Кольцо когомологий и корреляционные функции в двумерной Лиувиллевской гравитации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Учреждение Российской Академии наук Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау

На правах рукописи

Берштейн Михаил Александрович

Кольцо когомологий и корреляционные функции в двумерной Лиувиллевской гравитации

01.01.03 Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой стега кандидата физико-математических наук

4849883

1 6 ИЮН 2011

Черноголовка 2011

4849883

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Фейгин Борис Львович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Кричевер Игорь Моисеевич

доктор физико-математических наук Хорошкин Сергей Михайлович

Ведущая организация: Математический институт

им. В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 30 июня 2011 г. в 11 часов 30 минут на , заседании диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теорети- ; ческой физики им. Л.Д. Ландау РАН по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н, г. Черноголовка, Институт физики' твердого тела РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан мая 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Гриневич П. Г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация посвящена изучению некоторых математических вопросов, возникающих в конформной теории поля. Обсуждаются вопросы, связанные с двумя конкретными теориями: двумерной минимальной Лиувил-левской гравитацией и парафермионной теорией Лиувилля.

Двумерная квантовая гравитация была введена в работе Полякова [1], в которой было показано, что при квантовании струны в размерности пространства-времени * 26 метрика на поверхности становится динамической вследствие конформной аномалии. Эта теория называется теорией Лиувилля. Под Лиувиллевской гравитацией понимается теория, функционал действия в которой является суммой действий трех теорий: материальной конформной теории поля, теории Лиувилля и духов, так что суммарный центральный заряд всех трех теорий равен нулю [2]. Минимальной Лиувиллевской гравитацией называется теория, конформной теорией материи в которой является минимальная модель [3]. За последние 10 лет был достигнут большой прогресс в минимальной Лиувиллевской гравитации. Например, для простейших операторов были найдены трех и четырехточечные корреляционные функции и операторная алгебра [4, 5].

Известно, что в случае минимальной гравитации есть дополнительные физические состояния. Их можно найти используя метод БРСТ квантования. Оказывается, что существует бесконечно много дополнительных физических состояний, с любыми духовыми числами [6]. Представляет интерес изучение этих состояний, в частности, вычисление их операторной алгебры.

С точки зрения теории представлений пространство состояний в Лиувиллевской гравитации является тензорным произведением представлений алгебры Вирасоро с двойственными значениями центрального заряда с и 26 - с умноженное на представление духов. Двойственность между соответствующими категориями представлений впервые была отмечена в работе Фейгина и Фукса[7]. В работах Архипова [8] и Сергеля [9] она была доказана немного в другом контексте, см также [10] и [11]. Однако, для вычисления корреляторов в Лиувиллевской гравитации нужна дополнительная информация об этой двойственности, а именно двойственность между модулярными функторами.

Другой важной задачей является задача сравнения результатов, полученных в Лиувиллевской гравитации с результатами других подходов — матричными моделями и топологической гравитацией. Относительно давним наблюдением является совпадение гравитационных размерностей [14]. В недавней работе Белавина и Замолодчикова 2008 года [15] было предложено гипотетическое соответствие между операторами в Лиувиллевской гравитации и матричных моделях. Однако точка в этом вопросе еще не поставлена.

Представляют интерес обобщения теории Лиувилля: 2ц парафермион-ные теории Лиувилля предложенные Фатеевым и Замолодчиковым[16]. В случае N = 1 эта теория совпадает с обычной теорией Лиувилля. В случае N = 2 это теория является суперсимметричным аналогом теории Лиувилля. В обеих этих теориях известна трехточечная функция см. [12] для Ли-увиллевского случая и [13] для супер аналога. Интересно найти обобщение этой формулы на теории с более общей парафермионной симметрией.

Цель работы. Целью настоящей работы является изучение минимальной Лиувиллевской гравитации. Более конкретно: нахождение дополнительных физических операторов, вычисление операторной алгебры, корреляционных функций. Сравнение результатов полученных, при этом подходе с другими подходам в двумерной квантовой гравитации: матричными моделями и топологической гравитацией. Обобщение результатов теории Лиувилля на парафермионную теорию Лиувилля.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Найдена размерность пространства физических состояний (БРСТ ко-гомологий) в минимальной Лиувиллевской гравитации М(2,3). Изучена структура алгебры на этих когомологиях. Описано действие ко-гомологий алгебры Вирасоро на БРСТ когомологиях.

2. Введен функтор двойственности на категории представлений конечномерных алгебр Ли. Построено невырожденное спаривание между гомологиями двойственных объектов, согласованное с действием алгебры когомологий. Эта теория обобщена на случай бесконечномерных положительно градуированных алгебр. Для алгебр, обладающих полубесконечной структурой, доказано аналогичное утверждение о

двойственности между обычными гомологиями и полубесконечными гомологиями.

3. Найдены многоточечные корреляционные функции в параферми-онной конформной теории поля, содержащие три поля порядка и несколько полей из парафермионной алгебры.

Методы исследования. В работе используются различные методы теории представлений, гомологической алгебры и комбинаторики. Для нахождения физических состояний используются БРСТ когомологии. Кого-мологии вычисляются при помощи БГГ резольвент, состоящих из модулей Верма. Также применяются стандартные алгебраические аргументы, связанные с введением фильтрации и переходом к присоединенному градуированному пространству.

Научная и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут иметь применения в теории представлений и конформной теории поля.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались: на международной конференции «Second International Conference on String Field Theory and Related Aspects», Москва 2009, на международной конференции «Conformal Field Theory, Integrable Models and Liouville Gravity», Черноголовка 2009 г., на международной конференции «Representation Theory and Quantization», Цюрих 2010 г., а также на научных семинарах в МГУ им. Ломоносова и ИТФ им. Ландау.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех статьях в научных журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Содержание работы

Во введении дается обзор результатов, связанных с темой диссертации, а также формулируются основные результаты диссертации.

В первой главе изучается минимальная Лиувиллевская гравитация М(2,3). Это простейший пример минимальной Лиувиллевской гравитации, можно сказать, что это теория чистой гравитации, так как материальный сектор в этом случае тривиален.

