К вопросу о равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье спектральных разложений, отвечающих матричным дифференциальным операторам с диагональноматричным собственным значением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

московски государственник университет

им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЖЯЕЛЬНОЯ МАТЕМАТИКИ и КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

ДЯДЕЧКО Александр Викторович

К ВОПРОСУ О РАВНОСХОДИМОСТИ С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОЫ ФУРЬЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИИ. ОТВЕЧАЮЩИХ МАТРИЧНЫМ ДИЖРЕНПИАЛЬНШ ОПЕРАТОРАМ С ДИАГОНАЛЬ-НОМАТРИЧКй! СОБСТВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ

01.01.02 - доКеренциалыше уравнения

АВТОРЕФЕРАТ ' диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995 г.

1

РаОста выполнена па факультете ЕЦ^слительноЗ математики и гайер-нетаки Московского государственного университета имени .'.Ломоносова.

Научный руководитель доктор Сизико-кзтематкческих наук академик В.А.ИЛЬИН

Официальные оппоненты доктор Сшико-мэтеыатических неук,

профессор Ы.Л.ГОЛЫЩАН кандидат £язкко-математических наук, доцент Ы.В.СУЧКОВ

Ведущая организация - Университет дружбы народов им. П.Лумумйы, Москва.

Запита диссертации состоится "У1-/* ^Лт. в 14 часов 30

кинут на заседании диссертационного совета К.053.05.87 в Московском государственном пшверситете имени Ы.В.Ломоносова по адресу : 119699, Москва, Ьоросьет ■ гори, МГУ, 2-Я учебный корпус, факультет кгаолитольной математики и кибернетики, аудитория 6з5.

С диссертацией южно ознакомиться в С^З.тиотоко факультета ВОиХ ИГУ.

Авторо^йрат разослан "_" _ 1995г._

УтатЯ секретарь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теин. ' На сегодавний день развитии. спектральной теории несамосопряжзтш. дифференциальных операторов имеет огромное как теоретическое, так и практическое значение в сеязи с появлением таких неклассических задач математической физики, как задача об устойчивости турбулентной плазмы, расчет ядерных реакторов, изучение энергетических сеойств и состояний квантомеханических сиса-м и т- д.

Появление спектральной теории обыкнопзшшх дпдаерешиэлышх операторов сеяззно с изучением задачи Штурма-Лиувклля. которой поселкнн классические работы Ж.Лиувилля, ^.Штурма, В.А.Отеклова и Д.Рлльбэрта. В дальнейшем развитию спектральной теории самосопряженная, а затем и несамосопряжэннкх операторов били посвяценц работы Е.Гсбсзнэ, А.Хазра, Я.Д.Тзмаркинэ. М.Стоуна, Дж.Д.Еиркгоффа, Э.Ч.Тптчмэрав. Б.М.Лезитана и многих других авторов.

Одним из главных вопросов спектральной теории днйвронциалышх операторов является- Еопроо о сходимости спектральных разложения произвольной функции из некоторого класса. С атой проблемой были связан: работи Да.Д.Биркгофа, Я.Д.Тамаркшт, Э.Ч.Титчмарзэ и ряда других математиков . Большую роль в привлечении внимания к данному иппранлошпо спектральной теории сыграли фундаментальные работа М.В о пол-

ноте систем собственных и присоединенных функций пучков несз.мосопря-жешшх операторов. В 1962-1964 г.г. В.П.Михайлов и'Г.М.Кесельмзн показали, что для задач с усиленно регулярными краевыми условиями система собствешшх и прасеедиюпшх функций линейного оСикнсгеаного даДОрея-цизлъного оператора порядка п?2 является базисом Рисса в 12.

