Исследования теории двойственности в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

FFO С.]

л n ' * " '.1 АКАДВЙЯ ЙШ ïKPAÏHIl

¿ H i i--'

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукспису

IBIÍ4K0 АнатолЫ Миколайопяч

СТУДИ 3 ÏEOPÎI ДЗОЮТОСТ! У БАНАХОВ!« ПРОСТОРАХ

Спевдалыйеть 01.01.01 - математкчшШ авашз

Дксертащя у tf.omi науноно! Д0П031Д1 на здо0у-1'тя иченого СТуПЛШ ДШСГОра §1£'ЛКС-катематячшх ray к

Kîtïb 1993

УоОота зиконана в 1котитум прикладных проблем мб«ан1ки 1 математики 1и. Я.С.СНдстрн^ача АН /крайни

0{11цхйн1 опоивши: агчдем1к АН Укра1ни, профеоор БЕРШНСШКЯ Ю.Ц. , • доктор дпзижо-математичних кауй, профгсьр 119ДЕЦБ М.П. , доктор <р! зико-.чатематичнкх наук, профеоор СНЛЗЮЗ €.М.

Прои1дна устаноЕа: Харк1иоькиЯ двржавинй уихьарситвт

Захиот вхдбудвтьоя "■¿5'" ¿дЛ-кД " 193 + на заомани! спвц1ал1зоввно'1 ради Д.016.50.01 при 1нститут1 математики АН Укрв'иш за адресов: ¿52601 Кии <», ГСП , вул. Терещенххвська 3.

Ввв вгдгук у двох прям!рниках, зав!рений гербовой печатко! прооико иадсилати на адресу Вчено! ради.

Автореферат роз1сланий

Вчеиий секретар спец1ал1зовано* ради доктор ф1зи&о-матенатичкйх

Н-'УК

ГУСАК Д.В.

УАШЬНА. ХАРАлТЫР klGTiiKA Р060ТИ

Актуальность теми. ГеоиетрГя Санахових npocTopio е одн1ев з д!лянок функционального аиал1зу, яка зараз бурхливо розвиваеться. Сучасний етап цього розвитку розпочався в kihlu 60-х, на початку VU-x рок1в. 3 цього часу розв'язаний ряд важливих проблем tpyHKuio-нального аналхзу, чаотина яких лишилась в1дкрито» ще з час;'1 Банаха, оформились нов! напрямки, як наприклад, теория векторних Mip, операторн! 1деали, з'явил/.сь Hosi застосування геометрп Санахових npooxopia до Teopii набдижень, Teopii ilMOBi рностей, об-числивально! математики та inuHX г^чузеЯ. Ней розвиток добре воображений в моногра^ях. Вагомий вклад до нього внесла Р.Джеймс, А.Пелчинський, ¿.Лхнденитрауо, П.Ен^ло, Х.Бургеин, а такоя укра-i'HCbKi математики М.Кадець. B.Typapia, И,Г1етун1н, В.фонф та iHai.

Ьамивим розд1лом геометрП Санахових npocTopis о теор!я двойствен, локреыа, дое;идження б1ортогональяих систем i тоталь-нах п1дпростор;•» спряжаного простору. Бона- ц!кава як з точки зору г,ивч ння структуры банахового простору, так i з точки зору засто-сувань. Важливими отапами у розвитку цього роэд!лу було ^апровад-коння tt дослхдження Амуром i Инденотраусом слабко компактно по-род!::ених npocTopie, доведения Дев1сом i Л1нденштраусом 1снування тотального ненормуючого гидпроотору в спряжеиому до некваз1ре."бк-сивного банахового простору, побудова Овсеп'яном i Иелчиноьким осмеженого базису Маркупевича в сепарабельнону баиаховому простор!, доведения хснування (в neBHiit аксдоматиц! Teopii множин) несвпара-бельного банахового простору без незл1чекних бхорто. дальних систем.

Мета робота полягае в досл1джеки1 !снування рхзних спецхальних бхортогональних систем, тотальних гидпросгоргв опряженого простору, эокрема лШйних оболонок б!ортогональних $ункц1о; ги1в-з певною ор1ентац1еп на застооування в теорН регуляризовност! за Тихонови,. некоректних задач та в reopii майже пер1одичних функцхй.

11ауког>к яоплзяр.. У г.ясгатац!!' проведена систематична вивчеиия 61 ортогональна;'. систем в иаоепарайольних Оанахових просторах. Вста-нозлений тхсний зв'язок и1ж про^ктйними розкледами Л базисами Маркупеаича. Показало, як за фундаментальною б1ортогонадьно» системою, базисом >1архушеву—I, нормуьчим Оазисом ларкушивича б/дувати обмежену фундамснтальну 01ортогоиальну систему Свх. овхдно, обме-жоний базис Маркуиевича, обквксаиЯ норнуичий бааис Маркуиевяча). ¿шдси выводиться гсяувь.шя оомеяепого Оаз;;са иаркуие^ича у слаоко компактно породженому банахоаому простор!. Показано, зд наяанють у баяаховому простор! фундаментально!' & ортогонально! система ек~ гляалентна ¡сиуванню в ньому ^актор-простору г!е! а ааг.1 з проек-цШшм базисом. Наведет при клади просторхв: Оез фундаментально! б1ортогоналыю'1 системи, .¡¡актор-простору I шдпростору т1е! ж ваги з проекцхиннм оазисом, нормувчс! бюртогонально! системи, як1 по-г.азують, вд результат«, справедлив! для сепарабелышх I багатьох гслас!з несепараоелышх просторхв, «и маыь мхспя о загадьному ви-падку.

Показана 1снуваиня обметано! тотально'! 61 ортогонально! системи в Д0в!. .аН0му банаховому простор! • доводиться, цо всякий банах!в ярост1р хз олабко селарабельнии спрязшним 1зометричниа доповнв-вальнему пхдпросгору простору з базисом «гркуиевича; як ¡¡асл!док, змдси аиводиться ¿снувания простору з Оазисом Йаркуиовича без локально р1вном1рно округло! норми, ¡снування простору з базисом Маркушезича, але без проекц1иного розкладу та ¡нгл наследии. Зок-рема, властшисть лаги базис Ларкуиавича не успадковуеться допов-нювалышмл гидпросторами. /?10сл1джуються деяк! власткаоот! базиса Енфло-Розенталя.

Лшчем б!сртогональн! систеик у симетричних Функцхональних просторах па базатомних ймов1рн1сних просторах. Доводиться, ыо колк тидеааи Бойда такого еияетричного простору шдмхнн! в1д 1 и П8ск!нченн0сг1, то кожей иого п!дпрост1р мае монотонний безуиовния проокд1йнии розклад. Показано, то групу ха_рактер!в домльио! ком' пактно! абелвво! групп & можна розОити на злхченне число л1дмно-кан так, ад кодаа Суда екв1вадентна у всякому L р (&), ,

до ортогонального базиса Нльбер'гового простору. Отримат результат;; заотосовукться до синотричних простор1в маи&е пер1одичпих Фу!зд1й.

Розглядасгься також й1ортогональн1 системи в сеяарабелышх просторах. Показано, то не 1сиуе зл1чекксго ун1вероалького базяоа Маркушовича. Доведено кнуван''1 оргоиормалыюк' б1базисно'1 посл1дов~ пост! у будь-якому банаховому простор!. Наведений приклад проек-ШЯного Оазиса у сепарабельному банаховому простор!, який не мок- . на розбити на два (або скЬгченну к1льк1оть) оазисов з дужками, а також приклад "простору Сз сепарабельиим спряжении), V якому немае обмегшного единицею натягуючого Оазиса Маркушевича. доказано з допомогою базисов Иаркушевнча, що будь-який замкнений п!дпрост1р сепврабельного банахопого прос/ору е радикалом деякого ксмутатив-ного множення.

Десять докладно вивчен! прост ш 13 олабко* ангельоькии спря-женин. Ноказуеться ст1ик1сть властивост! маги слабко* ангельський спряжений прост!р вгдносно взяття шдпростору 1 лШйного нэперер-яного образу, вивчапться властивост1 слабких секвешцальних за-пккань, находиться критерий спряконост! ¡1 насл!дки з иього. Досл1д-кувлся оази-и Ларкушеэича 1 доповновальн! гйдпросторл у просторах п! слпоко * ан^-эльським спряжении. Наводиться доведения тоореии Ач4р'• -Л 1 идеьлтрзуоа про 1снування проскц1Иного розкладу о*абко компактно породкеного банахозогэ прэстору, йкс значно П[ ст!ва а ' ксротиз а1д ихдомих.

Доводиться одна проста вйрхац1я теореми Гака-Банаха, з якс-1 випливають як даяк£ вхдом1 результат, так * ноз1. Иаприклад, 'за-гальнення теореми Джеймса про розиирення кваз1доповнення на довЬчь-ни.1 баиах1а нроот1р.

