Кинетический подход в решению задач гемодинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

ГАВРИЛЮК КИРИЛЛ ВАЛЕНТИНОВИЧ

КИНЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ГЕМОДИНАМИКИ

Специальность 01.01.07- вычислительная математика

Научные руководители: д.ф.-м.н. Лукшин Ан.В., д.ф.-м.н. Арсеньев А.А.

УДК 519.6:621.382

На правах рукописи

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и

кибернетики

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научные руководители: доктор физико-математических наук

A.A. Арсеньев

доктор физико-математических наук Ан.В. Лукшин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Б.Н. Четверушкин доктор физико-математических наук И.А. Шишмарев

Ведущая организация:

Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН

Защита состоится » / »/¿а.рга 2РРс>Года в 15 часов на заседании Диссертационного Совета Д053.05.37 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г.Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд.685. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Автореферат разослан " ¿¿'"^/^/^¿^ ^££года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета, профессор

Е.В. Захаров

E9HJ-Me<t<f о

)бщая характеристика работы

актуальность темы. Задача математического моделирования тече-IIя: крови в сердечно - сосудистой системе давно привлекала внимание сследователей. Со времен открытия У. Гарвеем в 17в. системы крово-бращения накоплен значительный банк данных о строении и функци-¡t сердечно - сосудистой системы, сформулированы основные принци-ы организации системы управления кровообращением. И тем не менее ногие закономерности деятельности сердечно - сосудистой системы ще далеки от окончательного понимания. Сложность решения задач змодинамики объясняется прежде всего необходимостью учета боль-юго числа факторов: структуры кровеносного русла, жесткости сте-ок, калибра сосудов разных генераций ветвления, нервной регуляции, ногокомпонентности крови и т.д.

Существует довольно много математических моделей всей системы ровообращения и моделей регуляции потока крови в отдельных орга-ах. Работы по изучению течения жидкости в эластичных трубках повились еще в прошлом веке (например, Weber, 1866). В 40х и 50х годах екущего столетия начали появляться статьи с графическим и алгеб-аическим анализом физиологических механизмов в сердечно - сосуди-гой системе. Количество уравнений в этих работах редко превышало -10 и в основном изучались стационарные процессы. С развитием вы-ислительной техники модели становились все более детализированны-:и, появились математические модели сердечно - сосудистой системы целом1.

В настоящее время существует много моделей такого сорта. В за-исимости от характерных размера и времени задачи используются дномерные , двумерные и трехмерные , квазистационарные и неста-ионарные модели течения крови. Модель крови также варьируется от цнокомпонетной невязкой несжимаемой жидкости до многокомпонент-ой реагирующей смеси.

В диссертации основной акцент сделан на моделировании течения рови в системе ветвящихся сосудов (гемодинамики). Сердечно - сосу-

1 Guyton A.C., Coleman Т.G., Maning E.D., Hall J.Е. Some problems and solutions for modelling oerall cardiovascular regulation. Math. Biosci.,V.72 (1984), N2, pp. 141-155.

дистая система может быть формально представлена графом, ребрам! которого служат сосуды, а в узлах находятся различные органы и прос тые ветвления сосудов. В рассматриваемой в работе модели2 выделень следующие составляющие сердечно-сосудистой системы: сердце, сосу ды, узлы ветвления и ткани, моделирующие различные органы. Сосу ды предполагаются достаточно протяженными по сравнению со своим! поперечными размерами, что позволяет использовать для построени: базовой математической модели транспорта плазмы крови квазиодно мерное приближение. Упругие свойства стенок сосудов выражены ло кальным законом, связывающим площадь поперечного сечения сосуд; с давлением внутри сосуда, осредненным по его поперечному сечению Кровь нагнетается сердцем в разветвляющуюся систему сосудов, кото рые соединяются с тканями. После прохождения тканей, кровь по ве нозной части поступает обратно в сердце. Чтобы поставить задачу н таком графе, необходимо задать условия сопряжения в узлах, которы могут быть получены как следствия законов сохранения.

