Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений с максимумами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

3 i H 9 8

шггягзаг мгдемлтияй сибирского отделения /и асср

■ ЩЩ'йДОВ АЖЭДБЕП Р»ЛЛЗЛН ОГ.Ш КА'~С2ВЕННЛЯ: TSOPKS ОШКЕСВКСШ ЖМ-ГЕРИВД^'-ЖЖ

уравнения с mâkc'iîii-:.i.vi:î

01.01.02 - Д;£ффзронцкальшэ уравнения

Автореферат диссертации на сопскагкш учзноД степени доктора пизкко - к^гематичэсккх наук

HÜ п^эцах росписи

УДК 617.ОТ

Новосибирск - IS9Z

Работа выполнена в Шемсяинской ас -рофизической обсерватории им.Н.Туск АН АэерС 2СР и кафедре "Еысшая математика" Московского аитокобильно-дорсжного института.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор РЯБОВ.Ю.А

Официалы-аге оппоненты:

чл-корр.АН СССР ¿ШМУЕБМ.И. (директор Ш АН Киргизской ССР), ккаавмик АН Аэерб„ССР ГАСЬИОВ М.Г. (ректор ЕГУ им.М.Раоудзаде), доктор филико-катем&тических наук, проф. ЕРА ГО Б В.Н. (I проректор МГУ

Ведущая организация: Киевский Государственна Университет иж Т. Г.Шевченко.

Защита сост что. "_" _1992г. в "_" часов на

эасйданяи специализированного совета при Института

математик» СО АН СССР по адресу: 630С90, Ковосибкрск-ЗО, Академгородок, Университетский проспект,4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке института.

Автореферат разослан "_"_ 19Э'2г.

Ученый секретарь специализированного совета, д.ф-м.и.

ЬЕЛОНОСОВ В.С.

ßHSJiMOTtKA -3-

r—:--

т.-/я

; "7-м ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РГ TJ

Акт,"ольность Te.NiH и ц-эль ра Больной инте^эс и пристальное шкмяпио исследователей к диф^ервдшльшм уравнениям в первую очередь объясняемся теми неисчерпг. ',ет возми.постями их прилокзннй d механике.цизпкв, 0яохог»ш,м>эдич1ш0,!)|{оногати, астрофизике, .цинакнее управляемых летательных аппаратов,нолинейной тоорш! колебспгсй, математических м' т.елой экологии, и п других областях езгествознания. Однако, именно потребности прилеганий привели к необходимости рассматривать и исследовать но только "классические" типи днф-Зерзнщ лькнх уравнений, но и принципиально HOf.ua, поскольку о тих '"классических" типов оказывалось ясно недостаточно для адекватного описания актуальных приклпдиих проблем. Таким образом, возникли и развивались теории гатогро-даффоренцийлгш« урашюшй!, даФ^ровдкпльшх уравнений о отюшящчмея аргу "»а-том, функциснально-ди^Тйрзтглальтшх уравпотай, доМеренциалыпхх урагпэий з функциональных пространствах и др.

В послэдгаз год! наблюдается бургслй рост исследовательского интереса к систг -ам с последействием. Это объясняется как наличием трудних п иктроелнх теоретических проблем, так и большой воЕмолюстьа прилогений этих си тем разнообразных областях науки и Т9хни..л.

ЕольгоЛ интерес рызцвает новая область приложения таких уравнений, разрабатываемая в i олэднее врзмя научнш коллективом под руководством акаде:,стз Г.И.Марчука - математическое моделирование процессов геслунологии. Модели Г.И.Мзрчука (см. например: Т. "арчук Г.И. Математическое коделз в кг.иунолопп:. М.: Паука, ISCO. - >-.54 е.. 2 - о изд. пэрэдат. и доп. !.!.,: Неука, 1985. - 23S ! ) представляют собой система функционально -ДИ'РЙерошпшльпых уравнений запаздывающего типа.

Систематические исследования даЗфорэкциалышх уревненнй с последействием Снля начаты з 1S49 г. Л.Д.Г^ышкисс.ч. В далинзКгэм эти исследования били направлены кек г.а болоо углубленное изучение уравнений определенных классов и новых постановок задач для & тих уравноштй, так и анализ новых типов уравнений (А.Д.Мклшс, Н.В.Лзбелев, Н.Н.КрасозскиЯ, Л.Э.Зльсгол'^л, Ю.Л.Рябов, Р.Еедя-мйн, Ii.Кук, Р.Доайзор и др.). '

Среди диффо! лциальнш: уравнений с отклоняющимся аргументом наиболее трудно поддаются исследованию такие уравнения, в которых отклонение (а в частности, запаздывание) аргумента зависит не только от времени, ни и от самой неизвестной Функции. Эта урлвкоия, содержащие выражения вида x(t-U[t,x(t)]) принято называть дчффэрон*, .альшми уравнениями с авторогу лиру екал запаздыванием ргумекта (К.Н.Красовский, Р.Драйвер).

, Особый класс функционально - дифференциальных урзБшзшй составл )т. уравнения, правая часть которых, наряду с "обычш-И1" аргументами t,x(t) зависит от верхней гран;;]¡и неизвестной функции r(t) на [t-h(t),t]. Эти уравнения, содэрязздав выражения над a m а х -а'л) принято называть дифференциальны:.:;!

Tc[t-h(t),tJ

уравнениям; о максимуме™ [2,11,16]. Твкнэ уравкопия (з секторной форчо) шюют евд

y(t)-f(t,y(t),n а X у(1),п a s y(*t)p — ), (1) -CeU-h^tbt] Xelt-1^ (t),t]

где hj(t),j=i,2,3,-..- полоаитолышо функции (или постояшшо), f(t,u,v,w,...) - некоторая нелинейная вектор-функция своих аргументов .

Дн'Кирошжэдыжя уравнения с максимумами является подходящей матоматич .кой моделью ряда задач автоматического регулирования, и гто определяет их значимость с точки арония практических прилокений и актуальность их анализа. Отсэда следует один из аспектов актуальности диссертации.

Дйфоронциалышэ уравнения с максимумами отличаются по своим особенностям от уравнений с простым запаздаваниоы. Результаты, полученные с помощью та&хэренциальшх уравнений с запаздыванием, нельзя автоматически переносить ни случаи дифференциальных уравнений с максимумами.

Множество решений линейных уравнений с максимумами не обладают линейностью (сумма ре.эний не является, вообще говоря, решением таких уравнений). Процесс, описываемый линейным неоднородном уравнением, нельзя разделить на пароходный (соотвот-сгву^-^й решению без правой части) и стационарный (соотеотст-вущиЯ ччетноыу решению полно, ь ураг'эния).

Отдчльного исследования требует так,4"' бонрос об устойчивости и ой экспояациашюй устойчивость родений да$$вроэдиаль-кнх ура&.^нчй с жеамумаки.