'. С проблемами оззкснссти систем собственных и лрксоеданенных {¡та -

3

щ1й я сходимости спектряяымх рагложолкй тосяо связан вопрос о равносходимости двух различных сяоктральних. разложений или раолоаэняя но которой. фужцки но собственным к присоединенным функциям обикиовэниого дойкрзициалъцого оператора с ее разделением в тригоиомэтрпческий ряд Эурьи. Прозлемсз рпвшсходдаюсуи занимались еще 8.А.Стендов, доказавши теорему о равносх'одакостк для собственных функций второй и третьей краошх задач дня оператора йтуркэ-ЛиуЕКЛЛЯ, Я.ДЛймаргага, рассмотревший случай самосопряженного оператора порядка а о усиленно регуляршам хрзэшма условиями, Е.Гобсоя, А.Хаар, В.М.Ловитан, Л.Хермавдер и ряд других математикоз. Вопрос о равносходимости тригономэтричоских и не-гдамолических ( разложений• ш системе вкеговеят) рядов Фурье впервые сил рассмотрен Н.Вяыэром и Р.Пэли, а затем и Н.Леишсоном, С.Вер&пагскЕМ, А.М.Селяешям.

Еолыгой вклад в спектральную 'теорию даМврснциальных операторов о'ил здо.-ш В.А.Ильиным. Во второй половина семидесятых он обратил ени-ма.ч;:й из ряд новых задач, подобных задаче, рассмотренной Н.И.Ионшшм, в которс-й краевыо условия являются регулярными, ко на усиленно регу-ллр^и. Их отличительной ососевпость» являлось наличие в системе корне ¡;.их функций оэсконэчшго числа так называемых присоединенных функ-- от. плачем, иопритр, свойство.базисности дгишой системы существенно кавнеит от способа выоора прасоодапешзп. функций. Отмэтам, что до этого рассматривались , в основном, либо евмосоггряюю&е операторы с сис-тс-ма.м сссстгошшг. Функций, лкзо косвмосопряжояше, системы корневых Ф'/жшЯ которых содержа."! це Солзв чем конечное число присоединенных

Слодуя мсдаоЗ аээбходимэсти включать в. рассмотрение это? .новый юмсе «яда?, И.А.йлыы разработал яовыа ориган&льша' шпак изучения .»й^-.рлкжтпа сяураторов произвольного ворадез.' Цэктралшт Швзв-

тем данного метода является обеСдегаюя трактегкз та^етЕ'епнах и присоединенных функций оператора, которая позволяет одновременно рассматривать eco таш краевых условий ( локалыьга, нолокальгае, записляиз произвольным образом от спектрального парак-гтра я т.п.), а такжз сяс-тэин, на связашыо с какими либо хрзевкмй услскмми. как, например с случав система экспонент. При этом доказательство таергм прогояотся с пемсгцъв разлитых формул среднего зкзчэкпя для керкзиых йудаг^й феронщмлыюго оператора. Рэгвктзв данного метод;) посвящен Золыаой цикл ра^ат В.А.Ильина, а также его укнакоз ( га., кплрикер работа Н.Б.Керкмэва, Л.В.КрмассЕа, В.Д.Еуд-лева, Т.А.СдаглексЯ и других).

Остановился коротко на двух рзеютах Б. А. Клима'". В перкоЯ из них* В.А.Ильззшм установлена конструктивные яеоЗход:ме и достаточные условия Оаоисности в Ьа и равномерной равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье спектралышх разложении для ооигсковежого диМярен-циального оператора порядка п :

bu * u<n'+p< (х) .. .+pr,t (x) ni *+pn (x) ni . (1)

который рассматривается на произвольном конечном кктэрзало о д»яотпи-телькой прямой. От коэффициентов рк(х) оператора о) тре^уотся, чтоСи окя принадлежали классам Cír"kfl'(G) (У.-ТГп) соответственно.

4 Ильин В.А. Необхсдашв и достзто'шпо услогля бпзисноста равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных раздегзния. - ilftí-фарецц. ураааэпия, 1У30, т.1б, .«5, с.тп-794, м, с.930-100).

* Ильин В.А. Покомпонентная равносходимость о трлгокометричесют рядом рззложгий íio корнеЕим Еехтор-^удлциям оператора йрядлтгорэ мзтрачвкм нозрмктсвым потенциалом, воз эдемгпта которого , только сум

MircyüMiJ. - Дп^К'реНЦ. УТЛП'КиЯ'.Я, 1! , 7.2 ', ,'¿1 í ( С.' J-Í 67V.

