Кинетический подход к решению задач гемодинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

1 Кинетическая модель гемодинамики

1.1 Уравнения гемодинамики. Квазиодномерное приближение

1.2 Метод кинетических аппроксимаций.

1.3 Метод кинетических аппроксимаций"¡Ьд^ уравнений гемодинамики

1.4 Теорема существования.

1.5 Теорема сходимости.

1.6 Метод гамильтоновых систем.

2 Метод точечных маркеров

2.1 Вычислительный алгоритм метода точечных маркеров

2.2 Теорема сходимости.

2.3 Аппроксимация граничных условий.

2.4 Условия сопряжения.

2.5 Сосуды с жесткими стенками.

2.6 Метод маркеров для уравнения конвекции-диффузии

3 Результаты численных расчетов

3.1 Сравнительный анализ метода точечных маркеров и разностной схемы.

3.2 Особенности численной реализации метода гамильтоновых систем.

3.3 Расчет большого круга системы кровообращения

3.4 Математическая модель адгезии тромбоцитов.

Задача математического моделирования течения крови в сердечно - сосудистой системе давно привлекала внимание исследователей. Со времен открытия У. Гарвеем в 17в. системы кровообращения накоплен значительный банк данных о строении и функциях сердечно - сосудистой системы (например,[11]), сформулированы основные принципы организации системы управления кровообращением (например, [16, 71]). И тем не менее многие закономерности деятельности сердечно - сосудистой системы еще далеки от окончательного понимания. Сложность решения задач гемодинамики объясняется прежде всего необходимостью учета большого числа факторов: структуры кровеносного русла, жесткости стенок, калибра сосудов разных генераций ветвления, нервной регуляции, многокомпонентности крови и т.д.

Существует довольно много математических моделей всей системы кровообращения и моделей регуляции потока крови в отдельных органах. Работы по изучению течения жидкости в эластичных трубках появились еще в прошлом веке (например, Weber [92], 1866). В 40х и 50х годах начали появляться статьи с графическим и алгебраическим анализом физиологических механизмов в сердечно - сосудистой системе. Количество уравнений в этих работах редко превышало 8-10 и в основном изучались стационарные процессы. С появлением вычислительной техники модели становились все более детализированными. Появились математические модели сердечно-сосудистой системы в целом. Характер развития таких моделей можно проследить на примере работ А. Гайтона и др. [70, 71]. Начав с простой модели зависимости расхода в почках от баланса крови во всей системе, сердечного выброса и артериального давления [70], авторы в [71] пришли к сложной системе регуляции кровообращения, содержащей около 30 циклов обратной связи. В [71] учтены и нервный фактор (баро- и хеморецепторные механизмы) и система контроля фильтрации в тканях. При первом взгляде на такие модели может возникнуть недоверие, так как они требуют большого числа входных данных, отсутствующих в литературе. Устойчивость таких моделей к выбору входных данных объясняется [72] высокой устойчивостью самой кровеносной системы человека, содержащей множество стабилизирующих циклов обратной связи. Модели, подобные [71] способны не только подтвердить правильность предположений, которые использовались при их построении, но и получить новые принципы работы сердечно-сосудистой системы [72]. Работа [71] посвящена в основном моделированию системы управления кровообращением, а не самой системы кровообращения. В моделях полной системы кровообращения обычно делают акцент на каком-то одном элементе (сердце, почке, легком и т.д.) или функции, а остальные моделируют с точки зрения их влияния на этот выделенный элемент. Классический пример - модели сердца [12, 66], где изучаются реакции сердца на различные нагрузки. В [12] построенная модель сердца проверяется на адекватность расчетами реакций сердца на нагрузки при повышенных давлении и венозном возврате. В [66] рассматриваются причины периодических колебаний величины сердечного выброса (ударного объема)- явления механического альтернанса. В обеих моделях остальная система описывается несколькими сосудами с упругими стенками, с помощью которых имитируется гидродинамическое сопротивление сосудистой системы. Аналогично поступают в моделях легких [73], головного мозга [93].

В диссертации основной акцент сделан на моделировании течения крови в сосудах (гемодинамики). В настоящее время существует много моделей гемодинамики. В зависимости от характерных размера и времени задачи используются одномерные [14], двумерные [57] и трехмерные [54], квазистационарные [10] и нестационарные [14] модели течения. Модели крови также варьируются от однокомпонетной невязкой несжимаемой жидкости до многокомпонентной реагирующей смеси. Однако, встречается довольно мало работ посвященных решению задач гемодинамики во на графе сосудов.

Целью данной работы является построение и исследование вычислительных алгоритмов решения задач гемодинамики на графе сосудов, представляющем собой всю кровеносную систему или сколь угодно большую ее часть. При построении вычислительного алгоритма сделан акцент на возможности эффективного учета многокомпонентности крови и имитационных моделей физиологических процессов, протекающих в ней. В качестве базовой модели течения плазмы крови в сосудах была выбрана модель, предложенная А.П.Фаворским и др. в работах [14, 15].

Приведем краткий обзор основных результатов по моделированию гемодинамики в сосудах, полученных различными авторами. Большое внимание в литературе уделено математическому моделированию течения крови в артериях. Достаточно полный обзор представлен в [54, 80, 83]. Артерии представляют собой гибкие трубки с упругими стенками. Стенки состоят из трех слоев: внутреннего - интима, промежуточного - медиа и внешнего - адвентиции. Мышечная ткань, из которой состоит медиа обеспечивает эластичность артерий, а коллагеновые волокна, которыми насыщена внешняя оболочка, не дают артерии растянуться шире некоторого максимального диаметра. При изучении сосудов большого диаметра (например, аорты), где многокомпонентность крови не существенна, но важна геометрия течения, используют следующую модель (см., например [75]). Предполагается, что стенка сосуда не является тонкой. Внутри сосуда решают трех- или двумерные уравнения Навье-Стокса либо их линейный аналог - уравнения Стокса, а в стенке сосуда используются уравнения для оболочки (интегральные следствия закона Гука, см. например [76]). Уравнения для жидкости и оболочки связываются граничными условиями на внутренней стенке сосуда. Такие модели требуют большого объема вычислений и сложны для аналитического исследования.

При моделировании течения крови в сети артерий используются более простые квазиодномерные модели (см. например [14, 84]), получаемые осреднением ЗБ уравнений Навье-Стокса по поперечному сечению. Форма поперечного сечения сосуда предполагается обычно круглой, так как артерии в нормальном состоянии наполнены и разность давлений внутри артерии и снаружи (трансмуральное давление) положительна. Практически во всех работах по квазиодномерному приближению предполагается существование локального закона, связывающего площадь поперечного сечения 5 и трансмуральное давление Р, 5 = 5(Р) (см. [56, 81]). При этом игнорируются эффекты продольного растяжения и изгиба. Чтобы учесть упругое напряжение при продольном растяжении и изгибе, в закон 5 = 5(-Р) добавляют зависимость от производной Р по пространственной переменной.

