Конечномерные редукции и локальный анализ фредгольмовых уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

<)7 : ^ 2

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР

на праЕах рукописи

САПРОНОВ Юрий Иванович

КОНЕЧНОМЗРННЕ РЕДУКЦИИ И ЛОКАЛЬНЕЙ АНАЛИЗ ФРЕДГОЛЬМОВЫХ УРАВНЕНЙ1

01.01.01 - мате?латйческнй анализ

АВТОРЕФЕРАТ : '

диссертации ка соискание .ученой степени доктора физико-математических наук

Харьков - 1991

Работа вшолнена в Воронежском государственном университете

Официальные оппоненты; академик АН Украины, доктор

физико-математических наук, профессор И.Б. Скрганик доктор физико-математических наук, профессор П.П.. Забрейко ; доктор физико-математических

наук Б.Б. Шарко

Ведущая организация: ^тематический институт им. В.А. Стекл'ова.

Еагата состоится ^ часов на заседании специализированного совета Д 016,27,02 при Физико-техническом институте низких температур'АН Украины ( Харьков, пр. Ленина, д. 47).

С диссертацией можно ознакомиться'в библиотеке Физико-технического института низких температур АН Украины.

Автореферат разослан " г.

(¡£г_

Ученый секретарь, специа •

лизированного совета, д.ф.-м.н. В.А.Ткаченко

Актуальность темы. Теория фредгольмовых уравнений традицион-включвется в 'Н е л и н е й ни~-й :ф - у пкционвмнкй н а л и з Г Многие ее методы-имеит корни в топологии, дифферен-агльных уравнениях и уравнениях математической физики. Объектом изучения является уравнение

/(-х) = € , * * № ; ее

с —> - дифференцируемое отображение дифференциру-

ых банаховых многообразий, для которого касательное отображение •

: ТК(М-) -> Т{ск) (УГ) ¥х * ЛС

еет конечномерные ядро и коядро. Если Л1 связно, то число

'пь Неп^с*) - ¿¿т. СьЬег (*) не зависит от х и называется

едгольмовым индексом £ (обозначается ¿пс{£). Если -

нейное банахово пространство и С • Л1 —> Р - локально ком-ктное дифференцируемое отображение, то отображение ^ с будет едгольмовым вместе с ^ и при этом Сп^ (?+ с.) = ¿т^^ .

Фредгольмовы отображения были вызваны к жизни проблемой раз- • еимости нелинейных эллиптических уравнений в частных производ-х, В реботах Р.Каччиополи (30-е годы) был дан набросок теории епени для них. Затем, в связи с прикладными успехами более прос-й теории отображений Лере-л'аудера (отображения вида £■+ С , где 1- вполне непрерывно), интерес к фредгольмовим отображениям опал и возобновился линь в 60-е годы (особенно после опубликова-я знаменитой рабсты С.Смейла, посвященной йреконечномерному обоб-нип теоремы Сарда). К настояаену времени теория фредгольмовых ображений стала весьма развитой и ее прикладная значимость обще-изнана. С помоцьв принципов обратимости и теории степени фред-льмовых отображении удалось исследовать разрешимость ряда ¡заяных аевых задач с нелинейными дифференциальными уравнениями. Особен-большое количество результатов имеется в облает.( локального ализа и теории бифурквций. Наиболее заметные достижения поолед-х лег здесь связаны с рассмотрением оквивприонтных уравнений ¡.А.Треногкн, Б.ВЛогинов, Д.Сэттпнгвр, А.Л.Вандербойдо, М.Голубкин, Д.Шеффер и др.) и с привлечением идей и методов »еоряп

особенностей дифференцируемых отображения (В.И.Арнольд, Р.Том, М.Голубицчий, Д. !!!еффер, Т.Постон, Д. Чиляингворт, Дж.Молле-Парэ, Дж.Хейл и др.). Связующим звеном между теорией особенностей и фредгольмовыми уравнениями является метод конечномерной редукции', представленный большой частью в виде схемы Ляпунова-Шмидта с ее модификациями и аналогами. В теории топологической степени, в бесконечномерной теории Морсб, в глобальных краевых задачах используются различные конечномерные редукции. Выбор способа редукции определяется как природой задачи, так и уровнем соответствующей •математической техники, Разработка новых и ус« верченств'ование старых мето-дов ко и о ч и о м о р и о й редукции представляет интерес с т оротической и вычислительной точек зрения.

Использование на основе конечномерных редукций современных достижений топологии гладких многообразий и теории особенностей дифференцируемых отображений открывает перспективу решения про.блемы многомодсвых бифуркаций.

В роботах Л.С.Срубщика выделен класс упругих оболочек, для которых изучение потери устойчивости по нескольким модам сводится к анализу ветвления экстремалей функции вида

^ о. п ¡. * Л- ¡? /-и

Для таких функций им дана оценка количества бифурцирующих экстре-паг.зй (с учетом кратности и комплексных решений) и, в некоторых 'случаях, указаны асимптотические формулы решений. В роботах Г. Ньнтли, Э.Холдера, Д.Шеффера вычислялись асимптотики речений уравнения Кармана на основе обвей методики построения решений системы уравнений вида

5. (<•(*) +2Г Я; /. Сл)^) + =

</ V <?, *

с одномерным параметром ^. Аналогичные системы уравнений исследовались в работах Ю.Н. Бибикова, Н.У.Николонко, Б.В.Логинова и других математиков. Представляет интерсс изучение всех допустимых типов, индексов Морса и асимптотик бифурцирующих критических точек указанной выше функции в зависимое!и от типа матрицы И- ;

Целы) работы является развитие методов конечномерной редук-и -¡-редгольмовых уравнений и речение на основе ??их методов рл-задвч нелинейного анализа: проблема ¿6 -приводимости фред-льмова отображения (приводимости к форме Лере- !вудера), построив степени фредгольмова отображения с минимальной гладкостьв, зработка вычислительных рвдуцируиаих процедур для вариационных дач с симметрией, анализ клвчевнх маргинальных функций с особеи-стьп многомерной сборки, проблема многомодовых бифуркаций упру-х равновесий.

Объект исследования - гладкое фредгольмово уравнение, пред-авляющее разнообразные_виды уравнений математической физики.

Общая методика исследования. В диссертации использованы эло-нтарние методы К-теории и топологии дифференцируемых многообра-I, теорема Банаха-Мазура-Каччиополи о полной обратимости локаЛъ-обратимого собственного отображения односвязных топологических зстранств, теорема Абрахама о трансверсализувзей деформации, год Ляпунова-1Емидта, теория нормальных форм полуквызиоднород-< функций и их версальных деформаций (по В.И.Арнольду.), теория эквивариантных и угловых особенностей, метод приведен-■•о потенциала на приведенном фазовом пространстве (для дииа-1еских систем с симметрией).

Научная новизна. В диссертации получены следуощив новые ре-1ьтаты: ^

1. Остановлен критерий ¿5 -приводимости фредгольмова С ->брвяения в окрестности компактного подмногообразия.