. Виачаеться ступ1нь розривиост! оберненого до л!н1йи0Г0' напе-рэрвного оператора А : X V у терминах а. хтивостей п!д-

простору Р- А X* . Показаний тгсний зв'язок М1я В -

-1

ви.ч!рн1ств класу и. оператора А 1 слабкими * секвенц1альними

эомиканнями порядку Л п1дпростору Г . Вивчаеться 8-вим1р~

н!сть оператора А . Багато уваги прид1лено регуляризовност1 та л1н1йн1й ск!нченном1рн1а регуляризовкост! за Тихонович оператора

А ' » зкову а терминах властивостеа гидпростору Г , Отриман!

загальн! результата дашть моклив1сть до одита регуляризовн!ста ба-гвтьох конкретник ?влач 1 будувати пркклади иарогуляриэовггх. На-

водиться приклад застосування меходхв теорх! дво!стоот1 банахових просторов до ще одного роздхлу обчислввально! математики - дискретно! апроксимацП.

Теоретична а практи на значущхсть. Результата робот« дв°ть можлив1сть зрозумхтц структуру багатьох клао1в нвсс щрабвльних банахових простор1в. Х)онн е теоретичною основой для пооудови регуляризуючмх алгоритмиэ.

Апробац!« росоти. Результат« роботи доповхдались на 6-11 Школах з теорхх оператор1в у функцхональиих просторах, на все-союзних ¡аколах з некоректно поставленкх задач (Фрунзе, Ноорус, ; •"'аратов, 1У05.), 17 х ЕЬ Воронозьких иатематичних школах, Шшародних конференциях,присвячеиих 1Ш-р1ЧЧв народження С.Банаха (Львхв, 1УУ<0 та Н.Кравчука Ойив^ в Банах1»ському

центр! (Варшава, на наукових сем1нарих М1АН, Уральського

унхверо.чтету, 1нституту математики ЛИ Украхни, 1нституту математики СБ Роохйсько! ЛИ, «хських сеи1иарах з геометри ианахових просторхз в Санк -Петербург! а Хг>рков1 та хн.

ИублхкацГХ. йаторхали дисортац1'1 опубл1кован1 у роботах, иоданкх у £игляд1 двох опискхв. Перший список шстить назви ¿У роб!т, б яких виоадено вех основнх, приншшово важлив1 результати дисертацп. Роботи з другого списку, це або гезн п'раць кон^еренцЬ», або прац1, результати яких Оули перскритг хшими працями автора, або пращ, виконанх у сшвавторств*, де ваихо встановити воад кожного автора, або працх, як! стоять трохи збоку вхд основного на-прямку дкссртацП. 10нуе монотонно'! залекноетх шж науковин р1внем розультатхв та науковим реноме журналу, до вони спублхко-ванх, в такоа ¡Ла ваклшэ1стю теорем та довкиною IX доведень. На-веде!;, тут результати стриманх автором самостхйно, Викяток станов-лять теореми 1У 1 '¿I, викладен! для повноти^та абзац П1сля теороми '¿О, де на* мяться лриклади застооування загальних результатхв до деяккх конкретиих обернених задач. До багатьох результатхв наводиться перед- I п1сля1стор1я, звичайно далеко не повн1. 1ншх п/блх-квц£I автора в}дкосяться перевалшо до теорх! Еипадкових величин хэ значениями у банахояпх просторах.

е

ЗИ1СГ РОЬОТИ

I. Проекции! розклади й С1ортогоналыи системи.

Розпочнемо з означонь. Нехай X - банаххв проот!р 1 X - його спряжений. Наб1р х- , , £ X , ^е X* , иьЭ , 3 деяка ннохина ¿ндекс£в, наэивасться б1оргого!1альноп системою, яещэ

О при I £ й = I при «• = . Б1 ортогональна система називаеться: I) фундаментальною, яцщо заикненв л!н!Яна обо-ло.чка : 1 е СГ 3 = X I <0 тотальной, якио мпокина (?{ : и) . тотальна на X , тобто з ¡г(*)-0 VI випливав к.= О ;

3) оонеменоо .числом й-- , яещо 5ир-ь (Iх;. ¡' В?;.!' ^ i

4) норму«мо.. якщо п1дпроот1р Р- : 1е X* ' нормув'ша,

тобто функц1онил Щ*Щ= [1((*)1 •' р , ] Суде норкой,

бкз1иален?ноо вих1ди1Д норих (г*!! простору X . ёуидаг-пггальну

тотапьну. бхортогочальну систему назипавть базисом 1'4аркув:еш1ча (М-Оазисои.). Кокен простер X мне вагу Спозначдсться сЬгпл X )<~

наймеииу потуыйоть с^льних пхдлноиш. Одним з оснавних катод: 1 дослмженкя несепарабельних банахових просторхв в побудсва та вив-чення прсвкц1Г1них розкладха. Нагадаемо, що проекц!йним розкладом банахового простору X назиаазтьод ц!лкон упорядковаиа обмежена

а сукуг.иост! кнонина проектор!в > с ,

- пераий неск!нченнкй ординал, А.а - перашй ординал ваги X ,

для якях пра=буДь-як.1х : £ ^ - Рй Р^ = ;

¿ягл ^Х < , Л. - потукн1сть ординала ; . £ X ~

^ ' > ^ 1 - одиничний оператор. Най

п!дом11вим гласом простор!в з проекцШшня розкладами с олабко кои--

пактнэ породяап! простори (те, то е занкивними лШйиииа сеолоикаии

СВЭ1К слабких компакт!а). Розпочнемо !з аз'язку проекц!йш<х роза-

с

лад!в э Оазисами Маркушезичь. Нк суде в^дзначено дал1, не всякиЯ прост!р з оазисом Маркуаавича мае проекцЫний розклад. Базис Мар-кушевича ¡-е 3 називатимемо зл1ченно нормувчим, якщо

пхдпроотхр X" . який складаеться з тих елемент!в | , для

яких мнохина £ Ье-З : 0} элхченна, нтмуючии.

Усякий нормуючий Оазкс Маркушевича в злхченно нормуйчим. Нвв1домо, чи ¡оиув я дов!льном/ слабко компактно ..ородженому пpocтopi нор-иуючий базис йаркушевича. Але всякий базис Иаркуневнча слабко компактно породженого простору буде элхченно нормувчим.

Теорема I £15} . Нехвй X - банаххв проспр 13 зл1ченно нормувчим ба1 сом Маркушевича : 1 . Ход! в X

1онуе проекцхйний розклад {» причому для всякого ^ знайде-тьоя пхдиножина О^ така, то Р^Х г [ Ч •' ^ ^ ] Я

теорема узагальнюе один результат »юна х Ызлера а хстотно використов^вться далх для доведения 1снування простору з локально р1вном1рно округлою нормою без оазиса Маркушевича, Пагадаамо, норне Н II банахового простору X наэиваеться локально рхвном1рно округлое, якщо з х, хп е X , !Ы*1|*Л=1 , 11* + хп II 2 випливае || )(„ | О , Шзн1ве теорема 1 узагальнювалась Вандерверфом, Штфхльдом х Ьхзлером. хДлком упорядкована послхдов-н!оть Х^ : 1« А у банаховому простор! X , для якох

С V 1 $ А < ¿оЗ = X 1 проектор« •• X С •• ? < ^ 1

п&ралельно п1дпросторов1 С : .Р ^ ^ 3 хснусть 1 ооме-

Ж0Н1 в сукупност1, наэиваеться проекц!йним базисом довжини Икщо для всякого , ^ || = ^ то базис називаетьея *о-

нотонним.

Тоореиа ¿ С17] . Для несепарабельного Санехозого простору наступи! умови екв1валентн!:

I) X пае фундамэнтальну 01ортогокальну систему^

'¿) X мае фактор-проот!р з монотонник проекцхишм базиоои

потужноот1 с£ип*, X 5 3) X тв фактор-прост!!? г проект аник базя. м лотужностх

/

c)UM. X f

4) Для всякого <$>0 npocrip X пае оомежену числом фундаиентальну oiopToiональну систему.

Теорема уаагальнюе i уточнив деяк! в!дом! результати Йона-31злера, Аев1са-Джоноона та Годуна. Умови маИже виконують'

ся для Оудь-якого сепараоелЬного банахового простор , точн1шэ KOHOTOHHnit проекц!¡¡пил Оазио в yt-ioai ¿) потр10но замхнпти ' н <S монотонним базисом, а в yMoai 4) константу ^ + & иожна зам1ий~ ти на ±+<§ . Вснн виконукл'ься не для всякого иесепарабелыш-го простору.

lipoCTip л\.0(Р) оо.чекени"-посл1довностсй на множшн I1

потумюст1 бхльно! вхд С , для яких лише зл1ченна к1льк1сть координат В1дм£нна В1д нуля з супремум-нормой,не was фундаментально! б1ортогонально! сиотеми С^-П • U9 вгдпов!дь на питания В.Дэ-Bica й В.Джонсона; iume доведения цього результату було дана Б.Го-дуном та И.*.адецьом. За теоремою d простгр п^Л^) 159 Mas ia!t"

тор-простор. Titii ж ваги э проек14йним базисом.

