К L p-теории дифференциальных форм на римановых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Комплексы в полуабелевых категориях.15"

§1.1. О Ker-Coker-последовательности в полуабелевой категории

§1.2. О точности когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в полуабелевой категории.

Глава 2. Формула Кюннета для редуцированных когомологий тензорного произведения комплексов гильбертовых пространств

Глава 3. Свойства оператора внешнего дифференцирования и Lp-когомологии.

§3.1. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на поверхности вращения

§3.2. Lp-когомологии искривленных плоских расслоений . . 55 Литература.

Согласно известной теореме де Рама [1] у гладкого многообразия М сингулярные когомологии с вещественными коэффициентами совпадают с когомологиями комплекса де Рама

О П°(АГ) Л О^М) Л . Л W{M) Л Qj+1(M) Л ., где QJ (М) — пространство гладких дифференциальных форм степени j на М, a d — оператор внешнего дифференцирования. Еще в 50-е годы было показано, что на замкнутом римановом многообразии пространство когомологий изоморфно пространству гармонических форм. Оператор * Ходжа на римановом многообразии позволил ввести на пространстве D^ (М) дифференциальных форм степени j с компактным носителями, лежащими в Int М, внутреннее произведение u;,0) = J соЛ*9, м пополнение пространства DJ (М) относительно которого совпадает с гильбертовым пространством Ь32(М) дифференциальных форм степени j на М, удовлетворящих условию = f cj Л *со < сю. м

При этом оператор внешнего дифференцирования d : DJ (М) —>• DJ+1(M) можно расширить до замкнутого оператора, заданного на подпространстве пространства Ь32{М). Именно, будем считать, что форма <,о лежит в области определения оператора d, если и только если существует последовательность С°°-форм такая, что ср^ и dtp^ сходятся в норме || • || 2. Положим dcp = lim dip п.

Использование методов гильбертова пространства сделало возможным получить различные варианты разложения Ходжа-Кодаиры [2,3]. Это позволило Коннеру [4] поставить задачи Дирихле и Неймана для дифференциальных форм на римановом многообразии и исследовать вопросы их разрешимости.

В 1976 г. в работе [5] М. Атья впервые определил ./^-когомологии риманова многообразия и положил начало их использованию для изучения некомпактных римановых многообразий и римановых многообразий с особенностями. В дальнейшем L^-когомологии изучались М. Гаффни, Дж. Доджиком, Дж. Чигером, М. Громовым, В. Мюллером, С. Цуке-ром, П. Пансю и другими авторами. В 80-е годы В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов и И. А. Шведов ввели в рассмотрение Lp-комплекс де Рама риманова многообразия М и начали изучать его когомологии, Lp-когомологии многообразия М. Эта тематика активно разрабатывается ими по настоящее время.

На n-мерном римановом многообразии М для каждой дифференциальной формы си определен ее модуль х Для 1 < р < оо и непрерывной положительной функции т на М пусть символ LJp(M, т) обозначает банахово пространство, образованное измеримыми формами степени j на М, модуль которых интегрируем с весом т в степени р по М для р < оо и удовлетворяет условию ess sup \ш(х)\т(х) < оо для р = оо. Норма в пространстве LJp(M, т) вводится формулой

1 iv если 1 < р < оо

- ) I А/Г I

I ЩМ,т)

Ml г J f\u;(X)\*MT*(x)dxX Км ) ess sup \со{х)\мт{х), если р = оо. х£М

Через Z)J (M) обозначим векторное пространство форм степени j на М с компактными носителями, содержащимися в Int М.

Дифференциальная форма ф £ L3^C(M) называется (обобщенным) дифференциалом du формы со € Ь3г jос(М), если для любой формы и G Dn~J~1(M), носитель которой лежит в ориентированной области, и ее обычного внешнего дифференциала du выполняется равенство j со A du = (-l)i+1 J ф Ли. м м

Положим

W'(M, т) = {и;£ ЩМ, r)\duj е Ц+1(М, т)}.

Норму в пространстве W3 (М, г) введем формулой imi wl(m,r) = (IIWIIl»(M,t) +

Замыкание в пространстве (М, т) подпространства D3 (М) будем обозначать через г).

Таким образом, с каждым римановым многообразием М, числом р £ [1,оо] и непрерывной положительной функцией т на М связан банахов комплекс

О LP(M, т) : L°p(M, т) Д ЬЦМ, т) А .

