Классические области в операторном проективном пространстве (теория ПАР) и решение интерполяционных задач вида: .......... тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Г 5 0 7

харьковский государственный университет

На правах рукописи

^ хассан,- недал

классические оицсти в операторном проективном , пространстве (теория пар) и .решение . интерполяционных задач вида:

OI.OI.OI - математический анализ

/ ■ . 01.01.07 - вычислительная математика •

АВТОРЕФЕРАТ -

диоаертации на соискание ученой отепечи кандидата физико-математических наук.

Харьков - 1992

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Харьковокого государственного университета.

Научный руководитель- - кандидат физико-математических наук, | 1 доцент Кацнельсон В.Э.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профеосор Ковалишшю И.В.; ч . кандидат физико-математических наук,

доцент Дюкарев Ю.М.

\

Ведущая организация - Донецкий государственный университет г.Донецк

Защита состоится & £ . 1992 г.в^ часов на .

заседашш специализированного совета К 053.06.02 Харьковского государственного университета по адресу: 310077, г.Харьков, пл.Свободы,4, ауд.6-48.

.С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке Харьковокого государственного универоитета.

Автореферат разослан " ^" 1992 г.

Ученый оекротарь • . .

— —

- | ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

,, г-/ 4

Дк^алыюсть Tei.it. В диссертационной работе с позиции J -теории ис следу .отел в сэкой обцеи постановке задача об операторном решения :•

£+ — £_ неравенства

' [и>Н Л ' ^ (х,

где двояко И растягивающая обратлмая оперетор-£унк-

ция в £ - Е+® Е- ,

0С(7)й(Х(2) ~7>0, а (г)7(Л(г)

а ¡7 - инволгция в (5 • 3 7 ~ 7 * • При этом решается также задача об описании всех решений интерполяционного неравенства (I)» решению которого росвящепа диссертация. К неравенству принодят различите классические задачи, среди которых: интерполяционная задача Нерашшннн-Пика, задача Щура, проблем моментов, ^ задача продолжения жрштоЕО-пологителышх функций. Решению этого осноеного "матричного" неравенства посвящены работа В.И.Потапова, И.В.Ковалгаплной, Ю. П."Гинзбурга, Ь.Э.Кацнельсона, В.К.Дубо-вого, Ю.Ы.Дюкарева, П.М.Едищсого и др. Однако в такой обЭД11 постановке задача о решении данного неравенства не изучалась, хотя необходимость в к ст.доИ конкретной ситуации получения полного решения основного матричного неравенства является ключегым »скоп-том исследования. Поэтому актуальность изучаемых п диссертации задач диктуется конкретными проблемами I/ -теорйп и спектральной теории линейНих операторов.

Общепринятой в настоящее время является та тсчка> зрения, что аналогом спектрального разложения для несомосопрякешюго (ноунл-тарпого) оператора является треугоЛыюя пли функциональная модель. Идея о прИЕвдении несомосопряденного оператора к каноническому

'гр-:уголы;с;.'у кигу била видвпнута в 1546 г. М.С.Лившицем. Это на-г.рапдун/.с затем плодотворно развивалось в' работах: М.С.Лгазсдща,-Л.С.Ърсдского. ;,:.Г.Крсш'.а, З.Р.Цбкалогского, Л.Л.Сахйоьича, ,'1.3.Дрова, Л.Г.5^уткаса, А.Б.Кузеля к др. В осног.е конструкции

¿-¡¿'.хчет.с оператора г узел к ьссдедовакке его характерлс-т:ч'.-.ско,: Оупл::л. В кетдаш кои1фег;гс;; ситуации включение в узел ."■•о: "гггле. п^л опо^аторов представляет 00601; трудпуэ задачу. Бо 1чоро;'; части ; а:ц:д гичпсляются каналовке векторы оператора дагласа :: Гтхведла. Лр:: этом попользуется альтернлруюцй метод .!-.п?;;г: (щ-.ед.чо:?.ел:ш;{ В.Э.КациРльооиоа, В.В.Пеныгаковкм, Б.С.Эль-нчч.м), 1игогл;". сообщает получение ранее результаты В.Джибляна Е.С.Зл-ЬГ.пн'.:.

^с-л: у • аг-пя.'-с:': д::есоггга.х:н язляетсл репение неравенства (I) оп.::з::::с всех таких рс секла, обоснование вычислительного иль-. н :-:'.<-у::<-:■ то нещда и получение старости сходимости для собст-ч"сел калиювих векторов. *.-.•:.•.'••..••; п.;с.-:рдлэгаи1я. Б работе используются основные пршщи-;::: ц ::ьтол: У -теория В.И.Еотапова, а такаю1, классические алго-т": 1;'51 г.^чусл.'-'.слг^ого анализа метода Цнарца и Релея.