В параграфе 1.1 определяется пространство состояний этой теории, вводится (Ь, с) система духов, определяется ВРСТ оператор <3, <Э2 = 0. Когомо-логии этого оператора называются физическими состояниями теории. Эти когомологии бывают двух видов: относительные Нте1 и абсолютные //аЬБ, им посвящены параграфы 1.2 и 1.3 соответственно. В нашей теории вычисляются когомологии от неприводимых модулей £д алгебры Вирасоро со старшим весом Д и центральным зарядом с = 26.

Ответ для размерностей относительных когомологии был получен Ли-аном и Дукерманом [6]. Оказывается, что Нге^(£д) Ф 0 только при А, принадлежащим некоторому счетному множеству размерностей Е (мы обозначаем эти размерности ао, ах, ¿>1,02,62,- • •)• Для Д е размерности ко-гомологий также найдены Лианом и Цукерманом. Эти результаты кратко описаны в пункте 1.2.1. В пункте 1.2.2 приведен рекурсивный алгоритм нахождения представителей этих классов когомологий.

В пункте 1.2.3 рассмотрены два оператора

^ ОО I 1 00

Х = о Е "С-пСп, Е П3С-пСп,

^ П=-00 ^ П=-00

где с; — антикоммутирующие духи из (Ь, с) системы. Эти операторы коммутируют с дифференциалом и поэтому действуют на когомологиях. В приведенной ниже теореме доказывается важное свойство этого действия.

Теорема (1.2.1). Классы когомологий

Оап, ХОап, Х2Оап,...ХпОап, Х+Оап, Х2+Оап,...Х1-1Оап

образуют базис в пространстве когомологий Ще1(£ап).

Через Оап в этой теореме обозначается класс когомологий ЩА{£ап) с наименьшей градуировкой (духовым числом). Эту теорему можно проиллюстрировать следующим образом:

х+оа-—^ Х10ап

хп~г оа,

х+ - лгЪгл Х+ . Х+ . уп-1

ХГ'Оа.

ХП0ап

-п+1, -п + 3, -п+5, ... п-1, п+1.

Параграф 1.3 посвящен изучению абсолютных БРСТ когомологий. Лиан и Цукерман доказали, что когомологии нетривиальны если, и только если, А е Е. Мы уточним этот результат:

Теорема (1.3.1). при п> 0. В случае п = 0

1, к = -п+ 1, -п + 3,..., п-1, 1, к = -п + 4, -п + 6,..., п + 2, 0, иначе

&тЯ£е1(£ао)=<5м+<5л,2.

Здесь через 5^ обозначена дельта функция Кронекера. Эта теорема доказывается с помощью длинной точной последовательности, связывающей относительные и абсолютные когомологии. Дифференциал этой последовательности совпадает с действием оператора X на пространстве относительных когомологий. Это действие вычисляется с помощью теоремы 1.2.1.

Также в параграфе 1.3 вводится оператор

¥=То £ (г-]){з-к)(к-1)с1с5ск,

^ О

действующий на пространстве абсолютных когомологий. С его помощью удается изучить структуру операторной алгебры на пространстве абсолютных когомологий. На алгебру налагаются довольно сильные ограничения, вытекающие из правил отбора в теории Лиувилля и связи умножения алгебре с действием операторов Х+ и У.

В параграфе 1.4 приводятся некоторые явные формулы для представителей БРСТ когомологий неприводимых модулей алгебры Вирасоро при с=26, полученные при помощи процедуры из пункта 1.2.2.

Во второй главе изучаются гомологии и полубесконечные гомологии алгебр Ли. Из общей теории развитой в этой главе вытекает теорема 1.3.1.

В параграфе 2.1 приведены определения и основные свойства гомологий алгебр Ли.

В параграфе 2.2 определяется функтор двойственности Б. Пусть д — конечномерная алгебра Ли, К — ограниченный комплекс конечнопорож-денных 0 модулей. Введем функтор Б0{К) = Нот(/С, (7)ор, где верхний индекс ор означает замену правого действия алгебры 0 на левое, II = и(д) — универсальная обертывающая алгебры Ли д.

Идея этого определения, в общем, стандартная и полностью аналогична определению функтора двойственности в теории -О-модулей или в теории представлений р-адических редуктивных групп. В параграфе 2.2. доказаны стандартные свойства этого функтора.

Предложение (2.2.1). Пусть V — конечномерное представление алгебры д. Тогда £>0(К) = V* ® £*(>].

Здесь использованы обозначения сУтд = п и К. = Л"д. Это свойство, в частности, означает, что образ конечномерного представления под действием функтора сосредоточен только в одной градуировке. Свойства такого типа иногда называют чистотой, в теории .О-модулей аналогичным свойством обладают голономные -О-модули. ¡, ,

Предложение (2.2.2). Пусть К — ограниченный комплекс конечно порожденных д модулей. Тогда существует невырожденное спаривание

(-, -): К) в Я_,(0, £„(*)) - С-

Это спаривание согласовано с действием Я*(д,С), т.е

(ииа, Ь) = (а,и>Ь),

гдегоеНк(в,С), аеН^.К), Ьс Н^+к(д,Ов(К)).

В этом предложении в качестве градуировки Щ(д,-) берется сумма градуировки комплекса К. и гомологической градуировки (поэтому она может быть и отрицательной). Обобщением этого предложения является

Предложение (2.2.3). Пусть () — подалгебра в д коразмерности <1, V — конечномерное представление. Тогда существует невырожденное спаривание

(-, -): V) ® #_;_<£([), ЗД0 ® М) СМ,

где М = Ad(g/l)). Это спаривание согласовано с действием H"(tj,C).

Целью параграфа 2.3 является обобщение результатов предыдущего параграфа на случай бесконечномерных алгебр Ли. Для этого на алгебру Ли 0 и ее представления V налагаются следующие два условия.

(*1) Алгебра g является положительно градуированной, более точно 0 =

ф Oi, где dimjjj < оо. Под представлениями понимаются градуированные teN

конечно порожденные представления.

