Классическая и квантовая редукция в приложении к интегрируемым системам и квантовым алгебрам тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2003-112

На правах рукописи УДК 539.1.01, 530.145.1, 530.145.7, 51-72:531/533

ДОЛГУШЕВ Василий Александрович

КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ РЕДУКЦИЯ В ПРИЛОЖЕНИИ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ СИСТЕМАМ И КВАНТОВЫМ АЛГЕБРАМ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 2003

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук,

А.П. Исаев

доктор физико-математических наук,

C.JI. Ляхович

\

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

П.П. Кулиш (ПОМИС РАН, г. Санкт-Петербург)

кандидат физико-математических наук

A.A. Владимиров (ЛТФ ОИЯИ)

Ведущая организация:

Отделение теоретической физики им. И.Е. Тамма Физического института Российской Академии наук имени П.Н. Лебедева, г. Москва.

Защита диссертации состоится "_"_2003 г. в 15— на заседании диссертационного совета К 720.001.01 при Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна, Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан "_"_ 2003 г. '

Учёный секретарь диссертационного совета

С.И. ФЕДОТОВ

\

^ Общая характеристика диссертации.

Актуальность темы. Квантовая теория калибровочных полей на сегодняшний день является наилучшим претендентом на описание взаимодействий элементарных частиц. По этой причине изучение калибровочных теорий, построение согласованных взаимодействий калибровочных полей, а также разработка методов их квантования оказываются одними из центральных вопросов современной теоретической физики.

Одной из первых работ, положивших начало построению квантовой теории калибровочных полей, является известная работа Л.Д. Фаддеева и В.Н. Попова (L.D. Faddeev, V.N. Popov, Phys. Lett. В., 1967, v. 25, p. 29), в которой был предложен простой метод описания квантовой теории полей Янга-Миллса, основанный на использовании фейнмановского функционального интеграла. Функциональные и операторные методы квантования калибровочных теорий общего вида получили своё дальнейшее развитие в многочисленных работах И.А. Ба-талина, Е.С. Фрадкина и Г.А. Виковыского. Это позволило существенно существенно расширить класс исходных полевых моделей (см. обзор I.A. Batalin, E.S. Fradkin, Ann Inst. Henri Poincaré, 1988, v. 49, p. 145), и в настоящее время методы квантования хорошо определены практически для любой калибровочной полевой теории, исключая лишь некоторый специальный класс теорий с определённым типом зависимости между генераторами калибровочной алгебры.

С точки зрения проблем квантования наиболее адекватной формулировкой калибровочной симметрии в классической теории является её описание в терминах гамильтоновой (или симплектической) редукции. В этом подходе физи-, ческое фазовое пространство теории отождествляется с фактором поверхности связей первого рода в расширенном фазовом пространстве по калибровочным преобразованиям, генерированным этими связями, а физические наблюдаемые отождествляются с калибровочно инвариантными функциями на расширенном фазовом пространстве, принимающими ненулевые значения на поверхности связей.

Одно из важных физических приложений гамильтоновой редукции связано с построением интегрируемых систем (М.А. Olshanetsky, A.M. Perelomov, Phys. Rep., 1981, v. 71, N. 5, p. 314). Первоначально, интегрируемые системы рассматривались как кандидаты на роль моделей, адекватно описывающих свободные приближения конкретных физических систем. Однако в недавнее время было обнаружено, что динамика интегрируемых систем, возникающая на пространстве модулей полевых теории с расширенной суперсимметрией, позволяет получать точные (непертурбативные) результаты в соответствующей квантовой теории (A. Gorsky, A. Mironov, Integrable Many-Body Systems and Gauge Theories, hep-th/0011197). Одним из первых результатов такого характера является получение Зайбергом и Виттеном точной низкоэнергетической части эффективного потенциала N = 2 супер-симметричной теории Янга-Миллса (N. Seiberg, Е. Witten, Nucí. Phys. В., 1994, v. 431, p. 484).

Развитие непертурбативных методов квантовой теории поля ни в какой мере не отменяет теорию возмущений, поскольку теория Зайберга-Виттена позволяет предсказать лишь определённую часть точных вкладов в эффективное действие, а подход, связанный с использованием дуальностей (С. Vafa, Lectures on Strings and Dualities, hep-th/9702201) основывается на идее сведения определённых вопросов одной теории к пертурбативным вычислениям в другой. В связи с этим, проблемы, связанные с развитием пертурбативных методов, приобретают ещё большую актуальность.

Особый интерес по-прежнему представляют проблемы общекоординатной инвариантности пертурбативных методов квантования, а также проблемы адекватной работы с квантовой калибровочной симметрией. Опыт работы с калибровочными полевыми моделями показывает, что эти проблемы тесно связаны между собой. А именно, идеи квантовой редукции, лежащие в основании методов БРСТ-квантования (I.A. Batalin, E.S. Fradkin, Ann Inst. Henri Poincaré, 1988, v. 49, p. 145), позволяют решить некоторые проблемы ковариантности квантовой теории. Причина этого состоит в том, что вопрос ковариантности может быть сведён к вопросу описания нелинейных многообразий в терминах редукционных

процедур по аналогии с тем, как нелинейность большинства интересных физических моделей состоит в нетривиальной реализации их как систем со связями или по аналогии с тем как нелинейность большинства интегрируемых систем основана на нетривиальной формулировке этих систем в терминах процедуры гамильтоновой редукции.

Многочисленные примеры показывают, что идеи квантовой редукции могут также применяться к построению взаимодействия теоретико-полевых моделей, и одним из главных результатов в этом направлении является построение взаимодействующей теории классических полей высших спинов (М.А. Vasiliev, Int. J. Mod. Phys. D., 1996, v. 5, p. 763). Физические поля этой теории отождествляются с коэффициентами разложения функций на вспомогательном векторном расслоении над пространством-временем, а уравнения динамики этих полей определяются из уравнения квантовой редукции, наложенного на эти функции.

Одним из результатов, позволяющих решать проблемы,ковариантности квантовой теории, является предложенный Федосовым (B.V. Fedospv, J. Diff. Geom., 1994, v. 40, p. 213) явно ковариантный метод деформационного квантования произвольной невырожденной скобки Пуассона. Идея метода Федосова состоит в расширении пространства функции исходного симплектического многообразия функциями на касательном расслоении к этому многообразию. При этом, скобка Пуассона исходного многообразия задаёт естественную структуру алгебры Вейля на этом расширенном пространстве, а решения уравнения квантовой редукции, которые строятся путём явно ковариантной пертурбативной процедуры, образуют подалгебру в этой алгебре. Эти решения естественным образом отождествляются с функциями на исходном многообразии, и это позволяет получить искомое звёздочка-произведение. Формулировка процедуры квантовой редукции Федосова в терминах БРСТ-теории, предложенная в работе (М.А. Grigoriev, S.L. Lyakhovich, Comm. Math. Phys., 2001, v. 218, p. 437), делает метод Федосова более адекватным к использованию привычного языка физических теорий, и открывает возможность для приложения этого метода в квантовании конкретных теоретико-полевых моделей.

Как* известноj конструкция Федосова и различные её обобщения ( М. Bordemann, S. Wäldmann, Lett. Math.' Phys., 1997, v. 41, p. 243; V.A. Dolgushev, S.L. Lyakhovich and A.A. ShärapoVNucl. Phys. В., 2001, v. 606, p. 647; I.A. Batalin, M.A. Grigoriev and S.L. Lyakhovich; Theor. Math. Phjte., 2001 v. 128, p. 1109) не позволяют квантовать нерегулярные скобки Пуассона, то есть скобки с'пуассо-новым тензором непостоянного ранга, и основным препятствием к квантованию таких скобок является отсутствие аффинной связности, согласованной с нерегулярной пуассоновой структурой. В то же время; вопрос о квантовании нерегулярных пуассоновых структур, кажущийся на первый взгляд экзотическим, в действительности возникает в теории поля. Например, группа симметрий классического уравнения Кортевега де Фрйза (КдФ) оказывается населённой нерегулярной пуассоновой структурой. Следовательно, симметрии квантового уравнения КдФ Должны образовывать бесконечно-мерную квантовую группу, которая' получается квантованием данной пуассоновой структуры. Несмотря на То, что квантовая теория уравнения КдФ (V. Bazhanov, S. Lukyatiov, A. Zamolodchikov, Comm. Math. Phys., 1996, v. 177, p. 381) оказывается хорошо определённой конформной теорией поля, квантовый аналог данных симметрий до сих пор неизвестен. '

•• Следует отметить, что метод Федосова рассматривается как непосредственное Обобщение вейлевского квантования линейного симплектического пространства, в то время как для физических приложений необходимо использовать обобщение данного Метода на случай виковского символа, который оказывается более адекватным для последовательного квантования теоретйко-полевых моделей и прй этом, вообще говоря, не всегда эквивалентен вейлевскому символу. ' '

Целью работы является развитие приложений методов классической редукции к построению и изучению интегрируемых систем, а также разработка и обобщение методов деформационного квантования, адекватных для построс-' ния квантово-полевых моделей теоретической физики.

Научная новизна и практическая ценность.

В данной диссертации впервые разработай наиболее общий метод вычисле-'

ния классических r-матриц для интегрируемых систем, полученных' в рамках гамильтоновой редукции. Показано, что данный метод воспроизводит известную классическую г-матрицу эллиптической системы Калоджеро-Мозера со спином. Ожидается, что предложенный метод может быть применён к вычислению классических r-матриц для более широкого класса интегрируемых систем типа систем Хитчина (N.J. Hitchin, Ehike Math. J., 198T, v. 54, 1, p. 91).

В работе впервые приведён пример интегрируемой системы, полученной в рамках гамильтоновой редукции по действию нелйевых симметрий. Показано, что несмотря на более сложную природу симметрий, используемых в конструкции, стандартные методы интегрирования работают и в этой ситуации. Данный пример показывает, что гамильтонова редукция несёт в себе гораздо больший ресурс для объяснения механизма интегрируемости систем, чем считалось ранее. Это позволяет ожидать, что те интегрируемые системы, чья природа интегрируемости ещё не объяснена, являются примерами систем именно такого типа, то есть могут быть получены в рамках гамильтоновой редукции по действию нелиевых симметрий.

