Исследования по теории риманова пространства с абсолютным параллелизмом тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



О £ и. и •

" КОМИТЕТ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ МИНИСТЕРСТВА НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЖОГИН Иван Львович

УДК 530.12:531.51

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА С АБСОЛЮТНЫМ ПАРАЛЛЕЛИЗМОМ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 1996 г.

Работа выполнена в Кемеровском государственном университете

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор И. Л. Бухбиндер,

кандидат физико-математических наук В. Д. Першин

Ведущая организация: Институт математики СО РАН,

г. Новосибирск

Защита диссертации состоится "_"_1996 г. в_часов

на заседании специализированного совета Д 063.53.07 в Томском государственном университете (634010, Томск, пр. Ленина 36).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан Л (-сер ГС! 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 063.53.07, кандидат физико-математических наук г ^ С. Л. Ляхович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Достоинства общей теории относительности ОТО) — изящество п красота, сведение тяготения к геометрии, правильные значения постныотоновскпх эффектов — дополняются таким ^достатком, как сингулярности решений.

Актуальность этой проблемы подтверждается попытками усовер-ленствования теории гравитации (усложнение структуры, теории с кру-генлем; высшие производные), однако обычно рассматриваются част-гые симметричные решения, а проблема сингулярностед общего решения остается, на самом деле, нерешенной.

Распространено мнение, что квантовая версия теории гравитации аожет быть свободной от сннгулярностей (популярны суперетрунные подели, приводящие в некотором пределе к В2—гравитации). Однако, в настоящее время непротиворечивая самосогласованная теория квантовой гравитации отсутствует, поэтому оправданы попытки решения про-элемы сннгулярностей на классическом уровне. Оказывается, это можно сделать в рамках теории абсолютного параллелизма (АП), которая является, возможно, наиболее простой общековариантной теорией.

Геометрическая структура АП — репсрпос поле /га/'(х1') (с лоренце-вой сигнатурой г)аь), реализующее неприводимое представление группы (симметрия уравнений АП), включающей

1) 'правые' координатные диффеоморфизмы (по греческому индексу);

2) 'левые' глобальные лоренцевы вращения 0(1,п — 1) по латинскому индексу и глобальные масштабные преобразования н->

По сравнению с римановой структурой ОТО имеет место увеличение группы симметрии п упрощение представления (векторное).

Известно множество совместных (лево-право-коварпаггтпых) уравнения АП (классификация Эйнштсйпа-Майера для размерности пространства п ~ 4), причем вакуумное уравнение ОТО является частным (и, в некотором смысле, вырожденным) вариантом АП. Требование 'бесспн-гулярности' (отсутствия рождения сннгулярностей в решениях общего положения) представляется разумным критерием отбора уравнений.

При отсутствии сннгулярностей (вырождения репера) АП приобретает свойства киральной модели: можно определить топологический заряд локализованного решения, а также топологические квазпзаряды — для симметричных решений. Это позволяет по-новому взглянуть на нро-

блему "вывода материи из геометрии", которая вместе с задачей "гео-метрдзацпп электромагнитного поля" выдвигалась в эйнштейновской программе единой теории поля.

Цель работы. 1. Применение современной теории совместности к уравнениям АП; распространение теста совместности на случаи вырождения ко-репера (ко-сингулярности) или контра-репера (реперной плотности), и выбор уравнений, свободных от рождения сингулярностей в общем решении.

2. Оценка возможности объединения гравитационного и электромаг-нетного полей в рамках АП при п > 4: возможность асимптотики куло-новского типа, вывод тензора эпергпи-тшпульса, анализ постньютоновских эффектов.

3. Вычисление (фундаментальных) групп щ(С) (топологический заряд) и щ(Са) (группы квазпзарядов), где С — множество локализованных решений, а Со — подмножество С—симметричных решений, С С 0(п—1). Определение морфизмов квазизарядпых групп, индуцированных вложениями Сс1 —Сс;2 (б; Э С2).

4. Анализ простейшей космологической модели, её характерных масштабов. Оценка возможной феноменологии квазисолитонов — топологических возмущений разной симметрии, обладающих топологическим (квази)зарядом и понижающих симметрию космологического фона.

Научная новизна. Среди уравнений АП (лево-право ковариант-ных, второго порядка, приводящих к задаче Кошп) найдено уравнение с нестандартным типом совместности, обеспечиваемой двумя тождествами разного порядка по дифференцированию. Это уравнение выделяется также другими замечательными свойствами и заслуживает названия 'оптимальное уравнение'.