(*2) Для любой подалгебры () с g конечной коразмерности dim #<([), К) <оо, Vi.

Представления V, удовлетворяющие (*2), имеют свободную резольвенту, конечно порожденную в каждом члене. Алгебры 0, удовлетворяющие условию (*1) являются проективными пределами нильпотентных, поэтому дуализирующий модуль К = С. В условиях (*1) и (*2) верен естественный аналог предложения 2.2.1:

Теорема (2.3.1). Пусть g и модуль V удовлетворяет условиям (*1) и (*2). Тогда комплекс Dg(V) — ацикличен.

Неформально можно думать, что гомологии Dg(V) равны V* и сосредоточены в градуировке dimg, то есть на бесконечности. Относительный вариант двойственности (предложение 2.2.3) также переносится на бесконечномерный случай:

Теорема (2.3.2). Пусть алгебра JIu g удовлетворяет условию (*1), f) -подалгебра конечной коразмерности d, V — g-модуль, удовлетворяющий (*2). Тогда существует невырожденное спаривание

(-,-): Hi(b,V) ® H+d(b,Dg(V) в М) C[d],

где М = Ad(g/(j). Это спаривание согласовано с действием Л"((),С).

В параграфе 2.4 обсуждаются примеры, иллюстрирующие предыдущие теоремы. Пусть q — полупростая алгебра Ли, g = q[i_1]i_1, V — интегрируемый модуль над аффинной алгеброй Каца-Муди q = g[i,£_1] + С К. Тогда g, V — удовлетворяют условиям (*1) и (*2).

По аналогии можно рассмотреть случай алгебры Вирасоро Vir. Пусть 0 = Vir<o, V = С — ее тривиальное представление. В этом случае условия (*1) и (*2) также выполняются.

Кроме того, приводится пример, показывающий, что условие (*2) является необходимым для теоремы 2.3.1. Пусть 0 - свободная алгебра Ли с двумя образующими х, у градуировки 1, V = С. Тогда у модуля С есть удобная резольвента, состоящая из двух членов: 0 *- С+- и <-[/©[/. Если с

ее помощью вычислить функтор Бд, то получится комплекс С/ и®1/, который не является ацикличным, а имеет бесконечномерные первые гомологии. Теорема 2.3.2 в этом случае также не выполняется.

В параграфе 2.5 обсуждается двойственность между полубесконечными и обычными гомологиями. Пусть 0 имеет полубесконечную структуру (см.

[17]). Это означает, что 0 = ® 0г = Ь ® п, где сНто* < оо, Ь = дй0 = Ф 0г и

гго

п = 0<() = ®01. Кроме того, задан 7:0 -* С - 1-коцикл алгебры 0, такой, ¿<о

что когомологический дифференциал ¿(7) равняется «критическому» 2-коциклу алгебры 0 и 7(0») = 0 при г ф 0.

В этих предположениях можно определить полубесконечные когомоло-гии, которые, неформально говоря, являются гомологиями относительно п и когомологиями относительно Ь. Для случая алгебры Вирасоро полубесконечные когомологии совпадают с БРСТ когомологиями, обсуждавшимися в главе 1.

Для построения функтора двойственности используется полурегулярный бимодуль 1? [9, 11], который является полубесконечным аналогом универсальной обертывающей алгебры {/ и двойственного пространства 17*.

Сам функтор двойственности удобно определить в два этапа. Пусть V — 0 модуль, тогда Т(у) = Б ® V. Например, пусть V — модуль Верма, т.е. 0 модуль, индуцированный с одномерного представления алгебры Ь. Тогда Г(У) — модуль двойственный к модулю Верма. Положим П(У) = Т(У)®ор, где © означает взятие градуированно двойственного пространства, ор означает замену правого действия на левое. Тогда функтор Г> переводит модули Верма в модули Верма с двойственным старшим весом. Следующая теорема устанавливает двойственность для гомологии.

Теорема (2.5.1). Пусть 1 — подалгебра в 0о- Тогда существует, невырожденное спаривание

(-,-): ® Н°°/2~Ъ,1,0(К)) - с.

Это спаривание согласованно с действием Я" (0,1, С).

Параграф 2.6 посвящен гомологиям алгебры Вирасоро. Мы приводим результаты Гельфанда-Фукса [18] и предъявляем явные формулы для представителей классов гомологий алгебры Вирасоро.

Основной целью параграфа 2.7 является доказательство теоремы 1.3.1. Эта теорема говорит о полубесконечных когомологиях неприводимых представлений алгебры Вирасоро.

Для этого рассматривается комплекс А, состоящий из модулей Верма над алгеброй Вирасоро с центральным зарядом 26:

В этой формуле через Vai и Vbi обозначены модули Верма над алгеброй Вирасоро с центральным зарядом 26 и старшим весом а; и Ь» соответственно. Числа di,bi — это в точности те, которые упоминались в главе 1.

С одной стороны, комплекс А совпадает с D(C). Поэтому по теореме 2.5.1 относительные полубесконечные когомологии с коэффициентами в А являются свободным модулем над алгеброй Я"(Vir, (Lq, с),С). С другой стороны, обрезания этого комплекса являются резольвентами неприводимых модулей Lai, L^ алгебры Вирасоро. Из этого и следует, что полубесконечные когомологии H°°l2{vit,(Lo,c),lak) и //°°/2(Vir, (Lq, с), ььк) являются циклическими модулями над Н' (Vir, (Lo, с), С). По сути, это и есть утверждение теоремы 1.3.1.

Третья глава посвящена сравнению результатов различных подходов к двумерной гравитации. В параграфе 3.1 даются основные определения. В пункте 3.1.1 приводятся основные формулы Лиувиллевской гравитации. Действие в этой теории имеет вид

где 5мм — это действие минимальной конформной теории поля, — Лиувиллевское действие и 5сьоз1 ~ стандартное действие духов. В диссертации обсуждается случай минимальной Лиувиллевской гравитации М(2,2р+1). В этой теории есть р физических полей 0 < к < р— 1, составленных из примарных полей в материальной конформной теории поля и Лиувиллевской теории. Их корреляционные функции удобно организовать в производящую функцию

Va0 - Vai © vbl Va, e Vb2 Va3 © Vb3 - . ..

