Колебания, синхронизация и пространственные структуры в ансамблях вероятностных клеточных автоматов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ЕФИМОВ Антон Викторович

КОЛЕБАНИЯ, СИНХРОНИЗАЦИЯ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СТРУКТУРЫ В АНСАМБЛЯХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ КЛЕТОЧНЫХ

АВТОМАТОВ

01.04.03 — радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 СЕН 2010

Саратов - 2010

004608057

Работа выполнена на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Шабунин Алексей Владимирович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Прохоров Михаил Дмитриевич;

кандидат физико-математических наук, доцент Купцов Павел Владимирович.

Ведущая организация:

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Защита состоится 24 сентября 2010 года в 17 час. 30 мин, на заседании диссертационного совета Д.212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, корп. 3, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан »<£3» августа 2010г.

Ученый секретарь

диссертационного совета:

Аникин В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

Ансамбли регулярных и хаотических осцилляторов — традиционные объекты исследования для радиофизики. Подобные системы могут демонстрировать целый ряд многообразных физических явлений: захват частот и фаз колебаний, амплитудную «смерть», образование пространственных и пространственно-временных структур, мультистабильность, хаотическую и стохастическую синхронизацию и др. В большинстве работ в качестве парциального элемента ансамбля рассматривается детерминированный осциллятор, описываемый либо системами обыкновенных дифференциальных уравнений, либо отображениями доследования. Фазовое пространство таких систем является непрерывным. Однако в природе и технике важную роль играют также и системы с дискретным набором состояний. Например, молекулы, претерпевающие превращения в ходе химических реакций, взаимодействующие элементарные частицы, логические элементы в цифровой электронике, абоненты дискретных сетей передачи информации и др. Для изучения таких систем нужны соответствующие модели, учитывающие их дискретный характер. Примером таких моделей могут служить вероятностные клеточные автоматы (BKA).

BKA — это совокупность узлов или клеток решётки, состояние каждой из которых описывается конечным набором дискретных переменных. В зависимости от состояний узла и его ближайших соседей, в соответствии с неким локальным вероятностным правилом, одинаковым по всей решётке, клетки автомата могут изменять свои состояния в дискретном времени. Правила, по которым осуществляются переходы, а также топология связей между отдельными узлами определяют эволюцию BKA. Она может рассматриваться как на микроуровне (в виде зависимости состояний всех узлов от времени), так и на макроуровне (как временная зависимость усредненных концентраций узлов, находящихся в том или ином состоянии). В последнем случае мы можем наблюдать временные реализации для средних концентраций, по свойствам аналогичные временным реализациям переменных в динамических системах. Главным отличием клеточных автоматов (КА), в том числе BKA, от динамических моделей является их принципиальная дискретность по времени, пространству и по значениям переменных, а также то, что для построения КА не нужно знать оператора эволюции всей системы — достаточно сформулировать локальные правила взаимодействия на уровне клеток

автомата и убедиться в их соблюдении по всей решётке.

Клеточные автоматы были предложены американскими математиками Дж. фон Нейманом и С. Уламом в конце сороковых годов прошлого столетия в качестве возможной идеализации процессов биологического самовоспроизводства. Они позволяют естественным образом учитывать дискретность состояний и случайный характер элементарных взаимодействий частиц в самоорганизующихся системах, без построения сложных стохастических уравнений. Впоследствии, КА получили свое применение в целом ряде областей: для описания фазовых переходов в физико-химических системах (Чен и др.); анализа автомобильного трафика (По-щел, Фраунд); моделирования коллективного движения живых организмов (Дойч); решения задач термодинамики и описания процессов перко-ляции (Стаоуффер, Биндер); для определения характеристик парольной защиты в информационных системах (Бажухин, Горбунов). Разновидности клеточных автоматов использовались для исследования процессов в электронных и радиотехнических устройствах (Короновский, Храмов, Анфиногентов).

Работы по исследованию пространственно-временной динамики различных типов BKA ведутся, начиная с середины семидесятых годов прошлого века. Было обнаружено, что они могут демонстрировать такие явления, как образование пространственных структур (в том числе — фрактальных), локальные колебания отдельных участков решётки и глобальные колебания всего ансамбля, распространение волн и волновых фронтов, синхронизацию колебаний, а также разного рода бифуркационные явления (Малинецкий, Бёрд, Гранер, Капрал, Провата, Ба-рас, Николис, Пирсон, Малек Мансур, Третьяков, Ванаг, Морелли, Вуд, Линденберг, Куперман и многие другие).

Среди множества видов BKA существует класс систем, наиболее близкий по своим свойствам к осцилляторам. Это клеточные автоматы, в которых переходы между состояниями клеток-частиц происходят по циклическому закону. Если при этом наличие в узле определённого состояния способствует появлению такого же состояния в соседних узлах автомата, то такие системы хорошо описывают автокаталитические химические реакции, взаимодействие «хищник-жертва» в экологии, системы передачи информации в цифровых сетях и т.п. Применение методов среднего поля позволяет получить для таких систем дифференциальные уравнения, подобные уравнениям консервативного осциллятора Лотки-Вольтерра. Поэтому в литературе подобные системы называют

решёточными моделями Лотки-Вольтерра (Lattice Lotka-Volterra, LLV).

Исследование ансамблей BKA с циклической сменой состояний обнаружило, что при локальной связи между элементами такие системы демонстрируют стохастические колебания малой амплитуды, характеристики которых не зависят от начальных условий, что расходится с динамикой модели среднего поля. Данное расхождение было отмечено во множестве работ (Провата, Мобилиа, Николис и др.). Было предложено объяснение данному несоответствию: эволюция BKA приводит к появлению сильно-неоднородного пространственного распределения частиц — формированию пространственных кластеров, что нарушает условие применимости метода среднего поля. Если это предположение верно, то наличие факторов, разрушающих пространственную неоднородность, таких как сильная диффузия или перемешивание, должно привести к консервативной динамике ансамбля. В этом случае использование осциллятора Лотки-Вольтерра для моделирования колебательных процессов в ансамблях с локальными взаимодействиями при наличии диффузии или перемешивания (например, в экологических системах типа «хищник-жертва») является оправданным. Однако детальной проверки этой гипотезы сделано не было.

При исследовании колебаний в ансамблях BKA с циклической сменой состояний многими авторами рассматривались вопросы пространственных корреляций и синхронизации колебаний (Вуд, Линденрберг, Шабо, Куперман, Мобилиа и др.). В работах Мобилиа было обнаружено, что синхронизация колебаний в таких системах возникает при наличии глобальной связи между частицами. Однако взаимодействие в большинстве реальных систем происходят локально. Возможна ли синхронизация колебаний в двумерных BKA при локальных связях между элементами? Какие процессы могут быть ответственны за возникновение такой синхронизации? Можно ли в подобных системах наблюдать классическое явление захвата мгновенных фаз колебаний, характеризующее синхронизацию динамических осцилляторов? Данные вопросы оставались нерешёнными.

Исследования последних лет показывают, что между поведением ансамблей вероятностных клеточных автоматов типа решёток Лотки-Вольтерра и динамикой детерминированных автоколебательных систем существует много общего. Однако некоторые вопросы, связанные с подобным сопоставлением, остались невыясненными.

Цель диссертационной работы: выявление типичных закономерностей в процессах образования пространственных структур и синхронизации колебаний в стохастических решёточных моделях Лотки-Вольтерра, построенных на базе вероятностных клеточных автоматов, и определение роли диффузии и перемешивания в их пространственно-временной динамике.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Разработать пакет программного обеспечения для численного исследования решёточных систем Лотки-Вольтерра методом Монте-Карло с учётом явлений диффузии и перемешивания.

2. Произвести численный эксперимент по моделированию динамики ансамблей частиц с разным количеством возможных состояний при различных параметрах и размерах ансамбля. Провести детальный анализ образующихся пространственно-временных структур, выявить статистические закономерности процессов образования пространственных кластеров и определить их влияние на колебания в системе.

3. Построить модель среднего поля и произвести её аналитические и численные исследования, сравнить результаты анализа с результатами моделирования динамики ансамбля методом Монте-Карло.

4. Изучить влияние перемешивания и диффузии на локальную динамику ансамбля и на глобальные колебания средних концентраций.

5. Исследовать возможность синхронизации локальных колебаний на поверхности решётки. Рассмотреть динамику разности мгновенных фаз колебаний для разных участков ансамбля. Определить, сопровождается ли самоорганизация в системе явлением фазовой синхронизации локальных колебаний, и, при наличии этого явления, произвести его анализ в зависимости от интенсивности связи и расстройки подсистем по параметрам.

Научная новизна результатов работы.

1. Впервые проведён детальный анализ характеристик пространственных структур, образующихся в решёточных системах Лотки-Вольтерра.

2. Впервые обнаружено, что для исследуемых систем законы распределения кластеров но размерам различны для решёток малого и большого размера. Показано, что для решёток малого размера характерно распределение по степенному закону, в то время как в больших решётках присутствует экспоненциально спадающая зависимость.

3. Впервые показано, что перемешивание частиц ансамбля BKA может приводить к рождению регулярных глобальных колебаний средних концентраций. Обнаружено, что рождение глобальных колебаний происходит аналогично суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа в автоколебательных динамических системах.

4. Впервые показано, что локальные колебания в ансамбле BKA могут демонстрировать явление фазовой синхронизации, аналогично динамическим осцилляторам. Показано, что разрушение синхронизации при уменьшении управляющего параметра происходит через этап частичной фазовой синхронизации.

Достоверность научных выводов работы.

Решение поставленных в диссертации задач проводится методами численного эксперимента и, частично, аналитически. Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех экспериментальных данных, соответствием результатов тестовых исследований и результатов, полученных другими авторами, использованием стандартных, общепринятых алгоритмов, согласованностью с данными, представленными в научной литературе.

Положения и результаты, выносимые на защиту:

1. В двумерном пространстве решёточных моделей Лотки-Вольтерра, построенных на базе вероятностных клеточных автоматов, формируются однородные кластеры. Наблюдаемые в системе колебания концентраций частиц являются результатом взаимодействий, протекающих на границах кластеров. Характеристики колебаний определяются формой, структурой и количеством взаимодействующих кластеров.

