Качественный анализ матричных уравнений движения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПАТРУШЕВА Марина Витальевна

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

(01.01.09 - математическая кибернетика)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научны^ руководитель: д. ф,- м. н., профессор Зубов В.И.

Санкт-Петербург 1999

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Введение ......................................................3

Глава I Топологическая структура отображений,

определяемых дифференциальными уравнениями,

и устойчивость.........................................7

§1. Фундаментальная система решений и ее свойства............7

§2. Метод вариации произвольных постоянных и

его обобщения........................................15

§3. Матричные критерии устойчивости......................22

Глава II Двусторонние матричные уравнения.....................31

§4. Структура фундаментальной системы решений

дифференциальных уравнений..........................31

§5. Теория возмущений двусторонних

- .»<*•*»!'. ..у IV

,у.« «" •

матричных уравнений............. :.........37

§6. Критерий устойчивости двусторонних

матричных уравнений.................................41

Глава III Численные методы исследования двусторонних

матричных уравнений.................................48

§7. Численные методы построения

фундаментальной системы............................48

§8. Консервативные численные методы.....................53

§9. Сходимость, точность и устойчивость

численных методов...................................58

Заключение..................................................65

Библиография................................................66

ВВЕДЕНИЕ

Для решения вопроса об устойчивости линейных однородных систем дифференциальных уравнений в нормальной форме используют обычно второй метод Ляпунова.

Пусть дана система

(1)

СП

Нулевое решение этой системы асимптотически устойчиво по Ляпунову и устойчивость является экспоненциальной тогда и только тогда, когда существуют две квадратичных формы У(х], ..., хп, ?) и Щх], ..., х„, О, связанных между собой уравнением

дГ " дУ ) пг( л

При этом V является определенно положительной квадратичной формой, Ж - определенно отрицательной квадратичной формой. Уравнение (2) для матриц квадратичных форм V и Ж дает соотношение

— + Р*А + АР = В, (3)

Л

где Р есть матрица коэффициентов системы (1).

Матричное уравнение (3) обладает тем характерным свойством, что искомая матрица А входит в него как левосторонний множитель, так и правосторонний множитель. В этом смысле будем называть такие уравнения двусторонними. Они возникают в механике, электродинамике, в топологии, определяемые дифференциальными уравнениями.

В настоящем исследовании основное внимание уделено развитию математических методов качественного анализа таких уравнений, а также аналитическому представлению их решения и развитию численных методов их построения.

Актуальность этих исследований определяется тем, что до настоящего времени уравнение Ляпунова окончательно не изучено.

Среди новых результатов, которые получены в ходе исследования можно указать на аналитическое представление решений, на новый критерий устойчивости, распространение теоремы Лиувилля и теоремы Флоке на матричные уравнения.

Известно, что матричные уравнения всегда можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям в нормальной форме. Однако, это сведение не позволяет развить математический аппарат, учитывающий специфику двусторонних матричных уравнений. При переходе к нормальной форме эта специфика исчезает. Главным обстоятельством в аналитическом представлении решений является то, что матрицы начальных условий слева и справа умножаются на матрицы, являющиеся фундаментальными системами решений для уравнений порядка п. В то время как переход к системам в нормальной форме приводит к размерности систмемы п". Такой аналитический вид решений привел к рассмотрению весьма интересной задачи линейной алгебры. А именно, даны два полинома одинакового порядка, требуется построить полином, корнями которого будут суммы корней первого и второго из заданных полиномов. Разрешение такой задачи связано с разрешением проблемы устойчивости матричного двустороннего уравнения с постоянными коэффициентами.

В завершении сказанного полезно напомнить, что второй метод Ляпунова связан с исследованием некоторых функций, вычисляемых на движениях заданных систем уравнений без иньегрирования этих систем. Эти исследования приводят к решению вопроса об устойчивости, об асимптотической устойчивости невозмущенных движений, а также к исследованию качественного поведения движений в окрестности установившихся траекторий. При этом при формулировании второго

метода Ляпунов A.M. указывает на конкретные свойства функций, поведение которых исследуются вдоль траектории заданной системы дифференциальных уравнений.

Предположим, что заданы две системы дифференциальных уравнений

dx " —

-Г = Z Psi (О*, +fs(t,X},...,Xn), 5 = 1, dt t^

n

dys dt

Z Чй (О У, +g,(t,x 1 ,-,*„), S = l,n.

(4)

(5)

Будем исследовать взаимное поведение систем (4) и (5) с помощью функций, а именно, положим

У(Х,¥,0 = Х'$«УГ, (6)

9=0(1) - матрица, подлежащая определению.

Вычислим полную производную этой функции в силу линейных приближений для уравнений (4) и (5)

= (7)

ал dY

м

где X = , Г = •

Vх" У

dt

Q{t)Y.

