Конечноэлементная модель расчета идеально упругожесткого (затвердевающего) тела при плоском деформированном состоянии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ВОПРОСАМ ЗАТВЕРДЕВАЮЩИХ СРЕД.

2. ДИСКРЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСЧЕТА ИДЕАЛЬНО УПРУГОЖЕСТКОГО (ЗАТВЕРДЕВАЮЩЕГО) ТЕЛА

2.1. Функциональные математические модели.

2.1.1. Основные допущения, определения и зависимости.

2.1.2. Задача анализа идеально упругожесткого (затвердевающего) тела.

2.1.3. Задача определения параметра предельного перемещения.

2.1.4. Упругая задача.

2.2. Основные положения конечноэлементной дискретизации.

2.3. Дискретные зависимости идеально упругожесткого (затвердевающего) тела.

2.3.1. Упругий потенциал.

2.3.2. Условия затвердевания.

2.3.3. Условия совместности.

2.4. Дискретные математические модели.

2.4.1. Задачи анализа деформированного состояния идеально упругожесткого (затвердевающего) тела.

2.4.2. Анализ решений задачи (2.75).

2.4.3. Задача определения параметра предельного перемещения.

2.4.4. Упругая задача.

3. ОБЩИЙ АЛГОРИТМ И ПРОГРАММЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНО УПРУГОЖЕСТКО-ГО (ЗАТВЕРДЕВАЮЩЕГО) ТЕЛА

3.1. Общие положения.

3.2. Приведение математической модели к стандартному виду.

3.3. Алгоритм решения задач квадратичного программирования методом проектируемых градиентов.

3.4. Программы анализа идеально упругожесткого (затвердевающего) тела.

4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

4.1. Одномерная задача.

4.1.1. Дискретные математические модели шар-нирно-стержневых систем.

4.1.2. Пример анализа шарнирно-стержневой системы.

4.2. Пластинки.

4.2.1. Дискретизация пластинки методом конечных элементов.

4.2.2. Примеры определения деформированного состояния пластинки.

Среди основных направлений экономического и социального развития СССР на I98I-I985 г., утвержденных на ХХУ1 съезде КШС /I/, особо подчеркивается роль научно-технического прогресса в решении экономических и социальных задач советского общества, ускорении перевода экономики на путь интенсивного развития, повышении эффективности общественного производства.

Экономичность конструкций, используемых в строительстве, машиностроении и других отраслях народного хозяйства, может быть достигнута приближением предпосылок, принимаемых при расчетах конструкций, к действительному их поведению во время эксплуатации. Некоторые элементы конструкций и материалы проявляют свойства, которые отличаются от линейности в том смысле, что приращения напряжений, соответствующие заданным приращениям деформаций, растут с увеличением самих деформаций. С этой точки зрения применение теории так называемых затвердевающих сред позволяет более правильно предусмотреть работу таких конструкций в различных стадиах на-гружения и создать более рациональные их проекты.

Работы /2, 3/ В.Прагера привлекли внимание к новому разделу механики сплошной среды - к теории затвердевающих сред: идеально пластичножесткой (идеально затвердевающей) и идеально упругожест-кой (затвердевающей). Под идеально упругожесткой (затвердевающей) средой понимается твердое тело, для которого между напряжениями и деформациями существует следующая зависимость: при достаточно малых деформациях напряжения следует закону линейной упругости, но, когда деформации достигают определенных значений, наступает затвердевание, т.е. дальнейшее увеличение напряжений не сопровождается увеличением деформаций. Идеально пластичножесткое (идеально затвердевающее) тело является предельной моделью идеально упругожесткого (затвердевающего) тела. При его исследовании пренебрегают упругими напряжениями, считают, что они ничтожно малы по сравнению с гораздо большими напряжениями, которые способно воспринять тело в затвердевшем состоянии. Модель В.Прагера, несмотря на существенную идеализацию, позволяет подойти к изучению нового класса механических явлений.

