Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений с максимумами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

иютда М^ЕМАТИКК СИЗКРСХСГО ОТДЕЛЕНИЯ Ш GO-¡I>

на прзмех рукописи уда GI7.9I

тттярв ашздееи р^лшн ог.ш КЛЧ2ОТБШЙЯ Т20РИЯ ОШКНСВЕНШХ ДШЗШ1ЦШВДй' урАвнтаа с максшмлмк

01 •01,02 - ДкЗйэрсилдоолыао уравнения

Аьторгфзрзт диссертация пз сокскагое ученой степени доктора физико - математических наук

Ксвоа;Сирс:: - I99Z

Работа выполнена в йкмахинской ас рофизичеехоЯ обсерватории им.Н.Туси .АН Аиерс.JCP к кафедра "Еысшая математика" Московского ав-гомобильно-дорожного института.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор РЯБОВ.В.А

Сфициалыссе оптоненты:

чл-корр.АИ СССР ИМАШ'ИЕВ М.Й. (директор КМ АН Киргизской ССР), академик АН Аэерй „ССР ГАСЫИОЗ М.Г. (ректор ЕГУ им-М. Расулэаде), доктор фйзико-математичесхих наук,проф.ВРАГОВ ß.H.(I проректор КГ

Ведущая организация: Киевский Государствен^ Университет им.Т.Г.Шевченко.

Занята сост тю. ''_" _I99£r. в __" часов на

¿дознании специализированного совета при Институте

математики СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск-90, Академгородок, Университетский проспект,4.

С диссертацией мояко ознакомится в библиотеке института.

Автореферат разослан "___I-9£г

Ученый секретарь специализированного совета,

д.ф-м.и. .СЬ<. ЕЕЛ0НХ0Б B.C.

з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАГ TU Актуальность теьы и цзлъ работ» Большой штс^эс и пристальное внжапис исследователей к даф^ерициалышм уравнениям в порзую очеродь объясняйся теш неисчерпг- и возми.мюстлми их приложений в кохакике.цмзикй, Отологии .мэдичше, пкономики, астрофизика, динагдасо управляемых лзтзталышх аппаратов,нелинейной теории колебаний, математических i.r -далей экологии, и в других областях естествознании. Однако, именно потребности прилеганий привели к необходимости рассматривать и исследовать не только "классические" типы дифферент льннх уравнений, но и принципиально nof.ua, irocKOJbw этих "классических" типов оказывалось явно недостаточно для адекватного описания актуальных прикладшх. проблем. Так™ образом, гозшпели и развивались теории гатегро-даЗДюронциалыпа урав.чокй, дпйгзронцпвлытих уравнений с отклоняющим:;? арг;. эн-том, г1унюу?снально-дпф?яршщ-.:алышх уравнений, дйМеренциалышх уравнений в функциональных пространствах и др.

Б последние год?! наблэд^бтея бурняЯ рост псследовзтельскэ-го интереса к cncv su с поелодействием. Это объясняется как наягчием трудных и гаигрэазк теоретических проблем, тек и больной возможностью приложения о тая с:: тем разнообразных облаемте науки и техник.

Большой пятерос вызывает новая область приложения таких уравнений, разрабатываемая в i злэднее время ьау'шш коллективом под руководством академзяса Г.И.Марчука математическое моделирование процессов иммунологии. Модели Г.И.Карчука (см. например: Т. "арчук Г.И. Математическое коде ли в иммунологии. ?.!.: •Наука, ISGO. - >,о4 е., 2 - э изд. народит, к доп. !.!.,: 1Гпука, T5S5. - 233 f ) представляя? ссбой системы функционально -ддФЙорвшршлькых уравнений запаздкващэго типа.

Систематические исследования дК'$форэнцнплышх зфевявюй с последействием были начата в IS49 г. Л.Д.З&пютссм. В далъпэЕаоы &ги исследования били направлены как ка более углубленное изучение уравнений определенных. классов н hoeux постановок задач для этих урэвнашгй, так и анализ новых типов уравнений (А.ДЛйлжис, Н.В.Лзбелен, Н.Н.Красозский, Л.Э.Эльсгол^',, О.А.Рябов, Р.Балл-ман, К.Кук, Р.Драйвер к др.).

Средк ли®<з1 яциалышх уравнений с отклоняющимся аргументом наиболее трудно поддаются исследованию такаэ уравнения, в которых отклонение (а и частности, запаздывание) аргумента зависит не только от времени, но и от силой неизвестной функции. Эти уравкеия, содержащие выражения ввда х^-Щ^х^.)]) принято називать даффорон... .ельннш уравнениями с авторегуляруеммк запаздыванием ргумента (К.Н.Красовский, Р.Драйвер).

Особнй класс функционально - дай?ерэнциалишя уравнений состав/. )т-уравнения, правая часть кэторпх, наряду с "обачш-аргументами {;,*({,) зависит от шрхнэй грандни неизвестной функции х(1;) на СъС^) ,х]. Эти уравнения, содор^аяща виракэ-ния ввда ш а х к (г) принято называть дий5аронциальш:.5:

уравнениями с ыаксимумг-ш [2,11,16]. Такие уравнения (в повторной фэрчо) ЛМПЬТ ВИД

у^)^Г(1;,уШ,т а х у(г),п а" г у(1),...), (1) хеЕг-ь, (-ь><*>,ьз

гдо 1г. (4),^=1,2,3,полокительшэ функции (ш постожаие), ...) - некоторая нелинейная вектор-функция своих вр-

ГуЫ'ЗНТОЛ.

Дкффэроннизлькые уравнения с максимумами являются подходящей математик жой моделью ряда задач автоматического регулирования, и г-"о определяет их значимость с. точки зрения практических приложений и'актуальность их анализа. Отсада следует один из аспектов актуальности диссертации.

Еиф'торенциальгшо уравнения с максимумша! отличаются по своим особенностям от уравнений с простым запаздыванием. Результаты, полученаш с помощью *жЕфоренциалышх уравнэний с запаздыванием, нельзя автоматически переносить на случаи дифференциальных уравнений с максимумами.

Множество решений лилейных уравнэний с максимумами не обладают линейностью (суши ре.эний не является, вообще говоря, решением таких уравнений). Процесс, описываемый линейным неоднородном уравнением, нельзя разделить на переходный (соответствующий решению боз правой часта) и стационарный (соответствующий частному решению полю.!) ураг'зния).

Отдчльвого исследования требуот так?"4 sorrpoc об устойчивости и об эхссододеаюиоЯ устойчивость рб&еняй даЗДерсшциоль-кых урав^инч? с чксиыумакл.

