Классы сопряженности и транзитивные подгруппы силовских 2-подгрупп симметрических групп степени 2m (meN) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 Ой

') НІШСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

' КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

На правах рукопису

ітллмазов хемра

КЛАСИ СПРЯЗКНОСТІ І ТРАНЗИТИВНІ ПІДГРУПИ СНЛОВСШК 2-ШДГРУП СИМЕТРИЧНИХ ГРУП СТЕПЕНІВ 2т (гаеН)

01.01.06 - математична логіка алгебра і теорія чисел

. Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізшю-математичних наук

Київ - 1994

Дисертаціє* в рукопис

Робота виконана в Київському уяиварситеті імені Тараса Шевченка,

Науковій керівник:

доктор фізико-математичншс наук, професор СУЦАИСШИЙ В,І.

Офіційні опонента:

Провідна установа

- доктор фізино-математичішх наук, от. наук, співр. ХМ АНУ Сисак Я.П.

- кандидат фізико-математичяих наук, доцент Іванюта І.Д.

- Львівський державшій університет їм. Івана Франка

¿захист відбудеться " _І534р. О год.

па засіданні спеціалізованої Ради Д 01.¡Я.01 пра київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

252127, м.Клїв-127, пр.Академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет. ‘

З дасертаціею можна ознайомитися в бібліотеці Київського університету ім.Тараса Шевченка (вул. ВолодишфСЬка.бЗ).

Автореферат розіслано ”2?-” кіі гн »97 1994р.

Вчений секретар спеціалізованої рада

канд. фіз.-мат. наук ҐІ/А . С.А.ОвоІенко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальність теми. Силовські р-підгрупи симетричних груп -класична серія, дослідження якої почалося ще на ранніх етапах розвитку теорії груп. Постійний Інтерес до цізї серії груп викликаний тим, що силовські р-підгрупи симетричних груп відіграють у класі всіх скінченних р-груп таку ж роль, що й симетричні груш в класі всіх скінченних груп. А саме, кожна скінченна р-група Ізоморфно занурюється в силовську р-підгрупу відповідної симетричної груші. Крім того, груш аналогічної будови зустрічаються в класифікаційних задачах теорії скінченних груп, використовуються при побудові різних прикладів.

Систематичне дослідження властивостей 1 будови силовських р-підгруп почалося з відомих праць Л.А.Налужніна1 \ який запропонував використовувати при цьому спеціальний спосіб завдавання їх елементів наборами редукованих многочленів -так званими таблицями; За допомогою табличного зображення було отримано цілий ряд глибоких результатів про будову силовських р-підгруп Рт симатрич-ниї груп степенів р°, î?î€N (саме цей випадок з основним, бо за- . гальна ситуація легко до нього зводиться). Зокрема, Л.А.Калукнін охарактеризував верхній 1 нижній центральні ряди груп Ра, їхній ряд комутавтів, підгрупи р*-тих степенів, решітку характери-

Kaloujnlne Leo. Sur lea p- groupes de Sylow du groupe symmetri-que de degree pP// C.R.Acad.Scl Parla.-1945.-Y.221 .-p.222-224.. Kaloujnine Leo. Xa atructure dea p-groupea de Sylow dea groupes symmetrlquea finis // Arm. de l'Ecole Norm. Super.-194S.-68.-p.239-276.

Kaloujnine Leo. Sur lea structure des p-groupea de Sylow des groupes symmetrlques finis et de quelques généralisations Infinies de ces groupes // Semin. Burbaki. December 1948.-Expose » 5,- p.1-3.

стичних підгруп тощо. Пізніше різні аспекти силовської теорії для симетричних та близьких до них груп досліджувались інщими авторами, зокрема, Я.Г.Берковичем, Ю.В.Боднарчуком, К.Бузаші, А.ВзІр, Ю.В.Дмитруком, В.І.Сущанським, Л.Тоіака. В їхніх працях вивчались решітки нормальних дільників» вербальні підгрупи, мак- • симальні абелеві підгрупи, групи автоморфізмов та інші характеристики вказаних груп.

