Качественное исследование двумерных динамических систем с заданными интегральными прямыми тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ врдека ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ , ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ккпи В. К. ЛЕНИНА ^

Па правах рукописи

ЭРГАШЕВ ЙАФОКУЛ ЭРГЛШЕВИЧ

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОЭАНИ 5 ДВУМЕРНЫ К ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ: С ЗАДАННЫМИ ЙИГЁГРДЛЬЙЫМЙ ПРЯМЫМИ

01. 01.02 — Дифференциальные уравнения

А И ТО РЕФЕРАТ

, диссертации на соНсиапне ученой сгеп«ш , «аа, йдага фнЗнКо-ма^ематнческнх наук

Работа выполнена в Самаркандском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени Алишера Навои

Научный руководитель - доктор .физико-математических наук

профессор Ы.Р.ШАРМЮВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических каук

профессор £.А.ГРЕБ£НаХОВ

кандидат физико-математических каук,-доцент В.Б.А1йШЖ}

Ведушая организация - Киевский государственный университет

имени Т.Г.Левченко

Защита состоится 20 карта 1992 г. 5 10 часов на заседании спедаелнзированного совета К 056.03.10 в Белорусском государственной университете (220060, Минск, просп.Ф.СкорЕЯУ, 4; Бел-госуниверситет, главный корду с, к.206). !/

С диссертацией'мохно ознаксматься в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан ■ февраля 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

: СИ о1

В.й.НорзЕК

- о -

СЕ^Лл ХДРАКТЕРЖЖА РАБОТЫ

Актуальность те№.Геометрическая теория дифференциальных уравнений занимает Еаткое :/эсто как матеыатэтеегсяй аппарат г.'.чо-г'.'.у. задач естест^ознп.н'/л. Видно?, место с этой теории паниуазт

ГОПЕОСЫ CyzeCTBCBaí-TOl '! ОТСУТСТВИЯ, erU'.'.HCT3GHH0CTJÍ И Ч*ЛСЛЗ Пв~

рисдичеояге реяэкиЗ, построение схем ^асовьт: траекторий в целом, дроблена устойчивости нулевого решети и другие вопросы, газрл-сотхз которых все епз далека от полного разреиения. Hanp:'..vop, Г,2Я2Ч2 •'} ЛСЛУЧЗНИ!! ПРОСТОГО епссоОа построен!« схемы ПООеСОНЖ! сем-зЯстза -fascsi-x траекторий з целом для системы уравнений

'i.

где Р(х,$) , -пелиноде степени второй, до с;п< :т:р

привлекает внимание ¡/Hortíx "лсслодэватзлей.

Зта система изучалась в работах А. Пуанкаре, Л.У.Ллпуяот:. К,П.¿рутина, М.Зеретэра, Н.Дзляка. К.Еендкксо:«, Р.£.Го:.1сря. i .З.Пллоза, к.Л.Зус'оза, П.С.Кутслзса, А.А.Шестакова, Н.Л.Лу-м-сеШ1ча, í'J.P.Шарапова, Н.Г.Ллойда, В.?--йна других авторов п::д различная предположениях относительно вира функций ч

Qtz/j).

Чаетнкм случаем системы (D является система

••••старая ьстречавтсл пря ресенаи ряда вопросов теср'/:: цзлшеа-•'!Ь0£ ::оллс*атг.!й з математической с'иологп:: при исследовании :;ог:г*зтЕх систем ^изкмс-честза", в астрс::из;:кэ, з химии тзч

изучении модели концентрации двух химических реагентов, в механике и электронике, при изучении простой модели Боздушнэ-икдук-типньк колебаний линии электропередач и е ряде других задач.

Настоящая работа посвязена изучению системы (2), где О.^ , , СI -постоянные коэффициенты, 1-1,1 , т > 1 у. целое число.

Таким образом, акту&чьность теле обусловлена необходимостью дальнейшего развития качественных методов теории, двумерных динамических: систем и запросам;! приложений.

Цель работы состоит в исследована; системы (2) пр:! условии и проведении полного качественного исследования как е конечной части плоскости (КЧП), так и б бесконечности, которое мигочаат в себя Еопросы о предельных циклах, особых точках, поведении сепаратрис, синтезе лекальных качественных структур в глобальные.

