Колебания в механических системах с сухим трением тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

київський паліттічіМ інститут

З правами рукопису КИСЛИЙ ОЛЕКСАНДР ОЛЕКСАНДРОВИЧ

. УДК 621.534

КОЛИВАННЯ В МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМАХ ІЗ СУХИМ ТЕРГЯІ1

Спеціальність 01.02.06 - дінаиика, міцність машин, приладів га апаратури '

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття вченого ступеню доктора технічних наук

Київ - 1993

Робота виконана у Хмельницькому вищому артилерійському командному училищі - - •

Офіиійні опоненти: - академік Академії технологічних наук України засл.діяч науки і техн.України, доктор технічних наук, процесор ПАВЛОЗСЬНИЙ М.А.

- академік Транспортної Академії України, засл діяч науки і техн. України, доктор технічних наук, професор РАССКАЗОВ 0.0.

- доктор фізико-математичних наук, професор КШ Я.Ф.

Ведуча організація:- Київський інженерно-будівельний інститут, кафедра теоретичної механіки .

Захист відбудеться " \ » О З ____________І99Г; р. о 15 годині

на засіданні спеціалізованої вченої Ради АО&8.4Ч.ОЧ в Київському політехнічному інституті за адресо»:

25сОЬ6, м.Київ, пр.Перемоги 37, КПІ, корп.І, ауд.ІСб

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці інституту.

Автореферат розіслано ___1993 р.

Вчений секретар ' спеціалізованої вченої Ради к.т.н.,доцент

Ониаенко 6.Є.

АНОТАЦІЯ

Метою даної роботи с знаходження і аналіз точних розв'язків вихідних диференціальних рівнянь для'різних видів коливальних рухів, що враховують вплив сил сухого тертя, без заміни його еквівалентним в'язким. При ньому розглянуті випадки опору як у вигляді тільки сухого тертя, так і спільної дії з ним в'язкого в одно та багатомасових системах. Для розв'язку подібних задач в даній роботі запропоновано спосіб затримки сигнум-функиії.

Теоретично обгрунтовано і еквперіментально підтверджено, що при вимушених коливаннях сухе тертя відіграє роль фільтра, який пропускає коливання тільки строго визначеного діапазону частот. Останні зручно визначати при допомозі графіка гило-частотних характеристик.

Показано, що в ряді автоколивальних систем з сухим і в'язким тертям існує співвідношення між параметрами, при дотриманні якого в таких системах відразу ж настає усталений режим, минаючи перехідний процес.

Встановлено,що якщо в параметричних коливаннях змінною є маса, то її зростання приводить до збільшення періодів коливань, а убування т до зменшення періодів. Розмахи коливань для зростаючої маси залежать від величини сили в'язкого і сухого тертя і можуть ' спадати, зростати або залишаться постійними. При зменшуючій масі розмахи коливань убувають.

Показано використання виявлених властивостей сухого тертя в ряді галузей техніки. Застосування демпферів сухого тертя в динамічних гасителях коливань при певних співвідношеннях параметрів приводить до того, що не тільки основна система, але і динамічній гаситель залишаються нерухомими. Для сейсмічних зон запропоновано конструкцію споруд із суцільним поясом з елементів сухого тертя, яка не реагуй на дію виникаючих при ¡землетрусі найбільш небезпечних поперечних хвиль. Такі конструкції вже знайшли своє застосування при будівництві сейсмостійких споруд.

- 2 -

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА. РОБОТИ

Актуальність проблеми. Дня точного розв'язку задач на коли-Еання систем із сухим тертям використовують звичайний метод зшивання, що дозволяв визначити закони руху тільки на окремих ділянках. Наявність у вихідних диференціальних рівняннях кусково-лінійної функції що характерізуе сухе тертя, не дозволяло до

нього часу одержати та проаналізувати навіть найпростіші неперервні закони таких коливальних рухів.

В зв’язку з шм сухе тертя заміняють еквівалентним в'язким, прирівнюючи відповідні площі петель гістерезисе. Однак така заміна в багатьох випадках не виправдана, оскільки в’яаке і сухе тертя мають різну фізичну природу і по-різному впливають на основні характеристики як власних, так і вимушених коливань. Більш того, площа петлі гістерезисе при в'язкому терті пропориіональна квадратові амплітуди, а при сухому - ії першому стулено. Через те, що сухе тертя наявне в багатьох коливальних системах, а іноді с і визначальним, то його облік дозволяє суттєво наблизити розрахункову схему до реальної.

! Піль -роботи. Одержати неперервні закони руху для різних коливальних процесів в системах як з окремо взятим сухим, так і при поєднанні з ним в’язкого тертя. Здійснити при цьому теоретико-екс-перименгальні дослідження властивостей, що відрізняють сухе тертя і запропонувати їх використання в ряді галузей техніки. ’

Наукова новизна, запропоновано спосіб знаходження неперервного розв’язку диференціальних рівнянь при наявності періодичних кусково-лінійну»: функцій типу . З допомогою цього способа

вперше одеркаю точний розв’язок задач механіки для вільних коливань систем з сухим та в'язким тертям. Яри ньому виведено, неперер вне рівняння фазової траєкторії.

Одержано закон вкмупеннкх коливань в системах із сухим тертям. Лри цьому встановлено, що ией вид тертя є фільтром, що пропускає вимушені коливання строго визначеного діапазону частот. А додавання в’язкого тертя до сухого звужує пропускні ділянки нього фільтра. Показано одержання розв’язків і для систем із скінченний числом ступенів вільності. .

В автоколивальній системі з сухим і в’язким тертям виведено неперероніїй закон руху при дії як симетричної, так і несиметричне підштовхуючої сили.

- З -

Він дозволяє описати не тільки перехідний процес, але і усталений режим. Приведене співвідношення між параметрами системи, при дотриманні якого в ній відразу ж діє усталений режим, минаючи перехідний пропес. :

При розгляді параметричних колиаань вперте одержано неперервний закон руху системи з урахуванням дії як в’язкого, так і сухого тертя для одного із законів зростаючої та зменшуваної маси.

Практичне значення і реалізація, результатів. В результаті проведення теоретико-експеридонтаяьних досліджень запропоновано використання віяяленних в даній роботі властивостей сухого тертя в ряді галузей техніки. Зокрема, застосування в динамічному гасителі коливань демпферів сухого тертя сприяє появі як зони інерційного застоя, гак і додаткової ангирезонансної частоти в основній системі. При допомозі запропонованого способу затримки сигнум-фушшії визначені залежності між параметрами, при призначенні яких не тільки основна система, але і динамічний гаситель коливань залишаються нерухомими .

