Качественный анализ и оценки решений нелинейных систем в критических случаях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

и

003487705

Соколов Сергей Владимирович

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ

01.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетика 0o.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 о ДЕК 2009

Санкт-Петербург — 2009

003487705

Работа выполнена на кафедре управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Пстербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор

Александров Александр Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Жабко Алексей Петрович

доктор физико-математических наук, профессор

Щенников Владимир Николаевич

Ведущая организация' Институт динамики систем и теории управления СО РАН

Защита состоится " ^ " УИМ^-Я 2009 в ч. мин. на заседании совета Д.212.232,59 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, В.О., Средний пр.. 41/43, ауд. 511.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " 17 " И1<г£р-9 2009.

Учёный секретарь диссертационного совета __

доктор физико-математических наук / ' ЕГ.Д. Ногин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория управления входит в чиело важнейших разделов современной науки, поскольку она используется во всех процессах, допускающих внешнее воздействие со стороны человека. Исследование различных биологических, физических и технических моделей приводит к необходимости рассматривать сложные системы дифференциальных уравнений. Основными особенностями таких систем являются высокая размерность, большое количество параметров и существенно нелинейный характер уравнений.

На любую реальную систему влияет значительное количество внешних факторов. Учет этих факторов приводит к необходимости предусматривать стабилизирующие управления, так как практическое применение имеют только устойчивые режимы функционирования объектов.

Для решения большинства практических задач теории управления необходимо определять условия, при которых гарантирована устойчивость программных движений рассматриваемых систем. При этом, чем точнее определены указанные условия, тем менее жесткими становятся ограничения на стабилизирующие воздействия. На практике снижение подобных требований приводит к уменьшению расхода топлива, экономии материальных и человеческих ресурсов. Важную роль в исследованиях имеет и получение наиболее точных оценок отклонений переходных процессов от установившихся движений. Для решения этой задачи используют различные методы нахождения экстремума функций, например, методы и алгоритмы линейного и нелинейного программирования. К сожалению, большая часть подобных алгоритмов определяет только общий способ решения задачи. Вместе с тем, для практического применения важно разрабатывать алгоритмы, приводящие к получению оценок в явном виде.

Одним из основных методов исследования устойчивости нелинейных систем является второй метод Ляпунова, базирующийся на использовании специально построенных функций. Предложенный A.M. Ляпуновым метод был в дальнейшем значительно развит в работах Е.А. Барбашина, В.И. Зубова, H.H. Красовкого, И.Г. Малкина, A.A. Мартынкжа, К.П. Персидского

и других ученых. Вместе с тем, общие конструктивные способы построения функций Ляпунова отсутствуют, а наиболее полные результаты получены только для линейных стационарных систем. Поэтому любые новые подходы и расширение области применимости метода функций Ляпунова заслуживают внимания.

Таким образом, актуальность темы диссертации определяется недостаточной изученностью критических случаев сложных систем дифференциальных уравнений в части определения условий устойчивости и получения оценок решений.

Цели и задачи исследования. Получение новых условий устойчивости нелинейных систем в критических по Ляпунову случаях, нахождение наиболее точных оценок решений существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются методы теории управления, теории устойчивости, теории графов, различные методы оптимизации, в частности, методы линейного программирования.

Научная новизна. Полученные условия устойчивости и оценки решений являются новыми или уточняют известные результаты.

Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов исследования подтверждается логической последовательностью рассуждений, математической строгостью приведенных доказательств.

Практическое значение. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при проектировании объектов, описываемых существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений. Они могут применяться для определения допустимых границ значений параметров систем и условий на возмущения. С помощью разработанных методов можно строить стабилизирующие управления и получать оценки времени переходных процессов.

Положения, выносимые на защиту

1. Уточнены известные и получены новые условия устойчивости по первому, в широком смысле, приближению для нелинейных систем со специальной структурой.

2. Разработаны алгоритмы нахождения наиболее точных оценок решений широкого класса существенно нелинейных сложных систем. В общем случае задача сведена к задаче линейного программирования, в важных частных случаях предложены конструктивные алгоритмы нахождения оценок.