Методика исследования. Исследование базируется на приемах гачественной теории динамических систем. При этом применяются I зтоды Пуанкаре,предельных множеств, теория индексов.

Научная новизна. В работе система (2) изучается в целом ! проективной плоскости. Проведено полкс-е качественное исследование системы как при максимальном числе особых точек £ КЧП, сак и в случае вырождений, когда количество особых точек не яв-,.;Л1-:гся максимальны/. Обобщены теоремы А.Н.Берлинского, имеквие ,еето для системы (2) при т=-{ . Доказан факт отсутствия сдельных циклов,'даны необходимые и ростаточккз условия устой-илзости кулевого решения в случае, когда система (2) - однородная. Получены коэффициентные критерии совместного сосуществования особых точек в проективной плоскости, лроиэведзн синтез то-

- 5 -

пслогическюс структур в круге Пуанкаре.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут использованы при качественном исследовании некоторых задач рия келиНеЯнъ-тх. колебания, математической биологии, астрефизяй!. электроники, моделирования воздутшо-индуктивных колебаний линии .-электропередач.

Апробация работа. Основные результаты диссертации докладывались нз 2-ой городской конференции молодых ученых и специалистов г.Самарканда (г.Самарканд, 1990 г.); годовых научиых конференциях профессорско-преподавательского состава СамГ7 (г.Самарканд, 1968-1991 гг.); семинаре кафедры дифференциальны:' уравнений Белорусского государственного университета, руководимом прсф. Н.А.Лукашевичем (г.Минск, 1991 г.); объединенном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений Са'лГУ, руководимом проф. Ш.Р.ШарипоЕкм (г.Самарканд, 1963-1991 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опублияотпнм в работах £1-31 .

Структура и .объем .работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, вклвчащего 63 наименования. Общий объем работы составляет 123 страниц машинописного текста.

ССДЕРУЖЕ РАБОТЫ

Во. язеаенни обоолговыва-етея актуальность аыбранлой темы, дается краткая ебзор литература ои общая характеристика работы, излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе проводится полное качественное исследование системы (2) При максимальном числе изолированных особых течек. •

3 § 1.1 нп.Члены конечные особые течки системы (21 при четном нечетном т , а также покапано, что предельные циклы

- 6 -

отсутствуют при вьшолнении условия

6"= б, с, (а2- ал а,с* (6,- Ф о.

В § 1.2 проведено нееледование поведения саловьгх траекторий системы (2) в бесконечности.

Если Д — ^ 0 , тп при нечетном ГП система (2)

имеет на экваторе три, а при четном Л\ -четыре особые точки.

Теорема I. Пусть ДфО и тп - нечетное. Если система (2' имеет три бесконечно удаленные изолированные особые точки, то реализуются следующие случаи их совместного сосуществования: I) три узла; 2) деэ узла и седло; З1) узел и два седла.

Теорема 2. Пусть Д&О и Л1 -четное. Если система (2) имеет на экваторе четыре изолированные особые точки, то две из них будут узлы, две другие - седла ¡¡ли три узла и седло.

Если Д= 0 , то число бесконечно удаленных особых точек зависит от знака £ , где — - . Причем имеют место

Теорема 3. Пусть Л—О и т -нечетное. Если система (21 имеет три бесконечно удаленные особые точки, тс еозмо^нк сле-душше случаи их совместного сосуществования: Л узел, седло и открытый седло-узел; 2) ДЕа узла и открытый седло-узел.

Теорема 4. Если Я? О , ПЯ - четное, то система (2) имеет на экваторе Пуанкаре два узла или узел и седло.

Теопема Ь. Если 0 , гу) - четное, то система (2) имеет на экваторе Пуанкаре четыре особые точки и реализуется един из следующих случаев: узлов, К. -седел, к~£>,3 .

В § 1.3 проведено полное качественное исследование, системы (2) в проективной плоскости как в случае четного, так и б случае нечетного т .

С;-'с:?г'.!,ч > ячррт иктег,тлл)..1-'ке пр.т<я;е ОС ~ <5 и V" Ф ка ни/ лежат три особ1-'* то«ки

I ,

Ощо), А 31оЛ~гТ] * глг /г' -Н.-СТНСО.

