Качественные свойства решений задач об интрузии в вязкой стратифицированной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ИКОЯЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

ШШШУЛЛШ Андрей Игоревич

КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ОБ ИНТРУЗИИ В ВЯЗКОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

/ 01.01.02 - дифференциальные уравнения /

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.9

МОСКВА - 1993

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского Университета дружбы народов.

Научный руководитель -доктор физико-иатеиатпческлх наук, профессор Масленникова В.Н.

Официальные оппоненты :

доктор физико-иатеиатических наук, профессор Успенский C.B., доктор физико-математических наук, профессор Трошхин О.В.

Ведущая организация - Воронежский Государственный Университет

Защита диссертации состоится " " 1993 г.

в 15 час. 30 мин. на заседании специализированного совета К 053.22.23 по присуждению ученой степени кандидата физкко-мате-матических наук в Российском Университете дружбы народов по адресу : 117293, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 485 .

С днссертаоней ыожно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу : 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан " " ^u^Acc^vä

1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математичес.'"« наук,

доцент иШУ ~ (/¿¿¿У ДРАШЕВ M.B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Образование И развитие пятен турбулентности в стратифицированной жидкости представляет значительный интерес. При этом возникают задачи асимптотического поведения решений для систем гидродинамики с учетом стратификации при большом времени.

Под действием внешних сил в стратифицированной жидкости образуются внутренние гравитационные и инерциотше волнн большого масштаба /например, внутренние волиц от взаимодействия приливных волн с иезомасштабными рельефными неоднородностями/ /1/. Их взаимодействие и последующая потеря устойчивости /обрушение/ возни-каодих сдвиговых течений приводит к появлению областей - пятеп перемешанной жидкости. Для этих пятен характерно возникновение развитой турбулентности сразу же лосле обрупения внутренней волны. Внутренние волны интенсивно излучаются турбулентными пятна-га /2/ и в дальнейшем, взаимодействуя между собой, такяе могут обрупаться /порождать неустойчивые сдвиговые течения/, чтр приводит к появлению новых пятен турбулентности меньшего масштаба. Эти образовавшиеся пятна интрузии, в свою очередь, излучают внутренние волны. Под термином "интрузия" будем понимать; как это принято, наличие неоднородности в плотности жидкости.

Другой причиной возникновения интрузии является существование в океане течений, неоднородных по температуре и, как следствие, по плотности, а также наличие придонной воды, внедрягсей-ся в толщу океана в некотором промежуточном слое, как это имеег место при интрузии придонных вод Средиземного моря в Атлантический океад,. Красного моря - в Индийский океан и, т.д. /1/.

Отметим, что, несмотря на достаточное количество работ, иссле-дущих системы гидродинамики стратифицированной жидкости с точки зрения физики, имеется существенный пробел в исследовании этих задач в ?латематическом смысле.

В работах /1/,/3/,/4/ установлено, что величина скорости расте-

1. Баренблатт Г.И. Динамика турбулентных пятен и интрузии в устойчиво стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана.-1978.-Т. 14,2,-0.195-205.

2. Никииов В.И..Стеценко А.Г. Образование внутренних волн // Гщгоо-механиха.-1975.-Вып.32.-С.21-27.

В работе /5/ было построено решение задачи об интрузии в идеальной линейно стратифицированной жидкости для двух пространственных переменных, для которого была доказана асимптотика

т.е. амплитуда внутренних волн, генерируемых коллапсом интрузии, затухала как i,"^1 при Ъ > О

Двумерная задача интрузии для вертикального сечения вязкой стратифицированной жидкости впервые была рассмотрена в работе /6/, где исследовалось пятно интрузии, заключенное в круге и, в частности, для поля скоростей была получена асимптотика вида

0(0 ,

Однако, ни в одной из работ, посвященных задаче об интрузия, не рассматривался до настоящего времени случай трех пространственных переменных с учетои вязкости, где бн изучалось асимптотическое поведение решения при t. в некотором удалении от границы пятна интрузии. Не бия также рассмотрен практически важный для стратифицированной жидкости случай полупространственпой начально-краевой задачи. Также ранее не была исследована единственность решений соответствуют« задач с разрывными начальными данными. Эти и другие вопросы исследуются в диссертации.

