Коллокационно-итеративный метод решения краевой задачи для дифференциальных уравнений с параметрами и импульсным воздействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

РГБ ОД

2 П 0иТ к'Г.Г На правах рукопису

• ПОСЕЛЮЖНА Віра Богданівна

ХОЛОКАЦІЙНО-ІТЕРАТИВНИЙ . МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВОЇ (ЗАДАЧІ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ 8 ПАРАМЕТРАМИ І ІМПУЛЬСНИМ впливом

01.01.02 —Дїіферепціпльїїі рівпятіл

Автореферат дисертації иа сдобутта наукового ступеня кандидата фїопхо*математн*шях наук

Київ

— 1996

Дисертацією е рукопис.

Робота викопала у відділі (звичайних дифєреаці альтах рівнянь Інституту математики НАН України

Науковий керівник; доктор фіонко-иатематичних ваук, професор А.Ю.ЛУЧКА

Офіційні опоненти:

доктор фгоико-иатеиатЕЧішх наук, професор М.О.ПЕРЕСТЮК

кандидат фіаико-математігшнх наук, старший науковий співробітник Н.І.ТУКАДБВСЬКА

Провідна установа: Львівський державши університет

ім. ІЛ.Фраяіа

Захист дисертації відбудеться ".*!?£.... * 1995 року

о .. годині на оасіданяі спеціаліооваиої ради Д.01.вв.02 при Інсти-

туті математики НАН України оа адресою: 252601, Кюа - 4,М(Ш, вул. 'Г^рвіценківська, 3.

п .

0 дисертацією можна бопяйомвтися я бібліотеці Інституту.

Автореферат розіслано .......”................ 1995 р.

Вчений секретар сіншірчіповяної ради

А.Ю.ЛУЧКА

Актуадьн?еть теми. Математичними моделями багатьох задач ярирада'НЕззтеа Т техніка е крайові звдачТ для диференціальних рівшшь, які містять параметри. Точний розв"язок таких задач,,, як правмо, не вдається виразити через елементарні ^унки-Т, в ■ звпязку з цим важливого значення набуває питання побудови та дослідження елективних наближених методів їх розв'язування.

Серед еєдиеоі кількості набзикешх методів найбільш часто гастосовуються ІтерацІйнТ та прянт методи. Однак перші мають об- • нєгсену область застосування, а другі моьуть повільно збігатися. Останнім часом з’Явштся методи, які поєднують в собі Ідеї як пряшх, так І ТтврацІйвих. Одним Із представників нього класу методів в прссЕяТйао-Ттергтиніїй метод. Він виник на базі методу осереднешїя функпТсяальпях поправок, який був. запропонований

Э.Д. Секолсвю», Т в подаліЕону розроблений Т досліджений А.РЛуч-кеа> Й.С.Курпедви та Іншими. До методів преекнТйне-Ттеративного їкпу належить І колокацТйно-ітеративніїй метод, який вини.; на ос-кевТ звичайного методу послідовних иабгдяень І методу колоквиП.

Йнгання застосування колокацїйно-Ттерзтивнбго методу до розв’язування крайової задачі для дийереаиїальни* рівнянь, які містять параметри, ге не достатньо йивчене, тому актуальною е проблема застосування до виоеввазаних згдач даного методу Т вивчений йога властйвооїей.

Мзїа .роботи^ Уетос дана! дисертаційної робота в доелідхення колакацТйнб-Тмративного катоду (стапТонариегб ї нестаціонарного) розв'язування крайової еадачТ для звичайних диференціальних рі*^ нянь з парапетраки, дгя до^ерїнцТальтШ рТзиявь з мад&в нелТиТй-нїсі», & такон длп крайової задачі для звичайних диференціальна рТзкянь з Імгїульбтт виливом І параметрами. ‘

(/етодя та об'Ям доблідкеннй. Дял побудова алгоритмів, ввта-803І8НЙЯ }'!!ЄВ Тх збТЖНОСІІ, МрММВНЙЯ виТнбК похибок ВЯЙОр'ИЙТбВу-валаея озисйііі Иолокейня теорії Інте-гралмшх І диференціальних АІйняк?, теорії каблюхеіт метбдТ* І обчислювальної математики. Оемввнйм об'ємом леєлтд?;гиь е крайвна задача д,иі ди*ер*?н«+ал*.-ннх рііняпь 3 параметрами.

