Классификация малопараметрических семейств гладких векторных полей на двумерной сфере и бифуркации "Губ" тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ тени М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

_ о

На правах рукописи УДК 517.925.42

СТАНЦО Виталий Владимирович

КЛАССИФИКАЦИЯ ТИПИЧНЫХ МАЛОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВ ГЛАДКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ДВУМЕРНОЙ СФЕРЕ И БИФУРКАЦИИ "ГУБ"

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1998 г.

Работа выполнена на кафедре иеханико-математического факультета университета имени М.В.Ломоносова.

дифференциальных уравнена Московского государственное

доктор физико-натематических наук, профессор Ю.С.Ильяшенко.

доктор физико-математических наук А.И.Нейштадт;

кандидат физико-натематических наук А.А.Щербаков.

НИИ прикладной математики и кибернетики РАН.

Защита диссертации состоится «■З » ¿¿СС^-'^с/'_1998 года

в 16 час. вин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московской государственном университете имени М. В. Ломоносове по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико--натематический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией ложно ознакомиться е библиотеке механико-математического Факультета МГУ С14 этаж. Главное здание?. Автореферат разослан « ¿У-¿.1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д. 053.05.04 при МГУ доктор физико-натематических наук,

профессор Т.П.Лукашенко

Научный руководитель -

Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Исследование типичных малопараметрических семейств Сс числом параметров п<ЗЭ семейств гладких Скласса векторных полей на сфере - актуальная тема теории бифуркаций.

1. Для п=1 эта работа была проделана А.А.Андроновым и его

ученикани1. Двух- и трехпараметрическим семействам посвящены

многочисленные исследования;, начиная с 70-х годов по настоящее 2

время Сем. обзор и приведенные там ссылки:). Возникла потребность составить исчерпывающие списки С«зоопарки»Э полициклов, которые могут возникнуть в типичных малопараиетрических семействах. Кроме индивидуальных полициклов, необходимо рассматривать также их ансамбли, т.е. объединения полициклов, имеющих общую особую точку или дугу.

Для случаев двух и трех паранетров первый вариант списка Сбез доказательства его полнотьй был составлен А.Ю.Котовой в 1991 году. Он опубликован Ю. С. Ильяшенко3 под названием «зоопарк Котовой».

2. При составлении списка ансамблей, возникающих в типичных трехпараметрических семействах, А.Ю. Котова обнаружила принципиально новое явление: одновременное существование континуума полициклов. Ансамбли этого типа получили общее название «губы». Все они содержат континуальный подансамбль, названный «тонкини губами» Сем. рис.3 далее}. А.Ю.Котова доказала, что при бифуркациях «тонких губ» может возникнуть любое наперед заданное число предельных циклов, зависящее от вида отображения соответствия между двумя

1 Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г., Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. И.: Наука, 1967, 487с.

2

Yu.Ilyashenko and S.Yakovenko, Concerning the Hilbert Sixteens Problem, filiS Transl.(2) vol.165, 1995.

3Yu.S.Ilyashenko, Local dynamics and nonlocal bifurcations// В сборнике "Bifurcations and periodic orbits o-f vector fields" (ed. D.Schlomiuk), NATO ASI Series С (Mathematical and Physical Sciences), vol.400, Kluwer, Dordrecht, Boston, London, 1993

трансверсалями. Этот пример опровергал гипотезу о конечност* множества числа топологических типов бифуркационных диаграмм для

4

фиксированного п, высиазанну» В.И.Арнольдом в 1985 году.

Таким образом, стала актуальной задача о построент бифуркационных диаграмм для «тонких губ».

3. Ансамбль «тонкие губы» не является максимальным, т.е. 01^ обязан входить в некоторый больший ансамбль. Одним из полициклов, возникающих на топологической границе «тонких губ», являетс$ полицикл «седловая губа». Возникает задача построенш бифуркационной диаграммы для этого полицикла.

