Колебания изотропных пластин с учетом температуры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

УРГЕНИШБЕКОВ АЙТМАГАНБЕТ ТУРСЫНБАЕВИЧ

КОЛЕБАНИЯ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРЫ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2004

Работа выполнена в строительном университете

Московском государственном

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Филиппов Игорь Григорьевич

доктор технических наук,

профессор Егорычев Олег

Александрович

доктор технических наук,

профессор Ставницер Леонид

Рувимович

Ведущая организация: Московский государственный открытый университет

Защита состоится «18» мая 2004 г. в 1530 часов на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при Московском государственном строительном университете по адресу: 113114, г. Москва, Шлюзовая наб., д.8, аудитория 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан

«6 ь^/^е/ц

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАБОТЫ

Актуальность темы. Основными элементами современных конструкций являются пластины, присущими им легкостью, рациональности форм и их высокой несущей способностью, экономичностью и хорошей технологичностью.

Одной из проблем расчета строительных конструкции с учетом температуры представляет собой весьма обширный раздел современной механики деформируемого твердого тела. Расширение промышленного жилищного строительства создает необходимость дальнейшего развития строительной науки в этом направлении. Создание новых технологий строительства, использование качественно новых материалов выдвигает повышенные требования к исследованиям динамического поведения изотропных пластин с учетом температуры.

Интенсивное развитие науки и техники, создание новых конструкций строительных сооружений, использование качественно новых материалов, отвечающих современному уровню научно-технического прогресса, выдвигают повышенные требования к исследованиям нестационарного поведения элементов различных строительных и иных конструкций и сооружений с учетом температуры. Огромный размах промышленного и жилищного строительство приводят к необходимости дальнейшего развития и усовершенствования методов расчета строительной науке и практике. Конкретные инженерные задачи и законы внутреннего развития фундаментальных исследований в области современного строительства вызвали тенденции к последовательному и возможно более полному учету физико-механических свойств элементов строительных материалов и других, присущих реальным телам.

Одним из таких вопросов является дальнейшее развитие методики расчета наземных и подземных конструкций в виде прямоугольных в плане элементов с учетом температуры.

Цель работы является получение точных и приближенных уравнений продольных и поперечных колебаний однородных изотропных пластин с учетом температуры, получение формул для. расчета перемещений и напряжений в каждой точке пластинки и решению частных прикладных задач на основе полученных уравнений.

На защиту выносятся:

-точные, и основанные на них приближенные уравнения, описывающие продольное и поперечное колебания вязкоупругой пластинки постоянной толщины с учетом влияния температуры;

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ !

БИБЛИОТЕКА | СЛтрйрг д/д • 03 I{

- формулы для расчета перемещений и напряжений в точках пластинки от искомых функций;

-аналитические решения частных задач о поперечных колебаниях прямоугольных пластин с учетом влияния температуры и о гармонических колебании и волн распространяющиеся в пластинке.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Получены точные, и основанные на них приближенные уравнения, описывающие продольное и поперечное колебания пластин с учетом влияния температуры.

2. Получены расчетные формулы для определения всех перемещений и напряжений в точках пластинки через искомых функций с требуемой точностью, характеризуемой порядком приближенных уравнений.

3. На основе полученного приближенного уравнения решены прикладные задачи поперечного колебания пластинки постоянной толщины.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты для решения продольного и поперечного колебания пластинки постоянной толщины, с учетом влияния температуры и вязких свойств материала позволяет более точно рассчитывать напряженно-деформированное состояние пластинки при нестационарных внешних нагрузках.

Достоверность результатов. Изложенные в диссертации результаты основаны на точной постановке задачи для пластинки как трехмерного тела и решение задач известными методами интегральных преобразований и сравнением полученных приближенных уравнений с классическими в предельных случаях.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в трех статьях.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы, двух глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 95 страницах машинописного текста, в том числе 2 таблиц, 5 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В ведении обосновывается актуальность темы диссертаций, раскрывается содержание работы, формулируется цель работы, излагаются основные положения, которые выносятся на защиту.

Отмечены, что фундаментальные идеи и подходы в развитии математических моделей, теоретические и экспериментальные исследования в области -динамики- конструкций и сооружений связан с именами таких ученых, как Ж.Д.Ахёнбах, В.З. Власов, Э.И. Григолюк, А.А. Ильюшин,

Г. Кольский, Н.Н. Леонтьев, В.В. Новожилов, Г.И. Петрашень, Г.И. Пшеничнов, Ю.М. Работнов, Х.А. Рахматуллин, С.П. Тимошенко, И.Г. Филиппов и другими.

Значительные вкладов в развитие приближенных теорий колебания пластин и методов решения задач колебания внесли ученые: Ж.Д. Ахенбах, Б.Ф. Власов, Б.Г.Коренев, Н.Н. Леонтьев, Г.И. Петрашень, Г.И. Пшеничнов, С.П. Тимошенко, И.Г. Филиппов и другие.

Вопросы распространения волн в упругих и вязкоупругих средах изучались в работах ученых Г. Кольского, Э.И. Григолюка, Ю.Н. Работнова, Х.А. Рахматуллина, Ж.Д. Ахенбаха, СП. Тимошенко, И.Г. Филиппова и многих других.

В диссертации на основе математического метода, развиваемого в работах И.Г. Филиппова, исследуется некоторые вопросы теории колебании плоских элементов с учетом температуры. На основе строго математического решения задачи с привлечением методов интегральных преобразований строится общее и приближенное решение задачи, выводится уравнение колебания пластинки с учетом влияния температуры.

Первая глава посвящена выводу точных и вытекающих из них приближенных уравнений продольных и поперечных колебаний вязкоупругих пластин с учетом температуры, получению формул для расчета перемещений и напряжений в точках пластинки.

Сущность математического подхода к выводу уравнений- колебания заключается в следующим.

Бесконечная изотропная пластинка постоянной толщины 2h рассматривается как трехмерное вязкоупругое тело, т.е. -со<дг<+оо, - ао < у < -и», —h<z<+h. Зависимости напряжения ау от

деформаций с учетом влияния Т температуры для вязкоупругий и

изотропный пластинки определяются соотношениями:

ан=Це») + 2М(£ь)-а0К(ТУ,

= М(еи); (/ * J) (/,j = х,у,г).