Шдзначимо що одну властиз!сть простору X з фундаментальною б!ортогональнов системою: 1снують банахов! простори Y » X *

лхн!йн1 неперервн! 1н'сктивн1 ¡ц1льи! оператори $ • Y X >

Т: £ X з $Y П Т2 = 0 зокрема таку властивхсть »-пе

npooiip X = [¿о] . Цэ даз в!дпов1дь на одне питания Да.

Борвейна л Д.Пнгл!.

Теорема 3 [13] . 1снуе баиахгв npocTip X » с;о не мае п!д-npooTopiB вагн X з проекц!йнни Оазисом.

, Умови, при яких 6aHaxiB простер мае п!дпроот1р Tisi' » ваги з проекц1йни(1 Сазисси;о в працях 'l.beccarn, К.Йона, В.31злера, Ю. Рэйфа. Ш.Шелахом ta К.Куненом доведена ¿снування деяк!й ascio-патиц! Teopi'i множин нэсепарабельного банахового простору без не-зл1чонних б1ортогояальнмх оистеи. Такнй проот!р, звичайно, не мо-кэ кати Ht фундаментально! б1ортогональноХ системи, Hi п!дпроотору Tie! в ваги з проекцШшм базиоои.

Найаажлив1ЕКм позятивнин .результаг м у цьоиу напрям&у е наступи«

Теорема 4 [о, . УсякиЯ Овнахю лростхр мае оомаяену числом 4 + £ тотальну охортогональиу систему » Д-чя

лко1 елеменги (утворввть проекц1йннй базис своз! замкиа-1101 л1н1йИо! оболоики.

1снування тотальних б1ортогокальних систем для деяких класхв Оанахових просторов дослхджувалось раып, зокрема Даиером. У певних вдпадках константу можно покращити.

Теорема 5.[i0l . Нкцо X* и1стить тотальну злгченну шдмно-жину И , ю X маз оСмежену числом 1 + тотальну oíopToro-

нальну nowiiflOBHicTb (*n.»fn) . Иричому, якщо лШяна оболонке £jn-У нормусча, то й Ьп^ - теж нормувчий п!дпростхр.

Ця теорема узагальнвб один результат 1 .Нигера, доведений при сильн1шому припущены! сепарабельност! простору X. » иея доведения под!бна.

Те.оремч 6 [" ü] . 1о»уе óaimxiB простер без нормувчих úiopTO-гоналышх систем.

Як в1домо, не всякий Санах1в npocTÍp мае базис Маркушовича. Але подЮио до того, як за фундаментально» ^ортогональною систе-иос мо;;аш будуватп сОмежену фундамеитальну сЛортогональну систему, справедлива

Теорема 7 [.15] . йкщо CaiiaxiB npociip мае Оазис Маркушевича (нормуючий базис Маржушевича), то в!н мае обнажений числом id базис Мариупевнча (нсрмусчия базис Маркуиавича).

Зокрема, усякий слабко компактно породжшшй npocTÍp nas об-кожений С"зко Маркукевича. Константа у,теорем! 7, гвичайно, не точна. Icnye слабко компактно породяений банаххв npocTÍp, для якого вона не нашла в!д ¿ [¿3} . Як показав А.Ьелчинський, у сспсраОсль-них банахових просторах ií ыокка зробити манае L + £ . llcaí-ломо, чи можна тут позбутись в1д £ (питания, ао йде цо в1л

С.Банаха). Проте 1снуа банахов простхр X 3 сепарабельним *спря-кеним, яки» не мае обмеженого одиницес базиса Маркушевича ( Хп.,

такого, що С С.] 7 ~ X* _С153 • Че виповиь на одна

питания 1.31нгора ¡1 А.Иелчинського.

11рост1р ¿¡^ не мае базиса Ларкушевича, а £-яя(Г) ,

солА Г > %0 н« меже бути п1дпросгорои простор) з базисом

Наркушавича. Природно виникае питання про вкладення ¿^ у прос-

Т1р з базисом Маркувевича (Дж.,Лстель, СЛроянський, Ч. Мак-Артур.) Ыдпов!дь дае

Теорема Ь . Ьанаххэ прост1р з1 слабко* сепарабельним

спряжении Сзокрема ¿^ ) 13ометричннй доповнввальному п!дпростору

простору з базисом Маркушевича.

3 ц1б1 .еореми випливавть вхдповхдг як на деякх питання, як! ран1ше ставились, так 1 на питання, як1 не ставились, але постановка котрих не мени пркродна. Зокрема, властив!сть мати базис Маркушевича не успадкоауеться доповнювальними шдпросторам! (питання 1.31нгера)0 1снуе прост1р з базисом йаркувевича, який не мае н1 екв1валентно1 локально р1вном!рно округло'! норм? (питання К.Йона та В.Зхзлера), и! нормувчого базиса Маркувевича. В припущеши ак-С10ми континуума прост!р X . який будувться в теорем! Ь (з | -¿„о ), не маС проекц1йного розкладу. В припущенн! 1снування зга-даного простору Кунзна-Шолаха без нэзл!ченних б1ортогональних систем з теоре.чи Ь нома вивооти !снуванйя баяахозого гростору X 3 базисом Маркувевича 1 доповнювального пхдпростор) IX с: X тзж з базисом Маркувевича таких, ко жоден базис Йаркушевича пхд-проотору Ц не можна розширити до базису йаркушевича у всьому X (питання 1.31нгара).. Теорема Ь застосовуетьоя таком до проотор4в, зв'язаиих з векторними м!рами: Кажуть, ио пгдннож' ча А банахо-вого простору X загострена, якщо для всякого £ >0 знайдетьс

неА , х* ¡1ч-х!|<£ ] ) . кногеина I) спадкола

загострена, якцо кожна П п!дмнокина зогоотрена. Ьанах1в прост!р, який з замхнвноо л!нШюв оболоккою сво I замененоI опукло! спад-косо загострено! инокини иазивавть ГЬ^Р^ -просторо1 Нввч»-

ко показпти, цо есякий npocTÍp з базисом МаркуЕевича с Й.АФ О -простором. Звхдси i з теореми Ь випливае, що 1снуе flATG -проотхр

Y i не слабко компактний оператор Т: t V Спитання м* Át отеля).

Дал i розглянемо бюртогональн! систему близькх до эвичайпого базису (.Шаудера) оепарабельного банахового простору.

Означения. Множина *L : ie j банахового простору X нази-ваетюя базисом £»рло-Розенталя, якщо L*¿:i.íC(3 — X *

кожну його зл1ченну п!дмкожину можна так упорядкувати, що вона стане базисом Шаудера у cboím замкношй лхннпйй оболонц!. Бласне Ен-фло i Розент&дь показали, що такий базис !онуе в довоьному простор! Lp(y), i<p<oo, У прац! [ 19] вводиться' £R -базисна константа Оазиса Ящрло-Розенталя i з Гх дспомого» доводиться, uto будь-який базис Ещфло-Розенталя g нормуючим базисом Маркушевича (.рашше 1.31нгер показав, що базис Внфло-Розенталя б^де обмеженим базисом Маркушезича). üotím наводиться приклад проекц1йного Оазису (ц^

(нав!ть у сепараоельному) банаховому простор1, який не буде базисом Е^ло-Розенталя (у сепарабель.чо.-^ простор! це просто звичайний базис) при жоднхй пзрестановц1 !ндекс!в, але для будь-якого хеХ.

знайдеться перестановка <У натурального ряду така, що х =

= b-tru) • Us вхдпов1дь на одне питания Ч.Ьессаги й I.

3ÍHrepa. Прикладом служить стандартний проведений Оазио простору

нвперервних функщй на вхдрхзку ординалов [i, и>г]

Такх н проекции! базиси 1снувть у просторах С0 та CCO,Jj

Шдзначимо що одну властность проекцхйного базису простору Ctio'J •

Нагадаемо, що базис Маркушевича називаеться базисом з дужками, якщо 1<1нуе тека зроотаача посл!довн1сть натуральних чисел »

цо природн! проектора Pn»¿ • X С*«.35* паралельно

обмокенх в сукупностх. Як пом1тив Н.1Садець, коли б1ортогоналыи <рун-kuíohsjh до базису Маркушевича у сепарабельному банаховоиу простор! -натягують нормупчий пхдпросг1р, то цей базис Маркувавича можиа розбяти на 2 базиси з дужками. Вияалясгьоя, ад яриродииЯ

пгоекц!йнаа Оазио простору С С со1! >:о можиа разбита на

и

ск!нченну к!льк1сть посл1довносг91), кожна з яких с базисом з дуж ками у сзо1й замкнен1й лпШш1й оболошЦ £19] . Цв в1дповхдь на ни-тання 1.31нгера. .