Цель работы. 1. Составление полного списка полициклов, которые могут возникнуть в типичных двух- и трехпараметрическю семействах гладких векторных полей на двумерной сфере.

2. Построение бифуркационных диаграмм ансамбля «тонкие губы».

3. Построение бифуркационной диаграммы полицикла «седловаг губа».

Общая методика исследования. Классификация полициклов у ансамблей в типичных малопараметрических сенействах представляет собой, по существу, комбинаторную задачу. Доказательство полноть списков использует результаты локальной и полулокальной теори» бифуркаций.

Построение бифуркационных диаграмм основано на теории конечно-гладких локальных нормальных форм. При исследована «тонких губ» использованы средства контактной геометрш Слежандровы расслоения и лехандровы особенности^.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

1. Составлены списки полициклов и ансамблей, возникающих е типичных малопараметрических семействах гладких Скласса С°°Э векторных полей на двумерной сфере и доказана их полнота.

2. Построены бифуркационные диаграммы ансамбля «тонкие губы».

3. Построена бифуркационная диаграмма полицикла «седловая губа».

Попутно получены следующие результаты.

4

Арнольд В.И., Афрайнович B.C., Ильяшенко Ю.С. , Шильни-ков JI.П. Теория бифуркаций. В сб.«Современные проблены натематики. Фундаментальные направления СИтоги науки и техн., ВИНИТИ АН СССРЭ» М., 1986, 5, 5-218

4. Обобщено понятие преобразования Лежандра.

5. Сформулировано понятие обобщенно-лежандровой двойственности и доказана теорема о ток, что двойственные обобщенные преобразования Лехандра взаинно обратны.

Приложения. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение при дальнейшей разработке

проблем конечности числа предельных циклов.

2

В статье в связи с проблемой Гильберта-Арнольда введено понятие бифуркационного числа В(п). Полное исследование бифуркаций полициклов из полученных списков позволяет вычислить В(2) и В(3).

В частности, для 2-параметрических семейств получается 2

Сси статью Э следующий результат.

Теорема. ВС2D - 2.

Методы построения бифуркационных диаграмм могут стать основой для исследования «губ» других типов.

Конструкции, обобщающие преобразование Лехандра, могут найти применение в различных областях математики, механики, зкономики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре «Дифференциальные уравнения» Сруководитель - д.ф.-м. н. Ю. С. ИльяшенкоЗ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце. Работа 14Э написана в соавторстве с А.Ю.Котовой. Ей принадлежат следующие результаты:

1. Составление списка полициклов и ансамблей в двух- и трехпараметрических семействах Сбез доказательства его полнотыЭ.

2. Доказательство теоремы о произвольном числе предельных циклов, возникающих при бифуркации «тонких губ».

Определения к-зквивалентности особых точек и полициклов сформулированы редактором статьи 14Э С. Ю. Яковенко. Им же сформулированы вспомогательные утверждения. вошедшие в §1 этой статьи. Доказательства утверждений §2 и весь §3 этой статьи Сза исключением теоремы о произвольном числе предельных циклов} принадлежат автору диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на параграфы. Общий объем работы - 79 страниц. Библиография содержит 21 наименование.

2. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении обоснована актуальность темы и приведены формулировки основных результатов диссертации.

Глава 1 посвящена классификации полициклов и их ансамблей в типичных иалопаранетрических сенействах векторных полей на сфере. В главе 2 построены бифуркационные диаграммы ансанбля «тонкие губы». Показана связь этих диагранн с преобразованием Лежандра отображения соответствия. Там же обобщено понятне преобразования Лежандра и изучена обобщенно-лежандрова двойственность. В главе 3 построена бифуркационная диаграмма полицикла «седловая губа».

Перейден к более подробному изложению результатов диссертации.

1. В главе 1 рассматриваются г»-параметрические Сп<ЗЭ семейства гладких векторных полей на двумерной сфере.