Как часто тйоре'гкччскиЯ кнтерас, как tí ипглсгглзскпк порс-лектинъопть прияозднпй длС^рон^.алы;1.::'. ypa.?v.e;i:tR с .симумами долакг и» чодробпсю и всестороннее ялучогш© «£1%ма яашзд.

Тягам образом, дкфГяроицяа.ды-ыа урагаоияя с и&ксамую:«'. ¡гро-дотавляо? собой спеи;:лльпи!Т ксшЗ класс ургшгнк;:» для которого h8v '.тадимп своя теория. Kvgheio создании атиЯ тепрли и по-спгдэна тайная дассортгл^тя.

В лт/ссартш;»! првдаеххяа качестзокппя тэоркл до5фер ахяаль-шве уравнен;^ с максимумами (праимльноо сказать рвадон'/в т;>лук теории):

1. Теоромн о суавствова.чии, 'эдднствин.ности и ьеггррпшосту! раионий (о положительной разрешимости решений качанной з^нати, непрерывной зависимости решения от изксао.тя начальной функции к от функционального парзмвтра);

2. таорами о существовании, эдинстшшюсаи и конструктив" Нив алгоритма построения периодических и почти - пориодичэсн.Гл. р-жшчЯ .fe малым параметром и сингулярных ьоклув-иштй ш .'лалс^у ларамотру);

О. крят'тии HOXOTOpiix классов od зкеггог^нциплькей yoTjinm-

бости рзйннкй.

се£ая цетолкка '»;сдд:чОЗАт"тя. Содержание диссертации ш».с дктся т счикв таких разделов кятвматитси как фуш-едкекально -ди.ЭДарстглальшх уравнений, д»'№ч)а:пц;йльшэ уравнения с ог_'~ кдсгюкг&мся аргументом, лпЭДэронЬ'ыалыгао уракмшя с заг7?:г.да-ъиаргумоЬ. ".м, теории автоматического регулирования и управления , а ^¡ска теории управляомкх дата-телышх amiaj. ron к теории дш&мики ракет.

Для доказательства тэореми о суциотпог;акзш, едктзтБенлостх и непрерывности рог&нкй дифферегсдеальких уравпекнй с м: n'úi испольсовани гюследовательгае ирийллзкккя ттга ГСнкзра, ? тод оценок с помощью маи:орнруюк,их функциональных уракнокий Ляпуно-ва^ вспомогательное функциональные неравенства, мэтед шагов, ус ловил Каратеодори, принцип неподвижной точки Каччиопож - Банаха.

Для доказательства теоремы о существовании к единственности пориодичосккх почта - периодических реэоний диффэрокциаль -ш уравнений с максимумами к с малым параметром, а такта сингулярны/: возмущений по .малому параметру разработаны специальные-аналитические метода конструктивного анализа и алгоритмы, а также вспомогательные функциональные и диффореацнальше неравенства.

Для до;' зательств об устойчивости и об экспонецкальной устойчивости решений дифференциальных уравнений с максимумами разрабо лш специальные критерии.

НАУЧНКЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМТЕ НА ЗАЩИТУ. Iff НОВИЗНА. В диссертации получены слэдукягио розультаты:

- доказаны теоремы о существовании, единственности и ко-прерыЕноо'ж решений для линейных и нелинейных дифференциаль-шг уравнений с максимумами;

- доказаны теоремы о кололательгай (нелокальной) разрешимо ста рошенпй начальной задачи для подшейных дифференциальных уравнений с максимумами;

- доказаны теоремы о существовании, единственности и непрерывкой зависимости решения от изменения начальной функции и от функционального параметра;

- разработаны специальные функциональные и дифференциальные неравенств для доказательств теоремы о существовании,едкн-ствекнсстл, а .рорывности, периодических и почти - периодических даффор'нциалъилх уравнений с максимумами и с малым параметром, а также сингулярных возмущений по малому параметру;

- разработаны аналитические методы конструктивного анализа периодических и почти - периодических рвЕвкия для линейных н нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами;

- доказаны теоремы о существовании у единственности периодических и почти - периодических решений для нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами и с лалым параметром;

- доказаны тооремы о существовании и единственности порнодаче скех и почти - периодиче пах решений для сингулярных возмущений по малому параметру неавтономно: и автономных систем дифференциальных уравне чй v, максимумами;

• разработаны (получены) критерии некоторых классов оо ус-

тойчивости и об экспоненциальной устойчивости линейных, нелинейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с максимумами.

Развитые в диссертации методы дали возможность решить ряд проблем в теории дифференциальных уравнений с максимума; :.

Все результаты диссертации являются новыми, строго математически обоснованы, снабжены иллюстративными приморами и выносятся автором на защиту.

ПГА1С ■ ЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Полученные в диссертации резуль-"■iiu имеют существенное значение для развития качэс .зонной теории функционально - дифференциальных уравнений и их прилс i-ний. Cira, во первых, выявляют специфические свойства решений мало изученного до сих пор класса функционально - дифференциальных уравнений, представляющего интерес с точки зрения общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, во - вторых, предложенные аналитические методы конструктивного анализа и алгоритмы поиска периодических и почти -периодических решений дифференциальных уравнений с максимумами могут найти практические прилоаения в теории колебаний, в динамике ракет и управляемых лотателыих аппаратов; в третьих, теория устойчивости и экспоненциальной устойчивости решений дкФ£о-' ренциальных ур-чнений с макстимумами могут найти практическою прилонения при анализе процессов в задачах автоматического регулирования .

Диссертационная работа выполнена в отделе "Физики и динамики тел Солнечной систомы" Шемахинской астрофизической обсерватории (ШАО) им.Н.Туси АН Азербайджанской республики в соот-ctbvüí с планом нгучно - технических работ этого отдела по пятилетними планами и в кафедре высшей математики Мссковско; автомобильно - дор^гшего института под руководством доктора физико -математических наук, профессора П.А.Рябова.

Научные результаты диссертации использованы в ¡Немал ской астрофизической обсерватории км .11. Гуси АН Азербайджанской per публики, Институте математики и механики Ш Азербайджанской республики, Институте математики АН Киргизской СС? и НПО Iffi Главкосмоса СССР при выполнении Госкомитета по науке и технике при Совете министров СССР.

-Н-

АНРОПЛДЯ УА"ОТЬ'■ Оснойше ; -.зультатц диссертации докладе-BOJiiicb и обсузд-энр пз научных конференциях и свювшрэх:

1. Семинар no теории дпОДэрояциапъшх уравнений кафедры выожой ыа-№<га?й'ки Московского автомобильно - доронного института (руководитель д-0.- м.к., it. фоссор Ю.А.Рябов) с ЮТЯ до 1930 гг.