Как часто теоретический гаторос., как 71 практическая гврс-гекгиньооть ирмяояшгай длффорэвдаяырлх уразноияй л м,. .симум&ми делаат ¡и чодробяоо и всестородеоо илуч«пге пегома папаш.

Тпхж обрззом, дК'К/ороицяал>:-ша ураодиш с м&кешумшля представляет собой спешкэлышП ноша класс урекнонкй, для которого нек 'ходжа своя теория. КМ6НШ СОЗДДНПЫ атой теории и но-сяящзнп с,мнная диссертация.

В дассэртодии прадаскека качосгзошяя тоорхя д»Я«Р ягеаль-1шх уравкенмЯ с максимумами (ггозбильноо сказать беодогглэ таг.ук теорию):

1. Теоромн о суластяоваяим, чдкнствонности и ьепрорггапостл решений (о положкт'эльной разрэпаюети рапенлй начальной з^нптл, нопрерамюа зянасимоети рвшняя от изжцокйя начальной фу.нтещм к от функционального паракптра};

2. тоорами о существовании, единственно« к н коаструктг.г>-нко алгоритма построения иор/.одическил к почти - порло,т;кчзс:сл/с р-эдэниЯ .(с калым гхчрбматром л с.гигуллрних £озмуз»шЯ по малому Параметру);

г. крит" "»та некоторых классов об экспоненциальной устойчивости р.-зв1-знкй.

СЕДАЯ Г/ЕТОДЖА И"СД-;Д0ВАТП-1Я. Содержание диссертации ш» с дитсл на сайке таких разделов г-мтематтш как функционально -дИ'№зрйЮйял;лтх уравнений, л'^фэрвгптальназ урзвк&нкк с от-умгги^лдаея аргументом, диЗ^эрешл.ллыио урзр&лшя с загтаг.ди-иакжм аргумон. ~м, теории автоматического регулирования и управления, ь г''акзка теории управляемых летательных еппзр гон теории динамики ракот.

Лля доказательства тоореш о суцеотао;;ан;:и, еданствегглоста и пвлр&р-лвкосги рез&нкй дафферентиэльках уразцеый с м;. ^имума-мл лепо.ньооваяы гюследоватальгао приближания типа Пжзрз, } тод оценок с помощью нвкзрирукэдх функциональных уравнений Ляпунова; вспсмогателькка функциональные неравенства, метод иагов, ус ловил Каратеодош, црщщхп неподвижной точки Каччиопс-ли - Банаха.

Для доказательства теоремы о суцествоваши и единственности периодических почти - периодических решений дифференциальных уравнений с максимумами и с малым параметром, а такта сингулярных возмущений по малому параметру разработаны специальные-аналитические метода конструктивного анализа и алгоритмы, а такке вспомогательные функциональные и дифференциальные неравенства .

Для дог зательств об устойчивости и об зкспонецкальной устойчивости решений дифференциальных уравнений с максимумами разрабо л!ы специальные критории.

ИАУЧККЕ РЕ5УЛЪТЛТ!)1, ВЫНОСШ.Ш НА ЗАЩИТУ, №С НОВИЗНА. В дпссортацил получены сладугсвко результаты:

- доказаны теоремы о существовании, единственности и но -прерышооти решений для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с максимумам»:;

- доказаны теоремы о положительный (нелокальной) разрешимости рс-шенпй начальной задачи для полкнейкых даффоренцаальшх уравнений с максимумами;

- доказаны таорекы о существовании, единственности и непрерывкой зависимости рэиония от изменения начальной функция и от функционального параметра;

- разработаны спецмальшо функциональные и дифференциальные коравенств для доказательств теорем о существовать:,единственности, 1и .рорывности, периодических и почти - перкодичэс- ■ ких даффернциалыак уравнений с максимумами к с малы;«; параметре/;, а такхэ сингулярных возмущений по малому параметру;

- разработаны анализ-эскиз методы конструктивного анализа периодических и почти - периодических решения для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами;

- доказаны теоремы о сущег^всваниг. у единственности периодических и почти - периодических решзнкй для нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами и с шалым парашгром;

- доказаны таоремы о существовании и единственности периодических к почти - периодиче .их рвыений для сингулярных возмущений по малому параметру неавтономных и автономных систем дифференциальных уравне чй о максимумами;

• разработали (получены) критерии нокоторых классов об ус-

тойчизости и об экспоненвдальнсй устойчивости линейных, нелинейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с максимумами.

Развитые в диссертации катода дали возможность рзсить ряд проблем в теории дифференциальных уравнений с макету?,iai :.

Все результаты диссертации являются новыми, строго математически обоснованы, снабкены иллюстративными приморами и выносятся автором на защиту.

HFAIC ■ ЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Полученные в диссертации резуль-"itu имеют существенное значение для развития качес зенной теории функционально - дифференциальных уравнений и их прилс i-нкЯ. Они, во первых, выявляют специфические свойства решения мало изученного до сих пор класса функционально - дифференциальных уравнений, представляющего интерес с точки зрения общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, во - вторых, предложенные аналитические метода конструктивного анализа и алгоритмы поиска пориодических и почти -периодических роп;о1гий дифференциальных уравнений с максимума:»! могут найти практические прилокения в теории колебаний, в динамике ракет' и управляомых летательных аппаратов; в третьих, теория устойчивости и экспоненциальной устойчивости рэвениЯ дкффе-" рэнвдалышх ур"янений с максимумами могут найти практические приложения при анализе процессов в задачах автоматического регулирования .

Диссертационная работа выполнена в отделе "Физики и динамики тел Солнечной системы" Шемахшской астрофизической обсерватории (ШАО) им. Н. Ту си Ali Азербайджанской республики в соот-стаии с планом нгучно - технических работ этого отдела по пятилетними планами и в кафедре высшей математики Московское автомобильно - доригшого института под руководством доктора физико -математических наук, профессора Ю.А.Рябова.

Научные результаты диссертация использованы в Шемая окоЯ астрофизической обсерватории ш.Н.Туси All Азербайджанской per публики, Институте математики и механики /Л Азербайджанской республики, Институте математики АН Киргизской СС? и ШГО КК Главкосмсса СССР при выполнении Госкомитета по науке и технике при Совете министров СССР. "

-в-

AHPQBAIHST ГАВОТЬ'. Основные ; -.зультаты дкосертацдо докладо-вались зг ог/оузд-зш чз н-чучжх конференциях и семнн'фэх:

Т. Сокшар «о теории дафференвдапьшх урашонай кзахщш высшей ыатена?гки Московского автомобильно - до]<оаного ииститу-та (руководитель д-ф.- M.ir., ir фоссср X).А.Рябов) с 1'ЛР, пс 1930 гг.