На практике теория затвердевающих сред может найти непосредственное применение при решении следующих вопросов и задач:

1) при разработке технологических процессов изготовления деталей методом порошковой металлургии и древесно-стружечных плит;

2) при расчетах систем, где свойство затвердевания может проявляться не только благодаря физическим особенностям материала, но и благодаря тем или иным их конструктивным особенностям. Это конструкции, включающие связи с ограниченой деформативностью, односторонние связи, опоры, которые сначала не касаются опорных плоскостей, пружины, деформируемые детали машин с ограничителями и т.д.;

3) при определении напряженно-деформированных состояний некоторых видов грунтов и горных пород /4, 5, б/, как, например, торфа, на котором возводятся дорожные насыпи и другие сооружения.

Среди задач, учитывающих неупругое поведение материала в механике твердого деформированного тела, важной как для проектирования, так и для эксплуатации, является задача определения напряженно-деформированного состояния тела на любом этапе деформирования до полного его затвердевания. Решение такой задачи требует разработки новых математически обоснованных современных методов расчета с использованием новейших вычислительных средств.

Целью настоящей работы является разработка общей методики дискретизации идеально упругожесткого (затвердевающего) тела при плоском однократном деформировании методом конечных элементов, составление дискретных математических моделей определения параметра предельного перемещения и деформированного состояния тела до полного его затвердевания, разработка методики решения задач и решение примеров.

Научная новизна. В диссертации получены основные конечноэлементные зависимости и впервые построены дискретные математические модели определения деформированного состояния идеально упругожесткого (затвердевающего) тела до полного его затвердевания при плоском однократном деформировании. Разработан общий алгоритм автоматизированного расчета задач на ЭВМ. При этом разработка доведена до программ, позволяющих рассчитывать реальные конструкции.

В первой главе дается обзор литературы, посвященной разработке теории затвердевающих сред, а также практической реализации задач расчета и оптимизации затвердевающих систем численными методами с применением математического программирования.

Во второй главе приводятся все понятия, допущения и зависимости идеально упругожесткого (затвердевающего) тела при плоском деформированном состоянии, а также даются функциональные математические модели задач анализа напряженно-деформированного состояния идеально упругожесткого (затвердевающего) тела до полного его затвердевания, определения параметра предельного перемещения, а также упругого решения. Рассматривается дискретизация математических моделей методом конечных элементов. Дано общее выражение упругого потенциала, линейного и квадратичного условий затвердевания для отдельных элементов. Построены общие дискретные математические модели задач анализа деформированного состояния и определения параметра предельного перемещения, а также упругой задачи идеально упругожесткого (затвердевающего) тела при плоском деформировании.

В третьей главе рассматривается алгоритм численной реализации задач анализа деформированного состояния идеально упругожесткого (затвердевающего) тела на ЭВМ. Он предусматривает формирование и решение упругой задачи; автоматизированное составление матрицы жесткости и условий затвердевания; приводит математическую модель к стандартно^ виду задач квадратичного программирования. Основу этого алгоритма составляет последовательность решения этих задач методом проектируемых градиентов. Приводится алгоритм решения задач квадратичного программирования методом проектируемых градиентов. Представлено краткое описание программ и основных подпрограмм. Тексты программ и основных подпрограмм даются в приложении .

В четвертой главе приведены дискретные математические модели определения напряженно-деформированного состояния шарнирно-стержневых систем и решение такой системы. Рассматривается дискретизация пластинки с применением треугольного элемента второй степени. Определены конечные выражения матриц жесткости и линейных условий затвердевания треугольного элемента. Из-за математических усложнений их значения вычисляются методами численного интегрирования. Приведены и обсуждены численные результаты задач расчета идеально упругожестких (затвердевающих) пластин при плоском деформировании.

На защиту выносятся:

- основные конечноэлементные зависимости и дискретные математические модели задач анализа деформированного состояния идеально упругожесткого (затвердевающего) тела при плоском однократном деформировании;

- общий алгоритм и программы автоматизированного расчета на ЭВМ задач анализа деформированного состояния затвердевающего тела.