2. Семинар от; на обыкновенных дифференциальных уравнений Института мат^чагкки и м.'хвтеси АЛ Азерй.ССР (руководитель д.ф.- м.н., пофзссор Ю.И.Дйизлак) с 1978 но IS30 гг.

3. г-.е союзная конференция "Фуисцкояаг.ьзо - дифференциальные ур8ьнонияг, Магнитогорский.педагогический институт, г.Магнитогорск (руководитель д.га,- ад.н., профессор й.В.Азбелов), TS84 Г.

'1. Уральская регпонулытая конференция "Функционально -даффереяцкалькне уравнения» (руководитель д.ф.- м.н., профессор ЬГ.В.лкбелев}, Пермский политехнический шститут, г.Пермь, 1935 г. к I=S3 г.

Б. .Уральская региональная конференция" "Функционально -даффервшуглыше ураина-шд" (руководитель д.ф.- м.н., профессор К.В.Ааболез) Уфимский авиационной институт, г.Уфз, IS86 г. и IPSS г.

G. Уральская региональная конференция "Функционально - . дуффгрейцнальвыо уравнения" (руководитель д.ф.- м.н., профессор К.В.Азбелоз) Челябинский политехнический институт,. г.Челябинск, I9S7 г.

V. Семинар по качественной теории дифференциальных уравнений и дифференциальной гоометрии (руководитель д.ф.- м.н., профессор Даглотр Крупка) Университет .л.И.Е.Пуркуне, г.Брно, 4CCP.IS3S г.

8. Мэдународкая кокфернция по дифференциальной геометрии и ее приложения, Университет им. Ь.Е.Пуркуне, г.Брно,ЧССР,1939 г.

- 9. Общеикститутский семинар институ ьматематики и механики АН Азерб.ССР (руководитель академик Ф.Г.Максудов) г.Баку, IS79 Г., 1932 г. и 1990 г.

. 10. Общеинститутский семинар института математики АН Киргизской ССР (руководител! чл.- корр. АН СССР Ы.И.Шйналиев), г.Фрун-е, 1939 - 1990 гг.

-q-

ПУКПШЦКЯ. По теме диссертации опубликовано 16 работ,бис ллограничапхое о; ¡сание которых приведено в конце автореферата; 6 из них опубликованных работ выполнено в соавторстве. Кроме того, опубликована книга "Обыкновенные дифференциальные уравнения с максимумами" (г.Баку, "Элм", 1991 г. - 112 е.).

Из работ, выполненных в соавторсгзэ, в диссертации включены только результаты, принадлежащие автору.

СТЬКТУРА 'Л ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация объемом 2SG машинописных страниц состоит из введения, трех глап, занумерованных 1,11,1ТТ и егшека литературы, содержащего 59 наименований и за-нимашегс 7 страниц текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Зо езодошот рассматривается математическое описание исследуемого объекта дифференциальных уравнений с максимумам- реальный их сшсл на двух примерах, сформулированных в терм:шох автоматического регулирования.

Правыэ части рассматриваемых дпф|оронциальных уравнений с максимумами являют^ функционалами или операторами, не обладахь екми свойствами линейности, даже в случае ликойных уравнений (как это> имеет место в общем случае пинейных уравнений с отклонявшимися .ргумэнтами, когда отклонение з *исчт от искомых функций). Шесте с тем эти функционалы имеют специальную структуру , так что возможен з ряде лучаев, а более четкая методита исследований свойств решений уравнения с максимумами.

Проанализируем характер решен-'Л дифференциального уравнения с максимумом:

y(t)=ay(t)+b m а ху(Т), -oa<t<+oo, (2) TC[t-h,t)

где а,Ъ - постоянные. Исследуем монотонно Еозрзстаадио и монотонно убывавдие рэшения уравнения (2).

I. Если решение y(t) монотонко зозрастаюцзо, то вдо^а него

и а г y(i)=y(t) уравнение (2) инмет вид *seit-ii,t j

y(t)=(a+b)y(t). (3)

Так как это решение удовлетворяет обыкновенному дафэрэя-циальному уравнешпо без отклонения в аргументе, ему удовлетвор я;«? функции

у(Ь)=С1ехр(А.11;), (4)

где X =(а+ь) и С1- произвольная постоянная.

а) Если Х% >о , то при С4>о формула (4) выражает монотонно возрастающее решение урашешг" (2). Таким образом, при \>0 уравнение (2) овладеет монотонно возрастащими репенияж ы*да (4) с параметром о,>о .

б) Если К1>0 ¿л с4<0 формула (4) не дамт решения уразнепкя (2). Таким фразой, шокество решений уравнения (2) на обладав' той же структурой, то множество решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.

2. Если у(-Ь) - монотонно убывающее решение, то

шах у(И)=у(*;-Ь).

Тогда пол/чае;.?

Таким образом, монотонно убывающее решение уравнения (2) является одновременно решением обыкновенного дифферзкциальвсг-о уравнения с чистым запаздыванием.

Поэтому будем искать монотонно убыБэшее решение ©того уравнения б ьидз

где Л. - корень гак называемого характеристического уравнения

(а+Ь)+Ь[ехр(-\1г)-13. (б)

Так как мы ищем монотонно убывавшее решение, то нас интересует очтйщательгме вещественные кг •ни уравнения (6).

а) Пусть (а+ъ)>0,Ъ<0, тс а>|Ь|.

Нетрудно заметить, что уравнение (5) имеет полсштельный отрицательный вещественные кор. ; ?.4и Хгсоответственно. Следова тельно, функция у(1;)=егз>(\21;) и все фун'-'щи у^ Ьс^охрС'^), сг>о - постоянная представляет монотонно убывающие решения уравкэнкя (5) и вместе с тем решения уравнения (2). Таким обр^ зом, & случае (а-!-ь)>0, Ъ<0 и...еем два семейства решений:

У, (")=С4егз>(\1"с), у£(г)=Сгехр(Л2г), \>0, А„<0, гд* С4>0, С2>0. Су?,ма этих решений, т.е.

но является вообще решением, так как

m а X [С ехр Г Т )+С oxjj(X а) ]/ ToU-n.tl 1 1 '

б) Пусть (a-f-b)v'O, Ич'0, Ъ>0 (тогда a<¡b|).

Монотонно убивашее решение ищем в виде у^-ежрСЮ.л/О.