В литературе отдельно исследуется течение жидкости в слабо наполненных эластичных трубках (венах). Здесь возникают специфические нелинейные эффекты, например схлопывание. При локальном уменьшении трансмурального давления ниже некоторого критического уровня вена схлопывается практически до нулевого поперечного сечения. Обзор соответствующих экспериментальных данных и одномерных математических моделей приведен в [87]. Этот же эффект исследован численно в работе [75]. Здесь, как уже говорилось ранее, рассматривается один сосуд с толстыми стенками. Внутри вены решаются трехмерные уравнения Навье-Стокса в эйлеровых координатах, а внутри стенок -уравнения оболочки в лагранжевых координатах. Для решения обеих систем уравнений используется метод конечных элементов. Аналитически феномен схлопывания вен исследуется в [13]. Здесь рассматривается асимптотика решения двумерных уравнений Навье- Стокса в эластичной трубе при больших числах Рейнольдса. В результате получено уравнение Кортевега де Вриза и проанализированы его солитонные решения.

Другой особенностью течения крови в венах является отличие формы поперечного сечения от кругового. В квазиодномерных моделях форма сечений влияет на зависимость вязкой силы от параметров течения. Влияние формы сечения на решение исследуется в [60].

В рассмотренных выше моделях всюду предполагается, что кровь -Ньютоновская жидкость. Вопрос о правомочность такого приближения изучается в работе А.II. Вев^ап [22]. Здесь рассматривается течение жидкости в полу бесконечном (ж > 0), аксиальном сосуде с переменным сечением при малых числах Рейнольдса с тензором вязких напряжений специального вида. В точке х = 0 заданы периодические колебания градиента давления. Получено, что отличие между ньютоновской и не ньютоновской жидкостью проявляется лишь при больших частотах.

При тестировании моделей гемодинамики (особенно нестационарных) важную роль играют точные и приближенные аналитические решения модельных задач. Такие решения для квазиодномерных уравнений гемодинамики получены в [14, 67, 91].

Процессы тромбоза, течение крови в мелких сосудах с диаметром < 200^, где многокомпонентность крови существенна, более естественно моделировать с использованием кинетического подхода. В пользу 'кинетического подхода к описанию движения крови в сравнении с макроскопическими моделями для многокомпонентных жидкостей говорит и то, что взаимодействия между компонентами часто носят сложный характер (например в процессах свертывания крови участвуют более 10 факторов [79]).

Первая глава диссертации, состоящая из 6 параграфов, посвящена построению и теоретическому обоснованию кинетической модели гемодинамики, использующей квазиодномерное приближение.

Первый параграф первой главы носит обзорный характер. Здесь рассмотрена система квазиодномерных уравнений гемодинамики [14], приведены свойства ее решения. Квазиодномерные уравнения гемодинамики похожи на уравнения газовой динамики ( например, в изэнтропи-ческом случае), где закон 5 = £(Р) играет роль уравнения состояния. Экспериментальные данные [81] свидетельствуют о том, что функция 5(Р) может менять направление выпуклости. Отсюда возможны такие эффекты, как формирование ударных волн сокращения или растяжения в сосуде при различных режимах течения [86, 88]. В диссертации также рассмотрены эти явления.

Существует много работ по аналитическому исследованию квазиодномерного приближения. Работы Г. Демирэя (см. например [58]) посвящены распространению волн давления по эластичным трубкам (артериям), наполненным несжимаемой жидкостью. Отдельно рассматривается вязкий и невязкий случаи. В невязком случае изучается распространение начальных возмущений давления и исходная система квазиодномерных уравнений гемодинамики сводится к уравнению Кортевега де Вриза. В случае вязкой жидкости изучается поведение гармонических волн давления.

В диссертации построена модель многокомпонентного течения крови, основанная на кинетическом подходе к описанию течения плазмы крови и взаимодействия между компонентами. История развития кинетического подхода берет свое начало еще с работ Максвелла и Больцмана и является настолько насыщенной, что в настоящее время трудно перечислить все области его приложения: газовая динамика, динамика плазмы, теория переноса нейтронов и излучения, динамика плотных газов, теория турбулентных течений и т.д. С развитием кинетического подхода становятся очевидными следующие два факта, которые позволяют рассматривать кинетические уравнения не только как частный случай нелинейных дифференциальных уравнений, но и как на мощный инструмент решения самых разнообразных задач.

Во-первых оказалось, что уравнения гидродинамики могут быть аппроксимированы кинетическими моделями сравнительно несложными с математической и вычислительной точек зрения. В качестве примера можно привести известную модель БГК, которая и используется в работе для построения численного алгоритма для газовой динамики.

Во-вторых выяснилось, что приемлимые кинетические аппроксимации (kinetic approximation) возможны не только для уравнений гидродинамики но и для широкого класса других нелинейных уравнений.

При построении модели течения плазмы крови использован метод кинетических аппроксимаций для уравнений гемодинамики в квазиодномерном приближении [14], предложенный во втором параграфе первой главы . Основная идея метода кинетических аппроксимаций состоит в следующем [40, 4]. Для данной системы уравнений в частных производных относительно вектор-функции U(x,t) составляется одно уравнение более простого вида относительно скалярной функции /(#,£,£), зависящей от дополнительной переменной такое, что моменты функции / (weighted averages) по переменной £ являются приближенным решением U(x,t) исходной системы. Заимствуя терминологию из теории кинетических уравнений, функцию / называют функцией распределения некоторых псевдочастиц, независимую переменную £ - кинетической скоростью, а исходную систему уравнений относительно функции U(x,t) называют системой макроуравнений относительно макропараметров U(x,t). Метод кинетических аппроксимаций показал себя дееспособным для аналитического и численного исследования многих уравнений математической физики.Рассмотрим несколько известных кинетических аппроксимаций для гиперболических и параболических систем уравнений.

Классическим примером кинетической модели для уравнений гидродинамики служит уравнение Больцмана [24]. + = (0.1) р = ж е е > о где С,?(/,/)- билинейный оператор столкновений, удовлетворяющий свойствам консервативности е > 0 - число Кнудсена, безразмерная величина, равная отношению длины свободного пробега молекулы к характерной длине задачи. Идея о связи между уравнением Больцмана и уравнениями гидродинамики появилась еще в работах Больцмана и Максвелла. В слабо разреженном газе длина свободного пробега молекулы между столкновениями очень мала. Когда она стремится к нулю, становится справедливым представление газа как сплошной среды, т.е. имеет место предельный переход к гидродинамическому описанию (гидродинамический предел). При малых е > 0, соответствующих малой длине свободного пробега, функция распределения ^ должна приближенно удовлетворять уравнению о.