В диссертации впервые предложено явно ковариантное виковское квантование для наиболее общего симплектического многообразия в рамках метода Федосова. Предложенный метод квантования носит конструктивный характер и позволяет работать с широким классом искривлённых симплектических многообразий. В этой связи ожидается, что предложенная нами конструкция может найти своё применение в описании, построении и квантовании нелинейных полевых теорий.

В работе также предложена оригинальная итерационная процедура деформационного квантования некоторого класса нерегулярных скобок Пуассона, ассоциированных с постоянными решениями классического уравнения Янга-Бакс-тера. Мы ожидаем, что дальнейшее развитие этого метода-позволит решить проблему квантования произвольной треугольной динамической г-матрицы (Р. Xu, Adv. Math., 2002 v. 166, 1, p. 1).

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, доклады-

вались, и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного Института Ядерных Исследований, на научных .семинарах кафедр квантовой теории пол» и теоретической физики Физического факультета Томского государственного университета, на научных семинарах лабораторий теоретической и математической физики Государственного научного центра Института теоретической и экспериментальной физики и на семинаре Отделения теоретической физики им. И.Е.Тамма Физического института РАН имени П.Н. Лебедева. Результаты работы также докладывались на следующих международных конференциях: , ,

1. Международная конференция "Квантование, Калибровочная Теория и Струны", посвящённая памяти академика Е.С. Фрадкина (Москва, 5-10 июня 2000 г.)

2. Международная конференция "Суперсимметрия, Квантовая Теория Поля", посвящённая памяти профессора Д.В. Волкова (Харьков, 25-29 июля 2000 г.)

- , ■ I, 1

3. Международная конференция "Новые достижения в Теориях Фундаментальных Взаимодействий" (Польша, Карпач, 6-15 февраля 2001 г.)

4. Международная конференция "Квантовые Группы и Интегрируемые Системы" (Чехия, Прага, 20-22 июня 2002 г.)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из вводной главы, четырёх глав, собранных в две части, заключения и списка цитированной литературы из 96 наименований. Общий объём диссертации - 88 страниц.

Содержание работы ' '

В первой вводной главе обсуждается актуальность работы и мотивация проводимых исследований. Приводится краткое содержание диссертации, а также обзор предшествующих результатов по тематике диссертации..

Первая часть посвящена приложению гамильтоновой редукции к изучению и построению интегрируемых систем. В этой части мы предлагаем метод вычисления классических г-матриц интегрируемых систем, основанный на использовании гамильтоновой редукции, и иллюстрируем предложенный метод на примере эллиптической системы Калоджеро-Мозера со спином. В этой части мы также приводим пример интегрируемой системы, полученной в рамках гамильтоновой редукции по действию нелиевых симметрий. Мы показываем, что, несмотря на более сложную природу калибровочных преобразований, используемых в данной конструкции, уравнения движения этой системы решаются методом проектирования.

Во второй главе предложен метод вычисления классических г-матриц для

интегрируемых систем, полученных методом гамильтоновой редукции. Предложенный метод основывается на следующих предположения, накладываемых на процедуру редукцию:

1. На расширенном фазовом пространстве задана функция Ф, принимающая значения в некоторой (возможно бесконечно-мерной) алгебре Ли 0, и такая, что после редукции Ф даёт матрицу Лакса интегрируемой системы.

2. Скобки Пуассона расширенного фазового пространства между матричными элементами Ф имеют г-матричный вид:

{Ф®/,/®Ф} = [г°,Ф®/]-[г®1)/®Ф], ' (1)

где г° - элемент тензорного произведения 0 ® 0, аг}, получен из г0 перестановкой тензорных сомножителей.

3. Калибровочные преобразования Ф представляются в виде

Ф ц. /Г'ФЛ, (2)

где Л является элементом группы Ли С, соответствующей алгебре Ли 0.

В первом разделе второй главы мы показываем, что при наличии вышеуказанных предположений техника гамильтонова редукции позволяет найти г-матрицу интегрируемой системы в следующем виде:

г = (г0-(р-1)геа®{Хь,Ф} + ко6е(1®{Ть,Ф})1 , (3)

I 1г.=х°=о

где

ЯаЬ = {Р-1УЛхс,хл}{Р-1)ьл, Рьа = {Та,хь},

Ы - базис алгебры калибровочных преобразований, Та - связи первого рода, генерирующие калибровочные симметрии, ах" -условия фиксации калибровки.

Во втором разделе второй главы мы применяем предложенный метод к вычислению классической г-матрицы эллиптической системы Калоджеро-Мозера со спином.

Фазовое пространство 5 /У-частичной эллиптической системы Калоджеро-Мозера с максимальным спиновым сектором является кокасательным расслоением над прямым произведением N копий эллиптической кривой

£т = (С \ {0})/(г ~ е21Г,тг), 1гпт > О

и N копий N — 1-мерного комплексного проективного пространства СР"-11

5 = Г*(£т х СР"-1)* . (4)

Если ввести координаты и,- € С\{0} , г — 1,... , N, параметризующие точки на каждой из копий £т, и для каждого .7 = 1,... , N ввести набор однородных координат {ау} на 7*-й копии СР^-1, тогда матрица Лакса эллиптической системы Калоджеро-Мозера с максимальным спиновым сектором может быть записана в виде

/(*) = <*/>) а"1, а = ||ау||, (5)

1 Более точно, фазовое пространство является фактором 5 по действию симметрической группы переста-

новок .

где

n

Ыг) = Ы2) = ~ ßik&kj Ф(г, иц), if и «ij = Щ ~ «j ,

Jt=i 1

Vi и ßij - канонически сопряжённые импульсы к щ и ая- соответственно, а эллиптическая функция ф(г, и) может, быть представлена в виде

= |е^гКИ<1, « f а + Ьт,' a,b £ Z. (6)

aez

Используя хитчиново описание данной системы в терминах пространства модулей топологически тривиальных голоморфных векторных расслоений ранга N над кривой Ет с отмеченной точкой (М.А. Olshanetsky, Lett. Math. Phys., 1997, v. 42 p. 59), мы вычисляем классическую г-матрицу для матрицы Лакса (5) с помощью формулы (3)

ф, z') = a® a[{E{z'lz) - Е{г')) £ ен ® е„+

»

+ 5> uü) - Ф(г'> uJt'))eü ® е_,;]а-1 ® а-1. (7)

Эллиптическая функция £(z) в (7) может быть представлена в виде ряда

£ ^¿П-1. < N < 1. (8)

agZojiO

Непосредственной проверкой можно показать, что (7) действительно является r-матрицей для (5).

Система Калоджеро-Мозера с максимальным спиновым сектором является универсальной в том смысле, что любая другая система Калоджеро-Мозера со спином получается из неё путём гамильтоновой редукции по действию параболической подгруппы V С SLn(С), входящей в определение соответствующей системы Калоджеро-Мозера со спином. В заключении второго раздела второй главы мы показываем, что предложенная нами процедура позволяет вывести

классическую r-матрицу для системы Калоджеро-Мозера со спином, соответствующей любой параболической подгруппе V С SLn(C) .

В третьей главе предложен пример интегрируемой системы, полученной путём гамильтоновой редукции по действию квадратичной алгебры Склянина (Е.К. Склянин, Функц. анализ и прил., 1982, т. 16, вып. 4 с. 27), которая является нелиевой деформацией алгебры Ли иг. В результате мы получаем деформацию рациональной двух-частичной системы Калоджеро-Мозера.

В первом разделе этой главы приводиться конструкция самой системы. Вво- 1

дится расширенное фазовое пространство Т*R4 с канонической симплектиче-ской структурой

из = dpn A dx1', fi = 0,... , 3, (9)

где р,, обозначают координаты на многообразии базы R4, а х** обозначают координаты в слое.

Для любого набора констант J\, J3 скобка Склянина, определённая на базе

R4

{Po,Pi} = ooi(p) = -J3P2P3, {РьРг} = а12(р) =РоРз,

{Р0,Р2> = оог(р) = (J3 ~ «Л)Р2Рз, {р2,рз} = «2з(р) =PoPi, (W)

{Ро,Рз} = «оз(р) = J1P1P2 , {P3,Pl} = «31 (р) - Р0Р2 задаёт следующее симплектическое действие на кокасательном расслоении T*R4

= <w"(p), = д»(*„хс"(р)хх), (11)

где е" - инфинитезимальные параметры. Гамильтоновы генераторы этого действия имеют вид

Ме = а(е, х) = а^ЬУх». (12) ^

По аналогии с конструкцией системы Калоджеро-Мозера рассматривается редукция на поверхность ненулевого уровня гамильтоновых генераторов (12)

М0 = -^зргрз®1 + Ыз - Л)рзр1£2 + ¿1Р1Р2Х3 = О, Мг = ро{х2рз - хърг) + ^зРгРза;0 = и,

(13)

М2 = р0{х2р1 - х1р3) + (Л - Л)РЗР1Х° = О,

М3 - Ро{х1рг - ж2р!) - ^Р1Р2Х° - О,

где V - константа взаимодействия. Выбирая калибровочное условие в виде х1 = О, мы получаем фазовое пространство редуцированной системы, параметризованное каноническими переменными

1 о и = х , и 1 = ро,

и2 = Ж3, V2=pз.

В результате проводимой редукции пара функций Казимира скобки Пуассона (10)

Сг = \ ¿Ы2, С2 = \{{Ро? + МР1)2 + МРз)2) (14)

*= 1

даёт нам необходимую пару независимых коммутирующих гамильтонианов, явные выражения для которых в терминах канонических переменных и',«1,м2,г>2 имеют вид

Я - + Я - {Щ)2 4- 7 ^ ГШ

. ■ _ ~~2 2(«1и2 — «/з«1^)2' ~~2 (15)

Во втором разделе третьей главы показано, что уравнения движения системы

! 2 2

a z , „ 2

* V2+(v^-J3v^r hU = 3V2" dt>Vl = -(vJ-JV3v2u>r 9tlVl =

могут быть решены методом проектирования (М.А. Olshanetsky, A.M. Perelo-mov, Phys. Rep., 1981, v. 71, 5 p. 314).