Уравнения (в) J'M«ot один nauoctseimun отрицато..ьшй корой, \а. Следовательно, при (а+Ь)<0, а<0, ъ>0 исходное pet -кие (2) имеет семейство монотонно убивакцлх решсниа y(t)-=с exp(\st), См>о. Монотонно козрастамцих ресенкй в этом случае нот.

ilí^MJ^L'íl1 посвящена исследованию фундаментальней сг"К-сг:$ решения линойлчх и нолшеЯют дкЭДяр-'шщгальних сравнении с чаксп^умями расл.пннх типов, именно: I) существованию, од/нст-зянносги и непрерывности зависимости решений! от начальных Функций и от правоЯ части; Z) нелокальной разрешимости начальной задачи нелннойиа.х уравнений; 3) существованию, единственности и непрерывной зависимости реш-эния от изменения начальной функции и от функционального параметра.

Клееное содержанке результатов это!! глеви закдачоно в ело-дута.их теоремах.

I. Рассматривается лияой:ше системы урзвнзкий вида

' 7(i,)=Ах(11+Б m ri S x('C)+f(t),

1(= t t-h , » Г l X i .} -qi (t). U. К >: [ t -n,J,

-до A-a {t ), i5-s(t) - не;шерь'вн«е rio t матрицы, f (t) - явпрернв-;e rro t riiv.TOp - функция при всех t»t ,<p(t'- непрорызкая ляя {yví-ччо • нопр'рл.внг.я) начальная функция на начальном мкогестг

г' ""'í1 ' г . For:.-. 't •*»* ''•:ír-'p,.ij "J IP \ гм'^'игтг v<_.f} t<r

единственно на любом отрезке полуоси [to,+oe).

Для доказательства мы используем последовате шш* приближения типа Шыара * метод оценок с помощью мажорирующих фуккци-онахьках уравнений Ляпунова.

2. Рассматривается система функционально - дифференциальных уравнений

п

i'(t)=?(t,-<"t),n* а х x(t;)),2,x„cR ,

tGCt-h(t),t] " (9)

x(t..-cp(t), = [inf(t-h(t),to ],

^ О l>l

— о

где x("t)r xt(t).....iri(t)),P(.) = (?,(').....J'nV")) 00 значениями

в Rn,x(t)= max i-(t) ,h=h(t) - непрерывная положительная ic[t-h(t) /с]

функция от t,(p(t) - кусочно - непрерывная начальная функция на начальном множестве Е, . Под символом m а 7. |х(а) | лонима-

о feit-hjt]

этся вектор (ш а х |х (т)|, а х |х (т)().

teit- ,t] te[t-h,t]

Заметим, что под m а х х. (т). i-T7H мы подразумеваем гло-te[t-h,t] ^

бальшэ максимума этих функций на отрезке [t-h,t], так что, стэого говоря, надо писать s u р х. (t) вместо

max х. (t). Гек как вир х(т:)=х(8), где 6=8(t,h(t)), tett-h,t] 1 "Celt-h.t ]

то e и о х(т;) есть функционал, определяемый функциями-.Teft-h.J

x(t),h(t).

Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть: I) функция при t>t0 и любых х,

т-^сТг удовлетворяет условием Карятеодори, т.е.: а) функция измерима по t в любом конечном промежутке

[ tQ, 13 при фиксированных x,x^eRn;

■J).при постоянном t>to функция F(t,x,zx) непрерывна по х.х^; в) существует неотрицательная -уммируемая на любом конечном отройке полуоси rt0,-oo ) скалярная функция u(t) такая, что при t>to и любых фикскров?;шь.

í P (t,X,Xx)-y (t,X) Я(t) (!!x-x" li II); (1С)

2) существует числи а>о,м>о такие,что при

о

3) запаздывание h-h(t) негпмрыыгая ¡толокит^льная функция такая, что h(t)>t при t>t . тогдр при t <к+оо

а) существе? и при этом единственное рваенио *(t) '"•истомы (Э);

б) для-данного решения x(t) справедлива оценка

i

¡i :с(t)!¡<Сехр(Q.JU (з)do), t *оо , (12)

о

где С>0- некоторая постоянная.

Замечание Г. Число о. в (ГГ) всегда кош считать болыг двух, так как если (II) удовлетворяет mгл некотором положительном а=ол2, то оно таким .удовлетворяет при а>2.

Замечание 2. Корми ü • s для раесматривээмих здесь непрернЕ--них по t вектор - Фукция и постоянных векторов определяем обичным образом, т.е. если

В f (-t > а ^-тях ¡ Г V < t) i. П ali^- \s¡ a.v i, i=T7ñ, i i

В дальнейшем мы будем использозэть тажке так казнвпекул

разномерную норму для напрерыпн-функций, рассматриваем:

в некоторой области teQ:

11 |f(t)| | |=s u -M|J(t)!. igQ .

Для простать записи примем далее, что начальный момент to=o и выполни1 в (3) замену переменной вводя копу:о некзьбст-нуп y(t) вместо r(t) по формулам

Г I

f у í t)-х(t)охр (--afu)(в)de), t>0, í « Г?)

| y(t)=z(t), teE s [3ní (t-íi(t)) ,0].

t >o

Уравнение для y(t), t>o получил в Елде

y;t)-—fiw(í)y(t)-HÍi(y(t))eyp(-fiju>(s)du), (14)

-м-

где $>(y(t)5- функционал, получакх ..йся в результате подстановки (13) е Еыражэкие главой части (9), т.е.:

0(y(t))=i(t,y(t)exp(aJu(s)cL3),ra а' •зс(у(Т)ехр(а}ш(з)йв))) (15)

О X=[t-h,t) О

Теорема 2 доказывается на основание принципа неподвижной точки Кяччионоли - "зяаха и использованием следующих неравенств nas iüi^l+TtT:))<iu а х ü(t)+n а х v(x>, (16)

ie[t~h,t] tc[t-h.,t1 ifett-h.t]

äm а -x \х{%)-т а х \г('Т)Я<Ега а зг |ü('t)-v(t)j J£ te[t-bL,J 'ХеС^Ь-.х] Te[t-h,tJ

<\ I |Ü(T)-V<T)|||, (16*)

¡к a z u. (1)-а а s (u. CE)-v~(t)+v"(*l) )<m a z (иДт)-TeCt-h.t] 1 TG[t-h,t] 1 v 1 'Cett-h.tl

-v.(■r))+m a z v.il), (17)

r^t-w.i] v

ci a iü ("C)-m а x v (*c)< m a z (ü (i)-v. (T))< ■CeEt-h.tj 1 te.c-ü.t] v Tett-y.t] . '

<m a s |ü (t)-v (x)|. (18)

•felt-t.tj 1

Далее, доказывается нелокальная разрешимость задачи (9) при других ограничениях на fit.z.x^) требуя лишь непрерывассть к наличие некой односторонней оценки.