2. Семинар от; па обыкновенных диф£«ренцизль!кгл уравнений Института мат?'/.агики я механики АН Азерб.ССР (руководитель д.ф.- м.н., пофассор В.И.Доммшак) с 1978 rto IS90 гг.

3. ^".е союзная конференция "Функционально - диф^е^юндкзль-шй уравнения^, Магнитогорский педагогический кне-тлтут, г.'Магнитогорск (руководитель д.ф.- м.н., профессор Й.В.Азбьлев), 7884 г.

'1. Уральская рвгаокулыхзя конкуренция "Функционально -ЛИ'К^ренхжальныб уравнения" (руководитель д.ф.- м.н., профессор И.Б.Лзбелвв^, Пермский политехнический шютитут, г.Пермь, IS35 г. к ISS3 г.

5. Уральская региональная конференция" "Функционально -даффербн^алыгые ураннп-сш" (руководитель д.ф.- м.н., профессор К.В.Ааболез) Уфимский авиационный институт, г.Уфз, IS8S г. и I9SS г.

£. Уральская региональная конференция "Функционально - . дуффероацпалькыо уравнения" (руководитель д.ф.- м.н., профессор К.В.Азбел^в) Челябинский политехнический институт,, г.Челябинск, 1987 г.

■ 7. Сешнар по качоствзнкой теории дифференциальных уравнений и дифференциальной гоометрии (руководитель д.ф.- м.н., профзссор Дслютр Крупка) Университет .л.И.Е.Цуркунэ, г.Брно, ЧССР,1933 г.

8. Мэдународаая конфернция по дифференциальной геометрии н ее приложения, Университет им. к.Е.Пуркуне, г.Брно,ЧССР,1989 г.

9. Общеинститутсхий семинар институ i математики и механики АН Азерб.ССР (руководитель академик Ф.Г.Максудов) г.Баку, 1979 г., 1932 г. и 1990 г.

10. Общеинститутский семинар института математики АН Киргизской ССР (руководители чл.- корр. АН СССР М.И.ИМ&налиэв), Г.Фруя-е, 1939 - 1990 гг.

ПУБДШЦКЯ. По тема диссертации озублтсовяно 15 работ,СиС ллографичосхоо о: ¿саше которых приведено в конце автореферата; 6 из них опубликованных работ выполнено в соавторстве. Кроме того, опубликована книга "Обыкновенные дифференциальные уравнения с максимумам" (г.Баку, "Зла", 1991 г. - 112 е.).

Из работ, выполненных з соавторство, в диссертации включены только результаты, принадлежащие автору.

СТЬ КТУР-А И ОБЪЕМ РАРОТН. Диссертация объемом 25С машшо-писних страниц состоит из введения, трех глап, занумерованных 1,11,1'": и описка литературы, содержащего 59 наименований и занимавшего 7 страниц текста.

СОДЕРГЛШЕ РАБОТЫ.

Зо введении рассматривается математическое описание исследуемого объекта - дифференциальных уравнений с максимумам- реальный ¡а смысл на двух примерах, сформулированных в терминах автоматического регулирования.

Правые части рассматриваемых дифференциальных уравнегатй с максимумами являет'"! функционалами или операторами, не обладающими свойства!,га линейности, дсяо в случае линейных уравнений (как этооимеет место в общем случае пинейных уравнений с отклоняющимися ргументоми, когда отклонение з -.исчт от искомых функций). Вместо с тем эти функционалы имеют специальную структуру, так что возможен з ряде лучазв, а более четкая методикь исследований свойств решений уравнений с максимумами.

Проанализируем характер решен1® дифференциального уравнения с максимумом:

у(-Ь)=ау(1;)-1-Ь т а ху(т:), -оэсК-юо, (2)

гдз а,ъ - постоянные. Исследуем монотонно возрастание и монотонно убывающие решения уравнения (2).

I. Если решение у(-Ь) монотонно возрастание, то вдиль него шаг у(1)=уи) уравнение (2) икмет вид

(3>

Так как это решение удовлетворяет обыкновенному дафэрэн-циальнсму уравнению без отклонения в аргументе, ему удовлетзор яот функции

уГЮ^ехр^Ю, (4}

где \ =(а+ь) п С1- произвольная постоянная.

а) Если Л.4>о , то при С1>0 формула (4) выражает монотонно возрастающее регвькив уравнен?" (2). Таким образом, при Г\4>0 урашекиэ (2) обладает монотонно возрастеищии росешушк ы-да (4) с параметром 0,>о .

б) Если \4>0 л с^со формула (4) не даот рошеюы уразнегио: (2). Таким ^разом, множество рашений уравнения (2) не обладает той же структурой, то множество рэиеннй ой-лкновенкш: линейных диффере-циальшх уравнвшй.

2. Если у(Ъ) - монотонно убывающее решение, то

ш а" х .

■СсИ-ИД]

Тогда получаем

Тают образом, монотонно убыьавдее решение уравнения (2) является одновременно решением обыкновенного дифференциального уравнения о чистим запаздыванием.

Поэтому будем искать монотонно убиБэетее решение этого УрСЕНйКИЛ в шдз

где \ - корень так называемого характеристического уравнения

]. (6)

Так как мы шцем монотонно убыващээ ранение, то нас интересует отпщательные вещестБзшше кс нк уравнены (6).

а) Пусть (а+ь»0,Ъ<0, то а>|Ь] .

Кэтрудно заметить, что уравнение (5) имеет нолоштельный к отрицательней вещественные кор. ; Х^л Д..,соответственно. Следовательно, функция у(+)^егр(>.2г) и все фун"'(ии у(±)=0гохр(Х.г±), Сг>0 - пос-гсянкая представляет монотонно уСыващге решения уравнения (5) к вместе с тем ревекня уравнения (2). Таким образом, ь случае (а!-ъ)>о, ко и^еом два семейства решений:

гг,(-)=С1езз)(\-с), уг(1;)=С2е:ср(Л.21;), \>0, \<0, где С1 >о, с2>о. Сумма этшс ранений, т.е.

У (t) ~Ь\ (I) (t) erp t)+С20хр t)

i'B является вообще решенном, так кзк

m а г [С ехр С , Т)+0 ftxpa М •CiU-h.tl 1 '

/п а х [ С ?хр (Л X) ]+m а ГО (7)

■Cfiffc-h.tl ' * Tcft-h.t] 2

б) Пусть (а+Ь)<0, а<0, ъ>0 (тогда а<|Ь|;. Монотонно убыващее ищем в ьядо

у (t. ) ,л.<'0.

Уравнения (в) ™«от один вещественный 0трицат0..еиы3 корень -\ri. Следовательно, при (а+Ь)<0, а<0, ъ>0 исходное реп. -ние (2) имеет семейство монотонно убивающих pencraft y(t)-=с 0хр(Х. t), о >о. Монотонно возраставших рдщонкй в этом случае нет.

