Качественное исследование решений одного класса уравнений гидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГп

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

Васильева Елена Николаевна

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения )

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского государственного Университета гтриродообустройства.

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор С.В. Успенский.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. К. Романко, кандидат физико-математических наук, доцент ИМ. Петунии.

Ведущая организация - Воронежский Государственный Университет.

Защита диссертации состоится "1996 г. в 15 часов 30 минут

на заседании диссертационного совета К 053.22.23 в Российском

Университете дружбы народов по адресу: 117923, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 485.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан

1995г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.В. Драгнев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию поведения решений некоторых уравнений гидродинамики при / -» со. Эти вопросы являются важной частью теории дифференциальных уравнений. Изучению устойчивости, затухания, осцилляции, почти периодичности решений посвящены многочисленные исследования различных авторов.

Цель работы. Изучение поведения решений некоторых уравнений гидродинамики при больших временах. Вывод оценок при / -> да скорости убывания решения задачи Коши для уравнения, описывающего колебания стратифицированной, вращающейся и сжимаемой жидкости. Исследование локальных свойств решений уравнения С.Л. Соболева, получение представления решения, учитывающего осциллирующий характер его поведения при / -»оо. Изучение алгебраических моментов решения первой начально-краевой задачи для уравнения С.Л. Соболева.

Научная новизна. Для задачи Коши, возникающей при рассмотрении процессов колебания стратифицированной, вращающейся и сжимаемой жидкости во всем пространстве, получены оценки решения на бесконечности. Установлена зависимость скорости убывания решения от числа алгебраических моментов, равных нулю, для начальных данных.

Исследованы локальные свойства решений уравнения Соболева. "Получены условия, при которых в каждой внутренней точке области решение уравнения Соболева либо является суммируемой по / функцией на интервале (0,со), либо является осциллирующим, т.е. меняет знак бесконечное число раз в любой окрестности оо. Построено представление решения уравнения Соболева, учитывающее осциллирующий характер его поведения при / -> да. Установлены оценки на амплитуду колебаний решения.

Изучены алгебраические моменты решения первой начально-краевой задачи для уравнения С.Л. Соболева. Получены представления алгебраических моментов от решения для некоторых областей.

Методика исследования. В диссертации используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории функций и функционального анализа, восходящие к классическим работам С.Л. Соболева.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в общей теории задач гидродинамики, в теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной 90-летию академика

С.М. Никольского (Москва, 1995), на XIV и XV Всесоюзных школах но теории операторов в функциональных пространствах (Новгород - 1989, Ульяновск - 1990 ), на XXVI научной конференции факультета физико-математических и естественных наук УДН им. П. Лумумбы (1990), на научно-технической конференции МГУП (1990), на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.Н. Масленниковой.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях, список которых приводится в автореферате.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литерагуры, содержащего наименования. Объем диссертации страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по теме диссертации, формулируются постановки задач и основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается поведение на бесконечности решения задачи Коши:

с(ц2А3м + РВ2Х> - а(/)> + (Р + КЩ2и - ГСД 2и + УСРи) = 0, ^

х еР-,,

ДА и

, = 0 = Ф*М. *= 0,1,2,3. (2)

где а,С,Р,У,IV - неотрицательные константы, причем 1 '~>1У, 0 < а < 1, Ръ - трехмерное Евклидово пространство.

Задача (1)-(2) возникает гфи рассмотрении во всем пространстве процессов колебаний жидкостей. В случае когда а = 1 задача (1)-(2) описывает колебания стратифицированной, вращающейся, сжимаемой жидкости. Различные задачи для уравнения (1) рассматривались в работах С.А. Габова, Г.Ю. Малышевой, А.Г. Свешникова, А.К. Шатова, П.В. Шевцова. Более полную библиографию по этому вопросу можно найти в работе [1].

В другом частном случае, когда а = 1, IV = 7- 0, Р = С = 1 получается уравнение:

и + 1)\и - Ц4ы - В;и = 0, (1')

которое описывает малые колебания вращающейся сжимаемой жидкости. Исследованию решений уравнения (Г), а также систем уравнений, описывающих малые колебания вращающейся сжимаемой жидкости, посвящены

работы В.Н. Масленниковой, И.М. Петунина, и других авторов.