О)

L , М -вязкоупругие операторы вида

со

¿(0 = 1 С (О- J/, (t-4K(i)d4 ;

о

00

= м С(0- ifi .

о

Я, fi, - упругие постоянные материалов, /, 2 - ядра операторов,

а. - коэффициент линейного расширения.

Введением потенция;Ф и у/ дольных и поперечных волн, по формуле

и = ^ас!Ф + го1у/ (3)

уравнения, описывающие движение материала пластинки, имеют вид

'С

(4)

д2Ф

л 2

ЛГ(Дф) = р—г + а0К(П М (А V ) = р

причем векторной потенциал

должен удовлетворять условию

солениодальности, т.е. ¿//V у/ — 0.

В соответствии с теорией термовязкоупругости (связанная теория), для температуры имеем уравнение

где - коэффициенты связности.

Продольные колебания возникают в случае, если внешние условия и

тепловой режим удовлетворяют условиям

^=/ь=-/0; (6)

Начальные условия нулевые.

Кроме того, на поверхностях задан тепловой или температурный режим

к,у,Г)] (7)

ш

где константа материала.

Задача (4) - (7) в точной постановке решается применением интегральных преобразований Фурье по координатам х, у и Лапласа по времени /.

Как известно, при исследовании колебания пластин трехмерная постановка заменяется простой, т.е. двумерной, для точек срединной плоскости пластинки, что накладывает ограничения на внешние усилие, вызывающие колебания. Эти ограничения сводятся к тому, что внешние усилия не должны содержать высокочастотные гармоники. В диссертации в качестве искомых величин для пластинки выбираются смещения и деформация точек I - 0, которая является срединной плоскостью пластинки

и вводится- главные части перемещений, т.е. новые вспомогательные функции и0,У0,1¥0,О0.

Из точного решения задачи (4) - (7), для перемещений и, V, и> через функции ио,У0,1Г0,£)0 получено выражения

/О , & ип) , &

ы> «с

и-

д2У д\У дудх дх

,2п

(2 пУ

д2и + 9^)1 г2"

Г-

н=т'-^гЫ-а,, (а, -^МЙ!-

п=0 V

(8)

д1Г дУ — +—

дх ду

+

2л+]

++ 4п)а - ^вп М-(2„+^,

где операторы Я(,я), Я(2в), А",'. Л'г Равпы

л? =

г2 =

-'Г

-д

рМ

-I

^ д2 ^

-д

Г я2 ^

2А + рЛГ' ч и

•» Л=—Г + —Т дх2 ду2

15 1 д2 4 п„.лг., + _ +— апРКШ с1 Ы с2 д12 3 0

(9)

- А+

13 1 д2

...1 и 1 и

д12 с2 дI С2 с/2 3

—апРКШ~1

• +

1 5 1 а2 _„

-а РК д( С2д{2 °

А а2 а2 а2

А = —- + —г +

д(2

дх1 ду1 дг'

Для определения главных частей а также температуры в

точках срединной плоскости 2 = 0 имеем граничные условия (6) и (7). Подставляя выражения (8) граничные условия (6) и (7) получаем точные уравнения продольного колебания пластинки с учетом температуры. Например, для потенциалов в плоскости получено точные

уравнения

Уравнения (10) содержит производные бесконечно высокого порядка по производным и непригодно для проведения инженерных расчетов.

Для решения прикладных задач вместо точных уравнений целесообразно пользоваться приближенными, которое включает в себе тот или иной конечный порядок по производным: такие приближенные уравнения можно получить из точных, ограничиваясь конечным числом первых слагаемых. Если в (10) ограничиться первыми слагаемыми и считать материал пластинки упругим, то получаем приближенные уравнения, близкие к классическим

Аналогично из точных уравнений (10) можно получить уточненные уравнения четвертого и более высокого порядка по производным.

Далее аналогичным методом выведены точные уравнения поперечных колебаний вязкоупругой пластинки. Поперечные колебания возникают в случае, если внешние условия и тепловой режим удовлетворяют условиям

К ~ ~ /г> ^хг ~ ^хг ~/хг> — Л) ~/о> (12)

Для потенциала ср и у/, главный части смещения и температуры С? в

плоскости х, у получены точные уравнения

оэ оо

л=0т=0

+

(2/7 + 1) (2т)!

Ы) J Ы)

2п+1

+

ах ду ){2п+\у

п=0т=0

= ЕМ-К4" - +2д(г. + д«а)1л Ё.^'М"0 -

л=о J (2«; п=о

00 ! \ 1г2п

■ +

йх ду

л=0

(2«)

ду дх

(2п + \У

(13)

х|&я а(« +42)(| -^ -^

.2»

" =УЛ2п + 1)/2{х,у,() '(2«) ¿й М2и + 1) + А '

Если ограничиться двумя слагаемыми в (13), т.е. при п + т = 1, пластинку считать упругой, то из (13) получаем приближенное уравнения четвертого порядка

Ш 6 [

а2

А1¥+

Я2 f

—--8Д= ) +

9г к

И + —

2

М-1 ОМ"1 ЗА) - 2//"'А дг2

-. З2

(Л);

(14)

б+

I

-Л0+

15 1 52 4

+ -,-—-, -4а0РКШ1 Ю-МЬГхРКА<р+

кс] % с2 а2 з

- рЫ'1 РК -4- - Ж ~1РКЫ¥ д(2

Ьг\ /г(х,У,*) , 3/2(х,у,1) 2 | А0 + И 3И0+И '

Взяв в (13) слагаемые при п + т = 2, получим уравнение шестого порядка по производным от х,у,1 и т.д.

Для величин перемещений получены выражения

-(л> +д)-' ¿[4"» -г, -4" аМ4" -т. г

>4

дх )(Ъг+\У

у - ¿К' ?а+(4>^Г •

л=о[ ду

д 1 -2п+1

+д)Йл) -т. -

1 л/ау ](2и+1)

(15)

Вторая глава диссертационной работы посвящена решению частных задач, описывающих колебания прямоугольной упругой пластинки с учетом влияния температуры при различных условиях закрепления по краям.