Ксл;* Д - 0 , '"о им!- етоя «ар одна особая тоика М

кос "ди"с1"-,г '-го'.'орог определяете.«? как корни системы урязке::-/*

а,ост - + с,= о ,

¿гГ" ^ бг^' + С^О.

"-.г--: г. . Л/^ть ГО - нечетное. С, Ь ^ О,

^ггдэ ^'лст--м" ''- ^ '/м<:- ;1 "^-ть'ге ;:зслиг-о«аннче осо^^0 точки ;; для их ссгмгстксг-о г-ссупестгозания еоямопны случаи : - 5 седло и три у.?ла: с^-ало, деэ узла и тс*:ус; 31 узел •/ ■?;.!■ седла; 4' <?окус и три седлп; 5) два узла два седла; о) узел, сокус и дра седла.

Геометрически;"! смысл тесиемч' 5 заключаете- в следуг^ем.

Прямая ( на рис.1 проходядая через особые точки А к б ' разбивает плоскость на семь областей, Если точка М находится в одной из областей с четньт:,! номером, то особые точки определяют вершины "ыпухлего четырехугольника. Если уе точка М находится в .одно;'! из областей с нечетным номере-/.;, то вогнутого четырехугольника.

в —а ь

ч

\ \ 1 \ \ _______^ А О I__л

Ь зависимости от типа точки О определяются типы остальных точек А , В , М .В случае когда четырехугольник ОВ М А выпуклый, если точка О -седло, то М также седло, а А и

& -антиседла; если же 0 -антиседло, то А! -антиседло, ь А I. Ь -седла. В случае когда четырехугольник Есгнутый, если точка 0 -седло, то А , В также седла, а Г*! -антиседло; если же 0 -антиседло, то А и 8 -антиседла, а И -седло.

Теорема 6 обобщает теорему типа А.Н,Берлинского, кмеюсгуь .«■¿сто для квадратичных систем.

Теорема 7. Пусть ГО - нечетное, Л £ 0 , 60 . Тогда система (2) имеет в КЧП четыре, в бесконечности три изолированные особые точки и реализуется один из следующих случаев совместного сосуществования особых точек в проективной плоскости: I; седло и три узла или седло, диа узла и фокус в КЧП, узел и два седла в бесконечности; 2) узел и три седла или фокус и три седла в КЧП, три узла в бесконечности; 3) два узла и два седла или фокус, узел и два седла в КЧП, два узла и седло в бесконечности .

Теорема 7 позволяет построить полную геометрическую картину фазовых траекторий системы (2).

При Л~ О имеет место

Теоттма 8. Если при нечетном ГЛ система (2) имеет три изолированные особые точки в КЧП и три изолированные особые ■гочки г бесконечности, то реализуются следующие случаи их совместного сосуществования: I) два узла и седло ь КЧП, седло, улел и открытый седло-узел в бесконечности; 2)' узел и две седла н КЧП. два узла и открытый седл-узел б бесконечности.

В случае четного ТТ\ справедливы

Теорема 9. Пусть ГП -четное, С3Ъг С(СЬ <■ О,

ДД; >0, ¿=¿,2, >0 .Тогда

система 'Я) и***»ет е КЧП девять, а бесконечности четыре изолированнее ссг.быв точки и при этом возкптны следующие случаи их совместного сос/тествоерния: I) пять антиседел и четыре седла з КЧП, два узла и два седла в бесконечности; 2) пять седел и четыре актиседлэ в КЧП, седло и три узла б бесконечности.

"%оргу,а т. Пусть ГП -четное, СА <0, С,(1<<0, й^^,

АА,:>0, 1=1,2, (.Оц-а-ЛУг^О^ЯО. Система (2)

.'меет » Н'£1 девять, з бесконечности четыре изолированные ссо-и:= точен и реализуется един из следуг/гтих случаез их совместного сосуществования: 1) пять узлов и четыре седла в КЧП, па узла и два седла в бесконечности; 2) четыре узла и пять седел в КЧП. седло и три узла з бесконечности.

Система (2) исследована также при Д=0 и четном т .