Однак найбільший ефект дає використання зон інерційного застою при будівництві сейсмостійких споруд. Яюцо вільно покласти вершо частину будинку на фундамент, а між ними розташувази елемент сухого тертя, то період власних коливань верхньої частини, як коливальника, для звичайних розмірів будівлі перебувае в межах 5-Х7с. Це в десятки разів перевищує період коливань жорских споруд, який практично дорівнює періоду найбільш небезпечних сейсмічних «? -хвиль (0,1-2 с). Отже відношення цих частот відповідає глибокій зоні інерційного застою і тому верхня частина споруди нз встигає реагувати на такі хвилі і заливається нерухомою.

Вказані конструкції, основані на використанні виявлених властивостей сухого тертя, вже знайшли своє застосування при будів-кнптві сейсмостійких споруд в м.Ялті та м.Спітану.

Одержані неперервні розв’язки вільних, вимушених, параметричних і автоколивань в системах із сухш тертяк можна використати і при викладі теорії коливань в навчальному процесі.

Апробація результатів. Основні результати роботи доповідалися і обговорювались на ХУ Республіканській кокфзрениії з питань розсіяння енергії при коливаннях механічних систем (Кам’яиець-По-діяьськкй, 1969 р„), на всесоюзній конференції з нетрадиційних систем сейсмозахисту будівель і споруд (Севастополь, 1990 р.), ка <*

конференції по захисту машин від вібрації (Челябінськ, 1990 р.), на дев’ятій Європейській конференції з сейсмостійкого будівництва (Москва, 1990 р.), на конференції з динаміки і сейсмостійкості будівель і споруд з нетрадиційним сейсмозахистом (Севастополь,

1992 р.), а також на наукових семінарах кафедр теоретичної механіки Київського інженерно-будівельного інституту (1988 р,) і Київського політехнічного інституту (1992 р, 5. ... :

Публікування результатів. Основні результати даної дисертаційної роботи викладені і опубліковані в 25 наукових роботах автора.

Об’єм роботи. Дисертація складається із. вступу, семи глав, загальних висновків і заключения, списка літератури із 102 найменувань і додатка. Вона містить 296 сторінок, в тому числі 206 сторінок тексту, 61 сторінка малюнків, 16 сторінок таблиць і 9 сторінок списку літератури. Дана робота виконана на кафедрі прикладної механіки Хмельницького вищого артилерійського командного училища.

. А

КОРОТКИЙ ЗМІСТ РОБОТИ ■ . .

Дослідженню тертя при коливальних рухах різних систем присв’-ячена велика кількість робіт, серед яких слід виділити роботи Да~ виденка H.H., Дубинин B.F., Василенка Ы.З., Крагельського І.В., Матвеева В.В., Павловсьного Ы.А., Пановка Я.Г., Писаренка Г.С., Сорокіна Є.С., Хильчевського В.В. на інших. В цих роботах вказува-, лося, що в коливальних системах заводи присутні різні види тертя. Однак для зручності розв’язку вихідних диференціальних рівнянь , олір рухові в подавляючій більшості випадків приймався у вигляді сил в’язкого тертя. Якщо ж доводилось враховувати інший вид тертя

- сухе, яке часто я визначальним, то його як правило, заміняли еквівалентним в'язким, докорінно спотворюючи при цьому фізичну каротину явищ. . .

Слід відмітити, що в роботах Андронова 0.0., Баженова В.A., Булгакова В.В., Бутеніна Ы.В., Вітта O.A., Гуляева В.1., Ден Гар-тоги Дж., Каннігхема В., Лізунова П.П., Ыагнуса К., Хайкіна С.Е. ‘ та інших розглядалися коливальні рухи різних систем з врахуванням сил сухого тертя. І при точному його врахуванні одержували розв'язок тільки на окремих ділянках і при русі системи від одного з крайніх ії положень. ...

Для одержання неперервного розв’язку подібних кусково-ліній-

- 5 -

них рівнянь в даній роботі запропоновано спосіб затримки сигнум-функиії, СМИСЛ якого полягає в слідуючому. Із довільного положення системи розглядають спочатку пертий розмах коливань і знахо-< дйть закон руху, я якому постійні величини виражені через та Потім знаходять час до перлої зупинки . Далі роз-

глядають наступні розмахи коливань, в яких постійні величини виражені через початкові умови , , а також через номер розмаху ко-

ливань /Ь . При цьому функцію 9^^«-не зам*шем0 ка величину М)Л або відношенням Ы/4*. , а залишаємо (затримуємо). І в результаті переходу від часткового до загального знаходимо непе-реревний розв’язок.

Відомо, що при дії сухого тертя коливальний процес спостерігається тільки до певного моменту часу,починаючи з яного дана ■ система потрапляв в зону застои. Яшцо вважати, що цьому проміжкові часу відповідач номер розмаху коливань М , то вихідне рівняння осцилятора з сухим і в'язким тертям можна представити у вигляді

де - узагальнена координата, /71 і с - відповідно інерцій-

ній та квазіпружний коефіцієнти; ^ - коефіцієнт в'язкого опору, рг - сила кулонового тертя. Використовуючи спосіб затримки сиг-нум-функції, можна знайти неперервний розв’язок рівняння (І) у вигляді

<\Л=Ш)Є~ и>

де ; Цд-ІиОф та $~ ру/с . При сьому

оіїркі 0ядіп-і)/и) п.

_______ , -/ , (3)

Тут & та о£ - постійні величини.

а= {{%ЛщщІЇ+£кИ%+№8Ц0)] Vі

+„_,,

~%+Н%+(і'зСдп%)

Час до першої зупинки ±і га поточний номер розмаху коливань Я, визначають відповідно за формулами

При цьому дробова величина ЇЬ округляється до більшого числа. Швидкість системи та її прискорення в будь-який момент часутЬ рівні ,

[і+§(^Лі^У^(ї^і:§ау=|соХ>(п.)]^

Така крива має вигляд спіралі, що скручується. В ній є не одна особлива точка, а безліч, розташованих на відрізку, що сполучає координати ( —(У, 0 ) та ( + (?, 0 ). При зображенні такої траєкторії відпацаї необхідність будувати її окремо для верхньої та нижньої напіБлоцин або розрізати і взаємно зсувати згадані напівплоіцини, як не робили раніше.

(5)

Зі

Іі^Р(гі)6~ [а) азв(ооШ)~^іп(ШМ)]

Неперервне рівняння фазової траєкторії при сумісній дії сил сухого тертя і в'язкого насзува« форму '

(7)

- 7 -

При дії тільки сухого тертя ( д-0 ) закон вільних коливань набуває форми -

[а - гЛач)] м)-Ліда у«

Це рівняння, як і (2), описуз затухаючи коливання. При ньому переміщення також будуть неперервними, оскільки стрибок величини в місиях зміни знака швидкості компенсується величино» першого доданка за рахунок зміни номера розмаху коливань Я . Швидкість системи і рівняння фазової траехторіі, як і у випадку змішаного тертя, будуть також неперервні. Що стосується прискорення системи, то воно, в місцях зміни знака швидкості зазнав розриву, величина якого дорівнюй І^/ПІ .