Тоорзма 3. Пусть: I) ?(t,x,xT)- непрерывна по совокупности .аргументов д"<5 SjX^gR" при t>to; 2) для любых х.х,^?/1, уей^нмеет место

5Ч^,х,х11;+у)зс:а(Ъ)8хйг . ,t>t0, (19)

где a(t)~ некоторая локально суммируемая функция.

Тогда суцэствует, по крайней мере, одно реаэшэ z(t) системы (9), яродсл&имое на всю полуось t>t j.'

Iii. Далее, доказываются теоремы существования и единственности для системы уравнений с максимум. ,ш, включающий функциональный параметр, рассматриваются вопроси непрерывкой зависимости решения от изменения н'чальной функции и от функционального параметра. Кроме того, изучается более сложный случай, когда запаздывание доз^лш элъно зависать от искомой функции.

Итак, рассмотрим систему

s(t)-?(t,x(t),m а xx(x),u(t)),

t6tt-h(t,x(t)),t] (20)

¿(t)=<p(t), tcEH [i n i{t-h(t,x(t))),to],

о t>t - о

где x=(xt,...)eX - вектор состояния объекта, u=(ut,.. - )CU-функцкона-ышй параметр. х,и - ограниченные замкнутые множзст-вз з Еп и £' соответственно, запаздывание h^h(t,x(JV) зависит от t и от сомой искомой фуикцш x(t), а <p(t) - непрерывная кр^аль-кая фун-'дея на начальном множестве я . Справедлива следующая °

Теорема 4. Пусть: I) функция y(t,x,xx,u) определена и непрерывна по своим аргументам на Rf=TxXxXxU, причем в р.4удовлетворяется условия Лиглглца с постоянней Lt:

!i,(t,x,xx,i.!)-P(t,x,£^,u)t<I.1 (5 X-Es 411x^-5^.11 ); (¿1 )

2) запаздваяиэ h(t,x(t)) непрерывно на к ='Л<Х удовлетворяет неравенству Oih(t,x(t))<t и условна Липдкца с постоянной Ь2:

■ •.(t,x)-h(t,i)|<Li (!ix-xi ); (22)

3) в Ri функция F(t,x,xT,u) ограничена:

11 ¡i'it.x.x^.u)! ¡<1^; (23)

4) начальная функция <p(t) удовлетворяет услоа j Лппвдца постоянной Ь3:

Зф<-Ьа )~cpC-t, (i 2-tJ), titt2cH . (24)

о

Тогда при любом заданном кусо"~о - непрерывном функциональном параметре ucl? существующем на некотором отрезке [to,t*j, ¡¡'«сосуществует единственное решение системы (?п).

Для дскаг тельства теоремы 4 ислолзоваяа последовательные пряодиж&кия к неравенств (IG) - frlö).

Далее, рассматривается вопрос: о непрерывности реаени^ системы (20) по начальной функция.

Пусть ждется на отрезке [to,t*] два решения x(t) к x(t) системы (20) порожденных одним к том ке функциональном параметром u(t),Ko соответствующих различном начальным функциям ф(Ъ) и <p(t).

Определение I. Решение х(-Ь) назовем непрерывным по начальной функции, если *яя всякого е>о найдется такое А>о, что

I! !Ф(*Н?и)|! |<д, ^ . (25)

о

Следует неравенство

|||х<4)-5(1:)|||<е, (25")

где 2(г),'2(1;) - да решения системы (20), соответствующее о.<дао-му и тому ке функциональному параметру и двум начальным функциям ф(г),ф(г), а символом ПЫМ обозначена так называемая равномерная чормя векторной функции, равная вир»-!.

Справедлива следующая

Уесрома 5. Пусть: I) функция Р^.х.^.и) ц запаздывание П^.х^)) в области условиям (21) - (23) теоремы 4;

2) нйчалькке йункцли принадлзгать классу Лшщкцевгсс функции с постоянной \ из условия (24) тооремы 4.

Тогда решений х(Ь) систош (20) непрерывно по начальной Функции фч!) на отрезке ].

Далее; непрерывность резания по отношению к функциональному параметру. Для функционального параметра и(1:), принадлежащего классу кусочно - непрерывных функций введем следуидую равномерную порту

*

|||и(1;)|||=[|1'и(1;)!!с11;.

I

о

Определение 2. Будем говорить, что решение систем (20) непрерывно ио отношению к функциональному параметру , если для любого е>о найдется е>0 такое, что из

I

/!1и(Ю-и(1;)|!(1«б (26)

I

о

следует неравенства

|||х(1;)-5(1;)|||<е. (27)

Справедлива слэдущая

Теоозма 6. Пусть удовлек -рявтся условия теорем 4,5 и пусть функция гчиг.зс^.и) такав Ляшдицева с постоянной Ь^в области К , т.е.:

Тогда решение хШ система (20), существующее и единственно') иа отрезке [^д*] при заданной начальной функции, непрерын-по по отношении кц(1).

Вторая глаза посвящена вопросам о существовании и единственности тоорж периодических и почти - периодических радений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами.

I. Рассматривается вопрос о существовании и об алгоритме построения периодических решений линейных уравнений с максимумами

у(Ю+Лу<Ъ)+В и а % у(Т)=Г(1;), (2Я)

где л>о, в>0 - постоянные матрица, - периодическая непрерывная функция с периодом 2"<с, ¡1>0 - малая постоянная.

Предполагается, что при 11-^0 уравнения (28) но имеет цотрл-виалькнх периодических решрчкй. Для удобства перепишем уравнение (28)

у(*)+(А+В)у(Ь)=Г(1;)-ВГт «ч г у(т)-у(1:)]. (29)

При ¡1-0 тлеем

У0Ш+(А+В)уо(4)=£(и, (30)

где матрица (А+В) не имеет критических собственных значений. Пусть yn.it) - периодическое рошзние уравнения ("0) и у^)--«уя (1)+х(±), где г (4) удовлетворяет уравнению

¿Ш+(Л«3)х();)=-В[п аг х (7о(Т)+зе('0Муо<4)+х<1;))]. (31)

Периодическое рэйэпкэ уравнении *ЗТ.) будем искать с по-моцьи итерации:

х1(1)+(А+В)^ (Ь)=-В[ш а х 5 (1;)],

Те^-ЬД] ^2)

~ Ш+Ц+З)^ Ц)=-Ща а 2 (^ (т)+х (г))-(т (1:)+? <«>>].