I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ВОПРОСАМ ЗАТВЕРДЕВАЮЩИХ СРЕД

Общие вопросы теории затвердевающих сред изучались в работах В.Прагера /2, 3, 7/, Д.Д.Ивлева /8/, Г.А.Гениева /9 - II/, Л.Коради дель Аква и Д.Майера /12/, А.А.Чираса /13 - 16/ и др. Затвердевающие среда составляют самостоятельный класс сплошных сред и характеризуются рядом специфических свойств, являясь в определенном смысле аналогом пластических сред.

Ввиду отсутствия экспериментальных данных для установления общих законов взаимосвязи напряжений-деформаций В.Прагер предлагает руководствоваться аналогией с идеально упругопластическим или идеально жесткопластическим телом. В работе /2/ В.Прагер заменил понятие "поверхности течения" понятием "поверхности затвердевания" и, пользуясь аналогией с предложенной В.Койтером /17/ теорией обобщенного пластического потенциала, допустил, что вектор напряжений при затвердевании имеет направление внешней нормали к поверхности затвердевания, ввел понятия кинематически допустимых полей деформаций и статически допустимых полей напряжений. Для идеально пластичножестких (идеально затвердевающих) тел ВШрагер установил две теоремы, которые соответствуют теоремам теории предельного равновесия /18/.

В работе /7/ В.Прагер развивает теорию идеально упругожест-ких (затвердевающих) материалов с более общей точки зрения, чем это было сделано в /3/. Механическое поведение затвердевающего тела определяется функцией затвердевания, зависящей от компонентов тензора деформаций. Функция затвердевания в пространстве деформаций интерпретируется некоторой выпуклой гиперповерхностью, называемой поверхностью затвердевания. Предполагается, что если вектор деформации касается поверхности затвердевания, то в теле возникают затвердевающие деформации и соответствующие элементы тела не способны деформироваться.

Компоненты напряжения слагаются из упругого напряжения, вычисляемого по закону Гука, и затвердевающего напряжения. Последнее определяется согласно ассоциированному закону, причем в качестве потенциала затвердевания используется функция затвердевания.

Ставится типичная краевая задача, обсуждаются теоремы единственности. Формулируются минимальный принцип для смещений и максимальный принцип для напряжений.

В целом предложенная теория является аналогом теории идеально упругопластического тела. В развитой В.Прагером теории напряжения и деформации в определяющих соотношениях меняются ролями, по сравнению с теорией идеальней пластичности.

Д.Д.Ивлев в работе /8/ рассматривает некоторые вопросы теории идеально пластичножестких (идеально затвердевающих) сред. Рассматриваемую среду Д.Д.Ивлев полагает однородной, изотропной, несжимаемой и идеально затвердевающей, кроме того, предполагает независимость поведения материала от перемены знака напряжений на обратный. Условие затвердевания в пространстве деформаций интерпретируется некоторой кривой, лежащей в девиаторной плоскости. При этом для плоского деформированного состояния принято следующее условие затвердевания: q Ос)- q2(x)f + 4 (%(х))г = 4 эе* где = , а К - предельное значение деформаций.

Полученные системы уравнений, определяющие деформированное и напряженное состояния тела, являются кинематически определимыми и принадлежат к гиперболическому тицу.

Г.А.Гениев /10, II/ по видам зависимости между интенсивноетью касательных напряжений и интенсивностью деформаций сдвига идеальные затвердевающие среды классифицирует на три группы:

1) идеальная упругозатвердевающая среда (аналог идеально упругопластической среды),

2) идеальная пластически-затвердевающая среда (аналог жестко пластической среды),

3) идеальная абсолютно затвердевающая (недеформируемая) среда.

Одной из главных физических констант затвердевающей среды считают предельную интенсивность деформаций сдвига. Для абсолютно затвердевающей среды последняя равна нулю.

В работах /10 - II/ на основе экстремального принципа полной дополнительной работы внутренних сил формулируются пространственная и плоская задачи для точного определения действительного поля напряжений и предельного перемещения идеально пластичес-ки-затвердевающей среды. Помимо точных методов оговариваются приб' лишенные методы, основанные на рассмотрении кинематически и статически возможных состояний системы, позволяющие получать верхнюю и нижнюю оценки предельных перемещений. Рассматриваются примеры решения некоторых одномерных задач.