Во второй части диссертации предложены две конструкции, обобщающие метод Федосова. Первое обобщение состоит в построении ковариантной формулировки виковского звёздочка-произведения для наиболее общего симплектиче-ского многообразия. Второе обобщение метода Федосова позволяет построить универсальное деформационное квантование для некоторого класса нерегулярных скобок Пуассона, ассоциированных с постоянными решениями классического уравнения Янга-Бакстера.

В четвёртой главе предложена ковариантная процедура построения звёздочка-произведения виковского типа в рамках федосовского деформационного квантования. Основным элементом предложенной конструкции является комп-лексно-значный симметричный тензор второго ранга д'3(х) i,j = 1,... ,2п, который", наряду с невырожденной пуассоновой структурой ш>}(х), входит в определение виковского звёздочка-произведения. Условия, накладываемые процедурой виковского квантования на пару шч{х) и gt3(x), состоят в том, что матрица суммарного тензора

Л.**(х) = u>'J(x) + g'J(x), (17)

имеет половинный ранг п в каждой точке х рассматриваемого симплектического многообразия М, и, помимо этого, на М существует симметричная связность V,-комплексифицированного касательного расслоения ТСМ, по отношению к кото-

рой тензор (17) является ковариантно постоянным У,Л,<:(аг) = 0. Вещественное симплектическое многообразие, обладающее тензором (17), удовлетворяющим этим условиям мы называем многообразием Федосова виковского типа (или, попросту, ФВ-многообразием).

В первом разделе четвёртой главы обсуждается геометрия ФВ-многообразий, а также доказываются критерии, позволяющие идентифицировать такие многообразия.

Описание геометрии начинается в несколько более общем контексте. А именно, вводится понятие почти ФВ-многообразия, которое определяется как вещественное 2п-мерное многообразие, оснащённое комплексно-значным тензором Лч" таким, что матрица этого тензора имеет половинный ранг п в каждой точке I £ М, а антисимметричная часть ш%1{х) этой матрицы является вещественной и задаёт невырожденное кососкалярное произведение в Т*М для каждой точки х € М . По простым соображения очевидно, что почти ФВ-многообразие является ФВ-многообразием тогда и только тогда, когда на М существует симметричная связность V,-, по отношению к которой тензор Л'-7 является ковариантно постоянным.

В данном разделе сформулированы и доказаны два простых критерия, позволяющие выяснить является ли заданное симплектическое почти ФВ-многообра-зие ФВ-многообразием. Первый критерий сводит вопрос выяснения к проверке инволютивности правого и левого ядерных распределений формы

Ло(*) = И|,(*)Л*^)«у(:г), и,к(х)шк>{х) = &>, (18)

а второй критерий основан на проверке равенства нулю следующего тензора2

= 1\{х)д^{х) - 1]{х)дЛ{х) - #{х)(д*11,{х) - дх,1\{х)), (19) где I* - тензор, естественным образом связанный с почти ФВ-структурой

2 Не трудно показать, что АГ* действительно является тензором.

,, „ , , 1){х)=/к{г)ык,{х). (20)

Мы показываем, что имеется тесная аналогия между тензором (20) и тензором почти комплексной структуры (A. Newlander, L. Nirenberg, Ann. Math., 1957, v. 65, 3, pi 391). По этой причине мы называем (20) тензором почти инволютивной структуры, а (19) - связанным с ним тензором Нёйенхёйса. В этом смысле приведённые критерии естественным образом обобщают теорему ■>

Ньюландера-Ниренберга (A. Newlander, et al.) об идентификации комплексных многообразий.

В конце первого раздела четвёртой главы мы приводим примеры ФВ-много-образий и показываем, что в класс таких многообразий попадают все кэлеровы и все так называемые паракэлеровы многообразия (V. Cruceanu, P. Fortuny, and P.M. Gadea, Rocky Mt. J. Math., 1996, v. 26, 1, p. 83).

Второй раздел четвёртой главы посвящён деформационному квантованию ФВ-многообразий. ' '

Под деформационным квантованием виковского типа симплектического мко-гообразия М понимается построение ассоциативной локальной операции звёздочка-произведения функций, являющейся одно-параметрической деформацией обычного умножения в алгебре гладких функций С°°(М) и удовлетворяющей следующему условию квази-классического предела:

а *Ь(х) = a(x)b(x) + jA(x)dia(x)djb(x) + ..., (21)

где А4 - ФВ-структура на М, h - формальный параметр деформации ("постоянная Планка"), а троеточие обозначает члены более высокого порядка по ft.

В данном разделе показывается, что для любого фВ-многообразия (М, A, V) звёздочка-произведение виковского типа может быть построено путём минимальной модификации исходной конструкции Федосова (B.V. Fedosov, J. Diff. Geom., 1994, v. 40, p. 213). В результате предъявляется эффективная явно ко-

вариантная пертурбативная процедура, позволяющая построить звёздочка-произведение виковского типа на М в следующем виде

а * Ь{х) = а(х)Ь(х) + уЛу(*)д,а(х)дХх)+ ^ • ... • (22)

р,Я>1,к>2

где тензоры В^1'"•''(ж), являющиеся по отдельности симметричными по индексам ¿1,... ,г'р и ¿1,... выражаются через тензоры ш'3, д'3, тензор кривизны Римана (Яу)* и его ковариантные производные.

В заключении второго раздела четвёртой главы обсуждается вопрос построения следового функционала для звёздочка-произведения виковского типа.

Наконец, в третьем разделе четвёртой главы приводится итерационная процедура построения оператора, осуществляющего локальную эквивалентность виковского и вейлевского звёздочка-произведений на ФВ-многообразий. В этом разделе вычислен представитель когомологического класса,' являющегося препятствием к глобальной эквивалентности этих звёздочка-произведений. Показано, что в случае кэлерова многообразия этот класс пропорционален первому классу Черна соответствующей комплексной структуры.

В пятой главе предложено специальное обобщение Конструкции Федосова, позволяющее построить универсальноё-звёздочка-произведение для нерегулярной скобки Пуассона следующего вида'- ' • ^

{а,Ъ} = г»Х{аХ,Ь, V а, Ь 6 С°°(М), (23)

где Х{ - векторные поля, задающие на гладком многообразии М действие алгебры Ли 5' ' . . '

" [X,-, X,] = %Хк, ¿, к = '1,... , <Нт 0, ' (24)

I • ■ •• , I .■ ■ : |

а ¡И|| - постоянное решение классического уравнения .Янга-Бакстера

fmnrm'rnk + циклические перестановки по (i,j, к) = 0. (25)

Без ограничения общности можно считать, что матрица 1111 является невырожденной.

Напомним, что звёздочка-произведение скобки Пуассона (23) является универсальным (A. Giaquinto and J. Zhang, J. Pure Appl. Algebra, 1998, v. 128, 2 p. 13-3), если оно имеет следующий вид

oo

а*Ь=аЬ+ (26)

n,m,fc= 1

где Fñ'" ,m' - постоянные тензоры, по отдельности симметричные по индексам ... im и ji... jk, a Xi действуют последовательно как дифференциальные операторы первого порядка. Помимо этого подразумевается, что выражение (26) задаёт ассоциативное звёздочка-произведение независимо от выбора многообразия М и от выбора конкретного действия алгебры Ли Q на М .

, В первом разделе пятой главы мы приводим эффективную итерационную процедуру построения универсального звёздочка-произведение для скобки Пуассона (23). Отличительная черта этой процедуры от процедуры-Федосова состоит в том, что алгебра функций на М расширяется до некоммутативной алгебры, которая получена в результате квантования линейной

{», »} = fijVk - ГЦ , ~rikrki = S¡ , (27)

а не постоянной скобки Пуассона.

Во втором разделе показано, что универсальные звёздочка-произведения, построенные в рамках нашей процедуры, классифицируются формальными рядами по h со значениями во вторых когомологиях алгебры Ли Q.

Наконец, в третьем разделе пятой главы рассмотрено квантование простейшей неабелевой алгебры Ли.

В заключении приведены основные результаты диссертации, выносимые на'защиту. ' ' '

На защиту выдвигаются следующие результаты.' •

1.' Разработан метод вычисления классических г-матриц для интегрируемых систем, полученных в рамках гамильтоновой редукции. Показано, что предложенный метод воспроизводит известную классическую г-матрицу эллиптической системы Калоджеро-Мозера со спином.

2. Предложен пример интегрируемой системы, полученной путём гамильтоновой редукции по действию нелиевых симметрий. Показано, что, несмотря на более сложную природу калибровочных преобразований, используемых в построении системы, соответствующие уравнения движения решаются методом проектированйя.' ,

3. Построена явно ¿»вариантная" геометрическая формулировка виковского символа на симплектическом Многообразии в рамках метода Федосова. Описана геометрия симплектических многообразий, допускающих конструкцию виковского символа и доказана теорема идентификации таких многообразий, обобщающая известную^теорему Ньюлендера-Ниренберга об идентификации комплексных многообразий.

4. Предложена конструкция локального преобразования эквивалентности виковского и вейлевского звёздочка-произведейий. Найдена 2-форма, представляющая когомологический класс, который является препятствием к существованию глобальной эквивалентности. В частном случае кэлерова многообразия показано, что виковское и вейлевское звёздочка-произведения глобально эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующее кэле-рово многообразие является многообразием Калаби-Яу.

5. Предложена простая итерационная процедура деформационного квантования некоторого класса нерегулярных скобок Пуйесона, ассоциированных

с постоянными решениями классического уравнения Янга-Бакстера. Показало, что предложенная процедура позволяет проквантовать произвольную треугольную биалгебру Ли.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. V.A. Dolgushev, S.L. Lyakhovich, and А.А. Sharapov. Wick symbol and deformation of the exterior algebra. In "Quantization, Gauge Theory, and Strings". Proc. of the Intern. Conf. dedicated to the memory of Prof. Efim Fradkin, Moscow, June 2000. Scientific World, Moscow, 2001, v. 2, p. 19

2. V.A. Dolgushev, S.L. Lyakhovich, and A.A. Sharapov. Wick type deformation quantization of Fedosov manifolds. Nucl. Phys. В., 2001, v. 606, p. 647; hep-th/0101032

3. V.A. Dolgushev. Sklyanin bracket and deformation of the Calogero-Moser system. Mod. Phys. Lett. A., 2001, v. 16, p. 1711; hep-th/0102167

4. V.A. Dolgushev, S.L. Lyakhovich, and A.A. Sharapov. Wick quantisation of a symplectic manifold. In "Supersymmetry and Quantum Field Theory". Proc. of the Intern. Conf. dedicated to the memory of Prof. Dmitry Volkov, Kharkiv, Ukraine, July, 2000. Nucl. Phys. Proc. Suppl., 2001, v. 102 p. 144

5. V.A. Dolgushev. The Fedosov class of the Wick-type star-product. Proc. of the Intern. Conf. "New Developments in Fundamental Interactions Theories", Karpacz, Poland, February, 2001. AIP Conference Proceedings, Vol. 589,

, Melville, N.Y. (2001) 416-424 . .