Определение . Ориентированным полициклом векторного поля на сфере называется циклически упорядоченный набор особых точек

Свершин? .....Ап_А0 СнекотоРые из них могут совпадать? и

попарно различных фазовых кривых г0.....уп-1 с естественной

ориентацией, таких что для всех 1-0,...,п-1 кривая у^^Э стремится к точке Ai при 1-»-оо и к точке при Сэти кривые

называются связками или дугами полицикла:).

В дальнейшем иы будем рассматривать только те полициклы, из которых могут рождаться предельные циклы после бифуркаций.

Определение. Ансамблем ориентированных полициклов называется совокупность различных ориентированных полициклов, т.ч. любые два из них имеют хотя бы одну общую вершину. Ансамбль называется максимальным, если он не является собственным подмножеством другого ансамбля.

Следующая серия определений, описывающих понятие к-эквива-лентности оснащенных полициклов, принадлежит С.Ю. Яковенко.

Определение. Два ростка ^, V., векторных полей в особой точке называются к-эквивалентными, если их версальные деформации топологически орбитально эквивалентны. Сможет быть,после обращения времени?. Число параметров версальной деформации называется коразмерностью класса к-эквивалентности ростка.

Определение. Росток гомеоморфизма Н_: ск2 ,0? СК ,03

устанавливает к-зквивалентность между двуня ростками векторных полей, если он может быть включен в семейство НС -, «Э,

устанавливающее топологическую орбитальную эквивалентность между версальныни деформациями ростков векторных полей.

Определение. Назовем нестандартным классом к-зквивалентности

класс нильпотентных особых точек с дополнительным вырождением т. е.

особых точек, для которых 2-струя векторного поля полиномиальной

2

заменой приводится к виду: х = у, у = ах + Ьху, аЬ=0.

Замечание. Нестандартный класс заведомо не является истинным классом к-эквивалентности в смысле первоначального определения. Интенсивное изучение бифуркаций этой особой точки ведут Ф.Дюмортье, Р.Руссари и Ж.Сотомайор5. однако некоторые вопросы остаются открытыми.

Определение. Два полицикла Сансамбля} к-эквивалентны. если после подходящей перенумерации вершин и/или, при необходимости, обращения одного из полей:

1Э Устанавливается взаимно-однозначное соответствие между вершинами и дугами двух полициклов СансамблейЭ, причем соответствующие вершины к-эквивалентны, а соответствие между дугами ансанблей непрерывно в смысле метрики Хаусдорфа.

2Э Для всех вершин А. существуют ростки гомеоморфизмов

2 2 1

С5 .А^Э, устанавливающие к-эквивалентность между

ростками полей v в точке А1 и v' в точке А^ и переводящие ростки

всех кривых у., имеющих концевую точку Ai, в соответствующие

ростки кривых у", вблизи точки А^.

Определение. Оснащенностью полицикла СансаибляЭ назовем некоторые дополнительные ограничения типа равенства, наложенные на струи векторного поля в особых точках и интегралы от некоторых Функций по седловыи связкам полицикла СансамбляЭ. Класс к-эквивалентности оснащенных полициклов СансамблейЗ определен следующим образом: два полицикла СансанбляЭ эквивалентны, если они к-эквивалентны и соответствующие вершины и дуги инеют одну и ту яге оснащенность.

Определение. Коразмерность вырождения класса оснащенных полициклов - нинимальное натуральное число п, такое что

F.Dumortier. R.Roussarie, and J.Sotomayor, Generic 3-parameter families of vector fields on the plane, unfolding a singularity with nilpotent linear part. The cusp case.// Ergodic Theory and Dynamical Systems 7 (1987), pp.375-413.

представители данного класса встречаются в п-параметрических

семействах общего положения векторных полей на сфере.