S = SmM + Sl + 5g host

FLG(Ai,...,Afc)= £ (Okl...Okn)

Afci •. • Akn

fci.fca,...

|Aut(fci,... ,fcn)|

Эта функция разлагается по родам FLG = + + ..., где — производящая функция корреляторов рода д. В пункте 3.1.1 объясняется, что вклад рода ноль должен иметь вид

Из определения функции FLG следует, что формально к определена своим разложением в степенной ряд. В следующих двух пунктах обсуждается од-номатричная модель, которая должна соответствовать Лиувиллевской гравитации, и струнное уравнение, которое возникает в двойном скейлинговом пределе в окрестности критической точки. Через о,...,£/ь) обозначим лидирующий сингулярный член свободной энергии около р-критической точки. Тогда если определить и по формуле :

"(io.ii, • • • ,гР-ье) = 1,... ,*Р-1,е)/сйр_1,

I ■

то и должно удовлетворять струнному уравнению. Для того чтобы Г соответствовало Рьс необходимо, что бы ио имело вид

«оЫх,«2, • ■ ■ > Ь-г) = М1/2Ь ..., ^¿щ^) ,

где функция Н определена формально своим разложением в степенной ряд, щ это вклад рода 0 в разложение функции и: '

и(Ь, е) = щ + ще2 + иге4 + ...

В начале параграфа 3.2 мы приводим Виттеновское определение производящей функции в топологической гравитации. Известно, что она тоже является решением струнного уравнения. Основной вопрос — как связаны это решение и решение, которое должно соответствовать Лиувиллевской гравитации. Разбирается простейший пример Лиувиллевской гравитации (2,5). В этом примере йо из топологической гравитации равна

- г (ЗА*)! Р0кз+1 £,£\3£\ ио~Г3(2кз + 1У-кзЧ1-*1)зкз+1 V ^ V?

В то время как «о, соответствующая Лиувиллевской гравитации, имеет вид

Зх2

ио^ц1'2

8д5/2

Они не совпадают, но являются разложениями в ряд двух разных корней струнного уравнения и3 - ци + х = 0 в точке х = 0, т.е. связаны нетривиальным аналитическим продолжением. Объясняется, что при этом аналитическом продолжении не только йо перейдет в ио, но и все й перейдет и, поэтому уравнения топологической рекурсии, тавтологически выполненные для функции й, выполняются и для и.

Для большего р ситуация становится еще сложнее, так как получаются разложения корней струнного уравнения в разных точках в пространстве с координатами ¿о> ¿р-1-

В параграфе 3.3 объясняется, как получить выражения для ик через щ и ее производные по х.

Глава 4 посвящена вычислению корреляционных функций в пара-фермионной конформной теории поля [16]. В параграфе 4.1 размещены необходимые предварительные сведения. Также сформулирована задача вычисления корреляционной функции от трех полей порядка сгк1(х1,х1),сгк2(х2,х2),сгкз(хз,хз), п операторов парафермионной алгебры Ф(г)Ф(г)

Удобно записать тг = тИ - к. Из структуры операторного произведения следует, что корреляционная функция не равна нулю только в одном из следующих случаев:

кх + к2 + к3 = 2к, 0 < Щ < к < И, к\ + к2 + к3 = N + 2к, 0 < к < к^ < N.

Эти случаи аналогичны и дальше в диссертации в основном рассматривается первый из них. В параграфе 4.1 показывается, что корреляционная функция должна иметь вид

.....

\Х12\26"\Х13\^\Х23\2*» П \Uj\T

»«У

где х^ = Хг - X], ¿у = и - — некоторые фиксированные рацио-

нальные числа, — некоторый численный множитель. Функция

pST'^'Wj), определенная в предыдущей формуле, является многочленом, симметричным по t\,...,tn. В параграфе 4.1 показано, что этот многочлен должен удовлетворять следующим свойствам :

P(x7l|iTl) = f[x-{m-1)ki fl^-^ilW, j-1 ç=1

P(a;j + A|ij + A) = P(cci|ij), (4.17)

P(x1,x2,x3\x,.. .x,ti,.. ,in_w_i) = 0,

N+l

P(xi,x2,x3\xj,.. .Xj,ti,.. .tn+kj-.N-i) = 0 при j = 1,2,3.

N+l-kj

В параграфе 4.2 доказывается теорема.

Теорема (4.2.1). Существует и единственный с точностью до умножения на константу многочлен Pfflkl'k2'k3\xi,x2,x3\ti,... ,tn), удовлетворяющий свойствам (4-17).

Существование такого многочлена доказывается явной конструкцией. Единственность доказывается при помощи предложенной в [19] комбинаторной фильтрации на пространстве многочленов.

В параграфе 4.3 объясняется, как многочлен, построенный в теореме 4.2.1, применяется для нахождения трехточечной корреляционной функции в парафермионной теории Лиувилля.

Цитированная литература

[1] A. Polyakov, Quantum geometry of bosonic strings. Phys.Lett. B103, (1981), 207.

[2] J. Distler, H. Kawai, Conformai field theory and 2-D quantum gravity or who's afraid of Joseph Liouville? Nucl. Phys. B321, (1989), 509,

F. David, Conformai field theories coupled to 2-D gravity in the conformai gauge. Mod. Phys. Lett. A3, (1988), 1651.

[3] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov, Infinite conformai symmetry in two-dimensional quantum field theory, Nucl. Phys. B241 (1984) 333-380.

[4] Ал. Б. Замолодчиков, Трехточечная функция минимальной лиувил-левской гравитации ТМФ 142 2 (2005) 183 hep-th/0505063vl.

[5] А. А. Белавин, Ал. Б. Zamolodchikov, Интегралы по пространству модулей, кольцо дискретных состояний и четырехточечная функция в минимальной лиувиллевской гравитации, ТМФ 147:3 (2006) 339 hep-th/0510214.

[6] В. Lian, G. Zuckerman, New Selection Rules And Physical States in 2D Gravity. Phys. Lett. B254, (1991), 417.