2. Разработан вариант определения степени фредгольмова отоб-[ения минимальной гладкости С"' (у С.Сиейла, К. ЭдворТИ и А. |мбы требовалась гладкость С^ )• Идея этого варианта восхо-

1 к Р.Каччиополи (в построениях которого имелись технические белы). Аналогичное определение позяё было предложено К.Иснар-

3. Найдены условия нелокальной продолжимости уравнений раз-вления и клпчевых функции.

4.; Установлена аппроксимируемость произвольного нечетного бственного фредгольмова отображения нечетным отображением с улярным нулевым значением.

5. Получены формулы для вычисления квартичной частп клпчевой

функции в условиях симмотрии параллелепипеда (эквивариянтности относительно системы инволюций, коммутирующих на линейной обол ке основных мод бифуркации). В частности, выяснены условия, пр которых главная часть ключевой функции определяется ритцевсксй аппроксимацией функционале действия, построенной по основным и лам бифуркации,

6. ,Нано описание стратификации бифуркационной диаграммы 4 ций для полурегулярной угловой особенности.

7. Получены оценки кратиостой примыкающих одномерных особ ноствй к точкам страта /к- в соп.содержащего особенность многомерной сборки. В частности, установлено топологическое не сгоянство бифуркационной диаграммы функций вдоль страта/и.-сы многомерной сборки. Формулировки соответствующих теорем дополи известные результаты Ф.Фвма, С.М.Гусейн-Заде и Н.Н.Иехорошева,

8. Для П=2,3 описаны все допустимые варианты мягкой по ' ри устойчивости в нуле (для полурегулярных угловых особенносте

и описаны распределения бифурцирущих точек условного минимума по граням конуса . Изучены и важнейшие случаи для произ

рольного П, .

9. Описан эффект возникновения многоступенчатой каскадной бифуркации при разрушении симметрии параллелепипеда.

10. Получоны достаточные условия конечной тГ -определенно фродгольновых уравнений положительного индекса.

11. В рамках функционально-операторной трактовки уравнений равновесия упругих систем сформулированы теоремы существования

'Кногомодовых бифуркаций и указаны асимптотические представлени бифурцирувщих ветвей решений. Б ряде случаев описаны распредел кия значений индекса Корса по ответвившимся регулярным решения

12. Описаны асимптотики и индекса Мопса решений уравнения Кармана для прямоугольной продольно сжатой пластины, бифурциру щих.из точки двукратного вырождения. Полученные утверждения до полняют известные результаты Г, Найтли, Э.Холдера, Д. Репера и

' З.Садовского.

^ 13. Изучена задача о закритическом равновесии Кирхгофовв : \сгерхня с упругим подкреплением.

I1*. Получены условия устойчивости стационарных вращений ди мически несимметричного многомерного волчка вокруг вертикали.

учены бифуркации стационарных вращений из режима спящего волч-. Аналогичные вопросы' в классическом (трехмерном) случае под-бно были изучены В.Н.Рубановским, В многомерном случае появятся дополнительные переменные, отвечавшие за расположение под-уппы симметрии многообразия уровня относительного кинетического мента в группе врацений, сохранявших вертикаль.

Все сформулированные в диссертации теоремы, которым присво-"персоналышй"номер, принадлежат автору диссертации или, за большим исклпчением, автору и его ученикам.

Теоретическая и практическая ценность. Списанные в диссерта-и результаты имеют теоретичсскуо направленность. Теоремы о не-кальной конечномерной редукции могут быть использованы при ис-едованки разрешимости нелинейных краевых задач, в теоремы о огонодовых бифуркациях - при исследовании закритйческого пове-нил упругих систем. Результаты о топологической структуре си-ркационных диаграмм функций ' особенности многомерной сбор-и угловой особенности с кгад;)атичной главной частьп представит интерес для теории особенностей гладких функций. Результаты ссертации могут быть использованы в монографиях и спецкурсах нелинейному функциональному анализу и теории нелинейных крае-х задач.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации доклади-лись на международных топологических конференциях в Тбилиси 972 г.), Москве (1979 г.), Ленинграде (1932 г.), Баку (1987 г.), всесовзноп топологической конференции в Минске (1977 г.), во есовзних школах по теории операторов в функциональных прострен-вах в Минске (1978 г..), Новосибирске 1'979 г.) и Челябинске

986 г.), в Кемеровской всесоюзной ¡¡.коле "Оптимальное управлв-е, геометрия и анализ" (1906 г.), на 71 Республиканской кон-ренции "Нелинейные задачи математической физики" в Донецка

987 г.), в Воронежских зимних математических школах (1981—68 гг. совместных заседаниях семинара имени !!.Г. Петровского и Носкового математического общества (1985 г.), на семинаре академика

УССР И.В.Скрыпника в Донецком института прикладной математики механики (1988 г.), в МГУ на семинарах профессоров И,И.Витка, М.Ландиса, В.А.Кондратьева, академика С.П.Новикова и членп-кор-спсндента А.Т.Фоменко. Большинство результатов докладывалось

Б Воронежском университете на семинарах профессора Г.Г.Борисовича и профессора И.Е.Соболевского.

Публикации. Основные результату диссертации опубликованы в [I - 19] .

Объем и структура работы. Диссертация изложена но 231 страницах к состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 139 наименований.

ОСНОВНОЕ ССДЕРКЛНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава посвящена решению некоторых вопрос.св конечномерной редукции.

Конечномерная редукция гладкого отображения гладких банаховых многообразий —> означает сведение заменой в образец прообразе к отображении^¿«¿--»Жл Л , где ail , J/ - конечномерные гладкие многообразия, 4, ^ * Jii > L . Зто автоматически предполагает фредгольмо-вость "г . Если '■= о и Е - линейное банахов пространство, то существование редукции вытекает из CS -приводимости, означппщей представимость í в виде У f-А , где У -ди^'Госчорфизм, а к - отображение с образом в конечномерном под-простринстве. Локальная ¿ S -приводимость фредгольмова отобра-кенил шпекает из леммы Ымидта. Из равенства ¡fÁ следует, что j?' X + k , где £ = !<• f'^ - отображение с образом в

конечномерном подпространстве. Отображение JV к называется 'L $ -отображением (отображением в форме Лере-£!аудера), а диф-фооморфизм называется L S -приводящим. Такие диффеоморфизмы используются при построении ориентируемых фредгольмовых структур и ориентированной степени фредгольмова отображения.

В диссертации описан вариант определения степени для минимальной гладкости С1' . Этот вариант позволил d дальнейшем распространить определение степени на класс фредгольмовых отображений, возмущенных недифференцируемыми добавками (Г.Г.Борисович, В.Г.Звягин, В.Т.Дмитриенко и др.). В основе данного определения, идейно восходящего к Квччисполи, лежит нелокальная конечномерная редукция, основанная, в свои очередь, на формулируемом ниже

¡.ем утверждения (нумерация теореи та же, что я в диссертация).

Теорема 1.1.1. Пусть —- фредгсльмово С*

обращение банахова С * -многообразия в линейное банахово сстренство Р и пусть К - компакт в -ЛС . Тогда найдутся рестность О компакта К и разложение ©/»,<=¿11* Ь ,

кие, что отображение р-/': ■-> Р/ ■ ГД9 Р: Р—^¿у-

оекция (параллельно (¿> ), является субмепсией в каждой точко * £ О .