6. V.A. Dolgushev, A.P. Isaev, S.L. Lyakhovich, and A.A. Sharapov.

On the Fedosov deformation quantization beyond the regular Poisson manifolds. Nucl. Phys. B645, 3 (2002) 457-476; hep-th/0206039

7. V.A. Dolgushev, A.P. Isaev, S.L. Lyakhovich, and A.A. Sharapov.

Quantization of triangular Lie bialgebras. Proc. of the Xl-th Intern. Conf. "Quantum Groups and Integrable Systems", Prague, Czech Republic, June, 2002. Czech J. Phys. 52, 11 (2002) 1195-1200

H.W. Braden, V.A. Dolgushev, M.A. Olshanetsky, and A.V. Zo-tov. Classical r-matrices and the Feigin-Odesskii algebra via Hamiltonian and Poisson reductions. J. Phys. A: Math. Gen. 36, 25 (2003) 6979-7000; hep-th/0301121

nojiyneHO 16 HKHM 2003 r.

<1 I

I

R12 5 5 4

Макет H. А. Киселевой

Подписано В печать 18.06.2003. Формат 60 X 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,18. Уч.-изд. л. 1,32. Тираж 100 экз. Заказ № 53964.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@pds.jinr.ru www.jinr.ru/publish/

1 Введение

1 Гамильтонова редукция в приложении к интегрируемым системам.

2 Получение классической г-матрицы методом гамильтоновой редукции.

2.1 Метод получения формальной г-матрицы.

2.2 Классическая И-матрица эллиптической системы Калоджеро-Мозера со спином.

3 Алгебра Склянина и деформация системы Калоджеро-Мозера.

3.1 Построение интегрируемой системы.

3.2 Метод проектирования.

II Построение квантовых алгебр методом Федосова.

4 Деформационное квантование многообразий Федосова виковского типа

4.1 Многообразия Федосова виковского типа.

4.2 Деформационное квантование на ФВ-многообразиях.

4.3 Критерий эквивалентности звездочка-произведений.

5 Получение универсальной деформационной формулы методом Федосова.

5.1 Квантование скобок Пуассона, ассоциированных с треугольными г-матрицами.

5.2 Теорема Эквивалентности.

5.3 Квантование простейшей неабелевой алгебры Ли.