Во второй глазе рассматривается случаи вырождений, т.е. в предположении, что число изолированных особых точен системы (2) как в КЧП, так и в бесконечности уже не является максимальным.

Возьмем систем;' однородных дифференциальных ураЕнечи*}

^у^а^М^ о)

3 § 2.1 система (3) изучается в целом по структуре (£) •л <л - предельных мноясстз траекторий вспомогательной сгст'-мы.

г1есрема II. Пусть - нечеткое, ^ .

Тогда система (.3) имеет три исключительных направления. при"®:« для совместного сосуществования ксклгчительнюс направлений первого и второго типов возможны К. случаев: ¡У(ЬШ-) — К , N1 И Нц) ~3-к/ К-02., где ИН[ - исключительное направление I -го типа, Ш - количество исключительных направлений.

Теорема 12. Пусть ШП -черное. (.йз.-йЛ 1г-ё,) < О . Система (3> имеет четыре исключительных направления и для совместного сосуществования исключительных направлений первого и второго типов возможны К случаев: N11А ^

А-к, К^ОЗ .

Теорема 13. Если УП -четное и все характеристические числа исключительных направлений отрицательны, то нулевое решение системы (3) устойчиво в смысле Ляпунова.

Рассмотрены частные случаи системы (3), когда -и . ПроЕС-дено качественное исследова-

ние фазовых траекторий в проективной плоскости. Доказано, что при Д^О е проективной плоскости реализуются 12 топологически различных картин для £азсЕых траектория системы ( 3 ' ( рис.2 }.

5 = Laзrsц)(&¿-el).

ь-11Сч-а<)<о/5'д>о/ «Да 1-аЛ>0,

к, ар&г.

кИ-^о, а,=а7.

(Ог-Й,) < О,

ЬМг&ио 5¿«гл.

/

С

Л'

' О/

V

а( [а,-ал > о,

\

Б £ 2.2 получены корЛкпирнтнмр критерии совместного сосуществования семи, пяти, трех и одной изолировании* оссока точек системы (21 в КЧП и пр;; этих условиях проведено качественно» ксслрдогзние системы 2 проективном плоскости.

Теорема 14. Пусть П1 - нечеткое, (Г^й, А Л'и >€, I- (2 и выполнены неравенства С,а, С^х < 0 или С,Л, Тогда система (2) имеет семь изолированных особых точек в КЧП. четыре или две изолированные особые точки в бесконечности. Для их совместного сосуществования реализуется один из следующих случаев: если С,Сг>0 , то I) три узла и четыре седла в КЧП, три узла и седло или два узла в бесконечности; 2) пять узлов и дез или узел, четыре Фокуса и два седла в КЧП, три седла и узел или два седла е бесконечности; если тсе CiCi<0 , то : 3) четыре узла и три седла или четыре фокуса и три седла в КЧП, два седла и два узла или узел и седло в бесконечности; 4) два узла и пять седел в КЧП, четыре узла в бесконечности.

-§ 2.3 посвящен качественному исследованию в целом системы (2) при С* Сг=0, т.е. системы

( 4 )

-^yicux^f) .

Оне имеет три особые точки в КЧП, причем начало координат - особая точка типа открытый седло-узел.

Теорема 15. Пусть ГП - нечетное, Д & 0 , + 0 •

Тогда возможны следующие случаи совместного сосуществования особых точек системы (4) : I) открытый седло-узели два антиседла в КЧП, узел и два седла в бесконечности; 2) открытый седло-узел и два седла в КЧП, три узла в бесконечности; 3)стк рытый седло-узел, узел и седло в КЧП, два узла в бесконечности.

- 13 -

При четном т система (4) может иметь семь, пять, три или одно изолированные особые точки в КЧП, В частности имеют места

Т-'-орруя 15. Пусть т -четное, &- (С1г-(ХА # С/

0.1 С/ > О ДД(>0 , . Если выполняются нера-

венства о.}>о, ?>.<о,а,>о/, с,>о, £¡>0, д>о или аг >0, ^ >0, а,<0; с, <0, б,> Оу Д<0 , то имеются седло и четыре антиседлэ е КЧП. в бесконечности - узел и три седло 1 б*1* О 1 или дв? седла ( (Г< 0 ); если имеют места неравенства

йг<о/ а,>о, с,>о, Д^О или аг<£0, 6л>о,

й, < С, <0, Л > 0 имеются узел и четкре седла в КЧП,

четкое узла в бесконечности.