OS-25sIZtlyI-'ii посвлщсна исследованию фундаментальных ср^й-с гз решений лшюйлкх и nojnnieftwix ди'Мйрешщзльшх уравнении с максимумами различных типов, именно: I) существованию, единственности и непрерывности зависимости решение» от начальных функций и от правой части; 2) нелокальной разрешимости начальной задачи нелинейных уравнений; 3) существованию, едашствепноста и непрерывной зависимости реиония от изме-нения начальной функции и от Фушаг">кального параметра.

ИдйЯнэв содержанке результатов этой главы заключало в сло-дучщтх теоремах.

I. Рассматривается линейные системы уравнений вида

(t )-Ах(t HB m а ts. х('С)+Г (t}, ttK = ii-n^.J,

Г»

где а-~л{1), h--s(t) ~ H6iiyt,pb'Sinje no t матрицы, f(t,) - нипрерыв-чч по t вектор - фунчияй при всех t>t ,(p(ti- непреризкая .им кусочно • Horipr.püKif.H) начальная функция на начальном мкохестг

я, .к-о.

о

единственно на любом отрезке полуоси [t0, + с» ).

,Цля доказательства мы исполь.-уем последовательные приближения типа Пикарп * метод оценок с помощью мажорирующих функциональных уравнений Ляпунова.

2. Рассматривается система функционально - дифференциальных уравнений

Г - п

r(t)=?(t,-a),r.\ а х x(l)),x,x„<;R ,

'CeCt-h(t) ,-t] ' (9)

X(t.. 4p(t), te2t = [inf(t-h(t),tQ ], a l>l

где зс(t)r .....■xri(fc)),P(-)=(yi(. ),...,?J- )) со значениями

в Rn,x(t)= шах i-(i),h=h(t) - непрерывная положительная -ÛT:[t~Mt),t]

функция от t,(p(t) - кусочно - непрерывная начальная функция на начальном множестве 2( . Под символом m а х |x(t)| понима-

а Telt-ll»t]

ется вектор (m а х |х (т)|, ,ш а х |х (г)|). .Д] 1 te[t-h,t]

Заметим, что под m а х х.(а), ¿=Т7п мы подразумеваем гло-

Te[t-h,t] 1

бнлыше максимумы этих функций на отрезке [t-h,t], так что, строго говоря, надо писать s u pi W вместо

teît-h.t] *

m а х х. (т). Так как е и р x(t)=x(e), где 6=9(t,h(t)), te[t-h,t] 1 TeEt-h.t]

то e и о есть функционал, определяемый функциями-t<=[t-h, J

x(t)rh(-t).

Справедлива следующая

Теорема Д„ Пусть: I) функция ?(t,x,x^) при t>to и любых х, удовлетворяет условием Карятеодори, -т.е.: а) функция ? (t,х.г) измерима по t в любом конечном промежутке [to,t] при фиксированных

J).при постоянном t>to функция ?(tfx,2T) непрерывна по х,хх; в) сущэетвует неотрицательная -уммируомая на любом конечном от-рззке полуоси ft0,*оо ) скалярная функция u(t) такал, что при t>to я любых фишфовячнь. x.x.j-.z.x^eH11:

-1 7-

EF(t,x,)-F(t ix,x^)il<w(t) (üx-x' (Ю)

2) существует числа <х>о,м>о такие,что при t>t0

t

3? (t ,0,0}Ц<М'л1( t )e2p(af'j0(ß) Js) ; (11 )

t

c»

3) зеиаздавсияв h-h(t) непзерыыгая положительная Функция такая, что h(t)>t при t>to.

Тигд? при t,oi4<+oo

а) еущест^ет и при этом единственное реоенио x(t) ^истому (Э);

б) для-данного реяакия x(t) справедлива оценка

I

В х (t)ü<Сехр(ajiü(п)do), t * -oo , (12)

о

где c>o- некоторая постоягаая.

•Замечание т. Число д. в (II) всегда мокко считать болы двух, так как если (II) удовлетворяет ггпи некотором положительном a=a<.2, то оно также .удовлетворяет при а>2.

Замечание 2. Кормы и •; для рассматриваемых здесь непреркЕ--шх по t вектор - фукция и постоянных векторов определяем обычным образом, т.е. если

I f (t) И -тглх| Гt (t) | , «{aj, i=T7n.

i k

В дальнейшем мы будем использовать также так называемую

разномерную норму для непрерывн1 функций, рассматриваемых

Е некоторой области teQ:

|||f(t)|||=з u J(t)J. <gQ .

Для простаты записи примем далее, что начальный мом°нт to=o и выполни" в (3) замену переменной вводя копу:о неизвестную y(t) вместо x(t) по формулам

Г I

1 y(t)=x(t)e-xp(-afüj(3)ds), t>0,

] Ь CV

y(t)=x(t), teE == '[inf(t-h(t)),0].

t>o

Уравнение для y(t), t>o получи?,«. в виде

y(t)=-iiio(i)y(t.)-«5(y(t) )eyp(-fiju'(s)du), (14)

о *

-м-

гдо CMy't))- функционал, получаю, .гйся в результате подстановки (13) в выражение главой частя (9), т.е.:

0(y(t))=r(t,y(t;erp(a}u5(s)da),tn а (aj(o(s)ös))} (15)

о Tc[t-hft] о

Теорема '?. доказывается на основание принципа неподвижной

точки Каччионоли - "энаха и использованием следумцях неравенети

и a s (йС'О+тС'Г) )<ш а х й(Т)+п а х v(x), (16)

"Ce[t-h,t3 te[t-h,tl te[t-ii,t]

Ilm а з: ü(t)-m a r v(T)!i<Em а x |ü(t)-v(t) j J< TeEt-h/ isft-h.-cj Te[t-h,t]

<|||Ü(T)-V(1)|||, (16*)

m a % й (i)-a а -x (й (t)-v~(i;)+v"(x))<m а z (иДг)-

Tett-h.t] 1 «fe[t-b,tj 4 1 1 lelt-b.t] 1

-v.(T))+m a r v it), (17)

Teft-ii.t]

ni г хй (т)-я a j: v (T)< a a x (ü (t)-v. (T))< 'Ce[t-h,t] le.c-ii.t] 1 -fett-y.t) . 1

<m a s |u (T)-v (x)|. (18)

Te[t-h,t3

дглее, доказывается нелокальная разрешимость задачи (9) при других ограничениях на J?(t.x.x^) требуя лишь непрерывность и наличие некой односторонней оценки.

Тоорзма 3. Пусть: I) F(t,r,xT)- непрерывна по совокупности аргументов г,ххс?.п при t>tQ; 2) для любых z.x^c-R*1, yeR+имеет место

I'(t,x,z,t+y)s<a(t)l!xil2 , t>to, ' (19)

где a(t)~ некоторая локально суммируемая функция.