• .,"■ ¡--л :ш.:;зна. До настоявего времени решение неравенства (I) л исл-.ь.четркчоекое описание всех решении были получены в рабьих ls.il..:отапова, П.З.Ковалишной и др. для конкретных видов ^

/з/гА-по]> ■

н в случае' тоды:з конечномерности прост [Ли "ТВ а ¿5" . £ работе

В работе Недала Хас^на, которая отличается более общими пос- I та:ю?ка:.:н д ;.:етода!.и решения била вьедени И изучены доволыю об-

■ uuie класси решений основного матричного неравенства е тер:'.::гах так называемых проективных пар фуккц;:,' (прэехтигних коорд.;нзт) • • Заслуживает особого внимания раздел,цосвящеины;! виыслеяи» каналов их векторов для конкретной задачи оператора Лапласа. Эд_сь пс*. пользуется новый альтернируи-лни метод О'нарца (применении.! впервые Ь.Э.Кацнельсоном, В.И.Мснъежоеш.;, Б.С.Элькпнкм) и метод Ге-лея. При этом доказано, что предлогеншй альтернируюгил метод сходится и установлена скорость сходимости.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, носят теоретически*) характер. Они могут бить использованы в С/ -теории, задачах интерполяции, теории, узлов и в модельных представлениях лнюЛншс операторов..

Апробация -работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на меакафедралышх семинарах по эрмитовой полокительноо-

/

тп па механико-математическом факультете ХГУ.

Структура и объем диссертация. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объем работы /VI страшщ.

ОСНОВНЫЕ ШЛОЖЕШИ, ВШОСПШЕ НА ЗАДЕ ¡ТУ:' • I, Нахоздение pe:,ennil ti? неравенства (I) и параметрическое описание их, когда (%.(2) — М - постоянная обратимый опера-

инварпантности их относительно "дробно-линейных" преобраэо?ани-л.

тор.

о

Введение расширенных операторных областей G~j и изучение

3. Изучение основных свог.ств позитивных и наанрояденнмх пар

- являвшихся проективными координатами в Crj .

4. Описание решения CCSfí) основного нераЕенстм (I) г терминах, нведенинх ч работе проективнмх коордгммт

5. Находдете собственных чисел и каналовых элементов по альтернирующему методу Шварна, доказательство' его сходимости и установление скорости сходимости.

содарикив РАБЭШ -

Бо введенил обосновывается актуальность выбора темы исследо-есщм н оцеютается степень.изучешш проблемы в математической литературе. . ■

В главе I введено важное определение знакостандартности, которое, как показывают полученные в диссертации результаты, яв-

ч

ляется суаествонны.4.

Определен;«;. Опеоатор С7 ■* <5 3 называется знако-стандартюш, если

где сухо-':ю оператора У на

Е+ . ПРК . Дано описание -ре-

иашй неравенства '

'Де М - двояко У раотягквааинл оператор в /

•1

г.

прл ото;,' р : Е+ и ^ ■' Е+ ~~~Е+ обладают

свойством позитивности, - '

а оператор ■"Т?,//? ~ обратим (- блоки опера-

тора М Е: <5 ).

Доказана лемма о гомотонии, которая является основном средством при доказательстве обратимости операторов +

Глага 2 посвящена изучению У класс! > и областей, кото-рпе в, зависимости от выбора метрнзующего оператора С/ приводят, например, к матричной верхней (право!!) полуплоскости и.чч матричному кругу.

Определение. ОJ называется !7 классической областьп, если любой оператор '. Е+ Е_ из тако:-., чю

имеет место: позитивность

О

и невырожденность

т.е. ¿/и/ - обратим (где '-Е+ ~~ £ • таков, что султствует ■ £ ■—£ • что 0 изо:.!етр;ш, причем

= 7.) *

Доказано, что условие знпкостапдартности У обоспечглв-?т тот факт, что из позитганости следует условие нзвнро^дешгосгн. По существу условие невнрозденчости означает, "что помимо (2) имеет также место

( 3 )

п наоборот, если ¿¿^ улсрлетг.'-п-ет (£), (3), то -

В ото;: глзгз так.-:; изучается раекпргшкш области С'у , го

чаешя из 0"у ■ присоединением несобственных элементов, которая определяется посредством пар операторов (проективных координат) -