2. Нелокальное перемешивание взаимодействующих частиц существенно меняет поведение ансамбля, разрушая локальную упоря-

доченность в пространственном распределении частиц в виде однородных кластеров. При превышении параметром, характеризующим интенсивность перемешивания, порогового значения, наблюдается возникновение периодических колебаний средних концентраций частиц, аналогичное бифуркации Андронова-Хопфа в диссипативных динамических системах.

3. В основе возникновения глобальных колебаний концентраций лежит явление фазовой синхронизации между локальными колебаниями на отдельных участках решетки, которое сохраняется и при расстройке подсистем по параметрам. Интенсивность перемешивания играет в этом процессе роль параметра связи: его постепенное увеличение ведет сначала к частичной фазовой синхронизации, когда разность мгновенных фаз, оставаясь захваченной на конечных интервалах времени, медленно дрейфует к бесконечности, а затем к полной фазовой синхронизации.

Научно-практическая значимость результатов

Научные результаты, представленные в диссертационной работе, развивают и дополняют фундаментальные представления современной теории колебаний и теории динамических систем, распространяя их на ансамбли вероятностных клеточных автоматов. Они демонстрируют универсальность явления фазовой синхронизации колебаний, показывая, что оно реализуется не только в автоколебательных системах, но и в стохастических системах с дискретным фазовым пространством. Результаты проведённых исследований определяют границы применимости динамических моделей среднего поля типа Лотки-Вольтерра для описания систем класса «хищник - жертва» самой различной природы. Они открывают возможность управления поведением систем данного класса, что может иметь практическое значение для автокаталитических реакций в химии, динамики популяций в биологии, сетей передачи цифровой информации в радиоэлектронике и для других областей.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

• Международная научная конференция «Synchro - 2002» (Саратов, 2002),

• Научная школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2003),

• Международная школа-конференция «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС - 2004) (Саратов, 2004),

• Международная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004),

• Международная научная конференция «Dynamics at the Mesoscale: Theory, Modelling and Experiments» (Франция, Лион, 2004),

• Научная школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2005),

• Международная научная школа-конференция «Нелинейные волны - 2006» (Нижний Новгород, 2006),

• Международная конференция «Рап-REC» (Томск, 2006),

• Международная научная конференция «Ломоносов - 2006» (Москва, 2006),

• Международная научная конференция «Physics and Control» (PhysCon - 2008) (Санкт-Петербург, 2008),

• Научная школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2009),

а также на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ, центра нелинейной динамики и биофизики при СГУ, института физической химии национального научного центра республики Греция «Demokritos» (Греция, Афины).

Личный вклад автора.

Все результаты диссертации получены лично соискателем. В исследованиях, представленных в первых двух частях второй главы, соискателю принадлежит постановка задачи. Постановка задач в остальной части работы осуществлялась совместно с научным руководителем. Автор принимал активное участие в анализе, обсуждении и представлении всех результатов.

Структура и объем работы.

Материалы диссертации изложены на 156 страницах, содержат 47 рисунков и список цитированной литературы из 132 наименований. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка цитируемой литературы и списка публикаций по теме диссертации.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе с помощью методов нелинейной динамики проводится исследование ансамблей стохастических частиц с дискретным фазовым пространством на одномерной и двумерной решётке, проводится анализ формирующихся на решётке пространственных структур. Моделирование взаимодействий производится методом Монте-Карло, который является разновидностью вероятностного клеточного автомата. Рассматривается два вида клеточных автоматов:

• с тремя возможными состояниями ячеек, сменяющими друг друга по циклическому закону:

Х + У^2У, У + 5^25', Б + ХН2Х . (1)

• и с пятью состояниями:

+ Х + Я^2Х,

где X, У, Z,U, 5 — виды (состояния) взаимодействующих частиц, — кинетические константы, задающие относительные скорости превращений. При моделировании решётка сначала равномерно заполняется частицами в соответствии с выбранными начальными концентрациями. Затем на каждом микрошаге алгоритма случайным образом выбирается ячейка решётки и одна из её ближайших соседей. В зависимости от того, в каких состояниях находятся выбранные ячейки, может осуществиться один из указанных переходов с вероятностью, пропорциональной соответствующей кинетической константе р; — к^/тах {к\...кн}. Данный алгоритм позволяет моделировать пространственно-временную динамику решётки, на основе которой, посредством усреднения по простран-

ству взаимодействия, можно получить, например, временную зависимость для средней концентрации состояний X: x(t) = Хм(Ь))/М, где t — дискретное время, X\i(t) — общее число частиц X на решётке в момент t, М — количество узлов решётки). Результаты моделирования методом Монте-Карло сопоставляются с результатами метода среднего поля, который как схемы (1), так и для схемы (2), ведет к уравнениям консервативного осциллятора. Для BKA с тремя состояниями система дифференциальных уравнений выглядит следующим образом:

х - -kixy + kzx{l-x-y),

у = kixy-k2y{l-x-y),

где х и у — средние концентрации частиц X и Y, соответственно.

Устанавливается, что в процессе взаимодействия на поверхности решёток образуются фрактальные структуры из одинаковых частиц — кластеры. Законы распределения кластеров по размерам различны для решёток разного размера. Для малых решёток (менее 20 тыс. ячеек) характерно распределение по степенному закону, в больших решётках в закон распределения добавляется экспоненциально спадающая зависимость, что говорит о двух процессах одновременно протекающих в пространстве системы: формировании и взаимодействии кластеров в малом пространственном масштабе и перемешивании и суперпозиции несинхронных колебаний локальных осцилляторов в больших масштабах. Следствием этого являются стохастические колебания концентраций в малых локальных областях, интенсивность которых в масштабах всей решётки в термодинамическом пределе стремится к нулю. Характеристики локальных колебаний полностью определяются формой, структурой и количеством кластеров.

Исследования показывают, что колебания в ансамбле BKA качественно отличаются от колебаний консервативного осциллятора. В системе наблюдается переходные колебания и выход к стационарному состоянию. Поведение траекторий в окрестности этого состояния, указывает, что оно соответствует устойчивому фокусу в диссипативных динамических системах. После переходного процесса колебания средних концентраций представляют собой случайные флуктуации малой амплитуды вокруг стационарного состояния. Расположение стационарного состояния в «фазовом пространстве» совпадает с координатами состояния равновесия типа центр в модели среднего поля.

Вторая глава посвящена исследованию влияния перемешивания и

диффузии на динамику рассмотренных в первой главе систем. Для того, чтобы задать процессы диффузии и перемешивания, определяется, что частицы могут случайным образом перемещаться по решётке. В случае локальной диффузии это перемещение происходит в виде обмена состояниями между соседними узлами, а в случае перемешивания обмен может происходить между любыми частицами ансамбля.

В результате проведённых исследований устанавливается, что локальная диффузия увеличивает характерный пространственный масштаб системы и приводит к увеличению изрезанности границ кластерных структур, Как следствие, растёт число ячеек решётки, состояния которых меняются на каждой итерации алгоритма, что означает ускорение всех процессов и уменьшение среднего временного масштаба колебаний, а также приводит к росту регулярности и интенсивности колебаний. Выявлено, что зависимость дисперсии колебаний от параметра диффузии носит линейный возрастающий характер для малых значений параметра (Б < 20) и становится нелинейной при его увеличении. При достижении параметром диффузии некоторого порогового значения, зависящего от размера решётки и кинетических параметров исходной схемы, решётка полностью заполняется одним из состояний, а колебания прекращаются. Угол наклона линейного участка зависимости дисперсии от параметра О определяется набором кинетических констант и размером решётки.

Вторая часть главы посвящена исследованию влияния на систему внешнего перемешивания, представляющего из себя разновидность нелокального диффузионного процесса. Показано, что рост степени перемешивания приводит к бифуркационному рождению глобальных колебаний в исследуемых системах при превышении параметром перемешивания критического значения. На основании изменения формы спектров мощности колебаний при увеличении пространственных размеров системы делается вывод о том, что данные колебания можно считать периодическими в предельном случае решётки бесконечного размера. Увеличение перемешивания влечёт за собой линейный рост интенсивности колебаний. Механизм появления глобальных колебаний схож с бифуркацией Андронова-Хопфа в динамических системах. При увеличении параметра перемешивания зашумлённый «предельный» цикл, соответствующий колебаниям усреднённых концентраций в пространстве переменных системы, «влипает» в контур, образованный инвариантными многообразиями седловых точек из модели среднего поля. После этого система приходит в стационарное состояние.

Рождение близких к периодическим глобальных колебаний при воздействии на систему внешнего нелокального перемешивания происходит благодаря фазовой синхронизации между отдельными участками решётки. При последовательном увеличении перемешивания разность мгновенных фаз двух локальных осцилляторов сначала совершает броуновское движение во времени, затем появляются интервалы фазового захвата, чередующиеся с интервалами «проскальзывания» фазы, и, наконец, разность фаз оказывается ограниченной на протяжении всего процесса. Также показано, что фазовая синхронизация под действием перемешивания наблюдается в исследуемых моделях и в случае слабой неидентичности подсистем. Построенная на плоскости параметров «расстройка - перемешивание» область синхронизации локальных колебаний имеет вид, аналогичный «языкам синхронизации» в динамических системах.

В результате проведённых исследований делается вывод о том, что стохастические решёточные модели Лотки-Вольтерра с дискретным фазовым пространством, описывающие широкий класс взаимодействий типа «хищник - жертва» на поверхности, в термодинамическом пределе могут демонстрировать типичное для динамических систем поведение: рождение периодических колебаний через бифуркацию Андронова-Хопфа и фазовую синхронизацию как идентичных, так и слабонеиден-тичных подсистем.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты и выводы:

1. Поведение ансамблей BKA с циклическим переходами между состояниями существенно отличается от поведения динамической системы, полученной в приближении среднего поля. Это отличие проявляется как для трехкомпонентной, так и для пятикомпонентной сред. Колебания средних концентраций частиц ансамбля схожи с колебаниями диссипа-тивных динамических систем, в то время как модель среднего поля представляет собой уравнение консервативного осциллятора.