- Слід відмітити, що функцію зручно використовувати і

при розгляді іншої, такох нерозв'язаної задачі . про визначення довжини шляху, пройденого системою при її коливальному русі. Подібні питання зустрічаються при визначенні довговічності, інтенсивності зношування деталей, тощо. Ввадаючи, що маса коливальної системи зостережена в одній точці, величину довжини шляху тертя ¿» можна визначити за формулою

' (9)

. . . *•

де ОСи і ОСц - відповідно початкове та кінцеве положення точки.

Як слідує із (9), числове значення величини Ь при любому знаку швидкості завжди додатне. Зокрема для системи з сухим та в'язким тертям

■ -Лв(ПЧ)/а)

1-е

«т^е-^г , і~9

1-Є

-ЯТ#{пЧУи)

-Іїв/и)

1-е

~ЛЇ/ со

(1-1

1-е

'Лв/и)

(10)

де А\ - максимальне відхилення при першому розмаху коливань. Якщо потрібно визначити довжину шляху до повної зупинки системи, то кількість розмахів при цьому

лИ

і]

«І?

А при дії тільки одного сухого тертя

(і'х-ОіБ (і + Ал/$),

При розгляді вільних коливань механічної системи з ^ ступенями вільності з урахуванням сил сухого тертя в іхідні диференціальні рівняння в матрічній формі мають вигляд

[й]{§ + [с]{^+[(ІЗ{зіда^}=0.

(ІЗ)

Тут СІ} - симетрична матриия сухого демпфування та{$І9П.^ матриия-стовпчик знака швидкостей.

(1« (ііг • • •

ш=

(І$і (і

$1

а

Й

ЖЬ

лдиі}, - *

114)

Крім того, СО.і іССЗ відповідно симетричні< матриці інерційних та квазіпружнюс коефіцієнтів, а Ш і Н’З - матрииі-стовпчики узагальненої координати,прискорення. При визначенні власних частот 60£ враховувалась та обставина, що сухе тертя не впливає на їх величину, але-змінюй амплітуди коливань. Це даз можливість одержати закон зміни узагальненої координати, який при допомозі коефіцієнтів власних форы можна представити у виді

[нкіА(і

І~1 ’ (15)

(ІС~1,2,,..., 5 і і-і 2.,..., 3)

Тут Дії та 0^{ - постійні величини, які визначають звичайним

шляхом. В цілому к закон руху (15) описує згасаючи коливання.

Вказаний принцип знаходження власних частот застосувався і при розгляді вільних коливань в системах із -5 ступеням;' вільності при сумісній дії сухого та в'язкого тертя. При вшуаених коливаннях механічних систем з сухим (а також і при поєднанні з ним в'язким) тертям характер коливань задєжить від виду змушуючої сили. Якщо остання.є лінійно зростаючою/ікпульсквною або раптово прикладною і надалі зберігаючою постійне значення навантаження, то спостерігаються згасаючі коливання.“

При дії гармонічної змушуючої сади на одномасову систему, із сухим тертям вихідне рівняння коливань мая вид

і* «.V С- ГгЩП- (рм)] /лі, (16)

де Н - амплітуда змушуючої сили, Р та X - відповідно ії частота і початкова фаза. Застосовуючи спосіб затримки сигнум-функцїї, можна одержати розв'язок рявнання (16) при и)с^/> у формі

^=[й-2Ла-0]5ілК^)

Це рівняння описує закон коливального руху тільки на протязі перехідного процесу. З нього, зрештою, кожна, одержати і закон стаціонарних коливань (для сталого режиму) у вигляді

іщя[и>3{риу)].

- то -

Відповідно швидкість і прискорення таких коливань будуть

' (19)

*$іа[і(рі±ч>)]8сдк[со$(р£+Ч’)]

105 (20)

і.шШрН^Із^гіГад^+ч1)! .

На рис.І представлю графік переміщень, котрі описуються рівнянням (їй) при таких даних с'-0,0^/Лі; Ш0~1^СЧ; И/(ГІІІ =0,05/4^

Р=8с-<. Для порівняння на рис.Іб і Ів приведені графіки швидкостей і прискорень. Переміщення і швидкість будуть неперервними, а прискорення в місцях зміни знака швидкості стаціонарних коливань маз стрибок величино» 2 Юд .

При цьому амплітуда таких коливань_ ■

■А*Н/(тК-рЧ)-<Г. <2І)

Дія сил сухого тертя приводить.до зменшення амплітуди вимушених коливань на величину іГ- Рт/с . Приймаючи в рівнянні (21)/\ 7 0 , одержимо умову підтримання коливань в такій системі

На рис.2 представлений графік сило-частотних характеристик (залежності II/Пг від Р/о)0) .для нерівності (22). В областях, розташованих вище цієї кривої, рух спостерігається, а в нижніх (заштрихованих) рух відсутній. Як видно із нього рисунка, при повільному збільшенні відношення Р/СОо спочатку зустрічаються зона залипання І . Тут змушуюча сила не може подолати тертя мій ті-

лом і площиною опори. Крайня ліва точка при РЛ*Л»М відповідає випадкові, коли на систему діє постійна сила і поступальний рух при иьому починається,'якщо Н у . В иій зоні вміру збільшення відношення Р/сО0 від 0 до-і для подолання залипання потрібне все менше відношення #/£, а в безпосередній близкості від резонансу величина останього відношення прямує до нуля.

Незаштрихована область 2 від-повідаї зоні коливань, що не встановилися. Вона спостерігаються після подолання залипання, якщо Н/Гт<Ч/л. В поьму випадку кількість енергії, що поступаё в систему за один період коливань (ЗСІІА), менша енергії Ц?ГК > яка розсіюється за той хе проміжок

■ часу.

Станіонарні коливання системи, що відповідають незаштрихова-нійзоніЗ , спостерігаються .з моменту, КОЛИ ЇЇ/£-{■ ^ Ц/& .

В иій зоні для підтримання уста' ленях коливань при дальшому збільшенні р/^о потрібно .різко ) підвищити відношення И/Рт . При цьому амплітуду коливань зручно визначати за формулою (21).