3. Найдены условия устойчивости в критических по Ляпунову случаях для ряда нелинейных систем, находящихся под воздействием постоянно действующих возмущений.

4. Получены новые условия диссипативности для некоторых классов обобщенных Вольтерровских моделей динамики популяций.

5. Проведен анализ устойчивости положения равновесия сложной механической системы, описывающей взаимодействие связанных нелинейных осцилляторов.

6. Предложены способы построения стабилизирующих управлений для некоторых классов нелинейных управляемых систем.

Апробация работы. Основные положения научной работы докладывались на следующих конференциях:

1. 6-й международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2004).

2. 2-й международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2005).

3. Международной конференции «Устойчивости и процессы управления», посвященной 75-летию В.И.Зубова (Санкт-Петербург, 2005).

4. 3-ей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006).

5. 40-й научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2009).

Работа поддержана РФФИ в рамках гранта 08-08-92208 ГФЕН_а.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано семь работ, одна из которых в издании, входящем в перечень ВАК рецензируемых научных журналов.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы; она включает 108 листов машинописного текста, 6 рисунков, список цитируемой литературы состоит из 60 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель исследований, представлены выносимые на защиту научные положения, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

Первая глава посвящена исследованию сложных систем дифференциальных уравнений. Первые три параграфа настоящей главы являются вспомогательными, в них введены определения и приведены основные использованные в диссертационной работе подходы к изучению устойчивости нелинейных систем.

Параграф 1.4 посвящен исследованию систем дифференциальных уравнений вида

х, = f¿(x¿) + R¿(í,x), г = 1,..., п. (1)

Здесь x(í) = (xj(í),... ,x*(í))*, x¿(í) G R^', f¿(x;) — непрерывно дифференцируемые однородные порядка /lí¿ > 1 функции. Система вида (1) -сложная система, описывающая взаимодействие изолированных подсистем

x¿ = f¿(x¿), г = 1,..., п. (2)

Вектор-функции R¿(í, х) характеризуют связи между подсистемами. Предполагалось, что при t > 0, ||х|| < Н (Н - положительная постоянная),

Ri(i,x) непрерывны и удовлетворяют неравенствам

Tili j=1

Здесь dj > 0, af'j > 0, J2p=i > 0- Тогда система (1) имеет нулевое решение. Пусть нулевые решения изолированных подсистем асимптотически устойчивы. В.И. Зубов доказал, что существуют непрерывно дифференцируемые положительно-определенные положительно-однородные порядка 7; - /i, -f 1 (7i > ßi), функции V^x,), такие, что производные dVi/dt\(2) отрицательно определены. Величины 7; можно выбирать произвольным образом, поэтому они используются в качестве параметров.

В работах A.A. Косова, А.Ю. Александрова и A.B. Платонова исследовались условия, при выполнении которых гарантирована устойчивость нулевого решения системы (1). A.B. Платонов предложил метод получения условий на параметры 7;, основанный на нахождении простых циклов специальным образом построенного графа. Известно, что если положительные постоянные 71, ■ • • ,7П, можно выбрать так, чтобы выполнялись неравенства

п а(р)

l = h ^ J = 1..........(3)

Ъ U Ъ

то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво и существуют числа 8 > 0 и Д > 0 такие, что если начальные данные решения x(i) удовлетворяют условиям io > 0 и ||x(io)|| < <5, то справедливы неравенства

||xs(i)ll < A(i - ¿о + s = l,...,n. (4)

т ■

Здесь р = min^i,...^ —- 1.