2. Одинаковые частицы образуют на поверхности двумерной решётки фрактальные структуры — кластеры. Наблюдаемые в системе колебания концентраций состояний являются результатом взаимодействий на границах кластеров. Характеристики колебаний определяются формой, структурой взаимодействующих кластеров и их количеством.

3. Законы распределения кластеров по размерам различны для решёток малого и большого размера. Для решёток малого размера характерно распределение по степенному закону, в то время как в больших решётках к степенному закону распределения кластеров добавляется экспоненциально спадающая зависимость. Такой вид распределения в больших решётках свидетельствует об одновременном протекании на поверхности двух процессов: процесса формирования и взаимодействия кластеров в малом пространственном масштабе и суперпозиции несинхронных колебаний в различных частях решётки в больших масштабах.

4. Добавление внешнего перемешивания в систему приводит к синхронизации колебаний различных областей решётки, что в свою очередь ведёт к росту амплитуды и регулярности глобальных колебаний в системе. В зависимости от степени перемешивания можно наблюдать аналог бифуркации Андронова-Хопфа, реализующейся в динамических системах, в результате которой рождается зашумлённый устойчивый «предельный цикл». Амплитуда «предельного цикла» растёт с увеличением параметра перемешивания, пока значения средних концентраций не выходят за рамки пороговых значений, соответствующих в модели среднего поля инвариантным многообразиям, образующим в фазовом пространстве замкнутый контур. После этого колебания в системе прекращаются, а поверхность решётки оказывается заполненной одним видом частиц, что означает переход системы в стационарное состояние.

5. При добавлении в систему сильного перемешивания пространственные кластеры разрушаются и все компоненты оказываются равномерно распределенными по решётке. Несмотря на это, поведение системы не совпадает с динамикой модели среднего поля, а соответствует поведению диссипативных динамических систем.

6. Локальная диффузия приводит к увеличению изрезанности границ кластеров. Как следствие, растёт интенсивность процессов взаимодействия между частицами, что приводит к росту регулярности и интенсивности колебаний. Зависимость дисперсии колебаний от параметра диффузии И носит линейный возрастающий характер для малых значений параметра (£> < 20) и становится нелинейной при его увеличении. При достижении параметром диффузии некоторого порогового значения, зависящего от размера решётки и кинетических параметров исходной схемы, решётка полностью заполняется одинаковыми частицами, а колебания прекращаются. Угол наклона линейного участка зависимо-

сти ах2 (D) определяется набором кинетических констант и размером решётки.

7. Рождение периодических глобальных колебаний числа частиц, происходящее при увеличении перемешивания, сопровождается фазовой синхронизацией между колебаниями в отдельных областях решётки. Интенсивность перемешивания играет роль параметра связи: при его последовательном увеличении происходит постепенный переход от полностью несинхронных колебаний к полностью синхронным. При слабом перемешивании разность мгновенных фаз двух локальных осцилляторов совершает броуновское движение во времени. При увеличении связи появляются интервалы фазового захвата, чередующиеся с интервалами «проскальзывания» фазы, и, наконец, при достижении порогового значения, разность фаз оказывается ограниченной на протяжении всего процесса.

8. Фазовая синхронизация под действием перемешивания наблюдается как в однородном ансамбле, так и в ансамбле с пространственно-неоднородным распределением параметров. Область синхронизации, построенная на плоскости «расстройка - степень перемешивания» имеет вид, качественно схожий с «языками синхронизации», типичными для динамических систем.

Список публикаций по теме диссертации

1. Efimov A., Shabunin A., Astakhov V. and Provata V., "Chaotic dynamics of chemical reactions in low dimensional substrates: Mean-Field and Monte Carlo approaches" // Изв. вузов Прикладная нелинейная динамика, 2003, Т. 11, № 2, С. 72.

2. Shabunin A.V., Efimov A.V., Tsekouras G.A. and Provata A., "Scaling, cluster dynamics and complex oscillations in a multispecies Lattice Lotka-Volterra model" // Physica A, 2005, V. 347, P. 117.

3. Ефимов A.B., Шабунин A.B., "Формирование и развитие пространственных структур в системе химических реакций на каталитической решётке: моделирование методом Монте-Карло" // Изв. вузов Прикладная нелинейная динамика, 2006, Т. 14, № 2, С. 47.

4. Efimov A., Shabunin A. and Provata A., "Synchronization of stochastic oscillations due to long-range diffusion" // Physical Review E, 2008, V. 78, № 5, P. 056201.

5. Ефимов A.B., Шабунин A.B., "Влияние перемешивания и диффузии на пространственно-временную динамику в стохастической системе

Лотки-Вольтерры с дискретным фазовым пространством" // Изв. вузов Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 17, № 1, С. 57.

6. Shabunin A. and Efimov A., "Lattice Lotka-Volterra model with long range mixing" // The European Physical Journal B, 2008, V. 65, № 3, P. 387.

7. Ефимов A.B., Шабунин A.B., "Хаотическая динамика химических систем в пространстве низкой размерности" // Труды научной студенческой конференции физического факультета СГУ, изд. Саратовского университета, 2003, С. 9.

8. Ефимов A.B., "Анализ динамики каталитических реакций на поверхности методом Монте-Карло" // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003", изд. ГосУНКЦ "Колледж", 2003, С. 278.

9. Ефимов A.B., "Компьютерное моделирование динамики химически активных сред" // Труды научной студенческой конференции физического факультета СГУ, изд. Саратовского гос. университета, 2004, С. 21.

10. Ефимов A.B., "Анализ динамики химических реакций на поверхности катализатора методом Монте-Карло" // Материалы XLII Международной Научной Студенческой Конференции "Студент и научно-технический прогресс", Физика: Новосибирский гос. ун-тет, 2004, С. 228.

11. Ефимов A.B., Шабунин A.B. "Синхронизирующее влияние внешнего перемешивания на динамику ансамбля стохастических осцилляторов в системе (4+l)-Lattice Lotka-Volterra" // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2005", изд. ГосУНКЦ "Колледж", 2005, С. 96.

12. Shabunin A., Efimov A., Provata A. "Chaotic dynamics of chemical reactions in low dimensional substrate: Mean-Field and Monte-Carlo approaches" // Abstracts of International conference "Synchronization of chaotic and stochastic oscillations", Saratov, Russia, 2002, P. 53.

13. Ефимов A.B., "Анализ динамики химических реакций на поверхности катализатора методом Монте-Карло" // Труды XLII Международной Научной Студенческой Конференции "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирский гос. ун-тет, 2004, С. 100.

14. Ефимов A.B., Шабунин A.B. "Процессы кластерообразования в химически активных средах" // Материалы VII международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур", изд. ГосУНКЦ "Колледж", Саратов, 1-6 октября, 2004, С. 133.

15. Ефимов A.B., "Синхронизация в ансамбле стохастических осцилляторов в системе (4+l)-Lattice Lotka-Volterra с внешним перемешива-

нием" // Нелинейные волновые процессы: Конференция молодых учёных, Н. Новгород, 1-7 марта, 2006, С. 53.

16. Ефимов A.B., Шабунин A.B. "Влияние внешнего перемешивания на динамику ансамбля стохастических осцилляторов в системе (4+l)-Lattice Lotka-Volterra". Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам "Ломоносов—2006", Физический факультет, Московский государственный университет, Москва, 2006, Т. 2, С. 90.

ЕФИМОВ Антон Викторович

КОЛЕБАНИЯ, СИНХРОНИЗАЦИЯ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СТРУКТУРЫ В АНСАМБЛЯХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ КЛЕТОЧНЫХ

АВТОМАТОВ

Специальность 01.04.03 — радиофизика Автореферат

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Подписано в печать 12.08.2010

Гарнитура Times. Печать Riso. _Усл. печ. я. 1. Тираж 140 экз. Заказ 0321_

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ИП «Экспресс тиражирование» 410005, Саратов, Пугачёвская, 161, офис 320 Я 27-26-93

Введение х Динамика ансамблей ВКА с цикли— сменой сосТояНИЙ г а Простейшая система Лотки-Вольтерра в дискретном простраН

11 1 Исследуемая система и описание среднего поля.

U.2 Моделирование взаимодействий с помощью метода МоНТе

Карло.

2 Решёточная система Лотки-Вольтерра с пятью видами частиц

1.2.1 Динамическая модель среднего поля.

1.2.2 Модель Монте-Карло. Обобщение результатов. и пршёточных системах Лотки-1 3 Пространственные структуры в решеточн

Вольтерра.

1.4 Выводы по главе 1. тргсов Фазовая синхронизация

2 Влияние диффузионных процессов. локальных рихмов в ВКА с циклической сменой состояний

2 1 Локальная диффузия в простейшей решёточной системе Ло№

Вольтерра.

2.2 Внешнее перемешивание в простейшей решёточной системе Лотки

Вольтерра.

2.3 Синхронизация локальных колебаний на решётке.

2.4 Выводы по главе 2.

Традиционными областями исследования радиофизики являются: изучение физических основ генерации, усиления и преобразования электромагнитных колебаний и волн, процессов излучения и распространения радиоволн в различных средах, разработка новых систем радиосвязи, а также новых методов анализа и преобразования радиосигналов. Однако, как оказалось, разработанные для анализа электрических колебаний радиофизические методы могут с успехом использоваться для исследования колебательных и волновых процессов неэлектромагнитной природы. Поэтому, наряду с решением своих классических задач, современная радиофизика вторгается в области других наук, все более и более приобретая междисциплинарный характер. Так, например, она находит своё приложение в нелинейной динамике, теории динамического хаоса, исследованиях по синхронизации и самоорганизации, при изучении индуцированной шумом динамики различных физических, химических, биологических, экологических, социальных и экономических систем. Для детального анализа колебаний в таких системах, выявления механизмов их рождения и развития, используются различные математические модели, чаще всего в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), либо, в случае изучения распределённых систем, — дифференциальных уравнений в частных производных. В ряде случаев используются также упрощенные модели в виде систем разностных уравнений и ансамбли связанных систем ОДУ. По своей природе все эти модели являются детерминированными системами с непрерывным фазовым пространством, поскольку выбор начального состояния системы однозначно задает весь ход ее дальнейшей эволюции, а переменные могут принимать какие угодно значения. Существующее в наблюдаемых явлениях нарушение принципа детерминизма учитывается в виде влияния различных случайных сил, действующих на систему со стороны окружающей среды.