В1дзначимо щв два раз^льтати, як1 в1дносяться до теорН' 61 ор-тогоналышх систем у сепарабельних банахових просторах: У всякому 1!ескхнчеш10В1ш1рн0му баиаховому простор! 1снуе обмежена числом L б!баэисна посл1дозн!сть, тоото бхортогональна послт ов^сть (х^Дл)

така, то як (хп) , так I е оазисами в сво!х замкнених

лШйних оболонках ( [1У] ; ш> позитивна в!дпов1дь.на одне питании ПЛ'еренцх; 1снуваная обмекено'£ бхбазисно* посдхдовност! показали Ы.Аев1о, Л.Дх и та Лхн Бор-лу). У класх злхченних оазисов Маркушевича не хснуе ун1версального элемента С £¿3] . в!дпов1дь на питания Н.Яалтона, який показав 1снування умверсального елемента у клас! злХченних фундаментальних б1ортогональних систем. При дова-декнх хстотно внкорисгозуеться одян результат Б.Годуиа та торовського чро сдаскх * секвенц1адыи заиакакня у спряжшшх проа-торах.

У робе [¿У] розглядают-ьоя, зокрема, ортогональна базиои Маркушевича в банахових алгебрах, тебто баз йен Маркушевича (Кд);'

для яких О при ги ^т. I О . 3 |х допомогоо по-

казано, що для будь-якого замкненого шдпростору V сепараоель-ного банахового простору X ка X ыоисна ввести ксмутативне ; х-кення, яке матниз У свохи радикалом. Це узагалькеяня одного результату Н,Яковлева; результат Яковлева у свою чергу узогальнвваи один неспублхкованнЯ результат автора.

¿, Б1ортогональнх смотсми в касепарабельних симетричних функц!ональкнк просторах.

Результат« цього розд1ду оаубл1кованх годоешм чином в С ¿6] Там доводиться теорема Нагарам про структуру вим1рного простору, яка граз ваклиау роль у багатьох питаниях, эв'язаних э несепарабз-льииии снмзтричними просторами. На думку автора це, значков ихроа функц1оналы!о-Анал1тично довздеаня э зи эриогакням геореии КрвМнл-

м

М1льмана про KpaiiHi точки, npooTime в!д в!домих.

Нагадаемо, що 6анвх1в простip (.KJiaois) вим1рних <рункц1й, эа-даних на виихрному npooTopi називавться симетричним

якщо: I) з ^tX i }x(w)j s, | для майже bcix иоел

випливав х.6 X i d»n« ll^ll ; 2) з "¿eX i (t) = d^,(t)

для Bcix t>0 випливае xeX i hxl| = Нуl| , де

d |x(u>)|>t) - функцхя розподхлу lMuo)| . Кажуть, .

що норма !l l| симетричного простор у X абсолютно нелерервна,

якщо для ВСЯКОГО *6 х i ВСЯК01 ОПаДНО! ПОСЛХДОВНОСТ1

BHMipHHX п!дмножин Q.' з nopoMiM перетином il * И О при

п.'

п--»оо , йаж.ивими характеристиками симетричного простору X в нижн1й Рх = Ibt/ln, у (t) та верхней ^ =

^чЧ-.+о^/^1 1ндекси Jbofua, до = Sup \ И^И/м :

* jo'ji^e} • bT(x),t>o - мложша ycix e X таких, що для Bcix з a<6 i аё>0 мазмо jw { to : (i{

«? tjn{<o: (LSxlvoXlJ . .

вводиться i дослхджуеться поняття вхдповхдностх Mi ж симетричним банахрвим простором на единичному интервал! й симетричним ба-наховин простором на довольному иыовхрншшму лростсрх. Воно допо-когеа переносит деяк! теорэии, эшерема 1нтерполяцХй>ц, з симетри-члих просторна на (0,1) на випадок довольного йиовхрнхеного простору. Це поняття Суло в1доме ранхве, проте.точних доведень, а особливо явних конструкций з допоногов теореми ¡Нагарам здаеться ракхые не з»являлось.

Базис Иархувевича

(.>4 у О) несепараОельного банвхового

простор? сазшшзко бззкссг: Еяфло-Роэенталя-Чезаро, якщо всяка його зл!чениа пхдмиожика (.х^ : ¿£ м!ститьоя в зл!ченнхй шдмножинх, янь е баэ"оон Чезсро ciscci саыхноиох' лШАно! оболонки п!сля дея-.Koi перестановки 1ндеко1в. У ивступн1й теоремх оинтезуються деякх результат про «нування р1зних 01ортогональних систем у симетри-чних просторах.

Теорена У. Не хай . {Я. Д,ц) - Оэзатоший iKObip:iica;iii npocxip.

&

Тод1:

а) на (О.,!-,/0 хснуе ортогональна В1дносно природного скалярного дооутку система ^ . I е 3 , яка утворюз базис Ин-

фло-Розенталя-Чезаро у всякому симетричному простор! Б на О. з абсолютно неперервпою нормою}

б) якщо , кр!м того, верхшй 1ндекс Ьойда ^ < 00 , то система : ^ 3) розбивасться на зл1ченну к1льк1оть г,(дсис--

тем, комщ з яких екв1валенгнв ортогональносу базисов1 г1льбортс-вого простору. Коли я «е й нижшй хндекс Бойда р^ > X , то

цх П1дсистеми натягують допознювальнх пЦпростори, а вся систена утворюе базис Енфло-Розвнталя

в) яхсцо сииетрячний банах1в простхр Е на (й.И,/4) нас вагу не менше "X. » то в1н 13оморфно вкладаеться у простхр з

безумовним базисом лиша тод1, коли Е = , 2., М)

Доведения теоренн У в) зинориотовув деяя: н! ркуялин/1 Еифло Розенталя, . л довели цв твердгкення для 1_.р (]«) . Насту«.-!«

твердження узагальнсз один результат Джоноона I Одела пх. те, цо уоякий пхдпростхр Xе , мхетить Сеоумовну

базисну посл1доан1сть потулшост1 X

Теорема 10. Нкщо ^Р^'*"}-(: 00 < то усякий п!дпростхр Xе-В наз монотонний бвзумовний проекц!йний розклад.

3 ц1е'х теореми виводиться 1снування э X в.,.;иких пхдпростори, 1зомор$них гхльОертовому простору. Виявляетьсд, ро'збмття, аналог:-чн9 теореи1 9 б)^хснуе для кожнох системи характер1в на компакт«!.; абелев1й групх.

Теорема II. Пехай 0 - компактна'аболева х'рупа, Тодх група Н характерхв й' утворве базис Маркушевича в дов1лыючу сииетрк-чному простор! на С (э м1роа Гаара) з абсольтно неперервнею нормою I може бути розбита на злхченну к!льк1сть пхдсистел^ мгла з яких окв1валснтнл у всякому 5 I , ортогонально-

му бярисовх Нльбертопого простру.

Важднвима прикладами несепарабельних симетричних простор1в з абсолютно неперервною нормов с простори иай*е пер!одичних функ-цхй. Ми вводимо поняття сииетричного простору иайже перходичних Фунвдй, яке узагальнсе поняття просторхв Безиковича, Безиковпча-0рл1ча та Безиковича-Ло[ нца. Викориотовуючи попереднх загальн1 результат«, дослхдкуються питания 1снування р1зног сорту базисов у симетричних просторах майже перходичних функцхй а також питания 1снування великих г1льо^ртових п1дсистем. Зокрема показано, но триг-онометрнчну систему (е1"** •' Ле/К) ножна розоити на зл1ченну кхль-к1сть пЦсистеи, кожна з яких буде екв!валентна ортогональному базисов! Нльбертового простору у всякому простор: майже пер!одичних фуикц1й Безиковича 6р , 1<р<« .

3« Простори ai слабко* ангельськии спряжении та s;i6ip

п1дпростррхв 1з спец1альними властивостями. •

> досить докльдно досл1Джуються простори 3i слабко*

ангельським спряжении, тобго простори X . для яких ел&оке * i слабке * секвенц1альне замиканни кошюх обме»ено1 шдмнолини X* сп1впадають. ¿¡они е узагальненням слаоко компактно породжених простор1в i успадкозують оагато ixHix властивостей. Показуеться стхйкхсть властивостх мати слабко" ангедъський спряжений вхдносно взяття пхдпростору i л!н1йного неперервного образу, досл1джуються Еластивосй слабких* секвенцхальних эамикань. У робот1 С 5] наводиться критерий спряжеростх слабко компактно породженого простору.