• Предложен ковариантпый тест существования сингулярностей решений. Показано, что требование невозможности решений общего положения с рождающейся сингулярностью позволяет однозначно выбрать оптимальное уравнение, а также размерность пространства п — 5 (т.е. достигается идеал единственности теории).

Выведен тензор энергии-импульса (где основной вклад даёт электромагнитная компонента) и показана возможность правильных постньютоновских эффектов для оптимального уравненпя АП.

Проведен анализ сферически-симметричных решений; решения типа одиночной волны, бегущей (у 1) по радиусу, предложены в качестве .(основы) простейшей космологической моделп (максимум симметрии е минимум параметров) с новым, ультрарелятпвистским механизмом ре

дукщга дополнительного (радиального) измерения.

Введены к—адпыо гомотопические группы (как обобщение относительных нлп диадных) п получена к—адная гомотопическая последовательность. Показано, что к этим; группам сводятся группы топологических: квазпзарядов симметричных решений (к циадным — в случае простых симметрии).

Для л,-5 определены морфшмы квазизарядных групп путем анализа симметричных оснащенных многообразий. Поставлен вопрос о феноменологии квазисолптовов в условиях стохастического космологического 'фопа' наибольшей симметрии.

Научная и практическая значимость работы. Исследования, проведенные в диссертация, носят теоретический характер. Предложенное уравнение АП, обнаружившее ряд замечательных качеств (невоз-нтпсновенне спнгулярностей в общем решении при п = 5, топологические квазпзаряды, правильные значения постньютоновских эффектов и т.д.), может составить основу нптереспой физической модели: симметричный космологический фон (своего рода 'волновод' с 'термалпзован-ным' шумом) с развитой системой квазисолитонов; для феноменологического описания эволюции квазисолитонов могут оказаться необходимыми методы (формализм) квантовой теории поля.

Математические подходы, использованные в данной работе (тест на сингулярности и градиентную катастроф}' решении, понятие топологического квазизаряда и к—адные гомотопические группы, и т.д.), могут найти применение также в других областях теоретической физики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и представлялись на Всесоюзном рабочем совещании "Материальные среды в релятивистских полях тяготения" (Казань, 1989), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 1991; 1993; 1995), Международной конференции "Квантовая теория поля п гравитация" (Томск, 1994). Основные результаты диссертации опубликованы в 8 печатных работах.

Объем работы. Диссертация содержит 104 стр. машинописного текста, список литературы из 59 наименований, 3 таблицы л 5 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы.

Во введении дается общая панорама вопросов, обсуждаемых в диссертации, полученных результатов, а также используемых математпче-

ских средств; приводятся необходимые литературные указанна.

В первой главе рассматриваются уравнения АП — совместные системы уравнений второго порядка, приводящие к задаче Коши.

О реперном поле к(х) можно говорить как о лоренцевой структуре, поскольку в АП оно допускает вместе с координатными диффеоморфизмами глобальные преобразования дополненной группы Лоренда 0*(1,п — 1) (добавляется: масштабное преобразование1):

Ь*а11{у)=к5а6Ьь1/(х)дхУду''] к > 0, 8% 6 0(1,п-1). (1)

Левс-ираво-коварпантные уравнения АП записываются в §1.1 через коварианты — тензоры с: индексами обоих сортов, преобраз.ующиеся аналогично (1). Простейший тензор (и его неприводимые части) составлен из первых производных — 6%; связность симметрична):

Ла/л> = Ъ-а^у — = 2/1я^.„) (д^-х = 0). (2)

Заъс = ЗАгаЬс] = Л„ьс + (аЬс), Фа = ЛМо = Аь^И/И/. (3)

д^ = ЧаьЬ"^^, где т]аЬ= 7о6 = Шае(-1,1,...,1).

Вектор Фд естественно сопоставить с вектор-потенциалом электро-маиштного поля; этим объясняется обозначение

= = Ф„;„ - Ф„;А,-, = (4)

Из определения (2) следуют тождества (>а — -^г^)

= 0, ^аЬс,а + }ьс = 0.

Анализ совместности системы уравнений состоит в проверке инво-лютивностн ее символа, а также проверке наличия необходимых тождеств для продолженных уравнений. Большая симметрия уравнений АП очень упрощает эти действия. Наряду с необходимыми сведениями пз теории совместности (§1-2), в первой главе (§1-3) обсуждается классификация Эйнштейна-Майера уравнении АП (приводятся уравнения и тождества, обеспечивающие их совместность).