В первом параграфе главы формулируются основные краевые задачи для прямоугольной пластинки.

Во втором параграфе исследуются частоты собственных колебаниях прямоугольной упругой шарнирно опертой пластинки с учетом температуры, имеющую геометрические размеры в плане

Для решения используется уравнения (14), когда правые части равны нулю, т е.

В силу граничных условий для шарнирно опертых пластин решение (16) ищется в виде

где безразмерная комплексная величина, действительная часть которой описывает затухающий характер колебания, а мнимая часть - определяет частоты собственных колебаний шарнирно опертой пластинки.

Для определения частоты получено алгебраическое уравнение

четвертой степени . г» е2

г + В2<?2 + П1£ + О0 = О

(18)

Здесь

12(1-,) + 8(2-У)Ч_2(1±У1. ( } АвНЮ + ,> 2 7-8У 3(7-8 V) 04 1 '' 3(7-8») '*

А) =

8Х2+4(1 + У)£0

7-8У

и введены безразмерные параметры а0к2Ь

у = л

Ам-)2

(19)

Я'

В третьем параграфе решена задача о собственном колебании прямоугольной упругой пластинки постоянной толщины с учетом

температуры при одной жесткой и трех шарнирно закрепленных краях, и получено частотное уравнение собственных колебании таких пластин и анализ этого уравнение.

Четвертом параграфе приведено аналитическое решение об тепловом ударе по бесконечной полосе и получено формула прогиба полосы при тепловом ударе.

Пятый параграф посвящен исследованию гармонических колебании и волн в плоских элементах при поперечных колебаниях с учетом влияния температуры. При исследовании распространения гармонических волн в деформируемых средах вводится понятия фазовой скорости, отражающей состояние среды.

Фазовую скорость обозначим символом С и она равна

1

С = £0(к2+д2)

(20)

Предположение о гармоничности процессов по координатам и времени позволяет решение уравнения (16) искать в виде

IV = 1¥0 ехр[/'(Ьг + ду- <у/)] О = д0 ехр[/(Ь+цу-¿у/)]

и для фазовой скорости С получим алгебраическое уравнение

(21)

Фазовая скорость С является основной характеристикой волнового процесса в пластинке.

Шестой параграф посвящен решению задачи о свободных колебаниях упругой прямоугольной шарнирно опертой пластинки с учетом температуры при ненулевых начальных условиях. Получепное аналитическое решение задачи позволяет рассчитать прогиб пластинки в зависимости от температуры и геометрических характеристик при заданных начальных условиях.

§7 посвящен численному исследованию полученных в предыдущих параграфах аналитических решений частных задач для прямоугольной

упругой пластинки. На рисунке 1 приведены зависимость частот 4^1,2 собственных колебаний прямоугольной шарнирно опертой пластинки от геометрических характеристик и температуры.

в

Рисунок 1.

Как видно из рисунка, кривые изменения частот собственных поперечных колебаний пластинки с учетом влияния температуры, лежат выше чем кривые изменения частот собственных колебаний без учета температуры, что означает при повышений температуры возрастает значения частот собственных колебаний.

Далее численно проанализирована задача о нормальном тепловом ударе по бесконечной полосе, материал которого изотропен.

На рисунке 2 показано зависимость прогиба полосы при нормальном тепловом ударе от времени и от безразмерной координаты. Кривой 1 определяет прогиб полосы в точках с координатами х = 0.75, кривой 2

прогиб полосы с координатами

Как видно на рисунке 2, максимальный прогиб при тепловом ударе имеет точки относительные координаты которых = 0.50, т.е. точек серединной линий по координате х и по приближению к точкам закреплении прогиб уменьшается.

На рисунке 3 приведены результаты численных расчетов задачи о гармонических волн при поперечных колебаниях упругой пластинки. Кривые С|_2 соответствует изменениям фазовых скоростей гармонических волн без

учета температуры, Кривые С[2 соответствует изменениям фазовых скоростей гармонических волн с учетом влияния температуры.

Рисунок 3

Как видно из рисунка 3, фазовая скорость С] конечна при любых значениях волновых чисел или безразмерной величины Т], а фазовая

скорость Сг для волновых чисел, стремящихся к нулю или при Т] > О стремится к бесконечности. Также показано, что при возрастании температуры упругой пластинки увеличивается значения фазовых скоростей гармонических волн.

Численно решена задача о свободном поперечном колебании изотропной пластинки при заданных ненулевых начальных условиях и на рисунке 4 приведены графики расчетов. На рисунке 4 показано, что амплитуда колебаний упругой пластинки с учетом температуры при ненулевых начальных условиях больше аналогичных амплитуд без учета температуры и затухает с течением времени.

ЦП

-Ю

-1 в

-го

Рисунок 4.

При других начальных условиях нетрудно произвести аналогичные расчеты по формулам §2.6.

1. Выведены точные уравнения продольных и поперечных колебаний изотропной вязкоупругой пластинки с учетом влияния температуры, из которых однозначно выводятся приближенные уравнения, близкие к классическим и другие приближенные уравнения более высокого порядка по производным, учитывающие более высокого порядка явления волнового характера..

2. Получены расчетные формулы для определения всех перемещений и напряжений в точках пластинки через искомых функций с требуемой точностью, характеризуемой порядком приближенных уравнений.

3. Сформулированы основные краевые задачи поперечного колебания прямоугольных пластин с учетом их механических, геометрических характеристик и температуры.

4. Приведены аналитическое решения прикладных частных задач о поперечных колебаниях изотропной упругой пластинки с учетом влияния температуры.

При решении частных практических задач показано, что:

- полученные формулы для определения значений частот собственных поперечных колебаний пластинки постоянной толщины с учетом влияния температуры удобны для практического использования;

- полученное аналитическое решение задачи при тепловом ударе по полосе позволяет рассчитать прогиб полосы в зависимости от геометрических, механических характеристик и температуры;

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

-показано, что амплитуда колебаний упругой пластинки с учетом температуры при ненулевых начальных условиях больше аналогичных амплитуд без учета температуры и затухает с течением времени;

- на основе выполненных численного анализа выявлены, что при возрастании температуры пластинки увеличивается частоты собственных колебаний, а также фазовые скорости распространения гармонических волн.

ОСНОВНЫЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ СТАТЬЯХ:

1. Ургенишбеков А.Т., Джанмулдаев Б.Д. Колебания термовязкоупругих пластин. /Вестник Кызылординского государственного университета имени Коркыт Ата №2, 2002.-е 138-142.

2. Ургенишбеков А.Т. Собственные поперечные колебания изотропных пластин с учетом температуры. - / Вестник Кызылординского государственного университета имени Коркыт Ата № 1,2003 г.

3. Ургенишбеков А.Т. Собственные колебания шарнирно опертых

изотропных пластин с учетом температуры. / Научный журнал министерства образования и науки РК «Поиск» г. Алматы, № 1, 2004г.

Лицензия ЛР № 020675 от 09.12.1997 г.

Подписано в печать ОЫССЦг. И-Ч2 Объем {

п.л.

Формат 60x841/16 Т. /00

экз.

Печать офсетная Заказ

Московский государственный строительный университет. Экспресс-полиграфия. 129337, Москва, Ярославское ш., 26

4 ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЛИНЕИНАЯ ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН С I УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРЫ.

1.1. Постановка общей задачи колебания плоского элемента с учетом температуры.

1.2. Общее решение задачи колебания плоского элемента с учетом температуры.

1.3. Уравнения продольного колебания термовязкоупругой пластинки. v 1.4. Приближенное уравнения продольного колебания термовязкоупругой пластинки.

1.5. Уравнения поперечного колебания термовязкоупругой пластинки.

1.6. Приближенное уравнения поперечного колебания термовязкоупругой пластинки.

Выводы.

ГЛАВА 2. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЕБАНИЯ

ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРЫ.

2.1. Общая постановка задач о поперечных колебаниях

V прямоугольных пластин с учетом температуры.

2.2. Собственные поперечные колебания шарнирно опертых прямоугольных пластин с учетом температуры.

2.3. Собственные поперечные колебания прямоугольных пластин с учетом температуры с одной жестко и трех шарнирно закрепленных краях.

2.4. Нормальный тепловой удар по бесконечной полосе.

2.5. Гармонические колебания и волны в плоских элементах

4 при поперечных колебаниях.

2.6. Свободные поперечные колебания шарнирно опертых ь прямоугольных пластин с учетом температуры с ненулевыми начальными условиями.

2.7. Численный анализ.

Выводы.

Основными элементами современных конструкций являются пластины, присущими им легкостью, рациональности форм и их высокой несущей способностью, экономичностью и хорошей технологичностью.

Проблема создания конструкции из водоупорных материалов, а также задачи сейсмологии, геофизики и других областей техники выдвигают повышенные требования к разработке новых уточненных теорий механики деформируемого твердого тела.

Одной из проблем расчета строительных конструкции с учетом температуры представляет собой весьма обширный раздел современной механики деформируемого твердого тела. Расширение промышленного жилищного строительства создает необходимость дальнейшего развития строительной науки в этом направлении. Создание новых технологий строительства, использование качественно новых материалов выдвигает повышенные требования к исследованиям динамического поведения деформируемых сред с учетом температуры.

Актуальной проблемой теоретических исследований в этой области наряду с разработкой моделей динамического поведения вязкоупругих материалов, является развитие строго математического подхода к исследованию двумерных и пространственных задач. Эта проблема далека от своего полного завершения, так как существующие методы расчета еще не дают полного ответа на множество различных вопросов, выдвигаемых строительной практики.

Интенсивное развитие науки и техники, создание новых конструкций строительных сооружений, использование качественно новых материалов, отвечающих современному уровню научно-технического прогресса, выдвигают повышенные требования к исследованиям нестационарного поведения элементов различных строительных и иных конструкций и сооружений с учетом температуры. Огромный размах промышленного и жилищного строительство приводят к необходимости дальнейшего развития и усовершенствования методов расчета строительной науке и практике. Конкретные инженерные задачи и законы внутреннего развития фундаментальных исследований в области современного строительства вызвали тенденции к последовательному и возможно более полному учету физико-механических свойств элементов строительных материалов и других, присущих реальным телам.

Одним из таких вопросов является дальнейшее развитие методики расчета наземных и подземных конструкций в виде прямоугольных в плане элементов с учетом температуры.

Основы математической теории теплопроводности были заложены еще трудами Ломоносова, Ньютона, Ламберта, Био, Фурье, Лапласа, Пуассона, Ляме, Томсона (лорда Кельвина), Римана и других выдающих ученых.

Круг задач1 теории теплопроводности исключительно обширен и непрерывно пополняется большим количеством новых результатов. Принципиальной стороной аналитической теории теплопроводности является возможность варьирования классическими методами дифференциальных уравнений математической физики при решении рассматриваемой краевой задачи. Это объясняется тем, что решение одной и той же типовой задачи можно искать в различных классах функций. Эти функции должны быть таковыми, чтобы они, во-первых, достаточно легко находились и, во-вторых, обеспечивали сходимость процесса настолько хорошо, чтобы можно было сделать требуемое в задаче заключения о свойствах полученного решения.

Из работ зарубежных ученых, посвященных теории теплообмена, кроме уже названных широко известны труды Кирхгофа, Пуассона, Вебера, Планка, Ламе, Карслоу, Егера, Дрейка и др.

Крупный вклад в теорию конвективного теплообмена внесли работы С.С. Кутателадзе, B.C. Авдуевского, В.М. Иевлев, А.В. Лыкова, А.И. Леонтьева и ДР

Фундаментальные идеи и подходы в развитии математических моделей, теоретические и экспериментальные исследования в области динамики конструкций и сооружений связан с именами таких ученых, как Ж.Д. Ахенбах [6], В.З. Власов [15,16], Э.И. Григолюк [23,24], А.А. Ильюшин[37], Г. Кольский [41], Н.Н. Леонтьев [49,50], В.В. Новожилов [69,70], Г.И. Петрашень [72,73], Г.И. Пшеничнов [74-76], Ю.М. Работнов [80,81], Х.А. Рахматуллин [82,83], С.П. Тимошенко [90,91,93], И.Г. Филиппов [95-107] и многие другие.