Исследование свойств решений многочисленных задач гидродинамики враданлейся жидкости как с учетом, так и без учета вязкости, было проведено в многочисленных работах В.Н.Масленниковой. В частности, в работе /7/ установлено, что в реяении задачи Коаи для вязкой вращающейся жидкости поле скоростей убывает при -t-»«^*

как (-_c/i , причем р полученной асимптотике убывание порядка

^происходит за счет вязкости, а диссипация энергии, вносимая членом Кориоллса, имеет порядок ^/b ; таким образом, общее рассеяние энергии предъявляет обой результат слияния двух факторов - вязкости и вращения. Для стратпфипирсванной вязкой

3. Попов В.А. Развитие области частично перемешанной жидкости в тонкослоистой стратифицированной среде // Изв. Ali СССР., Физика атмосф. и 0Keana.-1986.-T.22, > 4.-С.389-394.

4. Беляев B.C. ^ затухании турбулентности в пятне при его растека-

2

жидкости тако? результат до настоящего времени отсутствовал.

В диссертации доказывается, в частности, что поле скоростей имеет порядок убывания 1JПРИ -{. в0 внешности

некоторой окрестности пятна интрузии. Если рассматривать по отдельности скорость убывания решений задач гидродинамики вязкой жидкости /без учета стратификации/ и стратифицированной жидкости /без учета вязкости/г то мы получим, что в первом случае скорость

диффузии волн имеет порядок убивания ^ /V, а во втором слу-

чае - порядок ^"/-Ь . Таким образом, скорость затухания волн за счет кориолксовых сил и за счет сил гравитации имеет один и тот яе порядок в вязкой жидкости, что является ванным результатом диссертации.

Цель работы. Настоящая работа имеет своей целью исследование качественных свойств и асимптотического поведения при —>

решения задачи об интрузии в вязкой стратифицированной жидкости для трех пространственных переменных в случаях всего пространства К? и полупространства и установление единственности решений соответствующих задач в классах растущих функций о разрывными начальными данными, а также изучение вклада стратификации в диссипации энергии внутренних гравитационных и инерционных волн в вязкой жидкости в трехсотом случа?.

нии в устойчиво стратифицированной жидкости // Океанология.--1981.-Т.21,Л З.-С.436-440.

5. Стурова И.В. Внутренние волны, генерируемые локальными возмущениями в линейно-стратифицированной жидкости конечной глубины // Журнал ПМТФ.-1978.-Д 3.-С.61-69.

6. Глушко А.Во Асимптотика при ^ -» ^ решения задачи коллапса зоны интрузии в вязкой стратифицированной жидкости // Математические заметки.-1993.-Т.53, И 1.

7. Масленникова В.Н. О скорости затухания вихря в вязкой жидкости // Труды ШАН СССР.-1973.-Т. 126.-С.46-72.

8. Бреховск : Л.М..Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред.- М.: Наука , 1982,- 336 с.

Методика исследования. РешеиЕ0 поставл0нной задачи строится при помощи преобразования Фурье, доказывается его представимость в виде свертки фундаментального решения с разрывными начальными данными. При исследовании компонент решения на непрерывность используется теория интегралов типа потенциала.

При изучении рассматриваем« задач не применяется традиционное сведение системы уравнений к одному уравнению более высокого порядка, как это делается обычно при исследовании внутренних волн в стратифицированной жидкости без учета вязкости, так как используемое при этом методе повышение порядка производной искомой функция требует от ресения исходной задачи повышенной гладкости по и , что в наием случае не мокот быть достигнуто ввиду раз-

рыва начальных функций. Поэтому свертка фундаментального решения с начальной функцией представляется в видо суммы объемного и поверхностного потенш1алоа. Наличие последних обусловлено разрывом начальных данных. Отметим, что разрыв начальных данных вле-чот за собой отсутствие классического /в смысле непрерывных функций/ решения рассматриваемых задач, поэтому в диссертации используется теория обобщенных функций. При исследовании асимптотики • построенных решений при 1 «-> был использован метод стационарной фазы.

Научная новизна. результахн работы является новыми. В диссертации впервые исследуются свойства решений задач об интрузии в вязкой стратифицированной жидкости для случаев всего пространства и полупространства , также впервые устанавливается'вклад стратификации в диссипаций энергии в вязкой жидкости и впервые доказываются теоремы единственности решений поставленных задач.