Рассматриваемые системы п2 уравнений удобно разделять на симметричную и антисимметричную часть (см. (3), (4) и тождества):

Е(И = 2А(М1/)Л;Л + а(Фк1/ + Ф^ - 2^„ФЛ;л) + И^Л2) = 0, (5) Ем = 4- т/й1> 4- И^Л2) = 0, (6)

'Оно входит в группу симметрии ннерциальных координат.

где Л2-члены должны определяться пз условия совместности.

Первый очевидный вопрос — возможна лп асимптотика куло-яовского типа? В линейном приближении (/г" /¿'2) из (6) следует: •^„л.а + т/^ = 0. Пусть по трем измерениям имеется хотя бы в асимптотике сферическая симметрия, а дифференцированием по дополнительным измерениям (если они есть) можно пренебречь. Тогда имеем (здесь = 1,2,3; г2 = XV): = е^кхка{г); т/0» = = 0. Чтобы

/ ф 0. падо положить г = 0. Б этом случае в уравнении Е^ ь - 0 производные /г'" сокращаются, и для совместности остальные члены должны также сокращаться прп учете (5), (С) (уравнение должно обращаться в тождество), иначе возникнет новое, нерегулярное (в первых джетах) уравнение второго порядка. Для (6) имеется единственная возможность:

= 5;1Ь,Л;Л = 0, Е¡^уу — 5(11д,х,и = 0.

Симметричная часть тоже определяется условием совместности. Уравнение Е(/и,);„ = 0 приводится (при <7=1 возможен лишь вариант ОТО) к виду /(а/:1,— /ДАЛ', Л3) = 0 (уравнение Максвелла), и уравнение — 0 должно обращаться в тождество нри учете (5), (6).

С точки зрения теории совместности эта ситуация объясняется так: символ Со системы (5), (6) при т = 0, а ф 1 неинволютивен, но его продолжение бз — пнволютивно, и для совместности необходимо (и достаточно) обеспечить также и второе тождество.

В §1.4 доказано, что для г = 0, о ф 1 возможны два варианта совместных уравнений. Менее интересный — однонараметрическпй класс уравнений с нулевым током. Второй случай — оптимальное уравнение-для которого <т=1/3, а уравнение Максвелла имеет ненулевой ток:

.//шу = ¿Ц I ~ {З^хФх);» — • (?)

Само уравнение имеет вид (здесь Ь„ьс = Ьф^ = Ааьс — - |??а[б'1)с])

— уу ^"/а/.« = 0. (8)

Следовое уравнение Еаа = 0 [см. (5), (8)] становится нерегулярным при п = 4 (в первых джетах): Еаа = ¿(4 - ге)Фа,а + С^ая(А2) = 0, <?0? ф 0. Отсюда вытекает необходимость дополнительных измерений.

Совместность системы (8) обеспечивается двумя тождествами разного порядка по дифференцированию (пнволютивность символа гарантирует наличие тождеств в более высоких порядках).

Второе продолжение уравнения (8) приводит к тензору энергии-импульса (§1-6; С — тензор Эйнштейна): = -ЬГ1Ь{кС(Т11(Т)1ЬдЦ1' =

= — 1/2д^И^т) = ^„(Л'2, • • •), (9)

здесь Н — Е^у = поэтому 'на уравнениях' = 0.

Оставляя в Т/л, главные (квадратичные) члены и выделяя 'тривиальный' вклад так, чтобы оставались слагаемые Ф'2, из (9) получаем имеет симметрию тензора Римана, члены А" не дают вклад в п-импульс и момент импульса)

-^/¿еут^г-

Итак, существует тензор энергии-импульса п приближенный закон сохранения Т^^ ~ 0, причем выделяется роль /-компоненты: слабые поля с = 0 не переносят п-импульс и момент импульса. Именно это обстоятельство делает разумным объединение д^ и //и, в одной структуре.

В §1.7 рассмотрены возмущения 61га(, (Л* = 6ка(1) 'фонового' решения На^(х) с (возможность таких решений показана в §1.5).

Из (7) следует уравнение для 6fl^v•.

¿Г;, = 4«Гх =

Поле не может войти в уравнение эйконала = 0 {bf ~ оое'^).

То есть электромагнитный пакет движется по римановой геодезической. и классические (не зависящие от спина) постньютоновские эффекты такие же, как в ОТО (для ньютоновской асимптотики). Однако, 5-компонента дает вклад, например, в поворот плоскости поляризации света.