Л.Коради дель Аква и Д.Майер /12/ к решению задач расчета затвердевающих конструкций используют квадратичное и линейное программирование. Авторы развивают теорию идеально упругожесткой (затвердевающей) среды, которая идеализируется как совокупность конечных элементов, определяющие законы которой линеаризированы. Для развития этой теории применяется подход, предложенный для расчета идеально упругопластических конструкций /19/. В работе /12/ сначала предполагается, что конструкция следует линейной зависимости напряжений от деформаций, а затем отыскивается отклонение от линейного закона. Таким образом, задача определения деформаций идеально упругожесткой конструкции при заданных внешних воздействиях формулируется в предположении, что неизвестными вспомогательной нелинейной задачи служат напряжения затвердевания. Получены две экстремальные теоремы, соответствующие взаимно двойственным задачам квадратичного программирования. Для задачи определения несущей способности конструкции получены в условиях затвердевания две уже известные теоремы /2/, которые выводятся из условий разрешимости задач квадратичного программирования. Формулируя задачу традиционно, но в векторно-матричной записи, Л.Ко-ради дель Аква и Д.Майер минимальную теорему для перемещений В. Прагера /3/ выводят в форме задачи квадратичного программирования, показывают, что двойственная задача к ней приводит к теореме о напряжениях затвердевания. Выполнено обобщение полученных результатов на неидеально затвердевающие среды. В качестве примера рассмотрена задача определения параметра предельного перемещения тела в условиях плоской деформации.

В работах /13 - 15/ А.А.Чирас на основе экстремальных энергетических принципов при помощи теории двойственности сформулировал математические модели задач предельного анализа и оптимизации идеально пластичножестких (идеально затвердевающих) систем при однократном и идеально упругожестких (затвердевающих) систем при повторно-переменном деформировании в функциональном пространстве. Им также были сформулированы математические модели задач анализа напряженно-деформированного состояния идеально упругожестких (затвердевающих) тел до полного затвердевания /16/. При изложении материала основное внимание уделялось не физической стороне проблемы, которая освещена в работах других авторов, а ее строгой математической формализации. В работе /15/ анализ теории идеально пластичного и идеально затвердевающего тела проведен по единой методике. Показано, что однопараметрическая задача, которая в классической постановке изучалась в /2, 7, 8, II/, является частным случаем общей задачи оптимизации, а все понятия и выводы, касающиеся пластичного и затвердевающего тела, совершенно идентичны. В отличие от /12/, в которой решается задача для дискретной системы и линейных условий затвердевания, в работе /16/ для определения напряженно-деформированного состояния идеально упруго-жесткого (затвердевающего) тела до полного его затвердевания от однократного деформирования построены математические модели, определяющие собой двойственные пары задач математического программирования в функциональном пространстве. Независимо от работы /12/ был установлен и использован для постановки исходной задачи в кинематической формулировке экстремальный принцип минимума упругого потенциала для остаточных деформаций. На основании теории двойственности получена математическая модель, позволяющая определить напряженное состояние тела. Выявлен физический смысл двойственной задачи, показано, что остаточные напряжения состоят из упругого и затвердевающего слагаемых напряжения, сформулирован двойственный экстремальный принцип максимума дополнительной работы для действительного поля остаточных напряжений. Кроме того, выявлены двойственные соотношения обоих принципов. Изложенный в работе /16/ метод анализа идеально упругожестких (затвердевающих) тел позволяет определить напряженно-деформированное состояние без исследования всего пути деформирования.

Решение функциональных математических моделей при помощи классических методов из-за разнообразия граничных условий, наличия концентрированных нагрузок и изменения геометрических свойств конструкции становится нереализуемой задачей. Лишь создание и совершенствование новых, достаточно точных и эффективных методов численного анализа способствовало преодолению этих трудностей. Широкие возможности их применения особенно проявились в расчетах на ЭВМ.

Для расчета пластических конструкций, которые можно считать аналогами затвердевающих конструкций, применяются как специальные, так и общие математические методы: метод сетки разрушения /20 - 25/, полуаналитические методы /26 - 30/, метод конечных разностей /31 - 36/.