Наукова новизна. В роботі одержано настугщТ результати:

- встановлено умови збіжності І опінки Похибки коловші1йно-Ітв-ративного методу розв'язування крайогоТ задачі для лінійних диференціальних рівнянь з параметрами, Т для ди'веренпТальних рівнянь з Імпульсним впливом та парамзтрьми; обгрунтовано застосування колокаиійно-ітеративного методу до крайових задач для диференціальних рТвнянь з малою нелінійніотв; досліджено швидкість збіжності методу в залекності від гладкості вих'дімх даних;

- обгрунтовано застосування нестаціонарного колошіІйно-Ттерати-вного методу стосовно Інтегральних рівнянь Яредгольма другого роду І крайової задач т для диференціальних рівнянь з параметрами;

- побудовано ефективні сбчислввальн! схем-.! методу, здійснено практичну реалІзаиТю алгоритмів Т аналіз отриманих ргзудьтетіз.

ІТзоретична І практична цінність. Одержані в дгсертеаТТ результати збагачують теорію методів проекційно-ітеративного типу і давть можливість розгарити область застосування колокаиТйно-Тте-ративного методу. Запропоновані обчислювальні схеми методу мо»-на реалізувати на ЕОМ І використати дяя знаходження розв'язків конкретних крайових задач, які виникають в пдаг.лййякх досяіджен* кях.

Апробація робота. Основні результати іисергааТйноТ робота доповідалися І обговорювалися на семінарах відділу звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики ИАН України, на роботі школи-сеиінару "Нелінійні крайові задачі математичної Фізики I їх застосування", *г-1Т вересня І°9й р*. м. Тернопіль, а такоя на Четвертій Міжнародній науковій кон^ренитІ Ін. академіса М.П* Крагчука, 11—12 травня 1995 р.. м. Київ.

Публікації. Основні результати длсертвиТІ опубліковано я робо тах[ї-5]^стшсок яких подано в кінці автореферату. .

Структурі І об"ем дисертац7т. Лисертаційна робота складает%-оя Із вступу, трьох розділів І вписку цитояаноТ лттературя, викладених на 135 сторінках мадановисного і’ексту. Список літератури містить 97 найменувань.

Основний зміст роботи

У вступі дано обгрунтування актуальності теми, проаналізовано сучасний стан проблеми, вказується мета досліджень, яким присвячена дисертація, І коротко викладено основні результати.

В першому розділі досліджено застосування колокацІйно-Тте-■ ративного методу розв'язування крайової задачі для диференціальних рівнянь з параметрами виду

зс”пЧчі+ріС-иатп",,«:) +-...+р^С±)хС-и =

= сЮЛ,ьє(аЬ)'ЛєР?'і (І)

^5=0,-пг«-<, ^2)

де

"т-4 в ^

Ц^) =» сс(^(а) + Д.«= о^Т,

*— І=0

, лінійні неперервні Функціонали на класі неперервний

Дикцій, як частковий випадок сь<±^ <Хі.

л,^і у3 *- задані числа; функції,

йязначені 1 неперервні на відрізку [о.Ь]; сизл - скалярний добуток вектора . , Яе.) ї йТломоІ неперервної 'тункиП

, сеі+>;.

В §ї -рівняння (І) подає тьйя у вигляді

(А^^^бі^Я^^і+і+сіШЛ + СЬгсНЧ), О)

де

САаХ-4)^ж'Л>С-ЬІ+*Оі(і)ж^',и]+-... ^ОС^зсс-н, (і*)

<!Вх)и)! =а <7 Н1!К™{±) + +<У ШзсС*.», Сі)

(Й ®'И*

а.(Л)-р.<Н;),г=‘7т.( СІС-Ь>«= СС.Ч>.

& нйперерпна в&ктор-?ункцТя 6 и> ідіг^р^на тяч чином, що зад&ча ■ ‘ •

(к&К±)+ бШЛ“ ил-и. (6)

* -- , * . ибсх;=у8, (7)

(ІХН>- деяка нова Функція ) мав єдиний розв'язок, тобто

6

хш=Ріс±) +• \jGtt.s) шл>еІ$, (е)

и*

%

Д=0 + ^Г(5)Щ«СІ5 (9)

О»

де (?{*,$)- функція Гріна, ГіЧ — (Г^15>)( ...,1^16)) , вК.(Ц£Г

функція І вектор, які однозначно визначаються. '

Описане метод введення задач! 00-(2) До рівносильного Інтегрального рівняння *редгольма другого роду •

.6

ТХС-Ь) =. б,С-Ь) + (10)

а>

І ввтановлено умови Існування розв’язку вихТдноТ задачі.