Больцман показал, что единственная функция, удовлетворяющая этому уравнению - Максвелловская функция распределения

М=(2^6ХР где параметры плотность/?, скорость гг, температура Т зависят от ж, ¿. Проинтегрировав уравнения (0.1) по £ с весом 1,£,£2/2 при условии, что функция ^ = М имеет максвелловский вид, получим, что параметры р, и, Т удовлетворяют уравнениям Эйлера для сжимаемого газа. Исследованию асимптотического поведения решения уравнения Больцмана при малых значениях е > 0 ("гидродинамическому пределу") и связи уравнения Больцмана с уравнениями гидродинамики посвящено и большое количество работ. Обзор современного состояния этой области можно найти, например, в [19, 20, 26].

При различных параметрах обезразмеривания из уравнения Больц-мана можно получить как следствия все основные системы уравнений гидродинамики.

Поэтому в качестве кинетических аппроксимаций для конкретных систем уравнений используют более простые кинетические модели. Модель БГК [25] является классическим примером такой аппроксимации для уравнений Эйлера: dF ,dF M[F] — F , ч

Здесь M[F] - максвелловская функция, первые три момента которой совпадают с моментами решения F. Вопрос о разрешимости задачи Коши для уравнения БГК положительно решен Б. Пертамом в [44] с использованием теорем о регулярности моментов ("averaging lemmas") решения уравнения переноса [1, 31]. Гидродинамический предел для уравнения БГК на конечном промежутке времени ('в малом') исследован в работе А. Беллокуда [18]. Здесь с помощью техники Нисиды [42] и Укай, Асано [51] показано, что при е —> 0 моменты решения уравнения (0.2) сходятся к классическому решению уравнений Эйлера на интервале времени (0,£о)5 на котором последнее существует. Доказаны аналогичные результаты для уравнений Навье-Стокса, используя технику Ч. Бардоша, Ф. Голша и Д. Левермора [20]. Необходимо отметить, что коэффициенты теплопроводности и вязкости в уравнениях Навье-Стокса, получаемых из уравнения БГК , оказываются отличными от классических, получаемых из уравнения Больцмана, что объясняется примитивностью столкновительного члена в правой части уравнения БГК.

Вопрос о сходимости слабого решения уравнения БГК (как и уравнения Больцмана) к слабому решению уравнений Эйлера на бесконечном интервале времени ('в целом') остается открытым.

В работах И. Джига и Т. Миякавы [29, 30],Б. Пертама и И. Тадмора [46] рассматривались кинетические модели для квазилинейного уравнения переноса ди дА(х,и) т+ дх ^

В случае, когда А(и) = А(и) зависит только от и, в [46] Пертаму и И. Тадмору удалось получить предельную теорему в "целом" для кинетической аппроксимации типа БГК

9/ <3(£,и,)-/ , ч = //«, СК|ВД) = {11> (0.5)

Задача сильно упрощается тем, что оператор / —» ггу) Липшиц - непрерывен по /. Теорема о сходимости слабого решения задачи Копти для (0.4) при согласованных начальных данных к слабому решению (0.3), удовлетворяющему условию энтропии [35], доказана двумя способами. Первый способ основан на указанном свойстве Липшиц - непрерывности оператора / —>• (?(£,гг/), и использует критерий компактности в Ь\ - ограниченность в пространстве функций ВУ - функций ограниченной вариации. Второй способ основан на теории компенсированной компактности Мурата-Тартара [41, 50]. Примечательно, что если дифференцируемая функция и(ж,£) удовлетворяет уравнению (0.3), то функция /(ж,£,£) = 0(£,и(х^)) является обобщенным решением уравнения (0.4).

В работе И. Джига, Т. Миякавы [29] был использован стандартный метод суммарной аппроксимации для уравнения (0.4). Здесь также доказана аналогичная теорема о гидродинамическом пределе. В [30] метод распространен на уравнение конвекции-диффузии.

В качестве примера кинетической аппроксимации для уравнения параболического типа может быть рассмотрено кинетическое уравнение радиоактивного переноса = хехел*, из2 = {£ея3№ = 1} й = I а(и) > О, Ь > 0. в паре с параболическим уравнением Росселанда

Вопрос о сходимости решения (0.6) к решению (0.7) изучался многими авторами (литература указана в [21]). В [21] доказана теорема о существовании решения 'в целом' начально-краевой задачи для уравнения радиоактивного переноса (0.6) в области X Е Л3 и сходимость к решению соответствующей задачи для уравнения Росселанда (0.7) на всем промежутке 0 < £ < +оо. Основным инструментом доказательства служат теоремы о регулярности моментов уравнения переноса [31], позволяющие перейти от слабой компактности ие к сильной компактности средних й = / ий^ и тем самым воспользоваться сильной непрерывностью нелинейного оператора сг(-). Метод кинетических аппроксимаций показал себя дееспособным для аналитического и численного исследования многих других уравнений математической физики. Кинетические модели возникают в теории плазмы , полупроводников, вихрей, течения пузырьков [47, 48], хроматографии [33] и всюду исследуется вопрос о равновесном пределе.

Как уже было сказано, в диссертации метод кинетических аппроксимаций применен к системе квазиодномерных уравнений гемодинамики [14]. Уравнения гемодинамики могут быть приведены к виду уравнений изэнтропической газовой динамики, если в качестве уравнения состояния выбрать локальный закон упругости 5 = 8(р). В работах П.-Л. Лионса, Б. Пертама и И. Тадмора [38, 39] предложена оригинальная кинетическая модель для уравнений изэнтропической газовой динамики. Идея подхода заключается в использовании в качестве функции распределения фундаментального решения уравнения энтропии специального вида. В отличие от кинетических уравнений подобных БГК, в коэффициенте при конвективном слагаемом полученного кинетического уравнения наряду с кинетической скоростью участвует макроскопическая скорость и. Преимуществом этой модели является то, что известна зависимость решения кинетического уравнения от макропараметров р,и - решения системы изэнтропической газовой динамики. Построение вычислительного алгоритма на основе кинетического уравнения, полученного в [38], затруднено тем, что конкретный вид правой части кинетического уравнения неизвестен в точках фазового пространства, где решение исходной системы макроуравнений не является гладким.