Вопросы распространения волн в упругих и вязкоупругих средах изучались в работах ученых Г. Кольского [41], Э.И. Григолюка [23], Ю.Н. Работнова [80,81], Х.А. Рахматуллина [82,83], Ж.Д. Ахенбаха [6], С.П. Тимошенко [90,91, И.Г. Филиппова [96,97,105] и многих других.

Исследование волновых процессов в ограниченных деформируемых телах сводится к сложнейшим математическим задачам.

Даже для деформируемых сред, описываемых простейшими моделями, такими, как упругая и вязкоупругая среды, многие нестационарные задачи не исследованы полностью и отсутствуют эффективные методы, позволяющие решать эти задачи в точной постановке. Поэтому большинство прикладных задач в различных областях техники решаются с использованием упрощенных моделей, сводящих пространственные задачи динамики к двумерным или одномерным.

Для исследования нестационарных колебаний пластин прибегают к такой математической модели описания их поведения, в которой изучаются движения точек срединной плоскости пластинки.,

Математической теории построения упрощенных моделей колебания пластин посвящено работах С.А. Амбарцумяна [3,4], Б.Ф. Власова [15,16],

Г.И. Пшеничнова [75,76], С.П. Тимошенко [90,91], И.Г. Филиппова [96,97,105]. Однако большинство из них связано с изучением колебания пластин в упругой линейной постановке.

Как правило, теории колебаний пластин основаны на гипотезах плоских сечений и гипотезе Кирхгофа. На основе этих гипотез выведены соответствующие приближенные уравнения колебания, получившие название классических.

Резкое увеличение количества прикладных задач, способствующих изучению динамического поведения пластин при воздействии различных нестационарных внешних усилий, показало недостаточность классических: уравнений для описания наблюдаемых явлений, что в свою очередь привело к большому числу уточненных теорий и уточненных уравнений колебания. Эти уточненные уравнения выводились также на основе новых гипотез. Наиболее полный обзор по разным уточненным моделям колебания пластин дан в работах Э.И. Григолюка [23,24], П.М. Огибалова [71], Г.И. Петрашена [72,73].

Следует отметить весьма ограниченное число работ, посвященных выводу приближенных уравнений колебания пластин с учетом реальных механических и реологических свойств материала, нелинейности зависимости напряжений от деформаций, начальных смещений и напряжений температуры, влиянию окружающей среды, анизотропии и т.д.

Однако к исследованию колебания пластин можно подходить на основе точной постановки задач, рассматривая эти тела как трехмерные при воздействии внешних усилий, приводящих к тому или иному виду колебаний.

Такой математический подход, получивший название метода начальных функций, был осуществлен В.З. Власовым [15,16] для определения напряженно-деформированного состояния упругих изотропных однородных пластин в линейной постановке при стационарных внешних усилиях.

Математические подходы к изучению колебания пластин рассматривались также в работах В.З. Власова [15,16], И.Г. Филиппова[95-107]. Однако математический подход с точки зрения точных трехмерных задач для деформируемых сред не нашел применения в исследовании колебания пластин с учетом разнообразных механических, реологических и других свойств материала.

Множество актуальных научных и технических проблем связано с исследованием колебательных процессов и распространением волн в сплошных средах. Использование результатов этих исследований приносит огромную пользу при рассмотрении квазистационарных, нестационарных колебательных и волновых процессов. Однако, возникает ряд вопросов, связанных с реакцией среды на внешние воздействия, способами возбуждения движений, кинематическими характеристиками волн, геометрией тел, решение которых имеет прикладное значение и достигается при помощи своих, типичных для данной области методов.

В настоящей работе на основе математического метода, развиваемого в работах И.Г. Филиппова, исследуется некоторые вопросы теории колебании плоских элементов с учетом температуры. На основе строго математического решения задачи с привлечением методов интегральных преобразований строится общее и приближенное решение задачи, выводится уравнение колебания пластинки с учетом влияния температуры.

Цель работы - строгая постановка краевых задач; колебания вязкоупругой пластинки с учетом температуры, а также вывод формул для расчета перемещений и напряжений в точках пластины от искомых функций.

Научная новизна работы:

- выведены точные и основанные на них приближенные уравнения продольного и поперечного колебания пластинки с учетом влияния температуры;

- получены расчетные формулы для определения всех перемещений и напряжений в точках пластинки через искомые функции с требуемой точностью, характеризуемой порядком приближенных уравнений; на основе полученного приближенного уравнения колебания решены прикладные задачи поперечного колебания пластинки постоянной толщины с учетом температуры.

Практическое значимость работы:

Полученное в диссертации результаты для решения динамических задач продольного и поперечного колебания пластинки постоянной толщины, с учетом влияния температуры и вязких свойств материала позволяет более точно рассчитывать напряженно-деформированное состояние пластинки при нестационарных внешних нагрузках.

Достоверность и обоснованность изложенных в диссертации результатов основаны на точной постановке краевой задачи колебания пластинки с учетом температуры и решение задач известными методами интегральных преобразований и сравнением полученных приближенных уравнений с классическими в предельных случаях.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы, двух глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 95 страницах машинописного текста, в том числе 2 таблиц, 5 рисунков.

выводы

В данной главе решены ряд задач о распространении волн в плоских элементах конструкций на основе теоретических результатов, приведенных в предыдущей главе.

На основе общего подхода к решению задачи колебания плоских элементов конструкции, с учетом влияния температуры исследованы:

• Собственные поперечные колебания шарнирно опертых прямоугольных пластин с учетом температуры

• Собственные поперечные колебания прямоугольных пластин с учетом температуры с одной жесткой и трех шарнирно опертых краях.

• Нормальный тепловой удар по бесконечной полосе.

• Гармонические колебания и волны в плоских элементах при поперечных колебаниях.

• Свободные поперечные колебания шарнирно опертых прямоугольных пластин с учетом температуры при ненулевых начальных условиях.