0.1) образованный банаховыми пространствами*) LJp(M, г) и замкнутыми линейными операторами dJ. Наряду с комплексом (0.1) удобно бывает рассматривать также комплекс

WP(M, т): 0 W%{M, г) т) А .

М, т) Л W/+1 (М, г) ., (0.2) в котором операторы dJ уже всюду определены и непрерывны. Кого-мологии Л^(М, т) комплекса (0.1) (совпадающие с когомологиями комплекса (0.2)) называются (весовыми) Ьр-когомологижми риманова многообразия М. Факторпространство Н^(М,т) по замыканию нуля дает банахово пространство HJ (М,т) редуцированных Ьр-когомологий М. Пространства Н£(М,т) и Нр(М,т) совпадают тогда и только тогда, когда d3 нормально разрешим. Меняя в формуле (0.2) всюду W на, V, получим комплекс (М, т), когомологии которого обозначаются символом Н^С(М, т) (а редуцированные когомологии — соответственно,

В дальнейшем опущенный индекс т означает, что т = 1.

Предположим, что многообразие М представлено в виде объединения двух замкнутых множеств Mi и М2, причем Mi и М2 — гладкие n-мерные подмногообразия, a Mi П — гладкое (п — 1)-мерное подмногообразие М, Mi ПМ2 С Int М. Пусть фэ : W}(M,t) W/(Mbr) оператор ограничения форм с М на Mi, a ipJ (М2, т) —W^ (М, т) оператор продолжения нулем с М2 на М. Эти операторы перестановочны с дифференциалами и образут точную последовательность комплексов

О Vp(M2,r) A WP(M, т) Л Wp(Mi, г) 0.

Этой точной последовательности комплексов соответствует точная последовательность Lp-когомологий

Щ>С(М2, г) ^ Щ{М, и полуточная последовательность редуцированных когомологий ^ н'-1 (Мы) Щ,С(М2, г) Яj(M, г) Я'р(Мьт) .

0.3)

Возникает естественный вопрос: когда последовательность (0.3) является точной? Этот вопрос исследовали В. И. Кузьминов и И. А. Шведов в [6] для точной последовательности произвольных банаховых комплексов, компоненты которых суть банаховы пространства, а дифференциалы — замкнутые линейные операторы. Эти авторы изучили (Теорема 1 из [6]), как влияет на точность последовательности редуцированных когомологий предположение о нормальной разрешимости дифференциалов одного из комплексов А, В или С.

Категория Ban банаховых пространств и непрерывных линейных операторов представляет собой пример полуабелевой категории. Аддитивная категория с ядрами и коядрами называется полуабелевой, если 9 f

1.1) A В коуниверсален, то из условия /3 = cokerker /3 следует, что а = coker ker а и б) если квадрат (1.1) универсален и а = ker coker а, то (3 — ker coker /3.

Важность распространения понятий и методов, используемых при изучении абелевых категорий, на более широкий класс категорий, обусловлена тем, что многие важные категории функционального анализа и топологической алгебры не являются абелевыми. Исследования в этом направлении начали румынские математики К. Бэникэ и Н. Попеску (предабелевы категории [7]), М. Журкеску и А. Ласку (канторовы категории [8]). В 1969 г. в [9] Д. А. Райков ввел понятие полуабелевой категории, подробное исследование затем В. И. Кузьминовым и А. Ю. Че-ревикиным в [10] и самим Райковым в [11]. Р. Суччи Кручани в [12] изучала существование функторов Ext71 в квазиабелевой (канторовой аддитивной) категории. Как отметил Райков, квазиабелева категория в смысле Суччи Кручани является полуабелевой. В 1998 г. в [13] Ж.-П. Шнайдере дал определение квазиабелевой категории, совпадающее с данным выше определением полуабелевой категории. Как доказали в [10] еще в 1972 г. Кузьминов и Черевикин, это определение эквивалентно определению полуабелевой категории, данному Райковым.

Морфизм /i называется строгим (коротко /и £ Ос), если в его каноническом разложении /i = (imji) fi(coim/i) p, — изоморфизм. В категории Ban строгость означает нормальную разрешимость. Когомологии коцепного комплекса А в категории Ban представляют собой редуцированные когомологии банахова комплекса А.

Диссертация состоит из трех глав.

Одним из основных результатов главы 1 диссертации является следующее обобщение теоремы 1 из [6] на произвольную полуабелеву категорию.