Таким образом, традиционные колебательные модели, которыми оперирует радиофизика, исходят из того, что состояние колебательной системы изменяется непрерывным образом в соответствии с некоторым детерминированным законом, на который могут накладываться дополнительные флуктуации. Однако как в природе, так и в технике, существуют системы, у которых число возможных состояний ограничено, а переходы между ними происходят скачкообразно. Такими системами являются элементарные частицы в квантовой физике, взаимодействующие молекулы в химических реакциях, особи биологических популяций и другие. Особое значение модели с дискретным фазовым пространством имеют в технике. Современная радиоэлектроника становится цифровой наукой и ее базовыми элементами являются уже не автогенераторы непрерывных колебаний, а триггеры, переключающие свои состояния под действием управляющих сигналов. Современные телекоммуникационные системы зачастую строятся как динамические самоорганизующиеся ансамбли дискретных элементов, взаимодействующих друг с другом в ходе конкуренции за доступ к среде передачи данных. Все эти системы могут демонстрировать сложные колебательные и волновые явления, включая бифуркационные переходы между ними. Для изучения подобных систем нужны соответствующие модели, построенные по другим принципам. Такими моделями являются клеточные автоматы (КА).

Клеточный автомат [1-6] в самом общем случае состоит из набора узлов (клеток), образующих регулярную решётку. Каждый узел (или ячейка) решётки описывается некоторым набором величин (переменных), принимающих конечное число возможных значений. Эти узлы можно также интерпретировать, как частицы с дискретным набором состояний. Переходы между состояниями происходят по определенным правилам, в зависимости от текущего состояния частицы и состояния соседей. Состояния всех узлов решётки меняются синхронно через дискретные интервалы времени, тем самым обеспечивая временную эволюцию клеточного автомата. В отличие от систем дифференциальных или разностных уравнений, базирующихся на априорном предположении о существовании некоего детерминированного закона изменения величин-переменных, в К А наличие такого закона необязательно, а сам К А является дискретной системой как по времени, так и по значениям переменных. Каждая клетка автомата является источником цифрового сигнала, что роднит клеточные автоматы с системами цифровой обработки сигналов и позволяет избежать ошибок округления при проведении численных экспериментов. Кроме того, клеточные автоматы позволяют наблюдать за эволюцией системы как на микроуровне, отслеживая изменения состояния каждой из частиц, так и на макроуровне, следя за изменениями глобальных характеристик, которые могут быть получены из микросостояний посредством усреднения по всем узлам решётки. С этой точки зрения КА занимают промежуточное место между методами полной молекулярной динамики и системами ОДУ, описывающими изменение некоторых интегральных характеристик системы.

Клеточные автоматы, как разновидность конечного автомата [7, 8] были предложены американскими математиками Дж. фон Нейманом и С. Ула-мом [1] в середине прошлого века в качестве возможной идеализации процесса биологического самовоспроизводства. Они являются примерами простых самоорганизующихся динамических систем, которые могут демонстрировать процесс образования пространственно упорядоченных структур из случайных начальных условий. Впоследствии К А нашли широкое применение в различных областях науки и техники [9-28], в том числе: для анализа отпечатков пальцев [29,30]; для описания фазовых переходов в физико-химических системах [31]; при анализе переходов «свободное движение - затор» в автомобильном движении [32]; при анализе формирования различных структур (например, рисунков на шкурах млекопитающих или на раковинах морских моллюсков) [33-35]; при анализе коллективного движения живых организмов [36]; при решении задач логистики [37] и во многих других случаях. Разновидности клеточных автоматов использовались для исследования процессов в электронных и радиотехнических устройствах [38-40]. В частности, в работе [40] предложена феноменологическая дискретная модель, названная клеточным конвейером, для описания электронного потока с виртуальным катодом в плоском диодном промежутке. Наиболее эффективно клеточные автоматы применяются при описании различного рода фазовых переходов и бифуркаций, где важно учитывать флуктуации, или там, где динамика системы определяется локальным поведением её составляющих. В последнем случае система становится пространственно неоднородной и выбор неких усреднённых характеристик для адекватного описания с помощью моделей ОДУ оказывается крайне затруднителен.

Физика 19-го столетия постулировала, что законы природы носят детерминированный характер и лишь ограниченность знания человека о всех условиях и параметрах какого-либо объекта исследований не позволяет однозначно определить его эволюцию. Однако в связи с открытиями в ядерной физике и с созданием квантовой механики картина мира изменилась. Оказалось, что все элементарные процессы, лежащие в основе наблюдаемых явлений, носят вероятностный характер. Существует принципиальная невозможность точного предсказания поведения молекул, атомов и элементарных частиц — можно говорить лишь о различных вероятностях каких-либо элементарных событий. Случайный характер носят также многие процессы в химии, биологии и социологии. Случайность заложена в основу организации работы современных сетей передачи данных. Для изучения подобных систем необходимо использовать модели, в основе функционирования которых заложен принцип случайности. Такими моделями являются клеточные автоматы, в которых переход между состояниями частиц происходит случайным образом в соответствии с заданными вероятностями. Они называются вероятностными клеточными автоматами (ВКА) [41,42]. Правила смены состояний ВКА, а также вероятности переходов выводятся из кинетики моделируемых процессов. Использование ВКА позволяет избежать построения стохастических уравнений»для исследования таких систем — ВКА могут служить своего рода виртуальным экспериментом или имитацией исследуемых процессов. К вероятностным клеточным автоматам относятся метод реакционного решёточного газа (LGCA) [43-51], метод прямого моделирования Монте-Карло (DSMC) [52-55], а также метод вероятностного клеточного автомата с использованием процедуры Монте-Карло (ВКА) [56,57].

Вероятностные клеточные автоматы являются мощным инструментом для исследования процессов образования пространственных структур, самоорганизации, возникновения колебаний и распространения волновых фронтов в системах самой разной природы. Вероятностные клеточные автоматы находят своё применение в исследованиях по термодинамике и статистической физике, в теории фазовых переходов, при изучении явлений перколяции и влияния флуктуаций на поведение нелинейных динамических систем, обладающих критическими точками.

Особую роль ВКА играют при исследовании химических реакций. Химия является традиционной областью применений для нелинейной динамики [6,58,59]. Химические процессы могут демонстрировать колебательное поведение, когда концентрации веществ, участвующих в реакциях, регулярно или хаотически меняются во времени. Колебательный характер многих химических реакций неоднократно наблюдался в экспериментах, начиная со знаменитой реакции Белоусова-Жаботинского [60,61]. На сегодняшний день только в процессах гетерогенного катализа регулярные и хаотические колебания были обнаружены более чем в тридцати различных реакциях практически на всех типах катализаторов [62-70]. Традиционными моделями для колебательных реакций служат системы ОДУ, описывающие изменение усреднённых по пространству системы концентраций реагентов. В них предполагается, что распределение веществ в пространстве взаимодействия однородно, а скорости реакций в любой точке зависят только от средних концентраций реагентов и кинетических параметров. Такие модели, основанные на законе действующих масс, называются моделями среднего поля. Они просты, удобны и позволяют изучать основные особенности протекающих процессов, но построены в рамках довольно грубых приближений. Поэтому другим естественным подходом для построения моделей химических реакций (особенно протекающих на поверхности кристаллической решётки катализатора) является использование методов вероятностных клеточных автоматов, один из которых — метод Монте-Карло (МК) [26,27,71,72]. При использовании этого метода пространство реакций моделируется регулярной решёткой с выбранной геометрией ячейки, размером и размерностью. В ячейках находятся частицы реагентов, с определённой вероятностью вступающие в химические взаимодействия со своими соседями (см. например работы [73,74]). Возможно также использование фрактальных решёток, обладающих нецелыми размерностями [75]. При этом случайным является не только взаимодействие частиц, но и сама последовательность ячеек решётки, в которых на данном временном шаге метода произойдут элементарные взаимодействия. Модели МК достаточно полно учитывают случайный и локальный характер химических превращений и дают реалистичную картину происходящих в системе процессов. Кроме того, как и другие КА, они позволяют получить не только значения средних концентраций частиц, но и их локальное распределение по всему пространству реакции. Детальный анализ образования пространственно-временных структур в таких моделях, изучение явления синхронизации локальных ритмов, а также исследование возможности сопоставления результатов МК-моделирования с результатами более простых моделей среднего поля — все это является актуальной и интересной задачей для нелинейной динамики.

Среди множества систем, с успехом описываемых моделями ВКА, существуют такие, в которых элементы системы циклически изменяют своё дискретное состояние, что делает их похожими на осцилляторы. Такие системы хорошо описывают некоторые автокаталитические химические реакции, взаимодействия «хищник - жертва» в различных популяциях, передачу информации в цифровых сетях и ряд других процессов. Применение методов среднего поля для определённой группы этих систем позволяет получить дифференциальные уравнения, являющиеся уравнениями консервативного осциллятора типа Лотки-Вольтерра. Поэтому в литературе подобные системы получили название «стохастические решёточные модели Лотки-Вольтерра» (Stochastic Lattice Lotka-Volterra Model, SLLVM [76]) или просто — «решёточные модели Лотки-Вольтерра» (Lattice Lotka-Volterra, LLV [74]).

Несмотря на то, что первые работы Лотки [77] и Вольтерра [78] были опубликованы в 20-30-х годах прошлого века, исследования колебательных процессов в экосистемах остаются актуальными [74,76,79-93]. Сама система Лотки-Вольтерра является базовой моделью математической биологии, часто встречающейся в учебной и научной литературе [79,94-97]. Она описывает колебания численности «хищников» и «жертв», совместно проживающих на одной территории. Как отмечалось выше, к подобным уравнениям приводят модели среднего поля, описывающие колебания концентраций веществ, участвующих в некоторых автокаталитических реакциях (например, окисление угарного газа и восстановление оксида азота на поверхности катализаторов платиновой группы [62,63,65-70]). Взаимодействия «хищник -жертва» также лежат в основе некоторых моделей спонтанного распространения фронтов лесного пожара, волн эпидемий и др. [98], а уравнения типа Лотки-Вольтерра применяются при моделировании некоторых социальных [99,100] и экономических [101-103] систем.