При моделировании течения крови по сети сосудов очень важен ана лиз течения в зонах ветвления (бифуркациях). При моделировании не стационарного течения в зонах ветвления сосудов в квазиодномерно1 приближении возникает проблема определения углов, под которыми ра< полагаются сосуды. Существует много работ посвященных этому вс просу. Распространенными недостатками в моделях течения в зона ветвления являются их несимметричность относительно разветвляк щихся сосудов и невозможность учета разветвлений с более чем трем сосудами. Предложенные в диссертации модели лишены указанных не достатков. В работе рассматриваются два подхода к заданию грани1; ных условий в узлах ветвления - макроскопический и кинетический.

В работе построен метод решения задач гемодинамики в сердечнс сосудистой системе, позволяющий эффективно учитывать многокомпс нентность крови. В основе метода лежит кинетический подход к ого санию течения плазмы крови и взаимодействия между компонентам! История развития кинетического подхода берет свое начало еще с рабо

2 Фаворский А.П., Абакумов М.В., Гаврилюк К.В., Есикова Н.Б., Лукшин Ан.В., М хин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф. Математическая модель гемодинамики сердечн сосудистой системы. Дифференциальные у равнения,Т. 33 (1997), N 7.

Максвелла и Больцмана и является; настолько насыщенной, что в настоящее время трудно перечислить все области его приложения: газовая динамика, динамика плазмы, теория переноса нейтронов и излучения, динамика плотных газов, теория турбулентных течений и т.д. С развитием кинетического подхода становятся очевидными следующие два факта, которые позволяют рассматривать кинетические уравнения не только как частный случай нелинейных дифференциальных уравнений, но и как на мощный инструмент решения самых разнообразных задач.

Во-первых оказалось, что уравнения гидродинамики могут быть аппроксимированы кинетическими моделями, сравнительно несложными с математической и вычислительной точек зрения. В качестве примера можно привести известную модель БГК.

Во-вторых выяснилось, что приемлимые кинетические аппроксимации возможны не только для уравнений гидродинамики но и для широкого класса других нелинейных уравнений.

В диссертации при построении модели течения плазмы крови использован метод кинетических аппроксимаций для уравнений гемодинамики в квазиодномерном приближении. Основная идея метода кинетических аппроксимаций состоит в следующем3' 4 Для данной системы уравнений в частных производных относительно вектор-функции U(x, t) составляется одно уравнение более простого вида относительно скалярной функции f(x,Ç,t), зависящей от дополнительной переменной такое, что моменты функции / (weighted averages) по переменной £ являются приближенным решением U(x,t) исходной системы. Заимствуя терминологию из теории кинетических уравнений, функцию / называют функцией распределения некоторых псевдочастиц, независимую переменную £ - кинетической скоростью, а исходную систему уравнений относительно функции U(x, t) называют системой макроуравнений относительно макропараметров U(x,t). Обзор, представленный в работе Н.Б.Масловой5, и постоянно появляющиеся публикации на эту тему свидетельствуют о переспективности метода кинетических аппроксимаций. Следует, однако, отметить, что формальные основания этого метода еще не до конца

3Maslova N.B. Nonlinear evolution equation.Kinetic Approach. Series on Advances in Matrhematics for Applied Sciences.(1993)

4 Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы для моделирова-

ния течений вязкого теплопроводного газа. ЖВМиМФ, Т.28 (1988), N 11, С.1695-1710.

подтверждены теоремами. Среди последних работ на эту тему можно выделить результаты П.-Л. Лионса, Б. Пертама и И. Тадмора5. До сих пор остается вопрос о сходимости решений уравнений Больцмана и его упрощенной модели, БГК, к слабым решениям уравнений Эйлера. Такие теоремы полезны не только для обоснования того или иного метода, но и зачастую, для ответа на вопрос о существовании искомых решений исходных систем нелинейных уравнений, для получения новых априорных оценок для этих решений.

Для квазиодномерных уравнений гемодинамики в диссертации предложено кинетическое уравнение типа БГК с релаксационным слагаемым в правой части, характеризуемым малым параметром. Доказаны теоремы, подтверждающие сходимость моментов решения предложенного кинетического уравнения к решению системы уравнений гемодинамики при стремлении малого параметра к 0.