Те^-ИД] ° 1 ° к 1

С помощью неравенства 2qh d -Г- e«p|-- vtHUt))!. Л t Qt

d d «3)

I— *k4l it)-xy (t)) |i (l+q) |хкФ t (t )-xt (t) j+qh ßupj — (t)-dt » dl,

l-x^t))^ k-1,2,3,...

& мажорирующих функциональных уравнений

q л 4

м-гт- ß+2^- V,

i ' (34>

v-—- u+qhpt2qhv,

V J

где ч>0- скалярная постоянная, 7=(1+<j), eyp|y0(t.) | <p док. ы-вается едтгственность.периодического решения исходного уравнения (2В), во всяке . случае, пой тех значениях h, при которих махорируилш у 1внения гарантируют сходимость итерации (32). Кроке того, ато решение вместе со своей производной удовлетворяет оценка

|3(t)l<ü, |ac*(t)|<v

определяема-: мажорирующими уравнения;,и. Спра' -длива следующая

Теорема 7. Если последовательность {^(t)} сходятся к периодическому решению x(t) уравнения (31) и при ыо уравнение К.Ч90Т периодическое рэазкив ya(t), то во всяком случае при достаточно малых h (при тех значениях h, ¡три которих мрчорируициэ уравнения гаранткруат сходимость) исходное уравнение (28) имеет единственное периодачеекоо решэние. Оно находится с псмоац,ю итераций, котороа -'довлетворяют неравенством (33) и соотношением (34) или представкмо в виде стеленного ряда по h. При h=o ато peuiöi-aa обращаете?:. в у0(t) •

II. Рассматривается вопрос, о существовании, единственности н о<5 алгоритме построения периодических реиенчй нелинейных уравнений с максимумам (а вект, рной форме!

7(t)=P(t,7(t).m а ху'С.)). (35)

гд9 у л. () а г?( - аналитическая вектор -

Функция своих аргументов I, и периодическая по 1.

Предполагается, что прл П=о уравнение (35) имеет азолпро-I лнсе гг.- периодическое рошеяке у0(1;). Полагаем

$унхцкя г(^) удовлетворяет уравнению

° ° о о

Мы имеем слодукщеэ скалярное неравенство

пах у„(1)»а а 2 х(т:)-а а г (у„(т:)+::(а))<

< а а х ), *

где 1;1е11;-)г,'!;). Отсвда вытекает, что

а а х (у0(1:)+х(т))->а - а х х(т)+ч(х), (37)

гдз ч(х)- текой функционал от что

|ц(г)|<ш а {.«[Н^]. (38)

Учитывая равенство (37), представим функции Р^.у^)*

а г (у0(г)+х(г))) в елдэ: -^.[■к-пд] °

т а ШЖЙ.» (в а х хОс)+ч(х))+

тее^ь,*] * йу уо уо ^и-ьд]

■»«(ПхШ.т а х х(т),ч(2)),у_(4)=и а г у(т),

х_(1;)=!п а г х(г), х ТбН-Ь,«

где индекс у0 при проявводшяс означает, что эти производные

взятые вдоль решения у =у„^), а «>(1:,х(1;),т а х х(т),ч(х))~

•^-11,1;]

функция имеющая порядок кзлоета высеэ : рвого отЕОсятельЕО х(й).

Тогда уравнение (36) ыокно загасать и виде

х( 1;)-А( 1; )х( Ь)+Б( Ь)т а х г(тН®(г)+В(1)а(г)+ tcrt-h.fi

+0(1;,х(1;),п а ^ (39)

где

Ф(<:)=т.У0(0,п а х у ("0-?(+.,у (1;),у (О)

при заданной функции является также периодической ф1Гчк-

цкей 1.

йцом периодическое решение уравнения (39) с помощь» итераций удовле ГБорягощх уравнениям:

' (1ЫА(+,)+ва))г4 (Ю+зки, х.т^АЫ+В?*.})* ггНЕ(х)[т а хх, (т)-!, (г]Ь5(1)г

В(1;))х, Ш+ЕиКт а х х, , СО-2. 4 (г) ]+ ■ ^ 1 Тс-Ш-П,*;] "

Уравнение для х4 (1.) является линейном неоднородным с известной 2тс- пэриоА-ческой правоЛ честь»), и ишаков единственное 2%-- периодическое поиеь'ие. удовлетворяемое оценке:

'¡х, ^/¡¿Квцр!®^)!, (41)

I

где м - некоторая лостоккчал.

После нахождения х {I), получим для х, СО аналогичное уравнение, шзздеэ единствчнксе периодическое решение удовле юряы-щее оценка ввдг (41) и т.д.

Таким путям ми получат формальное периодическое рэпенио равнения <35).

Справедлива следувдея

Теорема 8. Если в уравнении (35) правая часть ?(t,y,yt) аналитачна по своим аргументам и если при Ь-0 это уравнение г IST изолированное периодическое решение у0(к), то во всяком случае при достаточно малых h (точное, не превосходных некоторой границы h„) уравнение (35) имеет единственное периодическое рзаенио, находимое с помощью итераций. предстзршоо степенным рядом по t и обращайся в yQ(t) при и о.

Заметил, что проводимое доказательство и с ■ пчателышй результат. за исключением вывода о разлоааилости paceraüf в ряда по степеням ii, остаются справедливы: если правая часть уравнения-(35) является: та внлЕЛтической, а только дважди дифференцируемой функцией; аьоил" аргументов, так как зто достаточно для построения инхорЩгующй функции, удовлетворяющей условия

|®(t,x,x. ,q(x))|S U(u,i-?),

<D(t,x,x ,q(x)) aU(u,w)

|-5--1< -.

dx(t) öu

|-5-1< -,

<JX^(t) ÖU

®(t,x,x ,q(x)) flU(u.w) |-JL-¡<--,

iJq(x) 3w

где |x(t)[<U, ,Xt(t)|<U, |q(x)|<w.

' III. Здесь изучается Еопрос о сзязи между асимптотическими свойствам систеш

y(t)=F(t.y(t),n а ху(ч)>, i€[t-h.,t]

y(t)=i>(t), teS, = [t0-h,t0]

(ограшиенность, асимптотическая устойчивость) существованием периодических и почт - периодических решений систеш (42). Доказываются следушрга

Т;срака ъ. Если система (42) удовлетворяет условиям: Т) фунхинл Р (1, у, у,_) приодическйя по 1 с периодом 2т;

2) системе (42) имеет ограниченное решение;

3) раЕб«пк scra.niготически устойчиво, то система (42) при ггиеет периодическое рокоте периода 2^;, причем 2ь~к>1\, х'дэ к -ц^лое акал-.).

'■'еоромв 10. Коли система (42) ограниченное решение

таксе. что

1 1 т (43)

то система (42; имеет периодическое равешэ иераодя 2-е.

