Комбинированные и смешанные методы решения краевых задач механики деформируемого твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р Г 6 б^НКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

коносов

Геннадий Игнатьевич

УДК 629.12

На правах рукописи

КОМБИНИРОВАННЫЕ И СМЕШАННЫЕ МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

0.1.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург

1994

Работа выполнена в Институте горной механики АН Грузии.

Научный консультант заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации д. т. н., профессор А. П. ФИЛИН.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Е. Я. ВОРОНЕНОК;

в Актовом зале на заседании специализированного совета Д 053.23.01 при Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете по адресу: 190008, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

доктор технических наук, профессор В. В. КАРПОВ; доктор технических наук, профессор В. И. СЛИВКЕР.

Ведущая организация — ВНИИГ им. В. Е. Веденеева. Защита состоится >

Автореферат разослан

1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета

С. Г. КАДЫРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ. Работа посвящена трем взаимосвязанным проблемам.

Первая проблема - это проблема кесткого смещения в методе конечных элементов (МКЭ), которая возникает преимущественно при использовании кривдлинейных конечных элементов и реве при использовании прямолинейных, плоских конечных элементов, когда исследуются болыте деформации сооруяения. Проблема состоит в построении совместных аппроксимирующих Функций (совместного базиса) для конечного элемента, воспроизводящих смещения его как твердого тела и особенно актуальна в задачах расчета криволинейных тонкостенных конструкций на основе МКЭ. Численные исследования показывают, что при нецчете !естких смещений, точнее, когда эти смещения воспроизводятся по мере значительного уменьшения размеров элемента, сходимость численного решения оказывается чрезвычайно медленной, и для достикения приемлемого результата приходится разбивать соорщение на сливком большое количество элементов. Среди подходов к построению базиса конечного элемента, учитывавшего смещения его как жесткого целого, в силу ряда причин предпочтение может быть отдано алгоритму, предложенному автором ранее совместно с А.П.Филиным; однако базисы, полученные в соответствии с этим алгоритмом, обладают некоторой несимметрией, требующей согласования локальных систем координат соседних элементов. Другой аспект обсуяда-емой проблемы состоит в том, что в подавляющем большинстве работ вопросы весткого смещения исследуются численно на частных задачах и соответствующие выводы не могут претендовать на общность. В связи с изложенным представляются актуальными вопросы 'дальнейшего совершенствования указанного алгоритма в части, обеспечения симметрии базиса, а такве теоретического исследования проблемы жесткого смещения в МКЭ.

Вторая проблема, которой в диссертации отводится значительное место, так ве как и первая, связана с понижением размерности задачи (порядка соответствующей системы разрешающих алгебраических уравнений, числа неизвестных).

Известно, что при построении реиения краевой задачи на основе классических прямых методов с использованием гладких аппрок-симируюжих Функций размерность задачи значительно ниже, чем при ревении той же задачи на основе ЙКЭ. С другой стороны ННЭ позволяет легко обеспечить выполнение нерегулярных граничных условий. В связи с этим весьма ванной является идея разработки метода, сочетавшего в себе два указанных достоинства. Существуют различные методы, позволяющие полностью или частично реализовать эту идею. К методам, где отмеченная идея реализуется полностью, можно отнести методы конечно элементных комбинаций (МКЗК), граничных элементов СИГЭ). позволявшие значительно, в сравнении с МКЭ. сократить размерность задачи. Однако, несмотря на ряд достоинств, эти методы ииевт следующие основные недостатки: -согласование различных аппроксимаций вдоль обжей границы соответствующих подобластей обеспечивается ливь только в узловых точках (в точках между узлами аппроксимация является несогласованной); такая несогласованность аппроксимаций создает значительные проблемы в математическом обосновании сходимости соответствующих численных решений; - ограничены возможности в выборе аппроксимаций в подобластях, где режение гладко; в МГЭ эта аппроксимация связана с использованием фундаментального режения, что ограничивает возможности метода в режении сложных, в особенности нелинейных задач; в ИКЗК выбор аппроксимаций ограничен необходимостью их сопряжения в обеих узлах соответствующих подобластей, а также формой самих подобластей; отмеченные ограничения в выборе аппроксимаций создает трудности в использовании богатого "арсенала" готовых аналитических реиений для простых подобластей, а также специальных Функций, учитывающих особенность режения;

-режение граничной задачи на основе МГЭ с конечно элементной аппроксимацией режения (фиктивной нагрузки) на участке границы. где заведомо известно, что режение гладко, представляется не эффективным из-за повывения размерности задачи, в сравнении с использованием гладкой аппроксимации на этом участке;

-Формулировка граничной задачи в МГЭ существенно отличается от исходной неграничной формулировки; вследствие этого при

численной реализации МГЭ не удается воспользоваться в полной мере имевчимися пакетами прикладных программ по МКЭ.

В связи с изложенным представляется весьма актуальной разработка обцей эффективной схемы аппроксимации ревений слоеных краевых задач, в частности задач механики деформируемого твердого тела ШТТ), обладащей всеми достоинствами отмеченных методов и. вместе с тем. лишенной указанных недостатков.

Суцествувт классы краевых задач со следувщего рода особенностями:

-стационарные задачи с особенностями, местополояение которых заранее известно, однако оценить эти особенности с помоцьи МКЭ, а тем более с помоцьы классических прямых методов с использованием гладкой аппроксимации, чрезвычайно трудно (из-за больиой размерности задачи), или яе, практически невозможно;

-как стационарные, так и нестационарные задачи!: вышеотмечен-ныки особенностями, местополовениз и моменты времени возникновения которых определить заранее не представляется возмоя-ным; при использовании МКЭ. МГЭ здесь возникавт более значительные трудности, чем в предыдучем слцчае; одна из вая:шх трудностей - это неопределенность в выборе конечно элементной сетки, так как ее линии долхны включать подобласти нерегулярностей, местоположения которых заранее не известны.

Отмеченные вше трудности определявт третью из проблем, рассматриваемых в диссертации: количество публикаций, пос-вяценных этой проблеме, чрезвычайно мало.

Изложенное выие свидетельствует об актуальности разработки специальной эффективной схемы аппроксимации решений указанного класса задач, позволящей легко улавливать отмеченного рода особенности без увеличения размеров задачи, а также корректно "стыковаться" с другими аппроксимациями (МКЭ. МГЭ и др.).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: усовериенствовать вывеотмеченный алгоритм построения совместного базиса конечного элемента в части обеспечения его симметрии и исследовать, в какой степени обеспечение симметрии базиса сказывается на численном реиении; теоретически исследовать вопроен жесткого смешения в МКЭ применительно к линейным задачам МДТТ: разработать и

исследовать эффективную общую схему аппроксимации ревений сложных краевых задач, в частности задач ИДИ, лииеннуп отмеченных выше недостатков МКЗ. ЫКЭК. МГЗ и сочетающую в себе основные достоинства этих методов; такая схема долана быть достаточно гибкой в части использования готовых аналитических решений для простых областей, специальных функций, а также богатого "арсенала" имевшихся пакетов прикладных вычислительных программ по МКЗ; для отмеченного выше специального класса краевых задач с особенностями ревения разработать и исследовать эффективную схему аппроксимации их реиений, позволяющую лучше, чем существувайе подходы, учесть особенности решения и обеспечить при этом минимальные размеры задач: такая схема долька быть достаточно гибкой в части использования специальных Функций, учитывавши особенности решения, корректного учета сложных граничных условий, использования имеющихся вычислительных программ по МКЗ.

НАУЧНАЯ новизна содержится в следующих результатах работы, которые и является ПРЕДМЕТОМ ЗАЩИТЫ: -разработан способ построения совместного симметричного базиса конечного элемента, воспроизводящего смещения его как жесткого целого, обоснована его эффективность; -для базиса конечного элемента, не воспроизводящего все Формы смещений его как весткого целого, определены области значений его узловых параметров, классы ревений, при которых узловые реакции элемента взаимно не уравновешиваются, равновесие в целом элемента не гарантируется, и учет жесткого смещения позволяет заведомо уточнить численное решение; теоретически обоснована важность учета жестких смешений в МКЗ;

-разработан и численно исследован на примерах решения ряда задач МДТТ метод комбинированных функций (МКФ), реализузщий эффективную схему согласованной аппроксимации реиений сложных.краевых задач; обоснована его эффективность как в смысле снижения размерности задачи, так и в смысле реиения проблемы жесткого смешения;

-сформулирован и численно исследован подход к ревению граничной задачи в рамках МКФ; обоснована его эффективность по отновенив к МГЭ; разработан подход к построению соотьетст-.

вуащих несингулярных частных реие'ний;

-разработан и численно исследован на примерах решения задач МДТТ метод смеианных Функций (МСФ), как эффективный метод согласованной аппроксимации решений краевых задач с особенностями, учет которых в рамках существующих подходов (МКЗ, МГЭ и др.) связан с существенным увеличением размеров задачи или же практически нг возможен; построена обобщенная согласованная схема аппроксимации на основе одновременного использования МКЗ, МКФ и МСФ, исследованы вопросы оценки погреиности соответствующего численного решения:

-разработан алгоритм решения краевой задачи на основе использования обобщенной аппроксимации, наиболее приспособленной к алгоритмам НКЗ и численно реализованный в виде пакета вычислительных программ реиения плоской задачи теории упругости в произвольной многосвязной неоднородной области.