Замечание. Поскольку ны не знаен всех бифуркационных

диаграмм, возникающих в коразмерности 3, может оказаться, что

классификация, проведенная далее, будет уточняться введением

дополнительной оснащенности. Однако, все уже известные случаи 6 7 В 9 Ю

оснащенности ' ' ' , меняющей вид бифуркационной диаграммы, в классификации учтены.

Мы используем для к-эквивалентных оснащенных полициклов нумерацию вида Сс.тЭ, где 1<с<3 - коразмерность полицикла СансамбляЭ, т - его номер в соответствующем списке.

Определение. Назовем траекторию р-кривой Сотносительно данной особой точкиЭ, если после подходящего выбора окрестности особой точки эта траектория лежит строго внутри параболического сектора. Назовем траекторию И-кривой, если она является общей границей двух гиперболических секторов. Наконец, траекторию, проходящую по границе гиперболического и параболического секторов, назовем Ь-кривой. Назовем дугу полицикла о^о-^-кривой. где о^ -

буквы из алфавита {р,Ь,И} если ростки этой дуги в ее начальной и конечной точках являются о^-кривыми.

Теорема. Существует ровно 3 класса. 1-вырожденных оснашнных полициклов Срис. 13:

С1.1Э эллиптическая особая точка СмеЭленный фокусЭ; С1.2Э двукратный седлоузел с Ир-петлей; а. 32 ЬЬ-петля сепаратрисы гиперболического седла.

Ноздрачева В.П. Бифуркации негрубой петли сепаратрисы. Дифференц. уравнения СМинскЭ. 1970, 18, No.9. 1551-1558

7 A.Mourtada, Analitical unfolding of irrational and trivial 2-polycycle// Preprint Université de Bourgogne, 16 (1992)

Q

A.Mourtada, Degenerate and non-trivial polycycles with two vertices// 0. Differential Equations, 113 (1994)

9

M.Jebrane, A.Mourtada, Cyclicité finie des lacets doubles non triviaux// Nonlinearity 7 (1994), 1349-1365

10

F.Dumortier, R.Roussarie, and C.Rousseau, Elementary graphies of cyclicity// Preprint Université de Bourgogne, 1, 2 (1993)

Замечание. Этот результат представляет собой переформулировку классического результата теории бифуркаций1.

Теорема. Существует ровно 9 классов 2-вырохденных оснащенных полициклов и их ансамблей Срис.25:

С2. 12 ультра-медленный фокус;

С2. 22 нильпотентная особая точка Богданова-Такенса;

С2.32 два двукратных седлоузла, соединенных двумя Ьр-кривыми;

С2.42 двукратный ссдлоузел и гиперболическое седло, соединенные одной ЬЬ-кривой и одной Ир-кривой С«пол-яблока»2;

<2.52 двукратный седлоузел и гиперболическое седло, соединенные одной ЬЬ-кривой и двумя Ир-кривыми С"яблоко >0;

С2.62 двукратный седлоузел с ЬЬ-петлей;

С2.72 гиперболическое седло с двумя ЬЬ-петлями сепаратрисы С«восьмерка»2-

С2. 32 два гиперболических седла, соединенных двумя ЬЬ-кривыми С «-двуугольник» и «<серЭце»0;

С2.92 гиперболическое седло с петлей сепаратрисы и нетривиальной оснащенностью - нулевая дивергенция в особой точке.

В коразмерности 3 впервые появляются ансамбли, содержащие континуум полициклов, существующих одновременно. Все такие ансамбли - «губы» - получаются из одного, который ны называем «тонкими губами».

Определение. «Тонкими губами» называется ансамбль полициклов, состоящий из двух двукратных седлоузлов Ссжинающего и растягивающего по гиперболическим переменным}, соединенных одной ЬЬ-кривой и континуумом рр-кривых, образующих однопараметрическое связное семейство гладких кривых Сем. рис.3 б, класс С3.13ЭЭ.