Глава

Квантовая теория калибровочных полей на сегодняшний день является наилучшим претендентом на описание взаимодействий элементарных частиц [1], [2].По этой причине изучение калибровочных теорий, построение согласованных взаимодействий калибровочных полей, а также разработка методов их квантования оказываются одними из центральных вопросов современной теоретической физики.Одной из первых работ, положивтКу начало построению квантовой теории калибровочных полей, является известная работа Л.Д. Фаддеева и В.Н. Попова [3], в которой был предложен простой метод описания квантовой теории калибровочных полей, основанный на использовании фейнмановского функционального интеграла. Дальнейшее развитие [4] как функциональных так и операторных методов квантования калибровочных теории позволило существенно расширить класс исходных полевых моделей, и в настоящее время методы квантования позволяют работать почти с любой калибровочной полевой теории, исключая лишь некоторый специальный класс теорий с определённым типом зависимости между генераторами калибровочной алгебры.С точки зрения проблем квантования наиболее адекватной формулировкой калибровочной симметрии в классической теории является её описание в терминах гамильтоновой (или симплектической) редукция [5], [6]. В этом подходе физическое фазовое пространство теории отождествляется с фактором поверхности связей первого рода в расширенном фазовом пространстве по калибровочным преобразованиям, сгенерированным этими связями, а физические наблюдаемые отождествляются с калибровочно инвариантными функциями на расширенном фазовом пространстве, принимающими ненулевые значения на поверхности связей.Одно из важных физических приложений гамильтоновой редукции связано с построением интегрируемых систем [7], [8]. Первоначально, интегрируемые системы рассматривались как кандидаты на роль моделей, адекватно описывающих свободные приближения конкретных физических систем. Однако в недавнее время было обнаружено, что динамика интегрируемых систем, возникающая на пространстве модулей полевых теории с расширенной суперсимметрией, позволяет получать точные (непертурбативные) результаты в соответствующей квантовой теории [9] (см. также обзор [10]), и одним из результатов такого характера является вычисление Зайбергом и Виттеном точной низкоэнергетической части эффективного потенциала N = 2 супер-симметричной теории Янга-Миллса [11], [12].Развитие непертурбативных методов квантовой теории поля ни в какой мере не отменяет теорию возмущений, поскольку теория Зайберга-Виттена позволяет предсказать лишь определённую часть точных вкладов в эффективное действие, а подход, связанный с использованием дуальностей [13], [14], [15], [16] основывается на идее сведения определённых вопросов одной теории к пертурбативным вычислениям в другой. В связи с этим, проблемы, связанные с развитием пертурбативных методов, приобретают ещё большую актуальность.Особый интерес по-прежнему представляют проблемы общекоординатной инвариантности пертурбативных методов квантования, а также проблемы адекватной работы с квантовой калибровочной симметрией. Опыт работы с калибровочными полевыми моделями показывает, что эти проблемы тесно связаны между собой. А именно, идеи квантовой редукции, такие например, как идеи методов БРСТ-квантования [4] (см. также обзор [5]), позволяют решить некоторые проблемы общекоординатной инвариантности квантовой теории. Причина этого состоит в том, что вопрос общекоординатной инвариантности или, по-просту, ковариантности может быть сведён к вопросу описания нелинейных многообразий в терминах редукционных процедур по аналогии с тем, как нелинейность большинства интересных физических моделей состоит в нетривиальной реализации их как систем со связями или по аналогии с тем как нелинейность большинства интегрируемых систем основана на нетривиальной формулировке этих систем в терминах процедуры гамильтоновой редукции.Многочисленные примеры показывают, что идеи квантовой редукции могут также применяться к построению взаимодействия теоретико-полевых моделей, и одним из главных результатов в этом направлении является построение взаимодействующей теории классических полей высших спинов [17], [18]. Физические поля этой теории отождествляются с коэффициентами разложения функций на вспомогательном векторном расслоении над пространством-временем, а уравнения динамики этих полей определяются из уравнения квантовой редукции, наложенного на эти функции.Одним из результатов, позволяющих решать проблемы ковариантности квантовой теории, является предложенный Федосовым [19] явно ковариантный метод деформационного квантования произвольной невырожденной скобки Пуассона.Идея метода Федосова состоит в расширении пространства функции исходного симплектического многообразия функциями на касательном расслоении к этому многообразию. При этом, скобка Пуассона исходного многообразия задаёт естественную структуру алгебры Вейля на этом расширенном пространстве, а решения уравнения квантовой редукции, которые строятся путём явно ковариантной пертурбативной процедуры, образуют подалгебру в этой алгебре. Эти решения естественным образом отождествляются с функциями на исходном многообразии, и это позволяет получить искомое звёздочка-произведение. Формулировка процедуры квантовой редукции Федосова в терминах БРСТ-теории, предложенная в работе [20], делает метод Федосова более адекватным к использованию привычного языка физических теорий, и открывает возможность для приложения этого метода в квантовании конкретных теоретико-полевых моделей.Как известно, конструкция Федосова [19], [21] и различные её обобщения [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29] не позволяют квантовать нерегулярные скобки Пуассона, то есть скобки с пуассоновым тензором непостоянного ранга, и основным препятствием к квантованию таких скобок является отсутствие аффинной связности, согласованной с нерегулярной пуассоновой структурой. В то же время, вопрос о квантовании нерегулярных пуассоновых структур, кажущийся на первый взгляд экзотическим, в действительности возникает в теории поля при изучении симметрии квантового уравнения Кортевега де Фриза (КдФ) [30].Дело в том, что группа симметрии классического уравнения КдФ оказывается наделённой нерегулярной пуассоновой структурой, и, следовательно, симметрии квантового уравнения КдФ должны образовывать бесконечно-мерную квантовую группу, которая получается квантованием данной пуассоновои структуры.Следует отметить, что метод Федосова может рассматриваться как непосредственное обобщение вейлевского квантования линейного симплектического пространства, в то время как для физических приложений необходимо использовать обобщение данного метода на случай виковского символа, который оказывается более адекватным для последовательного квантования теоретико-полевых моделей.Целью данной диссертации является развитие приложений методов классической и квантовой редукции к интегрируемым системам и квантовым алгебрам.Диссертация состоит из двух частей. Первая часть посвящена приложению процедуры гамильтоновои редукции к интегрируемым системам. В этой части мы предлагаем метод вычисления классических г-матриц интегрируемых систем, основанный на использовании гамильтоновои редукции, и иллюстрируем предложенный метод на примере эллиптической системы Калоджеро-Мозера со спином.В первой части мы также приводим пример интегрируемой системы, полученной в рамках гамильтоновои редукции по действию нелиевых симметрии. Мы показываем, что, несмотря на более сложную природу калибровочных преобразований, используемых в данной конструкции, уравнения движения этой системы решаются методом проектирования.Во второй части предложены две конструкции, обобщающие метод Федосова.Первая конструкция позволяет дать ковариантное определение виковского символа для наиболее общего симплектического многообразия. Мы описываем геометрию многообразий, допускающих конструкцию виковского символа, а также приводим критерий эквивалентности виковского и вейлевского звёздочка-произведений. Второе обобщение метода Федосова, предложенное в этой части, позволяет построить универсальное деформационное квантование для некоторого класса нерегулярных скобок Пуассона, ассоциированных с постоянными рещениями классического уравнения Янга-Бакстера. Мы показываем, что предложенная нами процедура позволяет проквантовать произвольную треугольную биалгебру Ли в смысле теории квантовых групп.Важным инструментом для изучения интегрируемых систем является классическая г-матрица [31], [32], [33]. Она кодирует гамильтонову структуру уравнения Лакса, обеспечивает инволюцию интегралов движения и является необходимым ингредиентом для квантования интегрируемых систем [34]. в данной диссертации предложен метод вычисления классических г-матриц для интегрируемых систем, полученных методом гамильтоновой редукции. Мы применяем этот метод к вычислению классической г-матрицы эллиптической системы Калоджеро-Мозера со спином [35], [36], [37], используя её описание в терминах конструкции систем Хитчина [38].Разработка этого метода мотивирована статьями [39], [40], в которых авторы вычисляют классические г-матрицы для цепочки Тоды, для тригонометрической и эллиптической системы Калоджеро-Мозера, используя калибровочно инвариантное продолжение матриц Лакса.В первой работе [39] рассматривается гамильтонова редукция на кокасательном расслоении над конечномерной группой Ли, а во второй работе данная конструкция обобщается на случай центрально-расширенных петлевых групп.В этом контексте следует также упомянуть статью [41], в которой рассматривается специальный случай пуассоновой редукции на группоидах Пуассона-Ли с целью получения новых примеров динамических г-матриц Варченко-Этингофа [42].В данной диссертации мы описываем наиболее общую схему гамильтоновой редукции, позволяющую получать классическую г-матрицу для редуцированной системы. Ограничения, связанные с предложенной нами вычислительной процедурой, состоят в том, что калибровочные симметрии должны реализовываться в виде присоединённого действия некоторой алгебры Ли, на компоненте расширенного фазового пространства, которая в результате редукции даёт матрицу Лакса интегрируемой системы, и часть пуассоновой структуры расширенного фазового пространства, связанная с данной компонентой должна иметь г-матричный вид.Мы ожидаем, что предложенный нами метод вычисления классических гматриц позволит найти г-матричную структуру для других интегрируемых систем типа систем Хитчина [38].Как известно, гамильтонова редукция находит широкое применение в построении интегрируемых систем [7], [8], [35], [43], однако в большинстве случаев интегрируемые системы строятся при помощи гамильтоновой редукции, осуществляемой по действию какой-либо алгебры или группы Ли. В то же время, лиевы симметрии ни в какой мере не исчерпывают всех симметрии, и, в действительности, существует большое количество динамических систем, представляющих особый интерес в современной теоретической физике, чьи калибровочные симметрии не являются лиевыми [5]. По этой причине определённый интерес представляют примеры интегрируемых систем, полученных в рамках гамильтоновой редукции, осуществляемой по действию симметрии, чьё происхождение не связано с какой-либо алгеброй Ли.В данной диссертации мы приводим пример интегрируемой системы, полученной путём гамильтоновой редукции по действию квадратичной алгебры Склянина [44], которая является нелиевой деформацией алгебры Ли Кг. Основная идея конструкции состоит использовании естественного обобщения понятия коприсоединённого действия на дуальном пространстве алгебры Ли на случай произвольного пуассонова многообразия.Как известно, коприсоединённое действие алгебры Ли на её дуальном пространстве может быть записано в терминах линейной скобки Пуассона, естественным образом ассоциированной с данной алгеброй Ли. А именно, если р^ - координаты в дуальном пространстве, а соответствующий пуассонов тензор имеет вид где /^^ - структурные константы алгебры Ли. Тогда коприсоединённое действие записывается следующим образом ScP^ = а^ЛрУ{р), (1-1) где с" - инфинитезимальные параметры этого действия.Если предположить теперь, что скобка Пуассона в формуле (1.1) уже не является линейной по координатам р^, то мы получим естественное обобщение коприсоединённого действия на случай произвольного пуассонова многообразия. Заметим, что впервые такое обобщение было предложено Карасёвым в его работе [45].Орбиты действия (1.1) совпадают с симплектическими листами соответствующей скобки Пуассона, и в общем случае преобразования (1,1) не могут быть сведены к действию какой либо алгебры Ли, поскольку симплектические листы могут иметь сколь угодно сложную топологию, и в общем случае не могут являться орбитами какой-либо конечно-мерной алгебры Ли. Тем не менее, симметрию (1.1) можно всегда ассоциировать с действием некоторой бесконечно-мерной алгебры Ли, и в данном случае, эта алгебра Ли совпадает с алгеброй инфинитезимальных диффеоморфизмов, векторные поля которых касаются симплектических листов данной скобки Пуассона.Строгий математический подход к таким симметриям включает в себя понятие так называемого алгеброида Ли [46], [47]. Он определяется как расслоение В над многообразием М со скобкой Ли, заданной на сечениях этого расслоения V{B) и с отображением якоря 5 : Т{В) н-> Т{ТМ), являющимся гомоморфизмом соответствующих алгебр Ли.Используя эту терминологию, мы видим, что вышеприведённая конструкция является примером алгеброида Ли. А именно, расслоение этого алгеброида является кокасательным расслоением над пуассоновым многообразием, скобка Ли на сечениях ^ и т/ задаётся уравнением (1.2), а отображения якоря определено формулой (1.1)'.Заметим, что тождество Якоби, для скобки Ли (1.2) выполняется в силу соответствующего тождества Якоби для пуассонова тензора a^^(p).В построении нашего примера интегрируемой системы мы стартуем с многообразия R"*, оснащённого классической скобкой Склянина [44] и, следовательно, оснащённого действием соответствующего алгеброида Ли, которое может рассматриваться как действие алгебры Склянина. Мы определяем расширенное фа* пример такого алгеброида, ассоциированного с пуассоновым многообразием был впервые приведён в статье [48]. зовое пространство как кокасательное расслоение над R"* со стандартной симплектической структурой, и поднимаем действие алгеброида с исходного многообразия R'* до канонического действия на кокасательном расслоении. Затем, мы находим гамильтоновы генераторы этого действия и строим интегрируемую систему, осуществляя симплектическую редукцию на поверхность ненулевого уровня этих генераторов и определяя гамильтонианы этой системы как редуцированные функций Казимира скобки Склянина.