ДОСТОВЕРНОСТЬ рездльтатов обеспечивается их строгим обоснованием с позиций функционального анализа, теории приближения. использованием фундаментальных положений механики, а также совпадении численных результатов, полученных на основе разработанных методов, с данными других авторов и результатов, полученных на основе МКЗ для рада частных задач.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ работы определяется: разработкой новых методов аппроксимации решений сложных краевых задач, практическая реализация которых позволяет существенно рапви-рить круг эффективно решаемых задач, в частности задач МДТТ, при обеспечении минимальной их размерности; разработкой соответствующих алгоритмов численной реализации, позволяющих в максимальной степени приспособиться к существусщин моцным пакетам прикладных вычислительных программ по МКЗ; численно реализованными матрицами яесткостей для конечных элементов плоской задачи теории упругости, тонкостенной цилиндрической оболочки, базисы которых являются совместными, симметричными и описывают жесткие смещения; пакетом вычислительных программ для решения плоской задачи теории упругости в произвольной неоднородной многосвязной области на основе одновременного использования ИКЭ, МКФ и МСФ. Пакет программ внедрен и используется для проведения научио-исследова-тельских работ в Институте горной механики АН Грузии.

АППРОБАЦИЯ РАБОТН. Основные полоаения и результаты диссертационной работы и вся диссертация в целом были представлены и обсуждались на: Всесоюзной совещании-семинаре "Теория и численные методы расчета пластин и оболочек (1984. Тбилиси); Всесоюзном сейинаре "Горная геофизика" (1989, 'Телави); Неядународной Летней школе-семинаре "Нелинейные динамические системы" (1981, Греция), проводимой еаегодно в рамках Европейской научной программы "ERASMUS": Расширенных заседаниях семинаров кафедр Сопротивления материалов и Строительной механики Грузинского политехнического института С1383-1953). Института прикладной математики им.И.Н.Ьекуа Тбилисского гос. ун-та (1984-1993). Института горной механики АН Грузии С1987-1993), на семинаре СП6ГМТ9 под руководством А.П.Филина 11393).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 26 работ.

СТРНШРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация изловена на 255 страницах мавинописного текста, содергит 68 рисунков, 10 таблиц,! состоит из введения и шести глав, заключения, библиографии из 204 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРИйНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ дается классификация различных методов реиения краевых задач в зависимости от того/какой этап в решении этих задач они реализуют, указывается место, занимаемое данной диссертацией в этой- классификации, выполняется анализ современного состояния вопроса, обосновывается актуальность текы диссертации, Формулируется ее цель, научная новизна, ваносиных на защиту полоаения.

Мовно выделить три примерных этапа в реиении краевой задачи: первый этап связан с выбором метода, позволяющего перейти от исходной системы дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений, системе дифференциальных уравнений для области с меньшей, чем заданная область, размерностью, к эквивалентным интегральным или вариационным Формулировкам; второй этап связан с выбором метода построения аппроксимирующих .функций (аппроксимации), необходимых для реализации большинства методов первого этапа: третий этап связан с выбором методов ревения соответствующих разрешающих

алгебраических уравнений. К методам, реализувщим первый этап, можно отнести методы ортогонализации (моментов, Галеркина, наименьших квадратов и др.). коллокаций. конечных разностей, прямых, интегральных уравнений, функций Грина, расчленения (Л.А.Розин), вариационные методы Ритца, Кастильяно, Рейсснера и др. К методам, реализувщим третий этап, относятся прямые методы Гаусса, квадратного корня, прогонки, суперэлеиентов (в части выделения повторяющихся блоков в матрице разрешавших уравнений и поблочного их решения). многосеточнае метода конечных элементов (Г.П.йстраханцев, Р.П.Федоренко, В.В.Иай-дуров) и другие итерационные методы. К методам, реализующий второй этап, относятся различные методы построения гладких аппроксимирующих функций (ряды Фурье, полиномы, специаьныз Функции и др.), разрывных функций (Б.К.Михайлов), метод конечных элементов, метод модуль-элементов (В.Й.Постнов, Н.Е.Тарануха), полуаналитические методы конечных элементов (И.Н.Монахов, Н.К.Йапоиннков), нетодн граничных элементов и др.

В части уменьиения размеров задачи, сокращения порядка разреващих алгебраических уравнений, числа неизвестных, повышения точности численного репения второй этап играет определяли роль, которому и посвящается тема диссертации. 3 ней рассматриваются три взаимосвязанные проблемы: решение каждой из этих проблем связано с существенный снижением размерности задачи, повышением точности численного решения.

Первая - это проблема аесткого смещения в МКЭ. Отдельные конечные элементы, на которые разбивается сооружение, наряду с перемещениями, вызывавшими их деформации, испытывает смешения как твердого целого. Поэтому аппроксимирушиие функции конечного элемента должны представлять жесткую составляющую вектора перемещений. Численные результаты, полученные многими авторами (П.Небейн, З.Стриклин, Р.Клаф, Г.Кэнтин и др.), в том числе и нами, показали, что недостаточно точный учет жестких смещений приводит к существенному снижению скорости сходимости численного решения. Иначе говоря, для достижения требуемой точности, приходится разбивать сооружение на гораздо большее количество элементов, чем в случае учета таких смещений. Таким образом проблема состоит в построении совместных аппроксимирующих Функций конечного элемента (обычно

криволинейного), воспроизводящих точно или Ее достаточно точно, смещения его как кесткого целого и обеспечивающих условие однородной деформации. Бикубическая аппроксимация всех трех составляющих вектора перемещений конечного элемента тонкостенной цилиндрической оболочки, предлосенная Ф.Богне-ром, Р.Фоксом и й.1китом, является совместной, обеспечивает выполнение условия однородной деформации, однако представляет весткие сиещенкя конечного элемента прибливснно. Позже были опубликованы работы, в которых такая аппроксимация рассматривается для различных треугольных и четырехугольных элементов оболочки; однако условие однородной деформации, чаще всего не обеспечивается, а там, где это удается сделать, наруиавтся условия совместности. Недостатки такой аппроксимации приближенность в 1 представлении весткого смещения, требующая обоснования точности в каядом конкретном случае, а также значительное возрастание числа узловых параметров за счет одинакового порядка аппроксимации всех трех составляющих вектора перемещений (в действительности, значения градиентов тангенциальных составляющих, как правило, значительно меньше значений градиента нормальной составляющей вектора перемещений оболочки, поэтому для тангенциальных составляющих порядок аппроксимации целесообразно принимать ниже, чем порядок аппроксимации.нормальной составляющей). Отмеченных недостатков ливен подход, предложенный Р.Клафом и Г.Кзнтиным, где весткие смещения описываются точно и для этого в самом общем случае используются весть параметров; однако здесь нарубаются условия совместности перемещений на линиях сетки. Другой подход к решению проблемы весткого смещения в НКЗ состоит в использовании изопараметрических конечных элементов, предложенных 0.Зенкевичем. Для массивных криволинейных конечных элементов этот подход, используется давно, однако для оболочек - относительно недавно; не останавливаясь на подробностях построения соответствующих оболочечных конечных элементов отметим, что здесь, так же как и в случае бикубической аппроксимации все три составляющие вектора перемещений на декартовые оси аппроксимируются полиномами одинаковой степени, что также. приводит к повышению числа узловых параметров.

Ранее автором был предложен алгоритм построения раз—

личных совместных базисов для одного ¡1 того яе элемента, которые точно воспроизводят смещения элемента как кес'ткого целого и лишены отмеченных выке недостатков. Однако, соответствующие базисы обладают определенной несимметрией и, для обеспечения совместности, требуют взаимоувязки локальных координат соседних конечных элементов; кроме того нарушаются условия монотонности базиса (аппроксимирующие функции предыдущих сеток не воспроизводятся аппроксимирующими функциями последующих сеток). Вопросы жесткого смещения обсук-давгся в первых двух главах диссертации.

Вторая проблема состоит в следующем.

Известно, что при реиении краевых задач на основе классических прямых методов Ритца, Галзркина с использованием гладких (непрерывно дифференцируемых) аппроксимирующие Функций размерность задачи значительно меньше, чем при реиении этих ее задач на основе НКЗ. Вместе с тем способность МКЭ легко удовлетворять произвольным нерегулярным граничным условиям делает его чаще всего незаменимый при реиении сложных краевых задач. В подавляющем большинстве практических случаев подобласти, в которых реиение задачи имеет нерегулярности, обладают меньшей размерностью, чем оставшаяся подобласть, где решение гладко;, причем, в случае линейных задач, в зависимости от граничных условий и геометрии области, эти подобласти можно указать заранее; в случае нелинейных задач сделать это не всегда представляется возможным. Использование в подобласти с гладким решением конечно элементной аппроксимации вносит исскуственнуо разрывность в численное решение на линиях сетки и снияает порядок погреи-ности аппроксимации в сравнении с порядком аппроксимации при использовании гладких функций. В связи со сказанным представляется естественной идея использования комбинированной аппроксимации. которая в .малых окрестностях первых из указанных подобластей была бы кусочно непрерывной, а в оставшейся области - гладкой. Зта идея полностью реализована в методах, основанных на комбинации МКЭ и МГЭ. в МКЗК и, частично, в полуаналитических вариантах МКЭ (ПМКЭ), в методе редуцированных элементов (МРЭ) (Е.Я.Вороненок, 0.П.Палий. С.В.Сочинский).

В методах, основанных на комбинации МГЭ с МКЭ, в одних

подобластях заданной области, где решение нерегулярно или имеется больная нелинейность, рассматривается МКЗ, в других, где реиение гладко, аппроксимация строится в виде свертки Фундаментального ревения и является гладкой. Поскольку первая из указанных аппроксимаций является кусочно непрерывной, а вторая - гладкой, то "стыковка" двух таких аппроксимаций вдоль общих границ соответствующих подобластей обеспечивается лишь в узлах; таким образов в неузловых точках нарушается требуемая степень гладкости аппроксимации.