Проте ряд природних питань щодо будови силовських р-підгруп симетричних груп залишається відкритими. Це стосується характе-ризації підгруп з тими чи іншими (як теоретико-груповими, так і підстановкоЕО-груповима) властивостями, прийнятного опису класів спряженості тощо. '

Мета роботи. Розробити новий спосіб задавання підгруп і класів спряженості і^уп Ра (теН). Оцінити потужності класів спряженості цих груп, описати класи спряженості максимального обсягу, дати повний опис класів спрякеності для малих значень т. Охарактеризувати транзитивні і сильно транзитивні підгрупи в Рт, . описати транзитивні 2-групи підстановок, інволюції в яких зберігають £ 2 нерухомих точок.

Методи дослідження.-Використовуються метода теорії груп і груп підстановок і розроблена Л.Д.Калуашинш техніка табличних зображень р-груп.

Наукова новизна. Основні результати дисертаційної роботи е новими. Дано оцінку потужностей класів спряженості груп Ра (М€Н), описано всі класи спряженості максимального обсягу. Встановлено критерії транзитивності та сильної транзитивності підгруп із Рт, охарактеризовано широкі класи таких підгруп. Описано транзитивні 2-групи підстановок, інволгції яких зберігають £ 2 нерухомих точок.

Теоретичне 1 прикладне значення. Отримані результати мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані при дослідженні будови t властивостей різних класів 2-груп.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідались яа семінарі з теорії груп і напівтруп при київському університеті ім.Тараса Шевченка /1990-1994 p.p./, яа науковій конференції студентів 1 аспірантів КУ, на конференції молодих вчених ТДПІ Ім.С.СейдІ /г.Чардкев, 1993р./.

Публікації, Основні результати дисертації опубліковано в роботах [11—15].

Структура 1 обсяг дисертації. Робота складається з вступу, трьох глав, двох додатків 1 списку літератури Із 34 найменувань. Обсяг роботи 85 сторінок машинописного тексту.

ВМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність проблематики дисертації, наводиться короткий огляд робіт за темою дисертації, характеризується зміст роботи.

Перша глава носить допоміжний характер. В ній систематизовано викладаються основні відомості про будову силовських 2-підгруп скінченних симетричних груп, в §1 описується побудова силовських 2-підгруп симетричних груп довільного степеня п. Ямцо n=2m, то силовська 2-п1дгрупа Pffl в в м-тим вінцевим степенем регулярної циклічної групи 02 порядку 2:

pm =W§...§02 •

І-----—J

т

1 має порядок |Р |=2‘+...+2т'1. В разі коли число га має розклад м>а,2іа2‘к,.+а23 (а, =0,1 ; 0 $ І і а) в системі числення

О і я S і-

- 5 - ’■ ■ І з основою 2,силовська 2-Шдгрупа Зю розкладається на прямий добуток силовських 2-підгруп Рг симетричних груп степенів 2і: '

5уЦЗп) = ф * 1*а »...* Р^в.

Елементи віщевого добутку Са§Оа§...§Сг (т разів) можуть бути задані впорядкованими наборами (так званими таблицями) вигляду

{а,.а2Ц)......

де а,ес2,аі(^,іг.......х^) - функція від 1-І змінної над са.

Ототожнюючи Сз з адитивною групою поля 22, кожну таку функцію моина задати редукованим многочленом над Ла. В §1 наводяться формули для знаходження координат комутаторів, трансформ 1 степенів таблиць, які використовуються далі. Б §2 описузться введена Л.Д.Калужнішм спеціальна алгебра редукованих многочленів, яка з’являється при обчисленнях з таблицями, а в §3 наводяться основні факти про підгрупову будову груп Ри, меИ.

Друга глава дисертаційної роботи присвячена дослідженню класів спряженості груш Рл.

В §4 пропонується спеціальний спосіб завдавання підмножин групи Рш за допомогою так званих таблиць загального вигляду. Таблиця загального вигляду - це таблиця, коефіцієнти координат якої в виразами від деякого числа вільних параметрів. Надаючи вільним параметрам ті чи інші значення з , за таблицею загального вигляду можна побудувати деяку конкретну таблицю з Рт. Якщо вільні параметри пробігають найможливіші набори значень, то отримуємо деяку підмнохину Н(и) таблиць з Ря.

А тому, таблиці загального вигляду можна використовувати для

завдавання множин таблиць з Рш.