Вычислительный алгоритм предлагаемого в работе метода маркеров основан на решении построенного кинетического уравнения при малых значениях релаксационного параметра. Такой опосредованный подход к решению базовой системы уравнений гемодинамики был бы оправдан только в случае существования эффективного вычислительного алгоритма нахождения предельного решения кинетического уравнения. Такой алгоритм может быть построен на основании метода частиц.

Метод частиц является одним из основных алгоритмов математического моделирования кинетических процессов. Существуют две точки зрения на метод частиц в кинетической теории: согласно первой точке зрения метод частиц - это метод имитационного моделирования процессов на микроуровне; согласно второй точке зрения - это метод численного решения кинетических уравнений. Следует также отметить, что значительное число известных математических моделей процессов протекающих в крови, представляют собой основанные на микропредставлениях алгоритмы имитационного моделирования. Таким образом обращение к методу частиц решения базовой системы уравнений посредством соответствующего кинетического подхода представляется естественным.

'Lions P.-L., Perthame В., Tadmor Е. Kinetic formulation of the isentropic gas dynamics am p-Systems. Comm. Math. Phys., V. 163, pp. 415-433 (1994)

Учет многокомпонентпости крови производится рассмотрением маркеров разных сортов. В качестве примера применения построенного в заботе метода решена задача математического моделирования процесса адгезии тромбоцитов в сети сосудов, вызываемого повреждением стенки эдного из сосудов венозной части. В качестве основы взята модель адгезии тромбоцитов, рассмотренная в работах А. Фогельсона6. Здесь выде-чяются четыре компоненты: неактивные тромбоциты, активные тром-эоциты, активатор - АДФ, поврежденный участок сосудистой стенки.На товрежденном участке сосудистой стенки выделяется АДФ. При достижении концентрацией АДФ порогового значения неактивные тромбоциты активируются, выделяя при этом АДФ, и образуют агрегаты. При численных расчетах отмечено накопление активных тромбоцитов в победней вене.

В качестве альтернативного кинетического подхода к решению за-цач гемодинамики в диссертации рассмотрен метод гамильтоновых систем, предложенный в работах К.Оелшлагера7 для газовой динамики. В диссертации было проведено сравнение результатов расчетов задач транспорта плазмы крови по сети сосудов методом маркеров, методом гамильтоновых систем и разностной схемой, предложенной в работах Д. ,П. Фаворского и др. Сравнение показало, что методы дают весьма зходные результаты, что может служить дополнительным аргументом а пользу их достоверности.

Цель работы.

1. Построение и исследование вычислительных методов решения задач гемодинамики в сердечно-сосудистой системе с использованием кинетического подхода. Обоснование метода кинетических аппроксимаций для системы квазиодномерных уравнений гемодинамики.

2. Разработка алгоритмов решения задач гемодинамики на графе, позволяющих эффективно учитывать многокомпонентность крови.

6Fogelson A. A mathematical model and numerical method for studying platelet adhesion and aggregation during blood clotting. J. Comp. Phys., V. 56 (1984), N1, pp. 111-134.

7 Oelshlager K. On the connection between hamiltonian many-particle systems and the hydroiynamical equations. Arch. Rat. Mech. Anal., V. 115, pp. 297-310 (1978)

Научная новизна.

1. В рамках кинетического подхода разработан новый метод решения задач транспорта крови по эластичным сосудам в квазиодномерном приближении, позволяющий эффективно учитывать имитационные модели физиологических процессов в крови.

2. Доказаны теорема существования и единственности и теорема с гидродинамическом пределе для кинетической модели для квазиодномерных уравнений гемодинамики.

3. Разработан новый вычислительный алгоритм решения задач гемодинамики на графе, учитывающий многокомпонентность крови.

Практическая значимость.

1. В рамках квазиодномерного приближения на основе метода кинетических аппроксимаций построена и обоснована кинетическая модель транспорта плазмы крови, позволяющая эффективно учитывать имитационные модели физиологических процессов в крови.

2. Построены и обоснованы численные алгоритмы решения задач с транспорте крови на графе, учитывающие многокомпонентность кр< ви, которые могут быть использованы при численном решении ши рокого класса задач гемодинамики сердечно - сосудистой системы.