В §2 описаної досліджено властивості колокапТйио-Ітератяв-ного методу стосовно зади! (ї)-(2). Суть методу полягав в тему, по, виходячи а деякого початкового наблихення о^ш , л« • наступні наближення а^ио, визначаємо І з допоміжно! задач!:

Л

(А**)») +ЛСі)<|ик + (Ьу «}, (II)

Ц^вТ£»^.СХ*>в\' *-5^. <!2)

де

\н)и) + а ■сл>, я*- ®к, аз)

<Ча)а! е*а ао

Непідом! кое^иіенти а^' яизньчвемо з умояч

5 ^

(^)С\)-^)-С(.1.)]Цк=*6, І.«и, (15)

л» I "Ч Іио “ ВУЗЛИ колокацІІ.

Система Функція I система векторів { зв"яз%-

НІ співвідношеннями і *** £' •

(Аък-и + ЬиЛ-трл-*). се)

4 в 4

иді*)=о,Фа)4 8-№<, і-й сп>*

в і * | . '

ДеЧ^и1\,.в система лТнІйно-неаалекних, неперервних на Со-,6.] функцій, зокрема система алгебраїчних або тригонометричних пелі-йомів чи В-оплайнІв. .

Реалізація методу (И)-П5) вводиться довиконання ТтервцІІ та, розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь. • Метод (ІІ)-(Ї5) зводиться до колокаиійно-їтеративного методу розв’язування Інтегрального рівняння (ЇС1),

11к№) =■ ^)+иГ«))сі.% _ (І °І)

00 3

(19)

'иГи)= . , (2С)

• к (-о » а .. ;

Звівай позначення •

■ «) іГш^сГш-и/и) (2Г)

ь к *м ' к. к. к 4

їа виконавіїя певні перетворення, показується, ио алгоритм СІЧ)-(20) рівнвсильний наступний співвідношенням;^

<Г*&» *^іГк(+)- ^Сі,5)\Г , (22)

СЬ О/

»» . де М т Ці&) - йдра операторів Переходу, лкі обчиймнспе*

А* * ’

за даними задачі (І)-(2)., координатними функціями ї вузлами коло каці І . о

Нэхай V І^.ЙЬиконустюя нерівності ‘

* 8 г. і*

I dt<p ^ifUjci^

а> cu

CL.

6 t. J. 6

^j^L^t.s^isjctsJ-di ^ts)cis

а/ tv

Теорема 2Л. Якщо сц<1 , то задача (Т)-(2) має єдиний розв"я зокх^ц.Л* I поолТдовностЦхцШ} , ІАкі , побудовані ЗГІДНО МЄТО" ду (ІІ)-(І5), збігаються до цього розв"язку, тобто

£іт-||ос.~х 11=0 -0 ,

*-»оо ’ К.-**- . * С

де ||-Ц - норма в ЦСАІ]), Ц- Щ— евклідова норма.

Існування такого значення а , при якомус{,<-і, випливає в теореми ■

• ТЬорема 2.Р.. Нехай задача має єдиний роэв"язок для

кокної функції ^еаса,6і;, І нехай система функцій ^ *а ЙУ*

ли коло каці І ^^„пТдТ брані таким чином, ио * іМ

И

Х(і,5)-?£ <4,5)і\*£с1$«0,

ДЄ

і

Тоді Існує такий номер а0 , що при всТ х *1ксованчх n.>,ua, послі-довностТпобудовані згідно методу ^П)-(Т5) s^T-гапться до розв'язку xU>, А*' задачі С0-(2\

При виконанні умови теореми 2.1 матимуть мі eve наступні оцінки;

II х-акІІ < и)р^па'-и4І!,

які характеркзупть швидкість збіжності методу, І конструктивнт оцінки .

Их-х.ІІв^-^ІІи-и^ІІ,

»^іитр^-ч/' •и.-и„‘Ч®.

