеют непосредственное отношение к тематике диссертационной работы.

§10.1. Основные результаты

Рассмотрим вероятностное пространство (Q, , Р), наделенное фильтрацией (c^i)teR+) = [0, оо) (т.е. неубывающим семейством <т-алгебр ^ С J^"), удовлетворяющей обычным условиям непрерывности справа и полноты [100]. Предполагается, что & = cr(Ut>o^t) и сг-алгебра J^o тривиальна с точностью до Р-нулевых множеств. Все рассматриваемые далее случайные процессы считаются согласованными с фильтрацией (^t)teR+- Пусть D — множество случайных процессов, траектории которых непрерывны справа и имеют конечные пределы слева Р-п.н.

Следуя [188], назовем семейство W С О неотрицательных случайных процессов разветвленно-выпуклым (fork-convex), если для любых элементов Хг G W, г = 1,2,3, где X2 > О, X3 > 0; любого s е R+ и любого hs G L%(&s), hs < 1 процесс принадлежит W. .Легко видеть, что если Xq = 1 для всех X € W, то разветв-ленно-выпуклое множество W является выпуклым. Если же 1 G W, то W инвариантно относительно остановки в фиксированные моменты времени, т.е. процесс Xf — Хтм принадлежит W вместе с X.

Как и в главах 7, 9, случайный процесс Z G В, удовлетворяющий условиям Zq — 1; Zt > 0, t > 0 и Zqq = linceo Zt > 0 п.н., назовем эквивалентной супермар-тингалъной плотностью для W, если процесс XZ является Р-супермартингалом для любого X G W.

Введем множество Н неотрицательных случайных величин, мажорируемых значениями элементов W в фиксированные моменты времени:

H={yeL°+:y< ХТ для некоторых X G W, Т > 0}. (10.2)

Основной результат данной главы состоит в следующем.

Теорема 10.1. Пусть W — разветвленно-выпуклое семейство случайных процессов, содержащее 1, и пусть Хо = 1 для всехХ G W. Тогда следующие условия эквивалентны: a) множество (10.2) ограничено по вероятности; b) существует эквивалентная супермартишальная плотность для W.

Данный результат имеет ясную интерпретацию в рамках математической теории арбитража. Именно, пусть имеется произвольное индексированное семейство S = (Sl)iej семимартингалов Sl G В. Через L(§) обозначим множество, элементами которого являются семейства Г = (Y)ieJ предсказуемых случайных процессов,

258 удовлетворяющих следующим условиям: (a) 7¿ = О для г £ J\/, где I — некоторое конечное множество (зависящее от Г), (Ь) определен векторный стохастический интеграл (Y)iei по (Sl)ie¡. Указанный интеграл обозначим через Г о §. Введем множество

W(S) = -рГ<ЕЮ):Х = 1+ Го§>0, Г £ L(ß)}. (Ю.З)

Данную конструкцию можно рассматривать как модель рынка с произвольным числом основных рисковых активов. Процесс Sг описывает цену г-го рискового актива, — количество указанного актива в портфеле инвестора, X — капитал допустимой инвестиционной стратегии. Следуя [118] (как и в главе 8), будем говорить, что в рассматриваемой модели рынка выполнено условие отсутствия неограниченной прибыли с ограниченным риском (NUPBR: No Unbounded Profit with Bounded Risk), если множество у £ L°+ : у < XT для некоторых X £ W(S), Т > 0} ограничено по вероятности.

Теорема 10.2. Для выполнения условия NUPBR необходимо и достаточно существования эквивалентной супермартингальной плотности для W(§).

В случае конечного числа активов (т.е. конечного множества J) данный результат содержится в работе [118], где используется тонкая техника стохастического исчисления. Методы настоящей работы позволяют дать неожиданно короткое доказательство теоремы 10.2 (для произвольного J), основанное лишь на стандартных теоремах функционального анализа и теории мартингалов. Данный результат можно рассматривать также как критерий отсутствия асимптотического арбитража первого рода на большом финансовом рынке (см. [12], [108] и главу 9), заданном на фиксированном вероятностном пространстве (как в работе [74]).

Полезно сопоставить теорему 10.2 с более известной формой первой фундаментальной теоремы финансовой математики [68], [70]. Рассмотрим рынок с конечным числом активов (J конечно). Будем говорить, что выполнено условие отсутствия арбитража (NA: No Arbitrage), если из условий X G W(§), Х^ > 1 п.н. (при условии, что данный предел существует) вытекает, что Xqq ~ 1 п.н. Вероятностная мера Q называется эквивалентной супермартингальной мерой для W(S), если Q и Р обладают одинаковым запасом нулевых множеств и все процессы X G W(§) являются супермартингалами относительно Q.

Следующий результат [118], представляет собой удобную переформулировку первой фундаментальной теоремы [68], [70].

Теорема 10.3. В модели рынка с конечным числом активов для выполнения условий NA и NUPBR необходимо и достаточно существования эквивалентной супермартингальной меры для W(§).

Подчеркнем, что предлагаемый подход не приводит к столь же короткому доказательству теоремы 10.3. Кроме того, данная теорема не допускает непосредственного обобщения на модели с бесконечным числом активов.

Таким образом, отказ от условия NA ведет к более простым и общим результатам. Следует отметить, что допустимость и даже желательность такого подхода пропагандируется в работах [60], [118], [144] и обусловлена следующими причинами (здесь имеется ввиду, что множество J конечно). Во-первых, условие NUPBR (в отличие от NA) инвариантно относительно замены дисконтирующего актива (выбора единицы измерения). Во-вторых, именно условие NUPBR допускает «конструктивное» описание в терминах триплета предсказуемых характеристик семи-мартингала S. В-третьих, данное условие эквивалентно условию существования эталонного портфеля (numéraire portfolio), т.е. такого положительного процесса V G W(§), что X/V является Р-супермартингалом для любого X G W(§). В-четвертых, только условие NUPBR существенно при рассмотрении задач оптимального инвестирования и т.п.

§10.2. Доказательства

Прежде всего напомним теорему о седловой точке (см., напр., [189], теорема 2.10.2).