В ИКЗК заданная область разбивается на прямоугольные подобласти, разница в размерах которых моает быть значительной. В кавдой подобласти назначаются узлы и соответствующие аппроксимирующие функции; здесь, так ке как и в предыдущей случае, численные решения для различных подобластей вдоль общих границ совпадают лииь в узловых точках.

В ПМКЭ аппроксимация является гладкой в направлении длины полосы; она представляется в виде произведения двух функций, одна из которых является гладкой и удовлетворяет граничным условиям на коротких сторонах полоски, другая - кусочно непрерывной. Этот метод связан с трудностями при рассмотрении слоеных областей и граничных условий.

' В ЫРЭ с помощью так называемой процедуры редуцирования обеспечивается гладкость аппроксимации на определенных участках границ суперэлемента.

Подавляющее количество публикаций по этой проблеме касается МГЗ.

Ревению обсувдаемой проблемы посвящается третья, четвертая, пятая (частичн(?) и шестая главы диссертации, в которых рассматриваются схемы аппроксимации решений краевых задач на основе комбинированных функций, лишенных вышеуказанных недостатков и обладающих рядом достоинств.

Третья проблема относится к построению так называемой смеванной аппроксимации; количество публикаций, посвященных этой проблеме, очень мало; автору известны лишь работы Л.й,Оганесяна, Л.А.Руховца, Г.Фикса. Укажем два класса задач, эффективное реиение которых поровдает эту проблему. Один класс - это задачи, которые имеют различного рода нерегулярности реаения, и уловить их на основе МКЗ, ИКР и других численных иетодов трудно (из-за возрастания размеров задачи)

или же практически невознонно. В другом классе, дополнительно, неизвестны подобласти нерегулярностей реиения (нелинейные задачи), моменты времени их возникновения (динамические линейные и нелинейные задачи). Одна из основных трудностей при решении задач этого класса - выбор конечно элементной сетки, линии которой должны содержать подобласти нерегулярностей решения.

Эта проблема рассматривается в пятой и вебтой главах.

ГЛАВА I посвящена построению и численному исследованию для ряда конечных элементов совместных симметричных и несимметричных базисов, воспроизводящих точно смещения их как жесткого целого.

В п.1.1 обсуждается один из аспектов проблемы жесткого смещения, возникающей при Формировании геометрических соотношений задач теории упругости. Показывается, что линейные соотношения теории упругости дают нулевые значения деформаций лишь для бесконечно малых жестких смещений; для приближенных нелинейных соотноиений эти значения не равны нулю как для конечных, так и для бесконечно малых жестких смещений. В случае точных нелинейных геометрических соотноиений деформации равны нулю лишь для конечных жестких смещений.

В п.1.2 приводятся полученные различными авторами, в том числе и нами, численные результаты, показывающие, что при точном или же достаточно точном учете жестких смещений конечного элемента порядок алгебраических уравнений для получения удовлетворительного результата значительно ниже, по сравнению с тем, когда эти смещения учитываются приближенно.

В п.1.3 для произвольного конечного элемента приводится общий алгоритм построения совместного базиса, описывающего всевозможные смещения его как твердого тела.

В п.1.4 рассматривается дальнейшее совершенствование указанного алгоритма в части построения совместного симметричного базиса, представляющего жесткие смещения. Если Вг - несимметричный базис, отвечающий 1 -му варианту закрепления элемента от жестких смещений в соответствии с указанным выше алгоритмом, К - количество всевозможных таких вариантов, то совместный симметричный базис, учитывавший жесткие смещения, имеет вид

Вс^ХВ* . (1)

1=1

Отметим, что для достижения симметрии не всегда обязательно рассмотрение всех базисов Ва.

П.1.5 посвящен построении и численному исследованию совместных симметричных и несимметричных базисов с учетом жестких смещений для конечного элемента кругового изгибаемого стержня, криволинейного треугольного конечного элемента плоской задачи теории упругости, криволинейного четырехугольного конечного элемента тонкостенной цилиндрической оболочки. Треугольный элемент по отноиению к аналогичному изопараметрическому элементу имеет следующие очевидные достоинства: количество узлов минимально, криволинейная граница области представляется без изломов.

На рис.1 показаны зависимости между прогибом под

силой в цилиндрической оболочке и количеством неизвестных узловых параметров N , полученные численно для случаев двух несимметричных Вг. Вг и одного симметричного Вс базисов. Их анализ позволяет сделать следующие выводы: численные ревения, отвечающие несимметричным базисам.. значительно разнятся в случае грубых сеток и, по мере измельчения сетки разбиения, они приближаются друг к другу, стремясь одновременно в одинаковой степени к точному решению; наилучшая степень приближения численного ревения к точному наблюдается для случая симметричного базиса. Аналогичные выводы можно сделать из других зависимостей, приведенных в диссертации.

Улучшение свойств базиса при обеспечении его симметрии обосновывается теоретически следующими рассуждениями.

Обозначим 5 - столбец узловых параметров конечного элемента , Уг~ Вч б - вектор аппроксимирующих Функций, отвечающий Вч . Этот вектор всегда можно разложить на Еесткую и деформационную составляющие: Вектор

аппроксимирующих функций для симметричного йазиса с учетом этого разложения и (П равен

Ус - вс-б=а £ в,) б=(в,б) 4|>-

Рис. I

где Уо , \Л> - соответственно жесткая и деформационная составляющие вектора Ус . В аппроксимации деформационной составлявшей участвуют все параметры (базисные

Функции), принадлежащие множеству б 4 Ъг , а в аппроксимации жесткой составляющей Уо ,. как это видно из (2), участвуют все параметры, принадлежав множеству У(6чбг) . При зтом, если выполняется Ъч О'гс^ ^(б^б-г) (обычно это условие при, симметризации базиса выполняется), то составляющая УЬ аппроксимируется больиим числом параметров, чем составляющая . В частности, при и(6чбг)=5 в аппроксимации деформационной составляющей участвуют все узловые параметры конечнего элемента.

Таким образом, симметризация базиса приводит к более точной аппроксимации деформационной составляющей вектора леремзщений конечного элемента за счет увеличения количества узловых параметров (базисных Функций), участвувщих в ее аппроксимации.

Еще один важный результат' симметризации базиса состоит в следующем: если исходный, не описывающий жесткое смещение базис, используемый в указанном алгоритме, обеспечивает условие однородной деформации, го это условие, при б=и(б^Ьг) выполняется и для симметричного базиса,. В случае цилиндрической оболочки первое, а значит и второе условие выполняется автоматически.

ГЛйВй 2 посвящена теоретическому исследованию вопросов жесткого смещения в ИКЭ. Необходимость подобных исследований объясняется тем, что в подавляющем числе работ проблема весгкоп? смещения исследуется численно на конкретных примерах, поэтому полученные численные результаты не могут претендовать на общность. Здесь для линейных задач ИДТТ формулируются теоремы, свидетельствующие о нарушении равновесия конечного элемента при неучете его базисом жестких смещений; выделяются классы задач, для которых учет вестких смещений позволяет заведомо повысить точность численного режения; Формулируется условие, • необходимое для монотонности базиса, учитывающего жесткие смещения. Ниве приводятся лишь формулировки указанных теорем без доказательств.

Введем обозначения: В - базис конечного элемента, представляющий не все формы смещений его как аесткого целого, R. - столбец его узловых реакций (без учета нагрузки на элементе), Rb - множество столбцов узловых параметров конечного элемента, RaCZ R& - подмножество столбцов, отвечавших всевозможным жестким смещениям конечного элемента. Reíс R& - подмножество столбцов, отвечающих тем формам жестких смещений, которые базис В представляет. TEOPEMfi 1. Если базис В не представляет хотя бы одну из форм смещений элемента как жесткого целого, то:

а) 0 , V5e R&4Rsr;

б) реакции R взаимно не уравновешиваются \/6g:RgnRgi (иначе говоря, нарушается равновесие элемента в целом);

с) равновесие элемента не гарантируется ^S^Rb^R&i . Следствие. Матрица жесткости конечного элемента для базиса, не учитывающего жесткие смещения, является полояи-тельно определенной. Заметим, что в случае базиса, воспроизводящего яесткие смещения, матрица жесткости К конечного элемента не является положительно определенной, так как для всех &е Rg (б^О) выполняется условие {ГКб = 0 .

Следующая теорема устанавливает Факт нарушения условия взаимоуравновеиенности узловых реакций для закрепленного конечного элемента. Для ее формулировки выделим в Rs всевозможные подмножества столбцов %5г . у которых Z заранее фиксированных элементов не равны нулю одновременно, а остальные все принимают нулевые значени" ( Т í 1Л , где 171 -количество всевозможных Форм жестких смещений). ТЕОРЕМА 2. Если базис конечного элемента не представляет Z Форм смещений его как жесткого целого, то в Ü5 можно выделить по крайней мере одно подмножество такое,

что для всех R.&7 узловые реакции конечного элемента взаимно не уравновешиваются.

При учете внешних нагрузок на элементе столбец соответствующих узловых реакций Ro получается как сумма реакций R и реакций Rp от действия внешней нагрузки (без учета перемещений цзлов конечного элемента). Так как реакции Rp уравновешиваются внеиней нагрузкой, а взаимоуравновешенность реакций R. не гарантируется , то не гарантируется взамо-уравновеиенность и реакций Ro . В диссертации приводятся

примеры, иллюстрирующие эти утверадения.

