К качественной теории систем квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Часть первая. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ .АНАЛИЗА.

Глава I. ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ

§ 0. Вводные замечания

§ I. Допустимые функции и их структура.

§ 2. Линии уровня в окрестности границы.

§ 3. Соотношения Морса - Гейнса

Глава Ы. ПРАВИЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ.

§ 0. Вводные замечания

§ I. Условия расщепления.

§ 2. Существование седла.

§ 3. Некоторые приложения.

Часть вторая. ДВУМЕРНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЁ ЖИДКОСТИ И ЮС СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА

Глава I. ЭЙЛЕРОВЫ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ.

§ 0. Вводные замечания.

§ I. Общие характеристики течении.

§ 2. Основная лемма.

Глава II. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ.

§ 0. Вводные замечания.

§ I. Течения в цилиндре и прямоугольнике.

§ 2. Основные классы эйлеровых полей.

Глава III. НЕКОТОРЫЕ КАРТИНЫ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИИ

§ 0. Вводные замечания

§ I. Потенциальные течения. . . . -.

§ 2. Сферический и тороидальный вихри.

§ 3. Течения типа вихревой цепочки.

Установившееся течение идеальной ( невязкой, и несжимаемой.) жидкости описывается векторным полем, компоненты которого удовлетворяют системе квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка, так называемой системе уравнений Эйлера [18]. Известным частным случаем указанной системы являются двумерные уравнения Эйлера, относящиеся к плоским и осе-симметричным векторным полям [22,25], к течениям на сфере [II] и на двумерном торе [ 38], к тем классам установившихся течений, которые могут быть описаны в терминах некоторого векторного поля 2ft, заданного на двумерном римановом многообразии [15]. При изучении указанных уравнений в ограниченной области обычными средствами теории граничных задач возникает целый ряд трудностей. Неясны условия, обеспечивающие существование и единственность решения (исключая специальный случай "простого протекания", относящийся к регулярному С т.е. не имеющему особых точек) векторному полю, рассмотренный в работе [2]), связь стационарной: и нестационарной задачи; не обоснованы приближенные методы исследования. Кроме того, информация ( представляющая как физический, так и принципиальный интерес), которую желательно извлекать из уравнений, выходит за ражи стандартных теорем и касается структурных свойств соответствующего векторного поля: общей картины расположения линий тока, характера и распределения особых точек, условий их отсутствия (или возникновения) и т.п.

Настоящая диссертация посвящена как получению и анализу соотношений, тесно связанных с уравнениями Эйлера, которые могут оказаться полезными именно при получении результатов указанного выше качественного характера, так и ряду конкретных приложений, относящихся к плоским и осесимметричным течениям. В этом смысле она цримыкает к работам [l2,I3,I5,34,35,38,4l].

Работа состоит из двух частей:. Первая часть, носящая подготовительный характер, содержит две главы. В первой главе исследуются характер и распределение изолированных особых точек гладкой вещественной функции vp , заданной на некотором двумерном многообразии М. В приложениях в роли указанной функции выступает так называемая функция тока, сопоставленная (по меньшей мере локально) некоторому соленоидальному векторному полю UL, соответствующему течению несжимаемой жидкости [l5]. В § I доказывается утверждение (теорема 1.3), что всякая гладкая вещественная функция на Л, , допускающая внутри At лишь изолированные особые точки, локально топологически эквивалентна некоторой гармонической функции, имеющей, быть может, особые точки типа логарифмического полюса (соответствующие точкам локального экстремума ). В §§ 2 и 3 изучаются целочисленные соотношения, связывающие сумму индексов особых точек \j/ с эйлеровой характеристикой. Л, и поведением \р на границе JX . Указанные соотношения аналогичны известным соотношениям Морса - Гейнса [28], но получены при существенно менее стеснительных условиях, относящихся к поведению цу на границе JJL , что весьма важно в приложениях ["13,34]. Во второй., части полученные соотношения используются при изучении картин эйлеровых течений.