В області зарезонанених час-Р НС. 2 тот при недотриманні нерівності

(22) буде мати місце широка зона інерційного застою 4 . Тут система, з огляду на свої інерційні властивості, не встигає реагувати на змушуючи силу великої частоти і залишаються нерухомою. Відомо, що при в'язкому терті вимушені коливання настають при всьому діапазоні частот змушуючої сили. Отже, сухе тертя порівняно із в'язким робить завсім іншою якісну поведінку системи. Це обумовлено відмінностями у фізичній природі вназаних видів тертя.

Якщо ж в одномасовій системі, на яку ді« гармонічна змущуюча адла, крім сухого присутнє і в'язке тертя, то вихідне рівняння та-

- ІЗ -

хих коливань можна представити у формі • •

Розв язок цього рівняння при допомозі способу затримки сигнум-функиії має вид . ' . .

0 г

Тл-Іа 5іа(ші,+о(3' -Iе *

-

З нього рівняння можна одержати всі відомі часткові випадки як вільних гак і вимушених коливань одномасової системи. Враховуючи, що власні коливання згасаогь під час перехідного пронесу, після перетворень одеркимо закон руху для усталеного режиму в формі

^{Іі/[т ІЧвТ*Шо-рТ-ії-} .5'1,1

~0,5Ш^р ~гЖ 1(/>М)5Ідя[С0і(і>і+ Щ,

, , 3 поьго рівняння знаходимо швидкість і прискорення системи, а їх графіки також аналогічні відповідним графікам, представленим на рис.16 і Ів. . '

Ери ньому амплітуда стаціонарних коливань рівна

. И »

Ауиови підтримання жмивань в тахіЯ системі має вигляд

<26)

*

На рис.З представлені криві, кожна з яких виражає залежність Я/Яг від р/іХ>о при певному значенні в. Рух спостерігається в облас

...... ...' тях, розташованих вище пих

кривих, а нижче - відсутній Найнижча крива відповідає відношенню 8/^0 = 0 , тобто холи в системі діє одне сухі тертя. Тут також спостерігаї мо чотири зони: залипання, неустадених і стаціонарних коливань, а також інерційного застою. При збільшенні коефіцієнта в'язкого тертя {тобто з ростом відношення б/<4>) звужується пропускна ділянка і збільшується значення змушуючої сили для підтримки таких коливань. Крім того, слід вказати на ще одну особливість. Сухе тертя не впливає на частоту , коливань, в той час як в'язке змінює її величину. Ця ’ обставина, в свою чергу, приводить до того, цо система із змішаним тертям при певних умовах не буде реагувати на періодичну змущуючу силу, навіть у випадку Р= <А)<) .

Таким чином, сухе тертя відіграв роль фільтра, що пропускає вимушені коливання строго визначеного діапазону частот. А додача в'язкого тертя до сухого зменвув пропускні ділянки нього фільтра.

При розгляді вимушених коливань багатомасової. системи з урахуванням сил сухого тертя вихідні диференціальні- рівняння в мат-річній формі мають вигляд

СаЭД+СсЭДКПЦиНв*}/ 1281

до матриця стовпчик узагальнених змушуючих сил. Вважаючи,

що останні мають однакові частоти, але.різні амплітуди і фази, їх

Рис. 5

модна представити у формі

Q*=fCíúi(f>Wí)- (k=u,..vs) 129>

Звідси випливає, що згадану задачу можна поділити на дві частини. Одна з них відноситься до випадну дії

а інша до випадку Q^H^CCspí-, де Йк-Нк.$іп.у^ , тобто одержуємо пілком однотипні задачі. Через те, що сили сухого тертя не впливають на частоти коливань, то спочатку без їх врахування звичайним порядком визначаємо амплітуди стаціонарних коливань. А знаючи закон зміни амплітуд при дії сил сухого тертя F¿T , визначаємо потім величину цих амплітуд і складаємо умови підтримання коливань К -ой маси. За даними цих умов будуємо відповідні графіки си-ло-частотних характеристик. .

, Зокрема, якщо до основної системі^, на яку діє змушуюча сила Щsin.pt приєднати динамічний гаситель коливань, то відповідно умови підтримки коливань будуть маги вигляд

Замінюємо тут інерційні та явазілрухні коефіцієнти відповідними масами і коефіцієнтами жорсткості. Побудуємо графіки сило-частот-них характеристик для/7Ц«ЯЦ=£00кГ, С^віОО Н/м ,0^1000Н/м , Прирівнюючи до нуля чисельник правої частини шх рівнянь, знаходимо власні частотии>і-0,6і4с'І шг=/,7б С~1. л -. На рис.4 зображено графік сило-частогких характеристик для основної системи. На ньому заштриховано ті області, де коливання не підтримуються. Для резонансних частот прир=а>* і р=и>г рух виникав при найменшій змушуючі в силі Н » Усталені ж коливання в них незаштрихованих зонах починаються при • Усунути

вібрацію основної системи можна двпиа шляхами: або призначати частоту , або точно вибрати по величину рівну антирезо-

Ні ^ ЇСц ~~(ІИ Р1) ІСіі-11ггР1)~Єіі (30)

Н, (С„-а."І>Ч(Си-іигР1)-& 131)

FtT> CtlCtt

0,й& 4,76

Ри«.4

0616 -1,422 476

Ащ£і

. На рис.5 зображено аналогічний графік для дінамічного гасителя, що визначається умовою (ЗІ). Тут також спостерігаються три (заштриховані) області, в яюнс відсутні всякі рухи. Вони розділені резонансними частотами Р=и>і ; . Однак, на відміну від

попереднього випадку, тут друга область має значно меншу площу, оскільки в ній відсутня ангирезонансна чаетота. Рух спостерігається тільки в незаштрихованих областях. І хоч тут зона інерційного застою настав при значно меншій частоті р , для одночасного усунення вібрації як основної системи, так і динамічного гасителя коливань слід призначати Р& Ч, 5 С"* . ,

; / Розглянемо тепер систему із скінченним числом ступенів вільності, в якій поряд із сухим присутнє і в'язке тертя. Вихідні диференціальні рівняння вимушених коливань в матричній формі мають ВИГЛЯД ■ /-- .■/ V • ■; ' . •

При иьому вважаємо, що узагальнені сили маять одну і ту ж частоту, але різні амплітуди. В зв'язку з тим, що в подібних системах має міспе заПізновакня фази переміщання по відношенню до змушуючої сили, то при розв'язку рівнянь (32) зручно користуватися відомим методом комплексних амплітуд. Розглядаємо усталений процес із стаціонарною амплітудою. Спочатку звичайним порядком знаходимо амплітуда без врахування сухого тертя. Після пього знаходимо дійсні акпліїуди з урахуванням цих сил і складаємо умови підтримання коливань в таких системах. Потім, будуючи графіки сило-час-тотних характеристик Йк/Рк=і (Р) • знаходимо області, де коливанняпідтримуються або згасають. г - - , .