Получены расчетные формулы, позволяющие определять частот собственных колебаний прямоугольной упругой пластинки с учетом влияния температуры при различных условиях закрепления по контуру.

Получены аналитические выражения для определение прогиба плоского элемента с учетом влияния температуры при ненулевых начальных условиях и формулы для определения фазовых скоростей гармонических волн при поперечных колебаниях пластинки с учетом влияния температуры.

Изложенные в главе результаты позволяет более точно определять параметры колебания плоского элемента, являющегося одним из основных элементов строительных конструкций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Используемый математический подход к исследованию колебания изотропной вязкоупругой пластинки постоянной толщины с учетом влияния температуры, в строгой трехмерной постановке позволяет выводить точные и основанные на них приближенные уравнения колебания таких пластин.

2. Этот подход позволяет получить формулы для расчета перемещений и напряжений, описывающих напряженно-деформированные состояния точек пластины, ограничиваясь в них любым числом слагаемых в зависимости от искомых функций, независимо от вида приближенных уравнений колебаний.

3. В работе выведены приближенные интегро-дифференциальные уравнения продольного и поперечного колебания пластинки с учетом температуры.

4. Полученные точные и приближенные уравнения в явном виде содержат как вязкоупругие операторы, описывающие поведение материала пластинки, так и внешние и внутренние усилие, вызывающие колебания пластинки.

5. При решение частных прикладных задач показано, что:

-полученное аналитическое решение задачи позволяет рассчитать прогиб пластинки в зависимости от геометрических и механических характеристик материала пластинки;

-показано, что амплитуда колебаний упругой пластинки с учетом температуры при ненулевых начальных условиях больше аналогичных амплитуд без учета температуры и затухает с течением времени;

- на основе выполненных численного анализа выявлены, что при возрастании температуры пластинки увеличивается частоты собственных колебаний, а также фазовые скорости распространения гармонических волн;

1. Александров А.Я., Куршнн Л.М. Многослойные пластинки и оболочки — V1. Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластинок. - М.: Наука, 1970, с.714-722.

2. Александров А.Я., Куршин Л.М. Трехслойные пластинки и оболочки. В кн. Прочность, устойчивость, колебания. — М.: Машиностроение, 1968, т.2, с.245-308.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967, с.267.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость, колебания. 2-е изд.,— М.: Наука, 1987, с.360.

5. Айдосов Г.А. Динамический изгиб плиты на деформируемом основании // Тезисы докладов. 11 Всесоюзная конференция по нелинейной теории упругости. Фрунзе, 1985., с.255-256.

6. Ахенбах Дж., Кешава С., Херрман Г. Движущая нагрузка, приложенная к пластинке на упругом полупространстве. Прикладная механика, сер. Е, №4,1967, с.158-164.

7. Болотин В.В., Гольденблат И.И., СмирновА.Ф. Современные проблемы строительной механики. -М: Стройиздат, 1964.

8. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций М: Машиностроение, 1980, 375с.

9. Бейтман Г., Эрдейн А. Таблица интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа и Мелина, т.1, СМБ. М: Наука, 1974. -344.

10. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М: Мир, 1965. - 428с.

11. Био М.А. Теория упругости и консолидации анизотропной пористой среды. Механика, сборник переводов и обзор иностранной периодической литературы, М: ИЛ, 1959,№1, с. 140-146.

12. Био М.А. Теория деформации пористого вязкоупругого анизотропного твердого тела. Механика, сборник переводов и обзор иностранной периодической литературы, М: ИЛ, 1957,№5, с.95-111.

13. Бреховский Л.М. Волны в слоистых средах. М: Наука, 1973, с.343.

14. Вестяк А.В. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарноевзаимодействие деформируемых тел с окружающей средой. Итоги науки и техники. Серия «Механика деформируемого твердого тела». т. 15,-М: ВИНИТИ; 1983, с.69-148.

15. Власов В.З., Избранные труды. т.1 - М: Изд - во АН СССР, 1962, с.503-524.

16. Власов В.З. Об уравнениях теории изгиба пластинок. М: Известия АН СССР, 1967, №12, с.57-60.

17. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. — М: Наука, 1980, с.302-304.

18. Галеркин Б.Г. Напряженное состояние при изгибе прямоугольной плиты по теории толстых плит и теории тонких плит. Труды Ленинградского института сооружений, вып. 2,1935.

19. Гелюх П.А., Филиппов С.И. Колебания предварительно-напряженных трансверсально-изотропных пластин. -Сб. докладов конф. «Фундаментальные науки в современном строительстве», М., МГСУ, 2001, с. 182-187.

20. Горбунов Посадов М.И. Балки и плиты на упругом основании. - М: Стройиздат, 1949, - 238с.

21. Горбунов — Посадов М.И. Современное состояние научных основ фундаментностроения. М: Наука, 1967, -68с.

22. Грандштейн И.С., Рыжик И.М. Таблица интегралов, сумм рядов, произведений. М: Изд. Физико - математической литературы, 1962 — с. 1110.

23. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин, оболочек. Механика деформируемого твердого тела. Итоги науки. т. 5. - М.: ВИНИТИ, 1973. - 272с.

24. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек. Л.: Судостроение, 1970, с. 143-148.

25. Грин А.Е. Нахди П.М. Смесь упругих сред. В сборнике: Проблемы механики твердого деформируемого тела. Л.: Судостроение, 1970, сю143-148.

26. Гриченко В.Г., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова Думка, 1981, с. 283.

27. Гузь А.Н., Жук А.П., Махорт Ф.Г. Волны в слое с начальными напряжениями. Киев.: Наукова думка, 1976.

28. Даниловская В.И. Температурные напряжения в упругом в полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагревания границы. ПМ, 1950, - т.14. - №3, с. 316-318.

29. Дашевский М.А. Расчет полостей в упругой среде на действие нестационарной плоской волны сжатия. Строительная механика и расчет сооружений, 1976, №8, с. 42-46.

30. Дейвис P.M. Волны напряжения в твердых телах. М: Издательство 'Литература" 1961,103 с.