Третий параграф первой главы посвящен постьроению кинетической модели гемодинамики. Во этом параграфе системе квазиодномерных уравнений гемодинамики поставлено в соответствие кинетическое уравнение типа БГК с равновесной функцией (?/(£), играющей роль максвеллиана:

1 + € = ^ *>0.-=о<«<оо. (0-8)

Зависимость функции gf от £ определяется первыми двумя моментами функции /. В этом же параграфе указан способ построения равновесной функции, обладающей следующим свойством : носитель #/(£) заключен между двумя собственными значениями системы уравнений гемодинамики и — с < £ < ^ + с, где с(х, £) - скорость распространения малых возмущений ("скорость звука"). Аналогичная функциональная зависимость использовалась в работе [34] в кинетической модели для изэнтропической газовой динамики. Метод, предложенный в [34] может рассматриваться как метод расщепления для уравнения (0.8) при малых е —>• 0. Решение строится на последовательности малых временных интервалов, на каждом из которых сначала решается уравнение переноса, а затем полученная функция распределения / заменяется равновесной функцией gf. Указанный метод расщепления использован в диссертации при построении численного алгоритма.

В четвертом параграфе диссертации доказана теорема существования решения задачи Коши для уравнения (0.8) в периодическом сосуде. Трудность при доказательстве существования решения заключается в том, что нелинейный оператор / —> д/, стоящий в правой части уравнения (0.8) не является Липшиц - непрерывным по /, и таким образом задачу нельзя решить классическим методом последовательных приближений. В диссертации использован метод доказательства, предложенный Б. Пертамом в работе [44] для доказательства теоремы существования решения задачи Коши для уравнения БГК. Основным инструментом в доказательстве является использование теорем о регулярности моментов ("averaging lemmas") решения уравнения переноса [1, 31]. В отличие от уравнения БГК, уравнение (0.8) не обладает законом сохранения энергии, так как второй момент функции gf вообще говоря не совпадает со вторым моментом решения /. Следовательно, в общем случае мы не располагаем удобной энергетической нормой. В данной работе для уравнения состояния (локального закона упругости) S = S(p) специального вида удалось найти равновесную функцию gf такую, что для решения уравнения (0.8) в периодическом сосуде выполнено: то есть энергия не возрастает.

Следует отметить, что при таком уравнении состояния решение кинетического уравнения в модели Лионса, Пертама и Тадмора [38] совпадает с равновесной функцией gf, выбранной в диссертации.В третьем параграфе доказана сходимость решения кинетического уравнения (0.8) к равновесной функции д

В пятом параграфе удалось доказать сходимость моментов решения кинетического уравнения (0.8) к решению исходной системы макроскопических уравнений в предположении, что первый момент решения уравнения (0.8) 5/ = / > 5 > 0 - отличен от нуля. На таком множестве функций распределения оператор /—»<?/ является Липшиц -непрерывным, что упрощает доказательство.

В шестом параграфе в качестве альтернативного подхода рассматривается метод гамильтоновых систем. В работе Оелшлагера [43] рассмотрена гамильтонова система, состоящая из N взаимодействующих частиц. В предположении, что радиус действия потенциала взаимодействия больше расстояния между частицами, доказана слабая сходимость эмпирической плотности и скорости к решению уравнений изэн-тропической газовой динамики с уравнением состояния специального вида р = 0.5р2, где р -плотность, р - давление. В диссертации данный метод применен к квазиодномерным уравнениям гемодинамики и построен соответствующий численный алгоритм.

Вторая глава диссертации, состоящая из шести параграфов, посвящена построению и исследованию численного метода "маркеров" решения задач гемодинамики, основанного на кинетическом подходе, рассмотренном в первой главе. В первом параграфе сформулирован алгоритм метода маркеров для решения задачи в периодическом сосуде. Идея метода маркеров заключается в нахождении решения кинетического уравнения (0.8) при е —> 0. Если в пределе £ —0 известно решение /(ж,£,£) уравнения (0.8), то представляющие основной интерес функции S(x,t) , u(x,t) - решение исходной системы гемодинамики - могут быть приближенно найдены по формулам t) = J f(x, t)d£, S(x, t)u(x, t) = J £/(*, t)d£ (0.9)

Такой опосредованный подход к решению базовой системы макроуравнений был бы оправдан только в случае существования эффективного вычислительного алгоритма нахождения предельного решения / кинетического уравнения при е —> 0. Такой алгоритм может быть построен на основании метода частиц [32].

Метод частиц является одним из основных алгоритмов математического моделирования кинетических процессов. Существуют две точки зрения на метод макрочастиц в кинетической теории: согласно первой точке зрения метод макрочастиц - это метод имитационного моделирования процессов на микроуровне; согласно второй точке зрения - это метод численного решения кинетических уравнений. Отметим также, что значительное число известных математических моделей процессов, протекающих в крови, представляют собой основанные на микропредставлениях алгоритмы имитационного моделирования [55, 59, 63, 78, 85, 95]. Таким образом наше обращение к методу частиц решения базовой системы уравнений посредством соответствующего кинетического подхода представляется естественным.

В основе вычислительного алгоритма метода маркеров лежит вариант метода частиц "частица-сетка" решения уравнения (0.4). Применительно к уравнению (0.4) речь идет о следующем алгоритме. Разобьем всю расчетную область (сосуд) на элементарные ячейки длиной /г, вдоль которых параметры кровотока считаются постоянными и зависят только от времени и номера ячейки. Всю массу жидкости в ячейке разобьем на N макрочастиц - маркеров, обладающих весом д = S/N. Будем предполагать частицы протяженными вдоль оси О ж, и имеющими длину h. Каждому маркеру назначим вес и индивидуальную скорость согласно равновесной функции распределения g(S,u,£), в данной ячейке. Выбрав шаг по времени т, вычисляем новое положение маркеров после их переноса согласно индивидуальной скорости. Затем, сортируя маркеры по ячейкам, определяем новые значения макропараметров кровотока, согласно представлению (0.9).

Отметим, что как показано в первом параграфе, метод маркеров является реализацией кинетически согласованной разностной схемы специального вида [8] с переменным шаблоном. Если для шагов по времени и по пространству т и h выполнено условие Куранта, то указанная схема совпадает с известной кинетически согласованной схемой с направленными разностями.

Во втором параграфе доказана теорема сходимости метода маркеров на модельной задаче в периодическом сосуде. При фиксированном шаге по времени получена оценка точности метода маркеров для модельной задачи в периодическом сосуде.

В третьем и четвертом параграфе обсуждается постановка граничных условий при решении задач гемодинамики на сети сосудов. Сердечно - сосудистая система может быть представлена графом, роль ребер которого играют крупные сосуды, а в узлах расположены ткани, органы и зоны ветвления сосудов. Для моделирования транспорта крови по такому графу необходимо задать граничные условия в его узлах.

В третьем параграфе обсуждается постановка граничных условий в одном сосуде. Основной идеей является задание макропараметров к граничных ячейках. Для вычисления по методу маркеров оказывается достаточным задавать значения инвариантов Римана, соответствующих характеристикам, направленным внутрь расчетной области. Таким образом в для решения задачи методом маркеров требуется столько же граничных условий, сколько необходимо для ее постановки. Для решения задачи с заданными на концах сосуда значениями давления либо расхода, недостающие значения значения макропараметров можно получить из разностных соотношений на характеристиках [15].