деьО , у - деякі сталі,

Виходячи з того, то рівняння (Т) записується у вигляді (3), де оператор А мав вид (>і), а оператор В визначаємся за допомого с формули

(£>5С)Ш:= У""'а л<*'и*зт.-і. (2б)

Р '

Й ЯКІЙ коефіцієнти £ • <Л> , і =оТ'т-1-< - ВИЗНОТЄНЇ , неперервні

На відрізку [а,б] I мають неперервні похТднІ до г-- го порядку . вкючно; вектор-функція еіч-м*» і А, раз неперервно

диференційована, отримаємо оиінку, яка характеризує швидкість збіжності методу (II5—(15) в залежності від гладкості розв”язку задачі СО-С2), а сама;

Є-^О^тп. , (?7)

дегі.^, С^.і - деякі сталі.

В §■? дано обгрунтування одного варіанту модифікованого коло каційно-1тератявного методу стосовно крвяовоТ задач1 для диференціальних рТвяянь з мало» не лінійністю.

Ч другому розділі досліджується нестаціонарний варіант коло-

к*итйно-1те ративного методу.

ч описано алгоритм І встановлено достатні умови чгРшостТ та пі’Тчіти поуиЛци ц?стацТочагнпго колотітРно-,тегативн"го ролв"я>у1!йин« Титегрального гт*няння ^редгольмй другого роду.

В §5 иаетаціонарниЛ колокацТИно-ІтеративниЗ метод застосовується де знаходження наближених розв'язків крайової задачі 0 (2). Ідея методу полягав в тону, по послідовні наближення до шуканого розв'язку знаходимо за допомогою Формул .

(АХ)Й) + 6іт = гГ <гЄІ (28)

* К К *

и*1хл)вУ%, (29)

де

• г Пк к

V Н)= У1 Ч >11 в ті -ті. <. "П. (зо)

* К О * * • ' *4 **•

<•.<*4, «*ІІ.......

в невідомі коефіцієнти знаходимо з умови

&

ш- икШ)\рдг)0І±- О, (ЗТ)

у<'

в якій

= ог)

функція і*«)ї вектор^,,визначаться епТввТдновеннями (73), (14), в невідомі параметри а1 визначаються в ньому випадку з умови

Для методі (г^)-О?) отримано умови його збіжності 1 ОЦІНКИ юхибки. .

Теорема 5 Л. Якеє ьиксну»тьея умови

І) <\, <\

^ а І і .

& Ійп. сіі- = о,(.^ІдМ),

Си о» ,

то край&вй змйчб (?)*•(?) має єднанії розв'язок хт , Я* ї послі-*-ЛовностТ {я,и)), {д„) , побуд'ївкиї згідно мгТоі? (?р)-»('3',)1 з'*?-* ГЯРГЬСЇ до нього ро>л"яз*(?р де

В третьому роздТлТ роботи досліджується застосування коло-каційно-Ітврагивного методу для побудови розв'язків крайової задачі для дифврекпіальних рівняй* э Імпульсним впливом I параметрами

(і_хХ4):=г|> шЛ + Р и}хт',^)+.„ + р«?ХС-«=

^ Гщ. т-і о .

а ^ш+с«)л,±.^г-^«(.о,т)( (31})

р

«ие В , рат+С-, (35)

^(СлхН•£:.-+ 0) •+ сЦ х'Ч'Г.-е?)» -і =>1,714, 'З 6)

і'в г

де сшА - скалярний добуток вектора Л'=(\,..., Я&) І куеково-Нвпврервнот ввктор-функиїї с^) яСС^І-и, ... з можливими розривами першого роду при Н==*^, -і = Г^ <-ьл, рвС+1, К = оп\ -кусково-неперервні Функції з можливими розривами первого роду приіа'Хі . -іоТ^Г^ , Причому ; Т;6(0,Т^- *ТксованТ моменти чаоу Імпульсного впливу;£р(хі я ІФ, із:}, ..., р=тп+{~

вектор, компоненти якого - лїнІйнТ обмежені Лунгаїонали на класі Кусково-неперервних функцТй з можливими розривами першого роду при а “ .