Теорема 12. Для того, щоб слабко компактно породжений npocTip був спряжений .до деякого Санахоаого простору, иеобххдно i достатньо,

¡(об в А* 1снував замкненяй аа нормою тотальная пхдпростхр Р , окладеним э функц!онал1в досягавчих норми,

" Ця теорема узагал&цво теорему Дкеимоа про ре<^лексив(йсть (.зви-чайно, з припущенням, да прост!р X* слаоко * ангольськли): бана-х!в npocTip рефлексивна тод1 й т!льки тодi, коли кояен ноперорвкай

л1нЫний ^ункцюиал на ньому досягай свой!' норми. У цьому випддку ропь шдпростору Р , про який 1де нова в тиорон1 i¿, грае увось

X . Иасправд! ми використовуемо в!дому тихнхку доведения тео-реми Дкеимса. Теорема Длоймса справедлива для ^-'дь-якого оанахо-вого простору, але теорема i¿ но для всякого ['->] , М.Орромов узага-льнсвав Г! на простори э1 слаоко * ангельский спрядшим. 3 тиорв-ми 12 можна дхстати декьтка корисних насл!дк1», налриклад^узага-льненнн одного результату л.Кадецн, Ь.уон^а та Р.Хайдонв.

Насл1док [У] . Пехай X - банахов проспр 1 £ - замкнена

за нормою лпийна оболонка кра.шх точок кул1 , ладо Б

- слабко компактно нороджений прост1р, то £ X " •

За допомогов оа^ис1в маркушевлча у робот! доводиться,' во

для всякого слабхо компактно пород,«кного оанахового простору X 1снуи 0анах1в простер У I лпи.ж.ы неперервшы М'бктианий оператор Г.' У -*■ X ^з ильним ооразом так1* ао ТУ мостить оомежену заикнену опуклу множину^на ик!и жоден гункц1онал з X* ив досягае супремуму, це эаптивна в1дпов!дь на одне припукення дд. Ъорвеина Л АЛ1нгл1.

ьудь-якии базис Маркушевича простору з! слабко* ангельсысим ' спряжении с зл!ченно корму^чим, та не завкди хенуе.

Теорема 13 [¿в] . 1снуе банах1а простхр 31 слабко * ангель-ським спрн,г;еним 1 локально р1вногарно округлое нориов, якил не на« н! базиса ;4аркуиевича, н1 проокцьшого розкладу.

Це вЬдповхдь на питания К.Гюна 1 Й.Зхзлера, як1 показали, що спряжении простгр з локально р!внои!рно скруглоо нормой мае базис маркуиевича. ¡1е в1домо, чи !снуе для всякого сепараоельного Л1д-простору У оанахового простору X доповньвальниа в X пхдарос-Т1р континуально! ваги, то («стать V ► При деяких додаткових ярн-пуаеннях ¿снувания такого шдпростору вивчав С.Гулько. Для . ^ссто-р!в 31 слабко* аигельським спряяеним мае шеце сильнх .а тверджеи-нн (яке у загальному випадку не правильно).

Теорема Ц . Пехал X" слабко* ангельський. Для Судь-якого П1дпростору У<= X знаядеть'ои доловнювальний п1д..рост1р

Ус 7: с: К ваги ни о1льшо! нхж гглЛх (с, с(апА У)

У робот! [//] наводиться доведения осноонох властивост1 слаб-..о компактно породгмзних простор!в - иаявност1 монотонного проек-цхиного ро^кладу • -^оно чисто геометрични, значнопрост1иа

я коротые вхд ранхше вхдомих. Тиж просто, топологхчне, доведения основно! властивост! слаоко компактно породжених просторХв було дане С.Гульком. Ьвпчаино, якцо розклад монотоннии, тобто

|[ (Щ < тоЛ1-Ра|[^2 , 1 - одиничний оператор. Цв'

оц!нку не мо»;на покрацити С . Хснус сл&бко компактно породке-нии простхр Тикай, вд для будь- ::ого проькцХЛного розкладу в пьому 1акуе ¡ндекс з ' = 2 . При хонструкцП иього

прикладу провХдну роль грае встановлений у [_183ч)акт, що у слабко компактно лородаених преторах ваги лроекцхиних розкладхв "небогато" у тому сенс1, £<о поретин двох проекц1ииих розкладхв зноау суди проекцыним розкладом.

Доведения наступного вар1анту теореми Ганы-Ьанаха просте.

Теорема 15 С Нехай X - В1ддхльнии локально опуклий

простхр, а V - його неск1нч<..шоаиихрниЛ липиниа п1дпрост1р. Пехай - послхдовнхсть опуклих замкнених миокии з X , V«-П V = 0 для всякого а- , Тодх V кхстить нескхнченном1рнкй

пхдпрост1р . замикання котрого не перетинаеться з А/^. при ход..ому Ги ,

Насл1дками звхдеи д1стаиться як ранхше добре вхдом1 резуль-тати, так х нсвХ. Наведено деяк1 з них. Якщо X - банах1в проста з сепарабсльнии спряжении, то кокен замкнений за нормою неоконченной! ртай пхдпростхр X* метить слабко* замкнений нескхн-чехшом1рний п!дпрост1р. Якщо,б1льи того, X* сепарабельний, то X I X* мхетять неск1нчоннсм1рн1 ре^лексйВ1й п1дпростори. 3 допо-могок технхки базисных посл1дрвностей ц1 результата доводились В. Й1льканои, В.Джонсоном та Х.Розенталем. На деяк1 класи несепара-Оильних простср1в вони узщалышвались К.Ионом х В.31злером. Питания ¡оаування рефлоксивних пхдпростор1в у блнахових просторах доол1дкувалиоь такоя И.Фоифои,

л

Насл1док i. Нехал f\ : X Y - лхн!лниа неперсрвнил ih' eic7 1вний оператор э розривним оберненим. 1снуе занхнениЛ нескхн-ченновимхрний niAnpoCTÍp зЕ. с. Ч , "J. О АХ=0 •

Цен наслмок суттево використовувався З.иевчиком при досл1д-женнх операториих oopaüie та базис!в у парах банахових просторов.

Иаслхдок ¿. Нехаи V 1 £ кяазхдоповнЕвальн! але нв доповнв-валыи замкненх Шдпростори Оанахового простору X • знаа-даться такий замкнении шдпрост1р jE с ? X . «о d '-m 2./"X.

04 i шдпростори Y та "X К8аз1доповнювальн1.

• При додаткових прилунениях i за допомогоч набагато soajHicoi технхки цел результат доводиэсл рашае Р.д^еимсом I й.Даонсонок. ГНзнхше bíh уаагальнюааься на простори ¿реие Л.древновськии.

Наступи«,I результат узагальнюб теорему .Дивхса Л Лхндинзтра-уса про ioiiysanHn ненормукчого гпдпростору у сп -лженому до некзаэ!-редоексиэного простор^ . «loro доввдення спираатьсл на доводишь теореии а сам результат використовуетьсл для встаноалення t.e регуляризоамост1 осерлених до делких хнтегральнлх оператор:а.

йасл1док J [¿5] . НехаЛ X - овпарабэльний банаихв npocTip, F - тотальняи пХдпростхр простору X" i dim X'V (+ Х) з= с» . Тод1 F мхстить тотальнил н<жормувчиа niAnpocTíp.

У робот! СО згадана теорема ДезХса-Лхнденвтрауса уза. ^ль-ньеться на простер ípeaie.

4, Тотальих пхдпростори i ступхнь роэривностх оберненого до .мшаного неперераного оператора.

Падал i нас Ц1кавнти;:е наступив коло питань. НехаЯ X - бана-'xiв npoorip, Y - тополог!чнил гекгорниЛ npocrip i А-'Х-* Y лпйкиия непврерзнил хн'ективниЛ опорптор. Коли {\~ будс 8 -ви-iiipnos {jynKuicB, поточковов границей неперерзних . ¿доОракань,

а

границоо послдовностх л1н1и.-ых неперервннх ск1нченном1рних опера-торхв i т.п.? Ге, що розглядаиться топологхчнди вскторнил npocflp "Y . а не нормований, поясняться не стиъки прагненням до бхль-_01 заг&льност!, а б1льше тин, во з точки зору деяких застосувань Снаприклад^у Töopii анов1рностеи аОо теорИ регуляризовностх за Тихоновым HtiKopc-KTHHx задач) важливо розглядати тото&ко воображения з оанахового простору X 5 нормованос топологхеь в X 3i слаокои топологкс w ( X , F^ , F - тота ьнил пхдпростхр X . Умови формулliBUTiiM&HO в термхнах вльстивоотеи пхдпроотору С = Д* У* с; X" • Наступив твердкення, яке невакко доводиться i но-жливо в1доме, мак над1в, що на г>ому шляху мокна досягти ycnixy.