Цель второй главы — поиск 'бесспнгулярных' уравнений АП, в общем решении которых сингулярности не рождаются, пе возникают.

Бесконечность дифференциальных инвариантов (сингулярность) может быть связана либо с бесконечностью производных К—поля (многозначность решения), либо с вырождением самого репера. В §2.1 отмечается возможность устранения многозначности решения (градиентной катастрофы) путем многозначной замены координат: выбором координат у 'вдоль графика решения' к(х). При этом х(у) — отображение с особенностью, и в новой системе координат ко-репер Л*%(у) = /га^(х) вырожден в тех точках, где были перегибы и где вырождена матрица дх/ду. Это дополнительно мотивирует распространение анализа совместности на случаи вырождения ко-репера.

Б §2.2 показано, что уравнения АГ1 (за двумя исключениями) можно записать так, что коэффициенты при вторых производных hafl выражаются через 2-миноры (миноры коранга два) матрицы hafl

( а Ь ) = d2h/dhattdh\ = 2! /iftfX] ; h = det/ï% .

Так, для системы S.ativ-U = (Л2) (а = 0, т = 1) легко получить:

+ • ■ ■ = 2K{<At,{-a)g^ge" + • • • = 0и\ + (h12), (10)

где [ац,0и] = d2(-g)/dgaildgi3l/ = £ ^ j — 2-минор метрики.

Миноры, как и определитель, полилинейны относительно элементов hasl 'или _giw) и кюсоспмметрпчны как по индексам строк, так и столбцов.

Для матриц вида =diag(l,... , 1, 0,... , 0) регулярность старших гроизводных системы (10) (инволготивиость символа) сохраняется, если :апкеслп га.т>к/га/1<гг-2 (плп rankp/u/=n-2<rank/i''/<), у части /равнений (10) старшие члены исчезают.

Вышесказанное справедливо для произвольной системы ЛП, кроме ;лучаев <т = 1 или т — 0 (когда в тождество входит, соответственно, только симметричная дли только антисимметричная часть уравнений). Три (г ~ 1 главные производные симметричной части системы (такие ке, как в ОТО) допускают представление

^ ~ (ь с I) + {'ic! ) } ^Л + (h12) =

= {/.ш,£Т,ар]дп0!гТ + (h12); здесь фигурируют З-миноры. 1ругую часть можно записать в виде /г'Е^ —► (1-минор)(2-минор)/г" + /г'2) (входят 1-миноры), и символ всей системы инволютивен при усло-яп rank<7(il/ > п — 1. В варианте т — 0, <т ф 1 части, меняются ролями. [О инволютнвность символа не сохраняется при вырождении ко-репера, - компонент у симметричной части слишком мпото, а 1-миноры зану-:яются слишком дружно.

Итак, средн уравнений АП выделяется случай г = 0, а ф 1, кода решения свободпы от ко-сипгулярпостей и, видимо, от градиентной атастрофы. Замечательно, что оптимальное уравнение (8), выбранное анее га совсем других соображений, относится к этому случаю. ..

В §2.3 рассматривается другой тип особенностей — контра-спнгу-ярности, связанные с вырождением контравариантного репера hj1, точ-ее реперной плотности некоторого веса. После замены (Я = det Яа/()

Д/ = Л^Л0" (hS = H-*H2, p={n0-n)-\ no = l + i) (11)

произвольная система АП записывается так, что старшие члены содержат только матрицу Я/, но не Н% (Я%Яа" ~

H^Wb (Я/)2 Я/,Аг+ (Я'2) - 0.

'Правильная' комбинация в равной степени включает симметричную и антисимметричную части, и нужно подбирать коэффициент р (вес плотности), чтобы сократить члены типа На^Н^iV\. Замена /¡ам —► Д/ (11) "исправляет" нерегулярность системы (следовой части; и необратима) при п — щ (запрещенная размерность, если щ целое).

Для оптимального уравнения (по = 4) младшие члены тоже не содержат Н11^, и оно имеет 3-линейный вид:

{КЬЩ - 2Н(аЯщ) ^ + 1 (2 я6"см - ВД) = 0, (12;

где Са = ЯаАд; ,а = ,АЯал; = Къ - Я£а + \{ЩСЬ - VabH$Cd) ('слабые' контра-сингулярности). Регулярность й совместность уравнения (12) сохраняется для вырожденных (но конечных) матриц Я<Д еслг пткНа1'На1' > 2; то есть можно строить формальное решение в виде ряда, начиная с вырожденной матрицы Яад(хо). Попытка вернуться за син гулярностью (где Я-1 < 0) к реперному полю наталкивается на пробле му многозначности (и комплексности) решения, если п > о = щ +1, таг как р в (11) становится дробным числом. Это дает основание выбрат! для оптимального уравнения околокритическую размерность п = 5.