В четвертом параграфе обсуждается задание условий сопряжения в местах соединения сосудов с органами, тканями и в зонах ветвления сосудов. Для задания условий сопряжения в узлах, соответствующих тканям и органам, наиболее естественным представляется использование макроскопических уравнений баланса потока и закон Дарси [14]. Более детальные модели кровотока в различных органах (сердце, почки, печень, легкие) можно найти в литературе [12, 73, 93]. Их развитие не входило в задачи диссертации.

При моделировании течения крови по сети сосудов очень важен анализ течения в зонах ветвления (бифуркациях). Обзор моделей течения в зонах ветвления сосудов представлен в [65]. Одной из областей применения таких моделей является задача моделирования распределения кровотока в зонах ветвления сосудов с различными упругими свойствами, например при атеросклерозе. В работе [74] изучаются прохождение и отражение волн давления в местах соединения сосудов с различными упругими свойствами, предполагая, что сосуды соединены последовательно. Полученные результаты применимы, например, при моделировании реакции кровотока на локальное изменение жестких свойств стенок сосуда (при внедрении импланта, стенозе). В [74] получены выражения для зависимостей коэффициентов прохождения и отражения от частоты волны и упругих характеристик сосудов. При моделировании нестационарного течения в зонах ветвления сосудов в квазиодномерном приближении возникает проблема определения углов, под которыми располагаются сосуды. В работе М. Замира [94] предложено два способа определения геометрии. Первый основан на полуэмпирическом отношении пропорциональности потока диаметру сосуда в третьей степени <5 ~ е£3, а второй использует приближение Пуассона для течения крови в цилиндрическом сосуде. В работе П. Гордона [69] рассмотрены ветвления сосудов выделенными входящим и двумя исходящими сосудами. Условия сопряжения в зонах ветвления получены путем объединения двух исходящих сосудов в один. Соотношения для значений давления получены путем приближенного интегрирования уравнения движения через полученный разрыв. Распространенными недостатками в моделях течения в зонах ветвления являются их несимметричность относительно разветвляющихся сосудов и невозможность учета разветвлений с более чем тремя сосудами. Указанных недостатков лишена модель предложенная в работе Фаворского и др. [14] , где используются приближенные следствия уравнения движения: равенство давлений в сосудах вблизи соединения, равенство величин Бернулли. В диссертации рассматриваются два подхода к заданию граничных условий в узлах ветвления - макроскопический и кинетический. В первом использованы соотношения из [14] для макроскопических параметров кровотока в граничных ячейках в сочетании с упомянутыми выше соотношениями на характеристиках. Кинетический подход заключается в описании поведения частицы - маркера, попавшего в узел ветвления.

В реальных условиях сосуды могут растягиваться только до определенного предела. В пятом параграфе обсуждается модификация метода маркеров, учитывающая случай, когда сечение сосуда достигает предельного значения.

В шестом параграфе предложен метод маркеров для уравнения конвекции диффузии, имеющий точность 0(к2 + г + 1 /-/V2), где /г,г - величины шагов по пространству и по времени, N - число маркеров в ячейке. При этом использована кинетически согласованная разностная схема, эквивалентная методу маркеров при выполнении условия типа Куранта для парметров разностной сетки.

В третьей главе рассмотрены результаты численных расчетов задач гемодинамики предложенным в диссертации методом точечных маркеров в сравнении с результатами, полученными другими методами.

В первом параграфе третьей главы представлены результаты тестовых расчетов модельных задач гемодинамики на простейших конфигурациях сосудов и узловых элементов, и на их основе проведено сравнение предложенного метода маркеров с разностной схемой предложенной в работах А.П. Фаворского и др.[14].

Во втором параграфе рассмотрены результаты расчетов этих же задач методом гамильтоновых систем [43], обсуждены особенности задания граничных условий для этого метода. В частности, если известна геометрические параметры соединения сосудов в узле, в случае метода гамильтоновых систем можно более точно описывать прохождение частицы через узел ветвления, чем в случае метода маркеров. Однако метод гамильтоновых систем в том виде, в котором он рассмотрен в работе К. Оелшлагера и в диссертации, требует больше затрат машинного веремени и памяти чем метод маркеров и разностная схема.

В третьем параграфе проведены расчеты задач на графе состоящем из 81 сосуда и 61 узла методом маркеров и разностной схемой. Данный граф может быть сопоставлен самой общей схеме большого круга кровообращения. Работа сердца моделировалась периодическим выбросом в аорту фиксированного ударного объема 80 мл. плазмы крови и заданием постоянного давления 10 мм.рт.ст. на выходе из последней вены. При расчете задачи обоими методами через 10-20 периодов работы сердца наблюдался выход системы на периодический режим работы.

В четвертом и пятом параграфах третьей главы в качестве примера применения построенного в диссертации метода проводится математическое моделирование процесса адгезии тромбоцитов - начальной стадии процесса свертывания крови.

В четвертом параграфе сформулирована математическая модель процесса адгезии тромбоцитов. В качестве основы взята модель, рассмотренная в работах А. Фогельсона [63, 64]. Здесь построена двумерная модель адгезии тромбоцитов в неэластичных сосудах. В [63] акцент сделан на модели образования агрегатов тромбоцитов и взаимодействия течения плазмы крови с этими образованиями. В модели учитываются четыре компоненты: плазма крови, тромбоциты, химический компонент аденозин дифосфат (АДФ), стенки сосуда. Тромбоциты представляют собой частицы, растворенные в крови. В нормальных условиях их количество достаточно велико (около 250 000/шт3), в то время как их объемная концентрация достаточно мала (менее 1%). Кроме того известно, что тромбоциты пассивно двигаются вместе с жидкостью. Это позволяет в [63] добавлять их массу к жидкости, а сами тромбоциты рассматривать лишь как точечные частицы без массы. Чтобы учесть столкновения тромбоцитов с крупными частицами, скорость их скорость полагается равной сумме скорости жидкости и некоторой случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Согласно [63], тромбоциты могут находится в двух состояниях: активном и неактивном. Переход из неактивного состояния в активное осуществляется при наличии достаточной концентрации АДФ вблизи тромбоцита. В процессе свертывания участвуют много химических компонентов, которые активируют тромбоциты. С этой точки зрения их функции схожи, что позволяет в [63] их объединить под одним названием АДФ. Неактивированный тромбоцит несет в себе порцию АДФ и выбрасывает ее в кровь при активации. Обратный процесс -деактивация тромбоцитов в [63] не рассматривается. Активные тромбоциты при столкновении друг с другом и с поврежденным участком стенки прилипают, образуя цепочки с эластичными связями. Связи в таких цепочках в модели [63] отражены силами, препятствующими их разрыву.