¡Ij 1

Рассмотрим теперь оценки (4). Показатели степеней —р/(% ~ Ms + l) зависят от выбора функций Ляпунова через набор параметров 71,... ,уп-При этом, для того, чтобы были справедливы оценки (4), сами эти параметры должны удовлетворять ограничениям (3). Таким образом, возникает задача поиска допустимых величин 71,..., 7П, при которых показатели степеней в оценках (4) были бы наименьшими. В диссертации доказано, что справедлива

Теорема 1 Для каждого фиксированного s задача на,хождения наиболее точных оценок решений системы (1) эквивалентна решению задачи линейного программирования zq —> min при ограничениях

Методы решения задач линейного программирования (симплекс-метод, различные численные методы) хорошо известны, но в общем случае не дают явного решения поставленной задачи.

В §1.5-1.9 исследовано несколько классов сложных систем со специальными структурами связей, для которых удается получить оценки решений в явном виде, то есть в виде функций от параметров системы (1).

Уравнения, в которых каждая предыдущая подсистема влияет на следующую, названы системами со связью циклического типа (рис. 1).

Рис. 1. Граф для системы со связями циклического типа.

Уравнения, в которых все подсистемы влияют на одну подсистему, а эта подсистема влияет на все остальные, названы системами с центральным типом связи (рис. 2).

Во всех рассмотренных случаях предложены конструктивные алгоритмы и получен явный вид оценок решений.

Во второй главе исследуется задача устойчивости по первому, в широком смысле, приближению для нескольких классов нелинейных систем.

Zs = ßs ~ 1, Zi < Zq, У -—-Zp >

ßp-l

pjii

4 -uij ■ , . ,

-r-Zi, г = 1,..., n, .7 = 1,..., Uli.

14 - 1

Рис. 2. Граф для системы со связями центрального типа.

В §2.1 сформулирована постановка задачи. Показана связь задачи об устойчивости по первому, в широком смысле, приближению и задачи абсолютной устойчивости, то есть устойчивости при любых допустимых функциях в правой части.

В §2.2 исследована система каскадного вида

( А а<1+1> „<"> ^

Хг + (1£+1) • • • /„" (xn)J , г = 1,..., п - 1,

(5)

Здесь функции /¿(х,), г^х^ определены и непрерывны при < Н (Я — положительная постоянная), > 0 при Xi ф 0 г = 1,...,п. Кроме

того, гг(х|) 0 г = 1,... ,п. Показатели степеней ст,^ — неотрицательные рациональные числа с нечетными знаменателями, 1 > аг- и

— постоянные коэффициенты; а* < 0, г = 1,..., п, г = 1,..., т*. Если какие-то ^ = 0, то соответствующие величины р = г + 1

можно считать сколь угодно большими. При выполнении этих условий у рассматриваемой системы существует нулевое решение. Доказано, что при сделанных предположениях нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво.

Далее в §2.2 рассмотрен случай, когда справедливы равенства а^ = Огр для всех з = 1,..., гп;. Предполагались, что функции /¿(^¿), опре-

делены и непрерывны при всех я, £ К. Найдены условия, при выполнении которых нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво в целом.

Параграф 2.3 посвящен нахождению условий абсолютной устойчивости систем с мультипликативной связью центрального типа

±г = + г„), г = 1,..., п - 1,

¿< = ап}п(хп) + Ь^Ы/гЧ^)""" 1п-Г(хп-1). Функция Ляпунова выбиралась в виде

^ = (7)

.=1 ^

где щ — положительные рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, Аг > 0 — постоянные.

Была поставлена задача определения множества значений параметров щ, Ь{, ац и /2;, для которых числа щ и А* можно выбрать так, чтобы производная функции Ляпунова в силу системы (6) была отрицательно определена.

Теорема 2 При выполнении неравенства

71—1

(в)

¿=1

существуют положительные постоянные при которых производная функции Ляпунова (7) в силу системы (6) отрицательно определена (для любых А* > 0).