Степень £ относительно нуля определяется через степень роничения , действувцего из /к^/1 в ¿ж (для опре-

ления оряелткрованноЯ'Степени необходимо ввести на ориэн-цип, согласованную с ориентацией фредгольмовсй структучн на

И ее]). ' • •

/"кается вариант определения степени (К.А.Красносельский, П.Забрейко), основанный на Ь -допустимостй, означающей £ -приводимость на для У* € Р . Например,

(, 6 -допустимым будет лвбое собственное фредгольково отобраяе-> :е ^: Л1—9р , если стягивается по себе в точку. Это выкает из ниже формулируемого общего критерия ¿> ^ -приводимости

Г. 63- ,

Теорема 1.1.3. Пусть у\Г - компактное С -подмногообразие юзкокно с краем) в /Ч и пусть дС(Х, - индекс

•ьи-Ениха для пучка линейных операторов О^У-ЦОи)—*

1гда для

¿5 -приводимости фредгольмова С -отображения (—? Р на X необходимо и достаточно равенства О •

Данная теорема является ответом на один вопрос, посгавлен-1й К.Л. Красносельским. В случае ^^ , где - гиль-¡ртово пространство, ^«5 -приводимость фредгольмова С*-сто-тжения на произвольном звездном компакте X с установлена И.Овчинниковым.

Конкретные задачи математической физики требуют не только жазатёльства существований конечномерных редукций, но и их зстроения (точного или приближенного). В локальных задачах по-гроение редукций в настоящее время но представляет принципиоль-¿х трудностей вследствие их хоровей обеспеченности разнообразии теоретическими и вычислительными схемами. В глобальных

задачах таких" схем разработано существенно моньсо. Проблема редукции несколько упронается, если рассматривать не отображение, о уравнение /fa;« £ (при фиксированной правой части). В этом случае редукцией называется пара /У, где У и - сто- • брвжснил >13 ■ в М и из JtC в ¿Rn- , удовлетворяющие условию

f ~ 3 f () (это уСЛ0ЕИВ обычно рассматривается

в совокупности с дополнительными условиями', позволяющими получеть локальные топологические и оиалитические характеристики через

В приложениях широко применятся по обцим название!-; "метод .Ляпуиова-Емидта" следующая конструкция: пусть E-E°°rn& Е^ ,

F=F*° F rL, cltnv = п. , л - -к iT ' ,

' n to - /г. ./; •_/«. л ■

fc f • • , f (к) G f- i тогда уравнение о

сводится к уравнению -t-i/') О , где cf>(t/~) - реше-

ние уравнения (u + v) — о

Теорема I.I.7. Пусть для {/'¿/"е Е отображение ^ j- '

r аа- И. „оо-Ли л а.- ^ ,

с -¡5» /• , гдо -1 - (u) — jT (чпГ), является собст-

' Я/"**"*

венным (прообраз компакта компактен) и пусть при этом ^^ :

Е S^p-'F*' ''"является изоморфизмом для Vи с-£ ¡/¿'с- t п, '[ о! до найдется такое С^ - отображение ф:£п-—? ¿Г ~ , что точкк X будет рес-ением уравнения ¡/Vv) - Р тогда и только тогда, когда л7 = Ф + , гдо \Г - решение уравнения

£ ,L(<t>(ir) f s ) = О .

Если уравнение ft*) — ° является уравнением Эплеро-.Лагранжа экстремалей некоторого функционала, то естественно потребовать, чтобы 1? ) было градиентом некоторой (ключевой) функции. Классическим примером использования нелокальной коночномерной редукции в вариационных задачах является теория Морса, в которой функционал действия изучается посредством его ограничения на подмногообрвзие кусочно геодезических. Позже эта схема применялась в задачах симплектической топологии.

Гладкое отображение банаховых пространств £ —у Г называется потенциальным, если V~C*) ,VkcF . т.е.

¡Ум к = <Ах>,к> , -*<*,кус£,

дх ■ 2с .

I - некоторое гильбертово прострпнство, содержащее Е и Р ; плотные и непрерывно вложенные Подпространства, а V - глад-I функционал на Е (потенциал £ ). Предполагается, что Е [рерывно вложено в Р . Пусть ^ включено в гладкое параметритов семейство гладких потенциальных отображений /И*-, <%.) , *(х,о) =• ¿(X) , с потенциалом У(х^),у <? Р™-. Пусть = О , у,, , и пусть выполняются следующие условия:

1) но некоторой окрестности нуля в определен набор ¡дких нормированных в«?{?, функций (ведущих мод бифуркации)

. таких, что

{^(Ц,)} - набор гладких спектральных функций;'

2) если ортогональное дополнение в £ (по метрике ) инейной оболочке /V^ векторов {то ноль является урожденной критической точкой ограничения £ е^ "

Положим

& «, г >=Дх, г > < 'Ч %• ъ >> •'

условия 2) и теоремы о неявной функции следует, что существует дкал функция ФО^.), ¿-С 4? *■;<?(: <2£ . Ф&9 Ч ) ± е. ) ределенная. в некоторой окрестности нуля в # к- ), для

орой

п.

.{* (21 Ь е.- ? , а ) = О .

кция

- £ + г (I)

квается ключевой (аналогичные Функции рассматривались ранее •Треногиным, Н.Л.Сидоровым, !•!. А. Красносельским, Н.А.Бобылевым, ."ухэмадиевым, Дк.Мярсдонсм и др.). Достаточно близкая'к нулю

точка. Л & £ будет решением уравнения у )=о .тогда и толь-

ко тогда, когда где £ -близкая

к нулю критическая точка функции Причем сх. будет невы-

рожденной точкой для ¡1) лишь одновременно с невырожденностью .

£ ' как критической точки для Ц,) . В нелокальных задачах

возникает вопрос о продолжимости ключевой функции на конечные, области. '. • ;

Теорема 1.2,1. Пусть для V (*, Й- ) , *, % е , отображение ^ 0, ): xt Е ц^ является собственным и

пусть . .

Тогда найдется такое гладкое отображение. Ф •'* 1С 7? Ь , ) ' • яя? которого

1) (уЛ+ФСк, Ъ) , Я ) = 9. ,

2) £ является решением уравнения » / ' лишь при условии, что Л + <£. ) .где -

критическая точка функции (-1) при- ^ = ^ • . _ _ _ ;

3) ^'»полнится. равенство. ¿¿^ Ч\У, где

Ос - идеал в кольце ростков гладких функционалов , прро;

доннмИ ростками вида

(здесь ; > - произвольный гладкий функционал, определенный на произвольной окрестности нуля в Р ) Ь .р* £)} £ ) - коразмерность (число Г.илнора) особенное ти И?.,? ) в точке £

Из условия (2) следует, что

VvT.it, ч) =УС^^П)*",*) .

... • .••'... ' Описанная схема редукции не является «динствеинрй.' Можно ,

брать инио ].г>дуцирурщйе разложения В в прямую сумму конечномерного и бесконечномерного подпространств. Необходимо лишь, чтобы при этоу выполнялись уоярвия существования и единственности уело* критически тг<чки потенциала в бесконечномерном слое. Иногда одну и ту жь кривую зсдачу приходится рассматривать в разных функциональных пространствах. .При некоторых естественных условиях диффе-

нциальный тип клпчевой функции ив зависит от выбора функционально пространства и его редуцирувщего разложения, Соответствурчие чние утверждения сформулированы в первой глава и здесь же разоб-н пример из теории плоских упругих стержней.. . .