Нииприводимне рассукдс-ния касаются определения класса задач, для которых учет жесткого смещения позволяет заведомо повысить точность численного решения, а также теоретического обоснования важности учета несткого снецения.

Введем обозначения: 3 - множество точных решений V , отвечающих всевозможным загрузениям заданной упругой области;

Уо - деформационная составлявшая У ; V - численное решение, отвечающее базису В : У& . уь - ^соответственно весткая и деформационная составляющие У : У - численное решение, о/вечающее корректному в части нестких смещений базису В . полученному из В согласно вышеуказанному алгоритму учета таких смещений: II'II - норма, порождаемая энергетическим скалярный произведением СК.*> ')• ТЕОРЕМА 3. Пусть 5*={Уе: Б111У~У11=Л], где й - произвольная постоянная; V , V численные решения, отвечающие точному решению У и одной и той ве сетке разбивки области на конечные элементы. Тогда: пп,.у ,, с-, ч „

а) \ZVeS, \\V-VUWV-VW, если Д=Ш -2а[Чс,Уь~УорО

б)существует подмножество йас: такое, что ||\М?||><±

Для случая узловой нагрузки, при условии, что базис В описывает несткие смещения контура конечного элемента (это условие необходимо для обеспечения совместности), утверждение а) запишется, так:

Л = а(Уе.Ув) + 2а(Уг&Д)^0 . (3.)

Важно заметить, что в этом неравенстве уже отсутствует составлявшая Уь точного решения _и. для установления предпочтительности деленного решения V достаточно располагать лишь реиением У . В диссертации приводится также матричная формулировка неравенства (-3), сводящаяся к положительной определенности некоторой матрицы: описывается алгоритм уточнения численного решения при фиксированной сетке путем выбора подходящего базиса конечного элемента.

В п.2.3. обсуждаются вопросы монотонности базиса конечного элемента, учитывающего несткие смещения. Под монотонностью понимается способность аппроксимаций последующих.

сеток, включающих предыдущие сетки, воспроизводить аппроксимации, отвечающие предыдущим сеткам,

В следующей теореме формулируется необходимое условие монотонности базиса.

ТЕОРЕЫй 4. Для монотонности базиса, учитывающего яесткие смещения, необходимо, чтобы, преобразование координат для деформационной составляющей соответствующего вектора" аппроксимирующих функций порождало жесткую составляющую.

В большинстве случаев базис, oпиqывaвгtий жесткие смещения конечного элемента, не удовлетворяет условию этой' теоремы и, вследствие этого, является немонотонным.

ГЛАВА 3 посвящена численному решению -краевой задачи на основе комбинированной аппроксимации ее решения (МКФ).

В п.3.1. обосновывается важность^ аппроксимации'регения краевой задачи с помощь»- гладких Функций, позволяющих существенно, в сравнении с МКЗ, сократить размеры задачи. Комбинированная аппроксимация в одних подобластях заданной области является гладкой, а в других - конечно элементной; причем "стыковка" указанных аппроксимаций в каждой точке обией границы соответствующих подобластей может быть выпол-. йена с любой степенью гладкости. Поясним сущность построения , такой аппроксимации на примере двух подобластей, в одной из которых рассматривается гладкая аппроксимация, а в другой -конечно элементная.

Пусть-.задана область О . в которсй отыскивается решение краевой задачи. Произведем конечно элементную дискретизацию этой области; выделим в ней две подобласти таким образом, чтобы их границы совпадали с линиями конечно элементной сетКи (рис.2); одна из указанных подобластей -подобласть Оя . другая - оставшаяся подобласть (на рисунке она двусвязна). Предположим, что в последней подобласти рассматривается конечно .элементная аппроксимация. Специфика состоит в построении аппроксимации в йг и в заштрихованной подобласти (на рисунке она двусвязна), называемой подобластью согласования; рассмотрим эти аппроксимации.

Свяжем с подобластью Ог некоторую гладкую функцию с или же вектор гладких функций, если решение представляется двумя и более неизвестными функциями) 11з(£) =2Ск (X) , где 0а . Фй(Х) - полная система гладких1 координатных

Функций, не обязательно подчиненных какии-либо граничны« условиям в В , Си - неизвестные параметры. Представим 1Хз в матричном виде: Ы^О^О . где Ср , О. - соответственно матрица координатных Функций и столбец неизвестных узловых параметров. •

Рассмотрим конечно элементную аппроксимацию на, элементе в виде й! = Взб! . Где Вз • - базис конечного элемента, . бз - соответствующий столбец узловых параметров. Пусть Вз - оператор, преобразующий вектор смещений в столбец 6е . Тогда комбинированная аппроксимация на элементе 6 представится так"

[11=Вз(Вз<рт)а .

Эта аппроксимация представляет, по существу, конечно элементный интерполянт функции Цз в области £ конечного элемента.

Окончательно, аппроксимация в Ба .получается путем объединения аппроксимаций (4) по подобластям соответствующих конечных элементов: (¿3= ^ (Хз ; (1з представляет конечно элементай интерполянт в Бг функции Из на основе базиса Вз • Вавно. отметить, что неизвестными аппроксимации

И! .

а значит и Ц,з , являются параметры СЦ . и измельчение сети разбиения в Бг не увеличивает количества неизвестных, так как оно определяется количеством слагаемых в разложении для 11.3 . Это важное обстоятельство позволяет в Бг чрезмерно измельчать сеть разбиения, использовать конечные элементы произвольной формы с произвольным порядком аппроксимации. '

Построение. аппроксимации в подобласти согласования, так ве как и ранее, начнем с построения аппроксимации на отдельном конечном элементе, принадлежащем этой подобласти. Часть узлов этого элемента располагается на границе Га. подобласти Вг , а остальная часть - на границе П конечно элементной подобласти. Столбцы узловых параметров, отвечающие указанным группам узлов, обозначим соответственно Ьгг , 6г< • Пусть Ц| =6264 - конечно элементная аппроксимация на этом элементе, где Ва - базис элемента (в частности, возмоя-

но Ва=Вз),бг. - соответствующий столбец узловых дараметров. По аналогии с оператором Вз , введем оператор В2а , преобразующий вектор перемещений^ столбец бгг . а такке тоядественный оператор Вг-1 (В2|5м=бй ). Тсгда искомая аппроксимация на элементе представится так:

Как видно, аппроксимация ОА в качестве неизвестных содеряит как параметры Оя , так и параметры МКЗ.

Окончательно аппроксимация во всей подобласти согласования получается путем объединения аппроксимаций Цг. по всему мнояеству конечных элементов, принадлеяащих этой подобласти:

Если Иг - конечно элементная аппроксимация в подобласти МКЭ. то, окончательно, комбинированная аппроксимация во всей заданной области представится так:

¡2 =1X1 и Иг и Ш .

На основе излояенного выше алгоритма мояно гладко объединить две и более различные гладкие аппроксимации мевду собой и с аппроксимацией МКЭ.

Ваяно отметить, что, в отличие от конечно элементной подобласти, в подобластях типа Ог. никакие требования к гладкости аппроксимации не предъявляются; требуется лишь, чтобы Щ-*и.зпри Н-» 0 ( Ь. - характерный размер ячейки конечно элементной сетки в

Сформулируем необходимое и

достаточное для этого условие.

Если )) • II - норма, позволяющая оценить расстояние меяду _11з и его конечно элементным интерполянтом, то для 1111.1-1Ц1|-»0при К^О необходимо и достаточно

2¡1111-11! 11-0, при к-о. (5)

е

Заметим, что это условие справедливо не только для интерполяции, но и для любого другого приблияения (например, среднеквадратичного), когда функция Иг заранее известна (возмояно. с точностью до некоторых постоянных 0-1). Однако, когда эта функция заранее неизвестна и определяется методами Ритца, Галеркина и др., для обеспечения сходимости численного

решения условие_(5) долано быть дополнено условием гладкости аппроксимации Из . Это важное обстоятельство позволяет в подобластях типа Бг использовать совместные, несовместные (в том числе и не выдергивавшие кусочное тестирование), а также "слишком" несовместные конечные элементы, когда нарушается условие гладкости даже в узлах конечно элементной сетки.

П.3.2. посвящен численному исследованию МКФ на примерах решения ряда задач МДТТ. Во всех случаях решения, полученные на основе МКФ. сравниваются с аналогичными решениями, полученными на основе МКЭ. На примере задачи изгиба консольного стержня показывается наличие сходимости численного решения МКФ даже при использовании "слишком" несовместного трсх-узлового конечного элемента с квадратичной аппроксимацией. Численное исследование упругого плоского напряаенного состояния консольной пластины показало, что при одинаковой •точности численных .решений МКФ позволяет примерно в два и более раз сократить количество неизвестных, в сравнении с МКЗ.

В следующей задаче исследуется упругий изгиб пластины со .слоеным опиранием от действия сосредоточенной силы Р Рассматриваются два варианта задания подобласти типа Бг (рис.3). 8 качестве функций Цз принимается полные полиномы последовательно с первого ( N =3) по воськой ( N =45) порядок включительно. На рис."4 представлены зависимости между значениями изгибающего момента Мв с точке ' В и количеством неизвестных N для двух вариантов задания подобласти Иг ; цифрами 1,2 обозначены кривые, отвечаищие разбивкам, показанным на рис.3 а.б соответственно. Решения с точностью-до третьей значащей цифры отвечает значение 2.91 (горизонтальная пунктирная линия). Анализ приведенных зависимостей показывает, что при одинаковой погрешности численного ревения, МКФ, в сравнении с МКЭ, позволяет более чем на порядок сократить количество неизвестных (размеры задачи). Иначе говоря, МКФ обеспечивает, более высокую, чем МКЭ, скорость сходимости численного решения к точному реиению. В диссертации приводятся аналогичные зависимости и для прогибов под силой.