Теорема. Существуют 26 основных классов 3-вырохденных оснащенных полициклов и их ансамблей с положительной цикличностью, а также бесконечная серия попарно неэквивалентных классов, каждый из которых содержит «тонкие губы» как собственный подансамблъ.

Точное описание всех классов дано в ходе доказательства. Схематические изображения классов см. на рис.За,б.

2. В главе 2 построены бифуркационные диаграммы ансамбля полициклов «тонкие губы». Всюду в тексте главы 2 мы для краткости называем этот ансамбль просто «губами». Обозначим сжимающий седлоузел через О., а растягивающий - через 0_.

При изменении параметров мы также рассматриваем лишь те

траектории, которые трансверсально пересекают фиксированный

отрезок Ссам отрезок не изменяется}. С этим ограничением связано

появление бифуркаций выхода цикла или сепаратрисы на границу

области исследования. Отнетин, что бифуркации такого типа были

открыты Жолондеком11.

Для исследования бифуркаций "губ" введена система

естественных паранетров е — Се, 6, ХЗ. Параметры £ и 6 входят в

12

нормальные формы локальных семейств в окрестностях седлоузлов

и соответственно, а параметр \ измеряет Спри е>0, <5>0Э

расщепление седловой связки. Гладкость семейства по фазовым

переменным и параметрам - сколь угодно высокая, но конечная;

увеличение гладкости происходит за счет уменьшения области, в

которой определена карта.

Зафиксируем трансверсали Г* и Г2 как показано на рис.4. Без

ограничения общности можно считать, что отрезок, определяющий

границу области исследования - участок трансверсали Г?, лежащий

между точками х «= -1 и х = 1, где х - координата на Г^.

Теорема. В пространстве естественных параметров семейства

«тонкие губы» поверхности и соответствующие бифуркациям

выхода предельного цикла или сепаратрисы на границу области

исследования, суть графики гладких функций \ - Эти

- 2

функции определены в пересечении окрестности нуля в ^ с

дополнением к квадранту е<0, <5<0 и допускают плоское продолжение на границу этого квадранта. Различным значениям Сс.62 соответствуют бифуркации:

1 У £<5>0 - выход на границу предельного цикла; 22 £&-О - выход на границу сепаратрисы седлоузла; ЗУ £б<0 - выход на границу сепаратрисы седла. Следствие. Бифуркационная диаграмма в пересечении

о

окрестности нуля пространства К _ с нножествоя М — <££0> и 0}

11 Жолондек X. 0 версальности одного семейства симметричных векторных полей на плоскости. Мат. сб. , 1983, 1£0, вып.4, 473-499

12

Ильяшенко Ю.С., Яковенко С.Ю. Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей. Успехи мат. наук, 1991, т.46, вып.1 С277Э

состоит из двадцати компонент, соответствующих топологически орбитально неэквивалентным Фазовым портретам Срис.5Э.

Отображение Пуанкаре А: С-1,1;]сГ* -> Г* существует при £>0, <5>0 и при фиксированных значениях параметров является композицией по отношению к основным аргументам!

Д =

+ +

где д- действует с Г. на Г_. а -Г- - с Г_ на Г, . £ 1 2 с 2 1

Лемма. Уравнение циклов

ДСхЭ - х С1Э

может быть приведено к виду:

аС^СеЭ

Су. + г Сх,£;; = CfCxJJ +

гЭ© fCx^ = f^Cx.?, а = а(£)>>0.

С1(е) = 0(1)-ехр^- -"J , С2С<5) = 0<1)ехр^- -j ,

l/r) в [/г

а добавки г С•как зависящие от е элементы

к -пространства С С —1.13 стремятся к О при £-»0. Ценой уменьшения

области изменения параметров можно придать к произвольно большое,

но конечное значение.

Введя обозначения р-аС^СеЭЛ^СбЭ , q— ХЛ^СбЭ ,

ны ножей переписать уравнение циклов в виде:

рх - q + рг^Сх,еЭ - г2Сх.яЗ — fCxD.