В §2.4 обсуждается возможность рождения в общем решении контра сингулярностеп коранга один с нулевым членом ростка Аа'1 = diag(l,..., 1,0) (Яя/'(а;) = Ла^,а;г). Поверхность сингулярностей 5 должна быть иространственно-цодобной; второе условие ('физичность ростка) — существование 'физичных' координат вплоть до Е. Для не сингулярного ростка это требование приводит к ограничениям типа не равенств (на коэффициенты формального решения). Но в случае сингу лярного ростка и размерности п = 5 будут более сильные ограничение Ко-репер hap остается конечным на Е, так как совпадает с миноро! 'рабочей' матрицы Я</ [см. (11)]:

р=(4-п)-1 = -1, = ||ЯИ||Я%dia g(0,...,0,l).

На поверхности Е нет времени-подобного вектора, временной коорди наты. Точнее, слабое условие <?0о = 0 может быть выполнено в точк разложения в ряд, но чтобы оно выполнялось в окрестности Е^ П U", п

коэффициенты ряда должны быть наложены сильные ограничения, поскольку световые вектора образуют (па Б) подмножество коразмерности один; это уменьшает меру 'опасных' ростков до пуля.

В §2.5 показано существание сферически-симметричных решений с рождающимися коптра-сингулярностями коранга п — 2 (коранга трп, если п = 5; при этом все касательные векторы — световые). Сферически-симметричное поле кам можно записать в виде:

*% = ( а v = -( i Т«л )> (13)

' \cn¿ eri;n,' + (¡A¡,7 к \—orii aniiij + jAij/

где к = ае — be, х2 = хчх\ щ = хг/х — единичный вектор по радиусу; Д¡j = Ьц — щпу, i,j = 1 ,...,n — 1); a,d,e — четные, b,c — нечетные фупкщш радиуса х.

Поле вида (13) допускает замены х* = Х{х, t), t" = Т(х, t) (п* — щ). При выборе Ъ~с=0 после ряда интегрирований (с учетом /га(1 —> 6° при г —> оо) система (8) сведена к одному уравнению второго порядка и уравнению связи (точка — дифференцирование по времени, а штрих — по радиусу):

а = а2 а" + аа'2/к + (к + 2)а2а/х ; ¡5 - а + ха'/к.

Здесь a~a/e=dk/3e~2^, 0—a¡d, к — п-2. Замена e,d а, 0 отвечает замене (11). Можно задать четные функции «о(х)>0 и «о(я) так, что в$(х) касается пуля в точке х<>0. но р(х. f)>0 при í<0 (ña,0ц < 0 около rj). В точке х—х\, í=О будет сингулярность, т.к. ft = 0, а при t > О появляется область, где 0<О.

В §2.6 выбраны координатные условия b — 0, е — d, и задача сведена к системе квазилинейных уравнений первого порядка:

А' = АВ' - В А! + кАВ/х , В' = АА' - В В' -{к- 1 )Вг/х , (14)

где А = а/е = ек^2~1, В — —с/е. В качестве начальных данных надо задать четную функцию Aq(x) > 0 (Ло->1 при х-*оо) и нечетную Bq(x).

Переход к инвариантам и = А+В, v = А—В показывает, что система (14) относится к слабо-нелинейному типу (где, как в газе Чаплыгина} этсутствует градиентная катастрофа):

L(„2 _ _ h=lf„ _ ,Л2

Ú = vil' + ±{и2 - v2) - ^(и

v

\kt.. л* ■ (15)

Укороченная система (15) — без членов ~ 1/х — полностью интегрируется. Островное решение принимает вскоре вид двух одиночных волн,

бегущих по х (v—волна направо, и(х) — v(—x)) со скоростью единица п не меняющих форму.

Младшие члены ~ 1/х замедляют, по-видимому, движение и-волны (увеличение скорости вело бы к градиентной катастрофе) и примешивают u-компоненту. Решение можно охарактеризовать несколькими параметрами: R ~ t — радиус расширения; Ana — ширина и высота 'торба'; 7 >> 1 — релятивистский фактор; Лия медленно меняются со временем и могут играть роль 'фундаментальных постоянных'. Для амплитуды 'примесной' и—компоненты (в области v—горба) и фактора 7 возможны оценки: Ali = и—1 ~ —aX/R; 7 = 1/лЛ — и2 ~ ^JR/(aX) ~ -/i. В системе координат, движущейся вместе с 'горбом', характерный размер L = 7'Л может быть достаточно большим.