Розглянемо поширений випадок, коли динамічний гаситель коливань приєднаний, до основної системи, а між не» і гасителем встановлено демпфер з коефіцієнтом в'язкого (внутрішнього) тертя об Нехай на основну систему діє змушуюча силаН<М>5рі, Тоді в такій системі з сухим і в'язким тертям кожна одержати умову підтримання коливань у вигляді ;. .

де^^-пчр; й-(їі~ҐМі)^сіЛІі Р1 . На

рис.6 зображено криві залежності Ні від р для різних коєфі-

. ніенгів -СІ. V

н

Б

ь /Я*о

с

ту

чі

Рґ

і.0^/(ІГЯі^дхя

піі-токпщ.-зохо Сі-тонім-^онін

Тут спостерігаються дві резонансні частоти. А для одержання антире-зонансної частоти треба виключати внутрішнє в'язке тертя, або заміни-

• ти його зав кітнім в'язким.

Розглянуті найпростіші автоколивання в системі з сухим і в'язкіш тертям, вихідне диференціальне рівняння яких має вигляд

Ц^(^Т)щцЛ/п, 1311

де Р - постійна рідштовхуоча сила, завжди направлена в сторону руху. Приймаючи тут р<~р~Ц.ари допомозі способу затримки сигнум-функпії одерюшо неперервний розв'язок рівншня (34) у формі

Іис. 6

^МЄ'^ііцшь+сіН„

(35)

-У (36)

¥ пьому' законі коливальних рухів позначено

ТИПІ А ■ М'Є*

ЗШ-й £*»/«>-1

Постійні величини О- та «Я знаходимо звичайним порядком. Із (35) слідує, що на період розглянутих автокояивань^гА/си сухе тертя не впливає. Вказаний закон руху дозволяє знай» як амплітуду при будь-якому розмаху коливань« так і залежність ніж ними у вигляді

А^=А ХВЧ(їт4. т

Звідси легко визначити амплітуду граничного шкяу]\п=. (?вСіЬ,(5£/*>). Із закону руху (35).знаходимо швидкість системи, яка в свои чергу дозволяє одержати рівняння фазової траєкторії у формі

Г'Ь+б (и-&

= ІШІМІІ)} Є ...

Якщо початкове збудження системи таке, що Дп . ю рівняння (38) з часом, описує спіраль, що скручується, а приД^Дп- спіраль, що розкручується. Однак в обох випадках амплітуда таких коливань прямує до величини А п •

Якщо х підштовхуюча сила несиметрична, то вихідну систему двух диференціальних рівнянь

0 (39)

можна замінити одним рівнянням у формі

І*г,І«“.Ч.-£г‘(тг4)“М.. -

Потім запроваджуємо нову координату <£.*=: , де постійна ве-

личина Д 5(Рі~Рг)/&С * Далі представимо рівняння (40) у вигля-

де^С^+Рз.-Я-Рт) /¿С . А його розв'язок при допомозі способу затримки сигнум-функнії вже відомий. Визначавта величину умовних амплітуд для різних розмахів коливань і вважаючи потім Д ^ Д л=,4 п ,

. . - 20 - .. одержимо таке співвідношення між параметрами системи

Г^^-гРт=о.ЄМт(и>і^)(ЄЄг/1ч)с.

При дотриманні цієї умови в даній системі відразу * настає усталений режим, минаючи перехідний процес. В розглянутих вище автоколивальних системах був тільки один стійкий граничний цикл, і тому в даних; системах можуть існувати стаціонарні процеси тільки з однією амплітудою.' >-'-у "■ ■; ■■ У’ V: -

Цікавим е випадок, коли на автоколивальну систему з сухим і в'язким тертям діє гармонічна змушуюча сила При цьому

вихідне диференціальне рівняння можна представити у вигляді ' :

ї.+2Ц^иі»\= рЦа^/лі+Л. 5йі(#+/) • 1431

де.К,= Н/лі. Розв'язок його, при допомозі способу затримки сигнум-функиії буде у формі • ' : ' ■ •

я Гп д Є Г

І- 5£П(и)^+сИ) * І і Г *

■ ■■'■ і ;і44>

........../і .... і Н5ШРб+*-£)

Розглядаючи усталений процес (тобто для досить великих значень "Ь і II ), його можна представити у вигляді : '

^ = А „ 5ііі (ші+р )Ч Аб 5іп. (риУ-є), <45>

де амплітуда гран-чного ткяуАп*&іШ8У<і)

(46)

Ав= Я/іт.ІчЄТ*(^І-Ґ^Ї

В загальному випадку коливання, Що оішсувться р*вня»мш (45>, не е періодичними. Однак на практиці часто зустрічаємо випадки, коли іа> і р близькі за значеннями, тобто |<а> -РІ Ш+р. Тоді рі»-.

- 21 "

Ияння (45) можна представити у вігляді

([=А(і)$£а[со+^-0ад]. №>

lie рівняння описує биття, через те ЩО A C'fc) є функціями,

що повільно змінюються у часі. Період зміни амплітуди Д(fc) буде гл/(а>-р), а її максимальні та мінімальні за абсолютною величиною значення відповідно будуть рівні

Атд*№) = ifeс4Ь(бг/ч)+H/Cm. |/v] l48>

А^№)=|^са(6г/4)-

Розглянені також параметричні колисання. Як відомо, вони обумовлені звичайно зміно» в часі жорсткості або маси і можливі лише в нестаціонарних системах. Вплив періодично змінної жорсткості в основному досліджений. Однак, якщо змінним параметром е маса, то навіть найпростіші коливання описувати аналітично досить важко. Окремі характеристики, таких коливань, одержані наближеними методами, наведені в роботах Каюка Я.§., Анікіева Г.І., Бессонова А.П., Сільвестрова Е.Є. В зв'язку з ним одержання рівнянь таких коливань, хоча-б за одним із законів зміни маси, дозволило б дати і якісну оцінку для інших законів ії зміни. Дяя дослідження особливостей впливу сухого тертя на такі параметричні коливання розглянемо спочатку ui пронеси в системах без опору і з в'язким тертям. При цьому припускаємо, що приєднання або відокремлення часток ыа-*. си відбувається безударно при нульовій відносній швидкості в напрямку, перпендикулярному до швидкості руху системи. .