Лемма 10.1. Пусть А, В — выпуклые компактные подмножества локально выпуклых векторных пространств X, У соответственно, и пусть отображение Ф : А х В \—> М обладает следующими свойствами: г) при каждом Ъ £ В функция а ь-» Ф(а, Ь) вогнута и полунепрерывна сверху, и) при каэюдом а € А функция Ъ н-> Ф(а, Ъ) выпукла и полунепрерывна снизу.

Тогда Ф обладает седловой точкой, т. е. существует пара (а,Ь) £ Ах В такая.

Нам понадобится также лемма 7.12. Представляется полезным дать ее альтернативное, более непосредственное доказательство, основанное на леммах 7.5, 10.1 и не опирающееся на результаты [133].

Лемма 10.2. Пусть множество Р С Ь\ содержит 1 и является выпуклым, телесным, ограниченным и замкнутым в Ь°. Тогда существует единственный элемент « е 1; > 0 такой, что

Доказательство. Рассмотрим множество Рдг = {х А N : х £ F}. В силу телесности Р имеем Р^ С -Р. Из вогнутости функции а н а Л Я, а также выпуклости и телесности Р очевидным образом вытекает, что выпукло.

Покажем, что ^ замкнуто в Ь°. Пусть последовательность уп £ Рм сходится к у по вероятности. Переходя при необходимости к подпоследовательности, без ограничения общности можно считать, что уп = хп Л N —» у п.н., где хп £ Р. По что

Ф (а, Ъ) < Ф(а, 6) < Ф(а, 6), (а, Ь)£АхВ. и £ Р.

10.4) лемме 7.5 при каждом п существует последовательность неотрицательных чисел (Л"лишь конечное число элементов которой отлично от нуля, такая, что

00 оо j—n j—ti zn — X]xj —> х < оо п.н., Xj — 1

При этом х £ F в силу замкнутости F в L0. Ясно, что последовательность у„ = Y^jLn XjVj сходится к у п.н. Но

00 / оо \ yn = J2xUxjAN) ^ (Х^)ANj—n \j=n )

Следовательно, y<x/\Nny£F.

Далее, множество Fдг является компактным в *-слабой топологии o^L00,!/1) пространства L°°. Для обоснования данного утверждения достаточно установить, что Fn замкнуто в топологии Макки r(L°°,L1), и воспользоваться теоремами Макки-Аренса и Банаха-Алаоглу. Заметим, что топология нормы на пространстве L1 является топологией равномерной сходимости на шаре {ж £ Ь°° : ||ж||оо = ess sup < 1}, который, как подмножество L1, является а(Ьг, 1/°°)-компактным. Поэтому сужение топологии нормы L1 на L°° слабее топологии Макки r(L°°, L1). Выше установлено, что множество F/v с {х £ L°° : ||гг||оо < А^} замкнуто в L0. Следовательно, оно замкнуто в а значит и в топологии t(l°°, l1). Рассмотрим функцию Фдг : Fn х Fn ► К вида Е (хфн(у)), фм(а) = i/[i/iv,oo)(a) + + ~ а)) J[o,i/iv)(a).

Легко видеть, что функция фн [0, оо) —» [0, оо) является ограниченной, невоз-растающей, выпуклой и непрерывно дифференцируемой. Кроме того, функция N I—> фм{о) при каждом а является неубывающей на (0, оо) и фы{о) = 1/а при N > 1 /а.

Очевидно, что функция Фдг(-,у) линейна и а(Ь°°, ./^-непрерывна на Fn при всех 1/ е ijv, а функция •) выпукла при всех х £ Fn- Покажем, что Фдг (ж, •) полунепрерывна снизу в топологии L1), т.е. что множество An = {у Е Fn

Е(х1рн(у)) < с} замкнуто в a(L°°,L1) при всех с 6 М.

Пусть у принадлежит cr(L°°, 1/1)-замыканию Ддг. Поскольку топология а(L°°, Ll) сильнее топологии а(L1, L°°) на Ь°°, то у принадлежит cr(Ll, L°°)-замыканию An-Но топология нормы на L1 согласована с двойственностью (L1, L°°), и замыкание выпуклого множества An в указанной топологии совпадает с его cr(L1, L°°^замыканием. Пусть уп £ Fn ~ последовательность, сходящаяся к у в топологии нормы L1 (а значит и по вероятности). Тогда

Е{хфм{у)) = Hm Е{хфм(Уп)) < с, п—>00 но теореме о мажорируемой сходимости. Следовательно, у £ An

По лемме 10.1 функция Ф^у обладает седловой точкой (XN,yN) на Fn х Fn'n(x, 2/jv) < Фn{xn, vn) < $n{xn, у), (x, у) e FN x FN.

Поскольку фи {о) < 1/a, AT > 0, то полагая у = xn, получаем неравенство г) < Е(хмфя(хя)) <1, х £ Fn.

По лемме 7.5 существует последовательность vn = ^ ^jVj —> v < N оо. j>n

Здесь > 0, Ylj>N Aj7 = 1 и лишь конечное число элементов последовательности (А;^)?1дг отлично от нуля. Из выпуклости и замкнутости F в Ь° вытекает, что v £ F. Покажем, что v > 0 п.н.

В силу выпуклости функции а у-> фN (а) и монотонности функции N i—»■ фN{a) имеем фn(x,vn) < j2xfe(*(%•)) < eafe^ где х Е Р/у- Пусть а Е (0,1) и N > 1/а. Тогда

Р(^лг < а)

1 > Флг(1, > Е (Фн{ън)1{ь„<а}) > фн{а)Р{Ум < а) а

Далее, используя неравенство

0} < Нт '^{Д{ьт<а}

ЛГ—>оо m>N и лемму Фату, находим р(г> = 0) < Е(Ишш£//„„<„>) < Ишт£ Р(г;лт < а) < а.

ТУ—»00 N—>00

В силу произвольности а Е (0,1) это означает, что Р(г? — 0) = 0.