Практическая и теоретическая ценность, полученные результаты и методы решения изуче. :.шх задач могут найти применение в дальнейших исследованиях задач гидродинамики стратифицированных жидкостей. В практическом отношений результаты, полученные в диссертации, позволяют глубже пс тть мехр.чизм диффузии волн в стратифицированной вязкой жидкости и могут быть использованы в конкретны.'' прикладных задачах динамики атмосферы и океана.

Апробация работы, о^ощще результаты диссертации докладывались на соманаро кафедры дифференциальных уравнений и Функционального анализа Российского Университета дружбы народов п на Всесоюзных конф .акциях по современным методам качественной тео-4

рии дифференциальных уравнений в Воронеже в 1990 году и по теории операторов в Ульяновске в 1990 году. Кроме того, в течение ряда лет результаты диссертации докладывались на ежегодных конференциях молодых ученых и на научных конференциях физико-математических и естественных наук Российского Университета дружбы народов.

Публикации. Осяовлыд результаты диссертации опубликованы в работах автора ^ 11 ~ I41 •

Структура и объем диссертации, дис^ащщ

состоит из введе-

ния, двух глав, каждая из которых содержит по два параграфа и списка литературы, содержащего 39 наименований. Общий объем

В первой главе исследуются качественные свойства решения задачи Кош об интрузии в вязкой стратифицированной жидкости для трех пространственных переменных о разрывными начальными данными. В §1 главы 1 строится в явном виде репениэ поставленной задачи при помощи преобразования Фурье, исследуется его гладкость и единственность в клаосе растущих функций.

Изучается решение следупцей системы уравнений в частных производных :

диссертации составляет 142 страницы машинописного текста,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

/ 1 /

в области . {(к, О : X С С , О^ ^ ^ Т , Т > о] с начальными условиями

5 о) = -У. Ск)

/2/ есть вектор

скорости, - плотность жидкости, -давление жид-

кости , ^ > О -коэффициент вязкости, с^ - ускорение свободного падения, = Св^м^. > О -начальная плотность зшдкос-ти при / предполагается, что жидкость стратифицирована

вдоль оси /, -частота Вайселя-Брента, ^ (к

1« ^ - внешние массовые спли, действующие на жидкость. Системы вида /1/ получены в работе /В/. В рассматриваемой нами модели будем предполагать, что функция стационарного распределения плотности имеет вид • Важность этого случая обусловлена тем, что распределение по экспоненциальному закону является больцмановсюш в однородном поле сил тяжести.

Введем следупцие определения:

Определенно 1. Назовем слабым решением задачи /1/-/2/ систему локально ограниченных измеримых функций

, 3 , » удовлетворяших урав-

нениям /1/ и начальным условия:.! /2/ в смысле теории обобщенных функций

целение 2. Пусть ^(Т-Л для 1

Определение 2. Пусть о (.1&

4 1 '^при

. ^СгО для и , ^Уг"*0

и пусть ^ М с , ^ ы > о , ^ (Л^ Счо

оо

для 1 , , и выполняется свойство: ( ^

1 1 \- <?Л = +■ оо

Назовем классом единственности слабых решений задачи /1/-/2/

множество функций £ С*,V),

определяемое неравенствами : \ ^ 1

почти всвду в , где ^ - некоторые фиксированные поло-

зителышо постоянные, 1*1,1 Доказывается следующая

ТЕ0РЕ1А 1.1. Слабое решение задачи /1/—/2/ единственно в клао-В задаче об интрузии рассматривается однородная система

Г . ^р ^ ^ J

5 ^ 0J

0

1 ___. ц.

"г»*"*

/ з /

с разрывным пачалышм условием па плотность

$ио> О , хеа

ГД0 - ограниченная область ь ^ такая, чтос С1.

Далее в §1 получено представление решения задачи /3/-/4/ в виде свертки

, К*, /5/

где ^чСх.О'ЗС^^ ,

- заданные положительные константы или функции, ^ - оператор Лапласа, а £,(<£)- Фундаментальное решение, строящееся в явном виде, свойства которого описывает следушая

ТЕОРЕМА 1.2. Для компонент фундаментального решения (х,^

и их производных справедливы следующие представления: функции £ (х,0 , и ^ ^ являют-

ся непрерывными и равномерно ограниченными по >0,

функция С/Сх^О представима в виде

где Ч, (>с1'Ь) непрерывна и равномерно ограничена по X € ,

О , Для ее производных по X; имеют место оценки

1 гх; I ~ \Х\ 1

а производные функции £г(х V) оцениваются следующим образом :