Более реалистичная космологическая модель должна содержать еще один объект — стохастические воины (шум), движущиеся по касательным-измерениям внутри 'горба' (полное внутреннее отражение в своего рода космологическом 'волноводе') и пришедшие в результате эволюции к симметричному 'термализованному' состоянию. Такая модель дает маленький масштаб До (граница спектра шума) для касательных измерений (Ад < A <С L) и решает проблему редукции дополнительного (радиального, ультрарелятивистского) измерения.

В третьей главе "Топологические квазисолитоны" обсуждается возможность частиценодобпых решений, характерные размеры которых могут определяться параметрами 'космологического фона'.

Определяются группы 7г0 (топологический заряд; §3.1) и 11(G) = 7r9(CG) (топологические квазпзаряды; §3.3), где С — множество локализованных решений (поверхность Кошп тривиальной топологии), а Со — подмножество G—симметричных решений, G С 0(т); т = п~ 1.

Большая симметрия уравнений АП приводит к возможности симметричных решений, когда лево-правое преобразование (1) переводит h(x) само в себя. Вычисление групп 11(G) сведено к гомотопической классификации G-симметрпчных конфигураций SO—поля ('кнральная часть' репера); локализованное поле сг(;г) : Rm SO(m), (о"(оо) — l™) G-симметрпчно если (в подходящих координатах)

a(sx) = sa(x)s~l V s 6 G С 0(m). '(16)

Топологическому заряду отвечает группа П(1) — irm(SOm).

Надо задать а(х) на множестве орбит, причем в стационарных точ ках а коммутирует с G [см. (16)]. Простые группы G приводят к от носительным (или дпадным) гомотопическим группам; например um

- 13 -

•руппы Р] отражений одной координаты

П(Р0 = тт(50т; 50т_,) =

госледнее равенство — ввиду расслоения 50т/50т_ 1 = 5т_1.

Для симметрии О; (действующей па последние / координат; I < т) ■си ограничения для матрицы а как в случае сферической симметрии: ! (13) надо положить г, ] = т — I + 1,..., т; а — матрица (т — /)2, Ь, с — вектор-функции; с? = 1. Результат следующий:

П(О,) = тггм(30т„м;30т4) = тт,^^-').

Зслн / > 3, справедливо равенство П((9;) = П(5<?;), но для / = 3 или I = ! в (13) возможны члены или соответственно;

I итоге получено

П(503) = ггт-2(502 ж ЯО^; 50т_3) = тгт_2(51 х б"""3), (17)

П(502) = ^т_!(50т;50т_2 х 502) = 7гт-1(ДС+(т,2)). (18)

Толупростые симметрии х • • • хС* приводят к (£+1)-адным группам: :аждой компоненте (3,- отвечает полупространство (орбит), их пересечете образует основу (¿+1)-адного отображения. В §3.2 дается определение &-адных гомотопических групп и приводится ¿-адная гомотопиче-кая последовательность.

Задача описания морфизмов г* : П(£ут1) —> П(5т/т2), индудд-•ованных вложениями г : Сзут 1 —» Сь'утг (Бут! 3 5т/т2), решатся для наиболее важного случая ш = 4; при этом [см. (17), (18)] 1(5Оз)=П(0,з)=О, П(50г)=22 т.е. возможны осе-симметрпчные, но не ферически-спмметричньте (по трем измерениям) квазисолитоны.

Вводится кватернионное описание пространства: х € Н = Л4, а матрице а € 5О4 ставится в соответствие пара единичных кватернионов £ 504 = 5}3 х различаем сферы как левую и правую, еще и

готому, что при отражении вещественной координаты элементы пары меняются местами; (£,{) Е С Бут^. Условие симметричности 16) расщепляется надвое:

^ахЬ-1) = аВДа-1, Е^хЬ-1) = Ь5(х)1Г1 У(а,Ъ) € Бут С 5<94.

Группы ЩЗут) для БутСБО^ разделены на две равные части, напри-гер: П(1) = П((1) + Пг(1) = 2ч 4- отражения Р\ или Р3 (трех коорди-1ат) уменьшают П вдвое.