Таким образом, Е (хфн(ьн)) < 1, х Е Рдт иум~^у,0<у<оо и.н. Учитывая, что —> 1Д> и.н., по лемме Фату заключаем, что Е(х/у) < 1, х Е Рм для любого М > 0. Для произвольного и Е Р имеем иЛМ Е Рм, п неравенство (10.4) вытекает из теоремы о монотонной сходимости при М | оо.

Установим единственность V. Если ги Е Р — положительный элемент, удовлетворяющий условию Е(п/гу) < 1, и Е Р и Р(г; ф т) > 0, то применяя неравенство Иенсена в строгой форме, получаем противоречие: го 1

1 > Е- > -=¡-7-^. □ v Е {у/т)

Отметим, что теорема о минимаксе для функций, заданных на подмножествах получена в работе [146]. Однако, лемма 10.2 не является прямым следствием результатов [146].

Доказательство теоремы 10.1. (а) =Ф- (Ь). При любом £ > 0 множество

Щ = {уе Р) \ у <Хг для некоторого 1бШ}с Я выпукло, телесно, ограничено по вероятности и содержит 1. Ясно, что замыкание с10(Я;) множества Щ в Ь° удовлетворяет условиям леммы 10.2. Следовательно, существует согласованный с фильтрацией случайный процесс У, 0 < Уь £ с\0(Н[) такой, что

Е(Х*Л4) <1, хеш. (10.5)

Пусть последовательность ук £ Ни сходится к Уи в Ь°. Не ограничивая общности, можно считать, что имеет место и сходимость с вероятностью 1. Рассмотрим последовательность Хк £ Щ: ук < Хк. Применив дважды лемму 7.5, построим последовательность Ук £ Ук £ соиу(Хта;т > к) такую, что Ук п.н., к оо при I 6 {б,^}, 0 < в < и. Покажем, что = Ц, при £ € {в/о,}. Подчеркнем, что здесь не утверждается существование предельного процесса ЦТ при г ¿{в, и}.

Ясно, что \¥и > Нш^-усо ук = Уи. Из неравенства (10.5) и леммы Фату следует, что Ши = Уи п.н.

Далее, построим последовательность Ук £ Щ, Ук —> У8 п.н., к —> оо и последовательность У^бШ вида v? = + где ак £ (0,1). При ак —> 1 имеем п.н.

Ук акУк +1-ак Ук У^

К ~ К акУк + 1 - IV,

Согласно лемме Фату и неравенству (10.5)

Е^г<ПтЫЕ(^-) <1. и/5 оо V К /

С другой стороны, по тем же соображениям,

V/. Ук

Е-у- < Итт£ Е-у- < 1.

У8 к—* оо У3

Отсюда следует, что У8/УУ3 = 1 п.н. Действительно, если случайная величина К/Ж, не равна константе п.н., то, воспользовавшись неравенством Иенсена в строгой форме, получаем противоречие:

Итак, У* —> п.н., к —> оо при £ 6 {5, •и}. Покажем, что для любого X £ Щ процесс Х/У является супермартингалом (идея следующего рассуждения заимствована из работы [47]). Пусть это неверно. Тогда существует ХбШи неотрицательные числа б < и такие, что вероятность события > tb положительна.

Не ограничивая общности, можно считать, что Xs > 0 на А. Действительно, пусть Хн = 0 на множестве В £ Положим

Xt = W*) + + 1в') где ак £ (0,1), ак —> 1. Поскольку Хк £ W, то множество Н содержит последовательность

9к 1 - gfc + акХи

Из ограниченности Н в Ь° вытекает, что Хи = 0 п.н. на В. Введем последовательность процессов Uk £ W по формуле

-1?/м w+1? (^ЙЙЕр+WO. где ак £ (0,1). Полагая t = и и переходя к пределу при ак —> 1, находим

Uu = lim Uk = ТАХи^- + Уи1Ао п.н.

А—+оо Л.Ц

Наконец, используя неравенство (10.5), получаем противоречие: l>liminfE^ > еГ/З^ + ^Л к-+оо Vu \ Vu Xs i

-Е № (t ) + P(Ac) > P{A) + P(Ac) = 1.

Супермартингал 1/V может не быть элементом Р. Поэтому рассмотрим его регуляризацию: liminf i s|í, seQ V3 где Q — множество рациональных чисел. Теорема Дуба о регуляризации [117] (теорема 6.27) показывает, что Zt = lim^, 1/Vg п.н., Z принадлежит В и является супермартингалом (точнее, траектории Z совпадают с траекториями такого процесса с вероятностью 1).

Процесс Z является супермартингальной плотностью для W. Действительно, пусть и < у и ип ]. и, vn I у, ип, vn £ Q. Тогда

E(XvZv\&a) < liminf Е(Xv/VVn\) < Xs/Vsy s < v; n—>oo

E{XVZV\&U) = lim E{XvZv\^Un) < lim XUn/VUn = XUZU. tl—ioo n—*oo

Остается проверить, что Z^ > 0 п.н. Согласно предложению 2.3(а) работы [120] равенство Zt = 1 fVt п.н. имеет место при всех t £ Ж.+\Х, где К — некоторое счетное множество. Множество

1 /Zt : t £ R+\K} С {Vt : t > 0} С |J el0(Ht) С cl0(#) t>o ограничено в L°. Отсюда следует, что Z^ > 0 п.н.

Ь) (а). Пусть Z — эквивалентная супермартингальная плотность для W. Пусть у £ Н и Хт = Х^ > у, X £ W. Тогда

Р(УЗ» > Л) < Р(Х^ >А)< Е^оо) < j.

Следовательно, множество Z^H ограничено в Ь°. Но оператор умножения на Z^1 непрерывен в L0. Поэтому Н также ограничено в L0. □

Доказательство теоремы 10.2. Достаточно проверить, что множество (1.3) удовлетворяет условиям теоремы 10.1. Покажем, что W(§) является разветвленно-выпуклым (ясно, что остальные условия теоремы 10.1 выполнены). Пусть Хг £

W(S), г = 1,2,3, X2 > О, X3 > 0 и К8 £ Ка < 1. Из определения множества Ш(§) следует, что процессы Хг допускают представление Хг = 1 + вг о Б, г = 1,2,3, где в1 о Б — стохастические интегралы по фиксированному семимартин-галу 5 с конечным числом компонент. Покажем, что аналогичное представление имеет место и для процесса вида (1.1). Положим

Тогда

Хг = 1 + (во 5)« = 1 + (^ о ¿V + £ка((02 о <?), - (02 о ¡5)ш) в

V1 V1

-i 0 , ,„„0 , ^О X -Л.,

МмМ + + (1 - п

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям.— Москва: Наука, 1979.