Техника конечномерных редукций позволяет не только определять, и вычислять или оценивать степень отображения. Например, на ос-, ве этой техники можно установить аналог известной теоремы Бор-ка о нечетности степени нечетного отображения. Вопрос о рас-остранении теоремы Борсука на класс фредгольиовцх отображений л поставлен Ю.Г.Борисовичем (1972 г.) и был предложен

ть для его решения. - через доказательство аппрокс'имэдуем'остн оизвсльного нечетного отображения гладким нечетным отображением регулярным нулевым значением, что и било сделано в [ЬУш

Теопема- 1.3.2. Пусть на замыкании центрально-симметричной ласти О банахова пространства Е задано нечетное собственное едгольмово отображение О——Р .." класса С * гда найдется такой сколь, угодно малый по 'операторной норме,

нейный оператор У?: Е--» Р с конечномерным образом,

о для отображения У/ нуль не является образом ни одной нгулярнон точки,

Доказательство проводится через теорему Абрахама о трянсвер-лизусщей деформации. Данная теорема оказалась актуальной даже конечномерном случае. В 1971» году (через год после публикация Ч] ) конечномерные варианты задач Ю.Г.Борисовича были заново орнулированы Л<Ниренбергом в его известных лекциях По'нелиней-му функциональному анализу. Поставленные Л. Нипенбергом проблемы ли реиенн В.Б.Ивановпм (1985 г.). Результаты В.В.Иваново вытеко-иэ теоремы 1.3.2. ...

• В первой главе сформулированы также теоремы о сохранении пер-льности деформации, особенности потенциала при переходе к ключей функции (включая эквиваривнтный случай).

Во второй глава,, посвященной численным методам, рассматриваем потенциальные уравнения, эквивариантные относительно набора £ } изометрических й ££ инволпций, ксгммутирусцих на

г^(о)о) и задавших на /Г полусвободное действие группы

* . . . к. В этих условиях для-клечевой функции имеет место вдетовление

о)

где £ - некоторая гладкая функция, Предполагается, что •- 3 (т.е. ТИ'^о) - полуоднородная функция четвертого порядка,, называемая в диссертации п. -мерной сборкой) и ЬЩу) задает версальнуЬ ) .деформации особенности

в нуле. Если задана орто.иоркировошшя (8 ) система гладко зависяаих от векторов { (н°£ бифурка-

ции),-для. котор.их дорождаемап ими линейная оболочка при = о совпадает с ]ЬГ и ' •

( ... - символ. Кронекера),

где )} - гладкие спектральные функции, то

V"С^р ^и^.грк ^)+УОфС01-,3)? ш .

где . . . •

' ъ = Х £ €.&>), У?-

V о п. V о ~ кубический и квартичныИ члени тейлоровского разложения функционала УС» о) в нуле. Если

Уо"\*> = ъг,

где (/ - - симметричная '(-линейная форма, то

■ № » ; .

*ч) = 8М-80') ■ Г/(3)! ' ,

,<// -- д ----- . • 3. случив ' о = .,<?■ (наппкт'ер,

1 четного \/~(т,о)) инеем. В-О-и, слодоэлтсльпо, /у ^¿^(РА ,

л ¿V) ^ *

^ Последней означает,;что при

Кег Л главная часть ключевой {укшга (си-. (3), (*'0) опреде-

:тсп ритцевской аппроксимацией функционала УС'у^'^' построенной сусте.'!»з {е^С^)}. Услсглг /-<-^о) ^ 2дссь о;нс-;т, что- ' ■ '.;

4 о _ / ^ с-. , , • ;

3 Н^- ('■»?) : -К.*'к . Кпк занетил•Д.Спрснд,

генство (3) позчоляет'-отолдесгвяят!»-' (2*,-)'~зк8Йварааит1Ш0 и уг-ме .особенности. Первоначально углозие особенности были введены 'ирсмой как обобяенаС краевых оссбенносте!!,-'ЬпроДб'делннх R-.iI.Ap-1ьдом.. В силу тождества (3) многиз результату об угловых ссс-шсстях мо:кно вывести из соответствующих .результатов по-зквизп-¡птним особенностям (В. Лозпару, Ч.'/оаг.).- л

Пусть в' С/гвидолено симок'стпо гиперплоскостей' = > с/-'у,*? ' Точка ас-лС^, называется угловой крнтиЧес-i точкой голоморфной функции , .г с'С , если-она. явлро.т-обычной критической точкой ограничения —'.О'

;.рЛь'Иой влгеброй угловой особенности ^ в а! называется фзп-влгебра . '• '

п , — <С ^ о-". •••'

' т • ' „ = ВЛ г ÍM. ^ -

Uí.oia к сягебгю формальных стопешшх рядов от (?-а.) , порожден-

aun функциями '•-••■'■rí- . Кратность

У1'-" угловой критической точки определяется как okt>t ^fg/S/-' Справедливо равенство/^- TZj*-—. , J*"c /-/,.. , , t. £ , где

/Чг • *• обычная .кратность ограничения ^{/п*- , С^.-п -<Г Л , __ • . • ^ . . jt J </

j e «У . в случае у« ~ -/IV<J... , г! С*«е.-^ = ' О

'тслучаен чисто углояуп особенность. Обычные (п-г.)-

норныо особенности 'отождествляется .с чисго угловым»? -/-

.. •, ¿Vx } , в -O'.-x*"/)" мерные краевые с y-

, • ' ' , с/-*"* ^

* ■ } ^ к- ) • ^ пространство голоморфних ростков ДСЙСТ-'ьует группа• биголонор Iних замен оргукоига, лставлясчих иоподеи;г.~

. Ним;: гиперплоскости .С;. , j ¿ 'с. '. -Эквивалентные относительно líiiusx' гаке'« рьстси функций имоот изоморфные лоцальньэ алгебры и •

рдикакоыш' зла манил .

• • . Пели .0 е" - пространство с т.оординатьки íJ}\ > - - ■> '-^п. > \Z'L ~ листно .накрывасяйо <£Г/и посредством -отойрак&т:;; ¿<Г *

é*-'--^.' . • ). ТО íym:

ция. ,) , г с £Г у. поднимается В формулой Причем- кньорийнт'иа относительно•■ инволюций . . , ,

где J^. изменяет знак в- k -oti координате, .'/гловому днффе'омор-■ У.' соответствует.(но однозначной. диффеомор-

физм у : С*" ~—^ эквивариентный относительно .,-/v^L . . для которого У(Ж{ьТ)) ) -. Справедливо равенство ■

Я С• Миниверсальняя деформация угловой

особенности '"'¿(¿У задается'.глидкой. разверткой , .