3. Проведено сравнение результатов расчетов задач транспорта кров! по сети сосудов построенным в работе методом, методом гамильто новых систем и разностной схемой. Используя построенный в дис сертации метод, проведено математическое моделирование процесс; адгезии тромбоцитов.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на

1. научном семинаре кафедры вычислительных методов факультет; ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова;

2. 2-й открытой конференции молодых ученых г.Пущино, 1997 г.;

}. 2-й международной конференции по разностным методам CFDM98, Минск, 1998 г.;

1. научном семинаре отдела биомеханики Института Механики МГУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть на-шых работ, список которых приведен в конце автореферата.

)бъем и структура диссертации

иссертация состоит из трех глав, введения и списка литературы, со-зржащего 95 наименований. Работа изложена на 115 страницах маши-эписного текста, содержит 21 рисунок.

Содержание работы.

1о введении приведен обзор литературы по теме диссертации, изла-1ется краткое содержание работы, сформулированы результаты, ко-орые выносятся на защиту. Первая глава диссертации, состоящая из 6 параграфов, посвящена остроеншо и теоретическому обоснованию кинетической модели гемо-инамики, использующей квазиодномерное приближение.

В первом параграфе первой главы из трехмерных уравнений для не-жимаемой жидкости получена система квазиодномерных уравнений геодинамики, рассмотрены свойства ее решения. Квазиодномерные урав-ения гемодинамики похожи на уравнения газовой динамики в изэнтро-ическом случае, где роль уравнения состояния играет локальный за-он, выражающий упругие свойства сосудистых стенок и связывающий лощадь поперечного сечения S и давление внутри сосуда р.

Второй параграф посвящен методу кинетических аппроксимаций для вазилинейных уравнений. Здесь рассмотрены кинетические аппрокси-гации для квазилинейного уравнения переноса, систем квазилинейных равнений, обладающие следующим свойством: если существует точное ешение исходного уравнения(системы) U(x,t), то можно указать кине-ическую функцию = g[U(x,t),£), зависящую от пространст-

енной координаты х и времени t только посредством макропараметров

U(х, t)- решения исходного уравнения(системы), и являющуюся слабьп решением соответствующего кинетического уравнения.

В третьем параграфе метод кинетических аппроксимаций примене] к системе квазиодномерных уравнений гемодинамики. Исходной систе ме уравнений поставлено в соответствие кинетическое уравнение тип БГК с релаксационным слагаемым в правой части, характеризуемы! малым параметром е > 0 и равновесной функцией 5/(0> играющей рол максвеллиана в газовой динамике. В этом же параграфе указан спосо построения равновесной функции, обладающей следующим свойством носитель gj{£) заключен между двумя собственными значениями сис темы уравнений гемодинамики и — с < £ < и + с, где с(ж, t) - скорост распространения малых возмущений ("скорость звука"). Аналогична функциональная зависимость использовалась в работе С. Каниэла в kv нетической модели для изэнтропической газовой динамики.

В четвертом параграфе диссертации доказана теорема сутцествовг ния решения задачи Коши для построенного кинетического уравнени в периодическом сосуде. Трудность при доказательстве существовани решения заключается в том, что нелинейный оператор , стоящий в прг вой части кинетического уравнения не является Липшиц-непрерывныь и таким образом задачу нельзя решить классическим методом последс вательных приближений. В диссертации использована идея, предложен ная Б. Пертамом для доказательства теоремы существования решени задачи Коши для уравнения БГК. Основным инструментом доказател! ства являются теоремы о регулярности моментов решения уравнени переноса("averaging lemmas"). Вторая проблема связана с тем, что в от личие от уравнения БГК, построенное в работе кинетическое уравнен» не обладает законом сохранения энергии, так как в исходной систем квазиодномерных уравнений гемодинамики уравнение энергии отсут ствует. Следовательно, в отличие от газовой динамики, здесь в обще случае мы не располагаем удобной энергетической нормой. В данной р; боте для уравнения состояния (локального закона упругости) S = Ф(| специального вида удалось найти равновесную функцию д/ такую, чт для решения кинетического уравнения в периодическом сосуде bliooj нено свойство невозрастания энергии.

В пятом параграфе доказана близость решения кинетического ypai

ения к равновесной функции при малых значениях релаксационного араметра е -> О.В дополнительном предположении о моментах решена кинетического уравнения, доказана также сходимость этих момен-ов к решению исходной системы макроскопических уравнений.