Нехай система з одним ступенем вільності здійснює коливальні рухи на гладкій горизонтальній поверхні. Будемо вважати, що ії маса змінюється за законом

іт

де ГИд - початкова маса, а ß - коефіцієнт, що характеризує швидкість ії зміни. Вихідне рівняння таких коливань має вигляд

Тут С - коефіцієнт жорсткості, який приймаємо постійним. Для розв'язку цього рпвняння : застосовуємо підстановку

Є1= (№:+&)$,

(51)

Де ■ .Я ~ розмірний коефіцієнт . Тоді рівняння (50), виражена через нову змінну X , можна буде представити у формі

(52)

Розв'язуючи його, одержуймо корені характеристичного рівняння, які рівні 0,£і:\ІОІі5-С/&*’4. А поведінка системи залежить від знака підкореневого виразу. При с/^*-7 0,2.5 маєш закон-незгасаючих коливань у вигляді

ли

(53)

Тут Я= У*'-0,2.5'', а оС і СЬ —. постійні величини, що визначаються з початкових уцов. Напівперіоди таких коливань зростають за законом геометричної прогресії :

'£*-*'* (54)

Умовні амплітуди також зростають, а залежність між ними моле бути представлена у формі . • .

1 +

п.

(55)

Прис/^1<0,а5 одержуємо аперіодичний рух, причому система, одержавши початкове збудження, продовжуй поступово віддалятися від стану спокою.

- 23 -

Коли ж маса системи зменшується за законом

т.(і)=(щ;-£ї)г' <56>

то для С/а*-7 0,2,5 спостерігаємо коливання із зменшуваними амплітудами та напівперіодами. При цьому коливання відбуваються до повного вичерпання маси. Якщо для такої зменшуваної каси £/.0г< 0,15”, то система, одержавши початкову швидкість, спочатку повільно віддаляється від стану спокою, а потім швидко до нього повертається.

■ Розглянено також подібні коливання і в системі з в'язким тертям. При цьому вважалось, що маса системи зростає за законом (49), а сила опору рухові буде у вигляді

(57)

Лри >(£-/*)*- одержано закон коливального руху у форлі

Тут прийнято 4-СЧС.-(£“Я),'10'5* Закон (58) описує коливання із змінними амплітудою і періодами. Приумовні амплітуди зростають, прі^<^ вони зменшуються, і якцо_/ї=/4 амплітуда постійна і рівна о, . Напівперіоди таких коливань збільшуються за законом геометричної прогресії •.

Т*-Т* р1^$ (59)

- сп.-< * .

Залежність між суміжними■амплітудами можна представити у вигляді

А„,

(58)

А

(Є0)

На рис.7 представлено графіки коливань для вказаних трьох випад-

ків при т0=1кГ;С-6,гїН/Аі; ц0 ^(?,ям; ф^о,бл/с;£* 0,-(і/к?/с; Р=і1^кг/сдля таких значень^ : кривав пр;і/ч=о,005Х/^/с, крива Іпр;і^-0И^К?/С та крива 3 при^=0|5" їЛ^г/с .

Якщо у даному випадку зростаючої маси (рЦ С , то спос-

. 1 тері гаємо апе-

0.3

*04

іс

рходичні рухи системи. При ньому, якцор?}!, то система повільно віддаляється від стану спокою. У випад-ку_р<Я система, одержавши початкову швидкість, спочатку віддаляється, а потім повільно повертається до . стану спокою.

Якщо розглянемо систему з масою, яке зменшується за законом (56), то при ЧС5> *“ будемо спостерігати коливальні рухи до

повного вичерпання маси із зменшуваними умовними амплітудами та напівперіодами. У випадку Цс<0^+Д)4 одержуємо аперіодичний рух, коли система прямуз до стану йпокою.

Розглянуті також коливання маси, що змінюються за законом (49), коли опор рухові у вигляді сухого тертя має форму

/\\

о

( а

1Г

& а а <5

РИС. 7

(61)

де 9 - прискорення вільного падіння. Застосовуючи підстановку (ЬХ) і розглядаючи випадок ЦС ь знайдемо заки.і їак.л коливань у ВИГЛЯДІ - ' '

0 £Г

.=й„ Гр(Ж+бі)1' Ші1к.<1гі * <и)

^=а4- .........

- 25 -

ТутМ'/ЧХ^'; ^ = 9^С(^ЧС)^3. Напівперіоди вань зростають за законом

с>е/"л

таких коли*-

(63)

Щодо умовних амплітуд, то як і при в'язкому терті вони можуть збільшуватися, зменшуватися і бути постійними, Зростаючі та лос. ■ . тійні амплітуди спос-

Рис.8

терігаються при дуже великих ноефіиієнтах $ і одночасно для досить малих ^ . Однак для звичайних значень *70,<Мта р+о,гШ/с коливання будуть згасати.

Якщо маса системи убувай за законе;.: (56), то напівперіоди і умовні амплітуди будуть зменшуватися.

На рис.8 зображений графік таких коливань, при дії сил сухого тертя дляр^О,і№к}

т.0=<кг;с^б,2.5«/«; (¡/В-0,1М}у0=0,6Ыс;£=01в1-1 р*і/\рїГ.

При виділенні маси зменшується «також і аирина зони застою2(н СР* «ОІЇПо'М)]1 і тоыу коливання відбуваються до повного вичерпання маси.

Виявлені властивості сухого тертя при вимушених коливаннях механічних систем, як відмічено вище, можна використати в динамічних гасителях коливань. Однак найбільший ефект дає застосування сухого тертя як фільтра, ¡до пропускає коливання тільки строго визначеного діапазону частот, в конструкціях сейсмостійких будівель. Відомо, що при землетрусах* із чотирьох типів хвиль, що переносять енергію від гіпопентра до споруди на поверхні Землі, найбільп небезпечними є 5 -хвилі (поперечні). Вони викливтать найбільші прискореная, а період їх коливань перебуває в межах О,-І - 2.С . Будівлі із звичайним хогтг.ш закладенням у фундаменті, в зялеяності від їх геометричних параметрів і матеріалу, маять період першої

а.

777777

-Р-

и

- 26 - ■

форми коливань у иекахХс- Таким чином, споруди такої

конструкції мають періоди власних коливань близькі до періоду найбільш небезпечних поперечних хвиль. І навіть на деякій віддалі від резонансу процес нагромадження деформацій при повторних землетрусах, незважаючи на всілякі підсилення, приводить до порівняно швидкого виходу з експлуатації таких споруд.

Представимо собі будівлю (рис.9), верхня частина якої має

форму бруса, що вільно опирається на фундамент, а між ними розташовано елемент сухого тертя. При дії горизонтальних інерційних сил, які звичайно домінують при землетрусах, такий брус може здійснювати коливальні рухи з повторними зіткненнями. При цьому роль пружної сили буде виконувати сила тяжіння. Відомо, що такі коливання в багатьох випадках є швидко згасаючими. Однак, як показали наші дослідження, якщо період змушуючої сили . .