В научной литературе часто дискутируется вопрос о применимости уравнений типа Лотки-Вольтерра к реальным объектам. Несмотря на то, что эта, ставшая парадигмой в математической экологии, модель обладает несомненной элегантностью и простотой, она также критикуется за свою нереалистичность и чувствительность даже к малым изменениям в исходной схеме взаимодействия [79,96]. Известно, что решения уравнений Лотки-Вольтерра обладают нейтральной устойчивостью и представляют из себя периодические колебания, амплитуда которых зависит от начальных условий. Однако консервативные колебания являются скорее математической абстракцией, нежели атрибутом какой-либо реальной системы. Результаты наблюдений за реальными экосистемами и эксперименты, проведённые «в пробирке», показывают, что в большинстве случаев колебания в реальных системах являются устойчивыми относительно возмущений и небольших изменений в исходной схеме взаимодействия или носят переходный характер. Так, в работах [104,105] авторы исследовали динамику сообщества трёх типов бактерий Escherichia coli «in vitro» и «in vivo», а также моделировали динамику их численности с помощью трёхкомпонентного аналога стохастической системы Лотки-Вольтерра, часто встречающегося в других работах [73,74,76,106-109]. Эта модель также хорошо известна в теории игр под названием «камень -ножницы - бумага» [110] и описывает циклическую схему взаимодействий типа «хищник - жертва», в которой каждый вид является одновременно и «хищником», и «жертвой». Основным результатом работы [104] явился тот факт, что при проведении эксперимента с бактериями в пробирке, среда в которой сильно перемешивалась и, как следствие, пространственная корреляция в системе полностью отсутствовала, сосуществование всех трёх видов ни разу не наблюдалось. С течением времени в пробирке оставался только один вид бактерий, что противоречит предсказаниям динамической модели, в которой сосуществование «хищников» и «жертв» наблюдается при любых ненулевых начальных условиях и параметрах. Другими примерами подобного несоответствия могут служить экспериментальные и теоретические результаты работ [111-113].

Отличия динамики системы Лотки-Вольтерра от результатов «в пробирке» (где искусственно создаются условия, на которых базируется динамическая модель среднего поля) связывают с неизбежно присутствующим в реальных системах шумом. Причём стохастичность реальных систем вытекает уже из-за конечности числа элементов ансамбля. Влияние стохастичности на динамику консервативных динамических моделей изучалось, в частности, в работах [91,92]. В первой работе в качестве примера была рассмотрена уже упомянутая трёхкомпонентная циклическая система Лотки-Вольтерра, стохастическая динамика которой была сформулирована в рамках урновой модели [114]. В качестве динамической модели для такой системы была использована классическая модель среднего поля, а учёт флуктуаций осуществлялся с помощью уравнения Фоккера-Планка. Оказалось, что изображающая точка системы совершает случайные блуждания вокруг точки равновесия с нейтральной устойчивостью в двумерном фазовом пространстве с абсорбирующей границей, сформированной многообразиями трёх седловых точек равновесия. Было подсчитано, что вероятность касания фазовой траекторией границы пропорциональна времени, нормированному на количество элементов ансамбля. Таким образом, для ансамблей со сколь угодно большим, но конечным количеством элементов N на временах t N единственно возможным оказывается абсорбированное состояние — когда в системе остаются частицы только одного вида. Во второй работе [92] показан тот же сценарий для классической модели Лотка-Вольтерра с двумя типами взаимодействующих элементов в присутствии слабого аддитивного шума, а ранее был получен такой же результат для системы с мультипликативным шумом [111].

Если обратиться к окружающим нас реальным системам, в которых не создаётся особых условий, можно заметить, что колебания численности «хищников» и «жертв», а также сам факт их сосуществования не согласуется с описанными выше результатами. Средняя амплитуда колебаний в естественных условиях всё время остаётся постоянной, а численность популяций хотя и может периодически сильно сокращаться, но всё же не становится нулевой. Это происходит несмотря на постоянные и довольно значимые флуктуации в окружающей среде. Есть несколько предположений о том, какие процессы в природе отвечают за такое поведение систем [115]. Одни из них связаны с ролью диффузионных (миграционных) явлений, другие — со случайными изменениями в среде обитания (вариацией температуры, ресурсов и т.д.). Одно из хорошо изученных явлений, которое могло бы объяснить поведение реальных объектов природы, — возникновение диффузионной неустойчивости, сопровождающейся образованием стационарных структур в пространстве систем типа «реакция - диффузия» [116-119]. В некоторых системах с взаимодействиями типа «хищник - жертва» такой механизм стабилизации колебаний действительно имел место [120-123]. Тем не менее в работах [124-126] было показано, что явление диффузионной неустойчивости само по себе не может объяснить динамику всех систем данного класса.

Таким образом, анализ литературы позволяет заключить, что модель среднего поля, описывающая системы «хищник - жертва» с циклической сменой состояний дает качественно иной тип поведения, чем непосредственное моделирование динамики в ходе численного эксперимента и также отличается от наблюдаемых в реальных системах процессов. Можно предположить, что в основе данного расхождения лежит возникающая в ходе взаимодействий пространственная неоднородность в виде гомогенных кластерных структур с фрактальными границами [127]. Наличие такой неоднородности нарушает предположения, на которых базируется метод среднего поля. Является ли это предположение справедливым? Для проверки этого следует рассмотреть ансамбль частиц при наличии процессов, разрушающих пространственные структуры, например диффузии и перемешивания.

Другим направлением современных исследований систем типа «хищник -жертва» стал анализ пространственных свойств распределённых моделей, учитывающих локальность взаимодействий. Так, в работе [73] изучались циклические модели Лотки-Вольтерра с произвольным числом звеньев в цепочке взаимодействий на одномерной решётке. В работе [74] исследователи рассмотрели частный случай таких цепочек — трёхкомпонентную схему Лотки-Вольтерра, реализованную на одномерной и двумерной решётках. В качестве модели системы был использован вероятностный клеточный автомат на базе методов Монте-Карло. В работе было отмечено, что динамика исходной схемы взаимодействия на двумерной решётке сильно отличается от одномерного варианта, поскольку в первом случае в системе были обнаружены нерегулярные колебания средних концентраций частиц, которые хотя и исчезают в масштабе решётки бесконечного размера, но легко могут быть обнаружены в её малых областях. При этом в одномерном пространстве таких колебаний нет. Авторы также рассмотрели динамику исходной схемы взаимодействий на решётках с различной геометрией, а в работе [127] исследовали фрактальные свойства кластеров. И всё же, не смотря на большой объём проведённых исследований, многие вопросы, связанные с пространственной динамикой распределённых систем Лотки-Вольтерра, раскрыты не полностью. Так, по замечанию авторов в публикации [76], динамика многокомпонентных систем до сих пор остаётся слабо изученной.

Ещё одной важной проблемой, связанной с динамикой ансамблей взаимодействующих частиц с дискретным набором состояний, являются вопросы синхронизации и пространственной корреляции локальных колебаний

128-132]. В работе [128] рассматривался частный случай синхронизации в двух связанных однотипных детерминированных клеточных автоматах с разными начальными условиями. Связь осуществлялась следующим образом: на каждой итерации алгоритма состояния соответствующих клеток в разных автоматах с определённой долей вероятности приравнивались друг другу. Было показано, что в такой системе при превышении параметром связи некоторого порогового значения наблюдается полная синхронизация динамики двух клеточных автоматов. В работе [129] авторы рассмотрели решётку осцилляторов с дискретными фазами, каждый из которых совершал пере/ ход в новое состояние с некоторой вероятностью д, зависящей от состояния соседних осцилляторов. Авторами было также показано, что при превышении вероятностью д, играющей роль связи, некоторого критического значения в решётке возникала глобальная синхронизация. В публикациях [130,132] были рассмотрены два реакционных процесса, моделируемых известной игрой «камень - ножницы - бумага» и, так называемой, системой «восприимчивый -инфицированный - невосприимчивый» соответственно. Обе системы интерпретировались как малые сообщества, в которых постоянный или временный случайный обмен информацией (внутренний беспорядок) между элементами рассматривался в роли связи. Как и в других системах, превышение параметром связи критического значения приводило к появлению синхронизации.

В итоге системы типа решёточных моделей Лотки-Вольтерра, демонстрирующие колебательное поведение как кооперативный феномен, оказались изученными достаточно хорошо. Однако несмотря на огромное количество публикаций, посвященных этой теме, ряд важных вопросов, связанных с динамикой конкретных систем и всего класса моделей в целом, остаётся не выясненным. Например, не полностью раскрыта роль диффузионных процессов в возникновении и развитии колебаний. Остаются слабо изученными особенности пространственной динамики данных систем и вопросы её влияния на наблюдаемые в макромасштабе эффекты. Недостаточно полно исследована устойчивость динамики данных систем относительно изменения схемы взаимодействий (например, увеличения числа взаимодействующих видов) или введения в рассмотрение конкретных типов диффузии и внешних воздействий. Наконец, интерес представляет сам механизм появления колебаний в системах данного класса. Как наблюдаемые на макроуровне колебания связаны с явлением синхронизации ритмов локальных осцилляторов в пространстве системы? К какому типу относится этот вид синхронизации и как явления, наблюдаемые в вероятностных клеточных автоматах, являющихся чисто стохастическими моделями, соотносятся с классической теорией колебаний динамических систем?

Для ответа на поставленные вопросы и проведения соответствующих исследований в качестве рабочей необходимо выбрать простейшую систему, представляющую собой ансамбль стохастических элементов с дискретным набором состояний, взаимодействия в котором в рамках сосредоточенной динамической модели описываются консервативной системой уравнений типа Лотки-Вольтерра. Чтобы претендовать на достоверность выводов, рабочая модель для такой системы должна быть распределённой, должна учитывать случайные процессы, происходящие на микроуровне и должна обладать достаточной универсальностью. Далее необходимо провести полный комплекс исследований пространственной и временной динамики системы, рассмотреть влияние усложнения схемы взаимодействий на поведение системы, изучить роль диффузионных процессов в её эволюции, рассмотреть возможные механизмы рождения глобальных колебаний и исследовать явление синхронизации локальных осцилляторов в пространстве системы. Необходимо также сравнить поведение системы в рамках динамической модели и модели, построенной на базе ВКА, сопоставить наблюдаемые в чисто стохастической системе колебательные явления с аналогичными явлениями, представленными в классической теории колебаний.