2. Александрян P.A., Мирзаханян Э.А. Общая топология. — Москва: Высшая школа, 1979.

3. Богачев В.И. Основы теории меры. Том 1. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003.

4. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — Москва: Наука, 1968.

5. Гапеев П. В. Расчет верхних и нижних цен опционов европейского тииа // УМН. 1997. - Т. 52, № 4. - С. 199-200. '

6. Гущин A.A., Мордецкий Э. Границы цен опционов для семимартингальпых моделей рынка // Тр. МИ АН. — 2002. Vol. 237. — Р. 80-122.

7. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. I. Общая теория.— Москва: Издательство иностранной литературы, 1962.

8. Дистель Дою. Геометрия банаховых пространств: Избранные главы. — Киев: Вища школа, 1980.

9. Дынкин Е.Б., Евстигнеев И. В. Регулярные условные математические ожидания соответствий // Теория вероятн. и ее примен. — 1976. — Vol. 21, по. 2. — Р. 334-347.

10. Евстигнеев И.В. Теоремы измеримого выбора и вероятностные модели управления в общих топологических пространствах // Матем. сборник. — 1986. — Т. 131, № 1. — С. 27-39.

11. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. — Москва: Наука, 1967.

12. Кабанов Ю.М., Крамков Д. О. Большие финансовые рынки: асимптотический арбитраж и контигуальность // Теор. вероятн. и ее примен. — 1994. — Т. 39, № 1.- С. 222-229.

13. Кабанов Ю.М., Крамков Д. О. Отсутствие арбитража и эквивалентные мар-типгальные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Плиски // Теор. вероятн. и ее примен. — 1994. — Т. 39, № 3. — С. 635-640.

14. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — Москва: Наука, 1984.

15. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Субдифференциалы. Теория и приложения. Часть I. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2002.

16. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применения в математике и экономике. — Москва: Наука, 1985.

17. Лозановский Г. Я. О некоторых банаховых структурах // Сиб. мат,, журн. 1969. - Т. 10, № 3. — С. 584-599. '

18. Магарил-Илъяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. — Москва: Эдиториал УРСС, 2000.

19. Мельников A.B., Феоктистов K.M. Вопросы безарбитражности и полноты дискретных рынков и расчеты платежных обязательств // Обозр. прикл. и промышл. матем. — 2001. — Т. 8, № 1. — С. 28-40.

20. Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. — Москва: Мир, 1973.

21. Рохлин Д.Б. Критерий отсутствия асимптотического бесплатного ленча на конечномерном рынке при выпуклых ограничениях на портфель и выпуклых операционных издержках // Сиб. журн. индустр. мат. — 2002. — Т. 5, № 1.-С. 133-144.

22. Рохлин Д. Б. Расширенная версия первой фундаментальной теоремы финансовой математики при конических ограничениях на портфель // Обозр. при-кл. и промышл. матели — 2002. — Т. 9, № 1. — С. 131-132.

23. Рохлин Д. Б. Задача о мартингальном выборе в случае конечного вероятностного пространства // Обозр. пршл. и промышл. матем.— 2004.— Т. 11, № 4. С. 913-914.

24. Рохлин Д. Б. Критерий отсутствия арбитража в дискретной модели рынка ценных бумаг при выпуклых ограничениях на портфель // Сиб. журн. индустр. мат. 2004. — Т. 7, № 1. — С. 95-108.

25. Рохлин Д. Б. Расширенная версия теоремы Даланга-Мортона-Виллиндже-ра при выпуклых ограничениях на портфель // Теория вероятн. и ее при-мен. — 2004. Т. 49, № 3. — С. 503-521.

26. Рохлин Д. Б. Задача о мартингальном выборе в случае конечного дискретного времени // Теория вероятн. и ее примен. — 2005. — Т. 50, № 3. — С. 480-500.

27. Рохлин Д. Б. Теорема о С-мартингальном выборе // Обозр. прикл. и промышл. матем. — 2006. — Т. 13, № 4. — С. 713-714.

28. Рохлин Д. Б. Конструктивный критерий отсутствия арбитража при наличии операционных издержек в случае конечного дискретного времени // Теория вероятн. и ее примен. — 2007. — Т. 52, № 1. — С. 41-59.

29. Рохлин Д. Б. О критериях безарбитражности больших финансовых рынков // Обозр. прикл. и промышл. матем. — 2007. — Т. 14, № 1. — С. 143-144.

30. Рохлин Д. Б. Теорема о мартингальном выборе для случайной последовательности с относительно открытыми выпуклыми значениями // Мат. заметки. 2007. - Т. 81, № 4. - С. 614-620.

31. Рохлин Д. Б. Эквивалентные супермартингальные плотности и меры в моделях рынков с дискретным временем и бесконечным горизонтом // Теория вероятн. и ее примен. — 2008. — Т. 53, № 4. — С. 704-731.

32. Рохлин Д. Б. Нижние оценки плотностей мартингальных мер в теореме Да-ланга-Мортона-Виллинджера // Теория вероятн. и ее примен. — 2009. — Т. 54, № З.-С. 492-514.

33. Рохлин Д. Б. Теорема Крепса-Яна для банаховых идеальных пространств // Сиб. мат. журн. 2009. — Т. 50, № 1. — С. 199-204.

34. Рохлин Д. Б. О существовании эквивалентных супермартингальных плотностей для разветвеленно-выпуклого семейства случайных процессов // Мат. заметки. — на рецензии.

35. Черный А. С. Нахождение справедливых цен на основе когерентных мер риска // Теория вероятн. и ее примен. — 2007. — Т. 52, № 3. — С. 506-540.