В последние годы доминирующее положение занимает метод конечных элементов (МКЭ), при помощи которого решается множество задач сплошных сред и конструкций. Общая теория МКЭ первоначально была разработана для упругих систем, а основные теоретические вопросы и примеры практического применения метода изложены в /37 - 40/. В настоящее время МКЭ широко применяется в расчетах пластических систем с непосредственным использованием соотношений теории пластичности /41-49/. Несмотря на то, что МКЭ предназначался для дискретизации дифференциальных и интегральных выражений, он успешно применяется и для дискретизации функциональных выражений условия текучести /50 - 55/.

Применение МКЭ для расчета затвердевающих конструкций рассматривается лишь в немногих работах. По-видимому, впервые МКЭ был применен в работе Л.Коради дель Аква и Д.Майера /12/. Авторы с использованием теории двойственности квадратичного программирования сформулировали задачу расчета идеально упругожесткой (затвердевающей) среды, которая рассматривается как совокупность отдельных элементов. Расчет идеально пластичножесткой трубы с применением МКЭ и линейных и нелинейных условий затвердевания приводится в работе /56/. П.А.Чирасом и А.Э.Боркаускасом /57, 58/ рассмотрена двухмерная плоская задача расчета идеально пластич-ножесткого (идеально затвердевающего) тела. На основе математических моделей для затвердевающей среды с применением метода конечных разностей и ШЭ построены дискретные модели оптимизационной и однопараметрической задач в отношении предельных перемещений и параметра тела. Для дискретизации треугольными элементами пластинки, находящейся в условиях плоской деформации, использованы координатные полиномы первой степени. Такая методика с помощью стандартных приемов устанавливает связь неизвестных коэффициентов полиномов со значениями функций в узловых точках. Нелинейные условия затвердевания ограничивались в узловых точках. Однако применение простейшей модели МКЭ в работах /57, 58/ не позволило использовать все возможности этого метода.

Следует заметить, что приведенные в /57, 58/ дискретные математические модели двухмерных тел позволяют определить деформированное состояние плоской конструкции лишь в предельном состоянии, т.е. в момент затвердевания. Однако как для проектирования, так и для эксплуатации является важным определение напряженно-деформированного состояния затвердевающей системы на любом этапе ее деформирования до полного затвердевания. При решении этой задачи должны быть полностью известны параметры системы и внешние воздействия. Решение такой задачи требует разработки новых математически обоснованных методов расчета с применением ЭВМ. Настоящая работа и посвящена разработке общей методики дискретизации идеально упругожесткого (затвердевающего) тела при плоской деформации методом конечных элементов, составлению дискретных математических моделей определения деформированного состояния тела до полного его затвердевания и разработке методики решения задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные итоги исследований, изложенных в реферируемой работе, состоят в следующем:

1. Проведен анализ работ, в которых разрабатывается теория затвердевающих сред, составляющих самостоятельный класс сплошных сред с рядом специфических свойств, а также работ, посвященных практической реализации задач расчета и оптимизации затвердевающих систем численными методами с применением математического программирования.

2. На основе математических моделей для затвердевающей среды построены функциональные математические модели задач анализа напряженно-деформированного состояния идеально упругожесткого (затвердевающего) тела до полного его затвердевания при плоском однократном деформировании.

3. Разработана общая методика дискретизации идеально упругожесткого (затвердевающего) тела при плоском деформировании методом конечных элементов и составлены его основные дискретные зависимости.

4. На основе функциональных математических моделей затвердевающей среды составлены дискретные математические модели определения деформированного состояния идеально упругожесткого (затвердевающего) тела при плоском однократном деформировании в виде задач выпуклого и квадратичного математического программирования.

5. Составлены дискретные математические модели для определения параметра предельного перемещения и упругого решения затвердевающего тела при плоском однократном деформировании.

6. Построен общий алгоритм и составлена программа численной реализации математических моделей задач квадратичного программирования методом проектируемых градиентов, требующая минимального объема исходных данных и обеспечивающая рациональное распределение информации между оперативной и внешней памятью.