Все вышесказанное обосновывает актуальность исследований в данной области и служит основанием для постановки цели и задач диссертационного исследования.

Целью диссертационной работы является: выявление типичных закономерностей в процессах образования пространственных структур и синхронизации колебаний в стохастических решёточных моделях Лотки-Вольтерра, ^ построенных на базе вероятностных клеточных автоматов, и определение роли диффузии и перемешивания в их пространственно-временной динамике.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Разработать пакет программного обеспечения для численного исследования решёточных систем Лотки-Вольтерра методом Монте-Карло с учётом явлений диффузии и перемешивания.

2. Произвести численный эксперимент по моделированию динамики ансамблей частиц с разным количеством возможных состояний при различных параметрах и размерах ансамбля. Провести детальный анализ образующихся пространственно-временных структур, выявить статистические закономерности процессов образования пространственных кластеров и определить их влияние па колебания в системе.

3. Построить модель среднего поля и произвести её аналитические и численные исследования, сравнить результаты анализа с результатами моделирования динамики ансамбля методом Монте-Карло.

4. Изучить влияние перемешивания и диффузии на локальную динамику ансамбля и на глобальные колебания средних концентраций.

5. Исследовать возможность синхронизации локальных колебаний на поверхности решётки. Рассмотреть динамику разности мгновенных фаз колебаний для разных участков ансамбля. Определить, сопровождается ли самоорганизация в системе явлением фазовой синхронизации локальных колебаний, и, при наличии этого явления, произвести его анализ в зависимости от интенсивности связи и расстройки подсистем по параметрам.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка цитируемой литературы и списка публикаций по теме диссертации.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Поведение ансамблей ВКА с циклическим переходами между состояниями существенно отличается от поведения динамической системы, полученной в приближении среднего поля. Это отличие проявляется как для трёхкомпонентной, так и для пятикомпонентной сред. Колебания средних концентраций частиц ансамбля схожи с колебаниями диссипативных динамических систем, в то время как модель среднего поля представляет собой уравнение консервативного осциллятора.

2. Одинаковые частицы образуют на поверхности двумерной решётки фрактальные структуры — кластеры. Наблюдаемые в системе колебания концентраций состояний являются результатом взаимодействий на границах кластеров. Характеристики колебаний определяются формой, структурой взаимодействующих кластеров и их количеством.

3. Законы распределения кластеров по размерам различны для решёток малого и большого размера. Для решёток малого размера характерно распределение по степенному закону, в то время как в больших решётках к степенному закону распределения кластеров добавляется экспоненциально спадающая зависимость. Такой вид распределения в больших решётках свидетельствует об одновременном протекании на поверхности двух процессов: процесса формирования и взаимодействия кластеров в малом пространственном масштабе и суперпозиции несинхронных колебаний в различных частях решётки в больших масштабах.

4. Добавление внешнего перемешивания в систему приводит к синхронизации колебаний различных областей решётки, что в свою очередь ведёт к росту амплитуды и регулярности глобальных колебаний в системе. В зависимости от степени перемешивания можно наблюдать аналог бифуркации Андронова-Хопфа, реализующейся в динамических системах, в результате которой рождается зашумлённый устойчивый «предельный цикл». Амплитуда «предельного цикла» растёт с увеличением параметра перемешивания, пока значения средних концентраций не выходят за рамки пороговых значений, соответствующих в модели среднего поля инвариантным многообразиям, образующим в фазовом пространстве замкнутый контур. После этого колебания в системе прекращаются, а поверхность решётки оказывается заполненной одним видом частиц, что означает переход системы в стационарное состояние.

5. При добавлении в систему сильного перемешивания пространственные кластеры разрушаются и все компоненты оказываются равномерно распределенными по решётке. Несмотря на это, поведение системы не совпадает с динамикой модели среднего поля, а соответствует поведению диссипативных динамических систем.

6. Локальная диффузия приводит к увеличению изрезанности границ кластеров. Как следствие, растёт интенсивность процессов взаимодействия между частицами, что приводит к росту регулярности и интенсивности колебаний.

Зависимость дисперсии колебаний от параметра диффузии D носит линейный возрастающий характер для малых значений параметра (D < 20) и становится нелинейной при его увеличении. При достижении параметром диффузии некоторого порогового значения, зависящего от размера решётки и кинетических параметров исходной схемы, решётка полностью заполняется одинаковыми частицами, а колебания прекращаются. Угол наклона линейного участка зависимости сгх2 (D) определяется набором кинетических констант и размером решётки.

7. Рождение периодических глобальных колебаний числа частиц, происходящее при увеличении перемешивания, сопровождается фазовой синхронизацией между колебаниями в отдельных областях решётки. Интенсивность перемешивания играет роль параметра связи: при его последовательном увеличении происходит постепенный переход от полностью несинхронных колебаний к полностью синхронным. При слабом перемешивании разность мгновенных фаз двух локальных осцилляторов совершает броуновское движение во времени. При увеличении связи появляются интервалы фазового захвата, чередующиеся с интервалами «проскальзывания» фазы, и, наконец, при достижении порогового значения, разность фаз оказывается ограниченной на протяжении всего процесса.

8. Фазовая синхронизация под действием перемешивания наблюдается как в однородном ансамбле, так и в ансамбле с пространственно-неоднородным распределением параметров. Область синхронизации, построенная на плоскости «расстройка - степень перемешивания» имеет вид, качественно схожий с «языками синхронизации», типичными для динамических систем.

Заключение

1. von Neumann J., "Theory of Self-Reproducting Automata". — Urbana: University of 1.linois Press, 1966.

2. Wolfram S., "Cellular Automata and Complexity". — New York: Addison-Wesley, 1994.

3. Wolfram S., "Statistical mechanics of cellular automata" // Reviews of Modern Physics, 1983, V. 55, P. 601.

4. Wolfram S., "Theory and Applications of Cellular Automata". — Singapore: World Scicntific, 1986.

5. Wolfram S., "Universality and Complexity in Cellular Automata" // Physica D, 1984, V. 10, P. 1.

6. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С., "Введение в синергетику". — М.: Наука, 1990.

7. Цетлин М.Л., "Исследования по теории автоматов и моделированию биологических систем". — М.: Наука, 1969.

8. Кобринский Н.Е., Трахтенберг Б.А.,"Введение в теорию конечных автоматов". — М.: Физматгиз, 1962.

9. Dow R.A., "Additive Cellular Automata and Global Injectivity" // Physica D, 1997, V. 110, P. 67.

10. Moore C., "Predicting Non-Linear Cellular Automata Quickly by Decomposing Them into Linear Ones" // Physica D, 1998, V. Ill, P. 27.

11. Bunimovich L.A., "Many-Dimensional Lorentz Cellular Automata and Turing Machines" // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1996, V. 6, P. 1127.

12. Durrett R., Griffeath D.J., "Asymptotic behavior of excitable cellular automata" // Experimental Mathematics, 1993, V. 2, P. 183.

13. Fisch R., Gravner J.,Griffeath D., "Threshold-range scaling of excitable cellular automata" // Statistics and Computing, 1991, V. 1, P. 23.

14. Gravner J., Griffeath D., "Threshold Growth Dynamics" // Transactions of the American Mathematical Society, 1993, V. 340, №2, P. 837.

15. Munuzuri A., Markus M., "Cellular Automata Model and Measurements of Autowave Splitting" // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1996, V. 6, P. 1837.

16. Prakash S., Nicolis G., "Dynamics of the Schlogl Models on Lattices of Low Spatial Dimension" // Journal of Statistical Physics, 1997, V. 86, P. 1289.

17. Brieger L., Bonomi E., "A stochastic cellular automation simulation of the non-linear diffusion equation" // Physica D, 1991, V. 47, № 1-2, P. 159.

18. Gerhardt M., Schuster H., Tyson J.J., "A cellular automation model of excitable media including curvature and dispersion" // Science, 1990, V. 247, P. 1563.

19. Markus M., Hess В., "Isotropic cellular automaton for modelling excitable media" // Nature, 1990, V. 347, P. 56.

20. Prakash S., Nicolis G., "Dynamics of fluctuations in a reactive system of low spatial dimension" // Journal of Statistical Physics, 1996, V. 82, № 1-2, P. 297.

21. Schepers H.E., Markus M., "Two types of performance of an isotropic cellular automaton: stationary (Turing) patterns and spiral waves" // Physica A,1992, V. 188, P. 337.

22. Vanag V.K., Nicolis G., "Nonlinear chemical reactions in dispersed media : The effect of slow mass exchange on the steady-state of the Schlogl models" // Journal of Chemical Physics, 1999, V. 110, P. 1.

23. Greeberg J.M., Hastings S.P., "Spatial Patterns for Discrete Models of Diffusion in Excitable Media" // SIAM Journal on Applied Mathematics, 1978, V. 34, P. 515.

24. Maselko J., "Mosaic Patterns Formation in Multicellular Chemical Systems" // Journal of Physical Chemistry, 1995, V. 99, P. 2949.

25. Provata A., Turner J.W., Nicolis G., "Nonlinear Chemical Dynamics in Low Dimensions: An Exactly Soluble Model" // Journal of Statistical Physics,1993, V. 70, №5-6, P. 1195.

26. Гулд X., Тобочник Я., "Компьютерное моделирование в физике". — М.: Мир, 1990. Ч. 2.

27. Ванаг В.К., "Исследование пространственно распределённых динамических систем методами вероятностного клеточного автомата" // Успехи физических наук, 1999, Т. 169, № 5, С. 481.

28. Тоффоли Т., Марголус Н., "Машины клеточных автоматов". — М.: Мир, 1991.

29. Gutowitz Н., "Cellular Automata and The Sciences of Complexity, Part II" // Complexity, 1996, V. 1, P. 29.

30. Gutowitz H., "Cryptography with Dynamical Systems" // Cellular Automata and Cooperative Phenomena / Eds Goles E., Boccara N. R. — New York: Kluwer, 1993.