Тзердиен),.. i. НехаА X , Y , Ъ - 6anaxosi простори i л-*У , Е?>: Х"~ - J,; ч1 нш неперервн! хн'сктлвнх оператори. Пехал й>'X* . Toai icuyc х зоиор^1зм С.-' АХ ЬЧ$ для л. .го А - С Si

. Хиакао к&щча, твердхсння t показу«, що isoMop^ni властивостх оператора (i ¿¡игу оберквного) повнхсть/ визначасться простором X t пипросторон ДС: X"

СлаОким * секвенцхальним заииканняи многими Р с К"

назигаеться сукупн!оть ?<i> ycix границь слаоко * збхжних в X нсслхдоаноотей з Р . Ьа хндукц1е|> для оудь-якого ординала о*-.

ель :е * секвенцхельне замикання порядку <А- означаться, як

Теорема 16. £l4l . Нзхай ft - лШиний Хн'евтивниЯ оператор з сепарабельного Санахового простору X на нориовашШ проа-sip Y . Оператор А" в |Ъ -винхриим вхдобракйнняи класу oL ТОДХ б т1льки ТОД1, коли для п1дпростору F~ С X*

будэ

При </-= 1 ця теорека доведена Л.&фанасеаой та Ю.Иету-и!шш; означекня ft ~виг;риоот1 класу <L диз. у O'uretownv] к, 2opolä>gy» v.l. Uew York - ft'arszevta, 1966 ] ,

i 9

>;. HacjiiAOK. Нехаи на сепараОельному банаховому ' про-

стер! X > 1| И задана слабкима в1дд1льна тополопя "Е^уэгод-*она з векторное структурою. G" -алгеОри <3^11 О та пероджен1 а1дпов1дними топологиями, зб1гаоться.

Пехай Рс X* - тотальна миозина i <Г(Г) - <5" -алге-ора на X » породхена п1впросторамц аигляду ; < Q- j >

£ р , а е |R точки зору Teopii ймовхрностея ц!кявим е пита-

ния про сп1впад1ння <3"-алгебр СГ(|| Ц) та (Г ( F) . Нкад> npocTip X сепараоельнии, то неважко лом!тити, цо СУ ( F) -

F)) • Тому з насл!дку випливае в1доний результат

про те, цф для сепараоельного простору X i тотально! шдмножиня Р с. X* завзди <Г(Р) = СГ(11 II) . Неваысо показати, що для ньсепараоельних npocropia теорема 16 та насл!док з-nei неправильна ilpoTe у випадку ре^лексивних простор1в справедливая такий

Наслмок 3d] • Hexa.i на рефлексивному .ipocropi X задана слабкииа В1дд1льна локально опукла тополог!я Т . Тод! СГ(1 ¡|)-<Г{т) .

Цен насл!док легко алвест.. з тако!

Теореми 17 Эо ] . для локально р1вном!рно округлого про-СТ°РУ X <5"!А 11)= G-(w(X, X*)) •

яка була отримана незалекно ¡¿дгаром i автором.

Теорема la С-^З ♦ Слабко компактно породяений банахов про-STip розкладаеться в гряму суму сепараоельного i ре^лексив-чого П1ДПрОСТОи1В Т0Д1 й Т1ЛЬКИ ТОД1 , коли для будь-яко? СЛабК1-tioi норми 111 (слабк!ЕоГ в!дд1льно'{ локально опукло". то-пэлогП t ) СГ(|| II) = <3(111 III) (вЦпов1дио. СГ(|| N » <Г(Т) ).

У po6oTl[iy] розгдядаеться задача про борел1воький rpa^is. У fit док,1х теоремах л.Шэарца, А.Нарт¿но, Ж.Годадуа про неперсрв-¡liсть оператора з оорелгяським грар!ксм так чи 1нзкшо ф!гур^ -ть

¿с

умови сепарабельности• л.Годуруа було поставлен» питания про спра-ведливхсть теореии про Соршивськии гра-^хк для несепарабельних просторхв. йиявляеться, цо назхть при 1нших досить коротких вимо-. ах без припуценнн сепараОчльност! теорема про борел1вськии график не правильна. Наведении у приклад но с слабко компактно породкенин простором, для слаоко компактно породжених просторхв деякх поэитивнх результат« у цьоиу напряику д1стала Т.Сримова.

Робота £¿-'1, ¿¿3 присвячйн! регулярис^лност! дхн1йних ооер-нених задач.

Означения Цихаи Я X V - Л1н1иний н^перервний 1н'е-ктивмии оператор з банахового п стору X в нормований прос^рЧ.

Оператор Я назпваеться регуляризовним за Тихоновим, якщо Хс-нус схм'я вхдооражонь ^ • У X , <5 с (О, <5а) гака, вд для всякого * «= X

5ир{ ¡и-|| : , } _о при 8-»О

Йкцо вхдойрькеиня лхнхйнх (ск1нченновим1рнх), то оператор

А * наэивавть л1нхйно (.ск1нченновишрно) регуляризовним.

¡1к показав В.Иинокуров, регуляризовн1сть Д71 екв1валентна малеяностх. його до 1-го клису ьера. Наступив твердження отрима-ии с?1Хльно з В.Винокуровим та ы.^отуихним.

Теорема . НехвИ А - лпиике ущ1льнення (тобто

лхкхйнкй неперервкий 1н»цктиэнии оператор хз слаоко компактно по-род...еного проаюру К в ьоркований простхр V) • Регулярнзовя1сть

А екв!валентна нормувчост! шдпростору Я*Ч* ^ X"

Звхдси выводиться Хснувиния нерегуляризоЕНИх д1н1иннх обер-нених задач в сепарабельних неквазхрефлексивних просторах^а також результат В.Васхна та В.Танани про регударизов1йсть таких задач у ре^лексивнкх банахових просторах. Проте 1снувть рефлексивн1 сепа-рабельн! проотори чгрешв I споратори в них з нерегуляриговними оберненими С.Н7] . Задопомогоо Оазис1о Маркушевича доводиться нво-тупна

Теорема <¿0 93 • Пехай X - сепарзбелький некваз1рефлек~ сивний 6анах1в п- ютхр 1 "У* ~ сепарабельиия банппв прост1р.

If

. Тод1 ioHyd лдернв jiiHi.iHa уцхльнення Й ■ X Y ¡3 сильною в X об^чств значоиь ДХ i 3 нерегулярнзоаним ооерменим.

У робот! С*)] загальнЬ теореми застосовустьсл аО вивченнд умов рсгуляриаовиос?! деяких конкретких задач лХдноалення неперо-рвмо'х ^ункцхх за П коо.г1ц1онтам;| ■fyp'c, роив'язаннн хнтеграль-них ровнянь 1-го роду, задач! анал1тнчного продоахснкя ^ункци з крив01 в ооласть. Регулярмзошисть nepuoi задачх Суда в1дома ра-Htue; доведения двох ihu.ix нов! х отриман! разом з ю.иетунхним. Iхри цьому автором Оула доведена одна теорема про регулярязовнють суперпооицхх операторов. ¡UsHiice питания регуллр,13овиост1 супер-позицп докладно алачалось О.доманським та М.Островським, У £¿7] розглядавться задача аналхтнчного лролозлеиня у просторах Фрсшв, а в [¿э] доводиться, опиравчпсь на загальнх тоореми з роздиу ¿, нерегулярнзовихсть деяких онтегральних р!внянь у сирокоиу клас* функцхональних просторхв. Результатам з £передував один приклад л.:4с:ихеса; далх аоня на основ! тоорзми 1о эозвивались М.Островським.

Означения. Тотальна* пхдпроспр Г1 спрллзного простору назвемо сильно нормусчим, як^о знандеться число О- "таке, г,с для Оудь-яких ckiнченномхрних пхдпростор1в Б <= X . i G с X Lnf max { II Til , ft Т " * ft } S" CL. , Сереться no ecix операторах T: G Г* , для яклх ^(6)-= при оудь-яких ее Е •

Усякий сильно нормуечиЛ пхдпростхр « нормуочим, але не .(аз-паки. У робот! [¿0] вивчаиться властивост! сильно нормувчих пхд-просторхв. Так. якцо простхр X аоо кэаз!ре'^лексивний, аоо е Х^,-просторои, то всякил норнуючиЯ пхдпростхр буде сильно нормуичим.