' о /

р • Е+ / ^ •' Е+ ~~ Е+ , для которых выполняются условна позитивности ■

л невырожденности, то есть опоратор ^

сг;1а!:ичешю обрати. данное определение инвариантно относительно отношения в::вивалентисстн, которое естественно ввести для пар

[у] ' Геометрически уоловне позитивности пары оз-

начает,- что подпространство ТГЕ + нетривиально, а невы-

рожденность - что подпространство - иакеш/.альное неотри-

цательное подпространство. Получена параметризация пар Оу в терминах сглтиИ

Кзг-Пзг^г

где Ьд = ЦГ*ЗГ'> , которая задается формулой (¡1 = Щ^+^Г^К . ^1ри этом, если У - знакоотандартна, а К. - строгое схатие

, то пара

принадлежит классической области £7. Лк.бой оинсКиий оператор М порождает отображение

пар

которое естюти'чшо называть обобщенным дробно-линсИньш преобра-аокичтм. Коли М - _дпояко 7, растягивании!) оператор, ■ то он оп>";пуп':т Оу п &J \ посредствен обобщенного дробпо-линей-

С

ного преобразования (4).

Теорема I. Цусть Л/ - обратимый дзолко У -растягивают::;! оператор и имеет место либо С^ст £_/ < со , либо У - лнако-стандзртна. Тогдс!, еоли ^ ( Х>0) _ йлок

—■ матрица Зейля IV-М УМ , те для любо»: позитивной поры [у ] ' 113 определено дрсбио-линеДпое отображ>п:;з

и? = (т„р / ,р Мл ?)'

в ЪЛГ

Глава 3 посвякепа изучении решений неравенства

>о (г.,

и описаний таких регаешй в области & У

Определение. Под решением (5) мы будем понимать лпбе'. с г ера-

тор : —,для которого имеет место (&) ¡: %+*[?] обрпт!,, •

Одним из основных результатов отол главн является следугу.ч1"..

Теорема 2. Пусть выполняются предоологяшя теоремы I. Тогда ^ решение (5) описывается параметрически формулой

где свободнмл параметр из

Если - решение (5), то для имеет место дуатьнзе

неравенство

Поэтому мояно ввести дуальные пары.Элементы £ Су и и е называются дуадьными, если "ТГ* ~

Это позволяет получать описание решений ¿¿^ неравенства (5) не только в терминах "правого" дробно-линейного преобразования (как • в теореме 2) , по и в терминах "левого" дробно-лилейного С преобразования. •

2 главе 4 построенная ранее теория проективных пар обобщается на голоморфные в Х> оператор-функции, J

Относительно оператор-функции а (г) из и в б будем предполагать: .

о) голоморфность в 2) за исключением множества при-

чем й (?-) обратим в Я) \ /

б) 7 -двояко растягиваемость оператора а Гг) в я , Теорема 3. Пусть

а (г) - голоморфная обратимая двояко 7 раотягивающая в 2) \ ( _ дискретной оператор-функция.

Кроме того либо (Им Е+ ск-> , либо ¡7 - знакостандартна

и пусть блок (г) матрицы Вейля отрого отрицателен -

(2) $ -х(г)1 (ОС Г г) >о, г е. Х> \

где - дискретно. Тогда для любой позитивной невырожденной пари ДР°^1га~лине^1ШС преобразование

а>(гН а 1(2) р а)+а,г (?) ? (г)] [а2/г)рГг)+аг&Щ]

« ч

ю

Более того, 1меет место более сильное утверждение, которое состоит в следую-дам.

4 Теорема 4. Пусть выполнены предположения теоремы З.при этом условие строгой отрицательности Й^ / имеет место хотя би в одной точке . Тогда всякое решенлв нера-

венства

• [игЩЯа'^ЭаЫ4?'*]*0 "(в; ■

_ _ Г Р(^) 1

имеет вид (7), где Л(2) — \_ (1(2)] свободный параметр мстаренной функциональной области ■

Получено так:*е описание реяення неравенства .(8) в тер-

минах дуальных пар. Отлетим, что первоначально в работах В.П.Потапова пара дуальных неарвенств (8) п

/

; -

нотестэенно возшжали при ресенгш классических интерполяционных задач, которые назывались основными матрпчпыыи неравенства.-л! задачи.

Глава 5 работы носит вычислительный характер и посЕЯцепа нахождению собственных чисел методом Рслея и вычислению кзналег-ых векторов обобщенным' (векторшм) альтернирует®! методом Взарца для оператора Лапласа и Максвелла в областях со сложной границе;';. Доказано, что предложенный алгоритм является сходнпушся и указана скорость его сходимости.

Автор вырастет благодарность своему научному рукеводчтелд за постановку задача я внимание к работе.