Тогда суцэствует, по крайней мере, одао решение x(t) сис-темк (9), продслшмое на всю полуось t>t(i

III. Далее, доказываются теоремы существования и единственности для системы уравнений с максимумам, включающий фукк-даснальный параметр, рассматриваются вопросы непрерывной зависимости решения от изменения начальной функции и от функционального параметра. Кромэ того, изучается более сложный случай, когда запаздывание дошчш зльно зависать от искомой функции.

Итак, рассмотри?/, систему

' x(t)=0?(t,x(t),ni a i2|4),u(t)),

te[t-h(t,x(t)),t] (20)

.;(t)=<p(t), tcB,s [i n iit-h(t,x(t))),tj,

'o l>t - о

где x=(x4,... ,5л)£д - вектор состяяния объекта, u=(ut- )c-U-функцкона-ьннй параметр. X,U - ограниченные замкнутые кнохзст-вз з з" и £* соответственно, запаздашаше h--h.(t,r(J v) зависит om t и от самой искомой функции x(t), a cp(t) - непрерывная нрчаль-ная фун"чия на начальном множестве Et . Справедлива следующая

Теорема 4. Пусть: I) функция i'(t,s,za,u) определена и непрерывна по ceoим аргументам на rt=txx*xxu, причем в ^удовлетворяется условия Лиыяица с постоянней L:

J?(t,x,xT,u)-?tt,x,ia,u)l!<L1 (Ex-xt + iix^-x^l ); (21 )

2) запаздваяиэ h(t,x(t)} непрерывно на H2=ixX удовлетворяет неравенству 0£h(t,x(t))<t и условна Липдица с постоянной Ь2:

' •.(t,x)-h(t,x)ll<bJ(äx-xii); - (22)

3) в Rt функция P(t,x,xt,u) ограничена:

11 |F(t,x,^t,u)i (23)

4) начальная ф„лкция cp(t) удоачзтворяет услов. j Л:пщица постоянной 1э:

Зф<га)-<ptti))(<i3С! j-tJ), t^^cE, . !2/r)

' о

Тогда при любом заданном кусо^"о - непрерывном функциональном параметре ucU существующем на некотором отрезке [t0,t*], t"<ttсуществует единственное решение системы (?•">).

Дня докаг тельства теоремы '4 исползованы последовательные приближения к неравенств (IG) - £18).

Далее, рассм-атртазется вопрос; о непрерывности реяеи"* системы (20) по начальной функция.

Пусть имеется на отрезке [t0,t"l два рэсения x(t) к i(t) системы (20) порожденных одним и тем кэ функциональном параметром u(t),Ko соответствующих различным начальным функциям <p(t) и

Определение I. Решение х(1:) назовем непрерывным по начальной функции, если уш всякого е>0 найдется такое Л>о, что

11 <<р<-ь) —ср(-ь> 1 [ |<д, • (25)

о

Следует неравенство

ц|х(1)-5(1)|||<е, (25*)

где г:(г),-2(1;> - да решения системы (20), соответствующее ода-му и тому же функциональному параметру и двум начальным функцн-ям ф(г),ф'^), а стволом ¡¡|-|!1 обозначена тек называемая равномерная чормл векторной функции, равная вир||-|.

Справедлива следующая

Гестзома 5. Пусть: I) функция У^.х.г^.и) и запаздывание Л^.зс^)) в области условия»'. (21) - (23) теоремы 4;

2) начальные функция принадлежать классу Лишдкцевых функции с постоянной Ъъ из условия (24) тэоремы 4.

Тогда решлога х(1;} систол (20) непрерывно по начальной функции ср(1) па о^езке [ +,о, ].

Далеег непрерывность решения по отношению к функциоиальш-му параметру. Для функционального параметра u(t), принадлежащего классу кусочно - непрерывных функций введем следующую равномерную норму

»

\ I |и(г)| ! [ гх (-Ь >!! С1-Ь -

I

о

Определение 2. Будем говорить, что решение системы (20) непрерывно яо отноайнив к функциональному параметру и(-Ь), если для любого е>0 найдется 5>о такое, что из

I

]"Ей(1;)-и^)8<И<5 (26)

и

о

следует неравенство

11 | |<е, (27)

Справедлива слэдрдая >

Теорема 6. Пусть удовлетворяются услония теорем 4,5 и пусть функция ги.г.г^.и) такса Лгагдоцова с постоянной Ь4б области н,, т.е.:

IF (t,r,5n;,il)-?(t.s.x^.ujii"', (аас-хй *|5Ет-г,-|| fSil-uil). Тогда рошеипэ x(t) систem (20), сущэстзуидэе к единственное на отрезка [to,t*] при заданной начальной функции, нопрерив-но по отношении к u(t).

Вторая глава поовядена вопросам о судаствовонш я единственности теории пориодкческлх и почти - периодических ратаний лпнеЯяых и нелинейных даффэронцаальнвх уравнений с максимумами.

I. Fa с см а тркз а з т с я вопрос о существовании и об алгоритма построения периодических ревекай линайних уравнений с максимумами

7(t)+Ay('t)+B о a z 7(T)=S(t), (28)

Tcstt-h.t]

где Л>0, в>0 - псстояншз иатркцк, f(t) - периодаческая непрерывная функция с пэраодом ?ж, h>o - малая постоянная.

Предполагается, что при h-o уравнения (28) не имэет нетривиальных периодических решений. Для удобства пэрэшиэм уравнение (23)

y(t)+(A+B)y(t)=f(t)-B[m a х y(l)-y(t)]. (29)

■Cslt-h.t]

При ь-о имеем

y-0(t)+u+B)y0(t)=i(t). (30)

где матрица (А+в) не имеет критических собственных значений. Пусть yQ(t) - периодической решэвнэ уравнения (ГО) a y(t)= "У„ (t)+x(t), где z(t) удовлэтворяэ-г уравнению

x(t)+<A+B)x(t)«-B[n а г (у (t)^:t(t))-(y (t)+x(t))]. (31) Ts[t-h,t] ■ °

Периодическое рзпогеэ ург-вшишл .31) будем искать с по-ноцьв итерации:

г, (t)+(A+B)x (t)=-B[m а х v (t)3,

П Те [ t~!\, t ] ° u (32)

¿2(t)+(A-fB)^ (t)=-S[ra a z (jr (т)+? (T))-(y (t)+x (t))].

a i (70Cc)+' (i))-(y0(t)-«clc_1(t))l.