В следующей задаче, рассматриваемой 8 обсуядаеком параграфе, ирследуется упругий изгиб прямоугольной пластины с

а)

б)

В

D*

V г i-i- {•

/

Ijvj

' -Vn'4-

ГЧ: :-v;.? >

Рис. 3

Рис. 4

22 • ■ -

проемом. Обларть Ог назначена таким образом, что включает проем; Функция Из' принята полиномиальной и, отдельно, тригонометрической без учета граничных условий на контуре проема. Численные результаты показали чрезвычайное замедление скорости сходикости решений МКФ; это объясняется тем, что Из принималась без учета проема, вследствие чего перемещения сторон проема оказывались не независимыми, а связанными определенными условиями гладкости.

. В п.3.3 рассматривается одна из особенностей МКФ.

Пусть В - заданная область, в которой отыскивается реиение краевой задачи: П,с Б - подобласти нерегулярностей (особенностей, разрывов) ревения. Конечно элементные подобласти в МКФ назначаются в калых подобластях П в окрестности .нерегулярностей, а остальная подобласть принимается в качестве подобласти с гладкой аппроксимаций. При этом целесообразно стремиться к тому, чтобы подобласти Съ были как можно ближе к П ; идеальный случай, когда " Гк-П »' достижим лииь теоретически. Именно в процессе такого предельного перехода 01"*"Гс наблюдается указанная особенность. Она порождает проблему вычислительного характера, -вызванную ограниченностью разрядной сетки ЭВМ (дискретным представлением числа). В диссертации получены зависимости, иллюстрирующие обсуждаемую особенность. Сущность ее состоит в следующем: при Ш-^Гс численное ревение расходится или ве теряется его точность. Рассматривается алгоритм установления таких размеров подобластей и Оа . при которых указанная особенность . практически не влияет на результат. Отметим, что аналогичная особенность имеет место ив МКЗ, когда в узле сходятся элементы со значительно отличающимися размерами; однако такая ситуация встречается редко, тогда как в МКФ ,она возникает всегда, если исходить из максимальной близости подобластей Эь и Г\ .

В п.3.4 обсуждается возможность использования МКФ для режения задач в бесконечных областях. В качестве примера рассматривается полубесконечная полоса, приводится . общее решение соответствующего однородного уравнения.

В п.3.5 обсуждаются вопросы решения проблемы жесткого смещения в рамках МКФ. Для этого в качестве подобластей Эг принимаются криволинейные участки заданной области, а фун-

кции Из дополняются членами, отвечающими всевозможным смешениям этих участков как аесткого>.целого. Учитывая, что в Da -при измельчении сетки количество неизвестных не возрастает и обеспечение гладкости аппроксимации не обязательно", в указанных криволинейных подобластях моано использовать как плоские, так и криволинейные элементы, как-с учетом жестких• смещений, так и-без их учета. Заметим, что в данном случай учет вестких смещений конечного элемента позволит получить достаточно точное ревение при малом количестве элементов в Ü2 .В диссертации. приводятся численные результаты, иллюстрирующие основные полоаения данного^ параграфа.

ГЛАВА >4 посвящена дальнейшему развитию МКФ.'Здесь обсуждается тот частный случай, когда функции LU удовлетворявт уравнениям равновесия в подобласти Di ;. тогда в этой подобласти задача становится граничной не в смысле Формулировки метода граничных интегральных уравнений (МГИЭ). а в смысле метода Треффтца. Здесь такае обсдадавтся вопросы жесткого смещения в МГЭ.

В п.4.1 приводятся и анализируются основные интегральные соотновения непрямого МГЭ (НМГЭ), прямого МГЗ (1ШГЗ) и энергетического МГЭ (ЗМГЗ) для задач МДТТ. Обсуждаются следующие основные недостатки МГЗ, которые в рассматриваемом в диссертации варианте формулировки граничной задачи отсутствуют: -матрицы коэффициентов разрешающих алгебраических уравнений НМГЭ, ПМГЗ. не является полоаительно определенными, что не позволяет обоснованно использовать многие прямые и итерационные методы их ревения, сходимость которых гарантируется лиаь для полоаительно определенных матриц; _ - в МГЗ и в комбинации МГЗ с ИКЭ удается обеспечить выполнение граничных условий, а такае условий сопряжения ренений в конечно элементной я гранично элементной подобластях с мень-ией, чей в НКЗ, точностью ( эти условия выполняются лиаь в узлах - точках коллокации);

- реиение задач МГЗ, чаще всего, сопряжено с численным интег-; рированием и поэтому затраты маиинного времени на ревение некоторой задачи могут значительно превзойти аналогичные затраты на реиение той ае задачи на основе МКЗ;

- в МГЗ, такае как и в МКЗ, найденное численное ревение носит дискретный характер, поскольку основные факторы НДС получают-

ся не в виде явных функций ( как в случае классических прямых методов), а в виде численного решения б дискретном числе точек области;

- в отличие от МКЭ, МГЭ имеет ограниченную область применения при решении нелинейных задач; алгоритм численной реализации МГЭ существенно отличается от аналогичных алгоритмов МКЗ. что требует создания совершенно новых вычислительных программ, без использования имеющихся пакетов вычислительных программ по «КЗ;

, - так же, как и в МКЭ. кусочно непрерывная аппроксимация гладкого решения на границе существенно снижает скорость сходимости численного решения в МГЭ.

П.4.2. посвящен вопросам жесткого смещения в МГЗ. Эти вопрос« не получили должного отражения в публикациях, посвя-

. щенных МГЗ. Это, по-видимому, вызвано тем, что в подавляющем большинстве случаев исследуемая область закреплена от жестких смещений, а для аппроксимации решения на границе используются прямолинейные, плоские конечные элементы. В случае незакрепленных от жестких смещений подобластей (возможных при комбинации МКЭ с МГЭ) и использования криволинейных граничных ..элементов вопросы жесткого смещения здесь могут играть не менее важную роль, чем в МКЗ. и для их решения могут быть полностью использованы результаты первых двух глав.

■ Анализ основных соотношений НИИ показал, что они учитывают только поступательные Формы смещения области как жесткого целого; в связи.с этим, указанные соотношения дополняются членами, учитывающими жесткий поворот. Анализ вопросов жесткого смещения в ПМГЗ выявил некоторую аналогию их решения • с подходом Кэнтина к корректировке матрици жесткости конечного элемента в части жестких смещений, а также несогласованность и неоднозначность их решения: как.и в случае НМГЭ, учитываются только поступательные жесткие смещения; сам алгоритм учета является неоднозначным в том смысле, что порождает множество вариантов учета и ке ясно, какому варианту отдать предпочтение; кроме того, нет никакой гарантии, что откорректированной матрице отвечают Функции, удовлетворяющие уравнениям равновесия внутри области. На основе дальнейших рассуждений, изложенных в этом параграфе, делается выбод, что для представления жестких смещений в ПМГЗ и ЗМГЭ

необходимо, чтобы эти смещения воспроизводились как Фундаментальный решеннем, так и базисными функция граничного элемента.

В п.4.3 обсуядается постановка и решение граничной задачи на основе МКФ.

В МКФ граничная формулировка представляет частный случай общей Формулировки, когда функции Из удовлетворяют уравнениям равновесия в подобласти Эг . Поэтому дальнейший акцент в обсуадаемом параграфе делается на двух способах построения этих функций (третий способ обсуядается в следующем параграфе). Первый, наиболее предпочтительный способ -воспользоваться полной системой Функций, удовлетворяющих соответствующему однородному уравнению равновесия: такие Функции существуют, и их удается получить для областей простой формы и простых граничных условий; в п.3.4 они приведены для полубесконечной полосы. Второй способ - воспользоваться сингулярными фундаментальными решениями, используемыми в МГИУ, МГЗ. Для этого задаются вектор неизвестной фиктивной нагрузки как функция точек подобласти Б* (на плоскости имеем две независимые составляющие этого.вектора, в пространстве - три, представленные в виде ряда с неизвестными коэффициентами). Значения этого вектора на границе подобласти принимаются в качестве граничной Фиктивной нагрузки, на основе которой путем свертки фундаментального решения получается вектор аппроксимирующих функций для этой подобласти. В отличие от составляющих вектора фиктивной нагрузки, составляющие аппроксимирующего вектора оказываются взаимосвязанными и дополняются членами, описывающими яесткие смещения подобласти.

Подробно обсуядагатся эти вопросы для плоской задачи теории упругости. Рассматривается задача оценки .на основе МКФ упругого НДС полубесконечной полосы с вырезом (рис.5) для двух случаев задания функций Из в подобласти йг (заштрихованная подобласть). В первом случае эти функции задаются для Фиктивной нагрузки таким образом, что вектор аппроксимирующих Функций удовлетворяет уравнениям равновесия в подобласти (то есть в этой подобласти решается граничная задача). Во втором - Функции Из не удовлетворяют уравнениям равновесия в Вг . Оставшаяся подобласть содерзит подобласть

ÍXa

i i i

F

L

Рис. 5

f liî/F-Ю4

0.206 0.14P

(бИ2) __ ____Q^Q__тоодое_решение

J2 -11 ----Г,"*

Г (12,12}

il

25 28 34 37 40 N

Рис. 6

согласования и конечно элементную подобласть. Рассматривались следующие два варианта задания фиктивной нагрузки:

^а^агх+а^+аа^сиху'сих^сьх'у+ааху^

+а9У5+йюх6уг*а11х7у+аиа:туг; {г^+аиТУ^а^ОвхУ.