7. Составлены конкретные дискретные выражения для пластинки в условиях плоского деформированного состояния, приведены примеры численного решения, и проведен анализ результатов расчета.

8. Разработанная общая методика дискретизации идеально упругожесткого (затвердевающего) тела методом конечных элементов дает возможность рассчитывать реальные конструкции и внедрять результаты проведенных исследований в практику проектирования.

1. Основные направления экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года. В кн.: Материалы ХХУ1 съезда КШС. М., 1981, с. 131-205.

2. Прагер В. Об идеально затвердевающих материалах. Механика, 1958, № 3, с. 99-101.

3. Прагер В. Упругие тела ограниченной сжимаемости. Механика, 1958, № 6, с. 97-101.

4. Колчин А.Д., Перлин П.И., Соколовский В.В. Плоская контактная задача для упруго-твердеющей среды. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1971, № 4, с. 74-80.

5. Тер-Петросян Г.В. Определение границы затвердевания грунта при распределенной нагрузке, приложенной через интервал. Доклады АН АрмССР, 1975, т. 60, № 5, с. 279-282.

6. Тер-Петросян Г.В. Задача об определении границы затвердевания грунта при воздействии жесткого штампа. Доклады АН АрмССР, 1975, т. 61, № 5, с. 284-288.

7. Прагер В. О теории идеально затвердевающих материалов. Механика, 1964, № 3, с. I07-113.

8. Ивлев Д.Д. К теории идеально затвердевающих сред. Доклады АН СССР, I960, т. 130, № 4, с. 742-745.

9. Гениев Г.А. Некоторые вопросы статики сплошной среды. Строительная механика и расчет сооружений, 1969, № I, с. 13-17.

10. Гениев Г.А. К теории затвердевающих сред. Труды ЦНИИСК им. В.А.Кучеренко, 1972, вып. 23. Теория и методы расчета сооружений, с. II—17.

11. Гениев Г.А., Лейтес B.C. Вопросы механики неупругих тел. -М.: Стройиздат, 1981. 160 с.

12. Corradi Dell'Acqua L., Maier G. A matrix theory of elastic -locking structures. Meccanica, 1969, V. 4, N 4, p. 298313.

13. Чирас А.А. Двойственные задачи оптимизации пластичножесткого тела. Литовский механический сборник, 1970, № I, с. 6-26.

14. Чирас А.А. Теория оптимизации упруго-жесткого тела при повторно-переменном деформировании. Литовский механический сборник, 1971, № I, с. 7-26.

15. Чирас А.А. Теория оптимизации в предельном анализе твердого деформируемого тела. Вильнюс: Минтис, 1971. - 124 с.

16. Cyras A.A. Dual mathematical models of locking solids analysis. Mechanics research communications, 1982, V. 9(3), p. 191-196.

17. Койтер В.Т. Общие теоремы упруго-пластических сред. М.: ИЛ, 1961. - 79 с.

18. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М.: Физматгиз, 1958, - 136 с.

19. Майер Дж. Квадратичное программирование и теория упруго-идеально-пластических конструкций. Механика, 1969, № 6, с. II2-I28.

20. Ржаницын А.Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек. -М.: Наука, 1983. 288 с.

21. Ржаницын А.Р., Терехина В.И. Расчет четырехугольных плит произвольного очертания кинематическим методом с применением линейного программирования. Строительные конструкции /ЦНИИСКим. В.А.Кучеренко, 1969, вып. I/. Расчет сооружений, с. 6-9.

22. Ржаницын А.Р., Брусенцов Г.Н. Применение линейного программирования к задаче предельного равновесия при плоском деформированном состоянии. Строительные конструкции /ЦНИИСК им. В.А.Кучеренко, 1969, вып. I/. Расчет сооружений, с. 9-15.

23. Бусенцов Г.Н., Ржаницын А.Р. Применение линейного программирования к задаче предельного равновесия при плоском напряженном состоянии. Строительная механика и расчет сооружений, 1968, № 5, с. 5-6.

24. Боркаускас А.Э., Чирас А.А. Расчет пластинок в упруго-пластическом состоянии с применением линейного программирования. -Литовский механический сборник, 1967, № I, с. 34-60.