В шестом параграфе в качестве альтернативного подхода рассмат-ивается метод гамильтоновых систем, предложенный в работе

Оелшлагера7. Здесь рассмотрена система N взаимодействующих час-иц. В предположении, что радиус действия потенциала взаимодейст-ия больше расстояния между частицами, доказана слабая сходимость упшрической плотности и скорости к решению уравнений изэнтропи-еской газовой динамики с уравнением состояния специального вида. В иссертации данный метод применен к квазиодномерным уравнениям змодинамики и построен соответствующий численный алгоритм.

Вторая глава диссертации, состоящая из шести параграфов, посвя-хена построению и исследованию численного метода "маркеров" ре-гения задач гемодинамики, основанного на кинетическом подходе, рас-мотренном в первой главе.

В первом параграфе сформулирован алгоритм метода маркеров для ешения задачи в периодическом сосуде, основанный на решении по-гроенного кинетического уравнения при малых значениях релаксаци-¡шого параметра е —»■ 0. Во втором параграфе доказана теорема схо-имости и получена оценка точности метода маркеров для модельной здачи в периодическом сосуде.

В третьем параграфе обсуждается постановка граничных условий в цном сосуде. Основной идеей является задание макропараметров к гра-ичных ячейках. Для вычисления по методу маркеров оказывается до-гаточным задавать значения инвариантов Римана, соответствующих арактеристикам исходной системы уравнений гемодинамики, направ-енным внутрь расчетной области. Для решения задачи с заданными а концах сосуда значениями давления либо расхода, недостающие зна-ения значения макропараметров можно получить из разностных соот-ошений на характеристиках.

В четвертом параграфе обсуждается задание граничных условий в [естах соединения сосудов с органами, тканями и в зонах ветвления осудов. Для задания граничных условий в узлах, соответствующих

тканям и органам, наиболее естественным представляется использова ние макроскопических уравнений баланса потока и закона Дарси. Бо лее детальные модели кровотока в различных органах (сердце, почке печень, легкие) можно найти в литературе, их развитие не входил в задачи диссертации. При моделировании течения крови по сети сс судов очень важен анализ течения в зонах ветвления (бифуркациях} При моделировании нестационарного течения в зонах ветвления сосу дов в квазиодномерном приближении возникает проблема определени углов, под которыми располагаются сосуды. Распространенными не достатками в моделях течения в зонах ветвления являются их несим метричность относительно разветвляющихся сосудов и невозможност учета разветвлений с более чем тремя сосудами. Указанных недостат ков лишена модель предложенная в работе А.П. Фаворского и др.2, гд используются приближенные следствия уравнения движения: равенств давлений в сосудах вблизи соединения, равенство величин Бернулли. ] диссертации рассматриваются два подхода к заданию граничных услс вий в узлах ветвления - макроскопический и кинетический. В первом ис пользованы соотношения для макроскопических параметров кровоток в граничных ячейках в сочетании с упомянутыми выше соотношенш ми на характеристиках. Кинетический подход заключается в описани поведения частицы - маркера, попавшего в узел ветвления.

В реальных условиях сосуды могут растягиваться только до опреде ленного предела. В пятом параграфе обсуждается модификация метод маркеров, учитывающая случай, когда сечение сосуда достигает пр£ дельного значения.

В шестом параграфе предложен метод маркеров для уравнения ког векции диффузии. При этом использована кинетически согласованна разностная схема, эквивалентная методу маркеров при выполнении уел вия типа Куранта для парметров разностной сетки.

В третьей главе рассмотрены результаты численных расчетов з; дач гемодинамики предложенным в диссертации методом точечных ма керов в сравнении с результатами, полученными другими методами.

В первом параграфе третьей главы представлены результаты тест« вых расчетов модельных задач гемодинамики на простейших конфиг; рациях сосудов и узловых элементов, и на их основе проведено сравн

ше предложенного в диссертации метода маркеров с разностной схемой, гредложенной в работах Фаворского и др.2.