31. Chen S. et. al., "Lattice gas models for nonideal gas fluids" // Physica D, 1991, V. 47, № 1-2, P. 97.

32. Poschel Т., Freund J.A., "Cluster statistics and traffic on a lattice" // Stochastic Dynamics / Eds. Schimansky-Geier L., Poschel T. — Berlin: Springer, 1997. — P. 220.

33. Markus M. et al., "Class 4 Cellular Automata Simulating Diverse Physical Systems" // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1996, V. 6, P. 1817.

34. Gutowitz H., "Cellular Automata and The Sciences of Complexity, Part I" // Complexity, 1996, V. 1, P. 16.

35. Meinhardt H., "Biological Pattern Formation as a Complex Dynamic Phenomenon" // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1997, V. 7, № 1, P. 1.

36. Deutsch A., "Orientation-Induced Pattern Formation: Swarm Dynamics in a Lattice-Gas Automaton Model" // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1996, V. 6, P. 1735.

37. Stampfle M., "Cellular Automata and Optimal Path Planning" // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1996, V. 6, № 3, P. 603.

38. Мчедлова E.C., Трубецков Д.И. "Особенности излучения в цепочках связанных малых объемов, содержащих электроны-осцилляторы" // ЖТФ, 1994, Т. 64, № 10, С. 158.

39. Анфиногентов В.Г., "Взаимодействие когерентных структур и хаотическая динамика в электронном потоке с виртуальным катодом" // Письма в ЖТФ, 1995, Т. 21, № 8, С. 70.

40. Короновский А.А., Храмов А.Е., Анфиногентов В.Г., "Феноменологическая модель электронного потока с виртуальным катодом" // Изв. РАН Сер. Физическая, 1999, Т. 63, № 12, С. 2355.

41. Domany Е., Kinzel W., "Equivalence of Cellular Automata to Ising Models and Directed Percolation" // Physical Review Letters, 1984, V. 53, P. 311.

42. Kinzel W., "Phase Transitions of Cellular Automata" // Zeitschrift fur Physik В Condensed Matter, 1985, V. 58, № 3, P. 229.

43. Gruner D., Kapral R., Lawniczak A., "Nucleation, Domain Growth, and Fluctuations in a Bistable Chemical System" // Journal of Chemical Physics, 1993, V. 99, P. 3938.

44. Kapral R., Lawniczak A., Masiar P., "Reactive Dynamics in a Multispecies Lattice-Gas Automaton" // Journal of Chemical Physics, 1992, V. 96, P. 2762.

45. Kapral R., Wu X-G., "Internal Noise, Oscillations, Chaos and Chemical Waves". // Chemical Waves and Patterns / Eds Kapral R., Showalter K. — New York: Kluwer, 1995. P. 609.

46. Kapral R., Wu X-G., "Stochastic Description of Temporal and Spatial Dynamics of Far-from-Equilibrium Reactions" // Journal of Physical Chemistry, 1996, V. 100, № 49, P. 18976

47. Wu X-G., Kapral R., "Effects of Molecular Fluctuations on Chemical Oscillations and Chaos" // Journal of Chemical Physics, 1994, V. 100, P. 5936.

48. Lawniczak A. et. al., "Reactive lattice gas automata " // Physica D, 1991, V. 47, № 1-2, P. 132.

49. Dab D., et al., "Cellular-Automaton Model for Reactive Systems" // Physical Review Letters, 1990, V. 64, P. 2462.

50. Dab D., Boon J-P., Li Y-X., "Lattice-Gas Automata for Coupled Reaction-Diffusion Equations" // Physical. Review Letters, 1991, V. 66, P. 2535.

51. Kapral R., Lawniczak A., Masiar P., "Oscillations and Waves in a Reactive Lattice-Gas Automaton" // Physical Review Letters, 1991, V. 66, P. 2539.

52. Baras F., Malek Mansour M., "Microscopic Simulations of Chemical Instabilities" // Advances in Chemical Physics / Eds Prigogine I., Rice S.A. New York: Wiley, 1997. - V. 100. - P. 393.

53. Baras F., Malek Mansour M., "Reaction-diffusion master equation: A comparison with microscopic simulations" // Physical Review E, 1996, V. 54, P. 6139.

54. Bird G.A., "Molecular Gas Dynamics". — Oxford: Clarendon, 1976.

55. Baras F., "Stochastic Analysis of Limit Cycle Behavior in Spatially Extended Systems" // Physical Review Letters, 1996, V. 77, № 7, P. 1398.

56. Vanag V.K., "Probability Cellular Automaton-Aided Modeling of the Stirring Effect in the Autocatalytic Step of the Belousov-Zhabotinsky Reaction" // Journal of Physical Chemistry, 1996, V. 100, P. 11336.

57. Vanag V.K., "Investigation of the Stochastic Oregonator by the Probability Cellular Automation: Frequency-Multiplying Bifurcation" // Journal of Physical Chemistry A, 1997, V. 101, P. 7074.

58. Nicolis G., Prigogine I., "Self-Organization in Nonequilibrium Systems: From Dissipative Structures to Order through Fluctuations". — New York: Wiley, 1977.

59. Kuramoto Y., "Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence". — Berlin: Springer-Verlag, 1984.

60. Belousov В.P., "A Periodic Reaction and its Mechanism" // Oscillations and Traveling Waves in Chemical Systems / Eds Field R.J. and Burger M. — New York: Wiley, 1985.

61. Жаботинский A.M., "Концентрационные колебания". — M.: Наука, 1974.

62. Ertl G., Norton P.R. and Rustig J., "Kinetic Oscillations in the Platinum-Catalyzed Oxidation of CO. // Physical Review Letters, 1982, V. 49, P. 177.

63. Ertl G., "Oscillatory Kinetics and Spatiotemporal Selforganization in Reactions at Solid Surfaces" // Science, 1991, V. 254, P. 1750.

64. Wintterlin J., " Scanning Tunneling Microscopy Studies of Catalytic Reactions" // Advances in Catalysis, 2000, V. 45, P. 131.

65. Imbihl R. and Ertl G., "Oscillatory Kinetics in Heterogeneous Catalysis" // Chemical Review, 1995, V. 95, P. 697.

66. Voss C. and Kruse N. "Chemical Wave Propagation and Rate Oscillations During the N02/H2 Reaction Over Pt / / Ultramicroscopy, 1998, V. 73, P. 211.

67. Slinko M., Fink Т., Loher Т., Madden H.H., Lombardo S.J., Imbihl R. and Ertl G. "The NO + H2 Reaction on Pt{ 100) Steady-State and Oscillatory Kinetics 11 Surface Science, 1992, V. 264, P. 157.

68. Zhdanov V.P., "Surface Restructuring, Kinetic Oscillations and Chaos in Heterogeneous Catalytic Reactions" // Physical Review E, 1999, V. 60, P. 7554.

69. Zhdanov V.P., "Surface Restructuring and Kinetic Oscillations in Heterogeneous Catalytic Reactions" // Physical Review E, 1999, V. 59, P. 6292.

70. Voss C., Kruse N. "Field Ion Microscopy During an Ongoing Surface Reaction: NO/H2 on Pt" // Applied Surface Science, 1994, V. 87-88, P. 127.

71. Albano E.V., "Monte Carlo Simulations of Surface Chemical Reactions: Irreversible Phase Transitions and Oscillatory Behaviour" // Computer Physics Communications, 1999, V. 121-122, P. 388.

72. Albano E.V., Marro J.,"Monte Carlo Study of the СО-poisoning Dynamics in a Model for the Catalytic Oxidation of CO " // Journal Chemical Physics, 2000, V. 113, P. 10279.

73. Frachebourg L., Krapivsky P.L. and Ben-Naim E., "Spatial Organization in Cyclic Lotka-Volterra Systems" // Physical Review E, 1996, V. 54, № 6 P. 6186.

74. Provata A., Nicolis G. and Baras F., "Ocillatory Dynamics in Low-Dimensional Supports: A lattice Lotka-Volterra Model" // Journal of Chemical Physics, 1999, V. 110, P. 8361.

75. Tretyakov A., Provata A., Nicolis G., "Nonlinear Chemical Dynamics in Low-Dimensional Lattices and Fractal Sets" // Journal of Physical Chemistry, 1995, V. 99, P. 2770.

76. Mobilia M., Georgiev I.T. and Tauber U.C., "Phase Transitions and Spatio-Temporal Fluctuations in Stochastic Lattice Lotka-Volterra Models" // Journal of Statistical Physics, 2006, V. 128, P. 447.

77. Lotka A.J., "Elements of physical biology". — Baltimore: Williams and Wilkins, 1925.

78. Volterra V., "Legons sur la Theorie Mathematique de la Lutte Pour la Vie". — Paris: Gauthier-Villars, 1931.

79. Murray J.D., "Mathematical Biology". — Berlin: Springer, 1993.

80. Monetti R., Rozenfeld A., Albano E., "Study of Interacting Particle Systems: The Transition to the Oscillatory Behavior of a Prey-Predator Model." // Physica A, 2000, № 283, P. 52.

81. Antal Т., Droz M., Lipowski A. and Odor G., "Critical Behavior of a Lattice Prey-Predator Model" // Physical Review E, 2001, V. 64, P. 036118.

82. Droz M. and Pekalski A., "Different Strategies of Evolution in a Predator-Prey System" // Physica A, 2001, V. 298, P. 545.

83. Satulovsky J.E. and Tome Т., "Spatial Instabilities and Local Oscillations in a Lattice Gas Lotka-Volterra Model" // Journal of Mathematical Biology, 1997, V. 35, P. 344.

84. Spagnolo В., Cirone M., La Barbera A. and De Pasquale F., "Noise-Induced Effects in Population Dynamics" // Journal of Physics: Condensed Matter, 2002, V. 14, P. 2247.

85. Ben-Jacob E., Shochet O., TenenBaum A., Cohen I., Czirok A. and Vicsek Т., "Generic Modelling of Cooperative Growth Patterns in Bacterial Colonies" // Nature, 1994, V. 368, P. 46.