Tc[t-h,t]

С помощью неравенства 2аь л

-г"

К ь 41

<1 <1 ■ <33)

|— хк,1(4)-х;{(г))|<{1+(1)|хк., (^-х^^+рЬ вар,— Х^^Ь <11 I сН

я маяормрунцих функциональных уравнений

ч ч

I ' <34)

- I

где ч>0- скальная постоянная, 7=(1+ч), е^р|уо(I) док. ы-вается единственность периодического решения исходного уравнения (28), во всяю. . случав, при тех значениях ь, при которых махоркруишз у. мнения гарантирует сходимость итерации (32). Кроке того, зто ревою» вместе со своей производной удовлетворяет оценка

определяемы« ывкорирупцими уравнениями. Спра' ^длива следующая

Теорема 7. Если последовательность )) сходится к се-

11 "" к

риодическому решению уравнения (31) и при 1^0 уравнение имеет периодкчеокоо рэзкзкие уа (¡-), то во к'-яхом случав при достаточно малых п (при тех значениях п, при которых мг-чорирущиз уравнения гарантируют сходимость) исходное уравнение (28) имеет единственное периодочбекоэ решэниэ. Оно находится с помощью нтврсщсЯ, котороа -'довлетворяют неравенством (33) и соотношением (34) или представило в виде степенного ряда по а. При ь-0 это рэшеьиа обрацаотег. в уо (I).

IX. Рассматривается вопрос о существовании, единственности и об алгоритме построения периодичеюсих решений нелинейных уравнений с максимума»® (в вект.рной форме)

у'Д)=1Ч1;,7(1;}.га а ху'(1)). (35)

где y„-(t)=w а г y( - аншжтатескЕЯ вектор -

х г ■cstt-h.t]

функция сеоих аргументов t, y(t) я yt(t), периодическая по t.

Предполагается, что upa h=0 уразшпие <35) имеет азоллро-е ЯЕсе гг.- периодическое рзшзягэ уо (t). Полагаем

7(t)-y0(t)+z(t). Функция x(t) удовлетворяет уракЕ-ина

Мы имеем следущее скалярное неравенство

п а х y„Cí) -i a а х х(т)-га а i (ул(г)+х(т) )s T<=[t-h,t] ° Tgtt-h,t'] te[t-h,t] °

<а а x x(z)-z(t,), Xeft-h.tJ 1

где tt«[t-h,t]. Отсэда вытекает, что

т а х (у (T)+x(t>)=rm ' iy0Wt!n а x x(T)+q(x), (37) teCt-h.t] tett-a.t] ° Tstt-h,*]

где q(x)- такой функционал от x(t), что

|q(r)|<m а x t'.ctt-h.t]. (30)

Xett-h.-t] 1 1

Учитывая равенство (37), продстшзиа фупнщаэ P(t,yQ(t)+

+x(t),m a r (ya(t)+x(i))) в заде: •feEt-h.t] °

J<t,y0"(t)«(t),a а x (ya(-cHx(<c)>M<t,y0Ct)

a .? У,,Ы>+(Й>„ (n . a xs(i)+q<x>H

4

Te[t-h,t] " «sy yo -fe[t-h,t]

+Q(t,x(t),m а 2 zCc),q(2)),y^(t)=a a z y(r), T»r[t-h,t] 1 te[t-h,t3

xT(t)=a a x х(т), x xett-h,t]

где индекс yQ при проЕэводных означает, что эти производные взятые вдоль рсЕзкия у=y„(t), б 0(t,x(t),m а х x(t),q(x))-

° telt-h.t]

функция имещэя порядок излосга ekces г рвого относительно x(t), Х^П П q(x>.

Тогда уравнокке (36) козою записать в виду

i(t)-A(t)x(t)+E(b)m а х x(x)+®(t;)+B(t}q(x)+ te [ t-h, t ]

•K5(t,*(t),ii a л з(т),q(x)), (39)

-rcft-ïi.t}

гд0.

A(t)-(g)Vo. B(t)=(gt)yc> . ®(t)=?(t.v {t),n a X y0Cî)-P(t,y (t),y (t))

■Ur-tt-h.t)

при заданноЛ функции C'c (t ) является тагага периодической ф1Гчк-цией 1.

йдом периодическое репенне уравнения (39) с помоад»» итера-ьрй удовде гБОря'чщЕс уравнениям:

(i)~(A(t)+B(t ) )îj (t)+®(t),

i, (t >(Л() +В(t ) )х-СX Vt-E(X)[!П a Xï (i)-z,(t)W(t)t

TeíWi.t]

+B(t)q(x )+í>(t,x (t),m a x x (X) ,<l-'x } ). .

x. (t)-U(t)+B(fc))x, (t)+E(t){m , a x x, .CO-x. ,(t)]r

xctl-h.t] ^

+!b(t)+B(f.)qixv.1)^(tJxv..t:t),K a x x. (ij.qfi ,)),

Tc[t-h,t]

Σ—3 » 4 j • ♦ - •

Уравнение для xs(t) является линейным неоднородным с известной 2тс- пернод-леской правой частьп, и имеющее единственное 2и> периодическое решение. удовлетворявшее оцьнке:

'¡х1 (t )¡<Ksup|0(t)¡, (41)

i

где ы - некоторая постоянная.

Поело нэхоздешя z (t), подучим для x,(t) аналогичное уравнение, пмевдаэ оданстечннсе периодическое решение удовль зоряь-щее оценка видг (41) и т.д.

Таким путем ми получим формальное периодическое репенио уравнения (05).

Справедлива следуодея

Теорема 8. Если в уравнении (35) правая честь У^.у.у^) аналитична по своим аргументам и если при ь-о это уравнение у. ?ет изолированное периодическое решонио у„(<;), то во всяком случае при достаточно малнх и (точнее, не нревосходяда некоторой границы ) уравнение (35) имеет единственное периода-ческое рэпекио, находимое с помощью итераций, представимов степенным рядом по Ь к ойрагцгдвеся в у0(1) при а =» 0.

Заметим, что проводимое доказательство и с ■ нчательный результат. за исключением вывода о разложимости решевй в ряда по степеням 11, остаются справедливы: если правая часть уравнекия-(35) является та епшигической, а только даанди дифференцируемой функцией свои* аргументов, так как это достаточно для построения мыгор;гругаи1й фуякц::и, удовлотворищей условия

и(и,У7),

оц.х.х^Сг)) ги(и,«)

<?x(t) 15 du.

0(t,x,2a,q(x)) <3U(u,w)

dx^(t) 1 Ii l gm

0(t,x,r ,q(x)) -i- IS 3U(u,w)

tfq(x) |Tu

где |x(t)|<u, ,xT(t)|<u, |q(s)|<w.