31. Дудченко А.А., Образцов И.Ф., Лурье С.А. Анизотропные многослойные пластины и оболочки. Итоги науки и техники. Сер."Механика деформируемого твердого тела", -т. 15 — М: ВИНИТИ, 1983, с.3-68.

32. Егорычев О.А. Воздействие подвижной нагрузки на упругую пластину лежащую на упругом основании. Всесоюзная конференция по теории упругости (тезисы докладов). - Ереван, 1979, с.29-32.

33. Егорычев О.А. Воздействие подвижной нагрузки на вязкоупругую слоистую пластинку. АН МССР, "Мат. исследования" Кишинев: "Штиинца", 1980, с.39-44.

34. Егорычев О.А. Филиппов И.Г. Математические методы при исследовании колебаний плоских элементов строительных конструкций. Труды Российско-Польского семинара "Теоретические основы строительства", -Варшава, 1995, с. 49-50.

35. Егорычев О.А. Колебания слоистой пластинки с жесткими перегородками при воздействии плоской акустической волны. Труды Российско-Польского семинара " Теоретические основы строительства", Варшава, 1993.

36. Зволинский Н.В. Волновые задачи в теории упругости непрерывной среды. Известия АН СССР, Механика, 1965, №1, с.3-12.

37. Ильюшин А.А. Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М: Наука, 1970,280с.

38. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961. 778 стр.

39. Кийко И.А. Распространение гармонических возмущений в круглом цилиндрическом стержне из упругого пористого материала с жидким наполнителем. В сб: Фундаменты и подземные сооружения при динамических воздействиях. - Ташкент: ФАН, 1973, с.3-9.

40. Клейн Г.К., Скуратов Л.Ф. Расчет балок на нелинейно деформируемом основании. -М: Изд - во литературы по строительству " Строительная механика", 1966.

41. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. М.: Изд - во "Литература", 1955,282с.

42. Коренев Б.Г. Ручимский М.Н. Некоторые задачи динамики блок н; а упругом основании. М: Гостстойиздат, 1955;

43. Коренев Б.Г. О движении нагрузок по пластинке, лежащей на упругом основании. -М: Строительная механика и расчет сооружений. №6,1965.

44. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных материалов и пластмасс М: Машиностроение, 1965,272с.

45. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1984,38с.

46. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. Новосибирск, 1970.

47. Кирхгоф Г. Механика. М: Изд-во АН СССР, 1962.

48. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Теория упругости». М.: Наука, 1965,204 с.

49. Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. Докт. диссертация, М., 1971.

50. Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н. Приближенный расчет арочной плотины на действие продольной сейсмической нагрузки. Гидротехническое строительство, №7, 1962.

51. Леонтьев Н.Н., Ивановский И.А. Анализ работы прямоугольной плиты, опертой по контуру на упругие ребра. Нелинейные задачи строительных конструкций: Сб. трудов МИСИ. М., 1970. - №84, 86. - с.51-60.

52. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. -416 с.

53. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М., 1967.

54. Лыков А.В. Тепломассоперенос. Справочник. М., 1972.

55. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.-Л.„1963.

56. Лыков А.В. Некоторые аналитические методы решения задач нестационарной теплопроводности. Изв. АН СССР, серия «Энергетика и транспорт», 1969, №2, с.3-27.

57. Ляв А. Математическая теория упругости. М. - Л., ОНТИ, 1935.

58. Ляховицкий Ф.М., Рапопорт Л.И. Применение теории Франкеля Био для расчета скоростей и поглощения упругих волн в насыщенных пористых средах. Приклад, геофизика, 1972, вып.66., с.52-64.

59. Михайлов М.Д. О динамических задачах термоупругости. ИФЖ, т. 16, № 4,1969.

60. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: ИЛ, 1958, -т.т. 1,2.- 1854 с.

61. Метод фотоупругости (под ред. Хесина Г.Л.). т.2. - М.: Стройиздат, 1975.-367 с.

62. Мардонов Б. Исследование волновых процессов в насыщенных упруго-пористых средах. Докт.дис., М., 1983,347 с.

63. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: ИЛ, 1960, -т.2., 686 с.

64. Москаленко В.Н. О собственных колебаниях трехслойных плит. -Механика и машиностроение, Изв АН СССР, ОТН, № 4, с.124-132.

65. Муштари Х.М. О применимости различных теорий трехслойных пластин. -Изв. АН СССР, 1960, №6, с.163-165.

66. Наримов Ш., Артиков Т.У. Решение динамических задач в двухкомпонентных средах со смешанными граничными условиями. ДАН УзССР, 1976, № 10, с.48-51.

67. Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975,872с.

68. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948.

69. Новожилов В.В. Финкелыптейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек. ПММ, 1943, т.7 №5, с.ЗЗ 1-340.

70. Новожилов В.В. Проблемы механики твердого деформируемого тела. -Л: "Судостроение", 1970.-512с.

71. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. М.: Изд-во МГУ, 1958,390 с.

72. Петрашень Г.И. Хинен Э.В. Об инженерных уравнениях колебаний идеально упругих пластин. - Труды МИАН, Л., Наука, 1968, с. 151-183.

73. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем. В сб: Исследования по упругости и пластичности. Изд - во ЛГУ, 1966,№5, с.3-33.

74. Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих оболочек и пластинок. М.: Наука, 1982,352с.

75. Пшеничнов Г.И. Метод декомпозиции решения уравнения и краевых задач. М.: ДАН СССР, 1985, т.282,№4, с.792-794.

76. Пшеничнов Г.И. Решение некоторых задач строительной механики методом декомпозиции. / Строительная механика и расчет сооружений, 1986, №4, с.12-17.

77. Попов Е.Б. Динамическая связная задача термоупругости. -ПММ, в.31, № 2, 1967.

78. Попов Г.Я. Плоская контактная задача теории упругости с учетом сцепления или трения. ПММ, 1966, т. 30, вып. 3, с.89-97.

79. Пискунов В.Г., Рябов А.Ф., Сидиков А.С. Уравнения; колебания многослойных пластинок. Куйбышев, 1971,вып.2.

80. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977,384с.

81. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1979, 744 с.