Далее используется связь отображений (1(х): II -> Й3) и оснащенных многообразий: М1 =£_1(—1) — центральная область частицы (она одномерна - - как для торонов модели Фаддеева); оснащение определяет дифференциал отображения сИ(М).

В §3.4 рассмотрены 502-симметри<шые оснащенные многообразия и дох^азано наличие эпиморфизма II; (50-2) = % П/(1) = (1 ^ 1)-

Так как в уравнениях АП отсутствуют размерные константы, выбирается (по соображениями простоты, симметрии: понижение симметрии увеличивает число параметров) 'фоновое решение', параметры которого могли бы определить характерные размеры солдтопов. Крупномасштабная часть фона — расширяющаяся сфера (53) толщины Л (одиночная волна по радиусу) п радиуса В. ~ t — своего рода 'волновод', удерживающий ('внутреннее отражение') стохастические волны и некое количество (квази)солктонов. То есть предполагается сценарий как в компьютерном эксперименте Ферми, Пасты, У лама, где наступление 'тепловой смерти' ограничивалось существованием солитонов.

В локальной сопутствующей системе координат толщина 'волновода' Ь = 7А » у/Ш, а его симметрия (не считая касательных сдвигов) Бута = Од х Ру; Р\ относится к отражению радиальной (вещественной кватернполной) координаты. Если начальное состояние имело 'левый' заряд [1; е П/(1)], то стохастическая компонента фона (её киральная часть) тоже может быть преимущественно 'левой', т.е. симметрия фона понижена до БОц П Бугщ.

В §3.5 обсуждается феноменология топологических квазисолитонов, которые в условиях стохастического фона выглядят (после усреднения по масштабу ~ Ао> связанному с границей спектра, 'температурой' фона) как нпточкн со стрелкой: длины ~ Ь по дополнительному измерению (нет другого характерного размера) и размера ~ Л0 по обычным измерениям; Л0 < Л <С Ь. 'Стрелка' — общее название для параметров, задающих 1) направление (осп) симметрии (ЛР2), 2) 'направление' оснащения (Оз). Часть параметров (по которым 'снято вырождение'), не меняющихся вдоль ниточки, отнесена к 'аромату', а часть, реализующая представление группы 50з С Зугщ, — к спину.

Подчеркивается, что солитопная ниточка приобретает энергию, рассеивая электромагнитную стохастическую компоненту (которая распространяется вдоль волновода), и нужно складывать амплитуды рассеянной электромагнитной компоненты (вклады от разных участков солп-тонной пити с общей проекцией), т.е. складывать стрелки. Такое усреднение по дополнительному измерению (ввиду его 'неразвитости', т.е.

дашственности масштаба /У) ведет к 'вторичному' трехмерному нолю :трслок (как достаточному солитонлому представителю).

Эволюция вторичных полей, являясь следствием усреднения по больному количеству участков нити (подобно фейниановскому усреднению ю путям), подчиняется, возможно, лагранжевьш правилам, а сохранена энергии (п-нмпульса), удерживаемой солптонами, — нетеровское :ледствие. При этом энергетическая устойчивость фона (относительно :олитонных возбуждений) возможна при положительности солитонной >нериш как функционала вторичных полей, а симметрия лагранжиана юлжна быть не ниже симметрии фона (флуктуации фона, приводящие с рождению солитон-антисолитонных пар, выглядят, отчасти, как 'ну-гевые колебания' вторичных полей).

Квазисолитоны, отвечающие составным симметрия« (см. таблицу), логут выступать как независимые каналы 'топологического возмуще-шя' фопа и давать свои вклады в плотность 'вторичной' энергии п ла-•ранжиан вторичных полей.

Таблица. Квазнзарядные группы П/(5т/те) и их морфизмы в группу федыдущего уровня симметрии для Бут С БО^ П Буте.

Sym Ui(Sym) -» n,(Syrn*) 'имя-аналогия'

1 z2

SO{ 1,2} Z(e.) Z2 e

50{1,2} х Р{0,3} 7o —>e + e

50(1,2} xF{2,3} Z(\V) <2"(e) W e + i/° '

50(1, 2} х Р{0,2} Z(z) Z[e) Z° -> e + fi

50{1,2} х Р{0,3} х Z(h) Z(7) Я0-,70 + т o

хР{2,3} Z( W) w + w

5десь SO{i,j} обозначает вращение координат cc¿,a P{i,j} — их »тражение (поворот на тг). Обозначенне —» — для нулевого морфизма образ состоит из нуля); е, а,то2 — эпп-, изо- и мономорфизм (1 (-> 2) »ответственно. Чтобы не выдумывать названия для разных типов ква-шсолитонов, в Таблице использованы имена частиц стандартной моде-ш. Учитывались два обстоятельства: Р{0} связано с зарядовым отра-кенпем; солитоны, несущие топологический заряд (€ относятся к |эермионам, остальные — к бозонам.