Кровь в [63, 64] описывается как несжимаемая жидкость системой уравнений Стокса. Так как масса тромбоцитов добавлена в общую массу крови, в правую часть уравнений Стокса добавлено слагаемое, равное плотности силы, возникающей при взаимодействии тромбоцитов в цепочках. Для определения концентрации АДФ используется уравнение конвекции-диффузии с источником, моделирующим впрыскивание АДФ в кровь при активации тромбоцита.

В [63] изучается процесс свертывания крови в сосуде малого диаметра < 50 • 10-6т, что позволяет моделировать каждый тромбоцит отдельно. Для численного решения полученных уравнений введена пространственно - временная сетка. Один шаг по времени численного метода состоит в следующем. Сначала решается уравнение переноса и пересчитываются все упругие силы взаимодействия для каждого тромбоцита. При этом вычисляется функция источника АДФ и плотность суперпозиции сил, действующих со стороны пластинок на остальную массу крови. Затем решается уравнение конвекции-диффузии для АДФ с уже известной функцией источника в правой части. После решаются уравнения Стокса для остальной крови с уже известной плотностью суперпозиции внешних сил.

В [64] метод распространен на случай больших сосудов. Здесь вводится функция плотности распределения тромбоцитов по скоростям и координате и безразмерный малый параметр е > 0, равный отношению диаметра пластинки к характерному размеру задачи. Разлагая по малому параметру е слагаемые в интегральных законах взаимодействия тромбоцитов, в [64] получены уравнения для макропараметров: числа связей, тензора напряжений в связях между тромбоцитами.

В диссертации рассмотрена одномерная модель адгезии тромбоцитов, учитывающая те же четыре компоненты, но в сети эластичных сосудов. Перенос АДФ и тромбоцитов в указанной модели описывается уравнениями конвекции-диффузии.

В пятом параграфе проведен расчет задачи адгезии тромбоцитов в рамках предложенной модели на графе, приведенном в третьем параграфе третьей главы. Для расчета использован построенный в шестом параграфе предыдущей главы метод маркеров для уравнения конвекции-диффузии. Работа сердца моделировалась заданием периодической функции расхода на входе в аорту с фиксированной величиной ударного объема 80 мл. В начальный момент времени имитировалось повреждение стенки одной из артерий. При численных расчетах отмечено накопление активных тромбоцитов в последней вене.

Основные результаты диссертации.

1. В рамках кинетического подхода разработан новый метод решения задач транспорта крови по эластичным сосудам в квазиодномерном приближении, позволяющий эффективно учитывать имитационные модели физиологических процессов в крови.

2. Доказаны теорема существования и единственности и теорема о гидродинамическом пределе для кинетической модели для квазиодномерных уравнений гемодинамики.

3. Разработан вычислительный алгоритм решения задач гемодинамики на графе с учетом многокомпонентности крови. Построенный метод применен для решения задачи математического моделирования процесса адгезии тромбоцитов, вызываемого повреждением стенки одного из сосудов.

В заключение приношу огромную благодарность моим учителям д.ф.-м.н. Ан.В. Лукшину, проф. А.А. Арсеньеву, к.ф.-м.н. С.И. Мухину и проф. А.П. Фаворскому за внимание и помощь в работе, академику А. А. Самарскому и всему коллективу кафедры вычислительных методов за постоянную поддержку.

1. Агошков A.A. Функциональные пространства с дифференциально-разностными характеристиками и гладкость решений уравнения переноса. ДАН СССР, Т. 29 (1984), с. 662-666.

2. Арсеньев A.A. Задача Коши для линеаризованного уравнения Больцмана. ЖВМиМФ, Т. 5, N. 5, с. 864-882 (1965)

3. Н. Данфорд, Дж. Шварц. Линейные операторы. Т.1.М.:И.Л.,1962 г.

4. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений. Препринт /ИПМ АН СССР им. М.В.Келдыша N 165.- М.,1984.

5. Кэфлиш Р. Газовая динамика и уравнение Больцмана// Неравновесные явления.Уравнение Больцмана. Под ред. Дж.Л.Либовица и Е.У.Монтролла. М.:Мир, 1986. С.206-237.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика.Т.4. Гидродинамика. М.:Наука. Гл.ред.физ.-мат. лит., 1988.

7. Лукшин A.B. Об одном методе получения замкнутых систем уравнений для макропараметров функции распределения при малых числах Кнудсена. ДАН СССР, Т. 270, N. 4, с. 869-873 (1983)

8. Лукшин Ан.В., Четверушкин Б.Н. К теории кинетически согласованных разностных схем. Математическое моделирование, Т.1 (1995), N.11, с. 109-125

9. А.А.Самарский. Теория разностных схем. М.:Наука,1983.

10. Александров В.В., Воронин Л.И., Глазков Ю.Н., Ишлинский А.Ю., Садовничий В.А. Математические задачи динамической иммита-ции аэрокосмических полетов М.:Изд-во МГУ,1995 г. 160 С.

11. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. Пер. с англ., М.:Мир, 1981 Г.-624 с.

12. Палец Б.Л. Имитационнные модели сердца. Автореферат дисс. на соискание ученой степени д.ф.-м.н. Киев. 1991

13. Савенков И.В. О неустойчивых осесимметричных течениях в трубках с эластичными стенками. ЖВМиМФ, V. 36, N2 (1996)

14. Абакумов М.В., Гаврилюк К.В., Есикова Н.Б., Лукшин Ан.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы. Дифференциальные уравнения,Т.33 (1997), N 7.

15. Абакумов М.В., Есикова Н.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностная схема решения задач гемодинамики не графе. Препринт. -М.: Диалог-МГУ, 1998. 16с

16. Хаютин В.М. Основные принципы организации системы управ-ленияя кровообращением. В книге:Болезни сердца и сосу-дов.Т.1.М.:Мир, 1992 г, С.172 210

17. Шмидт С., Тевс Г. Физиология человека.Т.2. М.:Мир., 1996.