Предположим теперь, что неравенство (8) обращается в равенство, т.е. имеет место соотношение

п-1

= (9)

«=г

Теорема 3 Пг/сть выполнено равенство (9). Тогда для существования положительных постоянных и А;, при которых производная функции Ляпунова (7) в силу системы (6) отрицательно определена, необходимо, а еаги справедливо неравенство

У}11ь022...ь^ьп> о,

то и достаточно, чтобы имыо место соотношение

ап + Ьп(-- -- ... -— <0. V «1/ V «2/ V °П-1/

В четвертом параграфе второй главы рассмотрено несколько частных случаев системы (1). В отличие от §1.5-1.9, где условия устойчивости имели вид строгих неравенств на показатели степеней, в §2.4 исследовался пограничный случай, когда неравенства на показатели степеней выполняются как равенства. Для всех рассмотренных случаев решена задача нахождения наиболее точных оценок решений.

Пусть теперь системы, рассмотренные в §2.4, нестационарны. Для использования известных достаточных условий устойчивости приходится производить оценку сверху для изменяющихся со временем коэффициентов, что приводит к огрублению результатов. Более того, для многих асимптотически устойчивых систем достаточные условия выполняться не будут. В §2.5 предложен способ получения новых условий устойчивости, учитывающих характер возмущений. Всего исследовано четыре класса систем: системы с мультипликативными и аддитивными связями центрального и циклического типов.

Например, рассмотрим систему с мультипликативными связями центрального типа

| х{ = (а{ 4- + (Ь + Ы*))хп\ г = 1,..., га — 1,

\ хп = (ап + ап(*Ж" + (&п + ■ ■ ■

Здесь условия на показатели степеней //¿,г = 1 ,...,п, а^, } =

1,..., п — 1 и постоянные коэффициенты щ, Ь{ совпадают с ограничениями из §2.3. Возмущения Ь^), г = 1,... ,п — 1, непрерывны и ограничены при всех Ь > 0. Рассматриваем пограничный случай т.е. случай, когда выполнено соотношение (9), кроме того, предполагаем, что для невозмущенной системы справедливы полученные в §2.3 условия существования постоянных 71..., 7п, Лх,..., Ап, таких, что производная функции Ляпунова (7) в силу невозмущенной системы отрицательно определена.

Предположим, что существует такое число 0 < ß < 1, что для возмущений коэффициентов правой части справедливы следующие соотношения

1 Г1 1

lim —г / äi{r)d,T = lim -j, / ЪАт)6,т = 0. t->оо tP Jо f Jо

Таким образом, рассматриваются нестационарные возмущения, имеющие нулевые средние значения. Введем обозначения

<?< = -■—Ц, г = 1,..., гг — 1, 0„ = —Ц-. (11)

Qj Щ - 1 Цп - 1

Справедлива

Теорема 4 Яри выполнении неравенства

(12)

нулевое решение системы, (10) асимптотически устойчиво.

В §2.6 получены условия диссипативности обобщенных Вольтерров-ских моделей динамики популяций вида

±i = Xilbi- СгХf + aijxi" "''1 г = 1,...,п. (13)

Здесь Xi{t) - численность (или масса) г-той популяции в момент времени i, bi > 0 - коэффициенты естественного прироста популяций, постоянные с,- > 0, Hi > 0, г = 1,..., п определяют степень насыщения популяций при увеличении их численности, величины а^ > 0, ац = 0 определяют взаимное влияние популяций (в данном случае коэффициенты неотрицательны, что характерно для симбиоза или нейтрализма).

Известно, что для того, чтобы функция Ляпунова К(х) = /t,+1, Ai > 0, 7i > /ii, удовлетворяла условиям теоремы о равномерной диссипативности в ортанте К+ для системы (13) достаточно, чтобы для любого Д > 0 существовали числа 0ь ..., 0п, удовлетворяющие системе неравенств

' „(1) „(2) „(») - + ■ • • вп <0. г = 1,..., n, (14)

i=i

такие, что в{ > Д.

Однако, данные ограничения в общем случае не дают явного вида условий равномерной диссипативноетн рассматриваемой системы. Для некоторых классов систем можно получить условия в явном виде, то есть не зависящие от чисел в\,...,вп.