Заметим, что в силу того, что скобка Склянина [44] является деформацией линейной скобки Пуассона, ассоциированной с алгеброй Ли Пг предложенная конструкция аналогична гамильтоновой редукции, приводящей к рациональной системе Калоджеро-Мозера [7], [49]. В частности, гамильтонова редукция, связанная с одним из экспоненциальных вырождений скобки Склянина, приводит нас к системе, чья динамика эквивалентна динамике двух-частичной системы Калоджеро-Мозера.Следует отметить, что представление Лакса для полученной нами системы неизвестно, поскольку эта система строилась при помощи гамильтоновой редукции по действию пелиевых симметрии. Несмотря на это, уравнения движения данной системы могут быть явно решены методом проектирования.В качестве одного из приложений методов квантовой редукции, рассматриваемого в данной работе, мы предлагаем ковариантную процедуру построения звёздочки-произведения виковского типа в рамках федосовского деформационного квантования. Основным элементом предложенной конструкции является комплексно-значный симметричный тензор второго ранга, удовлетворяющий определённым алгебраическим и геометрическим условиям. Мы покажем, что симплектические многообразия, допускающие виковское деформационное квантование, оказываются с необходимостью наделёнными парой трансверсальных поляризаций, а используемый в данной конструкции симметричный тензор содержит в себе всю информацию об этих поляризациях. В диссертации доказан критерий идентификации симплектических многообразий, допускающих конструкцию виковского символа, а также сформулировано когомологическое условие эквивалентности виковского и вейлевского звёздочка-произведений.Проблемы деформационного квантования, основы которого были сформулированы в работах Ф.А. Березина [50], а также в работах французских авторов [51] (см. также недавний обзор [52]), в настоящее время решены в самых разных аспектах. Вопрос существования формальной ассоциативной деформации коммутативной алгебры гладких функций на симплектическом многообразии или вопрос существования так называемого звёздочка-произведения был решён Де Уайлдом и Лекомтом [53]. В работах [54], [55], [56] было показано, что все такие звёздочка-произведения с точностью до эквивалентности классифицируются формальными рядами, принимающими значения во вторых когомологиях Де Рама.В работе Федосова [19] была предложена явная геометрическая конструкция для звёздочки-произведения на произвольном симплектическом многообразии, процедура квантования симплектоморфизмов этого многообразия, а также предложен способ построения следовой меры. Упомянутая выше классификация звёздочка-произведений на симплектическом многообразии получает наиболее простое объяснение в рамках метода Федосова. А именно, формальные ряды со значениями во вторых когомологиях Де Рама могут быть естественным образом отождествлены с модулями плоских связностей Федосова или с классами эквивалентности федосовских звёздочка-произведений. Непосредственное доказательство того факта, что любое звёздочка-произведение на симплектическом многообразии эквивалентно какому-либо федосовскому звёздочка-произведению, было предъявлено в работе Шу [57].Более тонкий вопрос деформационного квантования скобок Пуассона с непостоянным рангом был решён Концевичем [58]. В данной работе была предложена явная формула для локального звёздочка-произведения, а также приведено доказательство возможности глобализовать деформационное квантование на произвольном пуассоновом многообразии.Наряду с общей теорией деформационного квантования определённый интерес также представляло изучение специальных типов звёздочка-произведений, удовлетворяющих дополнительным алгебраическим или геометрическим свойствам.Так, например, конструкциями геометрического квантования и исчислением символов на кэлеровых многообразиях было мотивировано изучение деформационного квантования многообразий с парой трансверсальных поляризаций, которое может рассматриваться как естественное обобщение виковского или gJ9-cимвoлa.Начиная с пионерской работы Березина [59] по квантованию на комплексных симметрических пространствах, к настоящему времени накоплено большое количество литературы по деформационному квантованию на поляризованных многообразиях [22], [23], [60], [61], [62], [63], [64], [65]. При этом следует подчеркнуть. что во всех этих работах конструкции виковских звёздочка-произведений основаны на явном использовании специальных локальных координат (разделённых переменных в терминологии работы [61]), что не является вполне адекватным для физических приложений, поскольку большинство физических теорий сформулировано общекоординатным образом. По этой причине мы считаем необходимым связать пару поляризаций с дополнительной геометрической структурой (тензорным полем) на симплектическом многообразии таким образом, чтобы полученная конструкция звёздочка-произведения не подразумевала использование каких-либо специальных координат.Изложим вкратце ключевую идею нашего подхода к построению бескоординатной формулировки виковского символа на искривлённом симплектическом многообразии. В дальнейшем, под термином виковский символ мы будем подразумевать широкий класс символов, включающих в себя, наряду с обычным (собственно) виковским символом, так называемый др-символ, а также всевозможные их комбинации.Заметим, что координаты у входят в формулу (1.3) симметричным образом, или, другими словами, звёздочка-произведение (1.3) имеет инвариантный вид по отношению к произвольным линейным заменам координат. Конструкция виковского символа, напротив, всегда основана на какой-либо (вещественной, комплексной или смешанной) поляризации [66], которая разделяет координаты у на два набора (канонически) сопряжённых переменных. Так, например, конструкция qp-cMMBona основана на разделении переменных фазового пространства на "координаты'" q и "импульсы" р (это отвечает случаю двух трансверсальных вещественных поляризаций) и стандартного предписания "вначале q, а затем р" для всех полиномиальных функций. В случае комплексной поляризации в качестве таких "разделённых" переменных выступают осциляторные координаты q ± ip.Несмотря на то, что ассоциативность модифицированного звёздочка-произведения имеет место для любого постоянного тензора д', определение виковского символа дополняется ещё одним условием rank А = согапкА = п. (1-5) В частности, собственно виковский символ отвечает случаю чисто мнимого тензора д, в то время как вещественный тензор д задаёт ^Р-символ. В обоих случаях (включая случай смешанной поляризации) квадрат матрицы I}=^^"'gkJ (1.6) равен 1. Комплексифицированное фазовое пространство С^" разлагается в прямую сумму подпространств поляризаций, и при этом оба эти подпространства оказываются собственными для оператора / с собственными значениями ± 1 .Мы ожидаем, что предложенная нами конструкция виковского символа на искривлённых многообразиях может найти своё применение в построении и квантовании нелинейных полевых теории.Вторым приложением квантовой редукции, предложенным в данной диссертации, является специальное обобщение конструкции Федосова, позволяющее проквантовать определённый класс нерегулярных скобок Пуассона, ассоциированных с постоянными решениями классического уравнения Янга-Бакстера. И хотя рассмотренный класс скобок Пуассона включает в себя нерегулярные скобки и уже поэтому представляет собой отдельный интерес, наща конструкция допускает еще и чисто алгебраическое приложение в теории квантовых групп, а именно позволяет проквантовать произвольную треугольную биалгебру Ли.Для того чтобы описать класс рассматриваемых нами нерегулярных скобок мы приведём простой пример [68], [69] скобки Пуассона такого типа.Ассоциативность звёздочка-произведения (1.8) тривиально следует из коммутативности векторных полей Х{.Естественное обобщение приведённого примера состоит в том, что бы допустить некоммутирующие векторные поля Xi, а именно рассмотреть случай, когда векторные поля образуют некоммутативную алгебру Ли [Xi,Xj] = ftjXk, (1.9) где /,^ - - структурные константы.Если векторные поля X,- линейно независимы (по крайней мере в одной точке на Л4), уравнение Янга-Бакстера (1.12) является одновременно необходимым и достаточным условием для выполнения тождества Якоби. В противном случае уравнение Л = О даёт лишь достаточное условие для выполнения этого тождества.Легко видеть, что для невырожденной г-матрицы классическое уравнение Янга-Бакстера (1.12) сводится к простому условию коцикла fij'i'nk + циклические перестановки по {i,j,k) = 0. (1-13) где r.jtr''-' = Sj.В данной диссертации предлагается простая процедура квантования скобки Пуассона (1.7), ассоциированной с действием квази-фробениусовой алгебры Ли (1.9). Основное отличие предложенного нами метода от конструкции Федосова состоит в использовании вспомогательного квантового расслоения, ассоциированного с универсальной обёртывающей некоторой алгебры Ли вместо обычной алгебры Вейля, которая используется в исходной конструкции Федосова.Отметим, что несмотря на то, что ковариантное квантование произвольного пуассонова многообразия было недавно предложено в работе [73], эта общая схема оказывается слишком громоздкой для рассматриваемого нами простого примера, и потому, в силу своей простоты, предложенный нами метод представляет гораздо больший практический интерес, чем конструкция, предложенная в работе [73].Процедура квантовая г-скобок, предложенная в данной диссертации, допускает интересное приложение в теории квантовых групп [74], а именно позволяет проквантовать произвольную треугольную биалгебру Ли. Такая возможность появляется в связи со специальным свойством тех звёздочка-произведений, которые получаются в рамках нашей процедуры. Это свойство состоит в том что формула для звёздочка-произведения является универсальной, то есть допускает подстановку любых векторных полей Х,-, удовлетворяющих коммутационным соотношениям (1.9). Последнее означает, что такое звёздочка-произведение определяет некоторый элемент F € l^(Q) ® 1^{0)[[Щ], где t^{Q) обозначает универсальную обёртывающую для алгебры Ли Q. Условие ассоциативности и условие квазиклассического предела для полученного звёздочка-произведения означают, что данный элемент F оказывается так называемым универсальным твистующим ^Понятие фробенпусовой алгебры Ли впервые встречается в работах [71], где автор показал, что алгебра Ли является фробениусовой тогда и только тогда, когда её универсальная обёртывающая алгебра примитивна, то есть обладает простым точным модулем элементом, соответствующим классической г-матрице г, и определяет твистующее преобразование, переводящее исходную универсальную обёртывающую U{Q) в квантовую универсальную обёртывающую Uh{Q) апя треугольной биалгебры Ли, соответствующей данной г-матрице г.Впервые процедура универсального квантования треугольных г-матриц была предложена в работе Дринфельда [70]. Однако, в действительности, вычисления, которые необходимы для построения твистующего элемента с помощью метода Дринфельда, оказываются слишком громоздкими, и именно поэтому большинство примеров деформаций треугольных биалгебр строится путём техники последовательных твистующих преобразований, а не с помощью непосредственной процедуры квантования [72], [75].В недавней работе [76], метод Федосова использовался для квантования специального класса треугольных динамических г-матриц. Помимо этого, приложения квантования Федосова к некоторому классу нерегулярных скобок Пуассона, включающих в себя г-скобки (1.7), (1.9) на формальном алгебраическом языке обсуждались в работе [77]. И хотя, в принципе, метод, предложенный в работе [76] как и в предшествующей работе [70], позволяет найти универсальное квантование для г-скобки (1.7), и даже для более общих пуассоновых структур, на техническом уровне он оказывается неоправдано громоздким в приложении в такому простому классу скобок Пуассона. В связи с этим, предложенный нами простой подход может оказаться полезным как с теоретической, так и с практической точки зрения.Диссертация состоит из пяти глав и заключения. Первая глава - Введение.Вторая и третья, а также четвёртая и пятая главы собраны в отдельные части.В первой части рассматриваются приложения метода гамильтоновой редукции к классическим интегрируемым системам, а во второй обобщения метода Федосова и их приложения к построению виковского символа на искривлённом симплектическом многообразии и универсальному квантованию некоторого класса нерегулярных скобок Пуассона, ассоциированных с постоянными решениями классического уравнения Янга-Бакстера.Вторая глава посвящена методу вычисления классических г-матриц для интегрируемых систем, полученных в рамках гамильтоновой редукции и применению этого метода к вычислению классической г-матрицы эллиптической системы Калоджеро-Мозера со спином. в третьей главе рассматривается пример интегрируемой системы, полученной методом гамильтоновой редукции по действию нелиевых симметрии. Мы показываем, что, несмотря на более сложную природу калибровочных симметрии, используемых в конструкции, уравнения движения данной системы решаются методом проектирования.В четвёртой главе мы обобщаем метод квантовой редукции Федосова с целью построения общекоординатной формулировки виковского символа на искривлённом симплектическом многообразии. Мы описываем геометрию многообразий, допускающих конструкцию виковского символа и рассматриваем вопрос эквивалентности виковского и вейлевского звёздочка-произведений.Пятая глава диссертации посвящена ещё одному обобщению метода Федосова, позволяющему проквантовать некоторый класс нерегулярных скобок Пуассона, ассоциированных с классическими треугольными г-матрицами. В этой главе мы показываем, что данное квантование является универсальным, и, следовательно, предложенная процедура позволяет проквантовать произвольную треугольную биалгебру Ли в смысле теории квантовых групп.В заключении перечислены основные результаты диссертации, выносимые на защиту.Часть I Гамильтонова редукция в прилолсении к интегрируемым системам.Глава 2 Получение классической г-матрицы методом гамильтоновой редукции в этой главе мы предлагаем метод вычисления классических г-матриц для интегрируемых систем, полученных в рамках гамильтоновой редукции. Ограничения, накладываемые вычислительной процедурой, по-существу состоят в лиевости соответствующих калибровочных преобразований. Мы применяем наш метод к вычислению классической г-матрицы эллиптической системы Калоджеро-Мозера со спином, используя её описание в терминах конструкции систем Хитчина [38].Всюду в данной главе мы используем стандартные обозначения для скобок Пуассона между элементами матрицы Лакса. Например, если г = ^ rijkieij ® eki, (2.1) где стандартный базис в gl^, то формула {Li,L2} = [ri2,Li]-[rn,L2] (2.2) обозначает, что скобки Пуассона между матричными элементами Lij и Lki имеют вид {Lij, Lkl) — 2_^iTimklLmi — Limrmjkl — rkmijLml + ЬктГтИ]) • ( 2 .3 ) m