Теорема XI. Ясли система {4?,} удовлетворяет условия« I), 2) теореш 9 V. раньсмэрио псимптотичеокп устойчива, то решение сиот?ми (12; почти - периодическое.

Далее, пяучво^ся возрос о еуцеотноп.'л-:ин иерио;и:чес1а1х. решен/Л для системы л^^г.е'яциельннх ураеношй с м&кскмумкхи и с м.-ыЗЮ периметрии! (в векторной фэрмо) влле

(» ) ,г, а х у (Т/ ,£),

(4*}

а кьчзилид^йних сие •'<-м /ш^йрен.дл;ш,нь1У ур&ы&ниХ с мркснмужу/и с милям п:-.р^метром (и в*к г^рчой £ири-г) ваде

(45;

о

га» ?'(■) '•'■ д-Л'^ог*'.ч-|УРУ»ми по г:рг;.|'.".ч?з^ у(1>, у.т<\) и

г.оркодичйскмя по . с пер« .лом еч>, г. -о- мили* п*рач»гри, 7(1)- иачоль.ч^я функция нь нччзлььдо ¡.и.л--<>сть-г к , АС.) и \,<и-

генр.'рчь.-ше периодические мятруцч С Лу[/.Г'Д.»/' ТЧ.

Т •■•Ц'-'ТШ 12. Кс.ч; г.цст' -.о) у^-е'.-п-т^.р.^т С; !>у .¡?:"1г; реы".Н"а (■5Г>) Ш •:-; . с. - рян;:о".'(-И0 е.'/г ■ г-1'ег ус ■

< ''•;',•>, '.о тогда суиисл ;л;т -С те.-с:'. чгс д..-; ' п-:

(45) имеет периодическое репенко. Зс.та при зюп система (45) имеет периодические ресение периода -¿%, а при ?.r<h периода причз!' Otk>h, гдо к- целое число.

Тоороча 13. Если система (44) при е-С удовлетворяет условии а) аз теоремы 12, то тогда существует такое, что при е<зо система (44) имеет периодическое ранение у0(t) с периодом 2к.

Далее, изучается некоторые вопросы касащиеся суцествоза-ния периодических решений дифференциальных „• равнений о максимумами и с малым параметром (в векторной форме) --»да

y(t)=F. (t,y(t)rra a ry(t))+}iP (t,y(t),n a xy(i;),U), (45®) 1 •Cfc-[t-h,t) * te[t-hrt]

где ц>0- малый парамзтр, Si (•) и Р2 (•)- непрерывные н дифференцируемые по своим аргументе?!, пэриодглоскке по t с периодом 2тс, причем 2it<ii. Пороздапдая система (при ц=0)

y0(t)=p.(t,r (t).m n S2L(t)) (46)

имеет гариодичосксо решение y„ (t) периода zx а систома в вариациях

y tett-h.t] ^ *4 J

m a x у (т) )m a z y(t). (47)

aert-ii,t] ° tc[t.-h,t]

Справедлива слэдущио

Теорвна 14. Если система (47' по жеэг др^шс пэрйодтшс-ких решений г рис да 2а, кроме» тривиального, то суквствуз' ¡io>0 такое, что при и,<цй система (-15**) но имеет периодическое рзае-нпв- y(t, для которого

liny(t,n)=7(t!. . (43)

Ц «5 О

Теорема IS. Если периодическое репейке yu(t) системы (46) равномерно аситяпотячески устойчиво, то при достаточно малом ц система (45") ш.юет яерйодпчзсяое р&шояпэ такое, что (48).

Далее, изучается некоторые вопроса, связанные с теорией сингулярных возмуи,лгай периодических ресений периода 2ч: по t, соответственно почти - периодических решений автономных и не-ав.ономшх даффервнцяаяышх уравнашй с максимумами и о малым

парвметром (в векторной форме) вида

x(t)=?, (t,x(t),ra a iï(ï),y(i),n а х у(г),Ц). 1 Telt-h.tJ tcit-h.t]

(49)

Jiy<t)«T_ <t,X<t) ,y (t)

s. *

И

' x(t)=?.(j:(t),ni a x x(-t),y(t),m a iy(t),|i),

-ÎGtt-h.t] X£[t-h,t}

(50)

liyttîny^xm.yU).^), где ?,(• ) и'Рг(• ) имеют непрерывные частные производные третьего порядка и периодические, соответственно почти - периодические по t периода ц>0- малой параметр, h>0- мелне постоянное.

При |i=o пол--чаем x(t)=P, (t, Ч),т н х x(t),y(t),m а х у(т),0),

' lt[t-h,t) te[t-h.t] (51)

(t),y(t),C>

и

¿(t)-*? (s(t),ra a i xW.yiti.ai a xy(T).O),

ocit-h.t] i«[t-h,t] (52)

0=Ps(^.t),y(t)rO).

Систему (51), (52) имеет периодические, соответственно почти - ПАриодйчоскке решения uo(0,уо (t) ). СгрзЕедливн следущие

Тосряиа IG. Коли система (51) имеет периодич :кое периода 2-й;, соответственно почти - периодические раиение (xu(t),yo(t)) такое, что удовлетворяет неравенство (R(t)+.4*(t))/2<-s«T, е>о (J- единичная Матрица, H*(t)- сзпртаенязя по функции R(t)) и если:

I) в периодическом случае система

ù(t)-û (t)u(t)+0 (t)w a x-atT), (53)

Teît-h.t]

но имеет других пе^кодиеских ровений периода Zz, кромз нулевого;

I) в почч'И - периодическом случае рошэнко скстзмн (ЬЗ) равномерно асимптотически "стойчизс., то (49) йм-эот единстзаннсе на-

риодпччокое и почти - периодическое решение (хи,ц), вида

Теорема 17. Пусть система (51) имеет семейство периодических решений (ха(<.,а), .у0(Ч,а)) периода 2т. зависить ст па-, раметра а. Пусть при значении а=ао имеем (ГЩО-Ш* (4) )/2«-е,г. Ес^и система

[ У (Ь, р.) =у0 (1, ао) + [ IV4 (, ц) -ца (4) и" (х, ц),

то выполняется соотношения ¿1с

Гр^.аНо^^'^-а^Ч)!!) Я X (• )1«=о.

I ■гсЦ-.-ид} у (56)

Третья глава посвящена ¡опросам об устойчивости ц об экспоненциальной устойчивости линейного скалярного уравнения систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами.

Леша I. Пусть ао>а1>1, 1г>0- постоянные числа. Тогда решение скалярной задачи

х(1;)=-а хШ+а т а -х х(г),

ЧеГЫгД] ° (5?)