Теорема 4.1. Вудь-яка підмножкнз М гріта Рт з множиною значень придатної таблиці загального вигляду. Якщо 2*'* < |#| 5 2к, то таблицю можна вибрати так, щоб вона залежала від й параметрів.

Як наслідок з цієї теореми отримуємо, що будь-який клас спряженості груш Рга і будь-яка її підгрупа можуть бути задані деякими таблицями загального Еіігляду.

В §5 пропонуються оцінки для потужностей класів спряженості

ш

Нехай 2Д- множина класів спряженості групи Рт. Число елементів у кожному класі з е степенем двійки, тобто для будь-якого А€2т існуз таке натуральне число зе(А) , що |Д| =2И,А>. функція ге(А) визначена на 2^ и приймав значення на множині цілих невід'ємних чисел.

Теорема 5.1. Для будь-якого справедливі нерівності

0 ^ ж(А) ^ 2®-т-І. .

В цьому ж параграфі встановлено, що для класу спряженості групи Р , який складається з таблиць глибини й (І 5 а 5 т), тобто таблиць, перші к координат яких нульові, множина (й+І)~их координат цих таблиць з орбітою гр^пи Ру при її природній дії на множині редукованих многочленів від Р. змінних. А тому, задача опису класів спряженості глибини м-І зводиться до огляду орбіт Ря_1 на множині редукованих многочленів від ш-1 змінних. Це дозволяє також встановити, що класами спряженості є множини таблиць глибини и-2, перша ненульова координата яких пробігав деякий клас спряженості , а друга - не залежить від змінної

В §6 описуються класи спряженості групи Рт найбільшої

потужності.

Теорема 6.1. Існує точно три класи спряженості груш Рщ, для яких Функція ае(А) приймав найбільше значення. Один з них складається зі наймокливішюс елементів максимального порядку в Рю, а два Інших - з елементів порядку 2й1'1.

ЦІ класи спряженості можуть бути задані за допомогою трьох таблиць загального вигляду

а) [І,хі+а2 ..*ю_а+5т-.V* *хт-* +5т( V* >3 5

б) £ І ,х1+а2 (5Г),..., * .. ,хи_ ^ 4 (5^) ,ащ ) ];

в ) II .2,+^ (Хд ),... ІІ1.. •®т.а+Ош.2 (^.2 > +

де многочлени о,(х^_4) не містять одночленів максимальної висоти (2 £ ( $ т).

Враховуючії наведену вище формулу для ЗуІ{Вп) при будь-якому пеИ, теорему 6.1 можна перенести на випадок силовських 2-підгруп довільних симетричних груп. ’

1 і

Теорема 6.2. Нехай л=£0»І+ві >2+2 *+...+2 8 (£^,£^£(0,1))—розвинення числа п за основою 2. Найбільше значення функції ае(й), йе2л, дорівнює

3 ч *—» 1.

2^ (2 1-1ГІ)+ЄІ.І.

1=*

При пїЛ існує точно З3 класів спряженості групи Буї (£_), потужність яких максшальна.

Б 67 характеризуються класи спряженості груп Рщ при т $ 4. Встановлено, що група Р, розбивається на 20 класів спряжених

- в -

елементів, а група Р4 - має 225 таких класів. Знайдено потужності всіх класів, вказано розподіл елементів кожного порядку з Р3 та за класами спряженості.

■ в третій главі вивчаються транзитивні і сильно транзитивні підгрупи групи Pffl. В §8 знайдено умови транзитивності і сильної транзитивності підгруп Pffl, які задаються таблицями загального вигляду. Якщо ц=[о1,оа(5і),...,- деяка таблиця загального вигляду, то її лишком назвемо таблицю г (u)=[oJ ,а2 (0),.,. ,оп (0) ].

Теорема 8.1. Таблиця загального вигляду u=lal,ai(x1),...,an(icj3 завдав транзитивну підгрупу групи Рп • тоді 1 тільки тоді, коли was місце рівність |М(г(и))|=2п.

Нехай а ,аг,... ,ак- набір вільних параметрів таблиці загального вигляду и, ) - вільний член І-тої координати (І & і $ п). Покладемо .

... (2 ї t < п).

Теорема 8.2. Підгрупа ß < Рт, яка завдається таблицею загального вигляду u=la1,ai(x1),... ,on(5nl)] з параметрами at,aa,... ,с^ (й i п), буде сильно транзитивної) тоді і тільки тоді, коли система рівнянь

• ............