25. Боркаускас А.Э., Чирас А.А. Расчет упруго-пластических пластинок минимального веса с применением линейного программирования. Литовский механический сборник, 1968, № I, с. 136150.

26. Belytschko Т., Hodge P.G. Programm for yield point load of arches. - 3. Struct. Division, 1968, V. 94, N ST6, p. 1383-1396.

27. Мирзобекян Б.Ю., Рейтман М.И. Определение несущей способности оболочек с помощью линейного программирования. Механика твердого тела, 1968, № I, с. 122-124.

28. Проценко A.M. Предельное равновесие пологих оболочек. В кн.: Труды УН всесоюзной конференции по теории оболочек и пласти-.нок. Днепропетровск, 1969. М., 1970, с. 513-517.

29. Милейковский И.Е., Катаев Р.И. Исследование несущей способности сводов-оболочек средней длины при различных граничных условиях. В кн.: Пространственные конструкции зданий и сооружений. М., 1975, вып. 2, с. 60-63.

30. Берман Ф.И. Несущая способность и оптимальное проектирование армированных оболочек. В кн.: Пространственные конструкции зданий и сооружений. М., 1975, вып. 2, с. 69-76.

31. Купман Д., Ланс Р. 0 линейном программировании в теории предельного равновесия. Механика, 1966, № 2, с. 150-160.

32. Боркаускас А.Э., Чирас А.А. Двойственность в линейных задачах расчета конструкций по состоянию предельного равновесия. Литовский механический сборник, 1968, № 2, с. 55-67.

33. Нагявичюс Ю.А., Чирас А.А. Определение предельной нагрузки для пологих цилиндрических оболочек с применением математического программирования. Литовский механический сборник, 1968, $ 2, с. 68-78.

34. Чирас А.А., Боркаускас А.Э., Каркаускас Р.П. Теория и методы оптимизации упруго-пластических систем. Л.: Стройиздат,1974. 280 с.

35. Рейтман М.И. Оптимальное проектирование пространственных железобетонных плит. Вычислительная и организационная техника в строительстве и проектировании, 1967, вып. II, с. 40-44.

36. Боркаускас А.Э., Каркаускас Р.П. Анализ результатов применения методов математического программирования при расчете жестко-пластических пластин и оболочек. В кн.: Пространственные конструкции зданий и сооружений. М., 1975, вып. 2, с .6568.

37. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир,1975, 541 с.

38. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных

39. Розен Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

40. Аткочюнас Ю.Ю., Каркаускас P.П., Чирас А.А. Нелинейные задачи расчета круглых упруго-пластических пластинок при повторно-переменном нагружении с дискретизацией по методу конечных элементов. Литовский механический сборник, 1972, № 2, с. 75-91.

41. Ходж Ф.Г., Белычко Т. Численные методы анализа предельного состояния пластин. Труды АОИМ. Прикладная механика, 1968, т. 35, № 4, с. 192-201.

42. Мажуолис Б.И., Чирас А.А. Нелинейные задачи определения предельной нагрузки жестко-пластических пластинок с применением метода конечных элементов. Литовский механический сборник, 1973, № 2, с. 55-64.

43. Камайтис В.И., Чижае А.П. Однопараметрический расчет упруго-пластических линейно упрочняющихся пластинок с дискретизацией по методу равновесных конечных элементов. Литовский механический сборник, 1973, № 2, с. 65-74.

44. Peano A. Limit analysis via stress function. In: limit analysis using finite elements. New-York, 1976, p. 67-86.

45. Anderheggen E. Finite element analysis asuming rigid-ideal-plastic material behaviour. In: Limit analysis using finite elements. New-Yorlc, 1976, p. 1-18.

46. Аткочюнас Ю.Ю. Проектный расчет упруго-пластических пластин наименьшего объема методом конечных элементов. Литовский механический сборник /Науч. тр. вузов ЛитССР, 1979, № 20. Оптимизация в строительной механике, с. 69-74.

47. Камайтис В.И., Чижас А.П. Задача проектного расчета оптимальных пластинок при изотропном кинематическом упрочнении. -Литовский механический сборник, 1974, № 1-2, с. 83-93.