[7] B. Feigin, D. Fuchs, Verma modules over the Virasoro algebra. Lectures Notes in Math. 1060 Springer, Berlin, (1984) 230-245.

[8] S. M. Arkhipov, Semi-infinite cohomology of associative algebras and bar duality, Internat. Math. Res. Notices, 17, (1997), 833-863.

[9] W. Soergel Character formulas for tilting modules over Kac-Moody algebras, Represent. Theory 2 (1998), 432-448.

[10] L. Positselski Homological Algebra of Semimodules and Semicontramodules Monografie Matematyczne, vol.70, Birkhauser Basel, (2010).

[11] K. Iohara, Y. Koga, Representation theory of the Virasoro algebra, Springer Monographs in Mathematics, London: Springer-Verlag London Ltd (2011).

[12] H. Dorn and H. J. Otto, On correlation functions for noncritical strings with с < 1 d> 1, Phys. Lett. B291 (1992) 39-43, hep-th/9206053.

H. Dorn and H. J. Otto, Two and three point functions in Liouville theory, Nucl. Phys. B429 (1994) 375-388, hep-th/9403141.

A. B. Zamolodchikov and Al. B. Zamolodchikov, Structure constants and conformal bootstrap in Liouville field theory, Nucl. Phys. B477 (1996) 577-605, hep-th/9506136.

[13] R. C. Rashkov and M. Stanishkov, Three-point correlation functions in N = 1 Super Lioville Theory, Phys. Lett. B380 (1996) 49-58, hep-th/9602148.

R. H. Poghosian, Structure constants in the N = 1 super-Liouville field theory, Nucl. Phys. B496 (1997) 451-464, hep-th/9607120.

[14] V.G. Knizhnik, A.M. Polyakov, A.B. Zamolodchikov Fractal structure of 2d quantum gravity Modern Physics Letters A 3, 8 (1988) 819-826.

[15] A. A. Belavin, A. B. Zamolodchikov, On correlation numbers in 2D minimal gravity and matrix models, Jour. Phys. A42 (2009) 304004; arxiv:0811.0450. .

[16] А.Б. Замолодчиков, В.А. Фатеев, Нелокальные (парафермионные) токи в двумерной квантовой теории поля и самодуальные критические точки в Zдг-симметричных статистических системах, ЖЭТФ, 89 (2), (1985) 380-399.

[17] A. A. Voronov Semi-infinite homological algebra. Invent. Math. 113, (1993) 103-146.

[18] И. M. Гельфанд, Д. Б. Фукс, Когомологии алгебры Ли векторных полей на окружности, Функд. анализ и его прил., 2:4 (1968), 92-93. 1

[19] А. В. Стояновский, Б. JI. Фейгин, Функциональные модели представлений алгебр токов и полубесконечные клетки Шуберта, Функц. анализ и его прил. 28 1 (1994) 68-90, arXiv:hep-th/9308079vl.

Работы автора по теме диссертации

[1] О.В. Алексеев, М.А. Берштейн, Кольцо физических состояний в М(2,3) минимальной лиувиллевской гравитации, ТМФ, 164(1), (2010) 119-140 arXiv:0906.1377v2.

[2] A. Belavin, М. Bershtein, G. Tarnopolsky, A remark on the three approaches to 2D Quantum gravity, Письма в ЖЭТФ, 93 (2), (2011) 51-55 arXiv:1010.2222v3.

[3] M. A. Bershtein, V. A. Fateev, A. V. Litvinov, Selberg integrals and three-point correlation function in parafermionic Liouville field theory, Nuclear Physics В 84 (2011) 413-459, arXiv:1011.4090v2.

Введение

1 Минимальная Лиу вил ленская гравитация М(2,3)

1.1 Предварительные замечания.

1.2 Относительный БРСТ комплекс.

1.2.1 Теоремы Лиана-Цукермана

1.2.2 Рекуррентное построение базисных состояний.

1.2.3 Операторы, действующие на пространстве относительных кого-мологий.

1.3 Абсолютные когомологии.

1.3.1 Размерности когомологий.

1.3.2 Операторная алгебра.

1.4 Явные формулы.

2 Гомологии алгебр Ли

2.1 Предварительные замечания.

2.2 Функтор двойственности.

2.3 Обобщение. Бесконечномерные алгебры Ли.

2.4 Примеры.

2.5 Обобщение. Полубесконечные гомологии.

2.6 Когомологии алгебры Вирасоро.

2.7 Доказательство Теоремы 1.2.1.

3 Разные подходы к гравитации

3.1 Предварительные замечания.

3.1.1 Лиувиллевская гравитация.

3.1.2 Матричные модели

3.1.3 Струнное уравнение.

3.2 Сравнение с топологической гравитацией.

3.3 Вычисления для родов 1 и 2.

4 Корреляционные функции в парафермионной теории

4.1 Парафермионная конформная теория поля

4.2 Задача про многочлены.

4.3 Парафермионная теория Лиувилля.

Диссертация посвящена изучению некоторых математических вопросов, возникающих в конформной теории поля. Обсуждаются вопросы, связанные с двумя конкретными теориями: двумерной минимальной Лиувиллевской гравитацией и параферми-онной теорией Лиувилля.

Двумерная квантовая гравитация была введена в работе Полякова [57], в которой было показано, что при квантовании струны в размерности пространства-времени Ф 26 метрика на поверхности становится динамической вследствие конформной аномалии. Эта теория называется теорией Лиувилля. Под Лиувиллевской гравитацией (в подходе Давида—Дистлера—Каваи [26, 27]) понимается теория, функционал действия в которой является суммой действий трех теорий: материальной конформной теории поля, теории Лиувилля и духов

5 = Бм + Бь + Я9к, так что суммарный центральный заряд всех трех теорий равен нулю:

Сь + См + СдН = 0.

Минимальной Лиувиллевской гравитацией называется теория, в которой конформной теорией материи является минимальная модель [23]. За последние 10 лет был достигнут большой прогресс в изучении минимальной Лиувиллевской гравитации. Например, для простейших операторов были найдены трех и четырехточечные корреляционные функции и операторная алгебра [5, 2].