и

1 ^ 1

С использованием свойств фундаментального решения и основываясь на представлении /5/, для решения задачи /3/-/4/ доказывается следуюшая

/ 6 /

ТЕ0РН1А 1.3. Задача /3/-/4/ имеет обобщенное решение, обладающее следующими свойствами : компоненты вектора \Г ( /1 V) и (к, О являются непрерывными и равномерно ограниченными функциями X £ , "I > о> О , а компонента ^ (х^) непрерывна по ^ > О и X £ ^ \ $ , при этом на границе ^ области XI функция ^ (Х)'О имеет скачок при переходе изнутри во внешность, равный . Для реиенпя задачи /3-/4/ спра-

ведлпво представление

Для построенного в теоремах 1.2.-1.3. решения имеет место сле-дущий результат.

ТЕОРЕДА 1.4. Решение задачи /3/-/4/, определенное формулой /6/, принадлежит классу единственности ^ ^ •

Последнее утверждение вместе с теоремой 1.1.'устанавливает единственность решения /6/, построенного при помощи преобразования Фурье в пространстве обобщенных функций 3 . Теорема 1.3 дает ответ на вопрос о том, в каком случае такое решение будет регулярны!/, в частности, кусочно-гладким.

Оператор Лапласа в /5/, примененный к разрывной функции (*) , понимается в смысле теории обобщенных функций :

где

№ ;

(х4) , X € Ц

, Х&И ,

"ь,- дельта-функция, сосредоточенная на границе & области XI • Поэтому решение задачи /3/-/4/ строится в виде сушш трех интегралов типа свертки фундаментально^ решения и его нормальной производной с начальной функцией и имеет вид /6/; два интеграла являются поверхностными, третий - объемным.

Основываясь на полученных в первой параграфе главы 1 результатах о структуре решения задачи /3/-/4/ и оценках соответствуют! интегральных представлений,в §2 главы 1 изучается асимптотическое поведение этого решения при \ с*? . Доказывается следующая основная

ТЕОРЕМА 1.5. Пусть в /4/ выполняется \ = О , 1-5.Л -

Тогда для компонент решения задачи /3/-/4/ справедливы следующие

асимптотические представления при ^

+ ^

г ,ч ^^ + 0 „с*

"" <íü.

IfU^I ¿ -^Гх , X é-Q

£ i

гдо "t > "t - О , £>о -достаточно иалб,

- проязволышЗ компакт, талой, что -Q.t ,

l > О - сколь угодно мало, оценки o("t } л о ( "t ) равн^-корни по X в У\ , велитлш С.^ , = н С4 являются zócoy.nnv.'^s. nojrc^im.TiüLrrj пос толпа?, "я, тоннгЯ гпд которых приводится в дисссртацшт, функции С" (*) нопрернгаш л равномерно ограничены по х ¿ п то от вид:

S

vi.i ^v t

l v i ^ J

а постоянная С.1* имеот пид :

íi

В главе 2 исследуются свойства решения задачи об интрузии для полупространства (х4 х^ £ № х^о^.

В §1 рассматривается система /1/ с граничными условиями

и начальными условиями

Г ^ (х.о) = (х") у 8 у

Слабое решение задачи /1/,/7/,/в/ определим так хе, как и в случае задачи Коши /Опр.1/ в области

4 - •• х е , о б Ъ б т}

Введем следующее

Определение 3. Пусть ^(ч) , ^(г) удовлетворяют условиям определения 2. Класс единственности V ^ слабых решений задачи /1/,/7/,/8/ определим следующими неравенствами:

почти всвду в X ^ Т] ? Где С^ - некоторые

положительные постоянные, \2> . Доказывается следупцая

ТЕ0Р1МА 2.1. Слабое решение задачи /1/,/7/,/в/ единственно в классе .