III. Здесь изучается вопрос о связи мэвду асимптотическим свойства}® системы

~ y(t)=?(t,y(t),n а х у(г)),

. -fett-K.t] (42)

y(t)=p(t), t6I\ = It0-h,t0]

о

(ограниченность, асимптотическая устойчивость) существованием периодических и поч-ш _ периодических решений системы (42). Доказываются оледущие

*

Т?срз!/а и. Если система (-12) удовлетворяет услсвытм: т) Функция F(t,y,yT; приодичоскзя по t с периодом г%; 2) системе (42) им>?от огратчопное рваюшо; 0) роиелне асимптотически устойчиво, то система (42) при 2z<b имеет периодическое рожигле пер/ода £г2с, причем 2'njt>h, где к -цъ'лоо число.

?оорома 10. Коли сисч'ема (42) smsv ограниченное решек*»

гйкон, что

I 1 m [yo(i+27i)-yo(l))--0, (43)

Uoo

то система (42; имйет периодическое расениэ период« 2-ix.

Трорьмн II. Если система '/,?.) удовлетворяет условиям 3), 2) теорий. Э и рсшьсморно sew«логически устойчиво, то рэшевде оиот^мы (12) почти - периодическое.

пручгю^ся soirpor; о суцоот^олглки поркодичесюи решен/Л для сжугамн ди?|ОДекцияльн>:х уравнений с мьксп^умики н с м-члц« M8?ii»ii:Tpu«i (в векторной форм*) пила

y(t)---p(l,y(r.>,r, а г у(т),ь).

о

й КЕ-"э;ьт.и..Ян;)х сие¡'tw .ui¿•К'Р:)Я-11!'и!ЬНШ! Ураьк-нйй с максимума/и

7 С МЧДО1М ilbpi-iM^TpOM (в вркгориой фи].'-!-') ЕйД*

:с! t.->-.,t! * ' T(£(t-h,1,)

(45)

I fl0-h,r.J,

ГДИ i'(-) К - )- да,№р*н;5,ру'?:-'« no йрг>и*ктч*» y(t), ya(t) и порилдичиекмя no с царк..»лом е--о, * -о- vh*:»* парам«!-]:«, y(t)- начальная функция нь начальном ¡/Ногте?** R , A(t) и ;,(t,«-

о

fjiiipr.pijB-.4ue пориодичвекш- ултруцч с nop'-i-v: >м

Tjop-Hm та. р«\ч; сист<bf'j у ..¡orJttT*-. ?>.>••*.? -:} ьу,р^пг-.н'-ч ('.П) при ч •=■.,-! рлр.ио-'-'Гнэ .-к".' ier i ус •

л. i ',п тогда су^.-слч у "; ' с чп- д. »:

(45) глее г периодическое решение. Еслп при 2ЮЬ. система (45) имеет периодические рошетае периода ¿%, в при ?.?:<ь. периода га, причем 2хк>Ь, где к- целое число.

Теорема 13. Если система (44) при 5=0 удовлетворяет условии а) из теоремы 12, то тогда существует такое, что ига е<го система (44) кадет периодическое расиние (1 ? с периодом гг.'.

Далее, изучается некоторые вопросы касапдгеся существований периодических решений дифференциальных .равнений о максимумами а с малым параметра.) (в векторной форте) ' -\да

а 2у(Т))+ЦР„ а ху(Т),Ц), (45*)

где ро- малый параметр, Р1( -) и Р2(- )- непрерывные и дифференцируемые по своим аргументам, периодические по -Ьс периодом 2к, причем 21С<11. Пороздакцая система (при ц=0)

' гсИ;-ь,1;] 0

голоет порнодачеексэ решение у0 (г) периода 2?-: и система з вариациях

(«),ш а х уо СГ))У(4)+? (й),

Тг['1-11,1:] X

т а х у (т:))п5 а ху(г). (47)

ТсО-И,-!;] 1е[1.-1г,1;]

Справедливы следу угр-о

Теорема 14. Если система (¿74 ю ялеэ? дру^о. п&ряодзчос-ш решений г риода £тс, кромо тривиального, то суцэелвусу. ^>0 тшеоо, что при ц-сц.^ система (45*) но етшв« периодическое решение у (1, (л.) „ для которого

Нпгад=у-(4). (43)

|.1 *5 о

Теореггз 15. Если периодическое решение уи(х) системы (46) равномерно асиуптотлческл устой'гаво, го при достаточно малом ц система (45*) имеет пераодрлзсгсое ранение такое, что (43).

Далее, изучается некоторые вопросы, связанные с теорией сингулярных возму^ний периодических, репекий периода 2% по Ь, соответственно почти - периодических решений автономных и пе-ав.ономнкх дифференциальных уравнений с мекспмумами и е малым

параметром (в векторной форма} вида

ï(t)=y i;t,x(t),w a iî(ï),y(t),n a ï y(t),|l),

' tett-h.tl TeU-h,t]

(49)

pyitbï'^t.xithyUhn) и

i(t)=P. <s:(t),ni a x ï(-t),y(t),m a x y(t),|i), <Ï€Ît-h,t] Tcit-h.t)

(f>0)

pyÇt^Wtbyft),]!),

где P, ( • ) и 'Pjj ( ■ ) имеют непрерывные частные производные третьего порядка и периодические, соответственно почти - периодические по t периода 2%, ц>о- параметр, п>о- малые постоянное .

При >1=0 по-Т'чаем

x(t)=P, Ct, t),m a xiW,y(t),a а х у(т),0), Te[t-h,tJ telt-h-.t]

O-Fj(t (t),y(t),C>

к

s(t)-î is(i),n' a X x(a),yit'),ift a я у(т),0), tcit-h.t] V;[t-h,tj .

Системы (51), (52) кмзет периодические, соответственно почти ~ периодйчосшзд решении un (t),yci(t)). СгрзЕедгигоы следующие

Тссрема 1С. Если систома (51) имеет периодич :кое периода 2ЧС, соответственно почти - периодические решение (х„(t),y0(t) ) такое, что удовлетворяет неравенство (R(t)rH*(t);/2<-£.т, е>о ( J- единичная Матрица, н* ( t ) - coupтаенная по функции R(t)) и если:

I) ь периодическом случае система

(t)u(t>+0 <t)in a vuiT), (53)

T€;t-h.ti

не имеет других пе^кодиеских рошэниЛ периода 2z, koom-î нулевого;

I) в n'civK - периодическом случае рошанио екг.тзмн (ЬЗ).равномерно асижтотичепки "стойчиво, то (49) кмеет едиястзвянсе ие-

риоддччокое и почти - периодическое решение (х( t ,\х), вида

. [ х(1 ,[л)-ло ((.)4Ци" (I,

Теорема 17. Пусть система (51) нмаот семейство периодических решений (г0(1,а), у0(г,а)) периода г% зависать ст па-, рпметра а. Пусть при значении а=ао имеем (£)

Если система

Г х(I ,р.)-х0(I ,а0 Нци!1' С^ц), {Гу})

то выполняется соотношения 2%

. Гр^[о (^"(и+а (^т я X

{ ъп-ь.ь] (5б)

Третья глава посвящена ¡опросам об устойчивости и об экспоненциальной устойчивости линейного скалярного уравнения систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с ыэксику-мами.