для которойпорождает Q/Уг,--' . Это*

условие удовлетворяет

. «а^г • , \ (5)

где {2*} - мономкальный базис Ф ¿Уг?, • • - • Полохив^

получим ограниченную миниверсальнув доформацип. Развертка ^.(ufi)

£ (<*■') Ър к/ . гдэ {ьТру _ кономиальныя базкс

яплпется киннворсалыюЯ для £ . Па ее базу поднимается деГ:ств::э кир.слецмЙ С «71 измзпязг знак з тех компонентах а. я

К Г)'" * Г', , /1

в которых р^ нечетно;. "нояество неподвитпих точек'всех инволэ-циЯ является р<- -мерным подпространством, отождествляемым с бз-зоП деформации (5) соответствие»

л

\ I <-* I ■ и (5)

к(>■■■) ' - •> з* - ?

^ X ^ -л ^

Спза?одлпго равекство ^ ",) = ^ ^».'НслП-'ЛГ^ -

бл.'уркацчошюя л;;огрп:.:-:а функций .особенности ; (без сгрзта

:.'оксеоглг|), то Л(^) -РСх ) - С:;?уяпс «оклад

- ' . ' ■ ' .' " дпагпапп инвариантных ф»|Г.и!йП. Соответствие 1б)ч>>оя5вогэ*ле?

->. (/ ) с -г. {ц-) ~ бкфуркпииоино.". дкогпг^гоо углозоЯ. осо-

бенное ги г/Г (ростком мнотпетва тзх Я из йазн'сгрсничегноЯ чинилг'рстльнс'-! доформзшш. (5), для которых имеет кр'зтн'уо

кяитиуескуп. точку ^относительно' одной из граней' С

{■/,. У. 3 2ГС^) входят компоненты - бхфуркоционнио

диагрзмчч функций (обнчния) •особенностей. огряняччнпЯ Имеем ¿37/х- где - росток-мпслосгеэ.точек готвло-

ния. стобрп-тения' р ' И^—- Я '.Л^,

тк ~//л) --г о3 ,(-с- С- «}. Отображение. ¿Р 14 —где

М — М . К с: {-г,..., , явлиетс'я у«^ -лястиым-и вазтчзтвленннм-вдоль 3 = ^ (\ь* и (77 , ,,))>

К ^ <=? }, к к ;

Услоппув. особенность на С^- , дли- которой при

К*, с К . и /г/^,/ - ¿? при куй"**"*?называете« К. -угловой сссбенностьп с квадратичной главной чостьй относительно ^ V/ . -Для'. /<,',.. , г } • функция с такой особенностью приводится к нормальной фернз ,

Каноническая- миниверсальная' деформзля (7) 'задаотся разеорткоП ..

< ■ > ^ %•• - Ч •<ы

^ >

Дяя (7) вис ей У4- - £, • Ограничение f/fl^ дейст-

вует «днряиство и," следовательно, Ь/м является -листным. Пр ичои' В\ - п MtrfK:*' К" ■

Есяи зздэна с форме (7) и . л') - -со ограниченная пер--сгш-т.я д0'|0р1!0ц5!д. в.^орио (В), то для всякой достаточно близкой г. i;/JUi тсчк.и' С- $[ .функция §Ту) имеет в' j? особен-

ность ?t;na вяокекноК угловс!; ососбенн<?сти относительно угле с конш:к количеством трзнор; удоплотх-сряйдсй'условия л- $ f ■ ,

"}/ К . '■•'■■• '. у А

. п/сть L с К & ff,..., г} н '•■•

( ¿upp(z-) ~

Тогда -,S с vSjs-L и -получаем естественное розблеиис-ЛГ на "стрйти ¿^д-^ zz.'-jpCS/rj't,.)- йз (7)'- (8) слоя/от/ что локально (в окрестности муян) Л?/"/, зпдпатся системой ;/кш,ишй инде ' ' •ci - „ . элснснт натрицц, обратной г. матрице, составленной из ' 'Ii jej §} f-^' Фчсьилно, что'^:^ гладкое подмногообразие,

Топологический тип ЯГ вдоль стрето yQ s g f почти вевду локально, постоянен. Изменение происходит, лишь j>-точках Не общего положения'указанные више-стратов (с уife-! том трансляционной. симметрии). "

Для полуоднородной функций,, четвёртого порядка от п. . цервмвн-них ( f% -мерной сборки) в нормально«', ф'орме-

каноническая мшшвэроадьная деформация аидиетсл и форме

К ^

м о ? ¿-^ $ .э " > !дуя С.и.ГусоЯн-Задв и Н.Н.Нзхоровеиу, обозначим через

¿СЮ ьа-

)льсуо из кратностей особенностей типа А , к которым примыка-страт р4- — сг»^^ в точке -Я. ,

Поедлодениз 2.3.1. Для точки Ъ обпего положения в страте /и - 3 п бази развертки (9) справедлива оценка

$ + + п. .

■2. &

Предложение 2.3.2. Пусть .2Г - бифуркационное множесгзо

вертки (9) и пусть .ЦТ - его подмножество, состоящее из тех

, для которых £ (• , Л ) четна по каждой переменней ,

= /,...;/г. Тогда в любой окрестности любой точки "X &

Знайдется такое л7* ( что имеет в нуле оссбон-

Л л. -}гг~<"1 у У

ГЬп ^ I' , ~ ' О*1*"1 < \ , п.(*с+

При. П имеем - 1 > —¿у—' + - ■ . ъЛ

гда получаем, следусзее утверждение. .

.Теорема 2.3.3. При .в- лобой окрестности япбоЯ точки

?естЕЗ 2Г А { /и .= ЬП } топологический тип бифуркационной ■раммы функций не является постоянным вдоль страта /к = з/г Теорема 2.3.3 дополняет-.известные результаты Ф.{ама, С.М. Пнп-Зэде и Н.Н.-Похоронева. По сравнение с'другими результа-здссь более низкая коразмерность особенности, для которой рулен г.Цект непостоянства топологического типа бнфуркацион-диаграмм вдоль ".трата — ~£~ .

.В вещественном случае ссобый интерес предстпвляот изучение рквции условных экстремалей в ' ¿С .,<_ , вызванных возмущенней ции. вида , где Н - симметричная

ица с невырожденными главными (диагональными)минорами. К •! функциям приводит ряд задач из механики упругих.кондтрук-

Основное внимание в диссертации уделено мягки» бпфуркпциян /У , условно положительных в ).

Порядок носителя -Зи./эр /с/а -¿о} называется з

диссертации порядком точки^ А , с индексом Морса регулярной усяовно критической в + точки Сс называется число, равное обычному индексу Морсе ограничения (в точке а. ),

К~ , сложенному с коли- .