Теорема 1.4. Пусть — короткая точная последовательность комплексов А = (Ап, an)nzz, В = (Вп, (Зп)п& и С — (Cn, "fn)nez 6 полуабелевой категории. Справедливы следующие утверждения.

1) Если ап £ Ос, то когомологическая последовательность Нп{А) -А Нп(В) ^ Нп(С) ^ #Я+1(А) . (1.20) точна б членах Нп{В) и Нп(С), причем иоп £ Ос.

2) Если (Зп £ О с, то последовательность (1.20) точна в членах Нп(С) и Нп+1(А), причем дп £ Ос.

3) Если 7П £ Ос, то последовательность (1.20) точна в членах Нп+1(А) и Нп+1(В), а £ Ос.

Доказательство теоремы 1.4 базируется на утверждениях §1.1 о Кег-Сокег-последовательности

5 т* 0

Кег а А Кег /3 —> Кег 7 —у Coker a A Coker (3 —► Coker 7, (1.6) соответствующей коммутативной диаграмме

А„ Во ■ Фо с а /3 У п -► А\ В { Фг С удовлетворяющей условиям фо = coker ip0. ip 1 = ker^i. Райков в [9] установил, что если в диаграмме (1.5) а, /3 и 7 — строгие морфизмы, то Кег-Сокег-последовательность (1.6) точна во всех членах, причем все морфизмы в (1.6) строгие. В §1.1 главы 1 представлены результаты исследования вопроса о том, как влияет требование строгости одного из морфизмов а, /3 или 7 в диаграмме (1.5) на точность последовательности (1-6) и строгость образующих ее морфизмов. Эти результаты получены автором совместно с научным руководителем профессором В. И. Кузьминовым.

Теорема 1.1. Если в диаграмме (1.5) (3 G 0С, то в последовательности (1.6) 5 е 0С и эта последовательность точна в членах Ker 7 и Coker а.

Теорема 1.2. Если в диаграмме (1.5) (ро £ Ос, то последовательность (1.6) точна в члене Кег/3 и е G Ос, если G 0С, то эта последовательность точна в члене Coker/3 и 0 £ Ос.

Теорема 1.3. Если в диаграмме (1.5) a G 0С, то в последовательности (1.6) С, £ 0С и эта последовательность точна в членах Кег/3 и Кег7; если 7 G Ос, то в последовательности (1.6) т G Ос и эта последовательность точна в членах Coker /3 и Coker а.

Вторая глава диссертации посвящена изучению редуцированных когомологий тензорных произведений комплексов гильбертовых пространств.

Под комплексом гильбертовых пространств мы понимаем коцеп-ной комплекс К = (Кп,Тп) вида п т° 1 Т1 rpn-1 грп

О К0 ^ к1 ^. кп ^ кп+1 образованный сепарабельными комплексными гильбертовыми пространствами Кп и ограниченными линейными операторами Тп : Кп —> Кп+1.

Тензорные произведения коцепных комплексов гильбертовых пространств естественно возникают при изучении бесконечных симплици-альных комплексов и некомпактных многообразий.

Пусть X — симплициальный комплекс, звезда каждой вершины которого содержит не более с0 = с0(Х) симплексов (X «звездно ограничен»). Обозначим символом £2Ск{Х) пространство суммируемых в квадрате ориентируемых fc-коцепей комплекса X. Если X звездно ограничен, то кограничный оператор 5к : £2Ск(Х) —» £2CkJrl{Y) непре-к рывен. Пусть £2!! (X) есть пространство к-мерных редуцированных когомологий комплекса £2С(Х) = (£2Ch(X),Sk). Для двух симплици-альных комплексов X и У произведение X X У имеет естественную структуру клеточного комплекса, на котором вводится коцепной комплекс £2С(Х х Y) = (12Ск{Х х Г),дк), где £2Ск(Х) — гильбертово пространство суммируемых в квадрате клеточных ^-коцепей, а дк — кограничный оператор клеточного комплекса X х У. В этом случае

2С(Х х У) = £2С{Х) ® 4С(У).

- —

М. Громов установил в [14], что если (X) = 0 при г = 0,., г0 и J2H3 (У) = 0 при j = 0,., jo, то 1^Нк{Х х У) = 0 при & = 0,.,г0 + jo + 1.