(8)

Потребуем, чтобы эта полная производная совпадала с функцией

= (9)

Тогда будем иметь

dV

= W. dt

При переходе в (10) к матричным . равенствам найдем

de

dt

■+Р G + 6Q = B.

(10)

(И)

Таким образом, в ходе исследования взаимного поведения двух систем дифференциальных уравнений, появляется двустороннее линейное неоднородное матричное уравенение общего вида.

Исследование таких уравнений является новым в теории дифференциальных уравнений. Хотя, как показано в работе, управление вращательным движением твердого тела приводит к решению зачачи ориентации, которая связана с такими уравнениями и является их частным случаем. Проблема отыскания ориентации твердого тела в пространстве по отношению к абсолютной системе координат на основе известной мгновенной угловой скорости называется обычно задачей Дарбу и до настоящего времени окончательно не разрешена в общем виде.

Глава I Топологическая структура отображений, определяемых уравнениями, и устойчивость.

§ 1 Фундаментальная система решений и ее свойства

В настоящем параграфе рассматривается система однородных дифференциальных уравнений в нормальной форме вида [23]

(1.1)

В системе (1.1) коэффициент рх1 будем считать вещественными непрерывными функциями, заданными при Будем в

дальнейшем использовать матричную запись системы (1.1) [4]

о, (1.2)

си

где Х =

Vх» У

Р = {р1 , (5 = 1, П, 7 = 1, п).

Всякий непрерывно дифференцируемый вектор Х=Х(^, обращающий уравнение (1.2) в тождество будем называть решением этого уравнения, а точку пространства Еп - Х^о) будем называть начальным значением этого решения, соответствующим значению [19]

Определение 1. Будем говорить, что вектора ..., Х"(1)

образуют фундаментальную систему решений системы (1.2), если они непрерывно дифференцируемы, заданы при /е(-со, +оо) и определитель матрицы, составленный из этих столбцов не обращается в нуль.

Л^О, где ^={хД/)}, (л- = 1, //, / = !,«). Причем, хД^) является 8-ой компонентой решения X.

Теорема 1. Матрица

< г2

= Е + ^ртхс1тх + ^рхх^ртгйхгйгх +^ртх ^ рт2^ртъс1т3с1т2с1тх +... (1-3)

1() ¿о Ч

является фундаментальной системой решений для системы (1.2) с начальным условием %=Е при t=to, где Е - единичная матрица. Доказательство.

Эта теорема известна из теории дифференциальных уравнений [10]. Однако ее можно коротко доказать следующим образом.

Наряду с уравнением (1.2) рассмотрим матричные уравнения

§ = (1-4)

т

где £ - квадратная матрица порядка п, подлежащая определению. Будем ее искать в форме ряда

$=£ + ¿¿+¿1?+... (1.5)

Подставляя ряд (1.5) в уравнение (1.4), и, приравнивая члены с одинаковыми степенями /л, найдем

А

Л

(к

(1-6)

к

Л

Положим в (1.6) £=Е, <^=0 при 1=1 о (&= 1, 2, ...). Тогда будем иметь

I'

О '0

к

В результате применения этой рекурентной формулы получается ряд, который будет сходится абсолютно и равномерно во все всяком

конечном интервале ^ -Т < t Действительно, зафиксируем такой

интервал. В нем функции р5г равномерно ограничены. Поэтому существует положительная константа р, такая, что | ряг \ <р при te(to -Т, (()+То). Тогда, заменяя р31 на р, получим мажорантный матричный ряд

—2

2! 3!

Здесь через Р обозначена матрица P(t), у которой каждый элемент заменен на р.

Так как ряд для экспаненты сходится всюду на комплексной плоскости Z, то при замене Z на матрицу P(t-t0) матричный ряд также

будет сходится при любом выборе Р и числел t, t0.

Тогда ряд (1.3) сходится абсолютно и равномерно на всяком конечном промежутке te(-T, +Т).

Для того, чтобы этот ряд представлял фундаментальную систему решений необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы % был отличен от нуля при всех te(-oо, +оо).

Покажем, что этот факт имеет место. С этой целью продифференцируем величину Из теории определителей известно, что производная определителя будет совпадать с суммой определителей матрицы £ у которой продифференцирована только одна строка (5 = 1, п )

dt

s= 1

В этой формуле через обозначена матрица £ у которой продифференцирована по t строка с номером я.

Эту строку можно заменить, пользуясь уравнением

dt

Тогда по свойству определителей будем иметь

Откуда имеем

^ л *

Интегрируя это уравнение, и , учитывая, что ^0)=Е, найдем

» 'г»

Полученная формула называется теоремой Лиувилля. Из этой формулы вытекает, что определитель матрицы £ будет оставаться всегда положительным при te(-со, +со).