чеством отрицательных чисел в наборе Са-1 . Симметрич-

т п **

нив условно положительные в (к ■ матрицы с невырожденными ди~ вгоиаяьними ийнорани называется строго условно положительными. Теорема 2,4.1. Пусть для гладкой функции У^к^х). *«? 02 ^ матрица Н 5 (0>0) является строго условно по-

дожитеяьной .и. выполняется условие трансверсальности

= ^ • . а«)'

Тогда существование условно критической точки для ФО (к

при некоторой К, где (Р и 1С -.сколь угодно малые окрес ности нудей г и. (Рт, с заданным носителем К и заданным индексом Морей р, обеспечивается соотношением 7/г.с^ НК $

1К1 (здесб ■{¿■,4} с К . и ЪыНк

количество отрицательных собственных значений. И^ с учетом кра ности). . _: -

' «> I/

Теорема 2.2. Пусть 1пс1 э^З(01°)-0 и выполняется (10). Тогда в любой достаточно малой окрестности (9 нудя в Д5 и при любом достаточно налом а <Г для

^))1аВдется единственная. точка условного минимума в

Теорема■ 2.4.5. Пусть §-75 (^о) - строго условно поиожитш ная матрица и выполняется (10). Пусть для ^{^¿Ъ с выполняется соотношение

I с/ ^ •

Тогда, во-первых, любая достаточно близкая к нулю точка условн минимуме в функции "У^С',*) имеет при достаточно малых ^

более чем первый порядок и, во-вторых, для любого набора номор <... <¿,1 ^ найдется сколь угодно мплое ^ , кото

рому отвечает ровно точек условного минимума (в сколь угод

п

ой окрестности нуля в (R). Причёи Носителями ;этих точек я.вял-я одноэлементные множества -¿J-^ J V" э fj-t.}

Для п ~ 3., 3 в диссертации описаны все допустимые вариян-кягкой потери устойчивости в нулэ «описаны распределения бифур-ующих точек условного минимума по граням конуса fe . ..

В предпоследнем (пятом) параграфе второй главы описаны нексто- . эффекты., • вызванные нэрусение.ч симметрии.' Основной результат азатэльство возникновения многоступенчатой каскадной бифуркации разрушении симметрии пароллелепипеда. Каскадный.« бифуркациями ываптся такие компоненты диаграммы "нагрузка-прогиб", которым ■ ечав.т последовательности рождений и уничтожений точек локалыю-минимума в сочетании с пвденйеч значения параметра нагрузки, кадные бифуркации моделируют серии закритических прощелкиваиий угих систем. .

В заключительном параграфе описана схема промежуточной ред/г.-к ква^иоднородной' функции, позволяющая в некоторых случаях оцать-вычисление ключевой функции.

Третья глава прсвящёна конечной определенности фредгольмовых внёний положительного индекса, т.е. условиям, при которых ооли-ивльНоа тейлоровскре приближение к при ¿H<Ujf>a в ^рсобой € Са) определяет топологическую структуру ростка ¿'(о) в ке . Конечная iГ -определенность уравнения в осо-

точке л влечет правильность ветвления" рп-екий в этой точке, вилыюсть ветвлания означает, во-первых, простоту ветвления и, вторых', • существование в-некоторой окрестности точки..с*, гладкогс кционала у? , ограничение которого не имеет

тических точек (выстилавшая, функция P.to"a). ¡'¡рсстота ветвления пчает отделимость (некоторой окрестностью) точки ft от других • еп множества £ Г (здесь 'ЛГ ='{х/Ыс/н.

правильности ветвления в точке следуе* локальная коноилность в й точке'множество £ (теорема 3.1.1, полученная совместно • Р.Зачепой).

С*

Если известно, что росток -X (О) в' ci зависит ливь от струи -го-порядка jf в il , то-ураннение /(к)— о назывался </ -еделеннам порядка \ в. точке CJ. '. В диссертации сфозм/лирпвз-признаки гГ-определенности порядке 'с , обобиавщио теоремы ухнера, Дж.,".арсдена и С. Лехтера. Окончательный результат принад-ит В.Р.Зачепе-, получившему необходимое и достаточное условие ''-определенности порядка' [ ? , В J ..

В згой те- гласо доказан фродгольиов аналог известной теоремы Дж.Мазерэ о конечной У -определенности (или, в другой терминологии, контактной определенности) отображения в особой точке.

3 четвертой главе описаны примеры кз механики упругих конструкций, в которых реализуются некоторые из ситуаций многоходовых бифуркаций/описанных во второй главе. В первом параграфе главы описана функционально-операторная трактовка бифуркационных задач упругой механики, восходящая к И.И.Воровичу, Т.Постону, Л.С.Срубщику и др. Здесь же сформулированы облие теоремц существования бифурцируюцих устойчивых форм равновесия, вытекавшие из результатов второй главы о'ветвлении условных минимумов в симплициальном конусе. .

Первый разобранным примером в диссертации является уравнение Кармана для прямоугольной пластины. Установленные теоремы дополняет известные результаты по двумодовым бифуркациям решений уравнения Кврмвне. полученные Т.Постонэм, Э.Холдером, Д.Шеффером, Г,Пай-тли и 3.Садовским. Рассмотренный в диссертации случай продольного сжатия и шарнирного закрепления на крае пластины сводится к изучение локальных минимумов потенциала

(К-А ) .

где ¡¡¡¿ГЦ ~ иГ) , (■'•)*У - скалярное произведение в ^-Л •XI. - /х Со,13 л- - параметр длины пластины, Л - параметр ивгрузки.-Функционал (II) рассматривается на пространстве.

Гельдеровоких функций класса С.^** ) , удовлетворяющих краевому условию ^ - =Р/з_0. (шарнирное закрепле- ' иие). Потенциал (II) инвариантен относительно инволюций ^ и ¿Гг .. где ^ = . =

Для лвбого О, > О число

Л*(а> = к)>о,

называется верхней критической нагрузкой. Перхгяя критическая нагрузка непрерывно и кусочно гладко зависит^ от й. . Разрыв пио-изводной происходит в точках - \Гт(нг-*-?) , пг-^ё.,....

При. (Л,А) уравнение Кармана имеет в нуле двумерное

ождение ( >m ~ ж. ) ) . Пусть Гф'Щ/^^^^С^)

Теорема 4.2.1 (о мягкой потере устойчивости.'. Hors является кой строгого локального минимума для значений функционала *f> на С .

Модами бифуркации при (*,«-) = ¿'я,, ) служат функции = R'SLrt.'HXSLn.ÏÏy и 2-sût 2Uîx -Ïl>i , .кото^.чм отво-

т спектральные функции = Y/^2)и сf-tffi+c?)* ASTaif. ключевой функции ^

WY^*,'*) = i^i V(к, +

uk (Р00-?-

ОО-Ц

зсь О - достаточно малая окрестность нуля в имеет место следугцее представление

О «,)• с Oki3) t-odkt^)

= £ ât^ ' ■%' M* ^ 7 ï(<â~S V > -f

ev + zilâ^ceejil _ , / ,

« ' •• Причем для i ^у/внполняется соотно-

e (Г.Найтли, Э.Холдер, Д. >ффер)

оторого, н частности, следует теорема 4.2.I. .

Для окрестности О нуля в £ через СГ'^ обозначается ркациснное множество уравнения Кармана.

Теорема 4.2.4. Найдется такая окрестность нуля И> в £ я я окрестность 1С точки С^с^), что £¿/7 6'(О) состоит бъединения пары кривых, заданных соотношениями о^. ^ = О , и пары кривых, аданных соотношениями

-л,а)=0 . и д, (ъ ? а ) - О,

) -5 С» , где

ЛЯЯ достаточно малых окрестностей О и Ж точек Е и (ЪцА^б дополнение к ^(0) в *2-£ состоит из нести коипо-ИВИТ СВЯЗНОСТИ и^-Ы^ >р, Ь<г >0 } у ¿Л ~{о<^<07 о(л > О 3 ¿>3 = Щ > О, <<>}■,

В диссертвции'вычислеиы количества, асимптотики и .индексы Морсе бифурциругяих критических точек при а) & сО^ для .