В работе [15] В. И. Кузьминов и И. А. Шведов доказали, что для i/2-когомологий искривленного произведения двух римановых многообразий X и У (т. е. многообразия X х У, снабженного метрикой (is2 = -f- f2(x)dy2) с ограниченной искривляющей функцией / справедлива формула Кюннета. Доказательство в [15] существенно опирается на спектральную теорему для замкнутого оператора в гильбертовом пространстве. Позднее в [16] этими же авторами были найдены различные условия на искривляющую функцию, при которых верна формула Кюннета. Оказалось, что спектральная теорема для ограниченного самосопряженного оператора является удобным инструментом для исследования редуцированных когомологий тензорного произведения комплексов гильбертовых пространств.

Вопрос о справедливости формулы Кюннета для тензорного произведения комплексов изучался А. Гротендиком [17], К. Гросу и Н. Василеску [18], Н. Н. Тархановым [19], Й. Брюнингом и М. Лешем [20]. Гросу и Василеску доказали в [18] справедливость формулы Кюннета для когомологий тензорного произведения двух фредгольмовых комплексов гильбертовых пространств. Тарханов в [19] получил формулы Кюннета для когомологий тензорного произведения дифференциальных комплексов, заданных на гладких многообразиях.

Цель главы 2 состоит в доказательстве формулы Кюннета для редуцированных когомологий тензорного произведения К (g> L двух комплексов К и L гильбертовых пространств. Основным результатом главы является

Теорема 2.1. Пусть К = (Кт,Тт) и L— (Lr,Sr) — комплексы гильбертовых пространств. Тогда справедлива следующая формула:

Hn{K®L)= 0 if (К) <g> Hj (L). i+j=n

Третья глава диссертации посвящена вопросу о нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования и Х-^-когомологиям искривленных плоских расслоений римановых многообразий.

Пусть Г — замкнутое подпространство пространства W3 (М, г), содержащее Vj (М, т). Обозначим символом с?г замкнутый линейный оператор LJp(M,r) —> L3p+1(M, г), совпадающий на Г с оператором внешнего дифференцирования d. Известно, что на замкнутом многообразии dr нормально разрешим. Дж. Чигер [21], В. М. Гольдштейн, В. И. Кузь-минов и И. А. Шведов [22-26] и А. Байдер [27] исследовали условия, при которых оператор dr является нормально или компактно разрешимым на некомпактных многобразиях. В частности, в [26] и [27] были найдены условия компактной разрешимости оператора dr на поверхности вращения, т. е. на поверхности в Мп+2, заданной уравнением f(Xl) =х\ + --- + х2п+2, (хи ., хп+2) Е 0 < хг < Ь, (3.3) где 0 < b < ос и / : [0, > И — положительная гладкая функция. В [26] доказано, что если / ограничена, 1 < р < оо, 0 < j < п, то G?r : L3p(M) —> нормально разрешим.

В §3.1 главы 3 диссертации установлена справедливость следующих утверждений.

Теорема 3.1. Пусть функция f не ограничена, р £ [1,оо[; 0 < j < п и Г — замкнутое подпространство пространства W3(M), содержащее Vjf(M). Тогда оператор d = dr : LJp(M) -» LJp+1(M) не является нормально разрешимым.

Теорема 3.2. Пусть р > 1, функция / ограничена, Ь = оо, j £ {О, гг} иГе (V/(M), V^'(M)}. Тогда если оператор dT : Ljp(M) -> нормально разрешим, то lim /(ж) =0. а?—Юо

Теорема 3.2'. Пусть р > 1, функция f ограничена, Ъ = оо, j £ {О, п} и Г Е {Vj(M),Wl(M)}. Тогда если оператор dr : Ц(М) LJp+1(M) нормально разрешим, то М имеет конечный объем.

В §3.2 изучаются искривленные плоские расслоения и исследуются их Lp-когомологии. Метрика искривленного плоского расслоения (обобщение метрики искривленного произведения) естественно возникает при исследовании многообразий с каспами, получающихся как фактор-пространства Шп по действию дискретной группы преобразований [28]. Результаты из алгебраической топологии [29] позволяют в случае ограниченной снизу положительной константой искривляющей функции / и замкнутой базы построить сходящуюся к Lp-когомологиям тотального пространства расслоения спектральную последовательность Лере, состоящую из когомологий базы со значениями в некотором дифференциальном пучке. Кроме того, в настоящей работе получено обобщение формулы Кюннета для ограниченной сверху / [30, 31] на искривленные плоские расслоения.