Заключение.

В диссертации получены следующие основные результаты.

• Разработан метод вычисления классических г-матриц для интегрируемых систем, полученных в рамках гамильтоновой редукции. Показано, что предложенный метод воспроизводит известную классическую г-матрицу эллиптической системы Калоджеро-Мозера со спином.

• Предложен пример интегрируемой системы, полученной путём гамильтоновой редукции по действию нелиевых симметрий. Показано, что, несмотря на более сложную природу калибровочных преобразований, используемых в построении системы, соответствующие уравнения движения решаются методом проектирования.

• Построена явно ковариантная геометрическая формулировка виковского символа на симплектическом многообразии в рамках метода Федосова. Описана геометрия симплектических многообразий, допускающих конструкцию виковского символа и доказана теорема идентификации таких многообразий, обобщающая известную теорему Ньюлендера-Ниренберга об идентификации комплексных многообразий.

• Предложена конструкция локального преобразования эквивалентности виковского и вейлевского звёздочка-произведений. Найдена 2-форма, представляющая когомологический класс, который является препятствием к существованию глобальной эквивалентности. В частном случае кэлерова многообразия показано, что виковское и вейлевское звёздочка-произведения глобально эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующее кэле-рово многообразие является многообразием Калаби-Яу.

• Предложена простая итерационная процедура деформационного квантования некоторого класса нерегулярных скобок Пуассона, ассоциированных с постоянными решениями классического уравнения Янга-Бакстера. Показано, что предложенная процедура позволяет проквантовать произвольную треугольную биалгебру Ли.

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [24], [25], [26], [27], [93], [94], [95], [96]. Они докладывались на следующих международных конференциях:

1. Международная конференция "Квантование, Калибровочная Теория и Струны", посвящённая памяти академика Е.С. Фрадкина (Москва, 5-10 июня 2000 г.)

2. Международная конференция "Суперсимметрия, Квантовая Теория Поля", посвящённая памяти профессора Д.В. Волкова (Харьков, 25-29 июля 2000 г.)

3. Международная конференция "Новые достижения в Теориях Фундаментальных Взаимодействий" (Польша, Карпач, 6-15 февраля 2001 г.)

4. Международная конференция "Квантовые Группы и Интегрируемые Системы" (Чехия, Прага, 20-22 июня 2002 г.)

Помимо этого, результаты настоящей работы докладывалась на семинаре Отдела теоретической физики им. И.Е.Тамма Физического института РАН имени П.Н. Лебедева, а также на семинарах Лабораторий теоретической и математической физики Государственного научного центра Института теоретической и экспериментальной физики.

В заключение, я выражаю искреннюю благодарность своим руководителям докторам физико-математических наук А.П. Исаеву и С.Л. Ляховичу за всестороннюю поддержку и помощь в работе.

Я благодарен своим первым учителям томской школы теоретической физики В.Г. Багрову, В.А. Бордовицыну, И.Л. Бухбиндеру, A.A. Ваалю, И.В. Горбунову, Г.Ф. Караваеву, И.Ю. Каратаевой, Я.В. Лисицыну, В.Е. Любовицкому, В.Д. Пер-шину, Б.Ф. Самсонову, А.Г. Сибирякову, А.Ф. Терпуговой, АЛО. Трифонову, A.B. Шаповалову, A.A. Шарапову и K.M. Шехтеру.

Я выражаю благодарность Г. Брадену, A.B. Зотову за плодотворное научное сотрудничество по теме диссертации, а также особую благодарность М.А. Оль-шанецкому и A.A. Шарапову, которые в разное время являлись моими научными наставниками и постоянно оказывали огромное влияние на круг моих научных интересов.

Я благодарен сотрудникам Отдела теоретической физики им. И.Е.Тамма Физического института РАН имени П.Н. Лебедева М.А. Васильеву, М.А. Григорьеву, В.Н. Зайкину, A.M. Семихатову, М.А. Соловьёву, И.Ю. Типунину И.В.

Тютину и В.Я. Файнбергу за стимулирующие обсуждения и создание благоприятных условий работы во время прохождения моей научной стажировки в этом отделе в рамках Федеральной Целевой Программы "Интеграция" в период с сентября по декабрь 2000 г.

Я также благодарю сотрудников Лаборатории теоретической физики им. Боголюбова ОИЯИ, а также лабораторий математической и теоретической физики ГНЦ ИТЭФ Э.Т. Ахмедова, A.A. Владимирова, A.A. Герасимова, А.Л. Городен-цева, A.C. Горского, A.B. Забродина, A.IO. Котова, A.M. Левина, A.C. Локтева, A.C. Лосева, А.Д. Миронова, А.Ю. Морозова, C.B. Облезина, С.З. Пакуляка, П.Н. Пятова, A.A. Рослого, К.А. Сарайкина К.Г. Селиванова, Д.В. Талалаева, H.A. Тюрина, Д.В. Фурсаева, С.М. Харчёва и С.М. Хорошкина, A.B. Червова, Ю.Б. Чернякова, Г.Б. Шабата и Г.И. Шарыгина за стимулирующие обсуждения и создание благоприятных условий для выполнения работы. Я благодарю Е.С. Суслову за техническую помощь в подготовке текста диссертации.

Диссертация выполнена в Объединённом Институте Ядерных Исследования и, частично, в Государственном научном центре Институте теоретической и экспериментальной физики. Данная работа была поддержана Российским Фондом Фундаментальных исследований 00-02-17956, грантом РФФИ поддержки молодых ученых, студентов и аспирантов 01-02-06418, грантом поддержки научных школ 00-15-96557 и грантами INTAS 00-262 и 00-561.

1. A.M. Поляков, Калибровочные поля и струны, Ижевск, Издательский дом "Удмуртский университет", (1999).

2. А.А. Славнов, Л.Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, Москва, Наука (1988).

3. L.D. Faddeev, V.N. Popov, Feynman diagrams for the Yang-Mills field, Phys. Lett. B25 (1967) 29-30.

4. E.S. Fradkin, G.A. Vilkovisky, Quantization of relativistic systems with constraints, Phys. Lett. B55 (1975) 224-226;

5. M. Henneaux, C. Teitelbom, Quantization of gauge systems, Princeton, USA, Princeton Univ. Press (1992).

6. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, Москва, Наука (1989).

7. М.А. Olshanetsky, A.M. Perelomov, Classical integrable finite dimensional systems related to Lie algebras, Phys. Rep. 71, 5 (1981) 314-400.

8. M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov, Quantum integrable systems related to Lie algebras, Phys. Rep. 94, 6 (1983) 313-404.

9. A. Gorsky, I. Krichever, A. Marshakov, A. Mironov, and A. Morozov, Integra-bility and Seiberg-Witten exact solution, Phys. Lett. B355 (1995) 466-474; hep-th/9505035.

10. A. Gorsky, A. Mironov, Integrable many-body systems and gauge theories, 2000, hep-th/0011197.

11. N. Seiberg, E. Witten, Monopole condensation, and confinement in N=2 super-symmetric Yang-Mills theory, Nucl. Phys. B426 (1994) 19-52; hep-th/9407087.

12. N. Seiberg, E. Witten, Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD, Nucl. Phys. B431 (1994) 484-550; hep-th/9408099.

13. E. Witten, String theory dynamics in various dimensions, Nucl. Phys. B443 (1995) 85-126; hep-th/9503124.

14. A. Sen, C. Vafa, Dual pairs of type II string compactification, Nucl. Phys. B455 (1995) 165-187; hep-th/9508064.

15. J. Schvvarz, Lectures on Superstring and M Theory Dualities, 1996, hep-th/9607201.

16. C. Vafa, Lectures on Strings and Dualities, 1997, hep-th/9702201.

17. M.A. Vasiliev, Higher spin gauge theories in four-dimensions, three-dimensions, and two-dimensions, Int. J. Mod. Phys. D5 (1996) 763-797; hep-th/9611024.

18. A.Yu. Segal, Conformal Higher Spin Theory, Preprint FIAN-TD-14-02, 2002, hep-th/0207212.

19. B.V. Fedosov, A simple geometrical construction of deformation quantization J. Diff. Geom. 40 (1994) 213-238.

20. M.A. Grigoriev, S.L. Lyakhovich, Fedosov Deformation Quantization as a BRST Theory, Commun. Math. Phys. 218 (2001) 437-457; hep-th/0003114.

21. B.V. Fedosov, Defomation Quantization and Index Theory, Berlin, Akademia Verlag (1996).

22. M. Bordemann, S. Waldmann, A Fedosov Star Product of Wick Type for Kahler Manifolds, Lett. Math. Phys. 41, 3 (1997) 243-253; q-alg/9605012.

23. A.V. Karabegov, On Fedosov's Approach to Deformation Quantization with Separation of Variables, Proc. of the conference dedicated to Moshe Flato 1999, Math. Phys. Stud. 22, Vol. II, 167-176, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, (2000); math/9903031.

24. V.A. Dolgushev, S.L. Lyakhovich, and A.A. Sharapov, Wick Type Deformation Quantization of Fedosov Manifolds, Nucl. Phys. B606 (2001) 647-672; hep-th/0101032.

25. I.A. Batalin, M.A. Grigoriev, S.L. Lyakhovich, Star Product for Second Class Constraint Systems from a BRST Theory Theor. Math. Phys. 128 (2001) 11091139, hep-th/0101089.

26. A.V. Karabegov and M. Schlichenmaier, Almost-Kahler deformation quantization, Lett. Math. Phys. 57, 2 (2001) 135-148; math/0102169.

27. V. Bazhanov, S. Lukyanov, and A. Zamolodchikov, Integrable Structure of Con-formal Field Theory, Quantum KdV Theory and Thermodynamic Bethe Ansatz, Commun. Math. Phys., 177 (1996) 381-398; hep-th/9412229.

28. E.K. Склянин, О полной интегрируемости уравнения Ландау-Лифшица, Препринт ЛОМИ Е-3-79, Ленинград (1979).

29. М.А. Семёнов-Тян-Шанский, Что такое классическая r-матрица?, Функц. анал. и прил. 17, вып. 4 (1983) 17-33.

30. О. Babelon, С.М. Viallet, Hamiltonian Structures and Lax Equation, Phys. Lett. B237 (1990) 411-421.

31. P. Etingof, A. Varchenko, Solutions of the quantum dynamical Yang-Baxter equation and dynamical quantum groups, Coramun. Math. Phys. 196, 3 (1998) 591640; q-alg/9708015.

32. N. Nekrasov, Holomorphic bundles and many-body systems, Commun. Math. Phys. 180 (1996) 587-604; hep-th/9503157.

33. M.A. Olshanetsky, Generalized Hitchin systems and Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equation on elliptic curves, Lett. Math. Phys. 42 (1997) 59-71; hep-th/9510143.