Естественным (но не используемом в учебниках.по гидродинамике ) способом задания эйлерова течения служит постановка граничной задачи для соответствующей системы уравнений Эйлера. Специфика двумерного случая, если ограничиться анализом плоских течений, заключается в том, что в этом случае эйлерову полю Vb в ограниченной области можно поставить в соответствив некоторый гладким: вещественный функционал Ъ , определяемый однозначно граничным! значениями поля^ и его завихренности OU ,- интеграл энергии исходной граничной задачи [35]; искомому течению TJL будет соответствовать тогда критическая точка функционала & (нуль производной ФрешеX

Основным объектом изучения второй главы первой части является специальный класс гладких вещественных функционалов заданных на некотором банаховом пространстве , обладающих определенной правильной, структурой, характеризуемой, приводимыми в § I условиями (I.D-G.3) (так называемые условия расщепления). Функционалы с указанными свойствами напоминают простейшие квадратичные формы вида: или и в этом смысле допускают изучение как в контексте теории выпуклых функций [30,36], так и с точки зрения вариационного исчисления в целом Г46,50]. С точки зрения теории граничных задач [35,40,42,44], наиболее значительный интерес представляет выяснение дополнительных ограничений на ^ , обеспечивающих существование и единственность его особой ( или критической) точки. Кроме обычного центра ( точки экстремума [27,31];, правильные функционалы допускают особенности типа седла (точки смешанного экстремума [20,36]). Существование центра обеспечивается выполнением минимального требования к ^ - условия дифферен-цируемости С утверждение 1.5 из § I). Аналогичное утверждение 1.6 (§ I), относящееся к седлу, доказывается ниже лишь при дополнительном предположении о рефлексивности банахова пространства ?3 (которое обычно и используется в приложениях [35,36,40,42, 44]). В отличии от сравнительно общей ситуации, характерной для выпуклых функции [Зб], для правильных функционалов сформулированное выше требование не является необходимым и ниже заменяется на условие двукратной непрерывной дифференцируемости (утверждения 2.3 и 2.4 из § 2). К основным результатам §§ I и 2 относятся неравенство СЕ) из § I и теорема 2.1 из § 2.

В заключительном § 3 исследуется конкретная вариационная задача, иллюстрирующая основные свойства правильных функционалов. Полученные результаты используются во второй части при доказательстве теоремы существования и единственности, относящейся к установившимся течениям идеальной жидкости. Различие между центром и седлом правильного функционала учитывается при классификации эйлеровых полей (приводимой ниже).

Вторая часть диссертации, состоящая из трех глав, посвящена приложениям к гидродинамике. Объектом изучения первой главы являются некоторые свойства плоских течений. Во второй главе рассматривается граничная задача для установившегося осесимметричного течения идеальной жидкости в конечном цилиндре при условии непротекания на боковой поверхности и заданной нормальной составляющей скорости на основаниях цилиндра. Параллельно исследуется аналогичный класс плоских течений.

Центральным утверждением данной главы является приводимая в § I теорема I.I, относящаяся к существованию и единственности эйлеровых полей с произвольным наперед заданным числом особых точек. Схема доказательства этой теоремы была изложена автором в заметке Е35]. Ниже она приводится с некоторыми уточнениями и добавлениями, учитывающими результаты второй главы первой части.

Доказательство приведенной теоремы связано существенно с использованием упомянутого выше вариационного метода. Соответствующим интегралом энергии служит некоторый правильный функционал £ . На основе информации, относящейся к структуре особой точки Ъ , в § 2 второй главы производится классификация эйлеровых полей: течения, соответствующие центру , относятся к "ламинарным", а течения, соответствующие седлу к "вихревым" эйлеровым полям.

В заключительной главе второй части исследуются различные картины эйлеровых течений. В §§ I и 2 рассматриваются примеры ламинарных эйлеровых полей: потенциальные течения (завихренность СО=0; § I) и семейство течений с со = СцУ, где С -варьируемая постоянная, IJ, - независимая переменная, а V -вещественный, параметр, принимающий, значения 0 и 1 соответственно для случая плоского векторного поля и осесимметрическо-го течения ( § 2). В § 3 приводится пример, иллюстрирующий механизм перехода от ламинарного эйлерова поля к вихревому течению, связанный, с изменением структуры особой точки ; рассматривается дискретная серия течений с со (ip -функция тока). Варьирование постоянной С приводит к последовательности бифуркаций особой точки : центр fe переходит в седло, седло с меньшим индексом (понимаемым в смысле [50]) -в седло с большим индексом. Вышеуказанные изменения сопровождаются возникновением течений со сколь угодно большим числом вихрей, возрастающим с увеличением индекса седла функционала £ , что и отличает данное вихревое течение от отмеченных выше ламинарных полей. Хотелось бы заметить, что используемые в этой главе методы исследования (это особенно относится к § I) заметно отличаются от классических [21,23,45] и аналогичны использованным в [13].