Зафиксируем Р> max f'CxD и рассмотрим ту область в 3 хеС-1,1]

D?-f"|{e>0, <5>0>, для которой 0<р<Р. В этой области уравнение

циклов будет малым вознущением для уравнения

рх - q - fCxD. С2Э

Отсюда следует

Теорема CA. Ю. КотоваЗ. Бифуркация «губ" может породить л/сбое число предельных циклов.

Следствие. Число попарно негомеоморфных бифуркационных диаграня в задаче о «губах» бесконечно.

Будем обозначать через R™ пространство Rn с картой а. Рассмотрим малую окрестность нуля V с R3 и обозначим через

+ О)£ 9\

V -пересечение Vp|Ci5>0, «>0>. СБез ограничения общности можно считать открытым кубом с ребрами, параллельными осям

координат. Э

Отображение $:У+-> , где К3* _ - К3, _П{Р>0>.

задается формулой

аС.С^Э

I

2С6Э С2С<И

«С 6,£,К) Теорема.

1. В пространстве Е3 . естественных параметров семейства £ 9 О) А.

«тонкие губы» Поверхность соответствующая бифуркациям

растепления негиперболических циклов, есть "леханЭрова воронка"

Срис. баз. определяемая следующим образом. Рассмотрим в

полуплоскости К2* , р>0, преобразование ЛеханЭра I-СуЭ графика

Р>4

2+ -+

функции Поместим К в полуплоскость <5=0 множества $СУ 3 с

„3+ Р'9

К , и рассмотрим в 8СУ .3 цилиндр 1. над с образующей,

о, Р*я I-

араллельной 06, В1 раздутая воронка"

параллельной 06, высоты &0 Сси.рис. 663. При достаточно малом ¿0

г = «с^р!

будет диффеоморфна I. . При этом диффеоморфизм Д, переводящий 1 в 1- 1 -послойный,со слоями <5-соп51. гладкий по б класса С , и его

отличие от тождественного в слое 6'=const есть 0С6Э.

Регулярным точкам соответствуют 2-кратные корни уравнения циклов и полуустойчивые циклы динамической системы. Точкам на ребрах возврата соответствуют 3-кратные корни уравнения циклов и вырожденные устойчивые или неустойчивые циклы в динамической системе.

2. Пересечение края поверхности с областью 0<6<60 лежит на поверхностях и В точках этого пересечения происходит касание Е, и соответствующей граничной поверхности, а

г

Бифуркационная кривая уравнения С 23 на плоскости кр ч

преобразование Леэгандра 1_С}0 графика у Функции у - «хЗ.

Исследование «алых возмущений уравнения С23 приводит к понятию

обобщенного преобразования Лехандра.

Следуя В.И.Арнольду13, определим невырожденное двупаранетри-

ческое локальное семейство плоских кривых как диаграмму

со?2 ,оэ *-£— со?3.оз —с к2 ,оз х.у Р»Ч

где р и у/ - взаимно трансверсальные отображения ранга 2 на фазовую

плоскость Сх,уЭ и плоскость параметров Ср,цЗ соответственно.

13 Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: «Наука», 1978

Кривые семейства определяются как г - <Р'У> 1(р.ч). Двойственное

Р * Р

семейство кривых получается, если поменять ролями фазовую

- -1

плоскость и плоскость параметров: у = уыр (к,у ).

х »у

Определение. Локальным обобщенным преобразованием Лежандра

ростка кривой геС 1^.03 относительно локального

двупараметрического семейства плоских кривых называется множество

Ир»ч)| г„ „ касается Р »ч

Теорема. Локальные обобщенные преобразования Лехандра типичных ростков плоских кривых относительно типичных двойственных двупараметрических локальных семейств плоских кривых взаимно обратны.