Означення. Базис Маркуысвича )f банахового прос-

тору X называемся операторним Оазисом, якцо хснув посл!до >н1сть лхнхиних операторов О.г\. 1 Rv/X Рр,. X , де Г,_Х ~ = (х) , така, то для всякого *gX II & п. Рл. * ~

- * IIО . banaxiB прост!р X tiae властив!сть обмеженох апро-

ксинацП, якцо хснус тдке, со для оудь-якого скхнчышо-

DHMipHoro шдпростору Y с X * будь-якого t >0 знаядеться

ск4нченновим!рнлй лпийний опиратор & '• X X з I/ 1? II ® .А 1

ИЯ^Н* С. »ри ^

У наступному твердженн! синтезован! результат« ¿Ь.А.Винокурова 1 автора.

Теорема ¿1 СЭ. ¿0] . Нехай А - лшхйие уиильнення з сепарао ельного оанахового простору X в нормований простхр Ч . Иаступ-н! умови ека!валентн1:

1) А 'лШйно ск!нченновим1рно регулнризовнии;

¿) ¡сну« посл1довн1сть лШйних неперервних ск1нчинновим1рних

оператор!в £Ьа ■ X , дли ;ких при оудь-яксму ^ е АХ

-С при ГЬ - се ;

3.) X мае; влаетмв!сть ооив«ьно1 апроксимацП 1 шдпростхр с. X" сильно ».ориуичий;

Ь) ¡снуа послхдовшсть лнийних неперервних ск1нченном!рних

опарЕТор1в С^ : X X > для яко! при всякому * 6 X

И-о 1 А"*' ,

Ь) в X 1снуе операторний Оазис (х^, з £ ^ ^

Деяк1 яопередн! результат« тут були отриман! Ф.Вахер та 1.Ы-нгероп. питания л1н1ино'1 ск.1нчэнновимхрно1 регуляризовност;

та сильно нормувчх пипростори активно досл1джувались Л.Гладунок та М Остросаьким.

Теорема £бЗ. Нехай X - банаххв проотхр. Для того, щоб для оудь-якого нормованого простору У обернений до всякого л1-н1йкого уц1льнення з X в У був ск1нчеиномхрно лШйно регуля-рпзовиик, нообх1дно 1 достатньо, щоб X був свпарабзльним ква-з1ро$дексивнин простором з властив1стю обмежено! апроксимац! I.

У £3 ] загальн! результати заотосов'увться для встановлення л!и1йко1 ск1нченновйм1рно1 регуляризовностх деяких кошсретких задач. Наводиться приклад регуляризовного; але не л!н!йко рвгуля-ризовного оператора.

Двл! розглянема розв'язн! рагулярвзатори. ЯЬппний рргуляри-

затор називийться розв'язним, нкго'гз зб^жност! ¡'Я^У-*"

О при § -»■ О виплизас Л * ~ . Побудованх нь

оонов1 такого регуляризатора наОл.шеш розв'язкя масть ту властн-в!сть, то з Ух зо1*ност1 виплявае зЫжнють оа. - до точного роз-в'язку. Виявляеться, цо нероэв'нзних регуляриааторхв досить багете.

Теорема ¿3 [<-'13 • пе м оператор А : X У , Х . ^ -

Оанахов! простор«, ма« розриваии обернений, дкид „иныно ригуляри-зовнил. Ход! для А ¡ему« нарозв'язний л1н1аний регуляризатор.

Теорема ¿1 £¿¿3 • НехаЯ А - лпи.ше утльнення з ре^лекои?-ного йанахового простору X з оазисом Уаудара у Оанах1в простер

У . Тод1 А 1 л!Н1,1Н0 скшченновнмхрно розв'язно регуляризоани;!.

Тематика роботи^13 розвивалась шзниаа В.Кадецьом, о.Доман-ським та Ь.-гоиром.

Наведено 1«е одне застое/замкл методгэ теорй' дво'и'стост! С -нахових просторхв до итого розд!лу обчислювально] математики -дискретно! апрокснмаци. Мехаи X х X а , - банахоз1

простора I Р^ : X -'* Хл - Лл1,1Н1 неперервн! оператори з & Рл.*'«"""^

||х|1 при а.-*оо для всякого х с X (вони наэивавться зв'язу-

вчлмиу). Калуть, но посмлоан1сгь хг-зо1га«и.с.

до елемента х с Х~ , якко Л ~ & при -»«*» .

Нех'ай Л*, X - в!дпов1дн1 спря*ен1 простори. Посл1довн1сть

£ Х^ воаааеться слаоко* з01жнов до ? е X , якад

<Т) 9

для 0/дь-*ко1 ,г -золит посл1довност1 —завждя

. Незначимо через Р(&) мнотну вс!х ел^меи-

т1и з X' . Я1£1 е границяин слабко " У-збхжних пос. ?довностей.

Як вхдомо, для сепарабельного простору Л завади

для несепараовльного - не заввди. В багатьох випадках множина

виявляетьоя досить великое; так, наприклад, якщо X - сла( :о компактно породжений npocтip, то вока тотальна.

Теорема ¿5 [16] . 1онувгь простора X , Хр, , =

посл1довнють эв'язувчнх оператсрхБ Ра. X —* X а. , для яких ниоккиа Р( {¡-¡) на тотальна на X •

Цй контрпрлклад до одн!«1 г!потези Г.Иашикко.

I. OoiioBHi науков! ро0отн?вклотен1 у дясертащп

1. Пличко A.K. Условия рефлексивности и хвазиреалоксцвноста топе-логических векторнюс простралств/Дкр.матрон.-1975.-27,#1,-С.24-32.

2. Винокуров В.Д., Петунии iC.ü., Пличио А.К. Условия измеримости а рсгуляразуемсстк отображений, обратных к непрерывным лкнэЗ-¡шм ото0ртаеш'лм//докл. АН CCCP.-I975.-220,S3.-C.50l>-5I2.

3. Винокуров В.Л., Пличко A.i;. О рогуляркзуешети лине2них обратных задач линейными методами/Да:.! -229,.'<5.-0.1037-1040.

4. Петуннн 'О.'Л., Пличко A.M. Регулярязуеыость по Тихонову некоторых классов некорректных задач//!,!ат. сб. ¡лав.-1973.-С.221-224.

5. Пличко Л.К. Условия сопряжённости woo -пространств/А'лт. заметки.-I97d.-23 ,.Ч2.-С.261-285.

6. ;,!енихес Л.Д., Питого А.Н. Условия лилейной я конечномерной рэ~ гуляриэуемости .и:не?льх обратных задач//Докл. АН СССР.-1978.-24I,Я5.-С.I027-I030..

7. Пличко А.Н. Сущэсть „оние ограниченного М-базкса в tea -пространстве/Дворня цункций, ^ункцион. анализ 2 их прил.-1979.~ 22.-С.51-59.

8. Пличко А.Н. Существование ограниченной тотальной биортогошиьпой. систег.и в банаховом пространствэ//Гам ?.e.-I980.-33.-C.III-II8.

9. Петутая 2.'.'., Плзчко A.n. Те-зр.м характерастлк подпространств и ее приложения.-Киев: Bän^a ск.. 1930.-216 с.

10. Шйчко A.M. Побудова об.чежених ^укдамэнталывсс i тотальних di-ортогоналыих сястеа за неоо:;езе1ап,и//Доцов1д? АН УРСР. :р.А.-1980. ~.'г5.-С. 19-22.

11. Гиигшо А.К. Банахово пространство без 4увдамекталыюй биортого-напьной с2стэмы//Д0М. АН СССР.-КЕО.-445,»4.-С.789-601.

12. Пличко А.Н. Еыбор в банаховом пространства подпространств со спещ'.алышыл спойства'.п и некоторые свойства квазидополнений// Зункоюн. анализ и его хгрил.-1?81.-15,й1.-С.62-63.

13. Пличко А.Н. Некоторые свойства пространства Дяонсоь .-йздцеп-глрауса/'/Га.'.! жс.-.\'2.-С.88-Б9.

1-1. Пличко А.Н. Слабые * секЕонпмльже зашхеппя а D-пзмергаюсть

отображений, обратшх к линв&шм непрарщла-м операторам в vfCG -пространстьах/Сиб.!лат.журн.-К81.-22,й6.-С.217.

15. Пличко А.Н. О ироекшошшх разложениях единичного оператора

к базисах Г.'дркувеЕОТаУ/Докл. All СССР,-1982.-283,.'<'3.-0.543-546.

16. Шичко A.M. Про тоталыпсть ¡.шоиши слабко* S5 -апроксимов-нкх iynKuiOHaji жв//Доп . АК УРСР. Сер.А.-12£3. -.'<'2. -С. 17-20.

17. Пличко А.К. Яувдакентолыхые биортогональные системы и проекционные базисы в банаховьх пространст 1х//,1ат. заметки.-1983. -33 ,.'¡3. --С. 473-476.