В §б рівняння (ЗО представляється у виглядТ (Ах)«:) + 6«)Д =-£и) + сЦі1Л+ (ЬосД^ ,

де (А,ї)№-сВх)С-(:)— (/.хХ-Ь), а кусково-неперервна вектор-функція б№)підбирається таким чином, щоб однортдна крайова задач*

(АМЧЦ 6<-С>^и =0, фц/^О,

+сіі.ііГ'і('Гг^)яО, ‘

* і *

< *

мала тільки тривіальний розБ”£зокіГси=Р.,£і=С І викладається метод зведення задачі (3%)-(?б) до рівносильно? їй системи Інтегральних рівнянь виду

илі^елю* £ г=,-ЇГ. (38)

. і-1 а. ' 1

Встановлено умова Існування розв"язку вихідної задачі.

В §7 до задачі (?ч)-(?бУ застосовується козоЕанТйно-Ітера-тиеіїий метод, згідне якого ва&шкеиТ розв"язки задачі (30-06) визначиться Із допоміжної задачі

(А\)Ш-ї ^Сі)Лк - !<.■« +

te(0,т^> іа{^іг (39) Я?(СЄь)~Л ХбЯР, (40)

Ж

де

іи ііі

'

(«>

■ р* і і к і 4» .

йгвїдзк! варвяеїри визначаємо Тз уиговк .

де - вузли квлокзаТТ , причому *і Ф'іі, і-іп--і, і = £м.

' Кеарданатне система функцій ІЛ^и’іДта йистока вйкїорі*

«й- ії У * задовольнять спгевТ дкошеиня ІЧ! V*

’ (&!и)Ш + &(*) У-.Ш, • й5:)

тпч

■V* і ^ ^

ЛЛССД (1.4-0) + СІЛ ’і; (Ї.^)) = 0, і=Гі£ї. (М

І*# 4 І 1 ,

сиотеиа лТнТано-ЕЗзалззсшх, жуехозо-яеперзрзних йуй-каїй з иояливгога розразата тіертазго раду при , і-

Мзтод (Зві-С'й) зводиться зо колокннТЯко-Ттерзтизвого методу роззув*узапта стгстзми Тктегральнв* рівняні (ЗЯ) _

- 6 •

ЧД?) =■ ?~ф + Р \*&Ч ^С5)+-иГс^) о£.Б (47)

х \ * і

4*Ф = Ей?%Ф, («)

. і*' де І(- о£о$1.

З §8 шва обгрунтування ЗЕпрепвйсааяого мэгоду (ЗЮ/ЧМ). Веівля явзтдаения

£\й*іЛіі-и£\|і іТД*і=£*Ф-«гДв Г50)

1, 9> *. * Ч. * * Ь '

та виконавши пєряі ггерзтвореняя, ’показується, що алгоритм 0а)-(ЭД) рІвнзсилмшЛ навтупніт співвідношенням; - '

<гД^в (5і)

'пт=-4 а,

ір.

‘

^ (52)

її» ■

де ядра операторів переходу М<4^»^ЧлД^ ,обчиелввтьол 8а даними задачі (ЗО-(36), коврдяиатнимя ■ЗуттіТяни Т вузлами коло каиИ .

Нехай для йудь-йкоТ ^уяадІТ 4і*виконуються керїз««ст!

8 & ь І \11- УМ.*> '»<Ч «*РіЕ У-"’44'(,1)

«. да~1 «. 14*' о.

~1 . ь 12 Е »

і*« а. «ч і ""' І

Теорема 8.1. ЯкиоС^|^< , то крайова задача Ой}-(36) мае едк-ний розв'язок -х‘а), 'Х* , І послідовності {хкс-ы], ^Я*$» п®б$довав1 згідно методу (39)-(44). зйгавться до цього розв^гку.

Теорема 8.?. Нехай крайова задача (ЗО-Об) и®® едявий розв"й-эокэЛ*>, й* І'нехай система вектор-функцій »вЫ Т вузлії кодокації підібрані таку.ы чином, щ©

И

1 1 !^.Да)- ЛД.^)!г<Ц<±ъ(55)

“ О-В'

да

и'и ■

Іч ^ *

Тоді Існує такий номер і)0«тпіпі=ЇА, що при всіх фїкебзгяия-(^послідовності и'*і* побудовані згідно методу (3£)-(<Мі),

збігається до розв'язку зЛ*) , л*" їадач! (ЗО-(Зб).