3. В главе 3 построена бифуркационная диаграмма полицикла «седловая губа». Он может возникнуть на топологической границе континуального ансамбля полициклов «тонкие губы», бифуркации которого изучены в главе 2.

Определение. Полицикл «седловая губа» состоит из двух седлоузлов и и седла соединенных следующим образом:

входящая и выходящая сепаратрисы седла заканичиваются внутри параболических секторов седлоузлов, а гиперболические секторы седлоузлов соединены седловой связкой (рис. 73.

По возможности выдерживалась схема исследования,

использованная для «тонких губ» в главе 2.

Будем считать, что направление фазового потока зафиксировано так, как показано на рис.7. Без ограничения общности седло 03 можно считать растягивающим.

Примыкание «тонких губ» к исследуемому полициклу вынуждает нас рассматривать бифуркации выхода траекторий на границу области исследования. Целесообразно зафиксировать не зависящий от параметров отрезок, пересекающий одну из сепаратрис седла Од, и рассмотреть только те траектории системы, которые пересекают этот отрезок.

Естественные параметры с = (в.б.Л.) вводятся так же, как и в случае «тонких губ». Уравнение циклов по-прежнему имеет вид С1Э. Исследование предельных циклов сводится к изучению корней уравнения (1) на отрезке СО.ХдЗ при различных значениях параметров.

Теорема.

Исчезновение обоих седлоузлов полицикла «седловая губа» происходит при значениях естественных параметров е>0, 5>0. При этом:

1) Множество значений параметров, при которых появляется петля сепаратрисы, задается уравнением Х=0.

2) Негиперболические предельные циклы кратности выше г отсутствуют.

3) Множество знамений параметров, при которых происходит выход двукратного (полуустойчивого) цикла на границу - гладкая кривая БВ, задаваемая уравнениями 6) , Х=Х.д(<5). Эта кривая имеет предельную точку £=0 и касается в этой точке прямой £=&, Х=0.

4) Множество значений параметров, при которых возникают двукратные (полуустойчивые) циклы - гладкая поверхность Э с краем ЭВ. Она задается уравнением при . Функция Хе строго отрицательна, доопределяется по непрерывности нулем при е=0, и является плоской при (.с,6) -»0.

5) Множество значений параметров, при которых происходит выход предельного цикла на границу - гладкая поверхность В, касающаяся поверхности г в точках кривой БВ и трансверсально пересекающая плоскость Х=0. Функция Х=Х^(е,<5), задающая поверхность В плоско продолжается в 0.

Следствие■ Росток бифуркационной диагранмы «седловой губы» в квадранте е>0,<5>0 содержит 13 конпонент, соответствующих попарно топологически неэквивалентным фазовый портретам (рис.83.

Теорема.

Множество значений естественных параметров семейства «седловая губа», соответствующих бифуркациям выхода, на границу -гладкая поверхность Вгв . Функция Х=Х (£,6), задающая поверхность В, определена в пересечении окрестности нуля с дополнением к квадрсшту £<0,6<0 и плоско продолжается на границу зтого квадранта. При £<5=0 происходит выход на границу Ьр-петли сепаратрисы седлоузла, при £&<О - выход сепаратрисы седла.

Следствие. Бифуркационная диаграмма вне квадранта с>0, 6>0 состоит из 32 компонент, соответствующих попарно топологически неэквивалентным фазовым портретам С рис.93.

Автор глубоко благодарит своего научного руководителя Ю. С.Ильяшенко за постоянное внимание и многочисленные обсуждения в процессе работы над диссертацией. Кроме того, автор благодарит А.Ю. Котову. С.И.Трифонова и С. Ю. Яковенко за помощь в подготовке публикаций.

Список работ автора по теме диссертации.

143 A.Kotova, V.Stanzo. On few-parameter generic families of vector fields on the two-dimensional sphere.//Amer.Math.Soe. Tranel. (2) , Vol.165, 1995, pp.155-201

А.Ю. Котовой принадлежат следующие результаты:

1. Составление списка полициклов и ансамблей в двух- и трехпараметрических семействах Сбез доказательства его полнотьй.