Известно, что в случае минимальной гравитации есть дополнительные физические состояния. Их можно найти используя метод БРСТ квантования. В этой процедуре физические состояния отождествляются с классами БРСТ когомологий. Оказывается, что существует бесконечно много дополнительных физических состояний с любыми духовыми числами [53]. Представляет интерес изучение этих состояний, в частности, вычисление их операторной алгебры.

Сделаем два уточнения. Во-первых, существует два варианта Лиувиллевской гравитации. В первом из них Лиувиллевский сектор реализуется свободными полями. По-другому можно сказать, что пространство состояний является Фоковским представлением алгебры Вирасоро ([34]). В этом случае БРСТ когомологии известны, их операторная алгебра изучалась в работах [50, 46]. Во втором варианте Лиувиллевской гравитации пространство состояний в гравитационном секторе представлено неприводимыми модулями (см. [68]). В настоящей работе мы рассматриваем вторую формулировку Лиувиллевской гравитации.

Второе уточнение относится к понятию БРСТ когомологий. Для алгебры Вирасоро можно рассматривать относительные и абсолютные БРСТ когомологии. Размерности относительных найдены [53]. Однако структура ассоциативной операторной алгебры есть только на абсолютных когомологиях. В первой главе мы находим размерности абсолютных когомологий в минимальной Лиувиллевской гравитации М(2,3). Это простейший пример минимальной Лиувиллевской гравитации, можно сказать, что это теория чистой гравитации, так как материальный сектор в этом случае тривиален. Также мы изучаем операторную алгебру, образованную абсолютными когомологиями.

С точки зрения теории представлений пространство состояний в Лиувиллевской гравитации является прямой суммой тензорных произведений неприводимых представлений алгебры Вирасоро с двойственными значениями центрального заряда с и 26 — с, умноженных на представление духов. В случае М(2,3) речь идет просто о прямой сумме неприводимых представлений алгебры Вирасоро при с = 26, умноженных на представление духов. Если на прямой сумме этих представлений имеется структура вертекс-операторной алгебры, то на пространстве БРСТ когомологий есть стуктура кольца, которую мы изучаем.

Для изучения неприводимых представлений при с — 26 используется двойственность между ними и представлениями при с = 0. Двойственность между категориями представлений алгебры Вирасоро при центральных зарядах с и 26 — с впервые была отмечена в работе Фейгина и Фукса [33]. В работах Архипова [16] и Сергеля [62] она была доказана немного в другом контексте, см. также [58] и [48]. Однако для изучения БРСТ когомологий и корреляционных функций нужна дополнительная информация — двойственность между гомологиями двойственных объектов.

Во второй главе доказываются две теоремы двойственности такого вида. В первой устанавливается двойственность гомологий двойственных объектов относительно нильпотентных подалгебр алгебры Вирасоро. Это интерпретируется как двойственность между модулярными функторами. Во второй теореме устанавливается двойственность между полубесконечными и обычными гомологиями, что позволяет вычислять полубесконечные когомологии (которые совпадают с нужными нам БРСТ когомологиями).

Другой важной задачей является задача сравнения результатов, полученных в Лиувиллевской гравитации, с результатами других подходов — матричными моделями и топологической гравитацией (см., например, обзоры [41, 29]). Этому вопросу посвящена третья глава.

В ней обсуждается одна конкретная р-критическая матричная модель. Корреляционные функции определяются как производные свободной энергии -Р(£о> ¿1, - ■ •, £^-1) в некоторой точке. Важным свойством свободной энергии является выполнение струнного уравнения и КдФ уравнений. Мы рассматриваем некоторое конкретное решение струнного уравнения в точке £0 = ¿1 = ¿2 = • • • = 1 = 0. Такой выбор обусловлен сравнением с М(2,2р + 1) минимальной Лиувиллевской гравитацией. В простейшем случае р = 2 корреляционные функции в обоих подходах совпадают. Для больших р ситуация становится сложнее, корреляционные функции совпадают только после нетривиальной замены переменных, предложенной в [21]. Отметим, что это совпадение проверено в ряде случаев [21, 20, 22], но общего доказательства пока не найдено.

Под матричной моделью можно понимать не только модель, упомянутую выше. Например, Гросс и Мигдал в классической работе [47] определяли корреляционные функции как производные, вычисленные в другой точке £0 = ¿1 = . = £р2 = 0, ¿р 1 = ¿. Другая возможность заключается в том, что количество переменных (формально) устремляется к бесконечности (потенциал становится не многочленом, а степенным рядом). Свободная энергия ^(¿о, ¿1,.) определяется как решение струнного уравнения и КдФ иерархии. Гипотеза Виттена [66] утверждает, что функция I 6

F{t0, ¿i,.) совпадает с производящей функцией топологической гравитации (производящей функцией чисел пересечений на пространствах модулей кривых). Эта гипотеза была доказана в [52, 55].

В третьей главе обсуждается естественный вопрос — как связаны два решения струнного уравнения — производящая функция чисел пересечений FTG(t0,ti,.) и свободная энергия матричной модели FMM(£0, ¿1, • ■ ■, ¿p-i), упомянутая выше. Оказывается, что они не совпадают, однако связаны посредством некоторого аналитического продолжения. Из этого свойства следует, что некоторые из уравнений, справедливых для функции Ftg, переносятся на функцию FMM, в частности, так называемые уравнения топологической рекурсии.

Представляют интерес обобщения теории Лиувилля: Z^ парафермионные теории Лиувилля [7]. В случае N = 1 эта теория совпадает с обычной теорией Лиувилля. В случае N = 2 это теория является суперсимметричным аналогом теории Лиувилля. В обеих этих теориях известна трехточечная функция см. [30, 31, 68] для Лиувил-левского случая и [60, 56] для супер аналога.