На рис.6 показаны зависимости, отвечающие граничной (кривая 1) и неграничной (кривая 2) постановкам задачи в Ог . Здесь Иг - вертикальный прогиб под силой. N - количество неизвестных (порядок системы разрешающих алгебраических уравнений); в скобках указаны две цифры, первая из которых -это количество слагаемых в разложении для горизонтальной составляющей вектора фиктивной нагрузки, вторая - аналогичное количество для вертикальной составляющей этого вектора. Анализ этих зависимостей позволяет сделать следующий вывод: в случае неграничной постановки точность численного решения выше, чем в случае граничной постановки. Это объясняется тем. что в первом случае составляющие вектора перемещений точек подобласти аппроксимируются непосредственно, а во втором -непосредственно аппроксимируются лишь составляющие фиктивной нагрузки и. при переходе от этих составляющих к составляющим вектора перемещений путем взятия интегралов в виде сверток Фундаментального решения, точность снижается.

Численно исследовано влияние длины I- конечной полосы на НДС в окрестности-выреза; установлено, что для йсех и/Н^-5 НДС практически не изменяется.

П.4.4 посвящен дальнейшему рассмотрению способов построения функций Из , удовлетворяющих уравнениям равновесия в подобласти Вг . Дело в том. что отмеченные выше частные решения однородного уравнения равновесия, фундаментальные реоения удается получить ливь для простых подобластей и граничных условий. Кроме того, использование фундаментального решения, из-за сингулярности, сопряжено с численным интегрированием, требующим значительных затрат времени счета на ЭВМ. Вместе с тем, для построения 11з можно использовать любую линейно независимую систему частных решений: например, решений для единичной силы, не обладающих сингулярностью; в этом случае Функция Из получается непосредственно, без интегрирования. Построению именно таких частных решений посвящается этот параграф. Для сложных задач эти решения можно строить чис-

ленно, и для их получения наиболее эффективным представляется использование МКФ. так как, в отличие от МКЗ. здесь решение получается в виде ряда гладких функций. Обсуждается одна особенность, которая при определенных условиях может возникнуть как в. МКФ. так и в МГЭ: если область, в которой отыскивается частное реиение, значительно больше размеров подобласти Вг. , то в О* это реиение будет близко к линейной Функции. Вследствие этого частные решения в подобласти Иг оказываются "почти" линейно зависимыми, что приводит к ухудшении обусловленности матрицы разрешающих алгебраических уравнений. Один из способов преодоления этой особенности -стремиться к тому, чтобы размеры указанной области и подобласти были, примерно,' сопоставимы.

ГЛАВА 5 посвящена численному ^решению сложных краевых задач на " основе МСФ. Обсуждается класс задач эффективного применения метода, поясняется его сущность, на конкретных задачах МДТТ проводится численное исследование МСФ, рассматривается обобщенная схема аппроксимации на основе одновременного использования МКЗ, МКФ(и МСФ.

В п.5.1 обсуждается сущность'смеванной аппроксимации.

Введем обозначения: Ог ^подобласть заданной области Б. в которой строится смешанная ' аппроксимация: С1 ^ С2. две конечно элементные сетки в йг; В| . Вг - базисы конечных элементов, отвечающих этим сеткам; Ли Лг и В* , Вг -соответственно глобальные столбцы узловых параметров и глобальные базисы, отвечающие сеткам (и и Сг : В1 - оператор, преобразующий вектор перемещений в столбец Д1 ; Из - гладкая Функция, задаваемая таким же образом, как и в МКФ.

Первый вариант смееанной аппроксимации представляется следующим выражением

и1 = [Ц-3- В1 (аз)] + ВгДх» и.3ВгДг .

Второй вариант смешанной аппроксимации, наиболее важный, универсальный в смысле обеспечения выполнения произвольных граничных условий и согласования их с другими аппроксимациями (МКЗ,МКФ,МГЭ,МНР и др.), основан на идее конечно элементной интерполяции составляющей И* ; эта идея занимает центральное место в МКФ. Здесь, дополнительно, вводится еще сдна сетка

Ьз^э С1 конечно элементной интерполяции Щ', которая, так ае как и в МКФ. комет быть сделана сколь угодно густой без увеличения размеров задачи. Таким образом, если Ц.з - указанный конечно элементный интерполянт Ш на основе произвольного С в том числе и несовместного) базиса, то второй вариант смешанной аппроксимации запишется так

На = 01-* В*¿Ц • <?)

Вводится определение: 81е Вг , если для любого найдется Д2 такое, что В|Д1 = ВгЛг. В частном случае, когда Вч^ Вг , аппроксимации _(6) и (?) эквивалентны таким (Х< = = 11.3 + ВгДл • и.г = и.з*В/и. где Ц,з ~ конечно элементный интерполянт Ыз на сетке Сз ЗЭ С1. Как видно, в этом случае смешанная аппроксимация представляется как сумма гладкой ( Ш, и.1) и разрывной (конечно элементной) составляющих; в гладкой составляющей неизвестными являются параметры . СЦ, в разрывной - узловые параметры. Таким образом, в одной и той ае подобласти Бг рассматриваются гладкая и кусочно непрерывная аппроксимации; поэтому такая аппроксимация названа смешанной. В частности, при 0.1=0 ( 1Хэ = 0 ) смеяанная аппроксимация становится конечно элементной, а при Лг = 0 -гладкой. В общем случае, гладкая и конечно элементная составляющие, участвующие в аппроксимации решения краевой задачи. принимают те оптимальные соотноиения, которые диктуются спецификой самой задачи и метода ее решения.

Упрощенный вариант частного случая аппроксимации 11.1 рассматривается в работах Г.Фикса, Л.А.Оганесяна, Л.А.Руховца. 1

Аппроксимации (6), (7), в отличие от соответствующих (!■. Иг , получаемых при В1С1 Вг. обладают следующим свойством: значения 11з , Цз в узлах сетки С1 равны нулю; тем самым происходит уточнение конечно элементного решения за счет добавления гладкой составляющей. Такое уточнение имеет место на группе элементов, принадлежащих сетке С>; при С'. = Сг решение уточняется на каждом элементе. _ Если И) - характерный размер сетки С| . то Щ-*0 . 0.1 -*"0 при К,-* 0 ; это является одним из важных отличий аппроксимаций ЬЬ и Ыг. от Щ и Ц'г . Поэтому теоретическая

эквивилентность указанных аппроксимаций не означает их эквивалентность в вычислительном аспекте, так как соответствующие матрицы разрешающих алгебраических уравнений обладают различными свойствами.

Далее в этом параграфе рассматривается способ согласования МКФ с аппроксимациями МКЭ, МГЗ и др., заданными в соседних подобластях. Он. по существу, сводится к продолжению сетки Сз на указанные подобласти. Узлы, принадлежащие к линии сетки Сз^С1. называются дополнительными.

П.5.2 посвящен численному исследованию МСФ. Рассматривается задача упругого изгиба квадратной жестко заделанной пластины под действием, силы Г , приложенной в центре. Эта задача относится к классу задач, для которых использование МСФ представляется целесообразным. Значение величины изгибающего момента под силой, полученной С.П.Тимошенко, составляет 0.716Р ; значение изгибающего момента, полученное на основе МКЗ (48 неизвестных) с точностью до четвертой значащей цифры составляет 0.Э2ЭР ; то же значение, полученное на основе МСФ (3 неизвестных), равно 0.920 Р ; Низкая точность значения, полученного С.П.Тимошенко, объясняется тем, что задача в точке под силой имеет особенность (претерпевают разрывы третьи производные функции прогиба), которая плохо улавливается гладкими аппроксимирующими функциями.

Следующая задача относится к реальному объекту. Она посвящена численному анализу обобщенной аппроксимации. Исследуется упругое плоское НДС грунта в окрестности шахтной выработки (рис.7). Оценка этого состояния является первым, необходимым этапом для определения максимальной безопасной длины незакрепленного участка. Среда является существенно неоднородной. состоящей из пяти пластов с различными упругими •характеристиками. В подобласти (она двусвязна) рассматривается МКЭ. в Бг. Бз . 1)<. - МКФ. в МСФ. На рисунке в целях ясности показаны примерные границы указанных подобластей: незавтрихованные подобласти, за исключением не обозначенных. являются подобластями согласования различных аппроксимаций (согласование обеспечивается с необходимой степенью гладкости в каждой точке границы указанных подобластей); заметим, что линия Л В входит в состав подобласти Вг . Использование в подобласти О* смешанной аппроксимации выз-

WOP

UP Л

1 4 4 i i i l l'l i 1 i 1 i 1 t « * t г-тт

Ei,^«

Dl

Es.Jfc

EM4*

Ds

4-H

D4

Рис. 7

XU¿)

0.4'

, 300-8

.0.3 0.25

£ = 0.96«

' 54.2

<08.4

16a.5 c, kH/M

Рис. 8

вано тем, что в ней содержатся точки особенности решения и наблюдаются максимальные пики напряаений.

Для представления гладкой функции Из были использованы следующие векторы координатных Функций:

Î, = {1 X у iy X1 (C'y ХУ* У»Ь

Ь={х ху хг у2 х3 хк х5у х*уг-а*у х2у3х7у зс7иг}.