В пссдедгсгдх раоотаг В.А.Ильиным било подучено обобщение этих результатов на случая 1р(С), где р>( в теореме о Оаг:г поста систем корневых функций и р>1 в теореме о равномерной равносходимости с тригонометрическая рядом Фурье спектральных разложений.

Заметим, что указанные теоремы действуют и б случае, когда непре-мз'смы другие метода изучения Овзисности и равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье ( например, метода, описание в монографиях Я.Д.Таыаркиш й М.А.Наймарка, а также метода спектральных операторов, излагаемые в монографиях К.Данфордз и Дк.Т.Шварца). В отличии от работ Б.А.Стеклова и Я.Д.Тамаркина, изучявиих слабую равносходимость, в рассматриваемых работах В.Л. Ильина мы имеем дело с равносходаг-.-тью в сильном смысле.

Доказательство этих теорем основано ка использовании формулы среднего значения Е.И.Моисеева. Кроме того, доказаны (см. работу, указанную в сноске 1 сгр.5) вяжные оценки ентиапркоркого типа, в которых -норма присоединенной функции порядна к-1 оценивается через 1г(К')-норму присоединенной функции .порядка к, где К и к* - произвольные компакты основного интервала С, порвай из которых содержится строго внутри второго. Оценки указанного типа были впервые получены В.Л.Ильиным и представляют собой новый этап в изучении свойств корковых функций давдеренциалышх операторов произвольного порядка, так как до этого оцешш собствегааи и присоединенных функций диф5еренциалышх 'шериторов были получены только для конкретных краевых задач, в которых общее число присоединенных функций не Оолео чем конечно. В указанных же роботах постановкой задачи допускается бесконечное число присоединенных функций. . .' .

Е сеж;: с получением различных оценок собственных и присоединенных Фужцнй даф^роициаиыоа операторов хотелось Он отметить несколько ра-

бот. Для операторов второго порядка это работы В.А.Ильина и И.но , Н.Лаяетича, И.С.Ломова, В.В.Тихомирова. Оце.лет корневых функция опара-торов высшего порядка.изучались в работах И.С.Ломова, В.Коморникз, В.Д.Будаева.

В 1991 г. Б.А.Ильин обращается к вопросу о равносходимости для вектор-функций (см. работу, указанную в сноске 2 на стр.5), то есть для случая, когда ?.и имеем систему обыкновенных линейных д:ф1ерен-циаяьких уравнений. В этой работе для оператора ¡Ередуерз с матричная потенциалом, все элемента которого пр:нш."ле.ч;ат классу 1,(0,1) установлены конструктивные необходимые и достаточные условия, при вгаодкекия которых кмэе? место равномерная равносходимость о тригонометрическим рядом Фурье спектральных разложений.

Цель работы. Дальнейшее развитие метода В.А.Ильина исследования дедорэнцпзлышх операторов с помогаю оСоСцэнной трактовки корневых функций и использования формул среднего значения, обобщение полученных им результатов в области, равноходпхюсти сгектральных раз "юх?н::Я с тригонометрическим рядом Фурье на случай линейных матричных д;-Дф.>рен-циальных операторов, собственным значением которых является диагональная матрица.

Научная новизна. Показано, что теоремы о равносходимости, доказанные В.Л.Ильиным, с небольшая! изменениями переносятся "" случай матричных дифференциальных операторов с дизгонзлькоматрячным собственным значением. Специфика данного случая отражается линь ш ограничениях, налагаемых на последовательность собственных значешЛ : добавляются требование ограниченности числа обусловленноста I! условие монотонности. Выпксзгл формулы среднего значения для корневых Еектор-*уш-:«:;й рассматриваемых операторов и доказана некоторые оценки, а том числе оценки "антааприорного" типа. Рассмотр'~.:ш ■ 'которые примеры, а таг-и?

контрпример, показываний существенность условия монотонности.

Все доказанные в работе результаты являются новыми.