В четвертой главе найдены многоточечные корреляционные функции в парафер-мионной конформной теории поля, содержащие три поля порядка и несколько полей из парафермионной алгебры. Это сводится к конкретной задаче из теории многочленов, которая решается в параграфе 4.2. Интересно, что применяемые рассуждения ранее использовались при изучении интегрируемых представлений алгебры Ли st2-Близкие задачи из теории многочленов возникают в работах по не абелевому, дробному, квантовому эффекту Холла [61]. Полученный результат применяется в работе [24] для нахождения трехточечной функции в парафермионной теории Лиувилля.

Основные результаты диссертации изложены в работах [1, 19, 24].

Автор глубоко благодарен A.A. Белавину и Б.Л. Фейгину за постановку задач и постоянный интерес к работе. Автор также признателен A.B. Алексееву, O.A. Бер-штейн, A.B. Литвинову, М.Ю. Лашкевичу, Д.А Полякову, Я.П. Пугаю, Г.М. Тарно-польскому за полезные обсуждения и поддержку.

1. О.В. Алексеев, М.А. Берштейн, Кольцо физических состояний в М(2,3) минимальной лиувиллевской гравитации, ТМФ, 164(1) (2010)/119-140; агХгу:0906.1377у2.

2. А. А. Белавин и Ал. Б. Замолодчиков, Интегралы по пространству модулей, кольцо дискретных состояний и четырехточечная функция в минимальной лиувиллевской гравитации, ТМФ 147:3 (2006), 339; Ьер-Ш/0510214.

3. И. М. Гельфанд, Д. Б. Фукс, Когомологии алгебры Ли векторных полей на окружности, Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), 92-93.

4. Л. В. Гончарова, Хогомологии алгебр Ли формальных векторных полей на прямой, Функц. анализ и его прил., 7:2 (1973), 6-14.

5. Ал. Б. Замолодчиков, Трехточечная функция минимальной лиувиллевской гравитации ТМФ 142 2 (2005) 183; Ьер-Ш/0505063у1.

6. А. К. Звопкин и С.К, Ландо, Графы на поверхностях и их приложения, Москва, МЦНМО (2010).

7. А.Б. Замолодчиков и В.А. Фатеев, Нелокальные (парафермионные) токи в двумерной квантовой теории поля и самодуальные критические точки в Е№симметричных статистических системах, ЖЭТФ, 89 (2), 380-399 (1985).

8. В. Г. Кац Вертексные алгебры для начинающих Москва, МЦНМО (2005).

9. В. Г. Кац Бесконечномерные алгебры Ли Москва Мир (1993).

10. A.M. Поляков, Негамилътонов подход в конформной теории поля, ЖЭТФ, 66 (1), (1974) 23-42.

11. А. В. Стояновский и Б. JI. Фейгин, Функциональные модели представлений алгебр токов и полубесконечные клетки Шуберта, Функц. анализ и его прил. 28 1 (1994) 68-90; arXiv:hep-th/9308079vl.

12. А. В. Стояновский и Б. JI. Фейгин, Реализация модулярного функтора в пространстве дифференциалов и геометрическая аппроксимация многообразия модулей G-расслоений. Функц. анализ и его прил. 28 4 (1994) 42-65.

13. Б. JT. Фейгин, Полу бесконечны,а гомологии алгебр Ли, Каца-Муди и Вира-соро, УМН, 39:2 236 (1984), 195-196.

14. Б. JI. Фейгип, Д. Б. Фукс, Когомологии групп и алгебр Ли, Группы Ли и алгебры Ли 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 21, ВИНИТИ, М., 1988, 121-209.

15. М. Хазевинкель Теорема двойственности для когомологий алгебр Ли Ма-тем. сб., 83(125), 4(12) (1970) 639-644.

16. S. М. Arkhipov, Semi-infinite cohomology of associative algebras and bar duality, Internat. Math. Res. Notices, 17, (1997), 833-863; arXiv:q-alg/9602013vl.

17. M. Bauer, P. Di Francesco, C. Itzykson and J.-B. Zuber, Covariant differential equations and singular vectors in Virasoro representations. Nucl. Phys. B362, (1991), 515.

18. A. Beilinson, B. Feigin and B. Mazur, Notes on Conformal Field Theory http: / / www. math. harvard. edu/"mazur /papers/scanTat e. pdf

19. A. Belavin, M. Bershtein, G. Tarnopolsky, A remark on the three approaches to 2D Quantum gravity, Письма в ЖЭТФ, 93 (2) (2011), 51-55; arXiv:1010.2222v3.

20. A. Belavin, G. Tarnopolsky, Two dimensional gravity in genus one in Matrix Models, Topological and Liouville approaches, Письма в ЖЭТФ, 92 4 (2010), 286-295; arxiv:1006.2056vl.

21. A. A. Belavin and A. B. Zamolodchikov, On correlation numbers in 2D minimal gravity and matrix models, Jour. Phys. A42 (2009), 304004; arxiv:0811.0450.

22. V. Belavin Torus Amplitudes in Minimal Liouville Gravity and Matrix Models Phys.Lett. B698 (2011), 86-90; arxiv:10105508vl

23. A. Belavin, A. Polyakov and A. Zamolodchikov, Infinite Conformal Symmetry in Two-Dimensional Quantum Field Theory. Nucl. Phys. B241 (1984), 333.

24. M. A. Bershtein, V. A. Fateev, A. V. Litvinov, Selberg integrals and three-point correlation function in parafermionic Liouville field theory, Nuclear Physics B 84 (2011), 413-459; arXiv:1011.4090v2.

25. J. Bernstein Representations of p-adic groups Lectures by Joseph Bernstein. Written by Karl E. Rumelhart. www.math.tau.ac.il/~bernstei/ Publicationlist/publicationtexts/BernstLecturep-adicrepr.pdf.

26. F. David, Conformal field theories coupled to 2-D gravity in the conformal gauge. Mod. Phys. Lett. A3 (1988), 1651.

27. J. Distler and H. Kawai, Conformal field theory and 2-D quantum gravity or who's afraid of Joseph Liouville? Nucl. Phys. B321 (1989), 509.

28. J. Distler and P. Nelson, Topological Coupling and Contact Terma in 2d Field Theory Comm. Math. Phys. 138 2 (1991), 273-290.