Леша I. Пусть ао>а4>1, 1г>0- постоянные числа. Тогда решение скалярной задачи

хШ=-а т а хх(х), ,

где <p(t)- непрерывная или кусотао - непрерывная на Et функция,

о

монет быть найдэно как предел следующих последовательных приближений

' st(t)=<p(to)exp[-a0(t-t0)]f t>t0, t

(t>=xi (t)+a Гехр[-а (Ç-t„)]ra а x x (t)d£, t>t , (58)

\ tetE-h.ei * x. (t)=<p(t), tel? ; kj=l,2,3.....

Двинэ 2. пусть х(*.)- решение уравнения (57) при такой начальной функции ср(ь) (непрерывной к кусочно - непрерывной), то Ф<и<фио)-ч>о>0. 4>10 (59)

к пусть фд1", к--1,2,3,...- значения х(1) в точках т.е Тогда последовательности (ф„к>} убывающие и

существуют такие »гасла Я.>о и р>0, что

С -Ф0Р- € 3. ..... (60)

Лемма 3. Пусть х(1)~ решение уравнения (57) расмотренное в лекме 2, и ггусть л.- число в оценка

|1пр| 1 а.

—к— ""К" ¡ШехрС-а^)-^ (1-ехр(-а0Ь))]|. (61)

о

Тогда для х(ъ) справедлива, при всех оценка

х(4)<ф0вхр[-Х(4-^' )]. (62)

Лемма 4. 7ля решения хШ уравнения (57) с начальной функцией

Ф(10)-ф0>Л,

(63)

имеет мест" при 1>1;о =^о+2Ь оценка

[^-Л-5-Д-ф0)ехр(-а0Ь)!ехр[-Х(й-^'' )], (64)

о о

где X определяем формулой

Лемма 5. Решение х(Ь) уравнения (57) при начальной функции ф(*0)=ф0<°. (?<1:^<Р0. (66)

о

представкмо формулой

х(1)=ф0ехр[-(а0-а£)(1-г0)]. (67)

Лемма в. Решение ¿.(г) уравнения (57) при качанной функции Ф(1)е.О, , ф(^)=фо<0, t=t0 представимо при '=^+11 формулой

х (1;) =фоехр (-с.0Ь) охр [ - (а0 -а,) (£-1;"') ]. (68)

На основании этих пэсть ле.та формулируются следупщ Теорема 18. Если непрерывная или кусочно- непрерывная

скалярная начальная функция <p( t * задаваемая па отрезке [to-h,to3- является положительной, то решение x(t) уравнения . (57) стремится к нулю при t .»со не медленнее, чем функция, пропорциональная икспоненте exp(-\t), где к определяется формулой (65), о ели ео начальная функция <p(t) отрицательная, то решение x(t) стремится к нулю при t не медленнее, чем функция, пропорциональная экспоненте exp[-(a0-at)t].

Далее, рассматривается систему уравнений (в векторной форма )

y(t)=A y(t)+A (t)ra з х у(т), voRn, (69)

1 TC[t-h.t]

где Ao- постоянная nrn матрица, A((t)>0- непрерывная функция при t>to матртш. Относительно матриц сделаем сгйдушй предположения :

1) постоянная матрица Ао такова, что экспонента ехр(А t) допускает при t>to оценку

I ехр (А01) б <Сэхр (-<xt), (70) 4

где С>0, а>0 (примем с>1);

2) матрица A (t) при t>to непрерывна тексви, что

S А^ Ct)3 <а,, (71)

где а.>0 число таксе, что при некотором и выполняется неравенство

-~С2+(1 - ~G)Ccxp(-cn)<q<1. (72)

Справедлива слздущая

Теорем^. 19. Пусть y(t) регжше систег-и (39) при заданной начальной функции cpit) на начальном множестве Et -- [tQ-h. to],

о

причем эта функция непрерывна ivzi кусочно - нопрерыгнз и !<?(t)»<||cp(t0)l!, t«3t .

а

Тогда при выполнении (70) - (72) ргаэппэ y(t) стрэштся по норме к нулю при t .»со не медленное, чом функция, пропорциональная экспоненте osp(-' t) с некоторым ?.>0.

Далее, исследуется равномерная "чишгготическая устойчи-р^сть решений лилейных периодических систем дифференциальных

-2R-

ураьнеии?. о махсимуыами (В ЕОКТОрГГОЙ форме)

¿(t)--=A;t)x(t)+B(t.)m _ a -s. х('С),

Xcit-h.t] (,1Ъ)

x(t)-«p(t), W; s [lo-h,to!,

о

где A(t) и n(t>- периодические к кусочно - непрерывные матрицу периода at, причем ¿%.>h с гкжщьс мультигслигатороп Фдокз. CiTp ждлтаа следующая

Теср-чма ДО. Для того, чтоби все репокия скота;«: (73) были огракмчени, необходимо и достаточно, что мультипликаторы находились б.круге |a|il, причем мульг/плккнторк, расположенные \z\-i ¡кали простче »лймвнтарныэ делители. Для того, чтобы тривиальное рэзениз системы (73) было неравномерно аоимпто-ччвскн устойчивым необходимо у. достаточно, чтобы мультипликаторы находились з |z|«:i.

Далее, - следуются раькомэрпак асимптотическая устойчивость реаениЯ нелинейных и квыуишей-ых диф^ретпщалъши уравне.ТгГ' (в векторной форме)

x(i)=F(t,x(t),m а хх('С)), t»t0 (74) ■Uilt-h.t]

н

2<;t)=A(t)x(tHB<t',m а х х(1)тР, (t,x(t).tn а хх(ч)).(75)

t«it--h,t) 1с- [ t-Ъ , t ]

Основные положений диссертации опубликованы б еледугеда работах:

1.Магомедов А.Р., Рябов Ю.А, О периодических решениях келпней-иш длфЪерен,дальних уравнений с максимумами // Изз. АН Азерб.ССР, се-, физ.-тэх. и мат. наук,-1975.-Я 2.-С.76-83.

2.Магомедов А.Р. О некоторых вопросах дифференциальных уравнения с максимумами // Изв. АН Азэрб.ССр, слр. физ.-vox, и мат наук,-1977.-Я I.-C.ICM-IC9.

3.Магомедов А.Р., Рябов Ю.А. О периодически," решениях. лтаейных. дифференциальных уравнений максимумам-! // V эт. фи пика, KM А УССР.-1Э75. Был. 23.-C.3-9.

4.Магомедов А.Р. Исследсьаиуо реиениД эр школьны уравнения с ыяксл.>умами // ДАН As-jp6.CC?, -ТЭСО, • К I.-с.71-15