Далее в §1 главы 2 рассматривается система /3/ в полупространстве с граничными условиями /7/ и начальными условиями V' 1 О , х С

($.(0€С*<$йпсЧя.)) х ей, / 9 /

где .П. - ограниченная область , такач, что £ С1

Обосновывается представимость решения задачи /3/,/7/,/Э/ в виде

/Ю/

где являются, до существу, элементами матрицы Грина

рассматриваемой начально-красной задачи, построегапт п явном виде, свойства которых устанавливает следующая

* * Для компонент вектор-функции £ (х 1 п их

производных справедливы представления : 0 , л

"С- и N ч

функции Е-Дх^Л4) , 1.1ДЛЛ п ■ —^-^ *

-

•5 >

, непрерывны и равномерно ограничен!' по х е м,+ ,

у 6 О. I ^ > ^..>0 , компонента £,, (*г, представила в виде , „г .-,гг

где ^ IС^»4/')^') непрерывна и равномерно ограничена по х ^м »

£ -2. . „ > О , а производные функций

и с^ ' оцениваются следующим образом :

Для решения задачи /3/,/7/,/9/ устанавливаются результаты, аналогичные полученным в теоремах 1.3.-1.4.:

ТЕОРШЛ 2.3. Задача /3/,/7/,/Э/ имеет обобщенное решение, обладающее следующими свойствам: компоненты вектора -от и. являются непрерывными и равномерно ограниченны?.™ функциями X ( Я»,

> О э а компонента ^ I непрерывна по "I > О и К 5 • 111)11 этом на г?™"118 5 области'.£1 у

Г:

ется скачок при перехода изнутри области .Л. во внешность, равный

ТЕОРША 2.4. Решение задачи /3/,/7/,/Э/, определенное в представлении /10/, принадлежит классу единственности ft ^ « Основным результатом §2 главы 2 является следупцая

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть в /9/ выполнено условие -2l| -О ,

--^х; \ s

Тогда для компонент решения задачи /3/,/7/,/Э/ имеют место следующие асимптотические представления при -t

"ti

i

IsMU| . if M •

где > "fc. > О , i> о - достаточно мало, - про-

извольный компакт, такой, что К с \ , оценки о (О}

о(1-ГЯ). o(t-)

равномерны по х € г\ , «L > О -- произвольно и сколь угодно мало, С+ = 1 С , где С.' являю л постоянными из теоремы 1.5, С + - конкретная положительная постоянная, а непрерывные равномерно ограниченные функции С.*. 00 , . * К . имеют вид:

Замечание 1. Если отказаться от требования -й>Г-|5 '

в теоремах 1.5.,2.5.,то есть допустить разрыв производных начальных данных на границе области Л1« , то асимптотика решений рассматриваемых задач ухудшится, например, компонента -^(^Ь)

прл -Ь —будет иметь порядок убывания, равный

Замечание 2. В работах /5/,/6/, как и в настоящей диссертации, используется оощепринятая модель, содержащая уравнение

таким образом, плотность будет претерпевать скачок на границах пятна и модель задачи не описывает движение жидкости вблизи пятна интрузии, но на некотором расстоянии от его границ /5/ данная модель описывает поле внутренних волн с хорошей степенью точности.

В заключение автор вырачсает самую искреннюю благодарность своему .учителю профессору Вере Николаевне Масленниковой за предложенную интересную тему диссертации, постоянное внимание, помощь, пенные советы при проведении исследовшшй и за плодотворное обсуждение их результатов.

СПИСОК РАБОТ, ОПУИШКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

2.

3.

Кшиатуллпн А.И. Асимптотические оценки решений в задаче об интрузии в вязкой стратифицированной жидкости в случае трех пространственных переменных // Х2У1 научная конференция фа-> культета физико-математических и естественных наук УДН. -

- Тезисы докладов. - Ы. : 1990. - С. 105. Масленникова В.Н. .ГиниатуЛшш А.И. Качественные свойства решения системы дифференциальных уравнений для интрузии в вязкой стратифицированной жидкости в случае трех пространственных переменных // ХУ Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. - Тезисы до-кладоз, часть 2. - Ульяновск. - 1990. - С. 9. Масленникова В.Н..Гиниатуллин А.И. О задаче интрузии в вязкой стратифицированной жидкости для " трех пространственных переменных // Математические заметки РАН. - 1992. -

- Т. 51 .Вып. 4. - С. 69 - 77.

Гиниатуллин А.И. Об асимптотическом убывании решения задачи Коши для стратифицированной вязкой жидкости // ХХУ111 научная конференция факультета физико-математических и естественных наук РУДН. - Тезисы докладов. - М. : 1992. -

- Ч. 2. - С. 31.

4

Подписано к печати. Объем 1,0 п.л. Тир. 100, зак.

ТИПОГРАФИЯ РОССИЙСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ДРУЖБЫ НАРОДОВ