36. Шатаев О. В. О справедливой цене опциона европейского типа // УМН.— 1998. Т. 53, № 6. - С. 269-270.

37. Шефер X. Топологические векторные пространства. — Москва: Мир, 1971.

38. Ширяев А.Н. Вероятность. — Москва: Наука, 1989.

39. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. — Москва: Фазис, 1998.

40. Aliprantis C.D., Border K.C. Infinite dimensional analysis. A hitchhicker's guide. — 3d edition. — Berlin: Springer, 2006.

41. Ansel J.P., Strieker Ch. Couverture des actifs contingents et prix maximum // Annales l'Institut H. Poinearé. 1994. - Vol. 30, no. 2. — P. 303-315.

42. Arkin V.I., Evstigneev I. V. Stochastic models of control and economic dynamics. — London: Academic Press, 1987.

43. Auslender A., Teboulle M. Asymptotic cones and functions in optimization and variational inequalities. — New York: Springer, 2003.

44. Bachelier L. Théorie de la spéculation // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. — 1900. — Vol. 17. P. 21-86.

45. Banach spaces and topology (i) / Cascales D., Namioka I., Orihuela J., Raja M. // Encyclopedia of general topology / Ed. by K. Hart, J.-I. Nagata, J. Vaugh-an. — New York: Elsevier, 2003. P. 449-453.

46. Baran M. Asymptotic pricing in large financial markets // Math. Methods Oper. Res. 2007. - Vol. 66, no. 1. - P. 1-20.

47. Becherer D. The numéraire portfolio for unbounded semimartingales // Finance Stoch. 2001. - Vol. 5, no. 3. — P. 327-341.

48. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. Polit. Econ. 1973. - Vol. 81, no. 3. — P. 637-654.

49. Bouchard B. No-arbitrage in discrete-time markets with proportional transaction costs and general information structure // Finance Stoch. — 2006.— Vol. 10, no. 2. P. 276-297.

50. Brannath W. No arbitrage and martingale measures in option pricing: Ph.D. thesis / Wien Univers. — 1997.

51. Brannath W., Schachermayer W. A bipolar theorem for Z/j.(f2, P) // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1999. — Vol. 1709. - P. 349-354. - Séminaire de Probabilités XXXIII.

52. Carassus L., Pham H., Touzi N. No arbitrage in discrete time under portfolio constraints // Math. Finance.— 2001. — Vol. 11, no. 3. — P. 315-329.

53. Carr P., Geman H.7 Madan D.P. Pricing and hedging in incomplete markets // J. Finance Econ. 2001. - Vol. 62. - P. 131-167.

54. Cassese G. Yan theorem in L°° with applications to asset pricing // Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser. 2007. — Vol. 23, no. 4. — P 551-562.

55. Castaing C., Valadier M. Convex analysis and measurable multifonctions. — Berlin: Springer, 1977. — Vol. 580 of Lecture Notes in Math.

56. Cherny A.S. Pricing and hedging European options with discrete-time coherent risk // Finance Stoch. 2007. — Vol. 11, no. 4. - P. 537-569.

57. Cherny A. General arbitrage pricing model. II: Transaction costs. // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2007.— Vol. 1899.— P. 447-461.— DonatiMartin C. (ed.) et al., 40th seminar on probability, Séminaire de Probabilités XL.

58. Christensen M.M. A thesis on the growth optimal portfolio and the theory ofarbitrage pricing and portfolio selection: Ph.D. thesis / University of Southern Denmark. 2005.

59. Christensen M.M., Larsen K. No arbitrage and the growth optimal portfolio // Stock. Anal. Appl. 2007. — Vol. 25, no. 1,- P. 255-280.

60. Corson H.H. The weak topology of a Banach space // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. - Vol. 101, no. 1. - P. 1-15.

61. Cover T.M., Thomas J. A. Elements of information theory. — New York: Wiley, 2006.

62. Cvitanic J., Schachermayer W., Wang H. Utility maximization in incomplete markets with random endowment // Finance Stoch.— 2001.— Vol. 5, no. 2. -P. 259-272.

63. Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models // Stoch. Stoch. Rep. — 1990. Vol. 29, no. 2. - P. 185-201.

64. Dantzig G.B., Thapa M.N. Linear programming. II: Theory and extensions. — New York: Springer, 2003.

65. Delbaen F. Representing martingale measures when asset prices are continuous and bounded // Math. Finance. — 1992, — Vol. 2, no. 2, — P. 107-130.

66. Delbaen F. The Dalang-Morton-Willinger theorem. — Unpublished note.

67. Delbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing // Math. Annalen. — 1994. — Vol. 300, no. 1, — P. 463-520.

68. Delbaen F., Schachermayer W. The no-arbitrage property under a change of numéraire // Stoch. Stoch. Rep. — 1995. — Vol. 53, no. 3-4, — P. 213-226.

69. Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes // Math. Annalen. — 1998.— Vol. 312, no. 2.— P. 215-250.

70. Delbaen F., Schachermayer W. The mathematics of arbitrage.— Berlin: Springer, 2006.

71. Dempster A.P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping // Ann. Math. Statist. — 1967. —■ Vol. 38, no. 2,- P. 325-339.

72. Dempster M.A.H, Evstigneev I.V., Taksar M.I. Asset pricing and hedging in financial markets with transaction costs: an approach based on the von Neumann-Gale model // Ann. Finance. — 2006. — Vol. 2, no. 4. — P. 327-355.

73. De Donno M., Guasoni P., Pratelli M. Super-replication and utility maximization in large financial markets // Stochastic Process. Appl— 2005.— Vol. 115, no. 12.-P. 2006-2022.

74. Dybvig P.H., Ross S.A. Arbitrage // The New Palgrave: a Dictionary of Economics / Ed. by Eatwell J., Milgate M., Neuman P. — London: Macmillan, 1987. — P. 100-106.

75. Evstigneev I. V., Schiirger K., Taksar M.I. On the fundamental theorem of asset pricing: random constraints and bang-bang no-arbitrage criteria // Math. Finance. — 2004. Vol. 14, no. 2. - P. 201-221.