1

777777

Рис. 9

щш

¿64)

то при певних умовах коливання будуть не тільки підтримуватися, .. але і зростати. Тут К та^ &, відповідно висота і менша сторона будівлі. Вказана величина"^ дуже близькії до періоду вільних коливань бруса, як маятника, що підвішений у верхній точці, через яку проходить його вертикальна вісь. Назвемо величинуї'с=‘£^ умовним , періодом власних коливань верхньої частиш споруди. Величина цього періоду в залежності від К та СЬ перебувае звичайно .в межах 818 С- , що в багато разів перевищув період коливань будівель з жорстким закладенням у фундаменті. А відношення Тс /*£$ коливається в межах від 4 до ІгіО. Отже, відношення частот вимушених і власних коливань, згідно з графіком рис.2, буде відповідати глибокій зоні інерційного застою. Таким чином, при горизонтальних коливаннях „ фундаменту верхня частина будівлі не встигає реагувати на змушую-

чу силу такої великої частота і залишається нерухомою.

Плоский ковзний пояс (рис.10) доцільно скласти із двох стальних листів 1 , між якими розташувати елемент сухого тертя 2- . Останній являв собою шар’ графіту або фторопласту з малим коефіцієнтом тертя ковзання £ . При спорудженні таких конструкцій слід враховувати можливість впливу і вертикальних складових сейсмічних інерційних сил, коли будівля може виявитися в безпосередній близ-кості від епіцентру. " ~ .

?ис.{0

Тому на гасіння коливань в вертикальній площині встановлюють пружні листи 3 із спеціальної гуми, фім цього, слід влаштовувати обмежувальні упори Ц в продольному і поперечному направленнях споруди. Будівлі такої конструкігіг, при дотриманні певних критеріїв, можуть маги в плані найрізноманітнішу форму: прямокутну, коробчату, дугоподібну тощо.

Експериментальна перевірка одержаних вище результатів теоретичних досліджень проводилась як на механічних, так і на електричних моделях, в залежності від виду досліджуваних коливань. Зокрема вільні та вимушені коливання з сухим тертям проводились на механічних моделях. Такі установки уявляли собою вертикальну трубу, розрізану по хорді, до кришки якої на лруж;:нах підвішувались циліндричні вантажі. їх діаметр відповідав діаметру труби, щоб створювалась сила сухого тергп. Зміщення вантажі с від положен-

ня рівноваги фіксувалось на осцилографах.

Змушуюча сила створювалась за допомогою електродвигуна, який приєднався до вантажу. На вісь цього електродвигуна насаджувався експентрічно вантажник. Проекиія його відцентрової сили на вертикальну вісь уявляла собою змушуючу гармонічну силу.

В таких експериментальних установках чітко спостерігаються згадані вище зони (залипання, проковзування, усталених коливань, а також інерційного застою). При цьому спостерігалась до5ра збіжність з теоретичними результатами.

При експериментальному дослідженні автоколивальних систем, коли час дії підштовхуючих сил точно відповідає наг.івперіодові коливань , використовувалась електрична система аналогій. Тут величина постійної на протязі одного налівперіоду підштовхуючої сили (або навпаки, сили сухого тертя) здійснювалась відповідно за рахунок позитивного або негативного зворотного зв'язку, ¡до діє на електричний контур. В даному експериментальному дослідженні була використана аналогія "сила-напруга". .

При дослідженні дії гармонично! змушуючої сили на автоколивальну систему з сухим тертям роль змушуючої сили виконувала змінна е.р.с. Вона поступала від генератора стандартних електричних сигналів РЗ-ЗЗ. Ці коливання теж фіксувались на екранах осаілогра-фІЕ. Слід відмітити, що різниця між теоретичними та експериментальними даними в таких електричних системах не перевищувала 4-Ь%, що декілька є меншим, ніж в механічних.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ .

В процесі розв'язку поставленої задачі були одержані і обгрунтовані такі теоретичні і практичні результати: .

1. При допомозі запропонованого способу затримки сигнум-функ-иії вперте був одержаний неперервний закон вільних коливань системи при дії сил як сухого, так і при сполученні з ним в'язкого тертя. Він дозволяє визначити положення системи, а також її швидкість і прискорення в будь-який момент часу при довільні« початкових умовах. Такі закони коливального руху одержані для системи,¡ц0 шєяк один, так і багато ступенів вільності.

2. Для згаданих видів тертя з врахуванням початкових умов . одержано неперервне рівняння фазової траєкторії, що дозволяє оиі-

нити стан даної, системи. Це дало можливість замінити досить складну методику зображення такої траєкторії (окремо для кожної напів-площини або розріз їх з наступним зсувом-по горизонтальній осі) на найпростіший спосіб такої побудови. _

3. При розгляді дії на систему із сухим та в'язким тертям

гармонічної змушуючої сили знайдено неперервні закони, що описують перехідний процес. З них одержані рівняння, що описують і стаціонарні коливання системи. При цьому встановлено, що сухе тертя відіграє роль фільтра, який в залежності від відношення сили сухого тертя до величини амплітуди змушуючої сили пропускає вимушені коливання строго визначеного діапазону частот. При цьому чітко встановлено межі чотирьох зон: залипання, проковзування, усталених ■соливань та інерційного застою. , •

Додання в'язкого тертя до сухого приводить як до зменшення змплітуд стаціонарних коливань, так і до звуження пропускних діля-іок. Останні зручно визначити при допомозі графіка сило-частотних сарактеристик. Виведені закони стаціонарних коливальних рухів доз-золкють будувати такі графіки сило-частотних характеристик, приватні як для одно- так і для багатомасових систем з урахуванням ^ії згаданих видів тертя. . :

4. В автоколивальній системі з сухим і в'язким тертям одер-¡аний неперервний закон руху при дії як симетричної так і несиметричної підштовхуючої сили. Він дозволяє описувати не тількц пере-;ідний процес, але і усталений режим. З нього визначається також іівняння фазової траєкторії і величина амплітуди граничного пик-

;у\п - . ;с ;• ■■ ■ ‘

Приведене співвідношення між параметрами автоколивальної истеми, при дотриманні якого в ній одразу я настає усталений ре-им, минаючи перехідний пропес. ; -

5. При розгляді параметричних коливань вперше одержано непе-ервне рівняння руху системи з урахуванням дії як в'язкого, так

сухого тертя для одного із законів зміни маси. Встановлено, що еріод таких коливань зростає при збільшенні маси і спадає при її меншенні. А розмахи коливань при зміні згаданого параметра зале-ить як від коефіцієнта, що характеризує швидкість його зміни, ак і від сили сухого або в'язкого тертя, діючої в даній системі, окрема, дня зростаючої маси розмахи коливань при певних умовах ожуть спадати, зростати або залишатися постійними.