Пусть F —)• Е А X — гладкое локально тривиальное расслоение гладких многообразий со структурной группой G. Предположим, что база X и слой F снабжены римановыми метриками дх и др соответственно. Пусть также многообразие X замкнуто (т. е. компактно и не имеет края), а структурная группа G является дискретной подгруппой группы изометрий слоя F. Такое расслоение называется плоским.

Допустим, что задана положительная гладкая функция f\F—> Е, удовлетворяющая условию «G-инвариантности»

V5GG)(/O^/). (3.11)

Для произвольной точки е £ Е рассмотрим карту (U, 7) нашего расслоения, где U — окрестность точки х = 7г(е) £ X и 7 : F х U —> 7г-1 (U) — диффеоморфизм. Снабдим FxU метрикой искривленного произведения F х j U и для двух векторов г] £ ТеЕ положим по определению

9E(bv) = 9Fxfu{(de4-1)Z,{de'y-1)rj)- (3-12)

Равенство (3.12) определяет метрику в касательном пространстве ТеЕ в точке е многообразия Е, которую мы называем метрикой искривленного плоского расслоения с искривляющей функцией /.

Мы можем говорить, таким образом, о пространствах W£ (Е) дифференциальных форм на многообразии Е и его подмножествах.

Для р G [1, оо] определим теперь дифференциальный пучок W* над X следующим образом. Положим для произвольного открытого множества U с X yV^(U) = W-i, (it-1 (U)). Мы получаем дифференциальный предпучок W^ на X, операторы ограничения в котором — ограничения дифференциальных форм на открытые подмножества, а дифференциал d : Щ —> индуцирован операторами внешнего дифференцирования на многообразии Е. Пусть W* — дифференциальный пучок, порожденный предпучком VV*. Пусть также Tirp = — r-й производный пучок пучка W*.

Основной результат §3.2 —

Теорема 3.3. Справедливы следующие утверждения.

1) Если функция 1// ограничена, то существует спектральная последовательность со вторым членом Е%г = Hq{X\Ti^), у которой член Еоо есть пространство Н*(Е) Ьр-когомологий многообразия Е.

2) Если функция / ограничена, то пучок 7локально постоянен.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3847] и докладывались на XXXV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1997), I Ибероамериканском конгрессе по геометрии «Cruz del Sur» (Оль-муэ, Чили, 1998), III Сибирском конгрессе по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, 1998), Международном конгрессе математиков (Берлин, Германия, 1998), Летней школе по дифференциальной геометрии (Коимбра, Португалия, 1999), Международной конференции «Геометрия и приложения», посвященной 70-летию профессора В. А. Топоногова (Новосибирск, 2000), семинаре «Дифференциальные формы на римановых многообразиях» под руководством профессора В. И. Кузьминова и объединенном семинаре отдела анализа и геометрии

ИМ СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В. И. Кузьминову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: Изд-во иностр. лит., 1956. 252 с.

2. Kodaira К. Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized potential theory) // Ann. of Math. 1949. V. 50. P. 586-665.

3. Duff G. F. D., Spencer D. C. Harmonic tensors on Riemannian manifolds with boundary // Ann. of Math. 1952. V. 56. P. 128-156.

4. Conner P. E. The Neumann's problem for differential forms on Riemannian manifolds. Providence, R. I., AMS, 1956 (Memoirs of the AMS, V. 20).

5. Atiyah M. Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras // Analyse et topologie. Asterisque. 1976. V. 32/33. P. 43-72.

6. Кузьминов В. И., Шведов И. А. Гомологические аспекты теории банаховых комплексов // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 4. С. 893-904.

7. Banica С., Popescu N. Sur le categories preabeliennes // Rev. Roumaine Math, pure et appl. 1965. T. 10, № 5. P. 621-635.

8. Jurchescu M., Lascu N. Morfisme stricte, categorii cantoriene, functori de completare // Studii §i cercetare mat. 1966. T. 18, № 2. P. 219-234.

9. Райков Д. А. Полуабелевы категории // Докл. АН СССР. 1969. Т. 188, № 5. С. 1006-1009.

10. Кузьминов В. И., Черевикин А. Ю. О полуабелевых категориях // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13, № 6. С. 1284-1294.

11. Райков Д. А. Полуабелевы категории и аддитивные объекты // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 1. С. 160-176.