Приложения. Полученные в диссертации результата мсгут найти приме-некие в спектральной теории диффзроншишшх операторов, при изучении некоторых задач квантовой механики и задач о распространении волн в анизотропных пространствах.

Апробация работы. Результата диссертации доклздыьались на.семинаре кафедры содей математики факультете Ш МГУ под руководством профессора Е.И.Моисеева и доцента В.В.Тихомирова.

Публикации, Основные результаты данной работы опубликованы в статьях и-41.

Структура диссертация. Диссертация изложена на 129 страницах ; состоит из введения, двух глав и списка литературы. СВписок литературы содержит 62 наименования.

'СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается краткий обзор результатов, относящихся к тг-ме диссертации, формулируются определения и основные утверждения, доказанные в данной работе.

Глава1 состоит из пяти параграфов и в ней рассматриваются матричные операторы произвольного порядка. В ¿1.1 описывается постановка вадачи, вводятся основные понятия и формулируется Основная теорема1, которая шшются главным результатом Глзеы1. Сразу хо отметим, что понятие равносходимости вводится несколько иначе, чем у В.А.Ильина (см. ракету , указаздуя в сноске 2 ка стр. 5), так, что данное з этой работе определение является частным случаем наиего определения в ситуации,

а

когда коэффициент перед n-1-й производной тоадественао равен нули.

Рассмотрим обыкновенный линейный дифференциальный оператор порядка п. действующий на вектор-функции фк(х) :

Хф - ф,т+р,(х)ф,п-'Ч...+рг.,(х)ф'+рп(х)ф . (2)

коаМициенти которого рк(х) «ашпотся матрицами размера m«m а в^е элементы которых pkij(i) (l,J=T7m) принадлежат классу c'"*k*u на некотором интервале G.

Так ке, как и у В.А.Ильина, вводится пространство l£(G) ос скалярным произведением

<i,g> = f J f (x)»g^xTdx J I a 1 »

G

( I(x) = (x'^D.r^x).....'„(')). g(x) = ig.W.g^x).....g„(x)> ),

которое всегда определено для дзух вектор-функций Г(зг) и g(x), одна из которых принадлежи1 L™(G), а вторая - L™(G) ( f<p<+«, q=p/(p-)) я при р=1) и нормой :

|i(r,0.= { f S irt(2)|pdx Г» 1<p<« ,

р 4 ' J I » i

G

< |ill™(or 3UR ^ 2 lfi(*>l

■T»4 ' »eü l»»

С цилыо охватить случай произвольных крзввих условия и системы, подобные экспонентам и не удовлетворяющие никаким краевым условиям, корневые функции оператора <2) будем трактовать.в обобщенном смысле, как это понимается в работах В.А.Ильина. В качестве собственного гнз-чешя оператора (2) мы будем рассматривать диагональную матрицу л с кокплекснозначными элементами А^ (1=Т7й) и поставим ей в соответствие диагональную матрицу М о комгьлекснооначгалч" элементами ^ (l-TTit) по следующему правилу :

^ =

, если П-Ч9ТН0 С {-1)*л.г I*-"1 , если П-НЭЧеТНО и 1г

[1*Х11"П , если п-нечетно и 1:г, Л^О

где всюду [тов^!^"-^"*^" при -тс/2 < ф < Зя/2. Сзктически, ^ есть тот корень степени п из комплексного числа который лежит в углу, ссдеряа^ем полозэтельную вещественную полуось.

Будс. рассматривать систему вектор-функций Сф" (х)) с комплексно-злачными компонентами Сф*(х),;...ф'(х)>, удовлетворяющую трем условиям А :

1) При некотором фиксированном р>1 система (фк(х)) замкну и минимальна в 1Г(С);

2) Каурая компонента ф*(х) вектор-функции ф"(х) внутри й принадлежит классу С™, причем каждая фк(х) для некоторой диагональной матрицы Лк внутри С является регулярным рс-кением векторного уравнения :

Х^+Л^" = \*<|>к ,

в которой число \ равно либо 0( в этом случае фк(х) называем собственной функцией оператора (2)), либо 1( в атом случае дополнительно требуем, чтобы и называем ф" присоединенной функцией оператора

(2)). (^0.