При а = О, Г - ], для любых V,,IV и С ф 0 уравнение (1) примет вид: 0;\3и+П2хи = 0,

Это уравнение, описывающее малые колебания вращающейся несжимаемой жидкости, впервые было получено и исследовано С.Л. Соболевым [2,3].

В § 1.2 получены оценки поведения на бесконечности решения задачи Коши (1)-(2) для 0 < а < 1. Установлена зависимость скорости убывания решения от числа алгебраических мометггов, равных нулю, для начальных данных.

Определение. Функция <р(л) е^ДШ, если ф(лг) с Р1'{(П) и

- 2 (1 + ||

<оо.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1 (1.1). Пустьср,(*) с-[У{'Ър(Еъ),< = 0,1,2,3, р>2,^>6р, причем выполнены условия

0<|л]<2/?-1, I = 0,1,2,3, (3)

=0, 0 < ^ <2/7-1, / = 0,1^2,3. (4)

Тогда для решения задачи Коши (1)-(2) на любом компакте К с£, имеет место оценка

1_ з

/->00, (5)

где С. (К) - константа, зависящая от Лат К .

Теорема 2 (1.2). ПустьфДх) = 0,1,2,3, г2 >4, причем

=°> '=0,1,2,3.

к,

Тогда для решения задачи Коши (1)-(2) на любом компакте К сЛ'3 имеет место оценка

1 з

1=0

где С(К) - константа, зависящая от /Мат К .

Замечание 1. Теоремы 1 и 2 обобщаются на п - мерный случай. В § 1.3 построен пример, который показывает, что решение задачи Коши (1)-(2) при отсутствии условий ортогональности начальных данных,

1 1

юр У, <С(К

вообще говоря, не стремится к нулю при / -> со.

Пример. Рассмотрим задачу Коши (1)-(2) с начальными данными ФоОО = <х ). Ч>2 (-0 = -УС v{x ), ф,(х) = 0, ф3(х) = 0, где v(jc) - произвольная функция, для которой не выполняются условия (3),(4) и v(x)&0. Будем считать, что КС > W и F >VC. Тогда, получим решение задачи Коши (1)-(2)

U \ i RTFA ( П''~УС [УС-aiV )

и(г,х) = cos VFC п v ,-*•> +,----х, L

к ' v ' \\F-<xW " \ F-afV У

которое не стремится к нулю при ( оо.

Отметим, что оценка (5), имеющая место для решения задачи Коши (1)-(2), является неустойчивой в полученных нормах. Действительно, при малых изменениях начальных данных ф,(дг ), i - 0,1,2,3 условия ортогональности (3),(4) могут нарушаться и, следовательно, теорема 1 не выполняется и неравенство (5) не имеет места.

Предположим, что функции ф,(*) - финитны и ф,(*) i = 0,1,2,3, гх>6р,р>2 и выполнены условия ортогональности (3),(4). Согласно теореме C.JT. Соболева о представимости суммируемой финитной функции в дивергентном виде, получим, что для финитных начальных данных ф0,ф,,ф2,ф, рассматриваемые условия ортогональности (3), (4) эквивалентны представимости этих начальных данных в дивергентной форме: Ф,(*)= /' = 0,1,2,3,

i«:=2 р

где ¡\'t(x ) - суммируемы, финитны и принадлежат ^'^(Е-,).

Теорема 3 (1.3). Пусть фДх ) - финитны и ф,(-г) е^ (Е3), I- 0,1,2,3, /] >6р,р>2 и выполнены условия ортогональности (3), (4). Тогда для решения задачи Коши (1 )-(2) на любом компакте К с Е3 имеет место оценка

з

хеК /=() \a~lp

где с(К) - константа, зависящая от diam К .

Отметим, что (6) является устойчивой оценкой для решения задачи Коши (1)-(2).

В случае, когда а = 0, для уравнения Соболева в работе C.B. Успенского, Г.В. Демиденко [4] получены оценки скорости убывания решения в предположении, что начальные данные ортогональны полиномам до некоторого порядка.

Полученные в этой главе результаты обобщают аналогичные иссле-

дования задачи Коши, проведенные в работе C.B. Успенского, Г.В. Деми-денко [4].