18. Плкчко А.Н. 0 проекционных разлохен;1ях, базисах. Маркушевича . л экЕ:тал«ат1ШХ нор:.их/Да-■ те.-1983.-34.Я5.-С.719-726.

"19, Плкчко А.Н. 0 базисах и донилнекиях в несепарабельных банаховых црсс'^анствах//Сиб.мат .жури. -4.1:1984. -25, S4.-C.I55-IS2; 4.2:1986.-27,:i2.-C.149-153.

20. Глацук Л.В., Шигчк^ А.П. О нормирующие и сильно нормирующих подпространствах соар&иеннога банахова цространства/Дкр. .....»т.журя.-1234.-36 ,Я4.~С.427-433.

21. Доулксклй Е.Н., Шпгчко А.Н. К'обобщении теореш Пикара о раз-ретилэстк Еитеграпьного уравнения Оредгодь.-ла первого рода// Докл. Ali СССР.-1985. -280, .'"4.-С.731-784.

22. Винокуров Б.А., Гладун JI.j.» Пличко А.Н. 0 нормируюцих подпространствах сопряженного пространства и рэгуляризуемости обратите операхот>ов//Изв. вузов. .Математика.-1985.-Jiô.-С. 3-10.

23. Pllcko A. On bounded blorthogonat system in аоше function spacea//3tudta Иаth.-1966.-84.-P.25-37.

24. Шопко А.Н., Попов Ы.Ц. Базисы в. несепарабельных симметричных пространствах н пространствах почти периодических 4уикций//

Изв. вузов/. Математика.-1987.-Jf4.-C.50-59.

25. Пличко А.Н. Ненорднрующие подпространства и интегральные операторы с нерегуляризуемым обратнш//Сиб. мат. жури.-1988.-29.R.-C.206-2II. ■ ■

26. Eiicfck© A.M., Popov M.M. Symmetric inaction epaoea.on atpmleflfl probability apaces/ZDiesertationea Kath.-I990.-306.-88 p.

27. Менххес Л.Д., Пл хчко A.M. До xeopii" регуляризовност i в тополо-Г1ЧНЕХ векгорних щу ->торах//Укр. мат .кури.-1990. -42, №3. -С. 777781.

29. Пличко А.Н. 'Несколько вамэчаний об операторных сбразах//рворая функций, is к.х прюь-19Р0.--53.-0.69-70.

29. Шпчкэ Л.ы, Дьтомит:даа нолорйрыпото, баз^ои i радикала а нотрцзовшя алгобр^//Укр.гат,.тл'рн.-1^У2.-44,.,;8.-С.1120-1132.

II. Iiiiii публпацй за то.моя ддлеертацй'

30. Петунш Г.!., Плп'ко А.'Л. Дэдкх аластииостг yyjmiionaaiB, яо дос.-хгаоть виргеяилГу - i одн^чиь; c£<jpi/Дхр.тт .журн.-1974.-26;К.-СЛ02-1С5.

31. Плпго А..'', Kpnrepi.'! кнаэ1ро,,'лекг;:ь!!ост1 банзховсго простору// Доп. .'ci y?CP.-I9?4.-.V3.-C.4C6-lC7.

32. Еу.та;г:;ц Р.В., Летунпн 2.1'., Плгчко «.г:., jjieiiopr 'A.Z. О структура (Г -алгебри борглеьекос мнех-ств у схода?,¡остл нгкотормк случайикх рхдоэ п банахов;.'* простралстэах/Дхф.:.iar.зурн.-1975.~ 27,.'<4.-С. 435-142.

33. Илию A.K. Рас^фвнлэ казгдополнекет 2 бзлахэвсм про с граи сет //Эуикщон. анализ и его npo.-lCYS.- Э. ¡¡2.-C.9I-S2.

34. Плхчко A..V. Icüv'i-a'-'л повноi' с -ортонорм^коГ систеьы в сз-нара'е.тько.'.гу нор.\:оЕг.ю:,!у лросгор://Цол. АН УРСР.-1975. '-I.

п I--» о о

—^.¿j.—

35. Пт.гчко А.Н. К-базлск в селйрабзльнкх и ро£лекс;тннх банаховых яространстзах//Укр. мат. >~л.... -1277. -29, Л5. -C.S8I-3S5.

35. Ешскуров З.Л., Петуи/.и [¡лэтео A.n. '.'зг.'ортаость и pery-

ляризуе.моеть отосрат.-за;:2, обратишс к иепрариЕпкм лянейшм оператора:,://,!ат. з а'.зткл. -1979. -20, . -С. 5S3-S9I.

37. Бахър i.e., Плгчко Л.К. Пространства, дат которых рэгуля^зу-е:.:осгь, л;ше.':ная и линейная кенэчхюмэрнат регуляризуешеть соЕпадачт/ЛЗсесоизи. кспу. по накоррактгшм задачам..-Фрунзе. 1979.-С.30.

38. Петунии Плячко а.н. Усхобм рзгуляргзуэкостл лглвйшх обратккх заяач/Аам же.-С,92.

39. Вахер I.C., Г~..;чко А.К. Свойство ограбленной оппрокекмг. з :: лзшоЯная конечно:,;зрнач регуляр::зуешсть/Дкр.мат уря.-

1981. -33, >J2. -С. IG7-I7I.

40. Иличко А.Н. 0 прсекщюшшх базисах в банаховых пространствах// 7-я 1£кода по теории операторов вфункдаон.прострапст7захг?.5кнск.

1982.-С.148-149.

41. Вкюкуроа В. А., Дсмиюкий E.H., Ыенихес Л. Д., ,l7Hi4.no А.Н. О Яекэтог'х проблемах линейной рэгулярчзуеыости//Докл. All СССР.-

1983. -2/0,I. -С. 31-34.

42. Каслюченко В.К., Плачко А.Н. ^дазаре^лахсивше топологические векторные пространства без Санаховю; лодиространств//8-я Скола по теорак операторов в функцион.пространствах.-

Рига, IS83.-4.2.-C.25-26.

43. îiioko A., Terenzt P. On bibaaic oyatemo and a Retherford'а problea//Rendisonti Acad. ]iûz. dei lincei.-I9B4.-77,I.'I-2.-Г.26-34.

44. Ыаслпчекко В.К., Пяячко А.Н. Квазнро^.''-ксиыше локально выиук- • jikg пространства Сез банаховых лодпрострапств//Георкя функций, функцион. анализ и га прил.- 1985.-44.-С.78-84.

45. Шшчко А.;.., '¿еьчик В.З. G "оз.муцсшпях Саз::са в паре с5 ал аховых простгл1;ств/Лаи же.-1£-о5.-43.-С.9и-100.

46. До1сшскк1 JJ.II., Лличко А.К. К обобщена» теоремы Яккара о раз-резшюотя интеграл.кого уравнения средгольаа первого рода// Ксслед , по фу!жц..онад.аналноу и его прнл,- Свердловск: УрГУ, T.SS5.-C.I9-C&.

47. 1..адун .".В., Пличко А.Н. Об операторах,не шевцкх линейных конечномерных рэгуляр*заторов//Геория и ¡..етоды решения некорректно поставленных задач и их приложения.-Саратов, 1Э35.-С.47.

"8. Пдпчко A.Ii., Попов 1.1.!». Кьсчетныо безусловные оазисные последовательности и безусловные разложения пространств Lp( ) // XI Шхсла по теории операторов в функцкон.пространствах.-Челябинск. 1986.- Ч.1.-С.87.

49. Александров Г.А., ¡ш.гчко А.Н. О связи иезду строгими М-бази-cavor п эквивалентными локально равномерно выпуклыми нормами В пространствах Банаха// Comptes rendus de l'Academie bulgare des Sciences.-1987.-40,N2.-C.I5-I6.

50. Еличко A.K., Токарев E.B. О базисах в симметричных пространствах йгакций/ЛЛат. заметки.-1987.-42,)£2.-С. 227-234.

51. Островская Î.I.H., Шшчко А.Н. Свойства Банаха-Сакса и задача трех пространств//Операторы

в Фукктщон. пространствах и вопросы теории функций.-Киев, 1987.'-С.96-105.

52. Кадец В.М., Шшчко А.Н., Попов «Î.M. Об одном типе полных минимальных систем в банаховых пространствах//Изв. вузов". Математика. -1288. -Л< -С. 33-40.

53. Кучер О.В., Плхчко А.Н. Усередненз симетрпчн1 простори на пря-м1й/Аез.м1*г^р.конф., присвячено! пам"лт1 вкйд.! >î.~П.Кравчука. -Ки1в-Луцьк. I992.-С.108.

54. Шгачко A.Ii., Газенков А.В. О свойствах орт^'онапьшх систем в банаховом пространства, апотно вюжрпом р гил*бертого//Гям жр. - С .1.62.