18. Belloquid A. Assymptotic limit for the BGK equation. C.R. Acad. Sci. Paris. Ser.I Math. V. 324, N. 8, pp. 951-956 (1997)

19. Bardos C., Golse F., Levermore D. Fluid dynamic limits of kinetic equations I. Formal Derivations. Journal of Stat. Physics. V. 63, N. 1, pp. 323-344 (1991)

20. Bardos C., Golse F., Levermore D. Fluid dynamic limits of kinetic equations II. Convergence proofs for the Boltzmann equation. Commun. Pure Appl. Math. V. 46, pp. 667-753 (1993)

21. Bardos С., Golse F., Perthame В. The nonaccretive radiative transfer equations: existenceof solutions and Rosseland approximation. Journal of Func. Anal. V. 77, pp. 434-460 (1988)

22. A.R. Bestman Oscillatory non-Newtonian flow in tubes of slowly varying radius. Acta Mech. V. 45(1982),N1, pp. 17-30

23. Bobylev A.V. Quasistationary hydrodynamics for the Boltzmann equation. J. Statistical Phys. V. 80, N. 5-6, pp. 1063-1083 (1995)

24. Boltzmann L. Vorlesungen uber Gas theorie. Liepzig (1886).

25. P.L. Bhatnagar, E.P. Gross, M.Krook. A model for collision processes in gases. Phys. Rev. V. 94, p. 511 (1954).

26. Cafflish R. The fluid dynamic limit of the nonlinear Boltzmann equation. Commun. Pure. Appl. Math., V. 33, pp. 651-666 (1980)

27. Cercignani C., Illner R., Pulvirenti M. The mathematical theory of dilute gases. Applied Mathematical Sciences.V. 106 (1994).

28. DiPerna R.J., Lions P.L. On the Cauchy problem for Boltzmann equation. Global existence and weak stability. Annals of Mathematics, (1989)

29. Giga Y., Miyakawa T. A kinetic construction of global solutions of first order quasilinear equations. Duke Math. J., V. 50, pp. 505-515 (1983)

30. Giga Y., Miyakawa Т., Oharu S. A kinetic approach to first order equations. Trans, of AMS, V. 287, N2, pp. 723-743 (1985)

31. Golse, Lions P.-L., Perthame В., Sentis. Regularity of the moments of the solution of a transport equation. J. Func. Anal. V. 76, pp. 110-125 (1988)

32. Хокни P., Иствуд Дж. Математическое моделирование методом частиц. М.:Мир, 1987.

33. James F., Perthame B., Y-J. Peng. Kinetic formulation for chromatography and some other hyperbolic systems. J. Math. Pures Appl.,(9) V. 74, N. 4, pp. 367-385 (1995)

34. Kaniel S.// Indiana University Math.Journal. 1988. V.37. P. 537-563.

35. Krushkov S.N. First order quasilinear equations in several independent variables. Math. USSR Sb., V. 10, pp. 217-243 (1983)

36. Ku J.X. A kinetic formulation for scalar balance laws. Transport Theory Statist. Phys., V. 24, N. 9, pp. 1369-1384 (1995)

37. Lions P.-L., Perthame B., Sougandis P.E. Existence and stability of entropy solutions for the hyperbolic systems of isentropic gas dynamics in eulerian and lagrangian coordinates. Comm. Pure. Appl. Math., V. 69, pp. 599-638 (1996)

38. Lions P.-L., Perthame B., Tadmor E. Kinetic formulation of the isentropic gas dynamics and p-Systems. Comm. Math. Phys., V. 163, pp. 415-433 (1994)

39. Lions P.-L., Perthame B., Tadmor E. Existence theorem for isentropic gas dynamics. Comm. Math. Phys., V. 165, pp. 215-241 (1996)

40. MaslovaN.B. Nonlinear evolution equation.Kinetic Approach. Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences.(1993)

41. F. Murat. Compacite per compensation. Ann. Scuola Norm. Sup. Disa Sci. Math., V. 5, pp. 489-507 (1978)

42. Nishida J. Fluid dynamical limit of the non-linear Boltzman equation to the level of the compressible Euler equation. Comm. Math. Phys., V. 61, pp. 119-148 (1978)

43. Oelshlager K. On the connection between hamiltonian many-particle systems and the hydrodynamical equations. Arch. Rat. Mech. Anal., V. 115, pp. 297-310 (1978)

44. Perthame B. Global existence to the BGK model of the Boltzmann equations. J. Diff. Equations, V. 82, pp. 191-205 (1989)

45. Perthame B. The kinetic approach to the system of conservation laws. Recent advances in partial differential equations(El Esurial 1992), Res.Appl.Math, V. 30, Masson, Paris, (1994)

46. Perthame B., Tadmor E. A kinetic equation with kinetic entropy functions for scalar conservation laws. Comm. Math. Phys., V. 136, pp. 501-517 (1994)

47. Russo G., Smereca D. Kinetic theory for bubly flow l.Collisionless case. SIAM J. Appl. Math., V. 56, N. 2, pp. 327-357 (1996)

48. Russo G., Smereca D. Kinetic theory for bubly flow 2.Fluid dynamics limit. SIAM J. Appl. Math., V. 56, N. 2, pp. 358-371 (1996)

49. Struckmeier J. On a kinetic model for shallow water waves. Math. Methods. Appl. Sci.V.18(1995), N.9,pp.709-722.

50. Tartar L. Compensated compactness and applications to partial differential equations. In: Res. Notes in Math. V. 39, Nonlinear Analysis and Mechanics, Heriott-Watt Symposium, pp. 136-211 (1975)

51. Ukai S., Asano K. The Euler limit and initial layer of the non-linear Boltzmann equation. Hokkaido Math J., V. 12, pp. 311-322 (1983)

52. Ukai S. Incompressible limit and the initial layer of the compressible Euler equations. Math Kyoto Univ., V. 26, pp. 323-331 (1986)

53. G.A. Adams, I.A. Feuerstein. Maximum fluid concentrations of materials released from platelets at a surface. Am. J. Physiol., V.244(1983), pp. H109-H114.

54. Berger S.A. Flow in large blood vessels. In: Fluid dynamics in biology. Proc. of AMS-IMS-SIAM summer research Conf. Contemporary Math. V. 141 (1991), pp. 479-518.

55. Bos C., Hoofd L., Oostendorp T. Mathematical model of erythrocytes as point-like sources. Math. Biosci. 125, No. 2, 165-189 (1995).

56. Cancelli C., Pedley T.J. A separated-flow model for collapsible-tube oscilations. J. Fluid Mech., V.157 (1985), pp. 375-404.

57. Chakravarty S., Mandal P.H. A nonlinear two-dimensional model of blood flow in an overlapping arterial stenosis subjected to body acceleration. Math. Comput. Modelling, V. 24, N1, pp. 43-58 (1996)

58. Demiray H. Solitary waves in intially stressed thin elastic tubes. Intern. J. Non-Linear Mech., V. 33, N2, pp. 363-375 (1998)

59. Dickinson R.B., Tranquillo R.T. A stochastic model for adhesion-mediated cell random motility and haptotaxis. J. Math. Biol. 31, No. 6, 563-600 (1993).

60. Duan B., Zamir M. Approximate solution for pulsatile flow in tubes of slightly noncircular cross-section. Utilitas Math. V. 40 (1991), pp 13-25.