Во второй главе диссертации в ограниченной области исследуется локальное поведение при t -> от решений уравнения Соболева

1)?Ли + ï)]u - 0 (7)

с начальными данными

t = 0 = 4*x)> D'U

/ = 0 = V(x). (8)

Изучение различных задач для уравнения и системы Соболева можно найти в работах Р.Л. Ллександряна, Р.Т. Денчева, С.Л. Гальперна, Ю.Н. Григорьева, Т.И. Зеленяка, Б.В. Капитонова, В.Г. Лежнева, В.Н. Масленниковой, В.В. Сказки, C.B. Успенского и других авторов. В работе Р.Т. Денчева [5] доказано, что в случае, когда область - эллипсоид или цилиндр с образующими параллельными оси х,, решение первой начально-краевой задачи для уравнения Соболева является почти периодической функцией, так как спектр соответствующей спектральной задачи имеет дискретный характер. Для других областей получены лишь частичные результаты. ? .

Во второй главе диссертации рассматриваются произвольные области, для которых спектральная теория не разработана.

В § 2.3 получены условия, при которых в каждой внутренней точке области решение уравнения (7) либо является суммируемой по t функцией на интервале (0,оо), либо является осциллирующим, т.е. меняет знак бесконечное число раз в любой окрестности со.

Пусть g - ограниченная область с достаточно гладкой границей. Определим область (У = (#х[0,7']). Обозначим через м преобразование Лапласа функции и:

»(/>)= Je

"u(i)dt.

Теорема 4 (2.1). Пусть функция иеС2 2(р) - решение уравнения (1) на (г для любого Т > О. Будем считать, что начальные функции . Предположим, что для решения и имеют место следующие

оценки:

|/;//;>(* ,/)|<ок+с,

при0<у<2, 0 < г < со; 0 < |а| < 2, где константа С не зависит от I,

/I

2

«

при 0 < р< К, К > О - некоторая константа, а С - постоянная, зависящая только от # и К . Тогда в каждой внутренней точке х{) ед функция рассматриваемая как функция от / на интервале (0,°о), либо является суммируемой функцией, либо осциллирующей, т.е. в любой окрестности °о меняет знак бесконечное число раз.

С помощью теоремы 4 в § 2.5 установлено, что для решени первой начально-краевой задачи 1):Аи + 1.)2< и-0у

I X) У

/ = 0=<РОО. УЦ = 0 = Ч/(*)» (9)

г ^ — О % X [0,со)

справедлива теорема 5.

Теорема 5 (2.3). Пусть и еС2,2(С) - решение задачи (9). Будем считать, что начальные функции <р,\у Тогда в каждой внутренней точке л:0 функция ]^и(х°,I), рассматриваемая как функция от I на интервале (0,°°), либо является суммируемой функцией, либо осциллирующей, т.е. в любой окрестности со меняет знак бесконечное число раз.

Показывается, что при нарушении условий теоремы 4 характер решения уравнения (7) может быть достаточно произволен.

Доказано, что ни в одной точке решение уравнения (7) не может монотонно возрастать к оо (следствие 1 ).

Следствие 1 (2.2). Если выполняются условия теоремы 4, то в каждой внутренней точке для решения и еС2'2(С/) уравнения (7) существует нижний предел, равный нулю Цт1о,ги(Л/)! = 0.

В § 2.4 построено представление решения уравнения (7), которое учитывает осциллирующий характер его поведения при / -» оо. При получении этого представления использовано разложение С.Л. Соболева [3]

= (10)

1=0

где коэффициенты ц{х) определяются начальными функциями

Пусть г0(х) финитная гладкая функция, определенная на области

на и ф) = 0 на ¿Л^..

2

'Георема 6(2.2). Пусть иеС2Л((?) - решение уравнения (7). Будем считать, что начальные данные ср (дг),^/ (д:) е ('^(я). Предположим, что для решения и выполняется оценка:

Ккн3

++ |/.;;м|2 + |ы|2}с& < с:

Тогда в каждой внутренней точке дг° имеет место следующее разложение

1 П

1),и(х,1) = — J -/,',(/ 81П 0)51Л в Лф(д;)еЬ +

_1_ П

4к

/ \

|-./0(/зше)А^)Л + (11)

О *"<>

где

т.2тП

О 0 0. 4 '=0 7 v '=0 '

+ 1У

¿ИИ

гбш 0соз2А:0с/яЛрб/0,

^ 1=0 / ^ 1=0 функции н, удовлетворяют (10) и справедлива оценка

|>Цт)<С.