76. Follmer H., Kramkov D: Optional decomposition under constraints // Probab. Theory Relat. Fields. — 1997. Vol. 109, no. 1. - P. 1-25.

77. Follmer H., Schachermayer W. Asymptotic arbitrage and large deviations // Math. Financ. Econ. — 2008. — Vol. 1, no. 3-4.—P. 213-249.

78. Föllmer H., Schied A. Stochastic finance. An introduction in discrete time. — 2d edition. — Berlin: de Gruyter, 2004.

79. Fonseca I., Leoni G. Modern methods in the calculus of variations. LP spaces. — New York: Springer, 2007.

80. Fremlin D.H. Measure theory. Volume 4: Topological measure spaces. — Colchester: Torres Fremlin, 2003.

81. Functional analysis and infinite-dimensional geometry / Fabian M., Habala P., Hâjek P. et al. — New York: Springer, 2001.

82. Garman M.B. An algebra for evaluating hedge portfolios //J. Fin. Econom.— 1976. — Vol. 3. P. 403-427.

83. Göll T., Kallsen J. Optimal portfolios for logarithmic utility // Stochastic Process. Appl. — 2000. Vol. 89, no. 1. — P. 31-48.

84. Göll T., Kallsen J. A complete explicit solution to the log-optimal portfolio problem // Ann. Appl. Prohah. — 2003. — Vol. 13, no. 2.— P. 774-799.

85. Grigoriev P.G. On low dimensional case in the fundamental asset pricing theorem with transaction costs // Statist. Decisions. — 2005.— Vol. 23, no. 1.— P. 33-48.

86. Guasoni P. No arbitrage under transaction costs, with fractional Brownian motion and beyond // Math. Finance. — 2006. — Vol. 16, no. 3. — P. 569-582.

87. Guasoni P., Rásonyi M., Schachermayer W. Consistent price systems and face-lifting pricing under transaction costs // Ann. Appl. Probab. — 2008. — Vol. 18, no. 2. P. 491-520.

88. Guasoni P., Rásonyi M., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for continuous processes under small transaction costs // Ann. Finance. — 2009 (to appear).

89. Raímos P.R., Savage L.J. Application of the Radon-Nikodym theorem to the theory of sufficient statistics // Ann. Math. Stat. — 1949.— Vol. 20, no. 2.— P. 225-241.

90. Harrison, J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets // J. Econ. Theory.— 1979, — Vol. 20. — P. 381-408.

91. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading // Stochastic Process. Appl — 1981.— Vol. 11, no. 3.— P. 215-260.

92. He S. W., Wang J.G., Yan J.A. Semimartingale theory and stochastic calculus. — Beijing: Science Press, 1992.

93. Himmelberg C.J. Measurable relations // Fundamenta Math.— 1975.— Vol. 87. P. 53-72.

94. Huberman G. A simple approach to Arbitrage Pricing Theory // J. Econom. Theory. — 1982. — Vol. 28, no. 1. —- P. 183-191.

95. Hu S., Papageorgiou N.S. Handbook of multivalued analysis. Volume 1: Theory. — Dordrecht: Kluwer Academic, 1997.

96. Jacka S., Berkaoui A., Warren J. No arbitrage and closure results for trading cones with transaction costs // Finance Stoch. — 2008. — Vol. 12, no. 4. —• P. 583-600.

97. Jacod J., Shiryaev A.N. Local martingales and the fundamental asset pricing theorems in the discrete-time case // Finance Stoch.— 1998,— Vol. 2, no. 3.— P. 259-273.

98. Jacod J., Shiryaev A.N. Limit theorems for stochastic processes.— Berlin: Springer, 2003.

99. Jaschke S., Kuchler U. Coherent risk measures and good-deal bounds // Finance Stoch. 2001. - Vol. 5, no. 2. - P. 181-200.

100. Jouini E., Kallal H. Martingales and arbitrage in securities markets with transaction costs // J. Econom. Theory. — 1995. — Vol. 66, no. 1. P. 178-197.

101. Jouini E., Napp C., Schachermayer W. Arbitrage and state price deflators in a general intertemporal framework //J. Math. Econom,.— 2005.— Vol. 41, no. 6. P. 722-734.

102. Kabanov Yu.M. On the FTAP of Kreps-Delbaen-Schachermayer // Statistics and control of stochastic processes. The Liptser Festschrift. — Singapore: World Scientific, 1997.— Papers from the Steklov-seminar held in Moscow, Russia, 1995-1996.

103. Kabanov Yu.M. Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets // Finance Stoch. — 1999. — Vol. 3, no. 2. — P. 237-248.

104. Kabanov Yu.M. Arbitrage theory // Handbook of mathematical finance. Option pricing, interest rates and risk management / Ed. by Jouini E., Cvitanic J., Musiela M. — Cambridge: Cambridge University Press, 2001. — P. 3-42.

105. Kabanov Yu.M. In discrete time a local martingale is a martingale under an equivalent probability measure // Finance Stock. — 2008.— Vol. 12, no. 3,— P. 293-297.

106. Kabanov Yu.M., Kramkov D.O. Asymptotic arbitrage in large financial markets // Finance Stock. 1998. - Vol. 2, no. 2. - P. 143-172.

107. Kabanov Yu.M., Safarian M. Markets with transaction costs. — Berlin: Springer, 2008.

108. Kabanov Yu.M., Strieker Ch. On equivalent martingale measures with bounded densities // Lecture Notes in Math. — Berlin: Springer, 2001.— Vol. 1755.— P. 139-148. Séminaire de Probabilités XXXV.

109. Kabanov Yu.M., Strieker Ch. A teachers' note on no-arbitrage criteria, // Lecture Notes in Math. — Berlin: Springer, 2001. — Vol. 1755. — P. 149-152. — Séminaire de Probabilités XXXV.

110. Kabanov Yu., Strieker Ch. On martingale selectors of cone-valued processes // Lecture Notes in Math. — Berlin: Springer, 2008. — Vol. 1934,— P. 439-442,— Séminaire de Probabilités XLI.

111. Kabanov Y., Râsonyi M., Strieker C. No-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction // Finance Stoch. — 2002. — Vol. 6, no. 3. P. 371-382.