/„=Рп

W=°

оя(/,./я)»0

•••••••••••

з невідомими о4,оі,...,£^ має розв’язок при будь-якому наборі

Ф,......рпн

Перевірка таблично заданої груш на сильну транзитивність може виявитися досить громіздкою. Для деяких класів підгруп її можна провести значно простіше.

Підгрупу С < Рп назвемо розчіпленою, якщо при будь-якому & (1 < £ < я} разом з кожною таблицею и вона містить також 1 таблицю ил> глибини й таку, що [ іг'к>)г=[и]г при ї=йм,..., п. Розщішюна група С містить для кожного й підгрупу ок й-тих початаїв усіх таблиць із с та підгрупу С‘к> усіх й-тих закінчень, причому С=Ск Л С**". Нехай [СЗк - множина й-тюс координат усіх таблиць Із С.

Теорема 8.4. Довільна транзитивна розщішюна підгруппа групи Рп буде сильно транзитивною. Розщіплана підгрупа О буде транзитивною тоді 1 тільки тоді, коли при довільному й (1 £ й € п) виконується співвідношення [С]к?£{0}.

В 59 вивчаються транзитивні груш підстановок, Інволюції в яких мають не більше двох нерухомих точок (т.зв.(І,2)-групи).

Теорема 9.1. Транзитивна 2-група підстановок степеня 2", кожна інволюція в якій має на більше двох нерухомих точок, е регулярною або має порядок 2П*‘.

Теорема 9.2. Зображення груш С порядку 2"*1 (л»2> на лівих класах суміжності за 2-елементною підгрупою А

в (І,2)-ГруПОЮ ТОДІ 1 ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ І^(і4)|х4.

В останньому, десятому параграфі роботи розглядаються транзитивні і сильно транзитивні групи малих степенів. Вказано табличні зображення всіх 26 транзитивних 2-груп степеня 8, встановлено, що 14 з них з сильно транзитивними, знайдено тип таблиць загального вигляду, які задають (І,2)-груш підстановок

степеня їв, встановлено, що порядок будь-якої (І,4)~групи G степеня 16, яка е 2-групою, задовольняє нерівностям

24 s |0| « 27.

У додатку І наведено каталоги таблиць загального вигляду, які задають класи спряженості групи Рл я Р^, а в додатку 2 -каталог таблиць загального вигляду, які задають попарно не подібні транзитивні 2-групи степеня 8, каталог таблиць загального вигляду, які задають попарно не подібні сильно транзитивні 2-групи степеня 8 ї табжці розподілу транзитивних 3-груп за типами в залежності від найбільшого числа нерухомих точок їх інволюцій.

Публікації, покладені в основу дисертації

1.Италмазоа X. О классах сопряженности силовскях 2-подгрупп симметрической группа степени 2Л //Математикадан бшвш бориек-лигин узнуксиз системасшш гурамак боинча ылмн-датодшш кокЗа-ренцияянн материалларн. ТДПИ.- ЧардаэвЛЭЭЗ.- е.Э-П.

2.Италмазов X. Каталог классов сопряженности силовских 2-подгрупп симметрической группы степени 2П,п^4 //ыатематтсадан билим серменлигин узнуїссиз системасшш гурамак бошча нлми-мето-даки конферэщияшн материалларн. ТДПИ,- ЧарджэвЛЭЭЗ.- с.7-9.

3.Италмвзов X. Характеризация классов сопряженности силовской 2-псдгруппн симметрической группы степени 2т //Известия Академии наук Туркменистана. - 1994, » I, с.17-23.

Д.Сущанский В.И., Италмааов X. Транзитивные 2-грушш подстановок, инволюции в которых имеют не болэе двух неподвижных точек // Известия АН Туркменистана.-1994.-Л 2, с.25-31.

5,Сущанський В.І., Італмазов X. Табличні зображення транзитивних 2-гругаі// Доповіді АН України.-1994.-А З, о.ІО-Іб.

Підписано до друку ІІ.04.94р фориат 60x84/16 Папіті црук. Умов, друк, л. 1,0. Тираж 100 примірник.Заказ V4S9I

Яадруковано ЦУОП ДНПП "Плодвинконсерв" м. Київ, Саксаганеького, І