В заключении автор пользуется случаем выразить признательность профессору Дезину А. А. за внимание к работе.

Часть первая НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА

1. Агмон С., Дуглис А., Еиренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962.

2. Алексеев Г.В. О единственности и гладкости плоских вихревых течений, идеальной жидкости.- Динамика сплошной среды (сб. научн. трудов). Новосибирск, 1973, выпуск 15, с. 7-17.

3. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римано-вых многообразиях отрицательной кривизны. М.: Наука, 1967.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

5. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию "в целом". М.: Наука, 1973.

6. Бирман М.Ш., Скворцов Г.Е. О квадратичной суммируемости старших производных решения задачи Дирихле в области с кусочно гладкой границей.- Изв. ВУЗов, 1962, № 5 30 с. 12 -21.

7. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, I.98I.

8. Векуа Н.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз., 1959.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

10. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Ф М, 1961.

11. Громека И.С. Собрание сочинений. М.: АН СССР, 1952.

12. Дезин А.А. Некоторые модели, связанные с уравнениями Эйлера.- Дифференциальные уравнения, 1970, т. 6, i,' I, с. 17 -26.

13. Дезин А.А. Об одном классе векторных полей.- Комплексный анализ и его приложения (сб. статей). М.: Наука, 1978,с. 203 208.

14. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980.

15. Дезин А.А. Инвариантные формы и некоторые структурные свойства гидродинамических уравнений ЭйлераZ&iltckzipt jfiutpalpus tW, Uuit jtH/hrencLchput, 1983; -1(5SAD1 h-09.

16. Канторович I.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.

17. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

18. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963.

19. Красносельский. М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.й., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.

20. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ГИТТ, 1950.

21. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

22. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинагжки и их математические модели. М.: Наука, 1977.

23. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947.

24. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971.

25. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964.

26. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

27. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гостехиздат, 1957.

28. Морс М. Топологические методы теории функций: комплексного переменного. М,: ШЕ, 1951.

29. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТ, 1949.

30. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

31. Соболев C.I. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: ЛГУ, 1950.

32. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959.

33. Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций. М.: Наука, 1964.

34. Трошкин О.В. О некоторых свойствах эйлеровских полей. -Дифференциальные уравнения, 1982, т. 18, № I, с. 138 144.

35. Трошкин О.В. Допустимость множества граничных значений в одной стационарной гидродинамической задаче.- ДАН СССР, 1983, т. 272, № 5, с. 1086 1090.

36. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные .проблемы. М.: Мир, 1979.

37. Юдович В.И. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной жидкости сквозь заданную область.- Математический сборн., 1964, т. 64, с. 562 588.

38. ЛькМ if, %ui id cjiontbtuc (Ju^wildisL dv> <jftcUj№с

39. MpyL С. X. Tlon- йшж inieijtaE ecyuaticMS o^ tkiЯьнлмлАип. bjfsu, Viot. ТЫ. tlcaJi. iti. IL. 5. H.} 19iTcrt.3^ ^,60-65".ЛшимллЖик iype. Отажs. OLMVL. mcdk. 5oc.; 1949, Vol. 66, 1г. X, j?cw,t Е , pp. 2 89 -30?.

40. ИсишМ X, ве^ср. Ж. 61 g^froi tWtj 4 steady xfmkvt гскуЛ in cut icltaZ fiiiucL. Clcta W, i/ot. ^32, л/1, ^ 13-51.4.2. jt. ШскОсМА/сh&Ut ЛущгельcLuKfUi>- add TYlaik.j 1930, i/X 54111-Ш.

41. Xa-KclevvvtaM. Хагшс 61. С. Хбтг ес^ммгаЯмялСШ.с1аУюК^'МйЛ icniYldcvUj Voint JiXC&itUl. L^tc J-owinatc'lfWdk.) 1Щ tret 33, л/2., № 311-328.

42. Zami d.C.j XancW^an УШумл tfcarijL Kl. OK SacUie feni 'pxc'CfWtS in. ihe Catoulub ojy lfoA(ct{ian/)) bli£ Hilt Ql^otolkm ctMcl TYlmoimt Смпгегсушс1.1 mcuik, dwd. Clppt., ifi. 52, Л/3, pp. 594 №.