В подобласти Da функции Ш для составляющих (I , ЯГ получается с использованием первых шести координатных функций вектора -fi , в Вз функции Чз для составляющих U., V получаются с использованием соответственно первых Пяти и шести координатных Функций вектора : в D^ указанные составляющие представляются соответственно первыми шестью и двенадцатью координатными функциями вектора fî : в подобласти Ds используются для аппроксимации U. . ЯГ соответственно первые пять и шесть координатных функций вектора fz . Общее количество неизвестных обобщенной аппроксимации равно 130. Отдельно обсуждаемая задача решалась на основе МКЗ при более мелкой, чем в МКФ, сетке в Ds ; общее количество неизвестных здесь равно 529.

В диссертации для различных значений жесткости крепи С = 54.2 - 108.4 кН/м представлены зависимости для значений напряжений 6у и главных напряжений в подобласти Ds . полученные на оскове'.обобщенной аппроксимации..

Сравнение значений напряжений в малой окрестности особой точки К показало, что в случае МКЭ они оказываются значительно (примерно в шесть раз) больше аналогичных напряжений, полученных на основе обобщенной аппроксимации.

В обсуадаемом пункте отдельно исследуются зависимости между деформациями крепи и ее жесткостью для различных значений Е (рис.8): как видно, эти зависимости оказываются близкими к линейным.

В п'.5.3 рассматриваются вопросы применения МКФ, МСФ к расчету слогных (многоэлементных) стержневых систем. Точный расчет таких систем на основе учета всех ее степеней свободы (числа неизвестных) может привести к алгебраическим уравнениям большого порядка и, вследствие этого, снияению надежности .их решения. Существуют различные приближенные подходы к расчету стеряневых систем, основанные на переходе от стерянееой

модели к эквивалентной континуальной. Использование МКФ и НСФ позволяет реализовать иной подход, разработка которого была вызвана следующими соображениями.

Для подавляющего болызинства сложных задач неханики получение точного решения связано с рассмотрением бесконечного числа степеней свободы. Однако, как показывает практика, достаточно точное реиение получается при конечном их числе. Это объясняется тем. что зависимость между значением численного решения и числом степеней свободы системы носит асимптотический характер; то есть, после достижения числа степеней свободы некоторого значения превышение его не оказывает практического влияния на численное решение. Перенося эти рас-сузения на стержневые системы, приходим к идее получения достаточно точного решения при числе степеней свободы, меньшем чем предельное (максимальное) число степеней свободы системы. Осуществление этой идеи требует разработки подхода, который позволял бы произвольным образом регулировать число степеней свободы, доводя его, в частности . до предельного значения. ЙКФ и МСФ позволяют в полной степени реализовать этот подход; при этом полностью сохраняется Физическая модель стержневой системы.

В диссертации рассматривается статический расчет плоской. геометрически нелинейной канатной системы на основе МКФ. Представленные зависимости свидетельствуют о получении достаточно точных результатов при числе неизвестных примерно в два раза меньшем максимального их числа.

П.5.4 посвящен вопросам оценки-погрешностей аппроксимации МКФ и НСФ. а также теоретическому обоснованию результатов. свидетельствующих об эффективности этих методов.

Для любой краевой задачи нахождение численного решения эквивалентно минимизации расстояния между точными и приближенным решениями по некоторой норме. Для эллиптических краевых задач (линейных задач механики) - это энергетическая норма. В общем случае построение этой нормы может оказаться сложнее, чем нахождение самого решения. Однако сам факт существования такой нормы позволяет отождествить порядок погрешности аппроксимации решения с порядком погрешности его интерполяции. Поэтому в этом параграфе обсуадаются интерполяционные свойства комбинированной аппроксимации. Поскольку

комбинированная аппроксимация в одних подобластях заданной области является конечно элементной, а в других представляет конечно элементный интерполянт гладкой функции 1Хз . то порядки погревности аппроксимации в указанных подобластях различны. Иначе . говоря, в МКФ, в отличие от МКЗ и МКР, не существует единого порядка погревности аппроксимации для всей заданной области. Здесь имеет смысл говорить о нескольких порядках, относя их к соответствующим подобластям. Специфика здесь состоит в оценке погрешности интерполяции в подобласти типа Вг. .

Пусть: ЭСЕ Ог , 11Л№) - интерполянт точного решения Ц.°№) на основе функции IIз ; 1Хз - конечно элементный интерполянт (Хз в Оа на сетке с характерным размером К ; II* II - норма, с покощьв которой оценивается отклонение Д - и°-Цз • Поскольку при 'К- О , II11Л - Из II О без увеличения количества неизвестных, имеем Л —»([ Ц,* || О при К —"О . Поскольку при Ь-»0 количество неизвестных не возрастает, мовно принять & - II Ц°- (Д || . Таким образом, погрешность конечно элементной интерполяции точного решения в . Эг приравнивается к погрешности его интерполяции на основе гладкой функции 11 з . Оценка значения последней для различного класса функций в многомерной пространстве представляет основную проблему теории приблиюения.

Для обоснования эффективности МКФ достаточно рассмотреть случай одномерной интерполяции в йг , так как качественная картина сохраняется и в многомерном случае. Здесь с увеличением количества узлов интерполяции (количества слагаемых в разложении Из ) погрешность А уменьшается как за счет уменьвения вага К , так и за счет увеличения значения показателя степени при К (порядка). Отметим, что в МКЗ пог-ревность уменьвается только за счет уменьшения шага К Именно этими соображениями объясняется эффективность МКФ.

Смеванная аппроксимация, как отмечалось ранее, может быть, в частности, гладкой или конечно элементной и, в самом общем случае, занимать некоторые промевуточные поло-вения между указанными двумя частными способами аппроксимации. В последнем случае порядок погревности аппроксимации МСФ такой же. что и порядок погревности аппроксимации МКЗ на этой Ее сетке. Однако НС®, в сравнении с УКЗ, позволяет уменьшить

значения постоянных С для оценок погревности аппроксимации на отдельных, или ае всех элементах. Здесь, так ае

как и в МКФ, невозмонно принять единый показатель оценки погрешности численного решения. Из того, что общий случай смешанной интерполяции дает оценки по значении меньяие, чем частный случай конечно элементной интерполяции, следует, что погрешность смешанной аппроксимации доляна характеризоваться двумя оценками: оценками погревности гладкой и общего случая смешенной интерполяции.

ГЛАВА 6 посвящена вопросам алгоритмизации обобщенной аппроксимации, основанной на одновременном использовании МКЗ, }1СФ и МКФ. Такая аппроксимация содеряит конечно злементнуп аппроксимацию, поэтому ее алгоритм включает алгоритм НКЭ и, вместе с тем, обладает определенной спецификой, подробно об-суадаемой в этой главе.

В п.6.1 рассматривается последовательность дискретизации заданной области и ревения, а такзе вводятся дополнительные (по отношения к ИКЗ) массивы, используемые при алгоритмизации обобщенной аппроксимация.

П.6.2 посвящен решению основных вопросов алгоритмизации обобщенной аппроксимации. При этом ставится задача их решения в максимально общей постановке с использованием имеющихся алгоритмов и вычислительных программ по МКЭ. Этому способствует то обстоятельство, что синтез подобластей" с комбинированной и смешанной аппроксимацияни выполняется на уровне отдельного конечного элемента.

Центральное аесто в резении указанных вопросов занимает идея использования специальной локальной матрицы преобразования Се неизвестных обобщенной аппроксимации 5л в столбец 5е узловых параметров конечного элемента. Использование этой матрицы позволяет преобразовать основные конечно элементные соотнонения для отдельного элемента к виду, выращенному через неизвестные обобщенной аппроксимации. Решение этих вопросов подробно обсуадается для плоской задачи теории упругости, рассматриваемой в произвольной многосвязной неоднородной области. Соответствующий алгоритм реализован в виде вычислительной программы на персональной ЗВЙ. Основные возмоаности этой программы следующие: количество подобластей с комбинированной и смешанной аппроксимацией

может быть произвольный, причем, каждая из них нонет бкть многосвязной, вырождаться в подобласть меньшей размерности (в частности, в точку); одну и ту яе гладкую функцию монно относить к различным подобластям; каядая составляющая И

V вектора перемещений мояет иметь свой способ аппроксимации (например, для аппроксимации Ц можно использовать МКЗ, а для аппроксимация V - МКФ. или яе МСФ): постановка граничной задачи мояет быть выполнена в одной или нескольких подобластях заданной области.

Для более полного использования имеющихся вычислительных программ по МКЗ можно рассматривать глобальную матрицу С преобразования неизвестных обобщенной аппроксимация в столбец глобальных узловых параметров МКЗ. Однако, в этом случае потребность в памяти ЭВМ существенно возрастает, в сравнении с использованием локальной матрицы преобразования Сл .

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные результаты работы. Они состоят в следующем:

1. Разработан способ построения совместного симметричного базиса конечного элемента, воспроизводящего смещения его как жесткого целого, численно и теоретически доказана его эффективность; построены и численно реализованы в виде матриц жесткостей совместные симметричные базисы для криволинейного треугольного конечного элемента плоской задачи теории упругости, четырехугольного тонкостенного конечного элемента цилиндрической оболочки, обладающие рядом достоинств по отношению к известным элементам.

2. Теоретически исследованы вопросы жесткого смещения в решении линейных задач МДТТ на основе МКЗ; для базиса, учитывающего не все формы смещений конечного элемента как жесткого целого, определены подмножества значений его узловых параметров, при которых узловые реакции конечного элемента взаимно не уравновепиваются, а также не гарантируется равновесие элемента в целом; теоретически обоснована важность учета базисом конечного элемента смещений его как жесткого целого.