29. P. Di Francesco, P. H. Ginsparg, J. Zinn-Justin, 2-D Gravity and random matrices, Phys.Rep. 254 (1995), 1; hep-th/9306153

30. H. Dorn and H. J. Otto, On correlation functions for noncritical strings with c<ld>l, Phys. Lett. B291 (1992), 39-43; hep-th/9206053.

31. H. Dorn and H. J. Otto, Two and three point functions in Liouville theory, Nucl. Phys. B429 (1994), 375-388; hep-th/9403141.

32. B.L. Feigin, Conformal field theory and cohomologies of the Lie algebra of holomorphic vector fields on a complex curve, Proc. Int. Congress ofMathematicians (IICM-90) Vol.1, 71-85 (1991). Ed. by I. Satake, SpringerVerlag.

33. B. Feigin and D. Fuchs, Verma modules over the Virasoro algebra. Lectures Notes in Math. 1060 Springer, Berlin, (1984), 230.

34. B. Feigin and D. Fuchs, Representations of the Virasoro algebra. Representations of Lie Groups and Related Topics, 465, Adv. Stud. Contemp. Math., 7, Gordon and Breach, New York, 1990.

35. B.L. Feigin, D.B. Fuchs, Cohomology of some nilpotent subalgebras of the Virasoro and Kac-Moody Lie algebras, J. Geom. Phys., 5(2) (1988), 209-235.

36. B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, and E. Mukhin, A differential ideal of symmetric polynomials spanned by Jack polynomials at /3 = — (r — 1 )/{k + 1); arXiv:math/0112127vl.

37. E. Frenkel. Determinant formulas for the free field representations of the Virasoro and Kac-Moody algebras. Phys. Lett. B286 (1992), 71.

38. E. Frenkel and D. Ben-Zvi Vertex Algebras and Algebraic Curves Mathematical Surveys and Monographs (2004).

39. I. Frenkel, H. Garland and G. Zuckerman, Semi-infinite cohomology and string theory. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 83 (1986), 8442.

40. E. Getzler, Topological recursion relations in genus 2\ math.AG/9801003.

41. P. H. Ginsparg and G. W. Moore, Lectures on 2-D gravity and 2-D string theory, hep-th/9304011.

42. V. Ginzburg Lectures on D-modules http://www.math.harvard.edu/ ~gaitsgde/grad2009/Ginzburg.pdf.

43. I. J. Good, Short proof of a conjecture by Dyson, Journal of Mathematical Physics 11 6 (1970), 1884.

44. M. Goulian and M. Li, Correlation functions in Liouville theory, Phys. Rev. Lett. 66 (1991), 2051-2055.

45. S. Govindarajan, T. Jayaraman, V. John and P. Majumdar States of nonzero ghost number in c < 1 matter coupled to 2-D gravity Mod.Phys.Lett. A 7 (1992), 1063; hep-th/9112033 .

46. S. Govindarajan, T. Jayaraman and V. John Chiral rings and physical states in c < 1 string theory Nucl.Phys. B402 (1993), 118; hep-th/9207109 .

47. D.J. Gross and A. Migdal, A nonperturbative treatment of two dimensional Quantum Gravity Nucl. Phys. B340, (1990) 333.

48. K. Iohara and Y. Koga, Representation theory of the Virasoro algebra, Springer Monographs in Mathematics, London: Springer-Verlag London Ltd (2011)

49. C. Itzykson and J. B. Zuber, Combinatorics of the Modular Group II: the Kontsevich integrals, Int.J.Mod.Phys. A7 (1992), 5661; hep-th/9201001

50. H. Kanno and M. Sarmadi. BRST cohomology ring in 2D gravity coupled to minimal models. Int. J. Mod. Phys. A9 (1994), 39; hep-th/9207078.

51. I. Klebanov and A.M. Polyakov, Interaction of Discrete States in Two-Dimensional String Theory Mod. Phys. Lett. A6 (1991), 3273; hep-th/9109032vl.

52. M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, Comm. Math. Phys. 147 (1992), 1.

53. B. Lian and G. Zuckerman, New Selection Rules And Physical States in 2D Gravity. Phys. Lett. B254 (1991), 417.

54. B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154:3 (1993), 613; hep-th/9211072.

55. A. Okounkov and R. Pandharipande, Gromov-Witten theory, Hurwitz numbers, and matrix models I, Proc. Symposia Pure Math. 80 (2009), 325-414; arXi v: math/0101147v2.

56. R. H. Poghosian, Structure constants in the N = 1 super-Liouville field theory, Nucl. Phys. B496 (1997), 451-464; hep-th/9607120.

57. A. Polyakov, Quantum geometry of bosonic strings. Phys.Lett. B103, (1981), 207.

58. L. Positselski Homological Algebra of Semimodules and Semicontramodules Monografie Matematyczne, vol.70, Birkhauser Basel, (2010); arXiv:0708.3398vl2.

59. L. Positselski Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence Memoirs of the Amer. Math. Soc. 212 (2011), no.996, v+133 pp; arXiv:0905.2621v8.

60. R. C. Rashkov and M. Stanishkov, Three-point correlation functions in N = 1 Super Lioville Theory, Phys. Lett. B380 (1996), 49-58; hep-th/9602148.

61. N. Read and E. Rezayi, Beyond paired quantum Hall states: paraferrnions and incompressible states in the first excited Landau level, Phys. Rev. B59 (1999), 8084; arXiv:cond-mat/9809384v2.

62. W. Soergel Character formulas for tilting modules over Kac-Moody algebras, Represent. Theory 2 (1998), 432-448.

63. A. A. Voronov Semi-infinite homological algebra. Invent. Math. 113 (1993), 103146.

64. A. A. Voronov Semi-Infinite Induction and Wakimoto Modules. Amer. J. Math. 121 5 (1999), 1079-1094;. arXiv:q-alg/9704020v2.

65. E. Witten, On The Structure of The Topological Phase of Two-Dimensional Gravity, Nucl. Phys. B340 (1990), 281.

66. E. Witten, Two dimensional gravity and intersection theory on moduli space, Surveys in Diff. Geom. 1, (1991), 243.