86. Deneubourg J.L., Lioni A. and Detrain C., "Dynamics of Aggregation and Emergence of Cooperation" // Biological Bulletin, 2002, V. 202. № 3, P. 262.

87. Saffre F. and Deneubourg J.L., "Swarming Strategies for Cooperative Species" // Journal of Theoretical Biology, 2002, V. 214, № 3, P. 441.

88. Tokita K., "Statistical Mechanics of Relative Species Abundance" // Ecological Informatics, 2006, V. 1, № 3, P. 315.

89. Valenti D., Schimansky-Geier L., Sailer X., Spagnolo B. and Iacomi M., "Moment Equations in a Lotka-Volterra Extended System with Time Correlated Noise" // Acta Physica Polonica B, 2007, V. 38, № 5, P. 1961.

90. Reichenbach Т., Mobilia M. and Frey E., "Coexistence Versus Extinction in the Stochastic Cyclic Lotka-Volterra Model" // Physical Review E, 2006, V. 74, P. 051907.

91. Abta R., Schiffer M. and Shnerb N.M., "Amplitude-Dependent Frequency, Desynchronization and Stabilization in Noisy Metapopulation Dynamics" // Physical Review Letters, 2007, V. 98, P. 098104.

92. Washenberger M.J., Mobilia M. and Tauber U.C., "Influence of Local Carrying Capacity Restrictions on Stochastic Predator-Prey Models" // Journal of Physics: Condensed Matter, 2007, V. 19. P. 065139.

93. May R.M., "Stability and Complexity in Model Ecosystems". — Princeton: Princeton University Press, 1973.

94. Хакен Г., "Синергетика". — M.: Мир, 1980.

95. Neal D., "Introduction to Population Biology". — Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

96. Maynard Smith J., "Models in Ecology". — Cambridge: Cambridge University Press, 1974.

97. Короновский А.А., Трубецков Д.И., "Нелинейная динамика в действии: как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки". — Саратов: ГосУНЦ "Колледж 2002.

98. Kacperski К., Holyst J.A., "Opinion Formation Model with Strong Leader and External Impact: a Mean Field Approach" // Physica A, 1999, V. 269, P. 511.

99. Kacperski K., Holyst J.A., "Phase Transitions as a Persistent Feature of Groups with Leaders in Models of Opinion Formation" // Physica A, 2000, V. 287, № 3-4, P. 631.

100. Holyst J.A. and Potrzebowski A., "Heterogeneous agents model for stock market dynamics: role of market leaders and fundamental prices"

101. Practical Fruits of Econophysics (Proceedings of the Third Nikkei Econophysics Symposium) / Ed. Takayasu H. — Tokyo: Springer, 2006. — № 3. P. 189.

102. Granger C.W.J., Terasvirta Т., "Modeling Nonlinear Economic Relationships" // New York: Oxford University Press, 1993.

103. Занг В.Б., "Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории". — М.: Мир, 1999.

104. Kerr В., Riley М.А., Feldman M.W. and Bohannan J.M., "Local Dispersal Promotes Biodiversity in a Real-Life Game of Rock-Paper-Scissors" // Nature, 2002, V. 418, P. 171.

105. Kirkup B. and Riley M.A., "Antibiotic-Mediated Antagonism Leads to a Bacterial Game of Rock-Paper-Scissors in vitro" // Nature, 2004, V. 428, P. 412.

106. Liggett T.M., "Interacting Particle System". — New York: Springer, 1985.

107. Ben-Nairn E., Frachebourg L., and Krapivsky P.L., "Coarsening and Persistence in the Voter Model" // Physical Review E, 1996, V. 53, P. 3078.

108. Ziff R.M., Gulari E., Barshad Y., "Kinetic Phase Transitions in Irreversible Surface-Reaction Model" // Physical Review Letters, 1986, V. 56, P. 2553.

109. Frachebourg L. and Krapivsky P.L., "Exact Results for Kinetics of Catalytic Reactions" // Physical Review E, 1996, V. 53, P. R3009.

110. Hofbauer J. and Sigmund K., "Evolutionary Games and Population Dynamics". — Cambridge: Cambridge University Press, 1998.

111. Gillespie D.T., "Exact Stochastic Simulation of Coupled Chemical Reactions" // Journal of Physical Chemistry, 1977, V. 81, P. 2340.

112. Gause G.F., "The Struggle for Existance". — Baltimore: William and Wilkins, 1934.

113. Luckinbill L.S., "The Effect of Space and Enrichment on a Predator-Prey System" // Ecology, 1974, V. 55, P. 1142.

114. Feller W., "An Introduction to Probability Theory and its Application". — New York: Wiley, 1968. V. 1, 3rd ed.

115. Briggs C.J. and Hoopes M.F., "Stabilization Effects in Spatial Parasitoid-Host and Predator-Prey Models: a Review" // Theoretical Population Biology, 2004, V. 65, P. 299.

116. Turing A.M., "The Chemical Basis of Morphogenesis" // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B. Biological Sciences, 1952, V. 237, № 641, P. 37.

117. Murray J.D., "A Pre-Pattern Formation Mechanism for Animal Coat Marking" // Journal of Theoretical Biology, 1981, V. 88, № 1, P. 161.

118. Murray J.D. and Maini P.K., "A New Approach то the Generation of Pattern and Form in Embryology" // Science Progress, 1986, V. 70, № 280, Part 4, P. 539.

119. Рабинович М.И., Трубецков Д.И., "Введение в теорию колебаний и волн". — Москва, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000.

120. Jansen V.A.A., "Regulation of Predator-Prey Systems through Spatial Interactions: A Possible Solution to the Paradox of Enrichment" // Oikos, 1995, V. 74, P. 384.

121. Murdoch W.W., Oaten A., "Predation and Population Stability" // Advances in Ecological Research, 1975, V. 9, P. 1.

122. Murdoch W.W., Briggs C.J., Nisbet R.M., Gurney W.S.C., Stewart-Oaten A., "Aggregation and Stability in metapopulation model" // American Naturalist, 1992, V. 140, P. 41.

123. Hassell M.P., May R.M., "Spatial Heterogeneity and the Dynamics of Parasitoid-Host Systems" // Annales Zoologici Fennici, 1988, V. 25, P. 55.

124. Allen J.C., "Mathematical Models of Species Interactions in Space and Time" // American Naturalist, 1975, V. 109, P. 319.

125. Reev J.D., "Stability, Variability, and Persistence in Host-Parasitoid systems" // Ecology, 1990, V. 71, P. 422.

126. Crowley P.H., "Dispersal and the Stability of Predator-Prey Interactions" // American Naturalist, 1981, V. 118, P. 673.

127. Tsekouras G.A. and Provata A., "Fractal Properties of the Lattice Lotka-Volterra Model // Physical Review E, 2002, V. 65, art. no 016204.

128. Morelli L.G., Zanette D.H., "Synchronization of Stochastically Coupled Cellular Automata" // Physical Review E, 1998, V. 58, № 1, P. R8.

129. Wood K., Van den Broeck C., Kawai R., and Lindenberg K., "The Universality of Synchrony: Critical Behavior in a Discrete Model of Stochastic Phase Coupled Oscillators" // Physical Review Letters, 2006, V. 96, P. 145701.

130. Szabo G. and Fath G., "Evolutionary Games on Graphs" // Physics Reports, 2007, V. 446, P. 97.

131. Szabo G., Szolnoki A., and Izsak R., "Rock-Scissors-Paper Game on Regular Small-World Networks" // Journal of Physics A: Mathematical and General, 2004, V. 37, P. 2599.

132. Kuperman M. and Abramson G., "Small World Effect in an Epidemiological Model" // Physical Review Letters, 2001, V. 86, P. 2909.

133. Публикации по теме диссертации

134. Efimov A., Shabunin A., Astakhov V. and Provata V., "Chaotic dynamics of chemical reactions in low dimensional substrates: Mean-Field and Monte Carlo approaches" // Изв. вузов Прикладная нелинейная динамика, 2003, Т. 11, № 2, С. 72.

135. Shabunin A.V., Efimov A.V., Tsekouras G.A. and Provata A., "Scaling, cluster dynamics and complex oscillations in a multispecies Lattice Lotka-Volterra model" // Physica A, 2005, V. 347, P. 117.

136. Ефимов А.В., Шабунин А.В., "Формирование и развитие пространственных структур в системе химических реакций на каталитической решётке: моделирование методом Монте-Карло" // Изв. вузов Прикладная нелинейная динамика, 2006, Т. 14, № 2, С. 47.

137. Efimov A., Shabunin A. and Provata A., "Synchronization of stochastic oscillations due to long-range diffusion" // Physical Review E, 2008, V. 78, № 5, P. 056201.

138. Ефимов А.В., Шабунин А.В., "Влияние перемешивания и диффузии на пространственно-временную динамику в стохастической системе Лотки-Вольтерры с дискретным фазовым пространством" // Изв. вузов Прикладная нелинейная динамика, 2009, Т. 17, N2 1, С. 57.

139. Shabunin A. and Efimov A., "Lattice Lotka-Volterra model with long range mixing" // The European Physical Journal B, 2008, V. 65, № 3, P. 387.

140. Ефимов А.В., Шабунин А.В., "Хаотическая динамика химических систем в пространстве низкой размерности" // Труды научной студенческой конференции физического факультета СГУ, изд. Саратовского университета, 2003, С. 9.

141. Ефимов А.В., "Анализ динамики каталитических реакций на поверхности методом Монте-Карло" // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003", изд. ГосУНКЦ "Колледж", 2003, С. 278.

142. Ефимов А.В., "Компьютерное моделирование динамики химически активных сред" // Труды научной студенческой конференции физического факультета СГУ, изд. Саратовского университета, 2004, С. 21.

143. Ефимов А.В., Шабунин А.В. "Процессы кластерообразования в химически активных средах" // Материалы VII международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур", изд. ГосУНКЦ "Колледж", Саратов, 1-6 октября, 2004, С. 133.

144. Ефимов А.В., "Синхронизация в ансамбле стохастических осцилляторов в системе (4+l)-Lattice Lotka-Volterra с внешним перемешиванием" // Нелинейные волновые процессы: Конференция молодых учёных, Н. Новгород, 1-7 марта, 2006, С. 53.