82. Рахматуллин Х.А. Саатов Я.У., Сабодаш П.Ф., Филлипов И.Г. Двумерные задачи по неустановившемуся движению сплошных сред. Ташкент: ФАН, 1969. 288с.

83. Рахматуллин Х.А. и др. Волны двухкомпонентных средах. Ташкент: ФАН, 1974.-266с.

84. Развитие теории контактных задач в СССР. М: Наука, 1976.

85. Ржаницин А.Р. Теория ползучести. -М.: Стройиздат, 1969,416 с.

86. Сагомонян А.Я. Волны напряжения в сплошных средах. — М.: Изд-во МГУ, 416 с.

87. Справочник проектировщика. «Динамический расчет зданий и сооружений». -М.: Стройиздат, 1984,303 с.

88. Седов ЛИ. Математические методы построения новых моделей сплошных сред. Усп. мат. наук, 1965, №2, с. 1-126.

89. Справочник: Динамический расчет сооружений на специальные воздействия, М: Стройиздат, 1981.-215.

90. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М: Наука, 1967 - 444 с.

91. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971.-807с.

92. Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.-724с.

93. Тимошенко С.П. Статические и динамические проблемы теории упругости. Киев, Наукова думка, 1975,564с.

94. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. ПММ, 1948. - т.12. - №3. - с.287-300.

95. Филиппов И.Г. Динамическая теория относительного движения многокомпонентных сред. Прикл. механ. Киев, 1974. - т.7. - №10. - с.92-99.

96. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М: Машиностроение, 1983. - 272с.

97. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев:Штиинца, 1988,- 190с.

98. Филиппов И.Г. Точные уравнения поперечных колебаний вязкоупругих плит. Труды Всесоюз. конф. По динамике оснований, фундаментов и подземных сооружений. Л., Нарва, 1985. - с.405-409.

99. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Динамическая теория устойчивости стержней. Труды Российско-Польского семинара «Теоретические основы строительства», Варшава, 1995, с.63-69.

100. Филиппов И.Г., Досжанов М.Ж. Динамическое воздействие вязкоупругого фундамента и водонасыщенного пористого основания. Деп. в ВНИИНТПИ, 24.04.89, №10027.

101. Филиппов И.Г., Македонский А.Н. К теории колебаний вязкоупругой пластинки, лежащей на деформируемом основании. М.: 1985. Деп. во ВНИИКСе №6403.

102. Филиппов И.Г., Халикулов Ш. К теории колебаний изотропной вязкоупругой пластинки с учетом температуры. М.: 1986. Деп. во ВНИИКСе №6194.103. «Смешанные задачи механики твердого деформируемого тела». -Одесса, 25-29 сентября 1989.

103. Филиппов И.Г. Приближенный метод решения динамических задач для вязкоупругих сред. ПММ, т.43, №1,1979,с. 133-137.

104. Филиппов И.Г. К нелинейной теории вязкоупругих изотропных сред. — Киев. Прикл. механика, 1983, т.19,№3.с.3~8.

105. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Неустановившиеся движения сплошных сжимаемых сред. — Кишинев, Штиинца, 1973, 436 с.

106. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Уравнения колебания кусочно-однородной пластинки переменной толщины. МТТ, 1989, № 5, с. 149157.

107. Филиппов И.Г., Филиппов С.И., Костин В.И. Динамика двумерных композитов. Труды Междун. конференции по механике и материалам, США, Лос-Анжелес, 1995, с.75-79.

108. Филиппов С.И. Краевые задачи колебания плоских элементов строительных конструкций. Деп. В ВИНИТИ, 19.05.99, № 1611-И99.

109. Фридман Л.И. Динамический расчет конструкций, основанный на теории колебаний пластин модели Тимошенко //Труды XVI междун. конфер по теории оболочек и пластин. Н.Новгород, 1994.

110. Фридман Л.И. О рациональной форме граничных условий в задачах теории упругости // Известия РАН, механика твердого тела. 1999. №2

111. Харитонов В.В. К вопросу о теплопроводности при конечной скорости распространения тепла. -ИФЖ, т. 16, № 4,1969.

112. Четаев Н.Г. Устойчивость движения М.: ГИТТЛ, 1955. - 208с.

113. Ургенишбеков А.Т., Джанмулдаев Б.Д. Колебания термовязкоупругих пластин. / Вестник Кызылординского государственного университетаимени Коркыт Ата №2,2002.-е 138-142.

114. Ургенишбеков А.Т. Собственные поперечные колебания изотропных пластин с учетом температуры. / Вестник Кызылординского государственного университета имени Коркыт Ата №1, 2003г.

115. Ургенишбеков А.Т. Собственные колебания шарнирно опертых изотропных пластин с учетом температуры. / Научный журнал Министерства образования и науки РК «Поиск» №1 г. 2004г, Алматы.

116. Achenbach J.D./ An asymptotic method to analyse the vibration of elastic layer.// Trans ASME. 1969. Vol. E 34 Nol., p.37-46

117. Brunelle E.J. The elastics and dynamics of a transversely isotopic Timoshenko beam // J. Compos. Mater. 1970. Vol.4 P.404-416.

118. Brunelle E.J. Buskling of transversely isotopic Mindlen plates // AIAA 1977, Vol.9, No6, p.1018-1022

119. Biot M.A. Theory of propagation of elastic wavws in fluid saturated porous solid T.Asoust. Soc.America, 1956,28, No.2

120. Bergman G.G. Elastic wave propagation in fluid saturated porous media. G. Asoust. Soc. America. 1981, No.2 p.416-424

121. Biot M.A. General theory of three-dimentional consolidation. J. Appl. Phus., 1941, №1, p. 155-164.

122. Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation porous media. J. Appl. Phus., 1962, 33, №4, p. 1482 1498.

123. Bourbie T.,Coussy O., Zinszner B. Aqoustique des millienx poreure. Paris: Techiq., 1986, XVI, 339 p.

124. Bowen P.M. Incompressable porousmedia modeis by use of the theory mixtures. Int. J. Engng. Sci., 1980,18, p. 1129 1148.1. Рисунок 2.1.колебания пластинки без учета температуры2. колебания пластинки с учета температуры