3) Последовательность диагональных матриц (Ык), соответствующих последовательности собственных значений {Лк), удовлетворяет следующим трем неравенствах и условии монотонности :

а) (Кя С1

( для всех номеров к и для всех 1-ТТт) ;

б) £ 1 « С,

( ¡¿я всех вещественных и для Есех 1=Т7й) ;

в) Если vk - число обусловленности матрицы Мк то :

vk<C,

( для всех номеров к. Под числом обусловленности матрицы М^ понимает-шах

ся: v » —-г- ) ;

" min

г) Условие монотонности : элементы последовательности (Н^) мохпо занумеровать в таком порядке, что для.любого 1-Т75 последовательность <|ц*|) Судет являться монотонно неубывающей по крайней мерз начинал с некоторого номера.

Первое из условий А гарантирует сущвствовакга и единственность системы вектор-функций {фк(х)}, биортогонально сопряженной к системе (фк(х)), т.е. такой системы {фк(х)>, каждый элемент которой принадлежит пространству IT(G) при q=p/(p-1) ( q=a> при р=1 ) и которая связана с системой <фк(х)) условием биортогональности :

при к=1 №

. « М при к= L О ьг:; Y.i>

Для любой Г(х)«1Г(а) при том же самом фиксированном р>1, что и в условиях А, составим векторную частичную сумму порядка г Сиортогональ-ного разложения по системе векторгфункций {<^(г)} :

с^(х.1) = 2 <?,фк>*Фк(х> (3)

Наряду с биортогональнш 4 .зложониим (3) для произвольного 1

(1-ТТш) рассмотрим модифицированную частичную сумму ряда Фурье 1-й

компоненты ^(х) той же самой функции 1(х)в1£(0) :

т, 1 г а1я(г(х-у)) в^х.Г) = 4-.] -^-Ч(у)а

'О

порядка т = Из полученных скалярных функций б|М(х,Я (1=Г7га)

составим вектор-функцию SK(i,í), у которой 1-й компонентой является i 1 функция sj^l (x,í).

Определение. Будем говорить, что разложение &(х,1) произвольной

вектор-функции í(r)«L™(G) в биортогональный ряд по системе (фк(х)>

равносходится равномерно на любом компакте интервала 0 с разложением

век р-функции í(x) в тригонометрический ряд вурье, если для любой

вектор-функции 1(х) из данного пространств' равномерно относительно х

на любом компакте К основного интервала G :

X X

lim | Vd.n-expt- 4~*f P,(£)d£)»S„<z,ezp(-4-.r pt(£)d£>» t-*oo j t J

а а

*f(x)) 1-0

В атом соотношении а-произвольная фиксированная точка основного X'

интервала G, ехр(-^-«| рt({)d{) матричная экспонента от матрицы а

х

р,(х), а ехр(——«J pt(£)<U) - обратная к ней матрица, а

Оск.- ;ная теорема!. Цусть все элементы коэффициентов рк (х) оператора L, ^дставлящих собой комплекснозначные матрицы размера m«m, принадлежат классам C""k""(G) к (фЧ .) - произвольная система вектор-функций, удовлетворящая при некотором фиксированном р>1 трем условиям А. Тогда для того, чтобы разложения любой вектор-функции 1(х) из класса l£(G) в биортогональный ряд по системе (фк(х)} и в тригонометрический ряд Фурье равносходались равномерно на любом компакте интервала G, необходимо и достаточно, чтобы для любого компакта К0 интервала G существовала постоянная С(К0), обеспечивающая справедливость для всех номеров к неравенства :

р ° ч

в котором q=p/(p-1) при р=1).

§1.2 целиком посвящен выводу формулы среднего значения для корневых вектор-функций рассматриваемого дифференциального оператора произвольного порядка и которая является аналогом для нашего случая известной формулы среднего ¡значения Е.М.Моисеева . Эта формула послужит нам основой для вывода всех дальнейших результатов.