х(1;)=<р(1;). =

где <р(1;)- непрерывная или кусочно - непрерывная на Е( функция,

о

монет быть найдено как предел следующих последовательных приближений

' ((;)=ф(1;о)ехр[-ао(*;-1,0)],

^)+а?«р[-а0(5-г0)]т а х х (т:)^, (58)

10 ТеСЕ-И.С]

х. (t)=ф(t), ; к,¿=1,2,3.....

Jlftwua 2. пусть x )- решение уравнения (57) при такой начальной функции <p(t) (непрерывной к кусочно - непрерывной), то <i>(t).<ф(tQ )-фо>0, t>to (59)

и пусть , к--1,2,3,...- значениг. x(t) в точках t^*,=tc+kh, т.е ф^k'-х(to+Kii>. Тогда последовательности '} убаващие и существуют такие числа \>о и р>о, что

С =Ф„Р. <Ф0рехрГ-Х(-ио'к,-{;' ], к=3,5..... (60)

Даша 3. Пусть z(t)- решение уравнения (57) расмотренное в

лемме 2, и пусть Х- число в оценке

|1пр| 1 а,

|1п[ехр(-а0Ь)+^ (t-exp(-aoh)))|. (61 )

о

Тогда для x(t) справедлива, при всех t>to+h, оценка

X ( t ) «ровхр [-*. {t-1^' )3. (62)

Лемма 4. Ляд решения x(t) .уравнения (57) с начальной функцией

<p(t)=Ê><p0, t0-hst<t0,

«PCt0)=Va>A. t,=to <бз)

имеет мест« при t>t^a,=to+2h оценка

x(t)< (J-A-g-A^)eXp(-aoh)!exp[^(t-C )1. (64) где X определяем формулой

exp(-2>-h)-p^«i>. '65)

Лемма 5. Решение г(t) уравнения (57) при начальной функции <P(t0)*P0<°- <?(t)<<p0, teEt (66)

о

нредставшо формулой

x(t)=90erpt-(a0-a )(t-t0)]. (67)

Лемма S. Решение A(t) уравнения (57) при начальной функции Ф(1)г.о, t<t0, ср(to)=-фо<0, t=t0 представпмо при t>t^'--to+h формулой

s ( t ) =ф0вхр (-Boh ) Oip [ - ( a0-at ) ( t-1"' ) 3 - ( 68 )

Ha основании этих сесть ломм формулируются следупщ Теорема IB. Если непрерывная или кусочно- ноор^рыпная

скаллрная начальная функция (pit/ задаваемая на отрезке [to-h,tn]- является положительной, то решение x(t) уравнения (57) стремится к нулю при t *оо не медленнее, чем функция, пропорциональная экспоненте exp(-Xt), где к определяется формулой (65), если so начальная функция <p(t) отрицательная, то решение x(t) стремится к нулю при t *,<г& не медленнее, чем функция, пропорциональная экспоненте axp[-(a0-at )t].

Далее, рассматривается систему уравнений (в векторной форма )

y(t)=Any(t)+A,(t)n з х у(1), .tRn, (69)

1 "usCt-h.t]

где Ао- постоянная run матрица, ki (t)>0- непрерывная функция прн t>t0 матрица. Относительно матриц сделаем следушгс» предпололз-

1ШЯ:

1) постоянная матрвда до такова, что зхслонвпта exp(Aot) допускает при t>t0 оцошсу

3exp(aot)!j<c3xt>("at), (70) .

где с>0, а>0 (примем 0>1);

2) матрица \t(t) при t>to непрерывна и такова, что

1At(t)3 <alt (71)

гдо as>0 число такое, что при некотором га выполняется неравенство

- ~C)Cf52p(-Cra)<q<1. (72)

Справедлива следующая

Уеоремо 19. Пусть y(t) ранение систеьи (69) при знойной начальной функции (p(t) на начальной ыногества st = [trt-h.to],

о

причем ота функция непрерывна или ¡кусочно - непрерывна е S(p(t)S<i^(to)i, tcEt .

а

Тогда при выполнении (70) - (72) решение у(Ь) стремится по норме к нулю при t >оо ¡га медленнее, чем функция, пропорциональная окспонэнте oxpf-11) с некоторым Я>0.

Далее, исследуется равномерная "и&пгготическая устойчп-р^сть решений линейных периодических систем дифференциальных

ураънений о максимума-га (в векторной форме)

s(t)--A(t)xft)-iB(t,)ni а л х('С), 'Ccft-h,t]

I °

где Ait) я в (i) ~ периодические к кусочно - непрерывные матрицы периода причем ?лоь о комоцьв мультипликаторе;. Флокз. Grip щэдлтаа следующая

Теср^ма ЯО. Для того, чтобн все репокия системы (73) был;; ограничены, необходимо и достаточно, что мультипликаторы находились б.круге Isjil, причем мультипликаторы, расположенные ¡z|-i имели ярости» ллемйнтаргшз делатели. Для того, чтобы три-Еиельное решение системы (73) было неравномерно аскмпто"'ччес.кн устойчивым необходимо и достаточно, чтобы мультипликаторы находились з |а|-:1.

Далее, • еледуются равномерная асимптотическая устойчивость реаений нелинейных и квазилинейных дкфрерйшалышх ypacbwnt' (в векторной фиив)

x(<-)=?(t,x(t),m а х х('Е)), t>t0 (74)

X4iit-h,t3

и . -

)=.V(t )x(t)+B(t/ш " a X я(т)-г£ (l,x(t),rr. a x r(1)).<75> •knt-h.t) ' Te[t-h,t]

Основные положения диссертации опус5ликойаны в следугода работах:

1.Магомедов А.Р., Рябов Ю.4. 0 периодических решениях нелинейных даффэр&нциалыых уравнений с максимумами // Изз. АН Азерб.ССР, се", физ.-тэх. И мат. наук,-1975.-Jf 2,-С. 76-83,

2.Магомедов А.Р. О накоторых вопросах дкффзрокциальных уравнения о максимумами.// Изв. АН Аззрб.ССР, с.чр. ф/.з. -тех. и мат. наук,-1977.-Я I.-С.I04-IC9.

3.Магомедов А.Р., Рябов КЗ.А. О периодических рспеппдх лтаейниу. дифференциальных уравнений максимумами // Vvr. физика, Ш Af УССР.-1Э75. Вып. 23.-C.3-9.

4.Магомедов А.Р. Исследование решений гдгоДккА wit-зр вдадькы? уравнений с максимумами // ДАЧ Акурб.ССР.-ТЭСС. • С Т.-СЛТ-ТБ,