48. Hung N.D. Direct limit analysis via rigid-plastic finite element method. Сотр. Meth. Appl. Mech. Ehg., 1976, V. 8, N 1, p. 81-116.

49. Чирас А.А., Каланта С.А. Определение матриц функции текучести конечного элемента. Вильнюс, 1977. - 8 с. - Рукописьпредставлена Вильнюсским ИСИ. Деп. в ЛитНИИНТИ 28 апр. 1977, № 195-77.

50. РаРе Thierauf G. The Prager-Shield optimality criterion an efficient extension to finite element problems. - In: Structural Control. Proc. Intern. IUТАМ Symp. Waterloo, 1979. Amsterdam-New-York-Oxford, 1979, p. 563-580.

51. Качанаускас Р.Э., Каланта С.А., Чирас А.А. Условие текучести конечного элемента пологих оболочек двоякой кривизны. Литовский механический сборник / Науч. тр. вузов ЛитССР, 1979, № 20. Оптимизация в строительной механике, с. 75-82.

52. Качанаускас Р.Э., Каланта С.А., Чирас А.А. Построение матриц функций текучести конечных элементов пластин и оболочек.

53. Литовский механический сборник / Науч. тр. вузов ЛитССР, 1981, № 23. Инженерные вопросы прикладной механики, с. 51-64.

54. Боркаускас А.Э., Чирас П.А., Каркаускас Р.П. Деформированное состояние пластично-жесткой толстостенной трубы. Литовский механический сборник, 1972, № I, с. 21-33.

55. Чирас П.А., Боркаускас А.Э. Поверочный расчет идеально пластично-жесткого тела при плоском деформированном состоянии. -Литовский механический сборник, 1973, f I, с. 73-87.

56. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материала. М.: Гос. изд-во лит. по стр-ву и архит., 1954.- 287 с.

57. Solcol-Supel J. Discontinuous stress field in plastic plates at collaps under distributed load. Bull. Asad. Pol. sc., ■ Ser. sc. techn., 1975, V. 23, N 4, p. 327-331.

58. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1977. - 872 с.

59. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974. - 200 с.

60. Hildreth C.G. A quadratic programming procedure. Nav. Res. bog. Quart., 1957, V. 4, N 1, p. 79-85.

61. Wolfe Hi. The simplex methods for quadratic programming. -Econometrica, i959, V. 27, N 3, p. 382-398.

62. Rosen J.B. The gradient projection fiethod for nonlinearprogramming. Part I, Linear constrains, J. Soc. Indust. and Appl. Math., i960, V. 8, N 1, p. 181-217.

63. Rosen J.B. The gradient projection method for nonlinear programming. Part II, Nonlinear constrains. CJ. Soc. Indust. and Appl. Math., 1961, V. 9, N 4, p. 514-532.

64. Zoutenijlc G. Maximizing a function in a convex region. CJ. Roy. Stat. Soc.(B), 1959, V. 21, N 2, p. 338-355.

65. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М.: ИЛ, 1963. - 176 с.

66. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967. - 460 с.

67. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.: Советское радио, 1965. - 303 с.7L Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1967. - 506 с.

68. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974. -. 376 с.

69. Юдин Д.Б., Голыптейн Е.Г. Линейное программирование. Теория, методы и приложения. М.: Наука, 1969. - 424 с.

70. Гасс С. Линейное программирование. М.: Физматгиз, 1961. -305 с.

71. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНЕ. М.: Мир, 1977. - 584 с.

72. Дярнпуу А.А. Программирование на АЛГОЛЕ и ФОРТРАНЕ. М.: Наука, 1978. - 336 с.

73. ГОСТ 19.002-80. Единая система программной документации. Схемы алгоритмов и программ. Правила выполнения. Взамен ГОСТ 19427-74; Введ. 01.07.81. - 10 с.

74. ГОСТ 19.003-80. Единая система программной документации. Схемы алгоритмов и программ. Обозначения условные графические. Взамен ГОСТ 19428-74; Введ. 01.07.81. - 12 с.