В §1.3 - 1.4 получены оценки для корневых вектор-функций линейного матричного дифференциального оператора произвольного порядка с дааго-нальноматричным собственным значением, которые являются обобщением об-суадаьшихся выше оценок антквтулсрксго типа В.Л.Ильина.

Доказательству Основной теоремы1 посвящен §1.5 - последний параграф данной глвен.

Вторая глава состоит из четырех параграфов и является обсувдением некоторых аспектов результатов, полученных в Главе1.

В предыдущей главе был рас< зтрен вопрос о равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье спектральных разлок пй по системам корневых вектор-функций линейных матричных дифференциальных операторов произвольного порядка, собственным значением которых является диагональная матрица. При этом от всех'элементов коэффициентов рк (х) дифференциального оператора, представляющих собой матрицы размера т»и, требовалась принадлежность классу С'"~к"'(0). Возникает вопрос : являются ли столь высокие требования гладкости необходимыми или связаны линь с методом доказательства? Кроме того, неясно, не является ли условие монотонности излишним и нельзя ли от него отказаться. Ответам на эти вопросы и посвящена Главаг.

В §2.1 вводятся оснииаге понятия и формулируется Основная теорз-

13

ма2.

Пусть символа L™ (0.1) и | ij/"(0 1) и"610'1' тот Х9 с™сл. что и в Главе1.

С целью охватить случай произвольных краевых условий и системы, подобные экспонентам и не удовлетворяющие никаким краевым условиям, будем изучать разложения функций из пространства (0,1) в биортого-налы: t ряд по произвольной системе вектор-функций (ф* (х)} с комплэкс-нозначными компонентами (ф*(х) (х),...,фк(г'), удовлетворяющую трем условиям А :

1) При некотором фиксированном рЯ система (фк(х)} замкнута и минимальна в 1^(0,1);

2) Каадая компонента фк(х) векторчЛункщи ф"(г) абсолютно непрерывна вместе со своей первой производной на (0,1), причем каадая вектор-функция ф"(х) для некоторой диагональной матрицы Ak=dlag{^. \к,...Дк> почти всюду на (0,1) удовлетворяет векторному уравнению :

1фк = - (4)

в котором Ь » - + -V(X), число тЭ рзвно либо 0( в этом слу4"'J ф (X) йл

называем собственной функцией оператора L), либо 1( в этом случае дополнительно требуем, чтобы и называем фк присоединенной функцией слег ".торя L), причем а каадая компонента матричного потенциала U(x)=iU4(x)> (1,3=ТТй) принадлежит пространству 1^(0,1);

3) Поставим в соответствие м^, рице ^ диагональную матрацу Мк (Ц.=с11а£{цк,цк>) по следующему правилу :'цк есть тот корень квадратный из \к, для которого Re((.tk)>0. Потребуем, чтобы последовательность диагональных матриц (Ь^) , соответствующих последовательности собственных значений , удовлетворяла следуодим трем неравенствам и условию монотонности :

»

а) |1га Ot

( для всех номеров к и для всех >Т7т) ;

б) 2 1 «С, i<|Re(Hj)|<t*i

( для все/ вещественных tX) и для всех J«T7m) ;

в) Если vk - число обусловленности матрицы то :

v* <

( для всех номеров к. Под числом обусловленности матрицы М^ понимает-иах IHjl

ся: vk - —— ) ; " ato j '

г) Условие монотонности : элементы последовательности (1^) можно занумеровать в таком порядке, что для любого последовательность С|ц*|> будет являться монотонно неубывающей по крайней меро начиная о некоторого номера.