61. Dubini G., Pietralissa R., Montevecchi F.M. A numerical method for the study of red blood cell motion in small vessels. In: Proceedings of the Besanon Conf on Comp. Methods., Res. Notes in Math V.306 (1992), pp.268-281

62. Erlich L., Friedman M.H. Computational aspects of aortic bifurcating flows. Comput. and Fluids, V. 13 (1985), N2, pp. 177-183.

63. Fogelson A. A mathematical model and numerical method for studying platelet adhesion and aggregation during blood clotting. J. Comp. Phys., V. 56 (1984), N1, pp. 111-134.

64. Fogelson A. Continuum models of platelet aggregation: formulation and mechanical properties. SIAM J. Appl. Math., V. 52 (1992), N4, pp. 1089-1110.

65. Erlich L., Friedman M.H. Computational aspects of aortic bifurcating flows. Comput. and Fluids, V. 13 (1985), N2, pp. 177-183.

66. Fruchter G., Ben-Haim S. Dynamic properties of cardiovascular systems. Math. Biosci., V. 110 (1992), N1, pp. 103-117.

67. D. Fusco, N. Manganaro. Exact solutions to flows in fluid filled elastic tubes. Diff. Eqns with appl. to math. physics.In: Math. Sci. Eng.V. 192 (1993) Academic Press, Boston, MA, pp 87-99.

68. Gallic D., Guillaume A., Chastres V, Quandien P. Modelling of the cerebro-vascular system behaviour under hypergravity conditions. In: Proceedings of the Besanon Conf on Comp. Methods., Res. Notes in Math V.306 (1992), pp.246-267

69. P. Gordon. Quasisteady arterial blood flow. J. Math. Physics,V.24 (1983), N4, pp. 1001-1010.

70. Guyton A.C., Coleman T.G. Long term regulation of the circulation, interrelationships with body fluid volumes, in Phys. Bases of Circulatory tramsport, regulation and exchange, W.B. Saundres edt, Philadelphia (1967), p.179.

71. Guyton A.C., Coleman T.G. and Grander H.J. Circulation: overall regulation. Ann. Rev. Physiol,34:13 (1972).

72. Guyton A.C., Coleman T.G., Maning R.D., Hall J.E. Some problems and solutions for modelling overall cardiovascular regulation. Math. Biosci.,V.72 (1984), N2, pp. 141-155.

73. Ge Z.Q. A mathematical model of the blood flow in lung microcirculation the case of tissue-fluid motion. J.Biomath. V.9 (1994), N1, pp.85-90

74. Hart V.G., Shi J. Wave propagation in joined thin dissimilar elastic tubes contatining viscous fluid. Internat. J. Engrg. Sci. V.32 (1994), N4, pp.617-634

75. Heil M. Stokes flow in elastic tube a large-displacement fluid-structure interaction problem. Int. J. Numer. Meth. Fluids V.28 (1998), pp. 243265.

76. Heil M., Pedley T.J. Large post-buckling deformations of cylindrical shells conveying viscous flow. Int. Fluids Struct., V.10 (1996), pp. 565599.

77. Holmsen H., Slaganicoff L., Fukami M.H. Platelet behaviour and biochemistry, in: Haemostasis: Biochemistry, Physiology and Pathology, Ogston and Bennett eds., New York, 1977.

78. Heubach S., Watkins J. A stochastic model for the movement of a white blood cell Adv. Appl. Probab. 27, No. 2, 443-475 (1995).

79. Holmsen H., Salganicoff L., Fukami M.H. Platelet behaviour and biochemistry. In: "Haemostasis: Biochemistry, Physiology and Pathology" (Oggston, Benett eds.), Wiley, N.Y. (1977).

80. Indicello F., Collins M, W., Henry F.S. A review of modelling for arterial vessels simplified ventricular geometries. In: Advances in fluid mechanics (1996). M.Rahman and C.A. Brebbia (eds.). Comput. Mech. Publ., Southampton, pp.179-194.

81. McClarcen M.E., I. Kececioglu, R.D. Ramm, A.H. Shapiro. Steady supercritical flow in collapsible tubes. Parti, experimental observations. J. Fluid Mech., V. 109(1981), pp. 391-415

82. McClarcen M.E., I. Kececioglu, R.D. Ramm, A.H. Shapiro. Steady supercritical flow in collapsible tubes. Part2, theoretical studies. J. Fluid Mech., V. 109(1981), pp. 391-415

83. Ku D.N. Blood flow in arteries. In: Annual review of fluid mechanics V.29 (1996), pp.399-434.

84. Lynch W., Pedley T.J. Flow in tube with non-uniform time-dependent curvature: governing equations and simple examples. J. Fluid Mech., V. 323, pp. 237-265 (1996)

85. Moghe P.V., Tranquillo R.T. A stochastic model of hemoattractant receptor dynamics in leukocyte chemocensory movement. Bull. Math. Biol.,V.56, N.6 (1994), pp. 1041-1093

86. Olsen J.H., A.H. Shapiro. Large amplitude unsteady flow in liquid-filled elastic tubes. J.Fluid Mech., V.29 (1967), pp. 513-538

87. Hamm R.D., Pedley T.J., Flow in collapsible tubes: a brief review. ASME J. Biomech. Eng., V.lll (1989), pp. 177-179.

88. Rudinger G. Shock waves in mathematical models of the aorta. J.Appl. Mech., V.37 (1970), pp. 34-37

89. Глава 3. Результаты численных расчетов

90. Sharan М., Singh М.Р., Singh В. A mathematical model for the systemic capillaries and surrounding tissue in a hyperbaric environment with first order metabolizm. Nonlinear World, V.l (1994), N.3, pp. 255-276.

91. Shimizu M., Tanida Y. On the mechanizm of Korotkoff sound generation at diastole. J. Fluid Mech., V.127 (1983), pp. 395-339.

92. Sun S.M., Shen M.C. Existence of solitary pressure pulses in accylindrical fluid-filled elastic tube. J. Diff. Equations, V.115 (1995), N.l, pp. 224-256.

93. Weber W. Theorie der durch Wasser oder andere incompressible Fluesigkeiten in elastichen Rohren fortgepflanzten Wellen. Verh. koenigl. saechs, Ges. Wiss.18, 353, Leipzig (1866).

94. Yu J., Lakin W.P., Renar P. A hybrid asymptotic numerical study of a model for intracranial pressure dynamics. Stud. Appl. Math., V.95 (1995), N.3, pp. 247-267.

95. M. Zamir Local geometry of arterial branching. Bull. Math. Biol., V.44 (1982), N.5, pp. 597-607.

96. Wagh, D. K., Wagh, S. D. The stochastic variation of blood glucose. J. Indian Acad. Math. 16, No. 1, 111-115 (1994).