34. Д.В. Талапаев, Эллиптическая система Годена со спином, ТМФ 130 (2002) 426-441; hep-th/0101224.

35. N.J. Hitchin, Stable bundles and integrable systems, Duke Math. Journal 54, 1 (1987) 91-114.

36. J. Avan, O. Babelon, and M. Talon, Construction of the classical R-matrices for the Toda and Calogero models, Preprint PAR-LPTHE-93-31; hep-th/9306102.

37. G.E. Arutyunov, P.B. Medvedev, Geometric construction of the classical R-matrices for the elliptic and trigonometric Calogero-Moser systems, hep-th/9511070.

38. L. Feher, A. Gabor, and B.G. Pusztai, On dynamical r-matrices obtained from Dirac reduction and their generalizations to affine Lie algebras, J. Phys. A: Math. Gen. 34, 36 (2001) 7335-7348; math-ph/0105047.

39. P. Etingof and A. Varchenko, Geometry and classificatin of solutions of the classical dynamical Yang-Baxter equation, Commun. Math. Phys. 192, 1 (1998) 77120; q-alg/9703040.

40. N.J. Hitchin, A. Karlhede, U. Lindstrom, and M. Rocek, Hyperkahler metrics and supersymmetry, Commun. Math. Phys. 108 (1987) 535-589.

41. E.K. Склянин, О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера, Функц. анализ и прил. 16, 4 (1982) 27-34.

42. M.В. Карасёв, Аналоги объектов теории групп Ли для нелинейных скобок Пуассона, Изв. АН СССР, Сер. мат. 50, 3 (1986) 508-538.

43. К. Mackenzie Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, London Math. Soc., Lecture Note Series 124, Cambridge, Cambridge University Press (1987).

44. P.J. Higgins and K. Mackenzie, Algebraic constructions in the category of Lie algebroids, J. Algebra 129, 1 (1990) 194-230.

45. K. Mackenzie, P. Xu, Integration of Lie bialgebroids, Topology 39, 3 (2000) 445467; dg-ga/9712012.

46. F. Calogero, Solution of the one-dimensional N body problems with quadratic and/or inversely quadratic pair potentials, J. Math. Phys. 12 (1971) 419-436.

47. Ф.А. Березин, Квантование, Изв. Акад. Наук 38 (1974) 1116-1175;

48. F.A. Berezin, General concept of quantization, Commun. Math. Phys. 40 (1975) 153-174.

49. D. Sternheimer, Deformation Quantization. Twenty Years After, Proc. of the 1998 Lodz conference "Particles, Fields and Gravitation"; math/9809056.

50. M. DeWilde, P. B. A. Lecomte, Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary sympletic manifolds, Lett. Math. Phys. 7 (1983) 487-496.

51. R. Nest, B. Tsygan, Algebraic index theorem for families, Adv. Math. 113, 2 (1995) 151-205.

52. M. Bertelson, M. Cahen, and S. Gutt, Equivalence of star products. Geometry and physics, Class. Quant. Grav. 14 (1997) A93-A107.

53. P. Deligne, Déformations de l'Algèbre des Fonctions d'une Variété Symplectique: Comparaison entre Fedosov et De Wilde, Lecomte, Selecta Mathematica, New Series 1 (1995) 667-697.

54. P. Xu, Fedosov *-products and quantum momentum maps, Commun. Math. Phys. 197 (1998) 167-197.

55. M. Kontsevich, Deformation Quantization of Poisson Manifolds, I, q-alg/9709040.

56. Ф.А. Березин, Квантование в комплексных симметрических пространства.х, Изв. Акад. Наук 39, 2 (1975) 363-402.

57. В.Ф. Молчанов, Квантование на мнимой плоскости Лобачевского, Функ. Анализ Прил. 14, 2 (1980) 73-74.

58. A.V. Karabegov, Deformation Quantizations with Separation of Variables on a Kdhler Manifold, Commun. Math. Phys. 180, 3 (1996) 745-755; hep-th/9508013.

59. A.V. Karabegov, Pseudo-Kâhler quantization on flag manifolds, Commun. Math. Phys. 200, 2 (1999) 355-379; dg-ga/9709015.

60. C. Moreno, *-products on Some Kdhler Manifolds, Lett. Math. Phys. 11,4 (1986) 361-372.

61. M. J. Pflaum, The Normal Symbol on Riemannian Manifolds, New York J. Math. 4 (1998) 97-125.

62. N. Reshetikhin, L. Takhtajan, Deformation Quantization of Kahler Manifolds, Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 201 (2000) 257-276; math.QA/9907171.

63. N.J.M. Woodhouse, Geometric Quantization, Oxford University Press, Oxford, (1992).

64. I. Gelfand, V. Retakh, and M. Shubin, Fedosov Manifolds, Adv. Math. 136, 1 (1998) 104-140; dg-ga/9707024.

65. M.A. Rieffel, Deformation Quantization for Action of Rd, Mem. Amer. Math. Soc. 106, 506, pp. 93, Providence, (1993).

66. M.A. Rieffel, Questions on quantization, in Operator algebras and operator theory (Proc. of the international conference, Shanghai, 1997), Amer. Math. Soc. Contemp. Math. 228 (1998) 315-326, Providence, RI; quant-ph/9712009.

67. В.Г. Дринфельд, О постоянных квази-классических решениях квантового уравнения Янга-Бакстера, ДАН СССР 28 (1983) 531-535.

68. А.Г. Элашвили, Фробениусовы алгебры Ли, Функц. Анализ Прил. 16 (1982) 94-95; Труды Тбилисского Математического Института 127 (1985) 127-137.

69. P.P. Kulish, V.D. Lyakhovsky, A. Stolin, Chains of Frobenius subalgebras of so(M) and the corresponding twists, J. Math. Phys. 42, 10 (2001) 5006-5019; math.Q A/0010147;

70. P.P. Kulish, V.D. Lyakhovsky, M.A. del Olmo, Chains of twists for classical Lie algebras, Journ. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999) 8671-8684; math.QA/9908061.

71. A.S. Cattaneo, G. Felder, and L. Tomassini, From local to global deformation quantization of Poisson manifolds, Duke Math. J. 115 2 (2002) 329-352; math.Q A/0012228.

72. Л.Д. Фаддеев, Н.Ю. Решетихин, JI.А. Тахтаджян, Квантование групп Ли и алгебр Ли, Ленинград. Мат. Ж. 1 (1990) 193-225; Алгебра и Анализ 1, 1 (1989) 178-206.

73. A. Giaquinto and J. Zhang, Bialgebra action, twists, and universal deformation formulas, J. Pure Appl. Algebra 128, 2 (1998) 133-151; hep-th/9411140.

74. P. Xu, Triangular dynamical r-matrices and quantization, Adv. Math. 166, 1 (2002) 1-49; math.QA/0005006.

75. I. Vaisman, Fedosov quantization on symplectic ringed spaces, J. Math. Phys. 43, 1 (2002) 283-298; math.SG/0106070.

76. M. F. Atiyah, Vector Bundles over an Elliptic Curve, Proc. London Math. Soc. 7 (1957) 414-452.

77. A.N. Tyurin, Classification of Vector Bundles over an Algebraic Curve of Arbitrary Genus, Amer. Math. Soc. Translat., II, Ser. 63 (1967) 245-279.

78. B. Enriquez, V. Rubtsov, Hecke-Tyurin parametrization of the Hitchin and KZB systems, math.AG/9911087.

79. I.M. Krichever, Vector Bundles and Lax Equations on Algebraic Curves, Commun. Math. Phys. 229, 2 (2002) 229-269; hep-th/0108110.

80. В. Enriquez, V. Rubtsov, Hitchin systems, higher Gaudin operators and r-matrices, Math. Res. Lett. 3, 3 (1996) 343-357; alg-geom/9503010.

81. V.G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, Progress in Mathematics, 44, Birkhaeuser, Boston, (1983).

82. A. M. Levin, M. A. Olshanetsky, Hamiltonian algebroid symmetries in IV-gravity and Poisson sigma-model, Preprint ITEP-TH-15-00, IHES-P-00-69, hep-th/0010043.

83. B.L. Feigin, A.V. Odesskii, Vector Bundles on Elliptic Curve and Sklyanin Algebras, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 185 (1998) 65-84; q-alg/9509021.

84. M. Audin, Spinning tops, Cambridge, Cambridge University Press (1996).

85. V. Cruceanu, P. Fortuny, and P.M. Gadea, A Survey on Paracomplex Geometry, Rocky Mt. J. Math. 26, 1 (1996) 83-115.

86. A. Newlander, L. Nirenberg, Complex Analytic Coordinates in Almost Complex Manifolds, Ann. Math. 65, 3 (1957) 391-404.

87. P. Bonneau, Fedosov star products and one-differentiable deformations, Lett. Math. Phys. 45, 4 (1998) 363-376; math/9809032.

88. S.S. Chern, Complex Manifolds without Potential Theory, 2nd edition, Universi-text Springer, Berlin, (1979).

89. M.B. Карасёв, В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, Москва, Наука, (1991).

90. V. Coll, М. Gerstenhaber, A. Giaquinto, An explicit deformation formula with noncommuting derivations, Proc. of Israel Math. Conference on Ring Theory, Weizmann Science Press, New York, 1 (1989) 396-403.

91. V.A. Dolgushev, Sklyanin bracket and deformation of the Calogero-Moser system, Mod. Phys. Lett. A 16 (2001) 1711-1725; ITEP-TH-7-01; hep-th/0102167.

92. V.A. Dolgushev, A.P. Isaev, S.L. Lyakhovich, and A.A. Sharapov, On the Fedosov deformation quantization beyond the regular Poisson manifolds, Nucl. Phys. B645, 3 (2002) 457-476; ITEP-TH-30/02; hep-th/0206039.

93. H.W. Braden, V.A. Dolgushev, M.A. Olshanetsky, and A.V. Zotov, Classical r-matrices and the Feigin-Odesskii algebra via Hamiltonian and Poisson reductions, Preprint ITEP-TH-03/03; EMPG-03-01; hep-th/0301121.