При виконанні умови теореми <5.Т, справедливі кквтунвї

оцінки;

II *4® «■ ГРлГ ЕІііи.*-іх'-^й, (565

£)<«;-*. ««

ййі Хйрай*й|си'зуэгь ®ммк1«б $&[*№/ості и^втаду, 1 тісцуктьпі оцінки .

»«Ч» * Ї6«-\Г ^К-чГ-ЧЧ. .№>

в*'*,(.«?£«-%)'' ^К-Ч'-Ч‘і,

Я 1 » £«> ь ^ '

Єь« .

дг Асі/ - ІпіерівшІПяМ пвх*тм <*уіж*ттц{ф-ц£ф; ^ р -

Ле«-1 (їїМІ.- У

Крім нього, в дисертаційній роботі наведені приклади, які Тлсструвть ефективність запропонованого методу. Jeякі приклади паралельно розв'язуються декількома методами, а потім здійсняється порівняльний аналТз одержаних результатів.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах: '

Т. Поселвкна В.Б. КолокаиТйно-Ттеративний метод розв'язування крайової задачі для диференціальних рТвнянь з параметрами //^оп. АН України.-.1«9Э .-*9.- П.?І-?б.

2. Поселгкна 4.F. ?астосування нестаціонарного колокаційно-Ітеративного методу для Інтегральних рівнянь //Jon. АН УкгаТни.-

пл5-т*».

3. ПоселЕжна 4.F. КолокаиТйно-Ттеративний метод розв'язування крайової задачі для звичайних диференціальних рТвнянь з Тм-пульсним впливом Т параметрами //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения,- Киев: Ин-т математики НАН Украины, 199k.- С.Т62-Т63.

4. Пооалпкна В.Б. Растосування одного варіанту проекнТйно-Ітеративного методу до розв'язування крайової задачі для забарних ди^ренціальних рТвнянь з Імпульсним впливом І параметрами • //Тези доп. Четвертої МТжнар. наук, конференції Гм. академіка

М.Кравчука, Київ, ТТ-12 трав. Т995..р.- Вдв, 1995.- С.20Г. .

5. Поселвжна D.F, розв'язування крайовоТ задачі для звичай-

них дифэрвнцТальних рівнянь з Імпульсним впливом 1 параметрами колокваТйно-Ттеративним методом ///on. НАН ТкраТня.- I9a5.- *5.-C.I^-T 7. . ■

Поселвжна 4.F. Чоллокацяонно-ігтвратявянй метод решения краевой задачи для дифференциальных уравнений с параметрами и импульсным воздействием.

/иесертапия на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук по специальности:, ГТ.СІ.С2 - дифференциальны* уравнения. Wucthтут математики, Киев, Топ5.

'’ащиваютоя результата теоретических исследований, изложенные в диссертации, в 5 опубликованных работах.

Разработан коллокаиионно-итератичньй метод решения г.ра*?ой задячіі для ди^рвниинльннх уравнгний о парамерами и »уп»льсним гозд?Пстп!'»“м, *'гТ8и!0»леі!н усжпчт существования м «действенности

решения рассматриваемых задач. Получены условия сходимости метода, в rente оценки, характернаируниие скорость сходимости.

V.P. Posselyuzna Collocational-projective aethod for solving boundary probies fer differential equations *lth paraueters and le|iulse effects.

Thesis foi Pb.O degree of plijaleal and eatbeaatical sciences on speciality 01.01,02.-differential equations .Institute of «a-theBatlcs.Klev.1995.

■ Thesis, 5 scientific articles are defended.

An algorltbs of collocational-projective sethod concerning the boundary problem for differential equations »lth an lapulae effect and «1th paraseteis is b ui1t.Conditioni of solution existence and uniqueness ere established,convergence of oethods and errot estiaates ate obtained,

КлвчбвТ слова: Кракова за/сча, Тнтегральне рТвняння, колока-цТйно-ТтерйтявниЯ метод.

ПТдп. да? яру*у (Я .10.^. *оркат 60хЯ»/тл. ПапТр друк. 0*е. грук. Ун. Xpjx. врк. 0.S3. Ум. Wjt.-Btw. ар*. С‘,В.

Тира ТОО вр. 3aa.220FesKOTtOBHO. '

^Тлдруковаяо- в ТветтгутТ мвтечатшо! ”АЯ УкгаТн!' ?5?бС1 ГГи^тг J>, ITT , пул. TVj*5!» рн к Таська. ^