Во втором параграфе рассмотрены результаты расчетов этих же за-1ач методом гамильтоновых систем7, обсуждены особенности задания граничных условий для этого метода. В частности отмечено преиму-цество метода гамильтоновых систем перед методом маркеров при мо-1елировании условий сопряжения в узлах ветвления сосудов в случае, югда известны геометрические параметры ветвления. Однако метод ^амиль тоновых систем в том виде, в котором он рассмотрен в работе К.. Оелшлагера и в диссертации, требует больше затрат машинного зеремени и памяти, чем метод маркеров и разностная схема.

В третьем параграфе проведены расчеты задач на графе, состоящем 13 81 сосуда и 61 узла методом маркеров и разностной схемой. Данный граф может быть сопоставлен самой общей схеме большого круга кро-зообращения. Работа сердца моделировалась периодическим выбросом з аорту фиксированного ударного объема 80 мл. плазмы крови и задани-;м постоянного давления 10 мм.рт.ст. на выходе из последней вены. При течете задачи обоими методами через 10-20 периодов работы сердца заблюдался выход системы на периодический режим работы.

В четвертом и пятом параграфах третьей главы в качестве примера применения построенного в диссертации метода проводится математическое моделирование процесса адгезии тромбоцитов - начальной :тадии процесса свертывания крови. В четвертом параграфе сформу-шрована математическая модель процесса адгезии тромбоцитов. Параметры модели получены на основании результатов экспериментов, триведенных в литературе.

В пятом параграфе проведен расчет задачи адгезии тромбоцитов в замках предложенной модели на графе, использованном в третьем параграфе данной главы с моделированием работы сердца. В начальный момент времени имитировалось повреждение стенки одной из артерий. !ри численных расчетах отмечено накопление активных тромбоцитов зпоследней вене.

В заключение приношу огромную благодарность моим учителям д.ф.-vi.н. Ан.В. Лукшину, проф. A.A. Арсеньеву, к.ф.-м.н. С.И. Мухину и 1роф. А.П. Фаворскому за внимание и помощь в работе, академику

A.A. Самарскому, проф. В.Б. Кошелеву и коллективу кафедры вычис лительных методов за постоянную поддержку.

Основные результаты диссертации

1. В рамках кинетического подхода разработан новый метод решени: задач транспорта крови по эластичным сосудам в квазиодномернои приближении, позволяющий эффективно учитывать имитационны* модели физиологических процессов в крови.

2. Доказаны теорема существования и единственности и теорема < гидродинамическом пределе для кинетической модели для квази одномерных уравнений гемодинамики.

3. Разработан вычислительный алгоритм решения задач гемодинами ки на графе с учетом многокомпонентности крови. Построенный ме тод применен для решения задачи математического моделировани процесса адгезии тромбоцитов, вызываемого повреждением стенк: одного из сосудов.

Публикации по теме диссертации

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в слс дующих работах:

1. М.В. Абакумов, К.В. Гаврилюк, Н.Б. Есикова, В.Б. Кошелев, А.Е Лукшин, С.И. Мухин, Н.В. Соснин, В.Ф. Тишкин, А.П.Фаворскш "Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой систс мы"//Препринт ИПМ им. Келдыша РАН:104, 1996.

2. К.В. Гаврилюк, В.Б. Кошелев, Ан.В. Лукшин. "Метод точечны маркеров в задачах гемодинамики"// Препринт ИПМ им. Келдыш РАН:10,1997.

3. М.В. Абакумов, К.В. Гаврилюк, Н.Б. Есикова, A.B. Лукшин, C.i Мухин, Н.В. Соснин, В.Ф. Тишкин, А.П. Фаворский. "Математичес кая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы"// "Диффс ренциальные уравнения", 1997, Т. 33, N 7, с.892 - 898.

4. K.B. Гаврилюк, В.А. Лукшин. "Математические модели гемодинамики"// Тезисы II открытой городской научной конференции молодых ученых города Пущино.1997, с.260.

5. К.В. Гаврилюк, А.В.Лукшин. "О методе точечных маркеров в задачах гемодинамики".//"Дифференциальные уравнения", 1997, Т. 33, N7, с. 934 - 940.

6. К.В. Гаврилюк, A.B. Лукшин. "Метод точечных маркеров для гемодинамики"// Тезисы II Международной конференции "Конечно-разностные методы: теория и приложения". Минск,1998.