Для того, чтобы получить решение системы (1.2) с заданным

начальным вектором Х0

ГX ^

Vх«о У

(задача Коши), достаточно построить

вектор

Х=ф,1о)Хо. (1.7)

Формула (1.7) представляет собой искомое решение системы (1.2). Этот факт устанавливается прямой подстановкой (1.7) в (1.2), из которой видно, что вектор (1.7) обращает уравнение (1.2) в тождество.

Уравнение (1.7) можно рассматривать как отображение пространства Еп, так как вектор Х0 является произвольным вектором этого пространства.

Возникает вопрос, какова топологическая структура этого отображения в зависимости от матрицы

Теорема 2. Формула (1.7) описывает преобразование пространства, топологическая структура которого состоит в одновременном проведении трех преобразований: ортогонального поворота пространства как целого, расширения или сжатия по осям координат и второго ортогонального поворота [14]. Указанная структура выражается формулой

т, и) = т и) щ и) и), (1.8)

где - ортогональные матрицы,

Y (t, to) = E, Z(t, t0) = E, Y(t, t0) Y* (t, t0) = E, Z(t, t0) Z*(t, t0) = E.

Y*, Z* - матрицы транспонированные относительно главной диагонали.

Ht, to) = E

r t

Á(t,t0):

J Л1 (t)¿ÍT

Jají t)dz

O e'°

O

O

¡Xs(t)dt

Доказательство.

Вычислим скалярный квадрат от обеих частей формулы (1.7), получим

п

(1.9)

Квадратичная форма, стоящая в правой части (1.9) относительно компонент вектора Хо, имеет симметричную, положительно определенную матрицу tf(t,to)<!;(t,to)- Поэтому матричное уравнение

Л2(М0)=Г('ЛЖ'Л) (МО)

определяет единственным образом симметричную, положительно определенную матрицу A(t,t0), являющуюся корнем квадратным из правой части (1.10).

Из алгебры известно [15], что существует ортогональное преобразование Z(t,to), с помощью которого матрица A(t,to) может быть представлена в форме

A(t, to) = Z*(t, to) X(t, t0) Z(t, t0).

o

При этом матрица À(t, t0) является диагональной с положительными элементами и такая, что À(t, io)=E. Поэтому ее диагональные элементы

могут быть представлены в форме экспанент

t J

Остается показать, что существует ортогональная матрица У(^ 1^), такая, что будет выполненяться (1.8).

С этой целью покажем, что матрица

Y(t, t0) Y(t, t0) = X'(t, t0) Ç*(\t, t0) Ç(t, t0)Z*(t, t0) X^t, t0) = = Xl(t, t0)Z(t, t0)A2(t,t0) Z*(t, <o)X'(l, t0) A\t,t0)= Z\t,to)À\t,to)Z(t,to)

Y\t, t0) Y(t, t0) =X} (t,to)Z(t,to) Z*(t, t0) X2 (t,t0)Z(t,t0) Z*(t,t0)X](lh) Z(t,to)Z\t,to)=E

Y*(t, t0) Y(t,t0) = X'(t, to)À2(t, t(j)X!(t, ta) = E

Таким образом, теорема доказана.

Матрица Д/До) - ортогональная и имеет место формула (1.8). Если матрица Я остается постоянной во все время движения, то формулы (1.7) и (1.8) будет определять произведение двух ортогональных преобразований

Y (t., t0)=Ç(t, t0)Z*(t, toJX'ft, t0)

будет действительно ортогональной. Вычислим матрицу

Y(t, t0) и Z(t, t0).

Положим

(1.11)

(1.12)

Тогда матрица 10) будет удовлетворять уравнению

1 •

(1.13)

Таким образом, матрица £ удовлетворяет двустороннему уравнению (1.11), в котором имеет место левостороннее и правостороннее умножение матрицы £ на известные матрицы. Теория таких уравнений будет развиваться далее.

фундаментальную систему решений для уравнения (1.11). Каждый столбец этой фундаментальной системы является решением дифференцильного уравнения (1.2). Фундаментальная система решений для уравнения (1.12) при любом выборе матрицы будет строиться аналогично, а именно, вместо системы (1.12) рассмотрим матричное уравнение

Подставим (1.15) в (1.14) и приравняем члены при одинаковых степенях /и. Тогда получим

Замечание. В теореме 1 было указано, как строить

(1.14)

Будем искать решение этого уравнения в виде ряда

г =г0 + ...

(1.15)

Проинтегрируем эту систему, полагая, что

2о= Е при г = То, z^ = 0 при ? = ¿о, 22=0 При * =

гк= 0 при г = ¿о.