112. Kabanov Y., Râsonyi M., Strieker C. On the closedness of sums of convex cones in L° and the robust no-arbitrage property // Finance Stoch. — 2003. — Vol. 7, no. 3.-P. 403-411.

113. Kabanov Y., Strieker Ch. Remarks on the true no-arbitrage property // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2005. — Vol. 1857. — P. 186-194. — Séminaire de Probabilités XXXVIII.

114. Kabanov Y., Strieker C. The Harrison-Pliska arbitrage pricing theorem under transaction costs // J. Math. Econom. — 2001. — Vol. 35, no. 2. — P. 185-196.

115. Kallenberg 0. Foundations of modern probability. — New York: Springer, 1997.

116. Karatzas I., Kardaras C. The numéraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stoch. 2007. — Vol. 11, no. 4,- P. 447-493.

117. Karatzas I., Shreve S. Methods of mathematical finance. — New York: Springer, 1998.

118. Karatzas I., Zitkovic G. Optimal consumption from investment and random endowment in incomplete semimartingale markets // Ann. Appl. Probab. — 2003. — Vol. 31, no. 4. P. 1821-1858.

119. Kascheev D.E. On the option pricing for a generalization of the binomial model // J. Math. Sci. (N. Y.). 2000. - Vol. 99, no. 3,- P. 1267-1272.

120. Kaval K., Molchanov I. Link-save trading //J. Math. Econ. — 2006. — Vol. 42, no. 6. P. 710-728.

121. Kelly J.R. A new interpretation of information rate // Bell. Syst. Techn. J.— 1956. Vol. 35. - P. 917-926.

122. Klein I. A fundamental theorem of asset pricing for large financial markets // Math. Finance. 2000. — Vol. 10, no. 4. — P. 443-458.

123. Klein I. Free lunch for large financial markets with continuous price processes // Ann. Appl. Probab. — 2003. — Vol. 13, no. 4. P. 1494-1503.

124. Klein I. Market free lunch and large financial markets // Ann. Appl. Probab.— 2006. — Vol. 16, no. 4. P. 2055-2077.

125. Klein I. No asymptotic free lunch reviewed in the light of Orlicz spaces // Lecture Notes in Math. / Ed. by Donati-Martin C. et al. — Berlin: Springer, 2008. — Vol. 1934. — P. 443-454. Séminaire de probabilités XLI.

126. Klein I., Schachermayer W. Asymptotic arbitrage in non-complete large financial markets // Probab. Theory AppL— 1996. Vol. 41. - P. 927-934.

127. Klein L, Schachermayer W. A quantitative and a dual version of the Halmos-Sav-age theorem with applications to mathematical finance // Ann. Probab. — 1996. Vol. 24, no. 2. - P. 867-881.

128. Klôppel S. Dynamic valuations in incomplete markets: Ph.D. thesis / Swiss Federal Institute of Technology, Ziirich. — 2006.

129. Kocinski M. Hedging of the European option in discrete time under proportional transaction costs // Math. Methods Oper. Res. — 2004,— Vol. 59, no. 2.— P. 315-328.

130. Kom R. Value preserving strategies and a general framework for local approaches to optimal portfolios // Math. Finance. — 2000. Vol. 10, no. 2. - P. 227-241.

131. Kramkov D., Schachermayer W. The asymptotic elasicity of utility functions and optimal investment in incomplete markets // Ann. Appl. Probab. — 1999. — Vol. 9, no. 3. — P. 904-950.

132. Kreps D.M. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities // J. Math. Econom. — 1981. — Vol. 8.- P. 15-35.

133. Leitner J. Optimal portfolios with expected loss constraints and shortfall risk optimal martingale measures // Statist. Decisions.— 2005.— Vol. 23, no. 1.— P. 49-66.

134. Leitner J. Optimal portfolios with lower partial moment constraints and LPM-risk-optimal martingale measures // Math. Finance. — 2008. — Vol. 18, no. 2. P. 317-331.

135. Long J.B. The numéraire portfolio // J. Financial Economics.— 1990.— Vol. 26. P. 29-69.

136. Louis Bachelier on the centenary of "théorie de la spéculation" / Courtault J.-M., Kabanov Yu., Bru B. et al. // Math. Finance. — 2000. — Vol. 10, no. 3. — P. 341-353.

137. Merton R.C. Theory of rational option pricing // Bell J. Econ. Manag. Sci.— 1973. Vol. 4, no. 1. — P. 141-183.

138. Napp C. The Dalang-Morton-Willinger theorem under cone constraints // J. of Math. Econ. — 2003. — Vol. 39, no. 1-2. — P. 111-126.

139. Niculescu C.P., Persson L.-E. Convex functions and their applications. A contemporary approach. — New York: Springer, 2006.

140. Pham H. Dynamic ZZ-hedging in discrete time under cone constraints // SIAM J. on Control and Optimiz. — 2000. — Vol. 38, no. 3. — P. 665-682.

141. Pham //., Touzi N. The fundamental theorem of asset pricing with cone constraints // J. of Math. Econ. — 1999. Vol. 31, no. 2. - P. 265-279.

142. Platen E., Heath D. A benchmark approach to quantitative finance. — Berlin: Springer, 2006.

143. Platen H. A benchmark approach to finance // Math. Finance. — 2006. — Vol. 16, no. 1. — P. 131-151.

144. Pratelli M. A minimax theorem without compactness hypothesis // Mediterr. J. Math. 2005. — Vol. 2, no. 1. — P. 103-112.

145. Frotter P.E. Stochastic integration and differential equations. — 2d edition.— Berlin: Springer, 2004.

146. Râsonyi M. Equivalent martingale measures for large financial markets in discrete time // Math. Met. Oper. Res. — 2003. — Vol. 58, no. 3. — P. 401-415.

147. Râsonyi M. Arbitrage pricing theory and risk-neutral measures // Decis. Econ. Finance. 2004. - Vol. 27, no. 2. — P. 109-123.