Теорема 17. Пусть ¿"И - четное, Д — О, 5 £0 . Тогда гсомочны следующие случаи совместного сосуществования особых точек системы (4): Л три узла в КЧП, узел и три седла в бесконечности; 2) седло и два узла в КЧП, узел и седло в бесконечности; 3* узел дез седла в КЧП, два узла в бесконечности; 4) три седла в КЧП, четыре узла в бесконечности; 5; три узла г гТЧП, узел у седло в бесконечности; 61 узел в КЧП, два узла и лез седла ? бесконечности: 71 седло в КЧП, два узла в бесконечности; 81 седло в КЧП, три узла и седло-в бесконечности.

;г 2.4 посвящен исследованию в целом системы (21, кс-гд:. <1, —йц. > т-е- когда она сводится к виду

6*

а:(лт+ 6,Г4с,),

* J я

с.

с

3 0

- 1-1 -

Следует отметитз, что служат 0., =?г л, ¿г - так*р

сводится к системе (ё1 замене": X , Ц на ^ , .

Доказана

Теорема 13. Пусть Щ - нечетное, ёь*®/ С; — О,

^ =2.; Тогда для особых точек систем' (Ь) реализуете к един из следующих с^уиаез их совместного сосу.ч>ст808ана»; - ' дез узла и два седла или узел, фокус и два седла в КЧЗ, уеел и "'.нриткй седло-узел в бесконечности; 2) три узда и ееало или дня узла, сгокус я седло в КЧП. .;ткр--'т;--;' ^е'тле-угет г- Зрскои?«-ности.

-]истемя Ь) исследована ; екх*е той ^етне.' П1 .

Теорема Пусть П -четное, с>; Т О, &г = О . 7ег.-э 2«г»можну следующие случаи совместного сосудист:;-сссе- у тоиек: *; три узла и иотнре седла р КЧП, две улла в еескокеч-г.ссчи; 2) два седла и пять антиседел б КЧП, два седла в бесконечности; 3'| седло и четыре антиседла е КЧП, два узла в бесконечности; 4) седло и два узла б КЧП, узел и седло в бесконечности; 5) узел и два седла в КЧП, деэ узла в бесконечности; о) три улла в КЧП, два седла в бесконечности; 7) узел в КЧП, узел и седло в бесконечности; 8) седло в КЧП, два уела в бесконечности.

вывода

В диссертации получены следующие результаты:

•О на основе методов качественной теории ди;г^ренциальнк"'' уравнений изучены общие свойства системы

2) о помощью теории индексов и геометрического сасяслог:-нля 'лязкдич доказано рлд теорьм о совместном с^сус-ствозамт.* ■/телпрсв^нк:,;:-: особмс точек ку.к ь конечно1': ча?11:

- 15 -

плоскости, так и в бесконечности;

З-1 выведены коэффициентные критерии распределения изолированных особых точек системы (2) в проективной плоскости;

4< система (2) в однородном случае изучена в целом по структур? СО и сК -предельных множеств траекторий, получен необходимый и достаточный критерий устойчивости нулевого решения в смысле Ляпунова;

5) используя функцию Дюляка доказано, что система (21 не имеет предельных циклов:

СЛ построены качественные картины фазовых траекторий при различных соотнозениях между коэффициентами рассматриваемой системы как в конечной части плоскости, так и в проективной плоскости.

В заключении автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю профессору Ш.Р.Шарипову за научное руководство, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Основные результата диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Зргашев З.Э. Распределение особых точек одной двумерной системы. // Тезисы докладов научной конференции молодых ученых г.Самарканда.- Самарканд, 1990, с.52.

2. Эрга-иев 3.3. Геометрическое исследование одной дифференциальной системы. // ДАН Республики Узбекистан, ?? 12, 1991, с. 8-11.

3. йргатев Б.Э. Геометрическое исследование системы специального ?ида в одном случае. // Вопросы качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений. Самарканд: Изд. СамПУ, I9P1, с. 101-105. Q&gf