Тогда будем иметь

г0 = Е во все время движения

г \

гх = | Ох С^-1

( г2

= j jQl(h)Ql(T2 )(^ТхйТ2

1(\

I

Ряд

í I

¿0) = £ + /б, (г, + Л (т, )& (т2

+ Ш^1 ^ ^ ^ + • • •

2 +

(1.16)

дает фундаментальную систему решений для уравнения (1.12), однако решениями в этом случае будут являться строки матрицы (1.16) и они будут решениями системы

^ = (1.17)

Тогда в скалярном виде система (1.15) будет иметь запись

^ = = (1-18)

Левосторонняя система (1.2) имеет фундаментальную систему решений (1.3), которая при дифференцировании умножается на матрицу Ру слева и каждый столбец фундаментальной системы является решением системы (1.2).

Фундаментальная система (1.16) для правосторонней системы (1.12) при дифференцировании умножается справа на матрицу <2; и каждая

строка фундаментальной системы (1.16) является решением системы (1.18), которое может быть представлена также в векторной форме

где 2

\ZnJ

§ 2 Метод вариации произвольных постоянных

и его обобщения

Рассмотрим уравнение

Х = Р{1)Х+Р{1,Х). (2.1)

Будем считать, что в системе (2.1) Xявляется «-мерным столбцовым вектором, - векторной функцией, заданной при всех своих значениях аргументов, вещественной и непрерывно дифференцируемой.

Наряду с системой (2.1) рассмотрим линейное уравнение

— = Р(0Х. (2.2) Ж

Это уравнение имеет фундаментальное решение £ = ф, такое что имеет место тождество

ё = Р4. (2.3)

Если тождество (2.3) умножить справа на постоянный вектор

С

V

Vе«

то получим, что векторная функция

Х=№о)С (2.4)

является решением уравнения (2.2) и удовлетворяет начальному условию Х=С при ¿=¿0.

Будем искать решение уравнения (2.1) в форме (2.4), где С будем считать вектором, зависящим от времени, компоненты которого подлежат определению из того условия, что (2.4) удовлетворяет (2.1).

Подставляя (2.4) в (2.1), будем иметь

¿(t, /0 УС + £(/, t0 )С = РЦШ 'о )С + F(t, X).

Заменяя | по формуле (2.3), найдем

{(t,t0)C = F(t). (2.5)

Умножим (2.5) слева на матрицу \t,to) и продифференцируем в пределах от t до t0. Тогда получим

t

C(t) = X(t0) + ¡X~\t,t0)F(t,X(t))dt. (2.6)

to

Здесь положено X(to)=C(t) при t=t0.

Подставляя (2.6) в (2.4), найдем

t

X = Z(t, t0)X(t0 ) + Si(t, t)F(t, X(t))dt. (2.7)

'o

В системе (2.7) использовано тождество

тМЛЬ* 0) = Ш)-

Это тождество получается из того, что левая часть при t = t обращается в единичную матрицу и, что левая часть является матричным решением уравнения (2.3), так как умножение справа на постоянную матрицу оставляет ее неизменной (t0,t считаются закрепленными величинами).

Таким образом, левая часть является фундаментальной матрицей с начальным условием Е при t-t, следовательно, эта матрица совпадает с 4(t,i) ввиду того, что выполнена теорема единственности для линейных систем.

Уравнение (2.7) является интегральным уравнением для искомого решения. Однако, когда векторная функция F в системе (2.1) не зависит от искомых функций, то формула (2.7) дает решение неоднородной линейной

системы и называется формулой Коши [6]. Процесс получения интегрального уравнения (2.7) называется обычным методом вариации произвольных постоянных.

Дадим некоторые обобщения этого метода и обобщения формулы Коши [7].

Рассмотрим с этой целью общий вид системы уравнений

= (2.8)

ш

(V \ 1 7Л

где Х = Vх« у , Р = ч/и у

Будем считать, что функция Т7 задана при всех значениях своих аргументов, нерперывна и непрерывно дифференцируема.

Будем разыскивать решение начальной задачи Коши для системы (2.8). Для этого от (2.8) перейдем к интегральному уравнению

ь

X = Х0 + ^Р(г,Х(т)с1т . (2.9)

ч

Методом последовательных приближений можно построить решение этих интегральных уравнений

Х = ЩХо, к). (2.10)

Эта функция будет удовлетворять тождественно уравнению (2.8) и называться решением начальной задачи.

Всякая функция g(t,x) не сводящаяся к постоянной называется первым интегралом системы (2.8), если на любом движении она сохраняет постоянное значение [12]. Считая g непрерывно дифференцируемой, получим, что первый интеграл удовлетворяет уравнению

§ + = (2-П)

Теорема 1. Векторная функция (}{Х, I, 10) = Х(1о,Х,1) дает полную совокупность первых интегралов системы (2.8). Здесь

0 =

, Х<), ^) есть решение задачи Коши системы (2.10).

\SriJ

Иначе говоря, если в векторной функции, представляющей решение за