- ЗО -

У випадку зменшення маси як при наявності розглянутих сил тертя, так і у їх відсутності, розмахи коливань спадають. При цьому такі рухи із зменшуваним періодом відбуваються до повного вичерпання маси.

6. Показано використання виявлених властивостей сухого тертя в ряді галузей техніки. Зокрема, застосування в динамічному гасителі коливань демпферів сухого тертя сприяє як появі зони інерційного застою, так і додаткової антирезонансної частоти в основній системі. Визначені залежності між параметрами, при призначенні яких не тільки основна система, але і динамичний гаситель коливані залишаються нерухомими. Однак найбільший ефект дая використання властивостей сухого тертя в запропонованих конструкціях сейсиостіі ких споруд. В них верхня частина будівлі, що вільно лежить на фундаменті, при дії найбільш небезпечних поперечних хвиль не встигає реагувати на змушуючу силу такої великої частоти і залишаються не рухомою. . -

Вказані конструкції вже знайшли cbos застосування при будівництві сейсмостійких споруд в м.Япгі і м.Спітаку.

Основний зміст дісертаяії опублікований в слідуючих роботах:

1. Кислый A.A. Вкнуздавнне колебания груза в скстека с сухим к вязким трением под действием линейно-возрастащай нагрузки //Соиротивлааяе материалов я теория сооружений.- І987.-Й5І,-

. С.28-31.

2. Кислій A.A., Шшевский С.В. Свободные крутильные колебания си< темы с одной степеаьь свобода при валичяя вязкого и весшквтр; чяого сухого травня //Изв, БУЗов. Машиностроение. - I987.-Ä9,'

С.18-20.

3. Каслый A.A. Колебания иаятнкжа в среде о вязким троакеа при н двчет. подтелккЕавдвЁ сила постоянной величины.- Кейв: Укр 15® ТК* 1985.- 10с.

4. Кесльй A.A. Свободные колебания груза переменной массы в присутствии сил вязкого трения //Содротавдевие материалов в теория сооруаеяий.- I9B8. -.‘«52. - C.S5-S6.

5. Каслый A.A. Колебания грузе иод действием ишзуяьсивяой нагру: т в вряоутсгЕИ сил сухого и вязкого тренгя. - Киев,- 1щІШ те, 1986. - 8с.

6. Кеслн2 A.A. Отлгчгталгкі/а особэнностн демпфировали: в 2Щ& К логова трваЕя от аязаого врк аыяувдеякых колебаниях наханнча

- ЗІ -

ких систем //Расааяк;;з энергии при колебаниях механических систем: Тез.докладов ХУ Роспубликаясвой кои$арзіщли.- Киев.

1989. - С.56-57.

7. Кислый A.A. Вынужденные колебания груза в система о сухим трением под дайствиэц гармонической возмуадюдай силы //Сопротивление материалов а теория сооружений. - 1989.- №54,- С.£3-85.

8. Кислый A.A. Определение величины тока в ветви контура лампового генератора с _г-характзрастяко2 способом зад з ржи сигиум-функции. Киев: Укр ЕЮТ» I9BG. - 12с.

9. Кислы!!! A.A., Радычук В. А. Запата сооружений в і сейсмических зонах // Транспортов строительство. - 2990.-S5.-C.48-50.

10. Кислый A.A. Выяучщвпныз колебания а система с сухим я вязким трением под действием гармонической возмушагацай силы //Сопротивление материалов и теория сооружения,- 1989.- №55.- С.28-30.

11. Кислый A.A., Зинько Я.А. Свойство сухого трения при вынужденных крутильных колебаниях //Динамике, прочность и ароектирова-аив катил и приборов. - 1990,- Й240.- С.50-52.

12. Кислый A.A. Здания с многослойным сейсмоизолируютш поясом сплошного типа //Строительная механика и расчет сооружения.-

1990. - М.- С.79-83.

13. КкслыЗ A.A. Еьшухдешша колебания систсмя а несколькими степенями свободы в присутствия сил сухого трения //Сопротивление материалов и теория сооружения,- 1990.-£57,- С.64-57.

14. Кислий 0.0., ЗІнько Я.А. Крутильні коливання системи Із сухим

І в'язким тертям під діоо несяматричдих підштовхуючих моментів //Дияааїка, міцність та проектування машин та приладів.-

1991. - *259. - С.41-43.

15. Кислый A.A. Свойство сухого трения при вняуадеяных холебаягях

ывхаяичесхих систем я его применение в сейсмостойких сооружениях //Строительная механика я раочат сооружений.- 1991.- 135«-С.35-39. *

16. Кислый A.A. Свободные колебания груза переменной ыассы йря действии сил яулояоза трения //Ссиоотявлэние материалов а теория сооруяаниЗ. - IS9I. - JföS.- С.60-63,

17. Кислый A.A. СаХсыостойкиа конструкции зданий, осясвангша па свойствах сухого трзяия //Кадакяость а атиняость нетрадиционных с ec тєи сейсаозшзитк адавиз я сооружений. Ыетзриалы

научно-технической конференции. Севастополь 1991,- С.44-45.

18. Кислый А.А. Воздействие гармонической возмущающей силы на автоколебательную систему с сухш.! и вязким трением //Сопротивление материалов к теория сооружений. - 1991,- $59.- С.98-101.

19. Кислый А.А. Особенности проектирования сооружеякЗ со сшіошнш сейсмоизолиругацяы поясом //Известия БУЗов. Строительство.

1992. - Ш. - С.13-16. ..

20. Кислый А.А. Колебания в системах с демпфирующими элементами сухого Гранин //Проблеыы прочности.- 1992. - й4. - С.33-36. -

21. Кислой А.А., Нестер Н.А. 7чет особенностей демпфирования в ви-

• де кулонова трзния в ряде автоколебательных процессов // Расс-

сеяние энергии при колебаниях механических систец. Киев: Наукова думка. 1392,- С. 142-145. ;

22. Кислей А.А. Ограничение основных: лараиётров.:зданий со сплошнш

сейсмоизолирушим поясом //Сейсмостойкое строительство.- 1992, 139-10. -С.29-31.' ' '

23. Кислый А.А. Определенна коэффициента динамичности система с

деклфзраыи сухого и вязкого трения /Д'еханика гироскопических систем. - 1992. -Ш. С.26-29. .. , .

24. Kisly A.A. Шге of dry friction properties in building eonstrut

tioas with seismoinsulating nultileyer belt // Proceedings of the ninth European conference on earthquake engineering, - Ко: cow: 1990. - У. 10A. - p.140-145. •

25. Kisly A.A, Oscillations in the Systems with Damping Elements of Dry Friction //Strength of materials: Hew York. December, 1992. p.- 381-384.

і