Для учета топологических возмущений, нарушающих симметрию [юна, предложено связать особый тип квазисолитонов с 'кнральнымп'

(или самодуадьнымп) однопараметрическими группами БО^ и БО^. чы: генераторы являются, соответственно, суммой и разностью генераторет обычных групп ЗО/, например, 5"0+{1,2}э(со5 ¡р+к ып^, 1). Доказаыс наличие эпиморфизма П;(502:)=2' А П/(1).

Для киральных групп 'стрелка' имеет больше параметров; если, ка! для 'лептоиов', вырождение снято лишь по двум параметрам, то оста ется место для 'цвета' (множество типа 52; составные группы БО^ х Р и т.д. приводят к 'цветным' бозонам).

В заключении подводятся итоги работы и обсуждаются нерешен ные вопросы, могущие составить предмет дальнейших исследований.

Основные результаты работы, выносимые на защиту:

1. Выведено уравнение АП ('оптимальное') с новым типом совмест посты, обеспечиваемой двумя тождествами разного порядка по диффе реипировашш.

2. Для 'оптимального' уравнения показано, что размерность п—4 ока зывается запрещенной, и что возможны решения с нулевым электромах пнтным шлем. Выведен тензор энергии-импульса, где основной вкла. даёт электромагнитная компонента, и показана возможность правпль ных ностньютоновских эффектов.

3. Анализ совместности распространен на случаи вырождения ре перной плн ко-реперной матрицы. Показано, что требование невозниь новения сингулярностеп в общем решении может выполняться лишь дл 'оптимального' уравнения при размерности пространства п— 5.

4. При определенном выборе координат сферически-симметрична задача сведена к одному уравнению второго порядка, найдены решены с рождающимися (контра)сингуляряостами.

5. В других координатах задача сведена к системе двух уравнени первого порядка (типа динамики газа Чаплыгина). Решения типа од! ночной волны, бегущей (7 1) по радиусу, предложены (для п ~ 5) качестве простейшей космологической модели.

6. Введены к—адные гомотопические группы и получена к—аднг гомотопическая последовательность. Показано, что к этим группам ев< дятся группы топологических квазизарядов симметричных решений ( диадным — в случае простых симметрии).

7. Для п -- о вычислены квазнзарядные группы (для симметри включающих непрерывную подгруппу) и определены их морфизмы, и: Аудированные вложениями симметрии.

8. Поставлен вопрос о феноменологии кпазисолитонов в условиях сто-:астического космологического 'фона' большой симметрии. Отметены юзможные параллели с. феноменологией квантовой теории поля.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Жопш И. Л. О спнгуляриостях в теории гравитации //Изв. вузов. Физика. — 1992. — № 7. — С. 73-78.

2. Жогпн И. Л. Уравнения поля для риманова пространства с кру-гением // Изв. вузов. Физика. — 1990. — №9. — С. 83-87.

3. Жогин И. Л. Топологические квазизаряды в теории телепаралле-шзма Эйнштейна и комбинаторика частиц // Изв. вузов. Физика. — 990. — №7. — С. 15-18.

4. Жогин И. Л. Трилинейные обшековартштные уравнения // Изв. узов. Физика. — 1991. — ,№2. — С. 22-27.

5. Жопш И. Л. Абсолютный параллелизм; сферическая симметрия г сингулярности // Изв. вузов. Физика. — 1991. — Л!19. С. 47-52.

6. Жогин И. Л. Уравнения поля для риманова пространства с крушением //В кн.: Гравитация п теория относительности. Вып. 28. — Ка-ань: КГУ, 1991. — С. 63-67.

7. Жогин И. Л. Абсолютный параллелизм, сферическая симметрия /В кн.: Гравитация и теория относительности. Вып. 28. — Казань: [ГУ, 1991. — €.60-63.

8. Жогин И. Л. к—адные гомотопические группы в классификации пмметричныхконфигураций 'кирапыюго'SO-поля// Современные ме-оды теории функции и смежные проблемы прикладной математики и ¡еханикп: Тезисы докладов школы. — Воронеж: ВГУ, 1995. С. 97.

/itsш К