Следующий пример - задача о закритическом равновесии Кирх! фовв стержня с упругим подкреплением. Равновесие Кирхгофова сте кия изучалось в механике на основе кинетических аналогий Кирхп с движением тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (В Ня'колви, Е.П.Попов, А.А.Илихин и др.). В работах Ю. Н.Заваровск' и автора диссертации закритическое поведение Кирхгофова стержн исследовалось методами теории особенностей гладких функций нез висино от условия интегрируемости. Выяснилось, что потеря усто чивости прямолинейной формы при продольном сжатии всегда являе ся едномодовой. Многомодовость возникает при наложении дополни тельных связей или нагрузок. В диссертации рассматривается про дольно сжатый и жестко заделанный на концах стержень, подкрепл ный упругой силой с потенциалом

^ М ,33С*))**) (

Т

Здесь = Х° 7 1 , О) ,£¿(3) ~ орт, касательный к средней линии стержня в точке параметра длины

параметр силы упругого подкрепления (реагирующей на отклонена конца стержня в направлении ). Предполагается, что > '

Через н обозначаются орты, направленные по глав

осям инерции нормального сечения в точке средней линии ,

=г с} о) ^ , (о, о, *) 71 . Потенциалом уравнения ра ноиесия стержня с заданным упругим подкреплением является

есь =: $ , - Л _ параметр сили аксиального

атия, _ тенз0р упругости и попорочном сече-

и(А>о), для которого выполняется услсвио В.Л.Николаи

^ ЗЛ^е , л О -£ \ '

3 ^вПТ^м^у С V - коэффициентов Пуассона, аг< У < д Л

'(-5)- угловая скорость движения сечения стержня в зависимости

-5 , записанная в координатах по тройке,^.-рез §(4) обозначается матрица, составленная из столбцов коор-нат векторов , в базисо ¿^¿"«О.^ Се) ,

; Несткому закрепление на концах отвечает краевое условие — X . Для матричного представления ОС(-5) вехто-Ж-С-6) верно представление ОСМ^'^) ' Функционал

А), полученный из (13) заменой ' $ - екр "■р^^)®^/^^). где , инвариантен относительно

юомций Ц] , Л •

1И локализации параметров = Л, - /4г -4 , модами

|фуркации являются - ) и &л = Ъд

'я спектральных функций имеют место представления ,

^ -Ь •+ р .Из представления ключевой функции (4)

1лучвем, что ~ ~ ■ ^ £ = ^ ^' кпк

< ^ (неравенство Е.Л.Николаи), то X, д < -^^ • 4Л % •

юдовательно, матрица Н не является условно положительной в (жест

кая бифуркация).

Ограничение ук > ^ ^ "запирает" моду

5 4)_ со! £ ) Ъу (здесь «Т/-^ - нормирующая константа, в =

зиеняе уравнения 9 ~ "2Г я ' ). Вели ^ < ,

) в продолах выполнения неравенство к ° , гле

этеря устойчивости в нуле происходит по схеме одномерной сбср-^ и с отрицательной квартичной частью. При локализации

происходит жесткая трехмодовая бифуркация с симметрией относительно трех коммутирующих инволюций* Если Р^Р*} > О , то потеря устойчивости в нуле происходит по схеме одномерной сборки с положительной квартичной частью. При ргр*) - ° происходит мягкая-потеря устойчивости, допускающая проиелкивание без нарусения симметрии и без начальных несовершенств.

Пятая глава посвящ&на разбору примера из динамики многомерного твердного тела - бифуркации стационарных вращений многомерного волчка.

Устойчивость стационарных вращений тяжелого твердого тело в (к изучалась многими механиками. Известно, ^то устойчивость спящего волчка определяется неравенством С > 4А ж&^ в слу чае динамической симметрии и неравенством нип, {С-А^С-Щсс, для несимметричного волчка. Бифуркации вращений классических (тро: мерных) волчков подробно исследованы Б,Н.Рубоповским.

Особенностью'многомерного случая является то, что факторизация (по орбитам группы симметрии)1 эффективного потенциала не приводит к функции на сфере. Приведенный эффективный потенциал зависит ещо от дополнительных переменных, отвечающих за расположение подгруппы симметрии многообразия уровня относительного кинетического момента в группе вращений, сохраняющих вертикаль. Если значе ние относительного кинетического момента регулярно (аннулятор -подалгебра Картана), то эта подгруппа - максимальный тор в группе вращений вокруг вертикали. Дополнительные переменные можно исключить по изложенной во второй главе схеме. После исключения получается функция от координат на сфере, критические точки которой соответствуют стационорным вращением.

Движение М. -мерного тела в постоянном поло тяготения задается обобщенными уравнениями Эйлера-Пуассона но группе И Арнольд, А.С.Мищенко, С.В.Вишик, Ф.В.Должанский, С.В.Монаков, А.Т Фоменко и др.)

ма+'лм + са,мл+лм7+а*лг=о т

~ • • Г (М)

гдо -Л-= £ - угловая схорость (в теле), - функция

о значениями в 5 О С. М (т.^ , лг^ ) > - пара-

зтр нагрузки (Ъ > о) , Г = ^п. ~ вектор Пуассона (здесь о,...,')) - вертикальный орт). Через обозначается

змиутатор матриц, в через ^АГ - кососимметрическвя матрица, 1ределяемая соотношением ('гДГ = (>х.1К)Х~ X) ^ . Постоянинй зктор обозначает центр тяжести. Система (14) сводится к од->ну уравнение . ,

а

МП.+Лм + С&,М1 + = ° (15)

)рез Е(/ обозначается полная энергия волчка? (а}пуи(ц где 1 < МП+ЛМ,-С1 > ~ кинотн-

1скал энергия (здесь X) у) = ^ X У* - ферма Квртвнв-Кил-|нга), - <Г) - потенциальная энергия поля тягото-

:я. Отображение относительного кинетического момента /'^.П.ЗЧ^Т^.П), >0 Т&^-^СМЗХ+ПМ)!'1 , Ж - ортопроектор (в метке <Х} ) из /ОСИ) на Дпл.^) а {у*$0(п)/У«?^ = о } , ляется интегралом уравнения (15), а соответствующее интегральное

ожество Рр-{С^1П)1Р№)л)~ Р} является для СЦЪ глвд-м подмногообразием размерности , Кроме того, Рр -

¿расслоение тривиального расслоения ЭСН*1)* $ОСИ) —501>»•) со

пем =Р} , Очевидно, что Рр

вариантно относительно действия - подгруппы изотропии в точ-

р для действия . Я (г (здесь

Цп-1) отождествлена с подгруппой {и е БО = и.}- ).

Стационарные вращения отыскивается нв критических орбитах 1ствия на Рр относительно Смейл, В.И.Арнольд).