Рассмотрим систему с мультипликативной связью центрального типа

= ж,- {к - сгх'1{ + агх%), г = 1,..., п - 1,

• _ Л _ I Р\ Рг Аг-Л

Хп — I 0п Спхп + апХ^ Х2 ' " ' %п-1 I ■

Здесь а,- > 0, о,- > О, Д- > 0, причем /?Н-----(- /?п_1 > 0. Доказано, что если

справедливо неравенство

'1-1 „ афг / , < А'п)

1=г *

то рассматриваемая система диссипативна.

Также получены условия диссипативности для систем с аддитивными связями центрального типа и систем с мультипликативными и аддитивными связями циклического типа.

Параграф 2.7 посвящен применению полученных результатов для построения стабилизирующих управлений для некоторых классов существенно нелинейных систем. Предложены способы построения управлений и приведены условия, при которых эти управления являются стабилизирующими.

Третья глава посвящена исследованию устойчивости нелинейных колебательных систем.

В §3.1 рассмотрена система связанных нелинейных осцилляторов вида

х{ + {а^ + /¿(¿,х))±; + = 0, г=1,..'., п. (15)

Здесь Хг е К1, х = (х-1,... ,хп)*; а,-,^ - положительные постоянные; 5{ -рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, > 1, щ - рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями, щ > 0; функции х), определяющие связь между уравнениями, непрерывны при Ь > 0, ||х|| < Н {Н - положительная постоянная) и удо-

влетворяют неравенствам

!/«(£, х)| < Й \Хг-1\0', г = 1 ,...,п,

где Хо = хп. а > О, (3, > 0, г = 1,... ,п. Сформулированы известные условия устойчивости для системы (15) в случае п = 2, ^ = 2^ +1, г = 1,2.

Во втором параграфе решена задача определения условий на параметры Рх,..., Рп, при которых связанная система сохраняет устойчивость.

Теорема 5 При выполнении неравенства

пулевое решение системы (15) асимптотически устойчиво.

Кроме того, в §3.2 рассмотрена управляемая система связанных нелинейных осцилляторов вида (15), для которой предложен способ построения управления в виде обратной связи. Определены условия, при которых управление является стабилизирующим.

В §3.3 предложен алгоритм выбора параметров функции Ляпунова для получения наиболее точных оценок решений для системы (15).

В заключении приведен перечень результатов, выносимых на защи-

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

Рецензируемые журналы, входящие в Перечень ВАК РФ

1. Соколов С. В. Условия устойчивости и оценки решений некоторого класса сложных систем // Вестник СПбУ. Серия 10. 2009. Вып. 3. С. 130-137.

Прочие публикации по теме диссертации

2. Александров А. Ю., Соколов С. В. О построении функций Ляпунова для некоторых классов нелинейных систем // Труды Средневолж-ского математического общества. 2004. Т. 6, № 1. С. 69-74.

ту.

3. Александров А. Ю., Соколов С. В. Устойчивость и оценки решений некоторых классов нелинейных систем // Труды Средневолжского математического общества. 2005. Т. 7, № 1. С. 113-123.

4. Соколов С. В. Оценки решений некоторых классов нелинейных систем // Труды международной конференции «Устойчивость и про цессы управления», посвященной 75-летию со дня рождения В. И. Зубова. Санкт-Петербург, 30 июня - 01 июля 2005. СПб.: СПбГУ, 2005. С. 462-471.

5. Соколов С. В. Условия устойчивости одной нелинейной системы с постоянно действующими возмущениями // Труды 3-ей Всерос. научи. конф. «Мат. моделирование и краевые задачи». Самара, 2006. Часть 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. С. 205208.

0. Соколов С. В. Об асимптотической устойчивости в целом одного класса нелинейных систем // Математическое и информационное моделирование: Сборник научных трудов. Вып. 9. Тюмень: Издательство «Вектор Бук», 2007. С. 163-169.

7. Соколов С. В. Анализ устойчивости некоторых классов нелинейных систем с постоянно действующими возмущениями // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова. Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2009. С. 61-67

Подписано к печати 13.11.09. Формат 60 х 84 'Ль. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4548.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26. Тел.: (812) 428-4043,428-6919.