Так хе, как и Глвве1, для произвольной Г(x)«L™(0,1) при том ке самом фиксированном р>1, что и в условиях А, составим векторную частичную сумму порядка п йиортогонального разложения по системе вектор-функций {фк(х)> :

<f(x,t) ' g <г,фк>*фк(х) . k-i

и сравним 3-ю ее компоненту с модифицированной частичной суммой тригонометрического ряда Фурье i-й компоненты Г,(х) той хэ самой функции f(x)eb™(0) :

1

sln(t(x-y))

- 4-»J -г=у-»Г/УХ2У

порядка . т *

Определение. Будем говорить, что каадая 3-я компонента сГ(х,Г равносходится равномерно на любом компакте интервала (0,1) с разложе ниеы соответствующей ^-й компонента Г^х) вектор-фужции Г(х> в триго

неметрический ряд Фурье, если для любого ¿=1,2.....т и для любой функ-

щш 1(1) из данного пространства равномерно относительно х на любом

компакте К интервала (0,1) справедливо соотношение :

11т | о"(х,Г)-3|..", (х,Г)| ■■= О . • '

п-«з ' 'п1

Основная теорема2. Если потенциал и(г) оператора Шрелинтера ь в (4) представляет собой произвольную, вообще говоря неэрмитову матрицу размера т»ш с комплекснозпачными элементами из &((0,1) и если {^(х)) - произвольная система вектор-функций, удовлетворяющая при некотором фиксированном рзи тром условиям А,то для того, чтобы какдэя 3-я компонента разложения любой вектор-функщш Х(х) из пространства Ь™(0,1) в биортогональный ряд по системе {фк(х)> равносходилась равномерно на любом компакте интервала (0,1) с разложением в тригонометрический ряд Фурье соответствующей 3-й компоненты Г (х) вектор-функции 1(х) необходимо и достаточно, чтобы для любого компакта К0 интервала (0,1) существовала постоянная 0(Ко), обеспзчиващая справедливость дяя Есех номеров ¡с неравенства : . .

в котором ч-р/(р-1) при р=1).

§2.2 посвящен выводу некоторых вспомогательных оценок к формулы среднего значения для корневых Бектор-функций оператора Шродингера о • мэгрггаш потенциалом в случае, когда собственным значением является диагональная матрица.

Е 52.3 проводится сеэдошм при помощи полученных оценок доказательства Основной теореш2 к доказательству Теоремы! работа, указанной в сноске 2 на стршгицо 5,

В последнем параграф Глзвнг - §2.4 мы строим тривиальный пример, п;ка?.нр.ани1й, '-по множество описанных нами систем, для которк: имеет ¡/-•-то рмяк^одакость с трмгоноизтрэтеским рядом Фурье, не являзтсл

пустым и потом с помощь» небольшого изменения данного примера показываем существенность требования монотонности. Отметим, что построенный пример можно в некотором смысле рассматривать как аналог тригонометрической системы для случая ш-компонентных векгор-фунхгвй.

Таким образом, в Глвво2 на примере оператора Щрэдакгера с матричным потенциалом мы показываем, что для оператора фиксированного порядка более простого вида (например, у которого ко&йзвдант при п-1-й производной.тождественно равен нулю) требования гладкости можно су-цественно понизить, за счет использования более удобных формул среднего' значения. Кроме этого, ма даем положительный ответ на вопрос о невозможности отбрасывания требования монотонности.

Автор хотел бы выразить глубокуп благодарность своему научному руководителю, академику РАН, профессору В.А.Ильину за постановку задач, руководство работой и цепные замечания.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИИ ПО ТШЕ ДИССЕРТАЦИИ.

t. Дядечко A.B. Покомпонентная равносходимость с тригонометрическим рядом разложений го корневым вектор-функциям оператора Шредонгера с матричным потенциалом и диагональноматричным собственным значением. - 'ифференц. уравнения, 1994, т.ЗО, *12, C.2043-20S0.

2. Дядечко A.B. Асимптотическая формула среднего значения дм корневых функций матричного дифференциального оператора с диагональноматричным собственным значением. - Диффэренц. уравнения, 1

3. Дядечко A.B. Некоторые оценки для корневых функций матратаото даф-ференциального оператора о диагональнома-гричнын собственным значением. - Дифференц. уравнения, 199^} ; Т. ~32j fi/A-

К. Дядечко A.B. К вопросу о* равносходимости для матричных дифференциальных операторов с диагональноматричным собственным значением. -Дифференц. уравнения, i9s£ l TZZ,j/2, OJ99-20S

ёеН А -СУ «ri*. . ^f,

JT/'ii'U S

18