Остановлено, что учет таких смещений приводит, как правило, к нарушению монотонности базиса; доказано необходимое условие монотонности базиса.

3. Разработана согласованная схема комбинированной

аппроксимации (МКФ) решений слмннх краевых задач, в той числе задач МДТТ, являющаяся в одних подобластях заданной области конечно-элементной', а в других - гладкой, (непрерывно дифференцируемой . В подобласти с гладкой аппроксимацией для конечно элементной интерполяции Из можно использовать элементы произвольной формы, как совместные, так и несовместные, произвольно измельчать сеть разбиения без увеличения размеров задачи (порядка разрешающих алгебраических уравнений), принимать в качестве Из произвольные Функции. Это позволяет, в частности, воспользоваться богатым "арсеналом" готовых аналитических решений для простых областей и граничных условий или же специальными функциями.

4. Численная реализация МКФ на ряде задач МДТТ показала значительное, в сравнении с МКЭ, снивение размерности задачи. Этот Факт обосновывается тем, что в подобласти с гладкой аппроксимацией порядок погрешности аппроксимации (скорость сходимости численного решения) выше, чем в МКЗ, и растет по мере увеличения количества слагаемых в разложениях для Из . В отличие от МКЗ, МКР, МГЭ. где устанавливается общий для всей заданной области порядок погрешности аппроксимации, в "КФ этот порядок в различных подобластях может быть различным. Предложен способ эффективного ревения проблемы жесткого смещения в рамках МКФ. Выявлена одна особенность МКФ вычислительного характера, приводящая при определенных условиях к вырождению подобласти с гладкой аппроксимацией; рассмотрен алгоритм исключения такого вырождения.

5. Проанализированы и уточнены основные соотноиения МГЭ в части жестких смещений. Сформулирован к численно исследован иной, чем в МГЭ, подход к решению граничной задачи в рамках МКФ. Этот подход реализуется в рамках общей неграничной постановки, когда Функции Из удовлетворяют уравнениям равновесия в Ог . Обоснована его эффективность по отновению к МГЭ:. аппроксимация является согласованной, удается точнее учесть граничные условия, повивается скорость сходимости ревения. Разработан способ построения несингулярных частных ревений, позволяющий избеяать процедуру многократного интегрирования, возннкающув при использовании фундаментальных ревений.

6. Для краевых задач с особенностями ревения разработана и численно исследована эффективная схема смешанной аппрокси-

мации (МСФ). позволяющая лучке, чем существующие подходы, учесть эти особенности при одновременном обеспечении минимальных размеров задачи. Представлена и численно исследована схема согласованной обобщенной аппроксимации на основе одновременного использования МКЭ, МСФ и МКФ. Рассмотрены вопросы оценок погревности аппроксимаций МСФ: погрешность аппроксимации здесь домна оцениваться по двум показателям; Рассмотрена возможность значительного снижения размеров задачи при расчете нногозлементных стержневых систем на основе МКФ.

7. Разработан алгоритм решения краевой задачи на основе использования обобщенной аппроксимации. Идея использования матрицы преобразования неизвестных обобщенной аппроксимации в столбец узловых параметров конечного элемента (или же в глобальный столбец узловых параметров) позволяет преобразовать основные конечно элементные соотношения к виду, выраженному через указанные неизвестные. Зто обстоятельство позволяет в значительной степени воспользоваться существующими пакетами прикладных вычислительных программ по МКЭ. Указанный алгоритм численно реализован в виде пакета вычислительных программ для ревения плоской задачи теории упругости в произвольной неодно-.родной многосвязной области. Пакет программ внедрен в практику инженерных расчетов.

Основное содержание работы отражено в следующих печатных работах.

1. Ревение краевой задачи при новом (сиеванном) методе построения базиса//Труды ЛКИ "Прочность судовых конструкций". Л. -1981.- С.128-140. Соавтор ft.П.Филин.

2. Метод построения явных базисных функций, воспроизводящих смещения элемента как абсолютно твердого тела//ЛКИ, Л., 1981. - 9с. - Деп. в ВИНИТИ, Н1218-82. Соавтор - А.П.Фил::н.

3. Вопросы построения и исследования свойств базисных функций для прямоугольного элемента пластины переменной толщины// Труды ЛИСИ "Исследования по механике строительных конструкций и материалов". Л. - 1982. - С.93-95.

4. Подход к обеспечению cot местности при корректном представлении гестких смещений произвольных конечных элементов//ЛКИ,

Л..1982 - ?с.- Деп. в ВИНИТИ, N4632-82. Соавтор - А.П.Филин.

5. Комбинированное использование идей метода конечных элементов и классических прямых методов при ревении краевых задач//Труды Всесовзного совещания-семинара "Теория и численные методы расчета пластин и оболочек". Тбилиси: Изд-во Ин-та прикладн.мат. Тбилисского гос. ун-та. - 1984. - Т.2. -С.328-333. Соавтор - А.П.Филин.

6. Вопросы надеяности континуальных сооружений с позиций Ш. //Ин-т гидротехники и мелиорации, Тбилиси. 1984. - 14с. - Деп.

в ГрузНИИНТИ, Н126Г-84.

7. О построении базиса, точно описывающего яесткие смещения и не зависящего от способа закрепления конечного элемента// Труды ЛКИ "Прочность материалов и элементов судовых конструкций". Л, - 1985. - С.47-50. Соавтор - А.П.Филин.

8. Исследование некоторых вопросов аесткого смещения в !1КЭ// Грузинский НИИ гидротехники и мелиорации. Тбилиси, 198S, -11с. - Деп. в ГрузНИИНТИ. БЯ N11.

9. Численный анализ тонкостенного цилиндрического конечного элемента// Ин-т горной механики АН ГССР, Тбилиси, 1988. -11с. - Деп. в ГрузНИИНТИ. 5У Н12.

10. Теоремы о жестких смещениях в методе конечных элементов //Доклады расииренных заседаний семинара Ин-та прикладной математики им.И.Н.Векуа Тбилисского гос.ун-та, Тбилиси. -1989. - Т.4 - N2. - С.111-114.

11. Анализ эффективности комбинированных аппроксиниоувщих Функций на основе численного ревения частных задач//Труды Ин-та прикладной математики им.И.Н.Векуа "Вопросы теории оболочек и прикладной механики".Тбилиси:Изд-во Тбилисского гос.ун-та. - 1983. - N34. - С.59-71.

12. Сравнительный анализ реоений для изгибаемой пластины, полученных на основе метода конечных элементов и смеяан-ного баЗиса// Ин-т горной механики АН ГССР. Тбилиси. 1988 -8с. - Деп. в ГрузНИИНТИ, Н 450-Г88.

13. О методе комбинированных функций и возможности решения на его основе краевых задач с бесконечными областями, возникающих при исследовании физических процессов в массивах горных пород//Натериалы U Всесоюзного семинара "Горная геофизика". Телави: Изд-во Ин-та горной механики АН ГССР. -1389. - 4.2. - С.194-196.

14. Метод комбинированных функция (МКФ) в задачах расчета систем, вклвчавщих одномерные элементн//Докладн расширенных заседаний семинара Ин-та прикладной математики им.И.Н.Векуа Тбилисского гос. ун-та. Тбилиси . - 1989. - Т.4 - НЗ. -С.77-80.

15. Метод комбинированных функций (МКФ) и вопросы жесткого смещения. 0 согласовании аппроксимаций метода смешанных Функций (МСФ) с аппроксимациями метода комбинированных Функций и метода конечных элементов//Ин-т горной механики АН ГССР. Тбилиси, 1989. - Юс. - fien, в ГрузНИИНТИ. N586-r8S.

16. Вопросы оценки погрешности аппроксимаций метода комбинированных функций (МКФ) и метода смешанных функций (МСФ)//Ин-т горной механики АН ГССР. Тбилиси. 1989. - 12с. -Дел. в ГрузНИИНТИ. Н587-Г89.

17. Метод комбинированных Функций в решении граничных задач теории упрнгости//Ин-т горкой механики АН Грузии. Тбилиси, 1993, - 52с. - Деп. в ГрузНИИНТИ, Ы857-Г93.

18. Об одной особенности метода комбинированных функций (МКФ)//Грцэинский технический ун-т, Тбилиси. 1993. - 12с. -Деп. в ТЕХИНФОРМ, Н858-Г93.

19. Вопросы монотонности базиса, воспроизводящего жесткие смещения криволинейного конечного элемента//Грузинский технический цн-т, Тбилиси. 1993. - 12с. - Деп. в ТЕХИНФОРМ, М855-Г93. I

20. Два аспекта проблемы жесткого смещения в механике деформируемого тела//Грузинский технический ук-т. Тбилиси, 1993. - 4с. - Деп. в ТЕХИНФОРМ. Н856-Г93.

21. Базисные Функции с учетом жестких смещений для кругового изгибаемого, стержневого конечного элемента и криволинейного треугольного конечного элемента плоской задачи теории упругости//Грузинский технический ун-т. Тбилиси, 1S93. -14с. -Деп. в ТЕХИНФОРМ. К858-Г93.

22. Вопросы алгоритмизации методов комбинированных и смешанных функций//Трузинский технический ун-т, Тбилиси, 1994. -24 с. - Деп. в ТЕХИНФОРМ. Ш32-Г94

Тип. Спб. ГМТУ. Зак. 205 .Тир. 100.