к= О

Первые два интеграла, входящие в разложение (11), стремятся к нулю при Г-» со.

В § 2.6 устанавливаются оценки на амплитуду колебаний решений уравнения (7).

'Георема 7(2.4). Пусть функция и удовлегворяет условиям теоремы 4. Тогда в любой внутренней точке лг° имеют место оценки:

I

\о?о}(х\о\<сг+> + с;

где С не зависит от /, V > 0.

Замечание 2. Оценки, доказанные в теореме 7, справедливы для производных вида

/),2 "/>;,(/', О, />о.

Полученные в теореме 7 оценки усиливают соответствующие резуль-

таты, полученные в работах Б.В. Капитонова [6], C.B. Успенского и Г.В. Демиденко [7].

В третьей главе диссертации исследуются алгебраические моменты решения первой начально-краевой задачи для уравнения C.JI. Соболева. Предложен алгоритм построения алгебраических моментов решения для некоторых областей. Этот алгоритм наиболее полно демонстрируется для случая шара. Установлено, в частости, что если средние от начальных данных равны нулю, то и среднее от решения и задачи (9) для всех / также равно нулю. Предложенный алгоритм применяется также для получения отдельных результатов для случая полушара, четверти шара и некоторых неограниченных областей.

В § 3.1 изучается поведение алгебраических моментов для решения и задачи (9). При выполнении некоторых условий получено представление алгебраических моментов порядка I от решения и задачи (9) через алгебраические моменты порядка к, 0<к<1 от начальных данных <р,1|/ (теорема 8 ).

Введем некоторые обозначения. Рассмотрим однородную линейную систему порядка N, :

^рау(а2)рст = 0,. |у| = /, (12)

где у(у,,у2>у3), |y|-Y] +Ï2 + Уз> У|^0,у2>0,у3>0,

а(о,,сг2,а3), |(т| = (т1 +о2 + а3, а, >0,а2 >0,а3 >0,

\аЧ

= а2(Рг,Уг.7,+Ру!+2.у2-2.7,+Ру,+2.уг.Ь-2)(уГ+Зу1+2) + +а2(Р7,.У,Ь+Рг,-2.Ъ+2у3+Ру„Ъ+2.?1-2)(У2+Зу2+2) +

+(СГ -l)(Pr,.T2.Ti +РУ|-2.7,.у, <2 +PT,.y!-2.ïl+2)(y' +ЗУ3 +2), причем, если некоторый индекс у содержит компоненту у, - 2 < 0, i = 1,2,3 , то соответствующее ру = 0.

Определим а2 из Условия А:

ЛНМа2)|| = 0.

Отсюда получим N, корней Тогда из системы (12) определя-

ются Рп/Vj, зависящие, по крайней мере, от одной произвольной

постоянной и не равные тождественно нулю. Рассмотрим Условие В:

-11 -

A2r=|/(pYí,)||*0, 2<|у|</, 1 <k<Nt

где

Пусть область £ - шар радиуса К: х2+ у2 + г2 <Н2. Теорема 8 (3.1). Пусть и е('22(х х [0,7']) - решение задачи (9) для любого 7'>0, начальные функции (р,\|/ еС^). Предположим, что выполняется Условие В:

д2НММИ

Тогда моменты порядка /, / > 2 от решения и имеют следующее пред-

ставление

Itr'sí к = \

Л а

\

\

+К,к C0Sa<T,к' jq>(*,y^^'y^'Z^dg

L.t

Я S

где у(У],У2»Уз), М = У|+У2+Уз=/) У: ^0,у2 >0,у3 >0;

к - корни полиномов, определяемых Условием Л, (3yí - решения системы (12), апк,Ьак - константы, N п число различных комбинаций с„о2,а,.

Случаи / = 0,1 рассмотрены отдельно. При 1 = 0 получено представление

^u{x,y,z,t)dg = л/3 sin — ^y(x,y,z)dg+eos|ср(х,у,::)с/£.

8 S Я

Огсюда, в частности, следует, что если средние от начальных данных <¡>, \¡/ равны нулю, то и среднее от решения и задачи (9) для всех / также равно нулю.

Замечание 3. Полученные результаты можно обобщить на случай, когда граница области g - эллипсоид.

Замечание 4. Предложенный метод позволяет обобщить результаты на и - мерный случай.