!тичоские орбиты отыскиваются посредством редукции к приведен-(у потенциалу:

в Г/,-П) . (1б;

как

- выпуклая функция по Х2. , то существует (еднн-

енное)сечение БОС'1-)--^Рр , гладкое по (¿}Р) . для

орого

' 17р0>) = ЕС/, .

Причем крС^и )= ЬдрЛ* ({) , е 50(п-1) > и> следовател!

но, Ур - Ц^р^* ( . Таким образом, !УрС/) допускает

факторизацию: 1Гр ({) ~ Х7р (С/У) , где С/2 - класс элемента в

факторгруппе ^ д диссертации рассматривается случай

ре "¡Тс (т#е. ¿\\xn- (р) - подалгебра Картана в ЙЪ ). Для исследования стационарных вращений, бифурцирующих из вращения вокруг вертикали, необходимо ввести координаты в окрестности единицы группы ЬО р , длл эюго достаточно задеть в $0(п) любе

эапараметризованное подмногообразие 5 . нульмерно и трансвермль но пересекавшее в единице. Пусть %€р = Лги*- (р) и о^ -ортогональное дополнение к №р в -Зосп) . Параметризация в окрестности'единицы •

6(и, <±хр С ьГ) ЫрОГ) е^р с и £ !ГЪХ, (/б ПП

иГс- , '

"соглвсоввна" с вложениями С^о с $0(*1-1) <=-$0(н-). Если /= еу■>(ьГ)екр(1Г)еу?(<и) . то

Следовательно, функция

является

профокторизованным приведенным потенциалом.

В предположении асимметричности волчка (^¿^^ ^ и при = аннулятор угловой скорости V/ "общего" положения является подалгеброй Картона в и Дгиь(Н7)= (р) . При И. = £ Ь + "1 (в диссертации показано, что при С- — ^п. огв' ционарное вращение мокет бить устойчивым в нечетнонерном прострвн стве и только в нечетнонерном) дли соответствующим образом пронумерованных векторов имеем

*СЧ}- ' ^ * О' ' ' У ' ^ 1

р

,есь ё/ / = ^), о условие устойчивости записывается в ,е системы неравенств

{(пг^пг^) ^(гп^т.^)} > о, -

пщих положительную определенность квадратичной части функции ) в нуле).

При переходе 'Л через , где

£ •

X* = т.си_ { ^ пч*. И

ологический тип функции в окрестности нуля перо-

(18)

Теорема 5.4.1. Пусть выполняются первые два неравенства (18). да при Д = 'X*' коранг матрицы Гессе функции V в нуле равен нице. При 'Х^'Х и достаточной малости Л-7К индекс Морса евой критичоской точки функции V равен единице. Если при этом

> Ц то переход А снизу вворх

ез Ь* приводит к рождению из точки (и-, «Г) =. (О^ о) Пары кри-еских точек нулевого индекса Норсз. Эти точки продстпвими в о

^ = с ± ¿/а-я* ^ Л * ) ^

(19)

гдв В случае < -1

переход 'Л через приводит к исчезновению в точке (Ь11Г)=(1 пары критических точек индекса единица, представимых в'форме,:г логичной (19)•

Теорема 5.4.5. В условиях теоремы 5.4.1. бифурцирущему'«1 снарному вращению отвечает вектор Пуассона, представимый'в-виде

х ~(си. ± (-Зогь I +

о Сп- ) .

В доказательствах используется ключевая функция"

= { иЛ

о »

перехо/Гк которой осуществлен через промежуточную редукцию к ф кции • = Л) .

Автор выражает признательность профессору I).Г.Борисовичу постоянную поддержку и внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Сапронов Ю.И. О локальной обратимости нелинейных фредгольмс отображений // $ункц.анализ и его прил. - 1971.-Т.5,вып.4.-С.38-43.

2. Борисович К'.Г., Сапронов Ю.И. К теории нелинейных фредголь» • вьх отображений // Труды УШ летней математической школы. -

- Изд.АН УССР. - С.128-163.

3. Борисович й.Г., Сапронов Ю.И. О некоторых топологических И1 риантах нелинейных фредгольмовых отображений // Докл. АН С1

.1971. - Т. 196, П. - С. 12-15.

4. Сопронов Ю.И. Регулярные возмущения фредгольмова отображение теореме о нечетном поле // Труды мотем. ф-та ВГУ. - 1973. Вороне*, вып. 10. - С.02-88.

пронов В.И. К теории степени нелинейных фредгольмовых отоб-кений // Труды НИИ магем. ВГУ. - 1973. - Вероне- . вып. II. -93-101. ,

рисович В. Г., Звягин В.Г., Сапронов В.И. Нелинейные фредголь-вы отображения и теория Лере-Наудёра // УМИ. - 1977. - Т.32, п.4. - С. 3-54.

пронов Ю.И. Ветвление решений гладких фредгольмовых уравне-й // Уравнения на многообразиях. - 1982; - Воронеж, изд.ВГУ. С. 60-82.

чепа В.Р., Сапронов С.И. О локальном анализе нелинейных едгольмовых уравнений // Труды НИИМ им. В.А.Стеклспа. - 1983. Т. 154. - С.113-117. .

пронов С.И. Разрушение сферической симметрии в нелинейных риационных задачах // Анализ на многообразиях и диффоренци-ьные уравнения. - 1985. - Воронеж, изд.ВГУ. - С.88-111« -

пронов С.И. Угловые особенности в анализе закритического по-дения упругих систем // Всесоозная школа "Оптимальное управ-ние, геометрия и анализ". - 1986. - Кемерово, тез. - С.III.

пронов В.И. Многомерные спящие волчки // Глобальный анализ математическая физика. - 1987. - Воронеж, изд. ВГ7. -95-109.

тронов В.И. К топологии бифуркационной диаграммы многсмер-1Й сборки // Бакинская международная топологическая конфе-!нция. - 1987. - Баку, тез., ч.2. - С.271.

тронов В.И. Угловые особенности и многомерные сборки // 'нкцион. анализ и его прил. - 1968. - Т. 22, вып. 3. С.85-86.

тронов В.И. Бифуркация стационарных вращений многомерного :имматричного твердого тола из режима спящего во»чка // Гло-)льный анализ и нелинейные уравнения. - 1988. - Воронеж, ?д. ВГУ -С. 141 -151

зпронов В.И. Многсмодовые бифуркации упругих равновесий // •1М. - 1988. - Т. 52, вып.б. - С 997-1006.'

пронов В.И. Двумодовая бифуркация решений уравнения Кармава// иф.уравнения. - 1989. - Т.25, К^. - С. 1078-1081.

17. Сапронов В.И. Полурогулярнио угловые особенности гладких функций // Катек, сб. - 1989. - Т.100, № 10. - С.1299-13

18. Сапронов С.И. Угловые особенности и многомерные сборки

в нелинейном анализе // Теория операторов в функционалы) пространствах. Обзорные лекции ХШ Всесоюзной школы. - Из Саратовского ун-та, Куйбыиезский филиал. - 1989. -{!. 15

19. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в варив онных краевых задачах // Матей.заметки. - 1991. - Т.46, С.- 94-103.

. . . .и'ц-

Заказ'406 от '¿б.Н.УХг. формат 1/1

Объём 2п.л. 0{>оепш дасорп'/орки УГУ. '