2. Доказательство теоремы о произвольном числе предельных циклов, возникающих при бифуркации «тонких губ».

Автору диссертации принадлежат следующие результаты:

1. Доказательство полноты списка, составленного А.Ю. Котовой.

2. Построение бифуркационных диаграмм «тонких губ».

3. Исследование обобщенно-лежандровой двойственности.

153 Бифуркации полицикла «седловая губа»//Труды МИАН. т.273, 1997, стр. 213-225.

J к.

л г

(1.1) (1.2) Рис. I ttopoxcf&fn*** п-олицикли

i J

г с л г

Улнрмидямнмй фмсус

OS)

00

л1

ая

ал)

Рис, X, 2-éúipo>ic$'¿H"*ie и амсам&ли

Улиртулиртсмины! фокус

(3.1)

(3,2)

(33)

(3.4)

ВциммшЛса.'мумл

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

и

Отситюомп мва <ока шы

(3.9)

(|:1)-роо*яястя особи точка ж кулевое наш рм мв^рпплм

(3.10)

Рис. За. 3-&грож^енмые полициям и ансал&ли (катало)

H

(3.11)

(3.12)

(3.13)

л

Ж ? Г

(3.13")

(3.13')

à J

7 г л г

П(

эявяяя чюкчtm

m

(3.16)

(3.17)

i \ с

Г г

(3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.23)

(3.24)

(325)

026)

Рис. 3¿~. З-ёшрОясф&нмие. лолицикли ti ансом ¿>ac4 (продли жсние ) -

Рис.Ч. К „тонких. ^сГ"; рожениц.

0T05pa.xce.H4Jt Пуанкаре g клипо^ии,ию.

il S*0 x-О

У

с

fV^tn

jJ e^âi--ot \ jo

a£fa_,a+)

l\e<o, s>o

a t(£,S)

Vt^

Âl £<0, f>0

cíiО

MtAML

f >0 A <?(A_, -O

о/ £-0. f>o

O

5¡£*o,i*o, ¿-o

7ir

Л=А+ <"£,£)

QÍI9

c!D

10¡ í-0/ S<0r A-0

пмъг

Üí e=a¡ í<o m

Í2I £»<?, s<o

S ^Î^K

—-

20/ £>о, i <О A«'CA-, xj у

Рис .Ь. „гонхи*. т-ff ' ine. £ >0, S> О ;

Сра^овые портреты.

Рис, 6 TToèepxHocrt ^„«-.W âucp^p -

Xa(¿,u&HK¿>¿ í^uaгромче „ Тонких ¿yv'" <-0 „yi^t'ióíHíjpuS'i ¡¡орешка." •

S) ., Рау^гал ёоронкя "

г

7. „ Ce.j.ja-é'aJ г^Ао "

Ф Х-® ® Q X © ©

л=о V

S'О

©

(С ^

g) V

/7Ьл уустоСччдии цикл

Цикл на г Ра и и и. £

® r^f

Цикл на границе

® V^r

Ц«** на границе

® ;><

о;

Поиаст.цим

нд границе

Ч> Ш

® ж

1±,ЦКЛ но гюнии,£

®

а- )

о

Рис. 2. а)

I ^

имя в еежс» } о >

g2 -Ccr-rwst

о) "Pc^.^&W^ nep-î-peJbi..

al

r- ^

-,-4-V' J&USK С^щ f\c 1

с ^ çfy&j

r .H r , ^

С r ^

htrt"\ (2lZb

âyj-^ (lf'O J

) ° С [ J JRL

l.H ^ 8.4 ^

7S n yi-rJ Ч Я

Рис.9. Фа^ые rvoprp^r^ Suip^au.^ „с&улабо« itfS"" бн* uJoff^rq

E>0, g>o.