12. Succi Cruciani R. Sulle categorie quasiabeliane // Rev. Roumaine Math, pure et appl. 1973. T. 18, № 1. P. 105-120.

13. Schneiders J.-P. Quasi-abelian categories and sheaves // Memoirs de la SMF, 1999. V. 76.

14. Gromov M. Asymptotic invariants of infinite groups // Geometric group theory/ Ed. by G. Niblo and M. Roller. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993.

15. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О формуле Кюннета для редуцированных Хг-когомологий // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 1. С. 102-110.

16. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О разложении в ортогональную прямую сумму комплексов де Рама искривленных произведений ри-мановых многообразий // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2. С. 354-368.

17. Grosu C., Vasilescu F.-H. The Kunneth formula for Hilbert complexes // Integral Equations and Operator Theory. 1982. V. 5, № 1. P. 1-17.

18. Тарханов H. H. Метод параметрикса в теории дифференциальных комплексов. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1990. 248 с.

19. Briining J., Lesch М. Hilbert complexes // J. Funct. Anal. V. 108, № 1. P. 88-132.

20. Cheeger J. On the Hodge theory of Riemannian pseudomanifolds // Proc. Sympos. Pure. Math. 1980. V. 36. P. 93-146.

21. Гольдштейн В. M., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, № 4. С. 82-96.

22. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости линейных операторов // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 5. С. 49-59.

23. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленном цилиндре // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 1. С. 85-95.

24. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных произведениях // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 2. С. 324-337.

25. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 3. С. 573-590.

26. Baider A. Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra // J. Differential Geometry, 1979. V. 14, N 1. R 41-57.

27. Mazzeo R., Phillips R. S. Hodge theory on hyperbolic manifolds // Duke Math. J. V. 70, № 2. 1990. P.309-359.

28. Годеман P. Алгебраическая топология и теория пучков. М., Изд-во иностр. лит. 1961. 320 с.

29. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О формуле Кюннета для Lp-когомологий искривленных произведений // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 5. С. 29-42.

30. Сторожук К. В., Шведов И. А. Ьр-когомологии липшицевых ри-мановых многообразий // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, N° 3. С. 633-649.

31. Маклейн С. Гомология. М.: Мир, 1966. 543 с.

32. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972.

33. Popescu N., Popescu L. Theory of categories. Bucuresti: Academiai; Sijthoff & Noordhoff, 1979. 337 p.

34. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.

35. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

36. Бредон Г. Теория пучков. М., Наука. 1988. 312 с.

37. Копылов Я. А. Об 1/р-когомологиях искривленных расслоений // Материалы XXXV МНСК. Математика. Новосибирск: Изд-во Но-восиб. ун-та. 1997. С. 47-48.

38. Копылов Я. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на поверхности вращения // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 6. С. 1300-1307.

39. Kopylov Ya. A. Some properties of the operator of exterior derivation on surfaces of revolution // Proceedings of the I Iberoamerican Congress on Geometry: Cruz del Sur. January, 1998, Olmue, Chile. P. 197-204.

40. Kopylov Ya. A. On Lp-cohomology of warped flat fiber bundles of Rie-mannian manifolds // III Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98). Тезисы докладов. Часть I. С. 110-111.

41. Kopylov Ya. A. Normal solvability of the operator of exterior derivation on some surfaces in RN // International Congress of Mathematicians. Berlin, August 18-27, 1998. Abstracts of Short Communications and Poster Sessions. P. 73.

42. Kopylov Ya. A. Lp-cohomology of warped flat fiber bundles // Abstracts of Summer School on Differential Geometry. Coimbra, Portugal, September 3-7, 1999.

43. Kopylov Ya. A. Some properties of the operator of exterior derivation on surfaces of revolution and Lp-cohomology // Complex Geometry of Groups, Contemp. Math. Y. 240. 1999. P. 247-257.

44. Копылов Я. А. О формуле Кюннета для редуцированных когомологий тензорного произведения комплексов гильбертовых пространств // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 5. С. 1067-1073.

45. Kopylov Ya. A., Kuz'minov Y. I. On the properties of the Ker-Coker-sequence in a semiabelian category // Geometry and Applications. International Conference dedicated to the 70th birthday of Prof. V. A. To-ponogov. Abstracts. P. 52.

46. Копылов Я. А., Кузьминов В. И. О Ker-Coker-последовательности в полуабелевой категории // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 3. С. 615-624.