148. Râsonyi M. New methods in the arbitrage theory of financial markets with transaction costs // Lecture Notes in Math. / Ed. by Donati-Martin C. et al. — Berlin: Springer, 2008. — Vol. 1934. — P. 455-462. — Séminaire de probabilités XLI.

149. Râsonyi M. A note on arbitrage in term structure // Decis. Econ. Finance.— 2008. Vol. 31, no. 1. - P. 73-79.

150. Râsonyi M., Stettner L. On utility maximization in discrete-time financial market models // Ann. Appl. Probab. — 2005. Vol. 15, no. 2,- P. 1367-1359.

151. Ritchken P.H., Kuo S. Option bounds with finite revision opportunities // J. Finance. — 1988. — Vol. 43, no. 2. — P. 301-308.

152. Rockafellar R. T. Duality and stability in extremum problems involving convex functions // Pacific J. Math. — 1967. — Vol. 21, no. 1. — P. 167-187.

153. Rockafellar R.T., Wets R.J.-B. Variational analysis. — Berlin: Springer, 1998.

154. Rogers L. C. G. Equivalent martingale measures and no-arbitrage // Stoch. Stoch. Rep. — 1994. — Vol. 51, no. 1-2. — P. 41-51.

155. Rokhlin D.B. The Kreps-Yan theorem for L°° // Int. J. Math. Math. Sci. — 2005. — Vol. 2005, no. 17. P. 2749-2756.

156. Rokhlin D.B. Martingale selection problem and asset pricing in finite discrete time // Electron. Commun. Probab. — 2007. Vol. 12. — P. 1-8.

157. Rokhlin D.B. Asymptotic arbitrage and numéraire portfolios in large financial markets // Finance Stoch. — 2008. — Vol. 12, no. 2, — P. 173-194.

158. Rokhlin D.B. A proof of the Dalang-Morton-Willinger theorem.— ArX-iv:0804.3308vl math.PR],

159. Rokhlin D., Schachermayer W. A note on lower bounds of martingale measure densities // Illinois J. Math. 2006. - Vol. 50, no. 4. - P. 815-824.

160. Ross S.A. The arbitrage theory of asset pricing //J. Econom. Theory. — 1976. — Vol. 13, no. 3. P. 341-360.

161. Ross S.A. Return, risk, and arbitrage // Risk and Return in Finance / Ed. by Friend I., Bicksler J. Cambridge: Ballinger, 1976.- P. 189-218.

162. Ross S.A. A simple approach to the valuation of risky streams // J. Business. — 1978. Vol. 51, no. 3. - P. 453-475.

163. Roux A., Tokarz K., Zastawniak T. Options under proportional transaction costs: An algorithmic approach to pricing and hedging // Acta Appl. Math. — 2008. Vol. 103, no. 2. - P. 201-219.

164. Riischendorf L. On upper and lower prices in discrete time models // Proc. Steklov. Inst. Math. 2002. — Vol. 237. - P. 134-139.

165. Schachermayer W. A Hilbert space proof of the fundamental theorem of asset pricing in finite discrete time // Insurance Math. Econom. — 1992.— Vol. 11, no. 4. — P. 249-257.

166. Schachermayer W. Martingale measures for discrete time processes with infinite horizon // Math. Finance. — 1994. — Vol. 4, no. 1. — P. 25-56.290

167. Schachermayer W. No arbitrage: on the work of David Kreps // Positivity. —2002. Vol. 6, no. 3. - P. 359-368.

168. Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. — 2004. — Vol. 14, no. l.-P. 19-48.

169. Schiirger K. On the existence of equivalent r-measures in finite discrete time / / Stoch. Proc. and Appl. — 1996. Vol. 61, no. 1. — P. 109-128.

170. Schweizer M. Martingale densities for general asset prices //J. of Math. Econ. — 1992,- Vol. 21, no. 4,- P. 363-378.

171. Soner H.M., Shreve S.E., Cvitanic J. There is no nontrivial hedging portfolio for option pricing with transaction costs // Ann. Appl. Probab. — 1995. — Vol. 5, no. 2. — P. 327-355.

172. Srivastava S.M. A course on Borel sets. — New York: Springer, 1998.

173. Staum J. Fundamental theorems of asset pricing for good deal bounds // Math. Finance. — 2004. — Vol. 14, no. 2. — P. 141-161.

174. Stiemke E. Ûber positive Lôsungen homogener linearer Gleichungen // Math. Annalen. — 1915. Vol. 76. - P. 340-342.

175. Strieker G. Arbitrage et lois de martingale // Ann. Inst. H. Poincaré. — 1990. — Vol. 26, no. 3. P. 451-460.

176. Takesaki M. Theory of Operator Algebras I. — Berlin: Springer, 1979.

177. Taqqu M.S., Willinger W. The analysis of finite security markets using martingales // Adv. Appl. Probab. 1987. — Vol. 19, no. 1,- P. 1-25.

178. Tokarz K., Zastawniak T. Dynamic programming algorithms for the ask and bid prices of American options under small proportional transaction costs. — Preprint, http://ssrn.coin/abstract=581543.

179. Vallière D., Kabanov Yu., Strieker C. No-arbitrage criteria for financial markets with transaction costs and incomplete information // Finance Stoch. — 2007. — Vol. 11, no. 2,- P. 237-251.

180. Vàth M. Ideal spaces. — Berlin: Springer, 1997. — Vol. 1664 of Lecture Notes in Math.

181. Wagner D.H. Integral of a convex-hull-valued function // J. Math. Anal. Appl. — 1975. — Vol. 50. P. 548-559.

182. Wagner D.H. Survey of measurable selection theorems // SIAM J. Control Op-tim. 1977. - Vol. 15. - P. 859-903.

183. Yan J.A. Caractérisation d'une classe d'ensembles convexes de L1 ou H1 // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1980. - Vol. 784. — P. 220-222. — Séminaire de Probabilités XIV.

184. Zitkovic G. A filtered version of the bipolar theorem of Brannath and Schaeher-mayer // J. Theoret. Probab. — 2002. — Vol. 15, no. 1. P. 41-61.292

185. Zähnescu C. Convex analysis in general vector spaces. — Singapore: World Scientific, 2002.j+jLf -ffd293•J-'/