В § 3.1 получено представление алгебраических моментов первого и второго порядка от решения и задачи (9) через алгебраические моменты от

начальных данных в случае полушара и четверти шара.

В работе Р.Т. Денчева [5] для случая шара получено разложение решения и задачи (9) по собственным функциям соответствующей спектральной задачи, которые являются полиномами, ортогональными в некотором гильбертовом пространстве. В § 3.2 для каждого п указывается множество, в которое входят собственные числа, соответствующие собственным функциям порядка < п.

В § 3.3 получено представление некоторых алгебраических моментов для двух неограниченных областей.

Библиографический список литературы

1. ГаСювС.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. — М.: Наука, 1986. 288с.

2. Соболев СЛ. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1954. — Т. 18, № 1. — С. 3-50.

3. Соболев СЛ. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью // Прикл. механика и тех. физика. — 1960. — № 3. — С. 20-55.

4. Успенский C.B., Демиденко Г.В. О поведении на бесконечности решений одной задачи С.Л.Соболева // Сиб.мат.журн. — 1983. — Т. 24, №5, —С. 199-210.

5. Денчев Р.Т: О спектре одного оператора // Докл. АН СССР. — 1959, —Т. 126, № 2. — С. 259-262.

6. Капитонов !> И. Теория потенциала для уравнения малых колебаний вращающейся жидкости // Матсм. сборник. — 1979. — Т. 109, № 4. — С. 607-628.

7. Успенский C.B., ДемиОенко Г.В. О смешанных краевых задачах для одного класса уравнений, не разрешенных относительно старшей произ-

' водной // Дифференциальные уравнения с частыми производными. — Новосибирск. — 1980. — № 2. — С. 92-115.

Публикации по теме диссертации

1. Успенский C.B., Васильева Ii.Н. О поведении на бесконечности решения одной задачи гидродинамики // Тезисы докладов. XIV Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. — Новгород, 1989, Ч. 3. — С. 69.

2. Успенский C.B., Васильева E.H. Оценки решения первой смешанной краевой задачи для уравнения C.JI. Соболева при t -> œ // Тезисы докладов. XV Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. — Ульяновск, 1990, Ч. 2. — С. 99.

3. Васильева H.H. Асимптотическое поведение при /—><х> решения одной задачи C.JI. Соболева в ограниченной области // Тезисы докладов. XXVI научная конференция факультета физико-математических и естественных наук УДН им. П. Лумумбы. — Москва, 1990. — С. 96.

4. Успенский C.B., Васильева H.H. О поведении на бесконечности решения одной задачи гидродинамики // Тр. Матем. ин-та АН СССР. — 1990, —т. 192, —С. 221-230.

5. Успенский C.B., Васильева E.H. Качественное исследование решения одной задачи С.Л. Соболева при t od // Тр. Матем. ин-та РАН. — 1995. — Т. 210. — С. 274-283.

Васильева Елена Николаевна

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ

В работе изучено поведение на бесконечности решения задачи Копт, возникающей при рассмотрении процессов колебания жидкости во всем пространстве. Задача Коши исследована при дополнительном условии на начальнь1е данные, которые предполагаются ортогональными полиномам до некоторого порядка. Исследованы локальные свойства решений уравнения Соболева. Получены условия, при которых в каждой внутренней точке области решение уравнения Соболева либо является суммируемой по / функцией на интервале (0,со), либо является осциллирующим, т.е. меняет знак бесконечное число раз в любой окрестности м. Изучены алгебраические моменты решений первой начально-краевой задачи для уравнения Соболева.

Vasilieva Elena Nikolaevna

THE QUAIJTA TI VE INVESTIGA TION OF THE SOLUTIONS OF SOME CLASS OF THE EQUATIONS IN HYDRODYNAMICS

This work examines the behavior at infinity of the solution of the Cauchy problem, which arises in the consideration of vibrations of a liquid in all of space. The Cauchy problem is investigated under an additional condition on the initial data, which is assumed to be orthogonal to polynomials up to some order. The local properties of the solutions of Sobolev equation are investigated. It is proved, that under some conditions, in each internal point of the domain the solution of the equation is either integrable function of a variable t on the interval (0,co) or oscillating (that is infinitly changing it's sign in any neighbourhood of co). The algebraic moments of the solutions of first initial boundary value problem for the Sobolev equation are investigated.